Zahlbereiche
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Friedhelm Padberg / Rainer Dankwerts / Martin Stein Zahlbereiche Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg B erlin Oxford Inhaltsverzeichnis Einleitung I 1 2 3 4 5 1 Natürliche Zahlen 5 Vom Zählen und von den Zahlen 5 Beweistechniken für die natürlichen Zahlen 10 2.1 Vollständige Induktion 11 2.1.1 Verlagerung des Induktionsanfangs 15 2.1.2 Notwendigkeit des Induktionsanfangs 15 2.1.3 Notwendigkeit des Induktionsschrittes 15 2.1.4 Beispiele 15 2.2 Wohlordnungsprinzip und Kettenprinzip . 18 2.3 Dirichlet'sches Schubfachprinzip 19 2.4 Äquivalenz der verschiedenen Prinzipien 21 Axiomatische Charakterisierung der natürlichen Zahlen: Ordinalzahlen 24 3.1 Perlenketten-Modell der natürlichen Zahlen 24 3.2 Peano-Axiome 26 3.3 Grundrechenarten 28 3.3.1 Definition der Multiplikation 28 3.3.2 Definition der Addition 30 3.3.3 Korrektheit der Definitionen 30 3.3.4 Grundlegende Eigenschaften von Addition und Multiplikation 32 3.3.5 Kleiner-Relation 36 3.3.6 Subtraktion 39 3.3.7 Ausweitung der Definitionen und Gesetze von N auf N0 . 40 3.3.8 Division 41 3.3.9 Teilbarkeitsrelation 43 Kardinalzahlen 45 4.1 Begriff der Endlichkeit 45 4.2 Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen 47 4.3 Grundrechenarten 49 4.3.1 Addition 49 4.3.2 Multiplikation 52 4.3.3 Kleiner-Relation, Subtraktion und Division 54 Primzahlen 55 5.1 Einführung 55 5.2 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie 5.3 Bestimmung der Primzahlmenge 56 58 II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bruchzahlen/ Positive rationale Zahlen 61 Einige Gründe zur Einführung der Bruchzahlen 62 Bruchzahlen 64 Anordnung 70 Addition 73 Subtraktion 77 Multiplikation 79 Division 85 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen 86 Rückblick und Ausblick 89 9.1 Wichtige Gemeinsamkeiten und Unterschiede von N und Q^ . 89 9.1.1 Einige bisher behandelte Gemeinsamkeiten und Unterschiede 89 9.1.2 Dichtheit der Bruchzahlen 90 9.1.3 Mächtigkeit der Bruchzahlen 91 9.2 Die Zahlbereichserweiterung von (N, •) nach (Q^, •) - eine Analyse unter strukturellen Gesichtspunkten 92 10 Zur Dezimalbruchdarstellung von Bruchzahlen 100 10.1 Definition 101 10.2 Endliche Dezimalbrüche 105 10.3 Periodische Dezimalbrüche 107 10.4 Zur Zuordnung von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen . . 112 III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rationale Zahlen 115 Einige Gründe zur Einführung der rationalen Zahlen 117 Rationale Zahlen 119 Addition/ Subtraktion 121 Multiplikation/Division 131 Ausblick I: Die rationalen Zahlen als Körper 140 Anordnung 142 Ausblick II: Die rationalen Zahlen als angeordneter Körper 147 Absolutbetrag rationaler Zahlen 148 Ganze Zahlen 152 Rückblick und Ausblick: Verschiedene Einführungswege der rationalen Zahlen 154 10.1 Neubau statt Ausbau 154 10.2 Wege von den natürlichen zu den rationalen Zahlen 155 IV Reelle Zahlen 1 Reelle Zahlen - oder: Warum reicht Q nicht aus? . . 1.1 Erstes Beispiel : Existenz der Quadratwurzel 1.2 Zweites Beispiel: Inkommensurabilität 1.3 Drittes Beispiel: Der Zwischenwertsatz 1.4 Viertes Beispiel: Das Monotoniekriterium . . 2 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen 2.1 Intervallschachtelungssatz und Archimedisches Axiom 2.2 Der Satz von der oberen Grenze 2.3 Die Vollständigkeit von R . . . . 3 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche 3.1 Entsprechung von reellen Zahlen und Dezimalbrüchen 3.2 Zur Anordnung und Arithmetik für Dezimalbrüche 3.3 R als vollständiger, angeordneter Körper 4 Zur Konstruktion der reellen Zahlen 4.1 Konstruktion von R über Dezimalzahlen 4.2 Weitere Konstruktionen im Überblick 4.2.1 Dedekindsche Schnitte 4.2.2 Intervallschachtelungen 4.2.3 Cauchy-Folgen ' 4.3 Der axiomatische Standpunkt 4.4 Rückblick 4.5 Anhang V 1 2 3 4 Komplexe Zahlen Zur Einbürgerung der komplexen Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen 2.1 Zielsetzung 2.2 Vorüberlegungen/ Anforderungen an C 2.3 Konstruktion von C 2.4 Einbettung der reellen Zahlen 2.5 Zur Anordnung der komplexen Zahlen Geometrische Veranschaulichung der komplexen Zahlen Fundamentalsatz der Algebra 159 159 160 162 165 167 172 172 177 184 186 186 190 193 195 195 198 199 200 202 204 205 207 213 213 216 216 217 219 . 221 223 223 229 Anhang 235 Lösungshinweise zu den Aufgaben 235 Literatur 247 Liste der verwendeten Symbole 249 Index 251
