Lösungen zu „Die reellen Zahlen“ RZ

Lösungen zu „Die reellen Zahlen“
RZ
Mathematik
T. Hunziker, dipl. math., dipl. ML
Hilfsmittel: Taschenrechner, Formelsammlung
www.hunziker.jimdo.com
Repetition
Die natürlichen Zahlen = ℕ={0,1 ,2 ,3,…}
Die ganzen Zahlen =
ℤ={…,−2,−1 ,0,1 ,2 ,…}
Die rationalen Zahlen =
ℚ = Zahlen, die als Bruch
Beispiele von rationalen Zahlen:
4
= 0.8 oder
5
a
von ganzen Zahlen darstellbar sind
b
1
= 0.3333...
3
Abgeschlossenheit
Eine Zahlenmenge M heisst abgeschlossen bezüglich einer Operation, wenn das Ergebnis der
Operation immer in der Menge M bleibt.
Beispiel: Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Addition und der Multiplikation,
aber nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion und der Division.
Periodische Dezimalzahlen
Periodische Dezimalzahlen werden oft mit einem Strich über den sich wiederholenden Ziffern
dargestellt:
0.454545...
=
0. 45
0.00131313... =
0.00 13
Die irrationalen Zahlen
Zahlen, die als Dezimalzahl unendlich und nicht periodisch sind, heissen irrationale Zahlen.
Irrationale Zahlen kann man nicht als Bruch
a
von ganzen Zahlen schreiben.
b
ℝ∖ℚ
Als Symbol für die irrationalen Zahlen benutzt man manchmal:
Beispiele von irrationalen Zahlen: π=3.14159265 ... ,
(sprich: R ohne Q)
√ 2 , √ 3 , √ 5 , √ 6, √ 7, √8 , √ 10,...
Die reellen Zahlen
Die reellen Zahlen ℝ umfassen alle Zahlen, insbesondere auch die irrationalen Zahlen.
Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt
auf der Zahlengeraden:
-5 -4 -3 -2 -1 0

3
2
1
2
3
2
2
3
4
Übersicht über die reellen Zahlen:
R
Q
5

R\Q
5.25
Z
2
3
3.1572...
-3
(u nre ge lm ä ssi g)
N
5
0

3

- 117
-1
6
0.3333...
Intervalle
Intervalle sind Mengen von Zahlen, die zwischen zwei Grenzen liegen. Ihre Bezeichnung hängt davon
ab, ob die Grenzen dazugehören oder nicht:
Bezeichnung
[ 3.5, 4.2 ]
] 3.5, 4.2 [
[ 3.5, 4.2 [
] 3.5, 4.2 ]
Eigenschaft der Elemente
3.5 ≤ x ≤ 4.2
3.5 <x <4.2
3.5 ≤ x <4.2
3.5 <x ≤ 4.2
abgeschlossenes Intervall
offenes Intervall
halb-offenes Intervall
halb-offenes Intervall
Aufgabe 1
Füllen Sie die untenstehende Tabelle aus, indem Sie „ja“ oder „nein“ in jedes Feld schreiben.
Beispielsweise ist N bezüglich der Addition abgschlossen, weshalb in diesem Feld „ja“ steht.
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Wurzelziehen
N
ja
nein
ja
nein
nein
Z
ja
ja
ja
nein
nein
Q
ja
ja
ja
ja
nein
R
ja
ja
ja
ja
ja
Aufgabe 2
a) Welche der Mengen
Begründung)
ℕ,ℤ ,ℚ ,ℝ sind bezüglich der Multiplikation abgeschlossen? (ohne
ℕ, ℤ,ℚ , ℝ
(das heisst alle vier)
b) Bezüglich welchen der vier Grundoperationen sind die ganzen Zahlen abgeschlossen?
(ohne Begründung)
Bezüglich Addition, Subtraktion und Multiplikation
c) Bezüglich welchen der vier Grundoperationen ist die Menge M = {...,–6 ,–3, 0, 3, 6, ...} der durch
drei teilbaren ganzen Zahlen abgeschlossen? (ohne Begründung)
Bezüglich Addition, Subtraktion und Multiplikation
Begründung: wenn man zwei Zahlen aus M addiert, zum Beispiel -6 und 12, dann ist das
Resultat wieder ein Element von M. Dasselbe gilt, wenn man zwei Zahlen aus M voneinander
subtrahiert oder miteinander multipliziert.
d) Bezüglich welchen der vier Grundoperationen ist die Menge
abgeschlossen? (ohne Begründung)
{
1 1 1 1
, , , ,...
1 2 3 4
}
der Stammbrüche
Bezüglich Multiplikation
Begründung: wenn man zwei Stammbrüche miteinander multipliziert, erhält man wieder einen
1 1
1
Stammbruch. Beispiel: ⋅ =
.
3 7
21
1 1 5
Die Summe zweier Stammbrüche ist aber meist kein Stammbruch. Beispiel: + = .
2 3 6
Auch die Differenz oder der Quotient zweier Stammbrüche ist in der Regel kein Stammbruch.
1 1 3
1 1 5
Beispiele: − =
und : = .
2 5 10
2 5 2
Aufgabe 3
Verwandeln Sie in einen gekürzten Bruch.
a) 0.54
=
b) 0.8
10x = 8.888 ...
x = 0.888 ...
9x = 8
54
27
=
100 50
x =
c) 0.016
16
=
990
=
f) 0.005
100x = 103.3
10x = 10.3
90x = 93
93
=
90
1000x = 5.5
100x = 0.5
900x = 5
31
30
x =
g) 2.81
5
=
900
1
180
h) 0.12345
100x = 281.81
x =
2.81
99x = 279
x =
8
2
=
100 25
8
495
e) 1.03
x =
8
9
d) 0.08
1000 x = 16.1616 ...
10 x = 0.1616 ...
990 x = 16
x =
|: 9
279
=
99
100000x = 12345.45
1000x =
123.45
99000x = 12222
31
11
x =
12222
=
99000
679
5500
Aufgabe 4
Wahr oder falsch? (ohne Begründung)
a)
5.5 ∈ ℚ
wahr
b) 0.265 ist irrational
falsch
c)
0. 265∈ℝ
wahr
d) 5.5 ist eine ganze Zahl
falsch
e)
ℚ⊂ℕ
falsch
f) ℤ⊂ℝ
wahr
wahr
h)
g) √ 6 ist irrational
√ 8 ist irrational
√2
falsch
Aufgabe 5
Wahr oder falsch? (ohne Begründung)
a)
√2 ∈ ℚ
c) 0. 2
∈ℚ
falsch
b)
√2 ∈ ℝ ∖ ℚ
wahr
wahr
d)
ℝ ∖ ℤ ⊂ ℝ∖ ℚ
falsch
Aufgabe 6
a) Berechnen Sie die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 2 cm.
(Wurzel im Resultat stehenlassen!)
2
Pythagoras: 22 +22 = √ 4+4 = √ 8
(oder 2⋅√ 2)
2
d
√
b) Berechnen Sie die Länge der Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 4 cm und 5 cm.
(Wurzel im Resultat stehenlassen!)
Pythagoras: √4 2 +5 2 = √16+25 = √41
c) Berechnen Sie die Raumdiagonale eines Würfels mit Kantenlänge 1 cm.
(Wurzel im Resultat stehenlassen!)
In einem Quader mit den Seitenlängen a, b und c gilt für die Raumdiagonale: d =
In unserem Fall ist a=b=c=1, somit gilt: d =
√ 1 +1 +1
2
2
2
= √1+1+1 =
√3
√a 2 +b 2 +c 2
Aufgabe 7
Aus wievielen Elementen besteht die Menge
a) [ 5 ,11 ]
b) { 5,11 }
Aus unendlich
vielen Elementen
Aus 2 Elementen
Aufgabe 8
Schreiben Sie als Intervall. Bsp: 1.5 <x ≤ 4.5
a) −4 ≤ x ≤ 2
[ −4 , 2 ]
→
b) 0.02 <x <0.04
Aus 7 Elementen
]1.5 , 4.5 ]
c) 486 ≤ x <516
] 0.02, 0.04 [
e) R+ = [ 0 ,∞ [
g) [ 0 ,10] ∩ [ 7,12 ] =
c) { 5,6, ...,11 } .
[ 486 , 516 [
[ 3.5 ,∞[
f) R− = ]−∞, 0 [
[ 7 ,10 ]
h) [ 0 ,10] ∩ ] 7, 12 ] =
Aufgabe 9
Wahr oder falsch? (ohne Begründung)
a) ]−∞, ∞ [ = ℝ
wahr
d) x ≥ 3.5
b) [−3 , 4 ] ⊂ [−3.5 ,4.5 ]
wahr
c) [ 1 , 3 ] ⊂ ] 1 , 3 [
falsch
] 7 , 10]