Zahlenmengen

Welche Zahlenmengen gibt es?
Wie hast du zählen gelernt?
1,2,3,4,5,6,7,……….
Die Menge der
natürlichen Zahlen
enthält jene Zahlen, die man zum
Abzählen benötigt,
einschließlich Null.
N = {0,1,2,3,4…}
Welche Rechnungen kannst du
mit den
natürlichen Zahlen N
durchführen?
Addieren
2+5 = 7, 1+10 = 11…..
Innerhalb der Addition sind die
natürlichen Zahlen
abgeschlossen, d.h. das
Ergebnis einer Addition ist
wieder eine natürliche Zahl
Man schreibt:
a + b = c,
a,b,c
N
Subtrahieren
7-2 = 5
aber: 2 – 7 = -5 ????
Innerhalb der Subtraktion sind
die natürlichen Zahlen nicht
abgeschlossen, da das Ergebnis
nicht immer eine natürliche Zahl
ist.
Um welche Zahlen muss man die
Zahlenmengen erweitern?
-3,-2,-1,0,1,2,3,……….
Die Menge der
ganzen Zahlen
enthält die natürlichen Zahlen
und alle negativen ganzen
Zahlen
Z = {…-2,-1,0,1,2,3,4…}
N Z
Welche Rechnungen kannst du
mit den
ganzen Zahlen Z
durchführen?
Addieren
2 + (-5) = -3 …
Subtrahieren
1- (-10) = 11 …
Multiplizieren
3. (-4) = -12 …
Innerhalb der Addition, der
Subtraktion und der
Multiplikation sind die ganzen
Zahlen abgeschlossen.
Dividieren
10:2 = 5
aber: 3:4 = ¾ = 0,75 ????
Innerhalb der Division sind die
ganzen Zahlen nicht
abgeschlossen, da das Ergebnis
nicht immer eine ganze Zahl ist.
Um welche Zahlen muss man die
Zahlenmengen erweitern?
¾; 0,75,……….
Die Erweiterung um die
Bruchzahlen führt zur Menge der
rationalen Zahlen,
in der die Division
(außer durch 0) möglich ist.
Q = {q|q
, m Z, n Z, n≠0}
N Z Q
Welche Rechnungen kannst du
mit den
rationalen Zahlen Q
durchführen?
Addieren
+ = + =
Subtrahieren
- = - =
Innerhalb der Addition und der
Subtraktion sind die rationalen
Zahlen abgeschlossen.
Welche Rechenregeln gelten für
die Addition und Subtraktion
von Brüchen?
Addition/Subtraktionsregel:
Man addiert oder subtrahiert
zwei Brüche, indem man sie auf
gleichen Nenner bringt und die
Zähler addiert.
Multiplizieren
* =
Innerhalb der Multiplikation
sind die rationalen Zahlen
abgeschlossen.
Welche Rechenregel gilt für die
Multiplikation von Brüchen?
Multiplikationsregel
Man multipliziert zwei Brüche,
indem man Zähler mit Zähler
und Nenner mit Nenner
multipliziert.
Dividieren
dividieren:
: 2 = :* 2== .
=
Innerhalb der Division sind die
rationalen Zahlen
abgeschlossen.
Welche Rechenregel gilt für die
Division von Brüchen?
Divisionsregel:
Man dividiert zwei Brüche,
indem man den ersten Bruch mit
dem Kehrwert (reziproken Wert)
des zweiten Bruches
multipliziert.
Jeder Bruch kann auch als
Dezimalzahl dargestellt werden.
= 0,5;
= 0,25;
=0,3333…
Gibt es auch Dezimalzahlen, die
keine Brüche sind?
1,4142135… =
????
Angenommen:
=
dann ist
=
mit a, b teilerfremd,
2 und a² = 2b²,
dann wäre aber a² das Doppelte von b², was
ein Widerspruch zur Annahme „teilerfremd“
darstellt!
Daher ist
nicht als
Bruch darstellbar!!!
,
,……….
Da diese Zahlen nicht durch
einen Bruch darstellbar sind,
also nicht rational sind, nennt
man sie irrationale Zahlen.
Die Menge der
irrationalen Zahlen sind
unendliche, nichtperiodische
Dezimalzahlen.
I = {…
,
,.., e, ….,π,… }
Da den irrationalen Zahlen wie
den rationalen Zahlen ein Punkt
auf dem Zahlenstrahl
zugeordnet ist, nennt man sie
die Menge der reellen Zahlen.
Die Menge der
reellen Zahlen
werden beschrieben:
R = {…-2,.. - .. ,0,..
N Z Q R I
, ..π}
R
Welche Rechnungen kannst du
mit den
reellen Zahlen R
durchführen?
Rechenregeln für die reellen
Zahlen R:
Man kann uneingeschränkt
addieren, subtrahieren,
multiplizieren, potenzieren und
dividieren (außer durch 0).
aber:
Man kann nicht aus negativen
Zahlen Wurzelziehen und
negative Zahlen logarithmieren!
daher:
,
,……….
Da diesen Zahlen keine Punkte
auf dem reellen Zahlenstrahl
zugeordnet sind, nennt man sie
die Menge der komplexen
Zahlen.
Die Menge der
komplexen Zahlen
wird beschrieben:
C = {…
,..
, ….}
Überblick der
Zahlenmengen
Z
Q
N
N Natürliche Zahlen
Z Ganze Zahlen
Q Rationale Zahlen
I
Irrationale Zahlen
R Reelle Zahlen
C Komplexe Zahlen
I
Q
C
I=R