Zahlenmengen - toolcase.org
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Zahlenmengen Bezeichnung Natürliche Zahlen Was hinzukommt Positive ganzen Zahlen Bemerkung Das eigentliche intuitive Zählen. Nat. Zahlen inkl 0 Die Zahl 0 Je nach Definition ist die 0 bei Ganzen Zahlen Negative ganzen Zahlen Erweiterung des Zahlenstrahls zu einer beidseitig offenen (–∞ bis +∞) Zahlengerade. Rationale Zahlen Brüche mit ganzen Zahlen Echte Brüche werden vollständig gekürzt, da sie sonst nicht eindeutig sind. Reelle Zahlen Irrationale Zahlen Nicht als Bruch darstellbar. Komplexe Zahlen i (mit i2 = – 1) Das Konzept der (reellen) Zahlengerade wird um einen zweite (imaginären) erweitert, so dass ein 2-dimensionaler Raum entsteht. 0 schon drin. Bemerkungen Jede Zahlenmenge umfasst die weiter oben/innen stehenden vollständig. So ist Beispielsweise 4 auch eine rationale Zahl, aber kein echter Bruch, da man 8/2 noch kürzen könnte. Jede Zahlenmenge ist mit einem entsprechenden Entwicklungsschritt in der Mathematik verbunden. So kannten die alten Griechen beispielsweise nur die natürlichen Zahlen (ohne 0) und Brüche. Eine irrationale Zahl war in ihrem Konzept von Mathematik nicht denkbar. Komplexe Zahlen entziehen sich unserem Vorstellungsvermögen. Nichts desto trotz sind sie mathematisch wohldefiniert und handhabbar. Im Alltag dominieren die ganzen Zahlen (beim Zählen) und die reellen zahlen (beim Rechnen). Komplexe Zahlen kommen nur in wenigen Bereichen zur Anwendungen (Beispiel Elektrotechnik), weshalb sie auch nur dort gelehrt werden. Die Dezimalzahlen (Bsp: -0.034) sind keine Zahlenmenge sondern eine Darstellungsform. Gleiches gilt für die Variante Exponentialschreibweise (Bsp: 1.35·10-5), bei der schon der Name darauf hindeutet. Beide vereinfachen das Rechnen (schriftlich oder per Computer) und werden oft nur mit begrenzter Genauigkeit angegeben (gerundet). Bei irrationalen Zahlen ist das unvermeidlich, da ihre Dezimaldarstellung unendlich lang und nicht periodisch wäre. Computer arbeiten meist nur mit ganzen Zahlen (Integer) und Gleitkommazahlen (Dezimalzahlen in Exponentialschreibweise, Float). Beide haben einen definierten Wertebereich. Zahlen ausserhalb dieses Bereichs sind nicht handhabbar und können zu Fehlern führen (Overflow). Gleitkommazahl haben zudem eine festgelegte Genauigkeit. Als Konsequenz erhält man bei den meisten Programmen (inklusive Taschenrechnern) für 10'000'000 + 0.000001 das falsche/ungenaue Resultat 10'000'000. Einige Programme können mit beliebiger Genauigkeit rechnen und mit komplexen Zahlen umgehen. In beiden Fällen ist die Rechengeschwindigkeit im Vergleich aber massiv reduziert. In der höheren Mathematik gibt es noch weitere Zahlenmengen, die aber in der praktischen Anwendung keine nennenswerte Bedeutung haben. Zahlenmengen 1/1 Jörg Mäder (19.10.2012)
