Zusammenfassung Analysis II

Analysis II, Prof. Dr. Sönke Hansen, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
Zusammenfassung
Analysis II
1. Funktionenfolgen
Gleichmäßige Konvergenz von Folgen von Funktionen fn : D → C, n ∈ N
1) Definition: gleichmäßige Konvergenz
2) Satz: Seien fn : D ⊂ C → C stetig, n ∈ N.
Konvergiert fn → f gleichmäßig auf D, dann
ist f auf D stetig.
3) Satz: Seien fn : [a, b] → R int’bar, n ∈
N. Konvergiert fn → f gleichmäßig
auf
Rb
[a, b], dann ist f int’bar und a f (x)dx =
Rb
limn→∞ a fn (x)dx.
4) Satz: Sei I ⊂ R ein Intervall. Seien fn : I →
R stetig diff’bar, n ∈ N. Gilt mit f, g : I →
R:
fn → f pktw. auf I und
fn0 → g glm. auf I,
dann ist f stetig diff’bar und f 0 = g.
5) Satz: Seien fn : D ⊂ C → C.
fn → (f : D → C) glm. ⇔ ∀ > 0 : ∃N ∈ N :
∀x ∈ D, n, m ≥ N : |fn (x) − fm (x)| < 6) Satz: (Weierstraß’scher M-Test“)
P
”
Sei (Mn ) Folge mit Mn > 0 und P
n Mn < ∞
und |fn (X)| ≤ Mn ∀x ∈ D. ⇒ n fn glm.
konvergent auf D.
2. Potenz- und Taylor-Reihen
Grenzfunktionen f (x) =
P∞
n=0 an
· xn .
1) Hilfssatz: Konvergiert eine Potenzreihe an
einer Stelle y ∈ C, y 6= 0, so konvergiert sie
absolut für jedes x ∈ C mit |x| < |y|.
2) Definition:
P Konvergenzradius
3) Satz: Sei n an (x−x0 )n eine Konv’reihe mit
Konv’radius R. Dann divergiert sie für x mit
|x−x0 | > R. Für |x−x0 | < R konvergiert sie.
Damit konvergiert sie glm. auf jeder Kreisscheibe um den Punkt x0 mit Radius < R.
4) Satz: (Cauchy-Hadamard)
p
1
n
|an |.
R = lim supn→∞
5) Satz:
(Euler’sche
Formel
für
den
Konv’radius)
Existiert der uneigentliche Grenzwert
1
q = limn→∞ | an+1
an |, dann gilt R = q .
6) Grenzfunktionen sind stetig auf dem
Konv’kreis ihrer Potenzreihe.
7-8) Die Grenzfunktion einer Potenzreihe mit
Konv’radius R > 0 ist im Konv’intervall beliebig oft diff’bar. Die Konv’radien der differenzierten Reihen sind ebenfalls R.
9) Definition: Taylor-Reihe einer beliebig oft
diff’baren Funktion f : I → C, I ⊂ R offenes
Intervall.
3. Der euklidische Raum
Rn
1) Satz: Normeigenschaften: positiv definit, linear, Dreiecksungleichung gilt
2) Definition: Konvergenz im Rn
3) Satz: Kompontentenweise Konvergenz
4) Satz: (von Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte Folge in Rn besitzt eine
konvergent Teilfolge
5) Definition: Offene Kugel
6) Definition: Umgebung
7) Satz: Eine Folge im Rn konvergiert genau
dann gegen einen Punkt, wenn jede seiner
Umgebungen fast alle Folgenglieder enthält
(also nur eine endliche Menge von Folgengliedern nicht in der Umgebung liegt).
8) Offene Teilmengen: Sind Umgebung für jeden
ihrer Punkte
4. Normierte Vektorräume
1) Definition: Norm, normierte VRe
2) Definition: offene Kugel, Einheitskugel
3) Definition: Konvergenz einer Folge (xk ) ⊂
V, V Vektorraum.
5-7) Satz: Auf endlichdim. VRen sind je zwei
Normen zueinander äquivalent
Beispiele für Normen:
Zeilensummennorm im Rn×n P (bzw. im
L(Rn , Rn )): kAkZ = max1,...,n nj=1 |aij |
Operatornorm im L(X, Y ): sup{kf (x)kY | x ∈
X, kxkX ≤ 1}
5. Metrische Räume
2) Definition: Metrik, Eigenschaften: positiv
definit, Symmetrie, Dreiecksungleichung; metrischer Raum
3) Definition: offene Kugel im metrischen
Raum, Umgebung
4) Definition: innerer Punkt, äußerer Punkt,
Randpunkt, Å := Inneres von A, ∂A := Rand
von A.
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Analysis II, Prof. Dr. Sönke Hansen, Zusammenfassung von Florian Schoppmann
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verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
5) Offene Teilmenge, Abgeschlossene Teilmengen (Komplement ist offen)
6-7) Satz: Endliche Vereinigungen und beliebige
Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind
abgeschlossen.
8) Folgerung: Das Innere Å einer Teilmenge
A ⊂ X ist offen.
9) Definition: Eine Folge (xk )k∈N in einem metrischen Raum mit Metrik d heißt konvergent
mit Grenzwert a, wenn limk→∞ d(xk ) = a.
Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt.
10) Hilfssatz: Eine konvergente Folge, deren
Glieder allesamt in einer abgeschlossenen
Menge enthalten sind, hat auch ihren Grenzwert in dieser Menge.
11) Satz: (Folgenkriterium für Abgeschlossenheit)
A abgeschlossen ⇔ ∀(xk ) ⊂ A, (xk ) konvergent: limk→∞ xk ∈ A.
12) Definition: Abschluss (= abgeschlossene
Hülle): Sei A ⊂ X. Ā := X \ (X \ A)˚
13) Satz: Ā = A ∪ ∂A
14) Satz: Der Rand einer Teilmenge eines metrischen Raumes ist abgeschlossen.
6. Stetige Abbildungen
1) Definition: Seien (X, dX ), (Y, dY ) metr.
Räume. Sei f : X → Y eine Abb. f heißt
steig in einem Punkt a ∈ X ⇔ ∀ > 0 : ∃δ >
0 : ∀x ∈ X, dX (x, a) < δ : dY (f (x), f (a)) <
.
2) Satz: Verkettungen von stetigen Funktionen
sind stetig
3) Satz: (Folgenkriterium für Stetigkeit)
f stetig in a ⇔ (xk → a für k → ∞ ⇒
f (xk ) → f (a) für k → ∞)
4) Folgerung: Sei f : X → Rn eine Abb. f
stetig in einem Punkt a ∈ X ⇔ Die Komponentenfunktionen von f sind stetig.
5) Folgerung: Seien f, g : X → R stetige
Funktionen. Dann sind f +g, f −g, f ·g stetige Funktionen X → R. Ist g(x) 6= 0∀x ∈ X,
dann ist auch g1 : X → R stetig. Ferner sind
|f |, max(f, g) und min(f, g) stetig.
6) Hilfssatz: Seien (V, k · kV ), (kW, k · kW ) normierte VRe. V sei endlich-dimensional. Sei
f : V → W eine lin. Abb. Dann ex. ein c > 0,
so dass gilt:
kf (x)kW ≤ c · kxkV ∀x ∈ V .
2
7) Hilfssatz: Aus der Lipschitz-Bedingung:
∃L > 0 : ∀x, x0 ∈ X : dy (f (x), f (x0 )) ≤
L · dX (x, x0 )
folgt Stetigkeit.
8) Satz: Lin. Abb. zweischen endlich-dim. Vektorräumen sind stetig.
9) Satz: Sei f : X → Y Abb. f stetig ⇔ ∀B ⊂
Y, B offene Teilmenge: f −1 (B) ist offen.
10) Folgerung: ,→ Satz aus 9) für abgeschlossene Mengen.
7. Kompaktheit
1) Definition: Sei (X, d) metrischer Raum.
K ⊂ X kompakt ⇔ ∀(xk ) ⊂ K : ∃ konvergente Teilfolge: limj→∞ xkj ∈ K.
2) Hilfssatz: Kompakte Teilmengen von R sind
beschränkt. Sie besitzen ein größtes und
kleinstes Element.
3) Satz: Sei f : X → V eine stetige Abb. Dann
ist das Bild jeder kompakten Teilmenge von
X auch kompakt.
4) Folgerung: Sei f : X → R stetig und K ⊂
X kompakt. Dann existieren max f (K) und
min f (K).
5) Satz: Sei K ⊂ X eine kompakte Teilmenge eines metr. Raumes X. Dann ist K eine
abgeschlossene Menge. Abgeschlossene Teilmengen von K sind kompakt.
6) Definition: Beschränkte Teilmenge eines
normierten VRes (kxk ≤ M ∀x)
7) Satz: Kompakte Teilmengen eines normierten VRes sind abgeschlossen und beschränkt
8-9) Satz: Eine Teilmenge eines endlich-dim. normierten VRes ist genau dann kompakt, wenn
sie abgeschlossen und beschränkt ist.
8. Vollständigkeit
1) Definition: (X, d) sei metrischer Raum.
Cauchy-Folge (Xk ) ⊂ X: ∀ > 0 : ∃N ∈ N :
∀k, i ∈ N, k, i > N : d(xk , xi ) < 2) Hilfssatz: Konvergente Folgen sind CauchyFolgen
3) Definition: Ein metrischer Raum heißt
vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge
konvergiert. (Bsp.: R ist vollständig, Q nicht)
4) Satz: Kompakte metrische Räume sind
vollständig.
5) Satz: Endlisch-dim. normierte VRe sind
vollständig.
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Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
6) Satz: Sei A ∈ Rn P
mit kAkZ < 1. Dann exisk
tiert (I − A)−1 = ∞
k=0 A .
7) Hilfssatz: Für A, B ∈ Rn×n gilt: kABkZ ≤
kAkZ · kBkZ .
8) Satz: (Majorantenkriterium) Sei (V,
P∞k · k) ein
vollst. normierter VR.
PEine Reihe k=0 ak in
V konvergiert, falls ∞
k=0 kak k < ∞.
9. Partielle Ableitungen
1) Definition: Partielle Diff’barkeit
2) Satz: An Extremstellen einer Funktion U →
Rn sind die partiellen Ableitungen 0.
3) Definition: Gradient als Zeilenvektor der
partiellen Ableitungen (sofern sie existieren)
10. Differenzierbare Funktionen
1) Definition: Häufungspunkt: Sei A ⊂ Rn . a
HP von A ⇔ a ∈ A \ {a}
2) Definition: Sei ∅ 6= U ⊂ Rn offen, f : U →
R eine Funktion. f heißt differenzierbar in
a, wenn es eine lin. Abb. L : Rn → R gibt
(a)−L(x−a)
derart, dass: limx→a f (x)−fkx−ak
= 0.
dfa := L heißt Differenzial oder Ableitung
von f bei a.
3) Hilfssatz: Die Ableitung ist (falls sie existiert) eindeutig bestimmt.
4) Die partiellen Ableitungen sind die Komponenten eines Kandidaten“ für die richtige“
”
”
Ableitung.
5) Hilfssatz: Sei f : U → R diff’bar in
a ∈ U, U ⊂ Rn offen, v ∈ Rn . Dann ist
g :]−δ, δ[→ R, g(t) = f (a + tv) für ein δ > 0
definiert, diff’bar in 0 mit g 0 (0) = f 0 (a)v(=
dfa (v)).
6) Satz: Diff’barkeit impliziert Stetigkeit
7) Existieren zu einer Funktion f : U ⊂ Rn →
R die partiellen Ableitungen und sind diese
stetig, so ist f diff’bar.
Tangentialebene: Ta (f
1 , . . . , xn , y) ∈
P)n= {(x
∂f
n
R × R | y = f (a) + j=1 ∂xj (a) · (xj − aj )}
8) Die Richtungsableitung ∂v f (a) einer Funktion f : Rn → R mit ∇f (a) 6= 0, kvk2 = 1 ist
am größten, wenn v = λ∇f (a) mit λ > 0.
11. Höhere partielle Ableitungen / Taylorformel
1) Satz:
über
Diff’reihenfolge
Vertauschbarkeit
der
2) Definition: Eine k − mal stetig diff’bare
Funktion (in einer Umgebung U , für k ∈
N heißt C k -Funktion. C k (U ) bezeichnet den
Vektorraum aller C k -Funktionen auf U .
3) Definition: Für a, b ∈ R heißt die Teilmenge
[a, b] := {λ + (1 − λ)a | 0 ≤ λ ≤ 1} ⊂ Rn die
Strecke zwischen a und b.
Definition von konvex, sternförmig
4) Satz: Sei U ⊂ Rn offen und sternförmig bzgl.
U . Sei f ∈ C 1 . Es gilt:
∀x
Pn ∈ U : ∃ζ ∈ [a, x] : f (x) − f (a) =
j=1 ∂j f (ζ)(xj − aj ) = h∇f (ζ), x − ai
6) Definition: Laundau’sche O-Notation
8) Definition: Hesse-Matrix (symmetrisch
nach 11.1 ⇒ diagonalisierbar)
9) Satz: Seien U ⊂ Rn offen und f ∈ C 2 (U ).
Sei a ∈ U mit ∇f (a) = 0 und Hf (a) positiv
definit. Dann liegt in a ein striktes lokales
Minimum vor, d. h. es gibt eine Umgebung
um a, deren Funktionswerte alle größer sind
als f (a).
5,7,10) Sei f : Rn → R m + 1-mal stetig diff’bar in
einer Umgebund von a ∈ Rn . Dann gilt die
allg. Taylorformel:
f (x) =
X 1
∂ α f (a)(x − a)α
α!
a∈Nn
0
|α|≤m
+O(kx − akm+1 ) für x → a.
12. Ableitungen von Abbildungen
1) Definition: Sei U ⊂ X offen, f : U → Y eine
Abbildung. f heißt diff’bar in einem Punkt
a ∈ U , wenn es eine lin. Abb. L ∈ Hom(X, Y )
gibt mit:
kf (a + h) − f (a) − L(h)kY = o(khkX ) für
x → 0.
df (a) := L heißt das Differenzial von f in a.
Eindeutigkeit wie in 10.3 zu zeigen.
2) Diff’barkeit impliziert Stetigkeit
3) f : U ⊂ Rn → Rm mit Komponentenfunktionen f1 , . . . , fm . Es gilt: f diff’bar in
a ∈ U ⇔ f1 , . . . , fm diff’bar in a ∈ U .
Das Differenzial df (a) hat folgende Darstellungsmatrix:


∂1 f1 . . . ∂n f1
 ..
.. 
 .
. 
∂1 fm . . . ∂n fm
4) Definition: Die Matrix aus 12.3 heißt
Jacobi-Matrix oder Ableitung von f in a.
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Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten. Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise
verantwortlich. Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation
entstanden.
5) Satz: (Linearität der Ableitung)
Seien f, g : U → Y diff’bar in a ∈ U, α, β ∈
R. Dann gilt: d(αf + βg)(a) = αdf (a) +
βdg(a).
6) Satz: (Kettenregel)
Kurz (unter entsprechenden Voraussetzungen): d(f ◦ g)(a) = df (g(a)) ◦ dg(a).
7) Satz: (Produktregel)
d(f · g)(a) = f (a) · dg(a) + g(a) · df (a).
13. Der Schrankensatz
Der Mittelwertsatz gilt nicht mehr für diff’bare
Abbildungen. Wichtig ist oft folgende Konsequenz
des MWSs:
|f (b) − f (a)| ≤ M |b − a| mit M
=
supx∈[a,b] |f 0 (x) < ∞ (wenn f beschränkt)
1) Satz: L(X, Y ) := Hom(X, Y ) bilden einen
normierten VR mit der Norm: kf kL(X,Y ) :=
sup{kf (x)kY | x ∈ X, kxkX ≤ 1}.
2) Definition: Die Norm aus (13.1) heißt Operatornorm.
3) Satz: (Schrankensatz)
Sei U ⊂ X offen, f : U → Y eine C 1 -Abb.,
x1 , x2 ∈ U mit [x1 , x2 ] ⊂ U . Dann gilt:
kf (x2 ) − f (x1 )kY ≤ M kx2 − x1 kX , wobei
M := supx∈[x1 ,x2 ] kdf (x)kL(X,Y ) < ∞.
4) Hilfssatz: (Spezialfall X = R) Sei δ > 0, g :
] − δ, 1 + δ[→ Y stetig diff’bar. Dann gilt:
kg(1) − g(0)kY ≤ sup0≤t≤1 kdg(t)kL(R,Y ) .
5) Folgerung: Sei U ⊂ X offen, K ⊂ U kompakt und konvex, f : U → Y stetig diff’bar.
Dann ist f Lipschitz-stetig, d.h. kf (x2 ) −
f (x1 )kY ≤ M kx2 − x1 kX ∀x1 , x2 ∈ K.
14. Implizite Funktionen
Motivation: Gesucht sind die Nullstellen einer
Funktion f : R2 → R, d. h. f (x, y) = 0. Die Nullstellenmenge Nf = {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) = 0}
hat i. A. eine komplizierte Gestalt. Problem: Wie
bestimmt man nun bspw. min(x,y)∈Nf φ(x, y) für
φ : R2 → R?
1) Satz: (Spezialfall)
Sei U ⊂ R2 offen, f : U → R stetig
diff’bar, (x0 , y0 ) ∈ U mit f (x0 , y0 ) = 0 und
∂y f (x0 , y0 ) 6= 0. Dann existieren 0 < δ ≤ r
und eine C 1 -Funktion g :]x0 − δ, x0 + δ[→
]y0 − r, y0 + r[, so dass gilt:
W :=]x0 − δ, x0 + δ[×]y0 − r, y0 + r[⊂ U und
∀(x, y) ∈ W : (f (x, y) = 0 ↔ y = g(x)).
4
2) Satz: (von impliziten Funktionen)
Sei U ⊂ Rn × Rm offen, (x0 , y0 ) ∈ U , f :
U → Rm , (x, y) → f (x, y) stetig diff’bar
in
U mit f (x
0 , y0 ) = 0. Die m × m-Matrix
∂fi
sei invertierbar. Dann
∂yi (x0 , y0 )
i,j=1,...,m
existieren offene Umgebungen V ⊂ Rn und
W ⊂ Rm von x0 bzw. von y und eine C 1 Abb. g : V → W derart, dass gilt: ∀(x, y) ∈
V × W : (f (x, y) = 0 ↔ y = g(x)).
3) Definition: Diffeomoprhismus
4) Satz: (Umkehrsatz)
Sei φ : X → Y eine C 1 -Abb., U ⊂ X offen. Für einen Punkt a ∈ U gelte: dφ(a) ∈
L(X, Y ) ist invertierbar. Dann ex. eine offene
Umgebung U0 ⊂ U von a, so dass V = φ(U0 )
offen ist und φ ein Diffeomorphismus von U0
auf V ist.
5) Satz: (Banach’scher Fixpunktsatz)
Sei (X, d) metr. Raum, φ : X → X eine Abb.,
für die es eine Zahl 0 < α < 1 gibt, so dass
gilt: d(φ(x), φ(y)) ≤ α · d(x, y) ∀x, y ∈ X.
Dann ex. genau ein x ∈ X mit x = φ(x).
15. Extrema unter Nebenbedingungen
1) Satz: (Lagrange’sche Multiplikatorregel)
Es sei h diff’bar und f = (f1 , . . . , fm ) stetig diff’bar auf einer offenen Menge U ⊂ Rn .
Zu jedem Punkt x der Nullstellenmenge N =
{x ∈ U | f (x) = 0} habe die Matrix f 0 (x)
den Rang m. Dann gilt: Ist a ∈ N eine Maximumstelle für h auf N , dann ex. reelle Zahlen
λ1 , . . . , λm mit:
0 (a) = 0
h0 (a) + λ1 f10 (a) + . . . + λm fm
n
2) Hilfssatz: Sei 0 6= v ∈ R mit f 0 (a)v = 0.
Dann ex. eine C 1 -Abb.:
γ : K :=] − δ, δ[→ Rn mit γ(K) ⊂ N und
γ(0) = a, γ 0 (0) = v.
(γ ist eine in N verlaufende Kurve mit Tangentenrichtung v in a = γ(0).)
3) Hilfssatz: Seien A ∈ Rm×n und b ∈ R1×n
derart, dass für v ∈ Rn gilt: (Av = 0 ⇒
bv = 0. Dann ist b eine Linearkombination
der Zeilen von A.