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Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieurinnen und
Naturwissenschaftlerinnen
von
Hans-Jochen Bartsch
22., neu bearbeitete Auflage
Hanser München 2011
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 446 42910 9
Zu Inhaltsverzeichnis
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Leseprobe
Hans-Jochen Bartsch
Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieurinnen und
Naturwissenschaftlerinnen
ISBN: 978-3-446-42910-9
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© Carl Hanser Verlag, München
380
7 Funktionen
Komplementbeziehungen
π
π
sin x = cos
− x = cos x −
2
π2
π
cos x = sin
− x = sin x +
2
2
π
tan x = cot
−x
π2
−x
cot x = tan
2
D( f ) = R
D( f ) = R
D( f ) = R \
nπ
2
o
+ kπ , k ∈ Z
D( f ) = R \ {kπ } , k ∈ Z
Grundbeziehungen
(sin x ± cos x)2 = 1 ± sin 2x
x∈R
sin2 x + cos2 x = 1
Trigonometrischer P YTHAGORAS, x ∈ R
1
π
sin x
=
⇔ tan x · cot x = 1 x 6= k · , k ∈ Z
tan x =
cos x
cot x
2
1
π
1 + tan2 x =
x 6= + k · π
2
cos2 x
1
1 + cot2 x =
x 6= k · π
sin2 x
Graphen der Winkelfunktionen
Sinus- und Kosinusfunktion
Tangens- und Kotangensfunktion
7.6.4.2
Goniometrische Beziehungen
Additionstheoreme
sin(x1 ± x2 ) = sin x1 cos x2 ± cos x1 sin x2
cos(x1 ± x2 ) = cos x1 cos x2 ∓ sin x1 sin x2
tan x1 ± tan x2
sin(x1 ± x2 )
tan(x1 ± x2 ) =
=
1 ∓ tan x1 tan x2
cos(x1 ± x2 )
cot x1 cot x2 ∓ 1
cos(x1 ± x2 )
cot(x1 ± x2 ) =
=
cot x2 ± cot x1
sin(x1 ± x2 )
7.6 Nichtrationale Funktionen
381
sin(x1 + x2 ) sin(x1 − x2 ) = cos2 x2 − cos2 x1
cos(x1 + x2 ) cos(x1 − x2 ) = cos2 x2 − sin2 x1
Doppelte und halbe Winkel
sin 2x = 2 sin x cos x =
2 tan x
1 + tan2 x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1 =
2 tan x
=
1 − tan2 x
cot2 x − 1
cot 2x =
=
2 cot x
r
x
1 − cos x
sin = ±
2
2
r
1 − cos x
x
tan = ±
2
1 + cos x
r
x
1 + cos x
cot = ±
2
1 − cos x
tan 2x =
1 − tan2 x
1 + tan2 x
2
cot x − tan x
cot x − tan x
2
r
x
1 + cos x
cos = ±
2
2
1 − cos x
sin x
=
=
sin x
1 + cos x
1 + cos x
sin x
=
=
sin x
1 − cos x
Terme von weiteren Vielfachen eines Winkels
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x
sin 4x = 8 sin x cos3 x − 4 sin x cos x
sin 5x = 16 sin x cos4 x − 12 sin x cos2 x + sin x
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1
cos 5x = 16 cos5 x − 20 cos3 x + 5 cos x
sin nx = n sin x cosn−1 x
n
n
3
n−3
−
sin x cos
x+
sin5 x cosn−5 x − + . . .
3
5
n
n
n
2
n−2
cos nx = cos x −
sin x cos
x+
sin4 x cosn−4 x − + . . .
2
4
3 tan x − tan3 x
1 − 3 tan2 x
cot3 x − 3 cot x
cot 3x =
3 cot2 x − 1
tan 3x =
4 tan x − tan3 x
1 − 6 tan2 x + tan4 x
cot4 x − 6 cot2 x + 1
cot 4x =
4 cot3 x − 4 cot x
tan 4x =
7
382
7 Funktionen
Summen und Differenzen von trigonometrischen Termen
x1 ± x2
x ∓ x2
cos 1
2
2
x + x2
x − x2
cos x1 + cos x2 = 2 cos 1
cos 1
2
2
x + x2
x − x2
cos x1 − cos x2 = −2 sin 1
sin 1
2
2
π
√
π
√
± x = 2 cos
∓x
cos x ± sin x = 2 sin
4
4
sin(x1 ± x2 )
tan x1 ± tan x2 =
cos x1 cos x2
sin x1 ± sin x2 = 2 sin
cot x1 ± cot x2 =
sin(x1 ± x2 )
sin x1 sin x2
Produkte von trigonometrischen Termen
1
cos(x1 − x2 ) − cos(x1 + x2 )
2
1
cos x1 cos x2 =
cos(x1 − x2 ) + cos(x1 + x2 )
2
1
sin x1 cos x2 =
sin(x1 − x2 ) + sin(x1 + x2 )
2
tan x1 + tan x2
tan x1 − tan x2
tan x1 tan x2 =
=−
cot x1 + cot x2
cot x1 − cot x2
sin x1 sin x2 =
cot x1 cot x2 =
cot x1 + cot x2
cot x1 − cot x2
=−
tan x1 + tan x2
tan x1 − tan x2
tan x1 + cot x2
tan x1 − cot x2
=−
cot x1 + tan x2
cot x1 − tan x2
1
sin x1 sin x2 sin x3 =
sin(x1 + x2 − x3 ) + sin(x2 + x3 − x1 )
4
+ sin(x3 + x1 − x2 ) − sin(x1 + x2 + x3 )
1
cos x1 cos x2 cos x3 =
cos(x1 + x2 − x3 ) + cos(x2 + x3 − x1 )
4
+ cos(x3 + x1 − x2 ) + cos(x1 + x2 + x3 )
1
sin x1 sin x2 cos x3 =
− cos(x1 + x2 − x3 ) + cos(x2 + x3 − x1 )
4
+ cos(x3 + x1 − x2 ) − cos(x1 + x2 + x3 )
tan x1 cot x2 =
7.6 Nichtrationale Funktionen
sin x1 cos x2 cos x3 =
383
1
sin(x1 + x2 − x3 ) − sin(x2 + x3 − x1 )
4
+ sin(x3 + x1 − x2 ) + sin(x1 + x2 + x3 )
Potenzen von trigonometrischen Termen
1
1
sin2 x = (1 − cos 2x)
cos2 x = (1 + cos 2x)
2
2
1 − cos 2x
tan2 x =
1 + cos 2x
1
1
sin3 x = (3 sin x − sin 3x)
cos3 x = (3 cos x + cos 3x)
4
4
1
sin4 x = (cos 4x − 4 cos 2x + 3)
8
1
cos4 x = (cos 4x + 4 cos 2x + 3)
8
1
sin5 x = (10 sin x − 5 sin 3x + sin 5x)
16
1
cos5 x = (10 cos x + 5 cos 3x + cos 5x)
16
1
sin6 x = (10 − 15 cos 2x + 6 cos 4x − cos 6x)
32
1
cos6 x = (10 + 15 cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x)
32
Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der
Exponentialfunktion (E ULERsche Formel)
e jx = cos x + j sin x
x∈R
e− jx = cos x − j sin x
Hieraus:
sin x =
e jx − e− jx
2j
cos x =
e jx + e− jx
2
e jx − e− jx
e jx + e− jx
sin x = − j · sinh jx
e jx + e− jx
e jx − e− jx
cos x = cosh jx
tan x = − j · tanh jx
cot x = j · coth jx
tan x = − j
cot x = j
(Hyperbelfunktionen siehe 7.6.6)
x 6= 0
7