Kommunikationsalgorithmus RSA

Kommunikationsalgorithmus RSA
Herr Maue
Ergänzungsfach Informatik
Neue Kantonsschule Aarau
Früjahrsemester 2015
24.04.2015
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
1 / 26
Programm heute
1. Verschlüsselungsverfahren
2. Symmetrische Kryptographie
3. Public-Key-Kryptographie
4. Kryptosystem RSA
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
2 / 26
Verschlüsselungsverfahren
Verschlüsselte Kommunikation
Kryptographie
I
Wissenschaft von der Verschlüsselung von Informationen
Protokoll
I
Kommunikationsalgorithmus
Kryptosystem
I
Verschlüsselungsverfahren
I
Entwurf und Kryptoanalyse
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
3 / 26
Verschlüsselungsverfahren
Verschlüsselte Kommunikation
Kryptographie
I
Wissenschaft von der Verschlüsselung von Informationen
Protokoll
I
Kommunikationsalgorithmus
Kryptosystem
I
Verschlüsselungsverfahren
I
Entwurf und Kryptoanalyse
Weitere kryptographische Anwendungen
I
Authentifizierung
I
Digitale Signatur
I
Geheimnisteilung
I
...
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
3 / 26
Verschlüsselungsverfahren
Verschlüsselte Kommunikation
Kryptographie
I
Wissenschaft von der Verschlüsselung von Informationen
Protokoll
I
Kommunikationsalgorithmus
Kryptosystem
I
Verschlüsselungsverfahren
I
Entwurf und Kryptoanalyse
Weitere kryptographische Anwendungen
I
Authentifizierung
I
Digitale Signatur
I
Geheimnisteilung
I
...
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
3 / 26
Verschlüsselungsverfahren
Kommunikationsschema
Alice
Schlüssel
Klartext
Klartext
Verschlüsselung
Entschlüsselung
Kryptotext
EFI (Hr. Maue)
Übertragung
Kryptographie
Bob
Schlüssel
Kryptotext
24.04.2015
4 / 26
Verschlüsselungsverfahren
Kommunikationsschema
Alice
Klartext
Eve
Klartext
Bob
Kryptotext
Schlüssel
Verschlüsselung
Kryptotext
EFI (Hr. Maue)
Entschlüsselung
Übertragung
Kryptographie
Schlüssel
Kryptotext
24.04.2015
4 / 26
Verschlüsselungsverfahren
Beispiel: Kryptotext
HFWHHGH WA ACFUSBFCH ROVSF
GSV WQV RWQV WA GHFOVZSBASSF
RWQV RI VCQVSFVOPSBSF VSFFZWQVSF
KSBB RSF OZDSBTWFB RWQV FCSHSH
PSHSH TFSWS GQVKSWNSF PSHSH
SIFS TFCAAS GSSZS OVBH
UCHH WA VSVFSB JOHSFZOBR
UCHH RSB VSFFB WA VSVFSB JOHSFZOBR
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
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Verschlüsselungsverfahren
Beispiel: Klartext
TRITTST IM MORGENROT DAHER
SEH ICH DICH IM STRAHLENMEER
DICH DU HOCHERHABENER HERRLICHER
WENN DER ALPENFIRN DICH ROETET
BETET FREIE SCHWEIZER BETET
EURE FROMME SEELE AHNT
GOTT IM HEHREN VATERLAND
GOTT DEN HERRN IM HEHREN VATERLAND
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
6 / 26
Symmetrische Kryptographie
Exkurs
Teilen mit Rest
I
Primarstufe: 11 : 4 = 2 (Rest 3)
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
7 / 26
Symmetrische Kryptographie
Exkurs
Teilen mit Rest
I
Primarstufe: 11 : 4 = 2 (Rest 3)
I
Sekundarstufe II: 11 mod 4 = 3 ( 11 modulo 4 gleich 3“)
”
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
7 / 26
Symmetrische Kryptographie
Exkurs
Teilen mit Rest
I
Primarstufe: 11 : 4 = 2 (Rest 3)
I
Sekundarstufe II: 11 mod 4 = 3 ( 11 modulo 4 gleich 3“)
”
Anders ausgedrückt: 11 = 2 · 4 + 3
I
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
7 / 26
Symmetrische Kryptographie
Exkurs
Teilen mit Rest
I
Primarstufe: 11 : 4 = 2 (Rest 3)
I
Sekundarstufe II: 11 mod 4 = 3 ( 11 modulo 4 gleich 3“)
”
Anders ausgedrückt: 11 = 2 · 4 + 3
I
Modulo-Rechnung
Gegeben sind ganze Zahlen n und m > 0 sowie r < m. Wir sagen
n mod m = r , falls es eine ganze Zahl k ≥ 0 gibt mit n = k · m + r .
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
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Symmetrische Kryptographie
Kryptosystem Caesar
Klartextalphabet
Aclear = {A, B, C , . . . , Z }
Kryptotextalphabet
Acrypt = {A, B, C , . . . , Z }
Schüsselmenge
S = Z26 = {0, 1, 2, . . . , 25}
Verschlüsselung
Für einen gegebenen Schlüssel s ∈ S wird jeder Buchstabe x im Klartext ersetzt durch den Buchstaben
y = (x + s) mod 26.
Entschlüsselung
Für einen gegebenen Schlüssel s ∈ S wird jeder Buchstabe y im Kryptotext ersetzt durch den Buchstaben
x = (y + 26 − s) mod 26.
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
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Symmetrische Kryptographie
Kryptosystem Permutation 1
Klartextalphabet
Aclear = {A, B, C , . . . , Z }
Kryptotextalphabet
Acrypt = {A, B, C , . . . , Z }
Schüsselmenge
Menge aller Permutationen über {A, B, C , . . . , Z }
Verschlüsselung
Für eine gegebene Permutation
π : {A, B, C , . . . , Z } → {A, B, C , . . . , Z } wird jeder
Buchstabe x im Klartext ersetzt durch π(x).
Entschlüsselung
Für eine gegebene Permutation
π : {A, B, C , . . . , Z } → {A, B, C , . . . , Z } wird jeder
Buchstabe y im Kryptotext ersetzt durch π −1 (y ).
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
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Symmetrische Kryptographie
Kryptosystem Permutation 2
Eigenschaften
I
grosse Schlüsselzahl (|S| = 26!)
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
10 / 26
Symmetrische Kryptographie
Kryptosystem Permutation 2
Eigenschaften
I
grosse Schlüsselzahl (|S| = 26!)
I
gleicher Buchstabe im Klartext wird unabhängig von der Position auf
gleichen Buchstaben abgebildet
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
10 / 26
Symmetrische Kryptographie
Kryptosystem Permutation 2
Eigenschaften
I
grosse Schlüsselzahl (|S| = 26!)
I
gleicher Buchstabe im Klartext wird unabhängig von der Position auf
gleichen Buchstaben abgebildet
I
Kryptoanalyse mittels Häufigkeitsanalyse
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
10 / 26
Symmetrische Kryptographie
Häufigkeitsanalyse
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
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11 / 26
Symmetrische Kryptographie
Symmetrische Kryptosysteme
Eigenschaften
I
Gleicher Schlüssel für Ver-/Entschlüsselung
I
Schlüssel gemeinsames Geheimnis zwischen Sender/Empfänger
Problematik
I
Schlüsselverwaltung bei vielen Agenten
I
Sicherer Schlüsselaustausch
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
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Public-Key-Kryptographie
Öffentlicher Schlüssel
Öffentlicher Schlüssel
Alice
Klartext
Eve
Klartext
Bob
Kryptotext
Schlüssel
Verschlüsselung
Kryptotext
EFI (Hr. Maue)
Entschlüsselung
Übertragung
Kryptographie
Privater
Schlüssel
Kryptotext
24.04.2015
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Public-Key-Kryptographie
Öffentlicher Schlüssel
Öffentlicher Schlüssel
Alice
Klartext
Eve
Klartext
Bob
Kryptotext
Schlüssel
Verschlüsselung
Kryptotext
Entschlüsselung
Übertragung
Privater
Schlüssel
Kryptotext
Anforderungen
I
Alice: Verschlüsselung effizient
I
Eve: Entschlüsselung nicht effizient
I
Bob: Entschlüsselung mit Zusatzinformation effizient
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
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Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion 1
Anforderungen an Einwegfunktion f
I
f ist effizient berechenbar
I
f −1 ist nicht effizient berechenbar
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
14 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion 1
Anforderungen an Einwegfunktion f
I
f ist effizient berechenbar
I
f −1 ist nicht effizient berechenbar
Damit:
I
Alice: Berechnung Kryptotext y := f (x) aus Klartext x
I
Versenden von y in öffentlichem Netz
I
Eve: Klartext f −1 (y ) nicht effizient ermittelbar
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
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14 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion 2
Modulares Potenzieren
I
Gegeben: c ∈ N∗ , Primzahl p
I
Funktion: fc,p (a) = ac mod p
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
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Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion 2
Modulares Potenzieren
I
Gegeben: c ∈ N∗ , Primzahl p
I
Funktion: fc,p (a) = ac mod p
Aufgabe: Ermitteln Sie jeweils den Wert von a.
I
f2,11 (a) = 3
I
f3,19 (a) = 7
I
f26,103 (a) = 56
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
15 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion 2
Modulares Potenzieren
I
Gegeben: c ∈ N∗ , Primzahl p
I
Funktion: fc,p (a) = ac mod p
Aufgabe: Ermitteln Sie jeweils den Wert von a.
I
f2,11 (a) = 3
I
f3,19 (a) = 7
I
f26,103 (a) = 56
Allgemein
I
fc,p effizient berechenbar (Idee: x 8 = ((x 2 )2 )2 )
I
Kein effizienter Algorithmus für Umkehrfunktion bekannt
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
15 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion 2
Modulares Potenzieren
I
Gegeben: c ∈ N∗ , Primzahl p
I
Funktion: fc,p (a) = ac mod p
Aufgabe: Ermitteln Sie jeweils den Wert von a.
I
f2,11 (a) = 3
I
f3,19 (a) = 7
I
f26,103 (a) = 56
Allgemein
I
fc,p effizient berechenbar (Idee: x 8 = ((x 2 )2 )2 )
I
Kein effizienter Algorithmus für Umkehrfunktion bekannt
I
Problem: Bob kann Klartext nicht ermitteln
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
15 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 1
Anforderung an Einwegfunktion f mit Hintertür
I
f ist effizient berechenbar
I
f −1 ist nicht effizient berechenbar
I
Mit Hilfe eines Geheimnisses (Hintertür) zu f ist f −1 effizient
berechenbar
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
16 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 1
Anforderung an Einwegfunktion f mit Hintertür
I
f ist effizient berechenbar
I
f −1 ist nicht effizient berechenbar
I
Mit Hilfe eines Geheimnisses (Hintertür) zu f ist f −1 effizient
berechenbar
Damit:
I
Alice: Berechnung Kryptotext y := f (x) aus Klartext x
I
Versenden von y in öffentlichem Netz
I
Eve: Klartext f −1 (y ) nicht effizient ermittelbar
I
Bob: Klartext f −1 (y ) mit Hilfe von Hintertür effizient ermittelbar
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
16 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 2
Kryptosystem Dominate
I
Klartextalphabet: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
I
Öffentlicher Schlüssel: Graph mit n Knoten
Verschlüsselung
1. Klartext: Zahl k
2. Zerlegung von k in n Summanden
3. Beliebige Zuordnung der n Summanden zu n Knoten
4. Addiere zur Zahl jedes Knotens die Zahlen all seiner Nachbarn
5. Kryptotext: Graph mit Zahlen
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
17 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
Klartext 999, Graph mit n = 8 Knoten
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
999 = 77 + 39 + 123 + 264 + 96 + 133 + 67 + 200
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
Zuordnung der n Summanden zu n Knoten
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
Zuordnung der n Summanden zu n Knoten
77
123
39
264
96
67
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
133
200
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
Addiere zur Zahl jedes Knotens die Zahlen all seiner Nachbarn
77
123
39
264
96
67
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
133
200
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
Addiere zur Zahl jedes Knotens die Zahlen all seiner Nachbarn
239
531
454
345
468
654
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
268
364
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 3
Beispiel
I
Kryptotext: Graph mit Zahlen
239
531
454
345
468
654
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
268
364
24.04.2015
18 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 4
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
19 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 4
Privater Schlüssel: Exakte dominierende Menge
I
Menge D von Knoten, so dass jeder Knoten entweder in D enthalten
ist oder genau ein Element aus D als Nachbarn hat.
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
19 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 4
Privater Schlüssel: Exakte dominierende Menge
I
Menge D von Knoten, so dass jeder Knoten entweder in D enthalten
ist oder genau ein Element aus D als Nachbarn hat.
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
19 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 4
Entschlüsselung
I
Addiere die Zahlen aller Knoten in D
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
19 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 4
Entschlüsselung
I
Addiere die Zahlen aller Knoten in D
239
531
454
345
468
654
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
268
364
24.04.2015
19 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 4
Entschlüsselung
I
Addiere die Zahlen aller Knoten in D: 531 + 468 = 999
239
531
454
345
468
654
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
268
364
24.04.2015
19 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 5
Kryptosystem Dominate
I
Entschlüsselung korrekt
I
Aufbau: Graph mit exakter dominierender Menge effizient kontruierbar
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
20 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 5
Kryptosystem Dominate
I
Entschlüsselung korrekt
I
Aufbau: Graph mit exakter dominierender Menge effizient kontruierbar
Einwegfunktion mit Hintertür
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
20 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 5
Kryptosystem Dominate
I
Entschlüsselung korrekt
I
Aufbau: Graph mit exakter dominierender Menge effizient kontruierbar
Einwegfunktion mit Hintertür
I
Verschlüsselung effizient
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
20 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 5
Kryptosystem Dominate
I
Entschlüsselung korrekt
I
Aufbau: Graph mit exakter dominierender Menge effizient kontruierbar
Einwegfunktion mit Hintertür
I
Verschlüsselung effizient
I
Entschlüsselung effizient mit privatem Schlüssel
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
20 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 5
Kryptosystem Dominate
I
Entschlüsselung korrekt
I
Aufbau: Graph mit exakter dominierender Menge effizient kontruierbar
Einwegfunktion mit Hintertür
I
Verschlüsselung effizient
I
Entschlüsselung effizient mit privatem Schlüssel
I
Entschlüsselung ohne privaten Schlüssel?
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
20 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 6
Entschlüsselung ohne privaten Schlüssel?
I
Dominierende Menge: NP-schweres Problem
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
21 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 6
Entschlüsselung ohne privaten Schlüssel?
I
Dominierende Menge: NP-schweres Problem
I
Lineares Gleichungssystem mit n Variablen: 2n3 Operationen
2
Für n0 = 5000 000 · 2 3 :
I
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
Entschlüsselung
etwa 31.7 Jahre
24.04.2015
21 / 26
Public-Key-Kryptographie
Einwegfunktion mit Hintertür 6
Entschlüsselung ohne privaten Schlüssel?
I
Dominierende Menge: NP-schweres Problem
I
Lineares Gleichungssystem mit n Variablen: 2n3 Operationen
2
Für n0 = 5000 000 · 2 3 :
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
I
Entschlüsselung
etwa 31.7 Jahre
I
Speicherplatz
> 1011 Bits
I
Verschlüsselung n2
24.04.2015
21 / 26
Kryptosystem RSA
Einführung
Allgemeines
I
Standard in der Public-Key-Kryptographie
I
Einsatz zum Schlüsselaustausch
I
Entwickler: Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman
I
Turing-Award 2002
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
22 / 26
Kryptosystem RSA
Einführung
Allgemeines
I
Standard in der Public-Key-Kryptographie
I
Einsatz zum Schlüsselaustausch
I
Entwickler: Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman
I
Turing-Award 2002
Sicherheit
I
Einwegfunktion basiert auf Multiplikation
I
Umkehrfunktion benötigt Faktorisierung
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
22 / 26
Kryptosystem RSA
Aufbau
Aufbau durch Empfänger
1. Wähle zufällig zwei grosse Primzahlen p und q
2. Berechne n := p · q
3. Berechne ϕ(n) := (p − 1) · (q − 1)
4. Wähle zufällig eine grosse Zahl d ∈ Zn mit ggT(d, ϕ(n)) = 1
5. Berechne das Inverse e zu d, d.h. e mit (d · e) mod ϕ(n) = 1
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
23 / 26
Kryptosystem RSA
Aufbau
Aufbau durch Empfänger
1. Wähle zufällig zwei grosse Primzahlen p und q
2. Berechne n := p · q
3. Berechne ϕ(n) := (p − 1) · (q − 1)
4. Wähle zufällig eine grosse Zahl d ∈ Zn mit ggT(d, ϕ(n)) = 1
5. Berechne das Inverse e zu d, d.h. e mit (d · e) mod ϕ(n) = 1
Schlüsselpaar
I
Öffentlicher Schlüssel: (n, e)
I
Privater Schlüssel: (p, q, ϕ(n), d)
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
23 / 26
Kryptosystem RSA
Anwendung
Schlüsselpaar
I
Öffentlicher Schlüssel: (n, e)
I
Privater Schlüssel: (p, q, ϕ(n), d)
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
24 / 26
Kryptosystem RSA
Anwendung
Schlüsselpaar
I
Öffentlicher Schlüssel: (n, e)
I
Privater Schlüssel: (p, q, ϕ(n), d)
Verschlüsselung (Klartextalphabet {0, 1})
1. Zerlege den Klartext in Blöcke der Länge blog2 (n − 1) + 1c
2. Betrachte jeden Block als binäre Codierung einer Zahl w ∈ Zn
3. Für jeden Block w : Berechne Kryptotext c := w e mod n
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
24 / 26
Kryptosystem RSA
Anwendung
Schlüsselpaar
I
Öffentlicher Schlüssel: (n, e)
I
Privater Schlüssel: (p, q, ϕ(n), d)
Verschlüsselung (Klartextalphabet {0, 1})
1. Zerlege den Klartext in Blöcke der Länge blog2 (n − 1) + 1c
2. Betrachte jeden Block als binäre Codierung einer Zahl w ∈ Zn
3. Für jeden Block w : Berechne Kryptotext c := w e mod n
Entschlüsselung
I
Für jeden Kryptotextblock c: Berechne Klartextblock w := c d mod n
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
24 / 26
Kryptosystem RSA
Analyse
Effizienz
I
Aufbau: Multiplikation, Inverses berechnen
I
Ver-/Entschlüsselung: Modulares Potenzieren
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
25 / 26
Kryptosystem RSA
Analyse
Effizienz
I
Aufbau: Multiplikation, Inverses berechnen
I
Ver-/Entschlüsselung: Modulares Potenzieren
Korrektheit
I
Es gilt: (w e mod n)d mod n = (w e )d mod n = w ed mod n
I
Zu zeigen: w ed mod n = w
I
Beweis: Modulrechnung, Chinesischer Restsatz, Kleiner Satz von
Fermat
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
25 / 26
Kryptosystem RSA
Analyse
Effizienz
I
Aufbau: Multiplikation, Inverses berechnen
I
Ver-/Entschlüsselung: Modulares Potenzieren
Korrektheit
I
Es gilt: (w e mod n)d mod n = (w e )d mod n = w ed mod n
I
Zu zeigen: w ed mod n = w
I
Beweis: Modulrechnung, Chinesischer Restsatz, Kleiner Satz von
Fermat
Sicherheit
I
Kein effizienter Algorithmus für Faktorisierung bekannt
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
25 / 26
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Symmetrische Kryptosysteme
I
Gleicher Schlüssel für Sender/Empfänger
I
Problem des sicheren Schlüsselaustausches
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
26 / 26
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Symmetrische Kryptosysteme
I
Gleicher Schlüssel für Sender/Empfänger
I
Problem des sicheren Schlüsselaustausches
Public-Key-Kryptographie
I
Öffentlicher Schlüssel: Einwegfunktion
I
Privater Schlüssel: Hintertür
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
26 / 26
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Symmetrische Kryptosysteme
I
Gleicher Schlüssel für Sender/Empfänger
I
Problem des sicheren Schlüsselaustausches
Public-Key-Kryptographie
I
Öffentlicher Schlüssel: Einwegfunktion
I
Privater Schlüssel: Hintertür
Kryptosystem RSA
I
Standard zum Schlüsselaustausch
I
Sicherheit basiert auf Faktorisierung
EFI (Hr. Maue)
Kryptographie
24.04.2015
26 / 26