Blatt 11

Mathematisches Institut
Universität Münster
Priv.-Doz. Thilo Kuessner
3. Juli 2009
Algebra und Zahlentheorie, SS 2009, Aufgabenblatt 11
Aufgabe 1:
Ein ’Fixpunkt’ eines kryptographischen Verfahrens ist ein Klartext, dessen Verschlüsselung denselben Text ergibt, also Geheimtext=Klartext.
a) Beweisen Sie, dass die Cäsar-Verschlüsselung keine Fixpunkte hat.
b) Finden Sie alle Fixpunkte des RSA-Verfahrens für n = 15 und e = 3, also
für die Verschlüsselungsfunktion f (x) = x3 mod 15.
Aufgabe 2:
Zur Zeit verwendet man beim RSA-Verfahren Zahlen n mit 1024 Bits, also
pq = n < 21024 . Die Primzahlen p und q sollen deshalb kleiner sein als 2512 .
a) Wieviele Stellen dürfen die Primzahlen p und q höchstens haben, damit sie
kleiner sind als 2512 ?
b) Wieviele Prozent (ungefähr) der Zahlen < 2512 sind Primzahlen? (Eine Nachkommastelle genügt.)
Hinweis: Nach dem Primzahlsatz ist die Anzahl von Primzahlen kleiner x nähex
rungsweise ln(x)
.
Aufgabe 3:
RSA-Verfahren: Sei n = 851 und e = 65 = 26 + 1 der öffentliche Schlüssel
eines RSA-Teilnehmers.
a) Verschlüsseln Sie den Klartext 537.
b) Faktorisieren Sie n als Produkt von Primzahlen.
c) Bestimmen Sie d ∈ N mit ed ≡ 1 mod φ (n).
d) Entschlüsseln Sie den Geheimtext 2.
Hinweis: Um mit SAGE z.B 5372 mod 851 zu berechnen, geben Sie 537∧2%851
ein.
Aufgabe 4:
a) Wandeln Sie mit dem ASCII-Code das Wort ’ZAHLEN’ in eine Folge von
Dezimalzahlen um.
b) Wandeln Sie die Folge aus a) in eine Folge 8-stelliger Binärzahlen um.
c) Verschlüsseln Sie die Folge aus a) mit dem RSA-Verfahren und dem öffentlichen Schlüssel n = 15, e = 3.
d) Warum ist n = 15 für die Verschlüsselung von Texten ungeeignet?
Abgabe 14. Juli 2009, 12:15 Uhr.