Einführung in Kryptographie SS 2012 Heimübungszettel 1
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Prof. Dr. Johannes Blömer
Paul Wolf
2.4.2012
Abgabe: 16.4.2012
Einführung in Kryptographie
SS 2012
Heimübungszettel 1
AUFGABE 1 (8 Punkte):
a) Geben Sie ein Beispiel für ein Kryptosystem an, dessen Verschlüsselungsfunktionen
zwar injektiv aber nicht surjektiv sind.
b) Betrachten Sie ein Kryptosystem mit |P| = m und |C| = k, wobei m < k. Wie viele
verschiedene Verschlüsselungsfunktionen kann dieses Kryptosystem höchstens besitzen?
AUFGABE 2 (6 Punkte):
Berechnen Sie die folgenden Werte
a) 1243 mod 45
b) −1243 mod 45
c) −45 mod 1243
d) ggT(ggT(1547, 455), 39)
e) ggT(235, 124)
f) Benutzen Sie den erweiterten Euklidischen Algorithmus, um x, y ∈ Z mit ggT(235, 124) =
235x + 124y bestimmen.
Lösungen ohne ersichtlichen Rechenweg geben keine Punkte!
AUFGABE 3 (4 Punkte):
Wir betrachten die folgende affin-lineare Verallgemeinerung der Caesar-Chiffre: Zu zwei geheimen Zahlen a, b wird ein Buchstabe x mit Hilfe der Vorschrift
x 7→ (ax + b) mod 26
verschlüsselt. Dabei identifizieren wir die Buchstabenmenge {A, B, . . . , Z} mit den Elementen
des Ringes Z26 . Die Verschlüsselung einer langen Nachricht entsteht dadurch, dass Zeichen für
Zeichen die Verschlüsselung der Buchstaben hintereinander geschrieben wird. Seien a = 11
und b = 4. Entschlüsseln Sie den Geheimtext “SQF”.
AUFGABE 4
1 2
Sei A = 4 5
7 8
(8 Punkte):
3
2 2 3
3×3
6 ∈ Z3×3 und sei B = 1 1 1 ∈ Z26
.
0
3 0 2
1 2 3
2 2 3
3×3
Sei weiterhin C = 4 5 6 ∈ Q3×3 und D = 1 1 1 ∈ Z30
.
7 8 0
3 0 2
Geben Sie, wenn möglich, die multiplikativ Inversen der Matrizen A, B, C, D an oder begründen Sie, warum diese nicht existieren.
AUFGABE 5 (8 Punkte):
a) Wir betrachten das Hill-Kryptosystem mit P = C = Z26 . Wie groß ist der Schlüsselraum
K?
b) Zeigen Sie: Hill-Chiffren sind nicht sicher gegen Chosen-Plaintext-Attacken. Wieviele
Klartext-Chiffretext-Paare werden dabei benötigt um den verwendeten Schlüssel eindeutig zu identifizieren?
c) Sie haben die Klartext-Chiffretext-Paare (DER, MQT), (UND, DLN), (GUT, VAL),
sowie den Geheimtext “WZAGWV” abgefangen. Entschlüsseln Sie den Geheimtext
unter der Annahme, dass das Hill-Kryptosystem mit P = C = Z326 verwendet wurde.
