¨Ubung zu “Formale Aspekte der Software

Universität Duisburg-Essen
Ingenieurwissenschaften/Informatik
Prof. Barbara König
Sebastian Küpper
SS 2015
Aufgabenblatt 1
13. April 2015
Übung zu “Formale Aspekte der Software-Sicherheit und
Kryptographie”
Dieses Übungsblatt wird am Montag, den 20. April, von 10:00–12:00 Uhr im Raum LE 120
besprochen.
Aufgabe 1
Produkt von Kryptosystemen
Es sollen zwei gegebene Kryptosysteme (Kryptosystem 1 und Kryptosystem 2) zu einem
neuen Kryptosystem kombiniert werden. Dabei soll die Verschlüsselung in dem neuen
System so erfolgen, dass zuerst mit Kryptosystem 1 und anschließend mit Kryptosystem 2 verschlüsselt wird.
• Welche Bedingungen müssen zwei Kryptosysteme erfüllen, damit sie kombiniert
werden können?
• Wie sehen die Komponenten des neuen Kryptosystems aus? (Definieren Sie möglichst
genau die einzelnen Komponenten: Menge der Nachrichten, Menge der verschlüsselten Nachrichten, Schlüsselpaare, Ver- und Entschlüsselungsfunktion).
• Weisen Sie nach, dass das von Ihnen definierte neue Kryptosystem korrekt ist.
(D.h., Verschlüsselung, gefolgt von Entschlüsselung, ergibt wieder die ursprüngliche
Nachricht.)
Aufgabe 2
Wahrscheinlichkeitstheorie
Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {0, 1}n (Menge aller Nachrichten der
Länge n), wobei die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse gleich sind, d.h.,
1
P (x) = |Ω|
für jedes x ∈ Ω.
(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht genau zwei Einsen enthält?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht mindestens zwei Einsen
enthält?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht mit m Einsen beginnt und
das Zeichen an der Stelle m + 1 eine Null ist?
(Diese Frage macht natürlich nur dann Sinn, wenn n > m gilt.)
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht mit gerade vielen Einsen
beginnt und das jeweils nächste Zeichen eine Null ist?
(f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht mit genau einer Eins,
gefolgt von einer Null, beginnt, vorausgesetzt dass sie mindestens eine Eins enthält?
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht mindestens eine Eins enthält,
vorausgesetzt dass sie mit genau einer Eins, gefolgt von einer Null, beginnt?
Beschreiben Sie die Ereignisse auch mit Hilfe einer Zufallsvariable.
Aufgabe 3
One-Time-Pad
Um die Bedeutung des Begriffs Perfekte Sicherheit“ zu verdeutlichen, betrachten wir in
”
dieser Aufgabe eine Variation des One-Time-Pad-Verschlüsselungssystems. Wir wollen
Worte der deutschen Sprache verschlüsseln. Hierzu betrachten wir eine Zuordnung des
Alphabets zu Zahlen. Der Leerzeichen erhält den Wert 0, der Buchstabe a“ den Wert 1,
”
der Buchstabe b“ den Wert 2, ... und der Buchstabe z“ den Wert 26. Wir verschlüsseln
”
”
nun ein Wort w mit einem Schlüssel k, indem wir, beginnend beim ersten Buchstaben
des Wortes, den Wert eines jeden Buchstaben im Wort mit dem Wert des Buchstaben
an der gleichen Stelle im Schlüssel addieren und das Ergebnis modulo 27 wieder in
einen Buchstaben übersetzen. Verschlüsseln wir beispielsweise das Wort aes“ mit dem
”
Schlüssel key“, erhalten wir das Wort ljr“.
”
”
(a) Verschlüsseln Sie das Wort primfaktor“ mit dem Schlüssel vutmdjtuz “. Bitte
”
”
beachten Sie, dass das letzte Zeichen des Schlüssels ein Leerzeichen ist.
(b) Welchen Schlüssel müssten Sie verwenden, damit das Wort sicherheit“ mit dem
”
gleichen Code verschlüsselt wird?
(c) Angenommen, Sie haben zwei hinreichend lange deutschsprachige Texte gegeben,
von denen Sie wissen, dass sie mit dem gleichen Schlüssel und der oben beschriebenen Variante des One-Time-Pads verschlüsselt wurden. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem Sie Informationen über den verschlüsselten Text erhalten können.
Aufgabe 4
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Es seien im Folgenden A, B Ereignisse.
(a) Welche Bedingungen müssen A und B erfüllen, damit für alle Ereignisse C gilt:
(i) P (A ∪ B | C) = P (A | C) + P (B | C)
(ii) P (A ∪ B | C) = P (A | C)
(iii) P (A ∪ B | C) = 1
(b) Wie lässt sich P (A ∪ B | C) in einer Formel ausdrücken, die kein ∪ enthält?
(c) Sei nun ein Ereignis C fix gewählt, was muss gelten damit P (A∪B | C) = P (A∪B)
richtig ist?
Geben Sie jeweils die schwächsten Bedinungen an und begründen Sie alle Ihre Antworten!
2