Musterlösung

Wintersemester 10/11
Analysis für Informatiker (Prof. Dr. Bürgisser)
M u s t e r l ö s u n g
z u Ü b u n g s b l a t t 7
Aufgabe 28: (RSA, 5 Punkte)
Seien p = 13, q = 7, d = 47, n = pq.
• Zeigen Sie, dass (p, q, d) ein privater RSA-Schlüssel ist, d.h. d < ϕ(n) und
ggT(d, ϕ(n)) = 1.
• Berechnen Sie den öffentlichen RSA-Schlüssel (n, e) mit ed ≡ϕ(n) 1 und 0 ≤ e < ϕ(n).
• Verschlüsseln Sie die Nachricht 42.
• Entschlüsseln Sie die verschlüsselte Nachricht 8.
Musterlösung:
• ϕ(n) = ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1) = 12 · 6 = 72 > 47 = d. ggT(72, 47) = 1, denn 47 ist prim und 72
kein Vielfaches von 47.
• EEA mit den Eingaben a = 72
72 = 47 · 1 + 25
25
47 = 25 · 1 + 22
22
25 = 22 · 1 + 3
3
22 = 3 · 7 + 1
1
Also ist e = 23, denn ed ≡72 1.
und
=
=
=
=
d = 47:
a−d
−a + 2d
2a − 3d
−15a + 23d
• Benutze Square and Multiply. n = 91. 4223 = 42101112 .
k
0
1
2
3
4
···
2k
[42]n
[42]n [35]n [42]n [35]n [42]n
24
22
21
20
[42]23
n = [42]n · [42]n · [42]n · [42]n = [35]n . Die verschlüsselte Nachricht ist also 35.
• 847 = 81011112 .
k
0
1
2
3
4
5
···
2k
[8]n
[8]n [64]n [1]n [1]n [1]n [1]n
20
21
22
23
25
[8]47
n = [8]n · [8]n · [8]n · [8]n · [8]n = [57]n . Die unverschlüsselte Nachricht ist also 57.
Aufgabe 29: (Square and Multiply, 5 Punkte)
Sei G eine Gruppe. Beweisen Sie, dass es ein Verfahren gibt, mit dem man zu gegebenem
n ∈ N>0 und g ∈ G das Element g n mit höchstens 2 log2 n Gruppenoperationen berechnen
kann.
Musterlösung:
Pk
i
Jedes n ∈ N>0 hat eine Binärdarstellung wie folgt: n =
i=0 ci 2 , wobei k = blog2 nc und alle
ci ∈ {0, 1}. Nun ist
gn = g
Pk
i
i=0 ci 2
=
k
Y
i=0
i
g ci 2 =
k
Y
i=0
ci 6=0
i
g 2 =: P.
k
Berechne zuerst g 2 , (g 2 )2 = g 4 , (g 4 )2 = g 8 , ..., g 2 mit k Gruppenoperationen. Berechne dann
das Produkt P mit k Gruppenoperationen. Insgesamt benötigt das Verfahren 2k Gruppenoperationen wie gefordert.
Aufgabe 30: (5 Punkte)
(a) Beweisen Sie, dass für alle reellen Zahlen x, y gilt:
|x| − |y| ≤ |x − y|.
(b) Beweisen Sie, dass die Aussage aus Teil (a) auch für alle komplexen Zahlen x, y gilt.
Hinweis: Dreiecksungleichung.
Musterlösung:
(a) Die Aussage ist symmetrisch in x und y, also sei ohne Einschränkung |x| ≥ |y|. Fallunterscheidung:
1. (x ≥ 0 und y ≥ 0) oder (x ≤ 0 und y ≤ 0). Dann ist |x| − |y| = |x − y|.
2. (x
≥ 0 und y ≤ 0) oder (x ≤ 0 und y ≥ 0). Dann ist |x − y| = |x| + |y|. Ferner
|x| − |y| = |x| − |y|.
(b) Für alle x, y ∈ C gilt x = x − y + y. Nach Dreiecksungleichung gilt |x| ≤ |x − y| + |y|, also
|x| − |y| ≤
|x − y|. Vertauschen von x und y liefert |y| − |x| ≤ |x − y|. Beide Aussagen zusammen
ergeben |x| − |y| ≤ |x − y|.
Aufgabe 31: (Geordnete Körper, 5 Punkte)
Ein Körper K mit einer totalen Ordnungsrelation ≤ heißt geordneter Körper, falls für alle
x, y, z ∈ K gilt:
x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z und
x ≤ y, 0 ≤ z ⇒ xz ≤ yz.
Zeigen Sie, dass (C, ≤) bezüglich jeder totalen Ordnungsrelation ≤ kein geordneter Körper
ist.
Musterlösung:
Nach Vorlesung sind Quadrate in geordneten Körpern immer ≥ 0. Nun ist i2 = −1. Also ist −1 ≥ 0.
Aus 0 ≤ 1 folgt dann −1 ≤ 1 − 1 = 0, also ist −1 = 0, ein Widerspruch!
Aufgabe 32: (5 Punkte)
Seien a0 , a1 , . . . , ak reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass für jede komplexe Zahl z ∈ C gilt:
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + ak z k = 0 =⇒ a0 + a1 z̄ + a2 z̄ 2 + · · · + ak z̄ k = 0.
Musterlösung:
Wir nutzen aus, dass Konjugation ein Ringhomomorphismus ist:
a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + ak z k = 0
⇒ a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + ak z k = 0̄ = 0
⇒ a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + ak z k = 0
⇒ a0 + a1 z̄ + a2 z 2 + · · · + ak z k = 0
⇒ a0 + a1 z̄ + a2 z̄ 2 + · · · + ak z̄ k = 0
⇒ a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + ak z k = 0