Kurzaufgabensammlung - Institut für Nichtlineare Mechanik
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···················· ························································· Universität Stuttgart ···································· ···················· FUR INSTITUT NIK MECH Kurzaufgabe 4: Impulssatz Kurzaufgabensammlung in Technischer Mechanik II Ein Körper der Masse m wird vertikal geführt. Zwischen Körper und fester Unterlage befindet sich eine Luftfeder, die den Körper von der Unterlage wegdrückt.Die Kraft ist gegeben in Abhängigkeit vom Ort x zu x κ 0 , FL = c0 x wobei κ > 1 gilt. Die Erdbeschleunigung sei durch g gegeben. Kurzaufgabe 1: Schwerpunkt- / Drallsatz Eine Stufenscheibe (Masse M , Radien r und 2r , Trägheitsmoment J = 3Mr 2 bzgl. Massenmittelpunkt) rollt ohne zu gleiten auf einer schiefen Ebene (Neigungwinkel α ) hinunter. Um die innere Welle der Stufenscheibe ist hinreichend oft ein masseloses Seil geschlungen, das über eine masselose Umlenkrolle mit einem Klotz (Masse m ) verbunden ist. ẋ1 M, J = 3Mr 2 ω r g 2r α m m x x0 ẋ2 a) Schneiden Sie die Stufenscheibe und den Klotz frei. b) Stellen Sie die maßgeblichen Schwerpunkt- und Drallsätze auf. Kurzaufgabe 2: Schwingungen a.) Geben Sie die Bewegungsgleichung des Körpers in Abhängigkeit von x und ẍ an! b.) Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Körper bei x(0) = x0 mit ẋ(0) = 0 (siehe Skizze). Außerdem gilt mg > c0 , was dazu führt, dass der Körper zu Beginn nach unten beschleunigt wird. Berechnen Sie die Geschwindigkeit v(x) für x < x0 ! Die allgemeine Lösung einer Schwingungsdifferentialgleichung lautet x(t) = A cos ωt + B sin ωt . Die Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 seien x(0) = x0 und ẋ(0) = v0 . Bestimmen Sie die Konstanten A und B. Kurzaufgabe 3: Gegeben ist ein Klotz der Masse m auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α. Der Gleitreibwert zwischen Klotz und Ebene sei µ. Der Impulssatz in x-Richtung lautet: mẍ = mgsinα − µmgcosα. Der Klotz besitzt eine Anfangsgeschwindigkeit v0 . Welche Geschwindigkeit v hat der Klotz, nachdem er die y Strecke s in x-Richtung zurückgelegt hat? m µ α Kurzaufgabe 5: Relativbewegung Auf einer mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotiertenden Scheibe befindet sich eine Führungsschiene. Diese sorgt dafür, dass sich die über eine Feder gelagerte Punktmasse P nur entlang der x0 -Achse des mitrotierenden Koordinatensystems (x0 , y 0, z 0 ) bewegen kann. Zur Beschreibung der Lage des Punktes P dient die Koordinaten s(t). x’ P y s(t) z=z’ x y’ ω Geben Sie den absoluten Ortsvektor sowie die Absolutgeschwindigkeit des Punktes P im gestrichenen Koordinatensystem. x Kurzaufgabe 6: Gegeben ist eine Rolle mit Radius r und Trägheitsmoment J bzgl. des Massenmittelpunkts. Die Rolle wird durch ein an einem Seil befestigtes Gewicht der Masse m beschleunigt, zusätzlich wirkt das eingezeichnete Moment M. Führen Sie die Seilkraft S ein und stellen Sie Eine quadratische Platte (Kantenlänge a) ist im Punkt A drehbar gelagert. Das Lager A wird mit der Geschwindigkeit v horizontal bewegt. Im betrachteten Zeitpunkt berührt die Platte gerade ein ruhendes Hindernis, wobei die Kante CD auf der Ecke B gleitet ohne abzuheben. a) den Drallsatz für die Rolle auf, ω M Kurzaufgabe 9: r J b) den Impulssatz für das Gewicht auf. z m Kurzaufgabe 7: Energiesatz Eine Hantel (homogen, Massen m1 und m2 , Radien r1 und r2 ) rollt ohne zu gleiten aus der Ruhelage (Schwerpunktshöhe h) eine Rampe hinab. a) Wie groß ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit v am Ende der Rampe? a) Bestimmen Sie zeichnerisch die Lage des Momentanpols M der Platte und berechnen Sie seine Koordinaten (xM , yM ) im angegebenen Koordinatensystem. b) Wie groß ist der Betrag ω der Winkelgeschwindigkeit der Platte. m2 r1 m1 r2 m2 g h Kurzaufgabe 8: Energiesatz Ein Massenpunkt (Masse m) wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 in eine reibungsfreie Loopingbahn (Radius R) geschossen. a) Wie groß muß die Geschwindigkeit des Massenpunktes im oberen Scheitelpunkt der Bahn sein, damit er nicht herunterfällt? b) Wie groß muß dann die Anfangsgeschwindigkeit v0 sein? Kurzaufgabe 10: Relativbewegung Ein rechtwinklig gebogener Stab ABC ist in A gelenkig gelagert und dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um die z -Achse. Im Punkt C ist ein weiterer Stab CD gelenkig gelagert, der sich relativ zum Stab ABC mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω bewegt. Zum betrachteten Zeitpunkt schließt der Stab CD gerade den Winkel ϕ mit der horizontalen x0 y 0 Ebene ein. Die Längen AB , BC und CD haben jeweils den Wert ` . Das x0 y 0z 0 -Koordinatensystem ist fest mit dem Stab ABC verbunden, wobei der Ursprung des Koordinatensystems im Punkt C liegt. Das xyz Koordinatensystem ist raumfest und hat seinen Ursprung im Punkt A . Stellen Sie im Folgenden alle Vektoren in Komponenten des x0 y 0z 0 -Koordinatensystems dar. a) Bestimmen Sie den Ortsvektor vom Ursprung A zum Punkt D . b) Berechnen Sie die Absolutgeschwindigkeit des Punktes D . g m R v0 Kurzaufgabe 11: ϕ k2 m k1 r F(t) M Das dargestellte System besteht aus einem Schlitten (Masse M) , einer homogenen Scheibe (Masse m, Radius r) und zwei Federn. Der Schlitten gleitet reibungsfrei auf der Unterlage; die Scheibe rollt auf dem Schlitten. Man bestimme die kinetische Energie T (ẋ, ϕ̇) sowie die potentielle Energie U(x, ϕ) in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Für x = 0, ϕ = 0 seien beide Federn entspannt. Lösung Kurzaufgabe 1: a) ẋ1 ω F x F Kurzaufgabe 12: ẋ2 Mg Gegeben ist ein Klotz der Masse m auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α. Der Gleitreibwert zwischen Klotz und Ebene sei µ. Der Impulssatz in x-Richtung lautet: mẍ = mgsinα − µmgcosα. Der Klotz besitzt eine Anfangsgeschwindigkeit v0 . mg H N y m Wie groß ist die Strecke s, die er nach der Zeit t in xRichtung zurückgelegt hat? µ α x b) Stufenscheibe: Quader: M ẍ1 = −F + H + Mg sin α 3Mr 2 ω̇ = rF − 2rH (1) (2) mẍ2 = mg − F Lösung Kurzaufgabe 2: A = x0 B= v0 ω Lösung Kurzaufgabe 3: v= q v02 + 2 g (sinα − µ cosα) s Lösung Kurzaufgabe 4: a.) mẍ = −mg + c0 b.) v(x) = x0 κ x r 2 g(x0 − x) + c 0 xκ 0 m(1−κ) x1−κ − x1−κ 0 (3) Lösung Kurzaufgabe 5: Lösung Kurzaufgabe 10: s(t) ~xP = 0 0 ṡ(t) ωs ~vP = 0 ` ~xD = ` cos ϕ ` + ` sin ϕ −ω ` cos ϕ ~vD = ω ` − Ω ` sin ϕ Ω ` cos ϕ (4) (5) Lösung Kurzaufgabe 6: Lösung Kurzaufgabe 11: a) Drallsatz für die Rolle um das Lager: J ω̇ = Sr − M. T = b) Impulssatz für das Gewicht in z-Richtung: mz̈ = mg − S. 1 1 1 M ẋ2 + m r 2 ϕ̇2 + m (ẋ − r ϕ̇)2 , 2 4 2 1 1 U = k1 x2 + k2 r 2 ϕ2 2 2 Lösung Kurzaufgabe 7: Lösung Kurzaufgabe 12: a) v= s s = v0 t + 4(m1 + 2m2 )gh 3m1 + 2m2 (2 + r22 /r12) Lösung Kurzaufgabe 8: √ gR √ b) v0 = 5gR a) v = Lösung Kurzaufgabe 9: a) xM = 0 √ √ yM = −(h−( 2 a−h)) = −(2h− 2 a) = b) vA = v = ω |yM | → ω= v√ 2h − 2 a ω MP 1 g (sin α − µ cos α) t2 2 (6) (7)
