(a) Sei A eine quadratische Matrix über C und ˜ A

Lineare Algebra 2
SS2012
Übungsblatt №9
Übung 49.
(a) Sei A eine quadratische Matrix über C und
A I
à =
0 A
die mit der entsprechenden Null- und Einheitsmatrix ergänzte Blockmatrix. Zeige,
daß für ein beliebiges Polynom p(x) gilt
p(A) p0 (A)
p(Ã) =
,
0
p(A)
wobei p0 (x) dieQAbleitung bezeichnet.
(b) Sei mA (x) = (x − λi )ki das Minimalpolynom der Matrix A (siehe Aufgabe 41).
Zeige, daßQdas Minimalpolynom der oben definierten Blockmatrix à gegeben ist durch
mà (x) = (x − λi )ki +1 .
Hinweis: Es darf die Tatsache verwendet werden, daß x0 Nullstelle der Vielfachheit
m eines Polynoms p(x) ist genau dann, wenn für die Ableitungen an der Stelle x0 gilt
(
= 0 ∀0 ≤ k < m
(k)
p (x0 )
6= 0 k = m
Übung 50.
Eine quadratische Form auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit gegebener Basis ist eine Funktion Q : V → R, die bezüglich dieser Basis als homogenes quadratisches Polynom p(x1 , x2 , . . . , xn ) in den Koordinaten darstellbar ist. Homogen heißt, daß
nur Terme der Ordnung 2 vorkommen, d.h., p(λx1 , λx2 , . . . , λxn ) = λ2 p(x1 , x2 , . . . , xn ).
(a) Zeige, daß diese Definition nicht von der Wahl der Basis abhängt, d.h., daß eine
quadratische Form bezüglich einer gewählten Basis auch bezüglich jeder beliebigen
anderen Basis als homogenes quadratisches Polynom darstellbar ist. Wie sieht das
entsprechende Polynom nach der Basistransformation aus?
(b) Sei B(x, y) eine Bilinearform auf V . Zeige, daß Q(x) = B(x, x) eine quadratische
Form ist.
(c) Sei Q(x) eine quadratische Form. Zeige, daß F (x, y) = (Q(x+y)−Q(x)−Q(y))/2 eine
symmetrische Bilinearform definiert. Was erhält man, wenn man diese Konstruktion
auf die quadratische Form aus Teil (b) anwendet?
Übung 51.
Sei V der Vektorraum der symmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen. Zeige, daß det : V → R
eine quadratische Form ist und bestimme die zugehörige symmetrische Bilinearform aus
Aufgabe 50c, inklusive der Matrix derselben bezüglich der Basis
1 0
0 0
0 1
,
,
0 0
0 1
1 0
Übung 52.
Sei T die Drehung mit Matrixdarstellung
T =
0 −1
.
1 0
(a) Bestimme alle symmetrischen Bilinearformen hx, yi auf R2 , sodaß für alle x ∈ R2 gilt,
daß hx, T xi = 0.
(b) Bestimme alle Sesquilinearformen hx, yi auf C2 , sodaß für alle x ∈ C2 gilt, daß
hx, T xi = 0.
Übung 53.
Zeige, daß für beliebiges fixiertes k ∈ N die Abbildung
n
X
xi y j
Bk (x, y) =
i+j+k
i,j=0
eine positiv definite Bilinearform auf Rn+1 = {(x0 , x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R} darstellt.
Hinweis: Um Positivität zu zeigen, ist es vorteilhaft, die Vektoren zunächst als geeignete
Polynome zu interpretieren und letztere miteinander zu multiplizieren.
Übung 54.
Sei V ein Vektorraum mit innerem Produkt h., .i. Zeige, daß eine Familie von Vektoren
v1 , v2 , . . . , vn ∈ V linear unabhängig ist genau dann, wenn die Matrix


hv1 , v1 i hv1 , v2 i . . . hv1 , vn i
 hv2 , v1 i hv2 , v2 i . . . hv2 , vn i 


(hvi , vj i)i,j=1,...,n =  .
.. 
.
 .
. 
hvn , v1 i hvn , v2 i . . .
vollen Rang besitzt.
hvn , vn i