A Analysis I - TU Darmstadt/Mathematik

A
Analysis I
für M, HLM und PH
WS 2002/2003
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Burkhard Kümmerer
Katja Lengnink, Lisa Steiner, Florian Haag
27. November 2002
5. Tutorium
T1 (Aus Halbgruppen werden Gruppen)
Sei (H, ◦) eine kommutative Halbgruppe mit Einselement e. Ferner gelte die Kürzungsregel:
k ◦ a = k ◦ b ⇒ a = b für alle a, b, k ∈ H.
a) Erweitere H zu einer kommutativen Gruppe G.
(Hinweis: Wie wurde in der Vorlesung die Halbgruppe (N, +) zur Gruppe (Z, +) erweitert?)
b) Die Menge H := {10k | k ∈ N0 } bildet zusammen mit der Multiplikation eine kommutative
Halbgruppe mit Einselement, ferner gilt auch hier die Kürzungsregel.
Wie sieht die zugehörige Gruppe aus?
Finde ein weiteres Beispiel und gib die zugehörige Gruppe an.
T2 (Die große Kettenaufgabe)
Teil 1: Sei A ⊆ N×N. Wir definieren eine Relation ∼ auf A wie folgt: Für (a, b), (c, d) ∈ A gilt
(a, b) ∼ (c, d),
wenn es eine geordnete Kette von Elementen (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . (xn , yn ) gibt, sodaß folgende Bedingungen erfüllt sind:
i) (xi , yi ) ∈ A für i = 0, . . . , n;
ii) (x0 , y0 ) = (a, b) und (xn , yn ) = (c, d);
iii) xi = xi+1 und yi ist “benachbart” zu yi+1 , oder
yi = yi+1 und xi ist “benachbart” zu xi+1 für i = 0, . . . , n−1.
(Zwei Zahlen m, n ∈ N heißen “benachbart”, falls |m − n| ≤ 1).
a) Zeige, daß die so definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Veranschauliche Dir diese Relation graphisch. (Zeichne ein Gitter im kartesischen Koordinatensystem, und betrachte zunächst “einfache” Mengen A).
Wie kann man anschaulich sehen, daß zwei Elemente äquivalent sind?
b) Finde Mengen mit einer, zwei, drei und mit unendlich vielen Äquivalenzklassen.
Teil 2: Sei Ω := {((x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . (xn , yn )) : (i),(ii) und (iii) aus Teil 1 ist erfüllt}.
Eine Kette ω ∈ Ω heißt “in (a, b) geschlossen”, falls (x0 , y0 ) = (a, b) = (xn , yn ) ist.
Die Menge aller im Punkt (a, b) geschlossener Ketten bezeichnen wir mit Ω(a,b) ⊂ Ω.
Desweiteren heißt ω2 ∈ Ω(a,b) “benachbart”zu ω1 ∈ Ω(a,b) , falls entweder ω2 gleich ω1 ist, oder ω2
durch genau eine der folgenden Operationen aus ω1 hervorgeht.
A) Entferne ein Kettenglied (xi , yi ) aus der Kette.
B) Füge an einer Stelle ein Kettenglied ein.
C) Ersetze ein Kettenglied durch ein anderes.
D) Entferne zwei aufeinanderfolgende Kettenglieder (xi , yi ), (xi+1 , yi+1 ) aus der Kette.
E) Füge an einer Stelle zwei Kettenglieder ein.
Wir definieren nun die folgende Relation ∼K auf Ω(a,b) :
ν, η ∈ Ω(a,b) stehen in Relation genau dann, wenn es Elemente ω0 , ω1 , . . . , ωn ∈ Ω(a,b) gibt mit der
Eigenschaft:
i) ν = ω0 und η = ωn ;
ii) ωi+1 ist “benachbart” zu ωi für k = 0, . . . , n−1.
a) Zeige, daß die so definierte Relation eine Äquivalenzrelation ist. Veranschauliche Dir die “NachbarRelation” graphisch (wie sehen benachbarte Ketten aus?).
b) Sei A := N×N. Aus wieviel Äquivalenzklassen besteht Ω(4,4) ?
(Ein anschauliches Argument genügt.)
c) Durch η = ν ◦ ω sei eine Verknüpfung auf Ω(a,b) definiert, wobei η durch Aneinandersetzen der
Ketten ν und ω entsteht. Sei also ν := ((a, b), (x1 , y1 ), . . . , (xn−1 , yn−1 ), (a, b)) ∈ Ω(a,b) und
ω := ((a, b), (x̃1 , ỹ1 ), . . . , (x̃m−1 , ỹm−1 ), (a, b)) ∈ Ω(a,b) , dann ist
ν ◦ ω = ((a, b), (x1 , y1 ), . . . , (xn−1 , yn−1 ), (a, b), (a, b), (x̃1 , ỹ1 ), . . . , (x̃m−1 , ỹm−1 ), (a, b)).
Zeige, daß durch
[ν] ◦ [ω] := [ν ◦ ω]
eine wohldefinierte, d.h. von der Wahl des Repräsentanten unabhängige, Verknüpfung auf der
Quotientenmenge Ω(a,b) / ∼K definiert wird.
d) Weise nach, daß (Ω(a,b) / ∼K , ◦) eine Gruppe ist.
e) Zusatz: Sei A := N×N\{(5, 5)}. Aus wieviel Elementen besteht die Gruppe (Ω(1,1) / ∼K , ◦)?