MAT141 LINEARE ALGEBRA F¨UR DIE

MAT141 LINEARE ALGEBRA FÜR DIE NATURWISSENSCHAFTEN
ÜBUNGSBLATT 6
Dr. Maria Michalogiorgaki
Abgabe: 24.10.2014 bis 13 Uhr
1. Aufgabe (2 Punkte). Bestimmen Sie die grösstmögliche Anzahl linear unabhängiger
Vektoren aus der Menge
 
 
 
 
 
 
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
−1
0

 
 
 
 
 
v1 = 
0 , v2 = −1 , v3 =  0  , v4 = 1 , v5 =  0  , v6 =  1  .
0
0
−1
0
−1
−1
Begründen Sie Ihre Antwort.
2. Aufgabe
  (3 Punkte). Für welche Werte des Parameters s lässt sich der Vektor
−5

x = −4 als Linearkombination der Vektoren
4
 
 
 
−1
0
1
x1 = 2 , x2 =  s  , x3 =  0 
7
−1
3
darstellen? Bestimmen Sie für diese Fälle die Faktoren der Linearkombination. Bestimmen
Sie Span{x1 , x2 , x3 } für alle Werte des Parameters s.
3. Aufgabe (4 Punkte).
(a) Sei V ein K–Vektorraum und U1 , U2 Untervoktorräume von V . Sind die Mengen
U1 ∪ U2 , U1 ∩ U2 und U1 + U2 Untervektorräume von V ?
(U1 + U2 := {u1 + u2 | u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 })
(b) Betrachten Sie die folgenden Untervektorräume von R4 :
U = {x ∈ R4 | x1 + 2x2 + 3x3 = 0}
V = {x ∈ R4 | x2 = x3 , x1 + x2 + x4 = 0}.
Bestimmen Sie eine Basis von U , V , U ∩ V und U + V .
4. Aufgabe (3 Punkte). Bestimmen Sie Basen für die folgenden Untervektorräume von
M (R; 3 × 3):
(1) Die Diagonalmatrizen.
(2) Die symmetrischen Matrizen (A = At ).
(3) Die schief-symmetrischen Matrizen (A = −At ).
5. Aufgabe (3 Punkte).
(a) Sei U die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 3 mit p(2) = 0. Bildet U
mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit reellen Zahlen einen
R–Vektorraum? Falls ja, bestimmen Sie eine Basis für U .
(b) Sei V der R–Vektorraum aller reellwertigen Funktionen f : R → R. Zeigen Sie, dass
f, g, h ∈ V linear unabhängig sind, wobei f (x) = ex , g(x) = cos(x) und h(x) = x + x2 .