Lineare Algebra I
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Lineare Algebra I
Übung, LVA 405.111-3
C. Fuchs, C. Karolus, C. Hutle, W. Schmid
6. Übungsblatt, SS 2017
26.04.2017
1. Betrachte auf R2 die übliche Vektoraddition und definiere ? : R × R2 → R2 durch a)
λ ? t (v1 , v2 ) := t (λv1 , v2 ), b) λ ? t (v1 , v2 ) := t (0, 0). Ist R2 mit diesen Operationen
ein Vektorraum über R? Überprüfe, welche Axiome gelten und welche nicht erfüllt
sind.
2. Seien V, W Vektorräume über einem Körper K. Zeige, dass das kartesische Produkt
V × W mit den Operationen (v, w) + (v 0 , w0 ) := (v + v 0 , w + w0 ), λ · (v, w) := (λv, λw)
ebenfalls ein Vektorraum über K ist.
3. Welche der folgenden Teilmengen von Rn sind Unterräume?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 ≤ 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 vn = 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 + · · · + vn = 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v12 + v22 + · · · + vn2 = 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 = v2 = · · · = vn },
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 ≤ v2 ≤ · · · ≤ vn }.
4. Gibt es eine C-Vektorraumstruktur auf R, so dass die skalare Multiplikation C×R →
R eingeschränkt auf R × R die übliche Multiplikation reeller Zahlen ist?
5. Zeige, dass die Hüllenbildung monoton, extensiv und idempotent ist.
6. Stelle den Vektor w jeweils als Linearkombination der Vektoren v1 , v2 , v3 dar: a)
w = t (6, 2, 1), v1 = t (1, 0, 1), v2 = t (7, 3, 1), v3 = t (2, 5, 8), b) w = t (2, 1, 1), v1 =
t
(1, 5, 1), v2 = t (0, 9, 1), v3 = t (3, −3, 1).
7. Für welche t ∈ Q ist die folgende Menge von Vektoren aus Q3 l.a.?
3
−1
1
3 , t , −4 .
4
11
0
8. Sei (fn )n∈N erklärt durch fn : R → R, x 7→ sin(2−n x). Zeige, dass die Familie
(fn )n∈N l.u. ist; überlege dazu, dass für n ≥ 1 die Funktionen f0 , f1 , . . . , fn−1 eine
gemeinsame Nullstelle besitzen, die keine Nullstelle von fn ist.
