Lineare Algebra II für BWM Übungsblatt 5

TU Bergakademie Freiberg
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra
Prof. Dr. Martin Sonntag
Dr. Uwe Weber
Freiberg, den 4. Mai 2017
Lineare Algebra II für BWM
Übungsblatt 5
zu wiederholen: dualer Raum, Kovektoren, Kobasen, Annullator, transponierte Abbildung; Ähnlichkeit von Matrizen
1. Untersuchen Sie jeweils, ob ϕ ∈ V ∗ gilt.
a) V beliebiger unitärer Vektorraum mit Skalarprodukt h·, ·i, y ∈ V fixierter
Vektor und ϕ(x) := hx, yi für alle x ∈ V .
b) V = C[0, 1], x0 ∈ [0, 1] fixiert und ϕ(f ) := f (x0 ) für alle f ∈ V .
R1
c) V = C[0, 1] und ϕ(f ) := 0 f (x) dx für alle f ∈ V .
2. Sei V = Mn,1 (R), B = {e1 , . . . , en } die kanonische Basis von V und e∗i : V → R
(i = 1, . . . , n) mit


x1


e∗i :  ...  7→ xi .
xn
Man zeige, daß B0 := {e∗1 , . . . , e∗n } die Kobasis zu B ist.
      
1
1 
 2
3. In M3,1 (R) sei die Basis B =  0  ,  1  ,  1  gegeben. Bestimmen


0
0
1
Sie die zugehörige Kobasis B∗ = {a∗1 , a∗2 , a∗3 }. (Hinweis: Stellen Sie die a∗i mit zunächst unbekannten Koeffizienten als LK von {e∗1 , e∗2 , e∗3 } (Kobasis zur kanonischen
Basis) dar und benutzen Sie die Kobasiseigenschaft der gesuchten a∗i zur Ermittlung dieser Koeffizienten.)




0
1
 2 


 und v2 =  1  erzeugte Unter4. Es sei W der von den Vektoren v1 = 
 −3 
 4 
4
−1
raum von V = M4,1 (R).
a) Geben Sie eine Basis des Annullators N (W ) ∈ Sub(V ∗ ) an. (Hinweis: Geben
Sie die Basiselemente von N (W ) als Linearkombinationen von {e∗1 , . . . , e∗4 }
(Kobasis zur kanonischen Basis, s. o., an.)
b) Geben Sie eine parameterfreie
  Darstellung der linearen Mannigfaltigkeit
1
 2 

M = x0 + W mit x0 = 
 1  (in Form von Gleichungen für die Koordi0
naten der Vektoren von M ) an.
5. Sei V Vektorraum, A ⊆ V , U ⊆ V ∗ . Man zeige mittels der Aussagen aus der
Vorlesung:
a) A ⊆ N 0 (U ) ⇐⇒ U ⊆ N (A).
b) A ⊆ N 0 N (A)
c) Bei endlichdimensionalem V gilt A = N 0 N (A) genau dann, wenn A ∈ Sub(V ).
6. Sei V endlichdimensionaler Vektorraum, n = dim V , U1 , U2 ∈ Sub(V ). Man zeige:
Wenn V = U1 ⊕ U2 (direkte Summe), dann ist V ∗ = N (U1 ) ⊕ N (U2 ).
7. Sei {Ui : i ∈ I} eine Familie von Unterräumen eines endlichdimensionalen Vektorraums V . Man zeige, dass dann gilt
!
X
\
N
N (Ui ).
Ui =
i∈I
i∈I
8. Einem Endomorphismus ϕ in M3,1 (R) sei bzgl. der kanonischen Basis B die Matrix


1 0 0
A = M (ϕ, B, B) =  0 2 1 
4 1 4
 
1
zugeordnet. Ferner seien B∗ Kobasis zu B und y∗ ∈ (M3,1 (R))∗ mit y∗B∗ =  1 .
1
a) Sei ϕT transponierte Abbildung zu ϕ. Gesucht ist [ϕT (y∗ )]B∗ .
b) Prüfen Sie an diesem Beispiel nach: ϕT (y∗ ), x = hy∗ , ϕ(x)i.
9. Sei ϕ ∈ L(V, W ), U ∈ Sub(W ∗ ).
Man zeige die Beziehung ϕ−1 (N 0 (U )) = N 0 (ϕT (U )).
(Mit ϕ−1 ist hier die auf die Potenzmengen erweiterte Abbildung gemeint (auch
bezeichnet mit ϕ
b−1 : P(W ) → P(V )), d. h. ϕ wird nicht als bijektiv vorausgesetzt.)
10. Zeigen Sie, daß die Ähnlichkeit von Matrizen eine Äquivalenzrelation auf Mn,n (R)
ist.