Sommersemester 2004 C. Preston ¨Ubungen zur Linearen Algebra

Sommersemester 2004
Übungen zur Linearen Algebra II
C. Preston
Blatt 1
1. Sei I ein Ideal von Z. Man zeige: Es gibt eine eindeutige Zahl m ≥ 0, so dass
I = (m) (und damit ist I = {n ∈ Z : m|n}).
2. Seien m1 , m2 ∈ Z und sei I ⊂ Z definiert durch
I = {n1 m1 + n2 m2 : n1 , n2 ∈ Z} .
(1) Man zeige, dass I ein Ideal von Z ist.
Nach Aufgabe 1 gibt es also eine eindeutiges m ≥ 0, so dass I = (m). Man zeige:
(2) Es gilt m|m1 und m|m2 .
(3) Es gilt n|m für jedes n ∈ Z mit n|m1 und n|m2 .
3. Sei C([0, 1]) der Ring aller stetigen Abbildungen von [0, 1] nach R und für
jedes x ∈ [0, 1] definiere Ix ⊂ C([0, 1]) durch
Ix = {f ∈ C([0, 1]) : f (x) = 0} .
Man zeige, dass Ix ein maximales Ideal von C([0, 1]) ist.
(Sei R ein kommutativer Ring; ein Ideal I von R mit I =
6 R heißt maximal, wenn
0
0
Folgendes gilt: Ist I ein Ideal von R mit I ⊂ I , so ist entweder I 0 = I oder
I 0 = R.)
4. Sei I ein maximales Ideal von C([0, 1]). Man zeige: Es gibt ein eindeutiges
Element x ∈ [0, 1], so dass I = Ix .
(Hier darf man Folgendes benutzen: Für jedes x ∈ [0, 1] sei Jx ⊂ R ein offenes
IntervallSmit x ∈ Jx . Dann gibt es eine endliche Teilmenge N von [0, 1], so dass
[0, 1] ⊂ x∈N Jx .)
In den Zusatzaufgaben sei V ein Vektorraum über einem Körper K, sei f : V → V
ein Endomorphismus von V und sei U ein Untervektorraum von V mit U 6= {0}
und f (U ) ⊂ U .
Zusatzaufgabe 1: Seien λ1 , . . . , λm Eigenwerte von f , wobei λj 6= λk , falls j 6= k.
Man zeige: Sind u1 , . . . , um ∈ V mit u1 + · · · + um ∈ U und uk ∈ E(f, λk ) für
k = 1, . . . , m, so ist uk ∈ U für jedes k = 1, . . . , m.
Zusatzaufgabe 2: Sei V endlichdimensional und sei f diagonalisierbar. Man zeige:
Die Einschränkung f|U : U → U von f auf U ist ebenfalls diagonalisierbar.
Lineare Algebra II: Blatt 2
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C. Preston
Blatt 2
In den Aufgaben 5, 6 und 7 sei R ein kommutativer Ring mit 1. Seien a, b ∈ R;
dann heißt b Teiler von a, wenn es ein c ∈ R mit a = bc gibt. Man sagt hier auch:
b teilt a, und schreibt b|a. Für jedes a ∈ R sind stets 1 und a Teiler von a. Nach
dieser Definition ist jedes a ∈ R ein Teiler von 0.
Seien a1 , a2 , b ∈ R; dann heißt b gemeinsamer Teiler von a1 und a2 , wenn b|a1
und b|a2 . Ferner heißt b maximaler gemeinsamer Teiler von a1 und a2 , wenn b
ein gemeinsamer Teiler von a1 und a2 ist und jeder gemeinsame Teiler von a1 und
a2 auch b teilt.
5. Man zeige:
(1) Sind a1 , a2 , a3 ∈ R mit a1 |a2 und a2 |a3 , so gilt a1 |a3 .
(2) Sind a1 , a2 , a ∈ R mit a|a1 und a|a2 , so gilt a|(a1 + a2 ).
(3) Sind a, b ∈ R mit a|b, so gilt a|cb für alle c ∈ R.
(4) Ist b ein maximaler gemeinsamer Teiler von Elementen a1 und a2 , so ist c ein
maximaler gemeinsamer Teiler von a1 und a2 genau dann, wenn b|c und c|b.
(5) Sind a1 , a2 , t, r ∈ R mit a1 = ta2 + r, so ist b ein maximaler gemeinsamer
Teiler von a1 und a2 genau dann, wenn b maximaler gemeinsamer Teiler von a2
und r ist.
6. Seien a1 , a2 ∈ R und definiere (a1 , a2 ) ⊂ R durch
(a1 , a2 ) = {b1 a1 + b2 a2 : b1 , b2 ∈ R} .
Man zeige:
(1) (a1 , a2 ) ist ein Ideal von R.
(2) Es gilt (a1 , a2 ) ⊂ (c) genau dann, wenn c ein gemeinsamer Teiler von a1 und
a2 ist.
(3) Gilt (a1 , a2 ) = (c), so ist c ein maximaler gemeinsamer Teiler von a1 und a2 .
7. Nehme an, jedes Ideal von R hat die Form (d) für ein d ∈ R. (Dies ist zum
Beispiel der Fall, wenn R = Z oder R = K[x] mit K einem Körper.) Seien nun
a1 , a2 ∈ R. Man zeige:
(1) Es gilt (a1 , a2 ) = (c) genau dann, wenn c ein maximaler gemeinsamer Teiler
von a1 und a2 ist.
Lineare Algebra II: Blatt 2
3
(2) Es gibt einen maximalen gemeinsamen Teiler von a1 und a2 .
(3) Jede maximale gemeinsame Teiler von a1 und a2 hat die Form b1 a1 + b2 a2 .
8. (1) Sei K ein Körper und seien f, g ∈ K[x] mit f 6= 0, g 6= 0. Man zeige: Es
gibt ein eindeutiges normiertes Polynom, das ein maximaler gemeinsamer Teiler
von f und g ist. Dieses Polynom wird mit ggT(f, g) bezeichnet.
(2) Man berechne ggT(f, g), wobei f, g ∈ Q[x] folgende Polynome sind:
f = x 4 + x3 + x − 1 ,
g = x 3 − x2 + x − 1 .
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Lineare Algebra II: Blatt 3
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9. Man bestimme die Determinante

1 2 2
 0 2 0

 1 0 5

 1 0 2

 2 2 7

 3 0 9

 1 2 2
2 2 4
Blatt 3
der folgenden Matrix aus M(8 × 8, Z):

1 −2 6 4 4
1 −2 3 4 0 

0 0 4 0 6

4 2 4 0 9

1 3 16 4 11 

0 5 22 0 16 

1 −2 6 11 6 
1 −2 9 4 16
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und sei n ≥ 1. Eine Abbildung
f : V n → K heißt Multilinearform, wenn
f (v1 , . . . , vj−1 , λu + µw , vj+1 , . . . , vn ) = λf (v1 , . . . , vj−1 , u, vj+1, . . . , vn )
+ µf (v1 , . . . , vj−1 , w, vj+1 , . . . , vn )
für alle 1 ≤ j ≤ n, v1 , . . . , vj−1 , u, w, vj+1 , . . . , vn ∈ V und λ, µ ∈ K. Eine
Multilinearform f : V n → K heißt alternierend, wenn gilt: Ist (v1 , . . . , vn ) ∈ V n
und es 1 ≤ j < k ≤ n mit vj = vk gibt, so ist f (v1 , . . . , vn ) = 0.
10. Sei f : V n → K eine alternierende Multilinearform. Man zeige:
(1) Für alle v1 , . . . , vn ∈ V , 1 ≤ j < k ≤ n, gilt
f (v1 , . . . , vj−1 , vk , vj+1 , . . . , vk−1 , vj , vk+1 , . . . , vn ) = −f (v1 , . . . , vn ) .
(2) Für alle v1 , . . . , vn ∈ V und jede Permutation σ ∈ Sn gilt
f (v1 , . . . , vn ) = sign(σ)f (vσ(1) , . . . , vσ(n) ) .
(3) Sind v1 , . . . , vn ∈ V linear abhängig, so ist f (v1 , . . . , vn ) = 0.
(4) Ist W ein weiterer Vektorraum über K und ist ψ : W → V eine lineare
Abbildung, so ist die durch
g(w1 , . . . , wn ) = f (ψ(w1 ), . . . , ψ(wn ))
definierte Abbildung g : W n → K auch eine alternierende Multilinearform.
Lineare Algebra II: Blatt 3
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Sei nun V endlichdimensional mit dim V = n.
11. Man zeige:
(1) Ist f : V n → K eine alternierende Multilinearform und sind (u1 , . . . , un ),
(v1 , . . . , vn ) zwei Basen von V , so gilt
f (v1 , . . . , vn ) = (det P )f (u1 , . . . , un ) ,
wobei P = (pij ) die Matrix für den Wechsel von (u1 , . . . , un ) nach (v1 , . . . , vn ) ist.
(Für k = 1, . . . , n gilt also vk = p1k u1 + · · · + pnk un .)
(2) Ist f : V n → K eine alternierende Multilinearform und f (u1 , . . . , un ) 6= 0 für
eine Basis (u1 , . . . , un ) von V , so ist f (v1 , . . . , vn ) 6= 0 für jede Basis (v1 , . . . , vn )
von V .
(3) Ist (u1 , . . . , un ) eine Basis von V und sind f, g : V n → K alternierende
Multilinearformen mit g(u1 , . . . , un ) = f (u1 , . . . , un ), so ist g = f .
12. Man zeige: Zu jeder Basis (u1 , . . . , un ) von V gibt es genau eine alternierende
Multilinearform h : V n → K mit h(u1 , . . . , un ) = 1.
Zusatzaufgabe: Sei R ein kommutativer Ring und sei A = (aij ) ∈ M(n × n, R)
eine n × n Matrix. Sei 1 ≤ m ≤ n und bezeichne mit Im,n die Menge aller
injektiven Abbildungen ϕ : {1, . . . , m} → {1, . . . , n}. Für jedes ψ ∈ Im,n definiere
eine m × m Matrix Aψ = (aψij ) ∈ M(m × m, R) durch aψij = ai ψ(j) .
Man zeige: Gilt det Aψ = 0 für alle ψ ∈ Im,n , so ist det A = 0.
Lineare Algebra II: Blatt 4
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Blatt 4
Im Folgenden sei R ein kommutativer Ring mit 1.
13. Für jede Matrix A = (aij P
) ∈ M(n × n, R) wird ein Element Sp(A) von R (die
Spur von A) durch Sp(A) = nj=1 ajj definiert. Man zeige:
(1) Für alle A, B ∈ M(n × n, R) gilt Sp(AB) = Sp(BA).
(2) Es gilt Sp(A) = Sp(B), falls A und B ähnlich sind.
14. Ist A ∈ M(n × n, R) und 1 ≤ i, j ≤ n, so wird mit Aij die aus A durch
Weglassen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entstehende (n−1)×(n−1) Matrix
bezeichnet. Sei nun A = (aij ) ∈ M(n × n, R) und sei Ă = (ăij ) ∈ M(n × n, R)
definiert durch
ăij = (−1)i+j det Aji
für alle 1 ≤ i, j ≤ n. Man zeige:
(1) Es gilt AĂ = ĂA = (det A)En .
(2) Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn das Element det A von R
invertierbar ist. (Ein Element a ∈ R heißt invertierbar, wenn es b ∈ R mit ab = 1
gibt. In diesem Fall ist b eindeutig und man schreibt b = a−1 .)
15. Man zeige:
(1) Zu jeder Matrix B ∈ M(n×n, R) gibt es einen eindeutigen Homomorphismus
ΦB : R[x] → M(n × n, R) mit ΦB (1) = En und ΦB (x) = B.
(2) Ist ϕ : R → R0 ein Homomorphismus (mit R0 einem weiteren kommutativen
Ring mit 1), so ist ebenfalls die durch ϕ̂((aij )) = (ϕ(aij )) definierte Abbildung
ϕ̂ : M(n × n, R) → M(n × n, R0 ) ein Homomorphismus.
(3) Definiere ⊗ : M(n × n, M(n × n, R)) × (Rn )n → (Rn )n durch
  

v1
w1
  

B ⊗  ...  =  ...  ,
vn
wn
wobei wi = bi1 v1 + · · · + bin vn mit B = (bij ) und wobei die Elemente von Rn und
(Rn )n als Spaltenvektoren betrachtet werden. Dann gilt
 
 
v1
v1  .. 
 .. 
(CB) ⊗  .  = C ⊗ B ⊗  . 
vn
vn
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Lineare Algebra II: Blatt 4
für alle B, C ∈ M(n × n, M(n × n, R)), v1 , . . . , vn ∈ Rn .
16. Für B ∈ M(n × n, R) sei ΦB : R[x] → M(n × n, R) wieder der eindeutige
Homomorphismus mit ΦB (1) = En und ΦB (x) = B, und sei dann
Φ̂B : M(n × n, R[x]) → M(n × n, M(n × n, R))
der induzierte Homomorphismus (wie in Aufgabe 15 (2)).
Sei A ∈ M(n × n, R) und setze Aχ = At − xEn ∈ M(n × n, R[x]). Man zeige:
(1) Es gilt Ăχ Aχ = χA En in M(n × n, R[x]) (mit Ăχ definiert in Aufgabe 14 (1)),
d.h., Ăχ Aχ ist das χA -fache der Einheitsmatrix in M(n × n, R[x]).
(2) Es gilt Φ̂A (χA En ) = Φ̂A (Ăχ )Φ̂A (Aχ ) in M(n × n, M(n × n, R)).
(3) Es gilt

  
e1
0
 ..   .. 
Φ̂A (Aχ ) ⊗  .  =  .  ,
en
0
wobei e1 , . . . , en die üblichen Einheitsvektoren in Rn sind.
  

e1
ΦA (χA )e1
  

..
(4) Es gilt Φ̂A (χA En ) ⊗  ...  = 
.
.
en
ΦA (χA )en
(5) Es gilt ΦA (χA ) = 0. (Dies ist der Satz von Cayley-Hamilton.)
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Lineare Algebra II: Blatt 5
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Blatt 5
In den folgenden Aufgaben sei K ein Körper.
17. (1) Seien A, B ∈ M(n × n, K) diagonalisierbar. Man zeige, dass χA = χB
genau dann gilt, wenn A und B ähnlich sind.
(2) Für jedes n ≥ 2 finde man Matrizen A, B ∈ M(n × n, K), die nicht ähnlich
sind, aber für die χA = χB gilt.
18. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K mit dim V = n ≥ 1. Man
zeige:
(1) Für jeden Endomorphismus f : V → V gilt: Kern f k ⊂ Kern f k+1 für jedes
k ≥ 0 und Kern f m = Kern f k für alle k ≥ m, falls Kern f m = Kern f m+1 .
(2) Jeder nilpotente Endomorphismus f : V → V ist trigonalisierbar.
(3) Ein Endomorphismus f von V ist nilpotent genau dann, wenn χf = (−1)n xn .
(4) Eine Matrix A ∈ M(n × n, K) ist nilpotent genau dann, wenn χA = (−1)n xn .
19. Sei A ∈ M(n × n, K) und sei ΦA : K[x] → M(n × n, K) der eindeutige
Ring-Homomorphismus mit ΦA (1) = En und ΦA (x) = A. Man zeige:
(1) Kern ΦA 6= {0}.
(2) Es gibt ein eindeutiges normiertes Polynom mA ∈ K[x] mit der folgenden
Eigenschaft: Für ein Polynom p ∈ K[x] gilt ΦA (p) = 0 genau dann, wenn mA ein
Teiler von p ist. (mA heißt das minimale Polynom von A).
(3) Das minimale Polynom mA teilt das charakteristische Polynom χA .
20. (1) Seien A, B ∈ M(n × n, K) ähnlich. Man zeige, dass mA = mB .
(2) Was sind mD und χD , wenn D ∈ M(n × n, K) eine Diagonalmatrix ist?


001
(3) Man berechne mN und χN für N =  0 0 0 .
000
(4) Sei A ∈ M(n × n, K) eine Matrix, die n verschiedene Eigenwerte besitzt. Man
zeige, dass dann χA = (−1)n mA .
(5) Für jedes n ≥ 2 finde man eine Matrix A ∈ M(n × n, K) mit χA = (−1)n mA ,
für die 0 der einzige Eigenwert ist.
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Lineare Algebra II: Blatt 6
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Blatt 6
21. (1) Sei (V, h · , · i) ein euklidischer Vektorraum. Man zeige, dass
hu, vi = 12 (kuk2 + kvk2 − ku − vk2 ) = 41 (ku + vk2 − ku − vk2 )
für alle u, v ∈ V .
(2) Sei (V, h · , · i) ein unitärer Vektorraum. Man zeige, dass
hu, vi = 14 (ku + vk2 − ku − vk2 + iku + ivk2 − iku − ivk2 )
für alle u, v ∈ V .
In (3) und (4) sei (V, h · , · i) ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum. Man
zeige:
(3) Es gilt ku + vk2 + ku − vk2 = 2(kuk2 + kvk2 ) für alle u, v ∈ V .
(4) Für alle w, w1 , w2 ∈ V gilt
kw2 − w1 k2 = 2(kw − w1 k2 + kw − w2 k2 ) − 4kw − 21 (w1 + w2 )k2 .
In den Aufgaben 22, 23 und 24 sei (V, h · , · i) ein euklidischer oder ein unitärer
Vektorraum.
22. Seien v1 , . . . , vm ∈ V mit m ≥ 1 und definiere A = (aij ) ∈ M(m × m, K)
durch aij = hvi , vj i für jedes 1 ≤ i, j ≤ m. Man zeige: Die Vektoren v1 , . . . , vm
sind linear unabhängig genau dann, wenn die Matrix A invertierbar ist.
23. Sei U ein Untervektorraum von V . Ein Endomorphismus pU : V → V heißt
orthogonale Projektion auf U , falls
— pU (v) ∈ U für jedes v ∈ V ,
— v − pU (v) ⊥ U für jedes v ∈ V , (d.h. hv − pU (v), ui = 0 für alle u ∈ U für
jedes v ∈ V ).
(Im Allgemeinen gibt es aber einen solchen Endomorphismus nicht.)
(1) Man zeige, dass die orthogonale Projektion pU auf U eindeutig ist, falls sie
existiert.
Nehme nun an, dass die orthogonale Projektion pU auf U existiert und zeige:
(2) Es gilt pU (u) = u für jedes u ∈ U .
Lineare Algebra II: Blatt 6
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(3) Es gilt kv − pU (v)k2 = kv − uk2 − kpU (v) − uk2 für alle u ∈ U , v ∈ V .
(4) Für jedes v ∈ V ist pU (v) das eindeutige Element von U mit
kv − pU (v)k ≤ kv − uk für alle u ∈ U .
24. Man zeige, dass die orthogonale Projektion pU : V → V auf U existiert, wenn
V endlichdimensional ist.
In den Zusatzaufgaben sei (V, h · , · i) wieder ein euklidischer oder ein unitärer
Vektorraum und sei U ein Untervektorraum von V .
Zusatzaufgabe 1: (1) Man zeige: Zu jedem v ∈ V gibt es höchstens einen Vektor
w ∈ U , so dass kv − wk ≤ kv − uk für alle u ∈ U . (Hinweis: Aufgabe 21 (4).)
Nehme nun an, es gibt zu jedem v ∈ V ein w ∈ U , so dass kv − wk ≤ kv − uk
für alle u ∈ U . Nach (1) gibt es dann zu jedem v ∈ V ein eindeutiges Element
pU (v) ∈ U , so dass kv − pU (v)k ≤ kv − uk für alle u ∈ U . Man zeige:
(2) Für jedes v ∈ V ist pU (v) das eindeutige Element von U mit hv−pU (v), ui = 0
für alle u ∈ U .
(3) Die Abbildung pU : V → V ist linear.
(4) pU ist die orthogonale Projektion auf U .
Zusammen mit Aufgabe 23 (4) zeigt diese Zusatzaufgabe, dass die orthogonale
Projektion pU : V → V auf U genau dann existiert, wenn es zu jedem v ∈ V ein
w ∈ U gibt, so dass kv − wk ≤ kv − uk für alle u ∈ U .
Zusatzaufgabe 2: Sei v ∈ V fest und setze α = inf{kv − uk : u ∈ U }. Für jedes
n ≥ 1 gibt es also ein un ∈ U mit kv − un k < α + 1/n. Man zeige, dass {un }n≥1
eine Cauchy-Folge ist: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ≥ 1, so dass kun − um k < ε
für alle m, n ≥ N . (Hinweis: Aufgabe 21 (4).)
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Lineare Algebra II: Blatt 7
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Blatt 7
25. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Ist B eine Teilmenge von V
und w ∈ V , so wird die Menge {u − w : u ∈ B} mit B − w bezeichnet.
(1) Sei B eine nichtleere Teilmenge von V und sei U ein Untervektorraum von
V . Man zeige, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
(i) Es gibt ein w ∈ B, so dass B − w ⊂ U .
(ii) Es gilt B − w ⊂ U für jedes w ∈ B.
(2) Sei V endlichdimensional mit dim V = n ≥ 1 und sei B eine Teilmenge von
V . Man zeige, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
(i) Die Menge B enthält eine Basis von V (d.h., es gibt eine Basis (v1 , . . . , vn )
von V mit vj ∈ B für jedes j = 1, . . . , n).
(ii) Der einzige Untervektorraum von V , der B enthält, ist V selbst.
In den folgenden Aufgaben sei (V, h·, ·i) ein endlichdimensionaler euklidischer
Vektorraum mit dim V = n ≥ 1.
26. Sei (v1 , . . . , vn ) eine (beliebige) Basis von V . Man zeige:
(1) Ist v ∈ V mit hv, vj i = 0 für j = 1, . . . , n, so ist v = 0.
(2) Für jede λ1 , . . . , λn ∈ R gibt es höchstens ein v ∈ V mit hv, vj i = λj für
j = 1, . . . , n.
(3) Für jede d0 , d1 , . . . , dn ∈ R+ gibt es höchstens ein v ∈ V mit kvk = d0 und
kv − vj k = dj für j = 1, . . . , n.
27. Sei (v1 , . . . , vn ) eine (beliebige) Basis von V . Man zeige: Ein Endomorphismus
f : V → V ist orthogonal genau dann, wenn kf (vk )k = kvk k für k = 1, . . . , n
und kf (vj ) − f (vk )k = kvj − vk k für alle 1 ≤ j, k ≤ n.
28. Eine Teilmenge B von V wird nicht niederdimensional genannt, wenn es ein
v ∈ B gibt, so dass V der einzige Untervektorraum von V ist, der B − v enthält.
(Nach Aufgabe 25 (1) ist also B nicht niederdimensional genau dann, wenn V
der einzige Untervektorraum von V ist, der B − v enthält, für jedes v ∈ B.)
Sei B eine Teilmenge von V , die nicht niederdimensional ist, und sei α : B → V
eine Abbildung mit kα(u) − α(v)k = ku − vk für alle u, v ∈ B. Man zeige: Es
gibt einen eindeutigen orthogonalen Endomorphismus f : V → V und einen
eindeutigen Vektor w ∈ V , so dass α(v) = f (v) + w für alle v ∈ B.
Lineare Algebra II: Blatt 8
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Blatt 8
In den Aufgaben 29 und 30 sei (V, h·, ·i) ein euklidischer Vektorraum. Zu jedem
u ∈ V \ {0} gibt es einen Endomorphismus Su : V → V , der definiert ist durch
Su (v) = v − 2hu, ui−1hv, uiu
für alle v ∈ V .
29. Sei u ∈ V \ {0}. Man zeige:
(1) Es gilt Su (v) = −v, falls v ∈ L(u), und Su (v) = v, falls v ⊥ u, (d.h., Su ist
eine Spiegelung an L(u)⊥ ).
(2) Für alle v, w ∈ V ist hSu (v), wi = hv, Su (w)i.
(3) Es gilt Su ◦ Su = idV , d.h. Su (Su (v)) = v für alle v ∈ V .
(4) Der Endomorphismus Su ist orthogonal.
(5) Wenn V endlichdimensional ist, so ist det Su = −1.
30. Seien v, w ∈ V mit v 6= w und kvk = kwk. Man zeige:
(1) Es gibt ein u ∈ V \ {0}, so dass Su (v) = w und Su (w) = v.
(2) Nehme an, dass dim V ≥ 2, falls V endlichdimensional ist. Dann gibt es
u1 , u2 ∈ V \ {0}, so dass Su2 (Su1 (v)) = w.
(3) Nehme an, dass V endlichdimensional ist mit dim V ≥ 2. Dann gibt es einen
orthogonalen Endomorphismus f : V → V mit det f = 1 und f (v) = w.
Bemerkung: (2) und (3) sind falsch, wenn dim V = 1.
In den Aufgaben 31 und 32 sei A = 31 B ∈ M(3 × 3, R), wobei


2 −1 2
B =  2 2 −1 
−1 2 2
und sei ϕA der entsprechende Endomorphismus von R3 , wobei R3 als euklidischer
Vektorraum mit dem üblichen Skalarprodukt angesehen wird.
31. (1) Man zeige: Der Endomorphismus ϕA ist orthogonal.
(2) Man zeige, dass 1 ein Eigenwert von ϕA ist mit dim E(ϕA , 1) = 1, und man
bestimme einen Eigenvektor u1 von ϕA zum Eigenwert 1 mit ku1 k = 1.
13
Lineare Algebra II: Blatt 8
(3) Man zeige, dass −1 kein Eigenwert von ϕA ist.
(4) Setze U = E(ϕA , 1)⊥ . Man bestimme eine orthonormale Basis (u2 , u3 ) von U .
32. (5) Man zeige, dass hϕA (u2 ), u3 i + hϕA (u3 ), u2 i = 0 und
hϕA (u2 ), u2 i = hϕA (u3 ), u3 i =
1
2
,
wobei h·, ·i das übliche Skalarprodukt auf R3 bezeichnet.
(6) Man zeige, dass die Einschränkung von ϕA auf U eine Drehung um den Winkel
π/3 ist.
(7) Man bestimme die Matrix von ϕA bezüglich der Basis (u1 , u2 , u3 ).
(8) Man bestimme die Matrix von ϕA bezüglich der Basis (u1 , u3 , u2 ).
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Lineare Algebra II: Blatt 9
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Blatt 9
33. Sei (V, h·, ·i) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum mit dim V = 4
und sei f : V → V ein orthogonaler Endomorphismus. Nehme an, es gibt eine
orthonormale Basis (v1 , v2 , w1 , w2 ) von V und 0 ≤ θ < 2π, so dass
Dθ 0
Aθ =
0 Dθ
die Matrix von f bezüglich (v1 , v2 , w1 , w2 ) ist, wobei
cos θ − sin θ
.
Dθ =
sin θ cos θ
Sei 0 ≤ α < 2π und setze u1 = (cos α)v1 + (sin α)w1 , u2 = (cos α)v2 + (sin α)w2 .
Man zeige:
(1) u1 und u2 sind orthonormal.
(2) Der Untervektorraum U = L(u1 , u2 ) ist f -invariant und Dθ ist die Matrix
von f|U bezüglich (u1 , u2 ).
(3) Man kann u3 , u4 ∈ V so wählen, dass (u1 , u2 , u3 , u4 ) eine orthonormale Basis
von V ist und Aθ die Matrix von f bezüglich (u1 , u2 , u3 , u4 ) ist.
34. Sei A ∈ M(7 × 7, R) die folgende orthogonale Matrix:


1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0


0 1 0 0 0 0 0


0 0 0 0 0 1 0 .


0 0 1 0 0 0 0


0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
Man bestimme eine orthogonale Matrix P , so dass P −1 AP ∈ MO (7 × 7, R).
35. Sei Cn = {A ∈ M(n × n, R) : En + A ist invertierbar} und für A ∈ Cn sei
Ac = (En + A)−1 (En − A) .
(Die Abbildung A 7→ Ac heißt die Cayley-Transformation.) Man zeige:
(1) Für jedes A ∈ Cn gilt (En + Ac )(En + A) = 2En .
Lineare Algebra II: Blatt 9
15
(2) Für jedes A ∈ Cn ist Ac ∈ Cn und es gilt (Ac )c = A.
(3) Eine Matrix A ∈ Cn ist genau dann orthogonal, wenn Ac schief-symmetrisch
ist. (Eine Matrix B ∈ M(n × n, R) heißt schief-symmetrisch, wenn B t = −B.)
(4) Eine Matrix A ∈ Cn ist genau dann schief-symmetrisch, wenn Ac orthogonal
ist.
36. Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum. Eine Abbildung
ψ : V → K heißt Linearform, wenn gilt
ψ(λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ1 ψ(v1 ) + λ2 ψ(v2 )
für alle v1 , v2 ∈ V und alle λ1 , λ2 ∈ K. Für jedes v ∈ V definiere eine Abbildung
ψv : V → K durch ψv (u) = hu, vi für alle u ∈ V . Man zeige:
(1) Für jedes v ∈ V ist ψv eine Linearform.
(2) Ist V endlichdimensional, so gibt es zu jeder Linearform ψ : V → K ein
eindeutiges v ∈ V , so dass ψ = ψv .
Zusatzaufgabe: Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer oder ein unitärer Vektorraum und
sei ψ : V → K eine Linearform. Setze U = Kern ψ = {v ∈ V : ψ(v) = 0}, also
ist U ein Untervektorraum von V . Man zeige: Es gibt ein v ∈ V , so dass ψ = ψv
genau dann, wenn die orthogonale Projektion pU : V → V auf U existiert.
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Lineare Algebra II: Blatt 10
Sommersemester 2004
C. Preston
Übungen zur Linearen Algebra II
Blatt 10
37. Sei (V, h·, ·i) ein unitärer Vektorraum. Man zeige: Ein Endomorphismus f
von V ist selbstadjungiert genau dann, wenn hf (v), vi reell ist für alle v ∈ V .
(Hinweis: Man stelle zunächst fest: Sind z1 , z2 ∈ C mit zz1 + zz2 ∈ R für alle
z ∈ C, so ist z1 = z2 .)
In den Aufgaben 38, 39 und 40 sei (V, h·, ·i) ein euklidischer oder ein unitärer
Vektorraum.
38. Seien f, g selbstadjungierte Endomorphismen von V . Man zeige:
(1) Es gilt hf (u + v), u + vi = hf (u), ui + hf (v), vi + 2 hf (u), vi für alle u, v ∈ V ,
wenn (V, h·, ·i) eine euklidischer Vektorraum ist.
(2) Wenn (V, h·, ·i) eine unitärer Vektorraum ist, so gilt
hf (u + v), u + vi − ihf (iu + v), iu + vi
= (1 − i)(hf (u), ui + hf (v), vi) + 2 hf (u), vi
für alle u, v ∈ V .
(3) Es gilt f = 0, falls hf (v), vi = 0 für alle v ∈ V .
(4) Es gilt f = g, falls hf (v), vi = hg(v), vi für alle v ∈ V .
39. Sei V endlichdimensional und sei f : V → V ein Endomorphismus von V .
Man zeige:
(1) Es gilt Kern f = (Bild f ad )⊥ und Kern f ad = (Bild f )⊥ .
(2) Es gilt Bild f = (Kern f ad )⊥ und Bild f ad = (Kern f )⊥ .
(3) Es gilt dim Kern f = dim Kern f ad und dim Bild f = dim Bild f ad .
(Hinweis: Man zeige zunächst, dass Kern f ⊥ Bild f ad und Kern f ad ⊥ Bild f .)
40. (1) Sei V endlichdimensional mit dim V = n ≥ 1 und seien f, g : V → V
selbstadjungierte Endomorphismen von V . Man zeige: Es gilt f ◦ g = g ◦ f genau
dann, wenn es eine orthonormale Basis (u1 , . . . , un ) von V gibt, so dass für jedes
j = 1, . . . , n der Vektor uj gleichzeitig ein Eigenvektor von f und von g ist.
(Hinweis: Man zeige zunächst, dass g(E(f, λ)) ⊂ E(f, λ) für jeden Eigenwert λ
von f , wenn f ◦ g = g ◦ f .)
(2) Seien A, B ∈ M(n × n, R) symmetrische Matrizen. Man zeige: AB = BA gilt
genau dann, wenn es eine orthogonale Matrix P ∈ M(n × n, R) gibt, so dass die
beiden Matrizen P −1 AP und P −1 BP Diagonalmatrizen sind.
Lineare Algebra II: Blatt 10
17
(3) Seien A, B ∈ M(n × n, C) Hermitesche Matrizen. Man zeige: AB = BA gilt
genau dann, wenn es eine unitäre Matrix P ∈ M(n×n, C) gibt, so dass die beiden
Matrizen P −1 AP und P −1 BP Diagonalmatrizen sind.
Zusatzaufgabe: Sei K ein Körper und sei A ∈ M(m × n, K) mit A 6= 0. Seien
u1 , . . . , um ∈ K n die Zeilen und v1 , . . . , vn ∈ K m die Spalten von A. Man zeige:
(1) Gibt es Matrizen B ∈ M(m×s, K) und C ∈ M(s×n, K) mit A = BC, so gilt
L(u1 , . . . , um ) ⊂ L(w1 , . . . , ws ), wobei w1 , . . . , ws ∈ K n die Zeilen von C sind.
(2) Gibt es Matrizen B ∈ M(m × s, K) und C ∈ M(s × n, K) mit A = BC, so
gilt dim L(u1 , . . . , um ) ≤ s.
(3) Ist (v10 , . . . , vs0 ) eine Basis von L(v1 , . . . , vn ), so gibt es eine (eindeutige) Matrix
C ∈ M(s × n, K), so dass A = BC, wobei B ∈ M(m × s, K) die Matrix ist, die
v10 , . . . , vs0 als Spalten hat.
(4) Es gilt dim L(u1 , . . . , um ) ≤ dim L(v1 , . . . , vn ).
(5) Es gilt auch dim L(v1 , . . . , vn ) ≤ dim L(u1 , . . . , um ) und damit ist
dim L(v1 , . . . , vn ) = dim L(u1 , . . . , um ) .
(Aus einem DDR-Schulbuch, entdeckt von Oliver Wendland.)
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Lineare Algebra II: Blatt 11
Sommersemester 2004
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Übungen zur Linearen Algebra II
Blatt 11
41. (1) Sei (V, h·, ·i) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und sei f
ein Endomorphismus von V . Man zeige: Gibt es eine aus Eigenvektoren von f
bestehende orthonormale Basis von V , so ist f selbstadjungiert.
(2) Sei A ∈ M(n × n, R). Man zeige: Die Matrix A ist symmetrisch, falls es eine
orthogonale Matrix P ∈ M(n × n, R) gibt, so dass P −1 AP eine Diagonalmatrix
ist.
42. Sei A ∈ M(n × n, R) eine symmetrische Matrix. Man zeige:
(1) Es gibt eine symmetrische Matrix B ∈ M(n × n, R) mit B 3 = A.
(2) Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:
(a) Es gibt eine symmetrische Matrix B ∈ M(n × n, R) mit B 2 = A.
(b) Alle Eigenwerte von A sind größer gleich null.
(c) Es gilt v t Av ≥ 0 für alle v ∈ Rn = M(n × 1, R).
In den Aufgaben 43 und 44 seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über
einem Körper K mit dim V = m ≥ 1, dim W = n ≥ 1. Für eine Bilinearform
s : V × W → K definiere L(s) ⊂ V und R(s) ⊂ W durch
L(s) = {v ∈ V : s(v, w) = 0 für alle w ∈ W } ,
R(s) = {w ∈ W : s(v, w) = 0 für alle v ∈ V } .
Also ist L(s) ein Untervektorraum von V und R(s) ein Untervektorraum von W .
43. Seien s, ŝ : V × W → K Bilinearformen. Man zeige:
(1) Gibt es einen Endomorphismus g : W → W mit ŝ(v, w) = s(v, g(w)) für alle
v ∈ V , w ∈ W , so ist L(s) ⊂ L(ŝ).
(2) Sei L(s) ⊂ L(ŝ). Dann gibt es einen Endomorphismus g : W → W , so dass
ŝ(v, w) = s(v, g(w)) für alle v ∈ V , w ∈ W .
(3) Der Endomorphismus g in (2) ist eindeutig, wenn R(s) = {0}.
Hinweis für (2): Sei r = rang s. Nach Satz 22.1 gibt es eine Basis α = (v1 , . . . , vm )
r
von V und eine Basis β = (w1 , . . . , wn ) von W , so dass Em,n
die Matrix von s
bezüglich α und β ist. Man stelle fest, dass L(s) = L(vr+1 , . . . , vm ) und folge
daraus, dass ŝ(vj , wk ) = 0 für alle j = r + 1, . . . , m, k = 1, . . . , n. Man berechne
nun, was die Matrix von g bezüglich β sein muss, wenn ŝ(v, w) = s(v, g(w)) für
alle v ∈ V , w ∈ W gilt.
Lineare Algebra II: Blatt 11
19
44. Sei s : V × W → K eine Bilinearform und für jedes E ⊂ V setze
E ⊥ = {w ∈ W : s(v, w) = 0 für alle v ∈ E} ;
also ist E ⊥ ein Untervektorraum von W . Man zeige: Ist L(s) = {0}, so gilt
dim U + dim U ⊥ = dim W
für jeden Untervektorraum U von V .
Hinweis: Sei p = dim U ≥ 1 und q = dim U ⊥ . Wähle eine Basis (v1 , . . . , vm ) von
V , so dass (v1 , . . . , vp ) eine Basis von U ist und eine Basis (w1 , . . . , wn ) von W ,
so dass (wn−q+1 , . . . , vn ) eine Basis von U ⊥ ist. Sei A = (aij ) die Matrix von s
bezüglich (v1 , . . . , vm ) und (w1 , . . . , wn ) und sei B = (bij ) die p × (n − q) Matrix
mit bij = aij für alle 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n − q. Man stelle fest:
(1) Es gilt rang B = p und damit ist p ≤ n − q.
(2) Für jedes (λ1 , . . . , λn−q ) ∈ Lös(B, 0) ist λ1 w1 + · · · + λn−q wn−q ∈ U ⊥ .
(3) Es gilt Lös(B, 0) = {0} und damit ist n − q ≤ p.
Lineare Algebra II: Blatt 12
Sommersemester 2004
20
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Übungen zur Linearen Algebra II
Blatt 12
In den folgenden Aufgaben seien V und W endlichdimensionale Vektorräume
über einem Körper K mit dim V ≥ 1 und dim W ≥ 1.
Man darf Folgendes verwenden: Sind V1 und U Untervektorräume von V , dann
gibt es einen Untervektorraum V2 von V , so dass
V = V1 ⊕ V2
und U = (U ∩ V1 ) ⊕ (U ∩ V2 ) .
(Sei (u1 , . . . , up ) eine Basis von U ∩ V1 ; nach dem Basisergänzungssatz gibt es
Vektoren v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr ∈ V , so dass (u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq ) eine Basis
von V1 und (u1 , . . . , up , w1 , . . . , wr ) eine Basis von U ist. Nach dem Beweis für
Satz 4.8 ist dann (u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr ) eine Basis von U + V1 . Nach
dem Basisergänzungssatz gibt es nun Vektoren w10 , . . . , ws0 ∈ V , so dass
(u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr , w10 , . . . , ws0 )
eine Basis von V ist. Setze V2 = L(w1 , . . . , wr , w10 , . . . , ws0 ); dann gilt V = V1 ⊕ V2
und U = (U ∩ V1 ) ⊕ (U ∩ V2 ).)
45. Sei s : V × W → K eine Bilinearform. Man zeige: Es gilt
dim U + dim U ⊥ = dim W + dim(U ∩ L(s))
für jeden Untervektorraum U von V .
Hinweis: Sei U ein Untervektorraum von V . Wähle einen Untervektorraum V 0
von V mit V = L(s) ⊕ V 0 und U = (U ∩ L(s)) ⊕ (U ∩ V 0 ). Sei s0 : V 0 × W → K die
Einschränkung von s auf V 0 × W , d.h., s0 (v, w) = s(v, w) für alle v ∈ V 0 , w ∈ W ;
also ist s0 eine Biliearform. Man stelle fest:
(1) Es gilt L(s0 ) = {0}.
(2) Es gilt (U ∩ V 0 )⊥ = U ⊥ .
(3) Es gilt dim(U ∩ V 0 ) + dim U ⊥ = dim W .
(4) Es gilt dim(U ∩ V 0 ) = dim U − dim(U ∩ L(s)).
In den restlichen Aufgaben sei s : V × V → K eine Bilinearform. Für jeden
Untervektorraum U von V setze
U ⊥ = {v ∈ V : s(u, v) = 0 für alle u ∈ U } ,
⊥
U = {v ∈ V : s(v, u) = 0 für alle u ∈ U } ;
Lineare Algebra II: Blatt 12
21
also sind U ⊥ und ⊥ U Untervektorräume von V .
46. Sei U ein Untervektorraum von V . Man zeige:
(1) Es gilt U ⊂ ⊥ (U ⊥ ) und U ⊂ (⊥ U )⊥ .
(2) Ist s nicht ausgeartet, so gilt ⊥ (U ⊥ ) = U und (⊥ U )⊥ = U .
47. Sei s nicht ausgeartet und nehme an, dass s(v, w) = 0 für alle v, w ∈ V mit
s(w, v) = 0. Man zeige, dass s entweder symmetrisch oder schiefsymmetrisch ist.
(s heißt schiefsymmetrisch, wenn s(v, w) = −s(w, v) für alle v, w ∈ V .)
Hinweis: Nach Satz 22.3 gibt es einen eindeutigen Endomorphismus f : V → V ,
so dass st (v, w) = s(f (v), w) für alle v, w ∈ V . Man stelle fest:
(1) Für jedes v ∈ V ist f (v) ∈ ⊥ (L(v)⊥ ) und damit ist f (v) ∈ L(v).
(2) Es gibt ein λ ∈ K, so dass f = λidV . (Aufgabe 33, LA I).
(3) Es gilt λ2 = 1.
48. Nehme an, dass s(v, w) = 0 für alle v, w ∈ V mit s(w, v) = 0. Man zeige,
dass s entweder symmetrisch oder schiefsymmetrisch ist.
Hinweis: Wähle einen Untervektorraum U von V mit V = L(s) ⊕ U und sei
s0 : U × U → K die Einschränkung von s auf U × U ; also ist s0 eine Bilinearform.
Man stelle fest:
(1) Die Bilinearform s0 ist nicht ausgeartet.
(2) s0 ist entweder symmetrisch oder schiefsymmetrisch.
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Lineare Algebra II: Blatt 13
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Übungen zur Linearen Algebra II
Blatt 13
Im Folgenden sei K ein Körper mit charK 6= 2.
49. (1) Sei V ein Vektorraum über K und sei s : V × V → K eine symmetrische
Bilinearform. Man zeige: Es gilt s(v, v) = 0 für alle v ∈ V genau dann, wenn
s = 0.
(2) Man finde eine symmetrische Bilinearform s : F22 × F22 → F2 mit s 6= 0 aber
mit s(v, v) = 0 für alle v ∈ F22 .
50. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und sei s : V × V → K
eine symmetrische Bilinearform. Man zeige: Es gibt eine Basis α von V , so dass
die Matrix von s bezüglich α eine Diagonalmatrix ist.
Hinweis: Sei dim V = n ≥ 2 und sei v ∈ V ein Vektor mit s(v, v) 6= 0; setze
W = {w ∈ V : s(w, v) = 0} und sei s0 : W × W → K die Einschränkung von s
auf W × W ; also ist s0 eine symmetrische Bilinearform. Man stelle fest:
(1) Es gilt dim W = n − 1, und ist (w1 , . . . , wn−1 ) eine Basis von W , so ist
(w1 , . . . , wn−1 , v) eine Basis von V .
(2) Ist die Matrix von s0 bezüglich (w1 , . . . , wn−1 ) eine Diagonalmatrix, so ist die
Matrix von s bezüglich (w1 , . . . , wn−1 , v) ebenfalls eine Diagonalmatrix.
Sei 1 ≤ i, j ≤ n mit i 6= j und λ ∈ K mit λ 6= 0. Sei Qn (i, j, λ) folgendes Element
von M(n × n, K):


1


..
.






1

 ← i-te Zeile


1
λ




1


.


..
Qn (i, j, λ) = 



1




1




1




.
.


.
1
↑ j-te Spalte
(Außer der eingetragenen oder der durch Punkte angedeuteten Komponenten
sind dabei alle Komponenten gleich Null.)
Lineare Algebra II: Blatt 13
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51. Sei A = (bk` ) ∈ M(n × n, K) eine symmetriche Matrix, sei 1 ≤ i, j ≤ n mit
i 6= j und λ ∈ K mit λ 6= 0. Setze B = Qtn (i, j, λ)AQn (i, j, λ). Man zeige:
(1) Die Matrix B ist symmetrisch.
(2) Die Matrix B erhält man durch Addition des λ-fachen der i-ten Spalte zu
der j-ten Spalte von A0 , wobei A0 durch die Addition des λ-fachen der i-ten Zeile
zu der j-ten Zeile von A entsteht.
(3) Sei B = (bk` ). Ist aij 6= 0, dann gibt es ein λ 6= 0, so dass bii 6= 0. Ist
andererseits ajj 6= 0, dann gibt es ein λ 6= 0, so dass bij = 0.
52. (1) Man finde eine invertierbare Matrix Q ∈ M(3 × 3, F3 ), so dass Qt AQ eine
Diagonalmatrix ist, wobei A das folgende Element von M(3 × 3, F3 ) ist:


022
2 2 1 .
212
(2) Sei B das folgende Element von M(2 × 2, F2 ):
01
.
10
Man zeige: Für jede invertierbare Matrix Q ∈ M(2 × 2, F2 ) gilt Qt BQ = B.
(Insbesondere gibt es keine invertierbare Matrix Q ∈ M(2 × 2, F2 ), so dass Qt BQ
eine Diagonalmatrix ist.)
24
Lineare Algebra II: Blatt 13
Beispiel: Man betrachte die folgende symmetrische Matrix A ∈ M(3 × 3, Q):


−1 2 1
A =  2 0 2 .
1 2 3
Dann gilt:



−1 0 1
−1 2 1
A1 = Qt3 (1, 2, 2)AQ3 (1, 2, 2) =  0 4 4  Q3 (1, 2, 2) =  0 4 4  ;
1 4 3
1 2 3




−1 0 0
−1 0 1
A2 = Qt3 (1, 3, 1)A1 Q3 (1, 3, 1) =  0 4 4  Q3 (1, 3, 1) =  0 4 4  ;
0 4 4
0 4 4




−1 0 0
−1 0 1
A3 = Qt3 (2, 3, −1)A2 Q3 (2, 3, −1) =  0 4 4  Q3 (2, 3, −1) =  0 4 0  .
0 0 0
0 0 0

Also gilt


−1 0 0
Qt AQ =  0 4 0  ,
0 0 0
wobei Q = Q3 (1, 2, 2)Q3 (1, 3, 1)Q3 (2, 3, −1). Ferner

1 2
Q = E3 Q3 (1, 2, 2)Q3 (1, 3, 1)Q3 (2, 3, −1) =  0 1
0 0




1 2 1
1 2 −1
=  0 1 0  Q3 (2, 3, −1) =  0 1 −1  .
0 0 1
0 0 1
ist

0
0  Q3 (1, 3, 1)Q3 (2, 3, −1)
1