Übungsblatt 10

MAT111.1 - Lineare Algebra, WS 06/07
Prof. Joachim Rosenthal
Übungsblatt 10
Abgabetermin: Bis Freitag 19.01., 14.00 Uhr (Briefkasten des Assistenten)
Aufgabe 1
a) Seien π1 , π2 Permutationen von {1, 2, 3, 4, 5, 6}, gegeben durch
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
π1 =
, π2 =
1 5 4 3 6 2
4 6 2 1
5
3
6
.
5
Stelle beide Permutationen als Produkt paarweise disjunkter Zyklen und als Produkt von
Transposition dar. Welche dieser Permutationen ist gerade, welche ungerade?


0 ... 0 1
0 . . . 1 0 


b) Berechne det  .
. . .
 .. . . . .. .. 
1 ...
Aufgabe 2
0 0
Eine quadratische Matrix A heisst schiefsymmetrisch, falls At = −A.
a) Zeige: Wenn n ungerade und A ∈ Matn×n (R) schiefsymmetrisch ist, dann gilt det A = 0.
b) Gib für n = 2 und n = 4 Beispiele schiefsymmetrischer Matrizen an, deren Determinante
nicht gleich 0 ist.
Aufgabe 3
Sei K ein Körper und a0 , a1 , . . . , an ∈ K. Zeige:


1 a0 a20 . . . an0
1 a1 a21 . . . an1 
Y


det  .
(aj − ai ).
..
..
..  =
.
.
.
.
.  0≤i<j≤n
1 an a2n . . . ann
Aufgabe 4 Es seien x = (x1 , x2 )t und y = (y1 , y2 )t zwei Vektoren des R2 . Zeige: Der Flächeninhalt
des Parallelogramms (0, x, x + y, y) ist gleich |x1 y2 − x2 y1 |.
Anleitung: Betrachte das Dreieck (0, x, y) mit Seitenlängen a, b, c und bestimme seinen Flächeninhalt A mit der Heron-Formel
p
4A = 2(a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ) − (a4 + b4 + c4 ).
Aufgabe 5 (Annulatoren im Dualraum)
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, V ∗ sein Dualraum, V ∗∗ sein Bidualraum und iV :
V → V ∗∗ der kanonische Isomorphismus. Zu einem Unterraum U ⊆ V definiere den Annulator
von U durch
U 0 := {ϕ ∈ V ∗ | ∀u ∈ U : ϕ(u) = 0}.
Dies ist ein Untervektorraum von V ∗ . Zeige:
a) Es gilt dim U 0 = dim V − dim U .
Anleitung: Wähle eine Basis (u1 , . . . , uk ) von U , ergänze diese zu einer Basis (u1 , . . . , un ) von
V und betrachte die Dualbasis (u∗1 , . . . , u∗n ). Zeige dann, dass (u∗k+1 , . . . , u∗n ) eine Basis von
U 0 ist.
b) Für U 00 := (U 0 )0 ⊆ V ∗∗ gilt U 00 = iV (U ).
Anleitung: Zeige eine Inklusion und benutze Teil a).
Aufgabe 6 (einen Untervektorraum als Lösungsraum darstellen)
Sei U ⊆ Kn ein Untervektorraum und (ϕ1 , . . . , ϕm ) eine Basis des Annulators U 0 . Schreibe ϕi (x) =
ai1 x1 + · · · + ain xn mit aij ∈ K, für 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n, und betrachte die Matrix
A := (aij ) ∈ Matm×n (K).
a) Benutze Aufgabe 5b) um zu zeigen: U = Lös(A | 0).
   
1
0
1 1
  
b) Stelle U = h
1 , 2i als Lösungsraum einer Matrix dar.
1
3