Prof. Dr. U. Görtz Dr. U. Terstiege A. Herrmann WS 2010/11 Lineare Algebra I 13. Übungsblatt Abgabe: Mittwoch, 26. Januar 2011 vor der Vorlesung (Postfach 7 in T03 R03). Hausaufgabe 1 Q Berechne die Determinanten der folgenden beiden Matrizen A und B aus M4×4 ( ). 1 2 −1 2 1 0 1 0 2 2 2 2 4 5 1 5 , A= B= 1 1 0 0 0 3 3 7 −1 −2 2 3 4 1 3 1 Hausaufgabe 2 Sei K ein Körper und seien x1 , ..., xn ∈ K. Zeige: 1 1 ... x1 x ... 2 2 x2 x ... 2 1 .. .. . . n−1 n−1 ... x2 x1 Q ist gegeben durch i<j (xj − xi ). Die Determinante der Matrix 1 xn x2n .. . n−1 xn Hausaufgabe 3 Sei K ein Körper und n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Weiter sei E ∈ Mn×n (K) die Einheitsmatrix. Ist A = (aij )i,j ∈ Mn×n (K), so schreibt man t A für die n × n Matrix über K, deren Eintrag an der Stelle i, j durch aji gegeben ist. a) Sei A ∈ Mn×n (K) mit A · t A = E. Zeige, daß det(A) ∈ {1, −1}. b) Sei A ∈ Mn×n (K) und sei A = −t A (d.h. A ist schiefsymmetrisch). Sei außerdem n ungerade. Zeige, daß det(A) = 0 oder 1 + 1 = 0 in K. Hausaufgabe 4 x1 x2 Die (orientierte) Fläche des durch zwei Vektoren v = und w = aufgespanny1 y2 ten Parallelogramms berechnet sich durch die Formel: F (v, w) = kvk · kwk · sin(](v, w)) 1 Dabei ist ](v, w) der orientierte Winkel zwischen dem Vektor v und dem Vektor w. Das heißt ](v, w) ist der Winkel, um den man den Vektor v gegen den Uhrzeigersinn drehen muss, damit er in die gleiche Richtung wie der Vektor w zeigt. Daraus ergibt sich, dass der orientierte Winkel zwischen w und v i. A.ein anderer ist - nämlich ](w, v) = 360◦ − ](v, w). Weiter definieren wir die Länge eines p x durch kuk = x2 + y 2 . Vektors u = y a) Drücke h in der Skizze durch w und α aus, und begründe anhand dessen die obige Formel für die orientierte Fläche. b) Zeige, daß die orientierte Fläche eine Determinantenfunktion (R2 )2 → R definiert. x1 x2 c) Sei A(v, w) die Matrix mit den Spaltenvektoren v und w: A(v, w) = . Zeige, y1 y2 daß F (v, w) = det(A(v, w)) gilt. Präsenzaufgabe 1 Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl und sei σ ∈ Sn . Sei Pσ die zugehörige Permutationsmatrix. Zeige, daß det(Pσ ) = sgn(σ). Präsenzaufgabe 2 Q Sei A ∈ M3×3 ( ) die folgende Matrix. 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 0 Bestimme die Determinante von A. 2