A Lineare Algebra I - TU Darmstadt/Mathematik
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A
Lineare Algebra I
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
für M, LaG, LaB, Inf, WInf WS 2001/2002
Prof. Dr. Alexander Martin
Armin Fügenschuh
Peter Maier
15./16.1.2002
10. Tutorium
Lösungsvorschläge
T30 Per Definition ist eine komplexe Zahl ein Element aus R × R mit folgender Addition und Multiplikation:
x1
y1
x1 + y2
x1
y1
x1 y1 − x2 y2
+C
=
und
·C
=
.
x2
y2
x2 + y2
x2
y2
x1 y2 + x2 y1
In C finden wir R wieder, und zwar als Teilmenge
R× {0}. Mit G28 schließen wir, dass C ein
1
0
Vektorraum über R ist. Die Vektoren
und
, welche in C auch schlicht 1 und i genannt
0
1
werden, bilden eine Basis von C, da sie eine Basis von R2 sind. Also ist die Dimension von C über
R gleich 2.
T31
a) Wir wählen eine Basis von V . Jeder Vektor von V hat nun genau eine Darstellung als Linearkombination aus Basisvektoren. Also hat V genau q n Elemente.
b) Angenommen, λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λm+1 vm+1 = 0. Ist λm+1 von Null verschieden, so erhalten
wir
λ1
λ2
λm
v1 +
v2 + · · · +
vm = vm+1 ,
λm+1
λm+1
λm+1
was im Widerspruch zur Wahl von vm+1 steht. Also gilt λm+1 = 0. Daraus folgt aber
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λm vm = 0,
was bedeutet, dass λi = 0 für alle i = 1, 2, . . . , m gilt.
c) Wir können eine Basis von V konstruieren, indem wir mit einem beliebigen, vom Nullvektor
verschiedenen Vektor starten und dann sukzessiv weitere Vektoren dazunehmen, welche noch
nicht zum Spann der bislang gewählten Vektoren gehören. Wenn wir auf diese Art n Vektoren
ausgewählt haben, so haben wir eine Basis von V . Diese soeben beschriebene Konstruktion
lässt sich auf
(q n − 1)(q n − q)(q n − q 2 ) · · · (q n − q n−1 )
verschiedene Arten durchführen, was somit der Anzahl der verschiedenen Basen entspricht.
d) Es gibt (q k − 1)(q k − q)(q k − q 2 ) · · · (q k − q k−1 ) Möglichkeiten, eine Basis v1 , v2 , . . . , vk von U
zu wählen, und es gibt (q n − q k )(q n − q k+1 )(q n − q k+2 ) · · · (q n − q n−1 ) Möglichkeiten, Vektoren
vk , vk+1 , . . . , vn so zu wählen, dass v1 , v2 , . . . , vn eine Basis von V bilden. Somit hat V
(q k − 1)(q k − q)(q k − q 2 ) · · · (q k − q k−1 )(q n − q k )(q n − q k+1 )(q n − q k+2 ) · · · (q n − q n−1 )
Basen, die den selben Untervektorraum U aufspannen.
e) Da jeder Untervektorraum der Dimension k eine Basis hat, können wir ihre Anzahl angeben
als:
(q n − 1)(q n − q)(q n − q 2 ) · · · (q n − q n−1 )
.
(q k − 1)(q k − q)(q k − q 2 ) · · · (q k − q k−1 )(q n − q k )(q n − q k+1 )(q n − q k+2 ) · · · (q n − q n−1 )
f) Anzahl Basen: (34 − 1)(34 − 3)(34 − 32 )(34 − 33 ) = 80 · 78 · 72 · 54 = 24261120.
24261120
24261120
Anzahl Untervektorräume: (32 −1)(32 −3)(3
4 −32 )(34 −33 ) = 8·6·72·54 = 130.
T32 Die Menge Q ist abzählbar und Qn = Q × Q × · · · × Q ist als endliches Produkt abzählbarer
Mengen wiederum abzählbar. Sei b1 , b2 , . . . , bn eine Basis von V . Da die Abbildung
Qn → V, (q1 , q2 , . . . , qn ) 7→ q1 b1 + q2 b2 + · · · + qn bn
eine Bijektion ist, ist V ebenso abzählbar.
Der Vektorraum P(Q) über Q ist unendlich-dimensional. Er kann dargestellt werden als
[
P(Q) =
span(1, x, x2 , . . . , xn ).
n∈N
Die Untervektorräume span(1, x, x2 , . . . , xn ) sind endlich-dimensional. Folglich ist P(Q) als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wiederum abzählbar.
