Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS10/11

Fachbereich 6 Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Logik und
Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dieter Spreen
Dr. Hannes Diener
Grundlagen der Theoretischen Informatik, WS10/11
Lösungen Übungsblatt 4
Aufgabe 1. (Zur Illustration des Beweises des Pumpinglemmas) Betrachten Sie den DEA
A pta, bu, tq0 , . . . , q5 u, q0 , tq4 u, ∆q ,
wobei ∆ graphisch gegeben ist durch:
b
start
/ @ABC
GFED
q0
@ABC
GFED
q2
}> AAA
}
AAb
a,b }}
AA
}}
AA
}
}
}
a / GFED
@ABC
@ABC
GFED
89:;
?>=<
q1
q4
a
A` A
}
AA
}
}
AA
}}
a,b AAA }}} b
}~
@ABC
GFED
q3
a
/ @ABC
GFED
q5
k
a,b
(a) Geben Sie ein Wort x P LpAq mit |x| ¡ 9 an.
(b) Welche Zustände des Automaten A werden beim Abarbeiten von x mehrmals durchlaufen?
(c) Für einen der Zustände qi aus Teilaufgabe (b) zerlegen Sie Ihr Wort x in drei Teilwörter uvw x,
so daß px, q0 q $A pvw, qi q, pvw, qi q $A pw, qi q und pw, qi q $A pε, q4 q. Ausserdem soll v nicht das
leere Wort sein.
(d) Geben Sie drei Rechnungen von A an, die zeigen, daß A die Wörter uw, uvvw und uvvvw
akzeptiert.
(e) Zerlegen Sie Ihr Wort x in drei (andere) Teilwörter u1 v 1 w1
x, mit v1 ε, so daß u1w1 R LpAq.
Lösung:
(a) Z.B. x babbbbbaaab
(b) Für obiges x werden die Zustände q1 , q2 , q3 , q4 mehrmals durchlaufen.
1
(c) Für Zustand q1 und u ba, v
bbbb, w baaab, sind die Bedingungen erfüllt.
(d)
puw, q0q pbabaaab, q0q $A pabaaab, q1q
$A pbaaab, q2q
$A paaab, q4q
$A paab, q3q
$A pab, q1q
$A pb, q2q
$A pε, q4q
puvvw, q0q pbabbbbbbbbbaaab, q0q $A pabbbbbbbbbaaab, q1q
$A pbbbbbbbbbaaab, q2q
$A pbbbbbbbbaaab, q4q
$A pbbbbbbbaaab, q3q
$A pbbbbbbaaab, q1q
$A pbbbbbaaab, q2q
$A pbbbbaaab, q4q
$A pbbbaaab, q3q
$A pbbaaab, q1q
$A pbaaab, q2q
$A paaab, q4q
$A paab, q3q
$A pab, q1q
$A pb, q2q
$A pε, q4q
2
puvvvw, q0q pbabbbbbbbbbbbbbaaab, q0q $A pabbbbbbbbbbbbbaaab, q1q
$A pbbbbbbbbbbbbbaaab, q2q
$A pbbbbbbbbbbbbaaab, q4q
$A pbbbbbbbbbbbaaab, q3q
$A pbbbbbbbbbbaaab, q1q
$A pbbbbbbbbbaaab, q2q
$A pbbbbbbbbaaab, q4q
$A pbbbbbbbaaab, q3q
$A pbbbbbbaaab, q1q
$A pbbbbbaaab, q2q
$A pbbbbaaab, q4q
$A pbbbaaab, q3q
$A pbbaaab, q1q
$A pbaaab, q2q
$A paaab, q4q
$A paab, q3q
$A pab, q1q
$A pb, q2q
$A pε, q4q
(e) Z.B. für u1
b, v1 abbbbbbbbbaaa, w1 b, ist u1w1 bb R LpAq.
Aufgabe 2. Gegeben Sei die (kontextfreie) Grammatik G pta, b, cu, tS, T u, S, P q mit Regeln P gegeben durch
Ñ
T Ñ
S
T baT
aT b | cc
(a) Bestimmen Sie die von G erzeugte Sprache (ohne Korrektheitsbeweis).
(b) Leiten Sie ein von Ihnen gewähltes Wort w
P LpGq mit |w| ¡ 10 in der Grammtik G ab.
(c) Ist LpGq regulär? (Vergessen Sie nicht Ihre Antwort zu begründen).
Lösung
(a) L tan ccbn baam ccbm | n, m ¥ 0u.
(b) Eine Ableitung für aaccbbbaaccb ist:
S
ñG T baT ñG aT baT ñG aaT bbbaT ñG aaccbbbaT ñG aaccbbbaaT b ñG aaccbbbaaccb.
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(c) LpGq ist nicht regulär. Denn wäre LpGq regulär, dann gebe es nach dem Pumpinglemma ja
ein k, so daß für jedes x P LpGq mit |x| ¡ k die Eigenschaften im PL gelten. Also auch für
x ak ccbk bacc (für das ja |x| 2k 6 ¡ k). Also gibt es eine Zerlegung x uvw, so daß
|uv| k, v ε und p@i P Nqpuviw P LpGqq. Nach unserer Wahl von x bedeutet dies, daß u al ,
v am und w ap ccbk bacc mit l m p k und m ¡ 0. Dann ist uv 0 w al p ccbk bacc P LpGq;
ein Widerspruch, da l p k
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass die Klasse der kontextfreien Sprachen unter Vereinigung, Konkatenation, und Kleene Abschluss abgeschlossen sind. Genauer:
Seien L und L1 Sprachen über einem Alphabet Σ, die von den kontextfreien Grammatiken G pΣ, N, S, P q und G1 pΣ, N 1, S 1, P 1q erzeugt werden. Konstruieren Sie aus G und G1 kontextfreie
Grammatiken, die die. . .
(a) . . . Vereinigung L Y L1 ,
(b) die Konkatenation L L1 und
(c) den Kleene Abschluss pLq
akzeptieren.
Lösung: Nach eventuellem Umbenennen, können wir annehmen, dass N1 X N2
sei S ein Zeichen, so dass S R N1 Y N2 .
H. Ausserdem
(a) Eine kontextfreie Grammatik, die L1 Y L2 erzeugt, ist
pΣ, N1 Y N2 Y tS u, S, P3q,
wobei die Menge der Produktionen P3 P1 Y P2 Y tS Ñ S1 | S2 u ist.
G3
(b) Eine kontextfreie Grammatik, die L1 L2 erzeugt, ist
pΣ, N1 Y N2 Y tS u, S, P4q,
wobei die Menge der Produktionen P4 P1 Y P2 Y tS Ñ S1 S2 u ist.
G4
Beachten Sie den winzigen Unterschied zwischen G3 und G4 , der nur in der ersten anzuwendenden Regel liegt!
(c) Eine kontextfreie Grammatik, die pL1 q erzeugt, ist
pΣ, N1tS u, S, P4q,
wobei die Menge der Produktionen P4 P1 Y tS Ñ S1 S | εu ist.
G5
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache L (über dem Alphabet t0, 1u) kontextfrei ist. (D.h.
geben Sie eine kontextfreie Grammatiken an, die L erzeugt.) Ein Korrektheitsbeweis ist nicht nötig.
L t0i 1j | i j oder j
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i u.
Lösung:
Wir zeigen zuerst, daß
t0i1j | i j u
kontextfrei ist. L1 wird erzeugt von der Grammatik G pt0, 1u, tS, T, Ru, S, P q wobei die Menge der
L1
Produktionen P gegeben ist durch
S
Ñ
0S1 | S1 | 1
Die Idee hierbei ist, daß jedesmal, wenn eine 0 erzeugt wird, auch eine 1 erzeugt wird, und mindestens
bei der Terminalregel S Ñ 1 eine 1 erzeugt wird, also auch der Fall i j ausgeschlossen wird. Das
gleiche Argument zeigt auch (mit Regeln S Ñ 0S1 | 0S | 0), daß
L2
t0i1j | j iu
kontextfrei ist. Mit der vorigen Aufgabe folgt, daß dann auch L L1 Y L2 kontextfrei ist.
ENDE
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