§1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des Rd

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Donnerstag 24.4
$Id: unter.tex,v 1.4 2014/04/25 14:28:27 hk Exp hk $
§1
Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des Rd
In der letzten Sitzung haben wir Karten und Parametrisierungen von Untermannigfaltigkeiten des Rd eingeführt und gesehen das diese zumindest lokal Umkehrabbildungen voneinander sind. Außerdem haben wir Untermannigfaltigkeiten durch die
Existenz eines überdeckenden Systems von Parametrisierungen charakterisiert. Damit
können wir jetzt beispielsweise die durch eine einzelne Parametrisierung gegebenen
Untermannigfaltigkeiten bestimmen.
Korollar 1.5 (n-dimensionale Flächenstücke im Rd )
Seien n, d ∈ N mit d ≥ 1 und n ≤ d, q ∈ N∗ , U ⊆ Rn offen und ϕ : U → Rd eine q-fach stetig differenzierbare Funktion mit rang ϕ0 (x) = n für alle x ∈ U . Dann
ist das Bild M := ϕ(U ) ⊆ Rd genau dann eine n-dimensionale, eingebettete C q Untermannigfaltigkeit des Rd wenn die Abbildung ϕ : U → M offen ist.
Beweis: Wir zeigen zunächst das ϕ lokal injektiv ist, dass es also für jedes x ∈ U eine
offene Menge V ⊆ Rn mit x ∈ V ⊆ U gibt so, dass ϕ|V injektiv ist. Sei also x ∈ U
gegeben. Da rang ϕ0 (x) = n ist, hat die Jacobimatrix ϕ0 (x) auch n linear unabhängige
Zeilen, es gibt also 1 ≤ i1 < . . . < in ≤ d so, dass die aus den entsprechenden Zeilen von
ϕ0 (x) gebildete n × n-Matrix invertierbar ist. Ist dann ψ := (ϕi1 , . . . , ϕin ) : U → Rn ,
so ist ψ 0 (x) invertierbar, also gibt es nach dem Satz über Umkehrfunktionen offene
Mengen V, W ⊆ Rn mit x ∈ V ⊆ U so, dass ψ|V : V → W ein C q -Diffeomorphismus
ist. Insbesondere ist ψ|V injektiv und damit ist auch ϕ|V injektiv.
”=⇒” Nehme also an das M ein eingebettete, n-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit
des Rd ist. Sei V ⊆ U offen. Sei x ∈ V . Dann gibt es eine offene Menge W ⊆ Rn mit
x ∈ W ⊆ U so, dass ϕ|W injektiv ist. Nach Satz 4.(c) ist ϕ|W eine Parametrisierung
von M , und insbesondere ist ϕ(V ∩ W ) offen in M mit ϕ(x) ∈ ϕ(V ∩ W ) ⊆ ϕ(W ).
Dies zeigt das ϕ(x) ein innerer Punkt von ϕ(V ) in M ist. Damit ist ϕ(V ) eine offene
Teilmenge von M . Die Abbildung ϕ bildet also offene Teilmengen von U auf offene
Teilmengen von M ab und ist somit eine offene Abbildung.
”⇐=” Ist y ∈ M , so gibt es ein x ∈ U mit y = ϕ(x) und weiter eine offene Menge
V ⊆ Rn mit x ∈ V ⊆ U so, dass ϕ|V injektiv ist. Da ϕ eine offene Abbildung ist, ist
auch die Einschränkung ϕ|V : V → M offen und somit ist ϕ|V eine Parametrisierung
von M mit y = ϕ(x) ∈ im(ϕ|V ). Nach Satz 4.(a) ist M damit eine eingebettete,
n-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des Rd .
Die als Bild einer einzigen Abbildung gegebenen Untermannigfaltigkeiten sind eine der ergiebigsten Beispielklassen von Untermannigfaltigkeiten. Die Rangbedingung
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rang ϕ0 (x) = n für alle x ∈ M = ϕ(U ) ist aber nicht notwendig dafür das M eine
Untermannigfaltigkeit ist, haben wir beispielsweise eine weitere offene Menge U 0 ⊆ Rn
und eine surjektive, C q -Abbildung ψ : U 0 → U , so hat auch ϕ ◦ ψ das Bild M und
wegen rang(ϕ ◦ ψ)0 (x) ≤ rang ψ 0 (x) für alle x ∈ U 0 kann die Ableitung von ϕ ◦ ψ in
U 0 auch Rang echt kleiner als n haben. Spezialisieren wir das Korollar noch auf den
Kurvenfall n = 1, so wird die Rangbedingung rang ϕ0 (x) = n zu ϕ0 (x) 6= 0 und es
ergibt sich:
Korollar 1.6 (Bilder von C q -Kurven als Untermannigfaltigkeiten)
Seien d ∈ N mit d ≥ 1, q ∈ N∗ , I ⊆ R ein offenes Intervall und γ : I → Rd eine
q-fach stetig differenzierbare Kurve mit γ 0 (t) 6= 0 für alle t ∈ I. Dann ist das Bild
C := Bild(γ) genau dann eine eindimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit
des Rd wenn die Abbildung γ : I → C offen ist.
Beweis: Dies ist der Spezialfall n = 1 von Korollar 5.
Neben unseren beiden bisher entwickelten Standpunkten gibt es noch eine dritte wichtige Beschreibung eingebetteter Untermannigfaltigkeiten des Rd , nämlich als durch
Gleichungen beschriebene Teilmengen des Rd . Wir beginnen die Diskussion dieses Zugangs indem wir den entsprechenden Satz beweisen.
Satz 1.7 (Reguläre Urbilder sind Untermannigfaltigkeiten)
Seien n, d ∈ N\{0}, q ∈ N∗ , U ⊆ Rd offen und f : U → Rn eine C q -Abbildung.
Sei a ∈ Rn und für jedes x ∈ M := f −1 (a) ⊆ Rd sei die Ableitung f 0 (x) : Rd → Rn
surjektiv. Dann ist M eine eingebettete, (d−n)-dimensionale, C q -Untermannigfaltigkeit
des Rd .
Beweis: Wir beginnen mit zwei kleinen Normierungen. Zunächst können wir durch
Übergang zu x 7→ f (x) − a stets a = 0 annehmen. Weiter können wir die Koordinaten
im Rd bei Bedarf beliebig permutieren, denn ist τ : Rd → Rd eine Permutation der
Koordinaten, so erfüllt auch f ◦ τ alle Voraussetzungen des Satzes und wegen (f ◦
τ )−1 (a) = τ −1 (f −1 (a)) ist die Aussage des Satzes nach Lemma 1.(b) genau dann für f
erfüllt wenn sie für f ◦ τ zutrifft. Damit können wir zum eigentlichen Beweis kommen.
Sei x ∈ M . Da f 0 (x) surjektiv ist, ist
*
+
∂f
∂f
Rn =
(x), . . . ,
(x) ,
∂x1
∂xd
und durch Umbenennen der Koordinaten können wir auch
*
+
∂f
∂f
Rn =
(x), . . . ,
(x)
∂x1
∂xn
annehmen. Schreibe Rd = Rn × Rd−n , und betrachte die Funktion
F : U → Rd ; (u, v) 7→ (f (u, v), v) .
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Dann ist F ∈ C q (U, Rd ), und die Ableitung in x ist
 ∂f1
∂f1
1
(x) · · · ∂x
(x) ∂x∂fn+1
(x) · · ·
∂x1
n

..
..
..

.
.
 ∂f .
∂fn
∂fn
n

(x)
(x)
·
·
·
(x) · · ·
∂x
∂xn
∂xn+1
F 0 (x) = 
 1
1


...

∂f1
(x)
∂xd
..
.
∂fn
(x)
∂xd





,




1
und diese Matrix ist invertierbar. Nach dem Satz über die Umkehrfunktion existieren offene Mengen V, W ⊆ Rd mit x ∈ V ⊆ U so, dass F : V → W ein C q Diffeomorphismus ist. Für (u, v) ∈ V ist genau dann (u, v) ∈ M , wenn f (u, v) = 0
gilt, d.h. F (u, v) ∈ {0}n × Rd−n ist. Damit gilt F (V ∩ M ) = W ∩ ({0}n × Rd−n ) und
mit Lemma 1.(c) folgt die Behauptung.
Einen Wert a ∈ Rn so, dass f 0 (x) für jedes x ∈ f −1 (a) surjektiv ist nennt man auch
einen regulären Wert der Funktion f und f −1 (a) entsprechend ein reguläres Urbild
von f . Der eben bewiesene Satz ist oftmals der einfachste Weg nachzuweisen, dass eine
Teilmenge M des Rd eine eingebettete Untermannigfaltigkeit ist. Wir wollen dies hier
an zwei Beispielen demonstrieren. Wir beginnen wieder mit der Sphäre S n ⊆ Rn+1 .
Hier verwenden wir die Funktion
f :R
n+1
2
→ R; x 7→ ||x|| =
n+1
X
x2i .
i=1
Im Fall n = 1 des obigen Satzes bedeutet die Surjektivitätsforderung offenbar einfach
f 0 (x) 6= 0 für jedes x ∈ U mit f (x) = a. Unser f (x) = ||x||2 hat die Ableitung
f 0 (x)u = 2 < x, u >
(x, u ∈ Rn+1 ),
und damit ist f 0 (x) 6= 0 für jedes x ∈ S n . Also liefert Satz 7 erneut, dass S n eine
eingebettete, n-dimensionale, C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rn+1 ist.
Unser Satz 7 ermöglicht es auch Beispiele zu behandeln, die mit der Definition
beziehungsweise unserem Satz 4.(a) nur schlecht zugänglich sind. Wir wollen zeigen
das die orthogonale Gruppe
On R = a ∈ Rn×n at a = 1
eine eingebettete Untermannigfaltigkeit des Rn×n ist, wobei at für die transponier2
te Matrix steht. Damit dies in unseren Rahmen passt müssen wir uns Rn×n als Rn
denken. Wir wollen die orthogonale Gruppe als ein reguläres Urbild schreiben. Als
Funktion werden wir einfach f (a) = at a verwenden, allerdings müssen wir etwas aufpassen was wir als Bildraum verwenden, es muss ja die Surjektivität der Ableitungen
f 0 (a) sichergestellt sein. Nun ist at a immer eine symmetrische Matrix, d.h. ist
S := a ∈ Rn×n at = a
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die Menge der symmetrischen n × n-Matrizen, so betrachten wir die Abbildung
f : Rn×n → S; a 7→ at a.
Wir können S als einen Rd auffassen, indem wir uns nur die Komponenten aij mit
1 ≤ i ≤ j ≤ n einer symmetrischen n × n Matrix anschauen. Dann ist also d =
1 + . . . + n = n(n + 1)/2, und wir fassen f als Abbildung in den Rn(n+1)/2 auf. Da
jede Komponente des Produkts at a eine Summe von Produkten der Einträge von a ist,
ist f eine C ∞ -Abbildung. Um Satz 7 anzuwenden, müssen wir somit nur noch zeigen,
dass für jedes a ∈ On R die Ableitung f 0 (a) : Rn×n → S surjektiv ist. Sei also a ∈ On R
gegeben. Für b ∈ Rn×n haben wir
f (a + tb) − f (a)
t→0
t
(a + tb)t (a + tb) − at a
= lim
t→0
t
t
t
t(a b + b a) + t2 bt b
= lim
t→0
t
t
t
= lim a b + b a + tbt b
f 0 (a)b = lim
t→0
t
= a b + bt a.
Mit dieser expliziten Formel ist es leicht, die Surjektivität von f 0 (a) einzusehen, ist
nämlich x ∈ S gegeben, so haben wir die Matrix (1/2)ax ∈ Rn×n mit
1
1
1 t
0
ax =
a ax + xt at a =
x + xt = x
f (a)
2
2
2
da x symmetrisch ist. Jetzt liefert Satz 7, dass On R eine eingebettete C ∞ -Untermannigfaltigkeit des Rn×n der Dimension n2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2 ist.
Im bisherigen Teil dieses Paragraphen haben wir das Konzept einer eingebetteten
Untermannigfaltigkeit eingeführt und verschiedene Kriterien zum Nachweis dieser Eigenschaft hergeleitet. Als nächstes Ziel wollen wir die Anfänge der Differentialrechnung
auf einer Untermannigfaltigkeit einführen, d.h. wir wollen von differenzierbaren Funktionen f : M → N sprechen, wenn M, N eingebettete Untermannigfaltigkeiten sind.
Ausserdem wollen wir für derartige Abbildungen eine Ableitung definieren. Im Rahmen
des Grundstudiums wird Differenzierbarkeit für Abbildungen f : U → Rm eingeführt,
die auf einer offenen Teilmenge U ⊆ Rn eines Rn definiert sind. Wir dehnen diesen
Begriff zuerst auf beliebige Teilmengen des Rn aus.
Definition 1.4: Seien n, m ∈ N, q ∈ N∗ und A ⊆ Rn , B ⊆ Rm zwei Teilmengen. Eine
Abbildung f : A → B heißt q-fach stetig differenzierbar, geschrieben als f ∈ C q (A, B),
wenn es für jedes x ∈ A eine offene Umgebung U von x im Rn und eine Funktion
g ∈ C q (U, Rm ) mit g|U ∩ A = f |U ∩ A gibt.
Die Menge B beschränkt nur die möglichen Werte der Funktion f , von der lokalen
Fortsetzung g wird nicht verlangt das sie nach B abbildet. Insbesondere ist f genau
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dann als Abbildung nach B q-fach stetig differenzierbar wenn f als Abbildung in den
Rm q-fach stetig differenzierbar ist. Für offene Teilmengen des Rn stimmt die obige
Definition offenbar mit der gewöhnlichen Differenzierbarkeit überein. Definieren können
wir Differenzierbarkeit somit für alle Teilmengen des Rn , sinnvoll ist der Begriff aber
nur für hinreichend gutartige Teilmengen, und wir wollen ihn hier erst einmal auch
nur auf unsere eingebetteten Untermannigfaltigkeiten anwenden. Für solche wollen wir
unserer extrinsischen Differenzierbarkeitsdefinition als erstes eine intrinsische Fassung
zur Seite stellen.
Lemma 1.8 (Differenzierbare Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten)
Seien n, m, d ∈ N mit d ≥ 1 und n ≤ d sowie q, r ∈ N∗ mit r ≤ q und sei M ⊆ Rd eine
eingebettete, n-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des Rd . Sei weiter f : M → Rm
eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Es ist f ∈ C r (M, Rm ).
(b) Für jede Karte ϕ von M ist f ϕ−1 : im(ϕ) → Rm eine C r -Abbildung.
(c) Für jedes x ∈ M gibt es eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) so, dass f ϕ−1 :
im(ϕ) → Rm eine C r -Abbildung ist.
(d) Für jede C q -Parametrisierung ϕ von M ist f ϕ : dom(ϕ) → Rm eine C r -Abbildung.
(e) Für jedes x ∈ M gibt es eine C q -Parametrisierung ϕ von M mit x ∈ im(ϕ) so,
dass f ϕ : dom(ϕ) → Rm eine C r -Abbildung ist.
Beweis: (a)=⇒(d). Seien U ⊆ Rn offen und ϕ : U → Rd eine C q -Parametrisierung
von M . Sei x ∈ U . Wegen f ∈ C r (M, Rm ) gibt es dann eine offene Menge V ⊆ Rd mit
ϕ(x) ∈ V und eine C r -Funktion g : V → Rm mit g|V ∩ M = f |V ∩ M . Weiter existiert
eine offene Menge W ⊆ Rn mit x ∈ W ⊆ U und ϕ(W ) ⊆ V , also auch ϕ(W ) ⊆ V ∩ M .
Damit ist
(f ◦ ϕ)|W = g ◦ (ϕ|W )
wieder eine C r -Abbildung. Damit ist f ◦ ϕ ∈ C r (U, Rm ) gezeigt.
(d)=⇒(b). Ist ϕ eine Karte von M , so ist ϕ−1 nach Lemma 3 eine C q -Parametrisierung
von M , d.h. f ◦ ϕ−1 : im(ϕ) = dom(ϕ−1 ) → Rm ist eine C r -Abbildung.
(b)=⇒(c). Klar.
(c)=⇒(a). Sei x ∈ M . Dann gibt es eine Karte ϕ von M mit x ∈ dom(ϕ) so, dass
f ◦ ϕ−1 : im(ϕ) → Rm eine C r -Funktion ist. Weiter existieren offene Mengen U, V ⊆ Rd
und ein C q -Diffeomorphismus ϕ : U → V mit ϕ(U ∩ M ) = V ∩ Rn und ϕ = ϕ|U ∩ M ,
also insbesondere x ∈ dom(ϕ) = U ∩ M . Wegen ϕ(x) = ϕ(x) ∈ V ∩ Rn = im(ϕ)
gibt es offene Mengen W ⊆ Rn , Q ⊆ Rd−n mit ϕ(x) ∈ W ⊆ V ∩ Rn , 0 ∈ Q und
W × Q ⊆ V . Wir erhalten die offene Menge U 0 := ϕ−1 (W × Q) ⊆ U ⊆ Rd und wegen
ϕ(x) = (ϕ(x), 0) ∈ W × Q ist x ∈ U 0 . Da f ◦ ϕ−1 : V ∩ Rn → Rm eine C r -Funktion ist
sind auch
h : W × Q → Rm ; (u, v) 7→ f (ϕ−1 (u)) und g := h ◦ ϕ|U 0 : U 0 → Rm
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C r -Funktionen. Für jedes y ∈ U 0 ∩ M ⊆ U ist ϕ(y) ∈ V ∩ Rn also ϕ(y) = (ϕ(y), 0) und
somit g(y) = h(ϕ(y), 0) = f (ϕ−1 (ϕ(y))) = f (y), d.h. wir haben g|U 0 ∩ M = f |U 0 ∩ M .
Dies zeigt das f : M → Rm eine C r -Funktion ist.
(d)=⇒(e). Klar nach Satz 4.(a).
(e)=⇒(c). Sei x ∈ M . Dann gibt es eine offene Menge U ⊆ Rn und eine C q -Parametrisierung ϕ : U → Rd von M mit x ∈ ϕ(U ) so, dass f ◦ ϕ : U → Rm eine C r -Abbildung
ist. Nach Satz 4.(b) existieren eine offene Menge V ⊆ Rn mit ϕ−1 (x) ∈ V ⊆ U und
eine Karte ψ von M mit ϕ|V = ψ −1 . Dann ist x ∈ ϕ(V ) = im(ϕ|V ) = dom(ψ) und
f ◦ ψ −1 = f ◦ ϕ|V : V → Rm ist eine C r -Abbildung.
Besonders einfache Beispiele differenzierbarer Abbildungen auf einer Untermannigfaltigkeit M sind die Einschränkungen f |M von C r -Abbildungen f : Rd → Rm . Das
Lemma 8 gestattet es auch Abbildungen zu behandeln, die sich im umgebenden Rd
global nicht so gut hinschreiben lassen. Betrachten wir beispielsweise wieder einmal
unseren Torus T ⊆ R3 aus Aufgabe (4). Konstruktionsgemäß haben wir Drehungen
in Meridianrichtung als Einschränkung von Drehungen um die z-Achse im R3 auf T .
Es sollte aber auch so etwas wie Drehungen in Longitudenrichtung geben, aber solche
lassen sich im R3 nicht so einfach angeben. In Termen unserer Parametrisierung von
T ist das allerdings überhaupt keine Schwierigkeit. Für einen gegebenen Drehwinkel
θ ∈ R betrachten wir die Abbildung




(R + r cos φ) cos ψ
(R + r cos(φ + θ)) cos ψ
T → T ;  (R + r cos φ) sin ψ  7→  (R + r cos(φ + θ)) sin ψ  .
r sin φ
r sin(φ + θ)
Dies ist offenbar wohldefiniert und nach Lemma 8 auch eine C ∞ -Abbildung T →
R3 . Unseren Begriff einer auf einer Untermannigfaltigkeit definierten differenzierbaren
Abbildung können wir auch dazu verwenden, den Diffeomorphiebegriff auf eingebettete
Untermannigfaltigkeiten, und sogar beliebige Teilmengen des Rn , auszudehnen.
Definition 1.5 (Diffemorphismen zwischen Teilmengen des Rn )
Seien m, m ∈ N, q ∈ N∗ und A ⊆ Rn , B ⊆ Rm . Ein C q -Diffeomorphismus von A nach
B ist eine bijektive Abbildung f : A → B so, dass f und f −1 beides C q -Abbildungen.
Gibt es einen solchen C q -Diffeomorphismus von A nach B, so heissen A und B C q diffeomorph, oder auch einfach nur diffeomorph wenn q aus dem Kontext klar ist, und
wir schreiben A 'q B beziehungsweise A ' B.
Ein zentraler Zweck eines Differenzierbarkeitsbegriffs ist es natürlich auch eine Ableitung einführen zu können. Angenommen wir haben M ⊆ Rd gegeben, und betrachten
eine C q -Abbildung f : M → Rm . Ist x ∈ M , so können wir f lokal definitionsgemäß
zu einer auf einer offenen Umgebung von x definierten C q -Abbildung g fortsetzen, und
sind versucht f 0 (x) als g 0 (x) zu definieren. Leider ist g aber bei weitem nicht eindeutig,
was diesen Versuch scheitern läßt. Es wird sich nun aber herausstellen, dass der Wert
g 0 (x)v für geeignete Vektoren v ∈ Rd doch nur von f abhängt. Diese Vektoren können
wir wie folgt kennzeichnen.
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Definition 1.6 (Tangentialkegel und Tangentialraum)
Seien d ∈ N mit d ≥ 1, M ⊆ Rd eine Teilmenge und x ∈ M .
(a) Ein Vektor v ∈ Rd heißt ein einseitiger Tangentialvektor an M in x wenn es ein
> 0 und eine stetig differenzierbare Kurve γ : [0, ) → Rd mit γ(0) = x,
γ(t) ∈ M für alle t ∈ [0, ) und γ 0 (0) = v gibt. Die Menge Cx M aller einseitigen
Tangentialvektoren an M in x heißt der Tangentialkegel von M in x.
(b) Ein Vektor v ∈ Rd heißt ein Tangentialvektor an M in x wenn es ein > 0 und
eine stetig differenzierbare Kurve γ : (−, ) → Rd mit γ(0) = x, γ(t) ∈ M für
alle t ∈ (−, ) und γ 0 (0) = v gibt. Die Menge Tx M aller Tangentialvektoren an
M in x heißt der Tangentialraum von M in x.
Beispiele hierzu werden wir uns in der nächsten Sitzung anschauen.
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