T1 Zur Beschreibung von Feldern

T1
T1.1
Zur Beschreibung von Feldern
Der Feldbegriff
In der Physik verstehen wir unter einem ’Feld’ einfach eine Größe, die von Ortsvariablen ~r
abhängt. Beispiele hatten wir schon im ersten Semester: Das Potential einer Masse, die an
einer Feder aufgehängt ist, (Ruhelage ~r0 ), ist
f
(~r − ~r0 )2 ,
2
also eine Funktion des Ortes ~r. Das zugehörige Kraftfeld ist
V (~r) =
~ r ) = −∇V (~r) = −f · (~r − ~r0 ) .
K(~
(T1.1)
(T1.2)
Auch die Massendichte ρm (~r) eines Körpers ist ein Feld. In §T11.3 (Mechanik) hatten wir die
longitudinalen Schwingungen eines eindimensionalen Festkörpers durch das Verschiebungsfeld u(x, t) beschrieben. Es hängt von der Ruhelage x des betrachteten Massenelementes ab,
ist also ein Feld. In diesem Semester haben wir das Strömungsfeld ~v (~r, t) einer Flüssigkeit
(oder eines Gases) kennengelernt. Es gibt die am Ort ~r zur Zeit t gemessene Geschwindigkeit
~ r , t) und das Magnetfeld B(~
~ r , t) werden in dieser Vorlesung eine
an. Das elektrische Feld E(~
zentrale Rolle spielen.
Wie alle physikalischen Größen können wir die Felder nach ihren Transformationseigenschaften unter Drehungen klassifizieren (siehe Mechanik, §T3.4). Es gibt skalare Felder, etwa
~ r), ~v (~r, t) und Felder mit höherem Tensorcharakter.
V (~r), ρm (~r), Vektorfelder, etwa K(~
Eine weitere sehr wichtige Unterscheidung ist die zwischen statischen und dynamischen
~ r ).
Feldern. Statische Felder hängen nicht explizit von der Zeit ab. Beispiele sind V (~r), K(~
Natürlich ändert sich etwa die potentielle Energie während der Bewegung, aber nur, weil
sich ~r ändert: V = V (~r(t)). Dies ist eine implizite Zeitabhängigkeit: Für gegebenes ~r ist
V = V (~r) festgelegt, und es spielt keine Rolle, wann eine konkrete Bewegung ~r(t) den Wert
~r(t) = ~r annimmt. Statische Felder haben also keine eigene Dynamik. Ihr Wert an einem
gegebenen Raumpunkt ändert sich nicht.
Hingegen hängen Dynamische Felder explizit von der Zeit ab. Beispiele sind das Verschiebungsfeld u(x, t) und das Strömungsfeld ~v (~r, t). Betrachten wir zuächst u(x, t). x ist
keine dynamische Variable, sondern gibt an, welches Massenelement wir betrachten. x ist
also das Gegenstück zum Index j, der einen Massenpunkt mj in der Punktmechanik identifiziert. Die dynamische Größe analog zu ~rj (t) ist das Feld u(x, t), und die Dynamik unseres
eindimensionalen Festkörpers wird durch die Bewegungsgleichung (Mechanik, T11.85)
∂2
∂2
u(x, t) = E 2 u(x, t)
2
∂t
∂x
(T1.3)
~ j.
des Feldes beschrieben. Diese ist das Gegenstück zur Newton’schen Gleichung mj ~r¨j = K
(Ich erinnere daran, dass E hier nicht die Energie, sondern eine Materialkonstante, ein
’Elastizitätsmodul’ ist). Die Bewegungsgleichungen von Feldern sind partielle Differentialgleichungen.
Ganz entsprechend ist beim Stömungsfeld ~v (~r, t) ~r der von uns gewählte Ort, an dem wir
~v messen. Also ist ~r keine dynamische Variable. Die Dynamik ist durch die Bewegungsgleichung des Feldes ~v (~r, t) gegeben. Diese Gleichung ist allerdings deutlich komplizierter als die
1
Bewegungsgleichung (T1.3) des Verschiebungsfeldes, und wir wollen sie hier nicht betrachten. (Wenn wir die innere Reibung, - die Viskosität -, vernachlässigen, so ist es die Euler’sche
Gleichung der Hydrodynamik; mit Viskosität erhält man die Navier-Stokes Gleichung).
Das Strömungsfeld einer Flüssigkeit ist gut geeignet, um sich anschaulich klar zu machen,
was man wissen muss, um ein Feld zu bestimmen.
Stellen Sie sich eine kreisförmige Brunnenschale vor. In der
Mitte führt eine Röhre das Wasser zu, über den Rand ringsherum läuft es gleichmäßig über.
Wenn wir das System völlig in Ruhe lassen, (kein Wind,
keine Kinder, die darin herumplatschen), wird sich eine einfache, radial nach außen gerichtete Strömung einstellen. Ihre
Stärke wird vom Zufluss, der Quelle bestimmt. Die Verteilung und Stärke der Quellen -, und auch der Abflüsse, Senken oder negative Quellen genannt -, ist also eine wesentliche
Größe.
Lässt nun ein Kind ein Motorschiffchen im Brunnen herumfahren, so erzeugt dies Wirbel die
sich vom Schiffchen ablösen, mit der Strömung herumtreiben und diese modifizieren. Außer
den Quellen müssen wir also auch die Stärke und Verteilung der Wirbel kennen. Wir wollen in diesem Kapitel sehen, wie man Quellen und Wirbel mathematisch beschreibt. Diese
Beschreibung trifft auf alle Felder zu, doch werden wir der Anschaulichkeit wegen meist das
Strömungsfeld einer Flüssigkeit betrachten.
T1.2
Stromdichte, Divergenz und Quellen
Wie können wir feststellen, ob im Teilvolumen Ω einer Strömung eine Quelle ist? Wir wollen
annehmen, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist: Die Massendichte ist konstant
ρm (~r, t) = ρ(0)
m = const
(T1.4)
Inkompressibilität.
Für normale Flüssigkeiten bei nicht zu großen Strömungsgeschwindigkeiten ist dies eine gute
Näherung. Sie impliziert, dass die Gesamtmasse M in Ω konstant ist:
M = Ωρ(0)
m = const.
(T1.5)
Jetzt messen wir, wieviel Masse durch die Oberfläche F von Ω fließt. Fließt mehr (weniger)
heraus als herein, so befindet sich in Ω eine positive (negative) Quelle. Wir müssen also den
Strom durch die Oberfläche bestimmen.
Wir definieren die (Massen-) Stromdichte ~jm (~r, t). Um auch den Fall kompressibler Flüssigkeiten und von Gasen einzuschließen, erlauben wir eine zeitlich und räumlich variierende
Massendichte ρm (~r, t). Der dynamische Zustand des Systems wird also durch das Geschwindigkeitsfeld ~v (~r, t) und die Massendichte ρm (~r, t) beschrieben. Im allgemeinen sind dies glatte, beliebig oft differenzierbare Funktionen. Dies bedeutet, dass wir die Änderung von ~v
2
und ρm bei hinreichend kleinen Änderungen von ~r und t vernachlässigen können (Taylorentwicklung!).
Es sei nun δmf die Masse, die in einem kleinen Zeitintervall (t, t + δt) durch ein kleines
rechteckiges 1 Stück δf der Oberfläche tritt. Da δf klein sein soll, können wir es als eben
annehmen. δf und δt seien so klein, dass wir die Orts- und Zeit-Abhängigkeit von ~v und ρm
vernachlässigen können. (Zum Schluss werden wir den Limes δf → 0, δt → 0 durchführen).
δf sei um ~r zentriert und stehe senkrecht zur Strömungsrichtung ~v (~r, t). Offensichtlich ist dann die in δt durchströmende
Masse δmf die Masse, die zur Zeit t im Quader δf ·|~v |δt war.
Also gilt bis auf vernachlässigbar kleine Korrekturen
δmf = ρm (~r, t)δf |~v (~r, t)|δ t .
Was erhalten wir, wenn δf schräg zu ~v steht? Offensichtlich ist das relevante
Volumen jetzt ein Spat. Die Senkrechte auf der Grundfläche
schließt mit δf den Winkel α ein und das Volumen ist
δf cos α|~v |δt. Es folgt
δmf = ρm (~r, t) cos α δf |~v (~r, t)|δ t .
(T1.6)
Dies lässt sich auch anders ausdrücken: Die Neigung eines ebenen Flächenstückchens im
Raum ist auch festgelegt, wenn wir die Richtung senkrecht zur Fläche angeben. Der Einheitsvektor ~n senkrecht zu δf schließt mit ~v den Winkel α ein:
~n · ~v = |~v | cos α .
Wir definieren jetzt das vektorielle Flächenelement
δf~ = ~nδf .
(T1.7)
δmf
= δf~ · ~jm (~r, t)
δt
(T1.8)
~jm (~r, t) = ρm (~r, t)~v (~r, t) .
(T1.9)
Gleichung (T1.6) erhält die Form
mit dem Vektorfeld der Stromdichte
1
Die Annahme, dass δf rechteckig ist, ist nicht wesentlich. Sie dient nur zur Vereinfachung der Vorstellung.
3
Dies ist offensichtlich ein sinnvoller Ausdruck für den Massenstrom in einem Fluid. ~jm hat
die Dimension
[~jm ] =
Masse
.
Länge2 Zeit
~ · ~jm die Masse an, die im differentiell kleinen Zeitintervall δt
Nach Definition (T1.8) gibt δf
~ fließt. Diese Definition lässt sich auf jede physidurch das differentielle Flächenelement δf
kalische Größe übertragen, die transportiert wird, wie z.B. die elektrische Ladung.
Um jetzt die Gesamtmasse δMF zu erhalten, die im Zeitinterval δt durch die gesamte Oberfläche F unseres Volumens Ω fließt, teilen wir F in kleine, als eben approximierte Stückchen
δf auf und summieren Gl. (T1.8) über die ganze Oberfläche auf. Dies ist eine Riemann’sche
Summe, die für δf → 0 in das Integral über die Fläche F übergeht. Nehmen wir dann noch
den Limes kurzer Zeitintervalle: δt → 0, so erhalten wir
Z
dMF
= − df~ · ~jm (~r, t) .
(T1.10)
dt
F
Eine Bemerkung ist noch nötig: Nach Definition gilt df~ = ~n(~r)df , wobei ~n(~r) der Einheitsvektor senkrecht zu F im Punkt ~r ist und df den Betrag des differenziellen Flächenelements
angibt. ~n(~r) kann für unser geschlossenes Volumen aber entweder nach innen oder nach
außen zeigen. Die Konvention ist, dass ~n für ein geschlossenes Volumen immer nach außen
zeigt. Dies erklärt das (−) Zeichen in Gl. (T1.8): Wenn ~j überall in Richtung von ~n, also
nach außen zeigt, muss die Masse in Ω auf Grund des Flusses abnehmen.
Um uns mit Gl. (T1.10) vertraut zu machen, wollen wir einfache Fälle betrachen, in denen
jeder das Ergebnis kennt.
B 1.1: Rohrströmung
(0)
Eine inkompressible Flüssigkeit (Gl. (T1.4): ρm (~r, t) ≡ ρm ) fließe durch ein (gerades) Rohr,
~v (~r, t) hat die Richtung ~e1 der Rohrachse. Wir wollen Gl. (T1.10) für das Volumen Ω zwischen den Querschnittsflächen F1 (bei x1 ) und F2 (bei x2 ) auswerten. Da in Ω keine Quellen
sind und die Dichte konstant ist, ist die Masse M in Ω konstant. Also gilt
dM
dMF
=
= 0.
dt
dt
4
~jm zeigt in Richtung von ~v , also in Richtung ~e1 . Ω wird durch F1 , F2 und die Röhrenwand
begrenzt. Der Normalenvektor auf der Wand ist immer senkrecht zu ~e1 . Im Oberflächenintegral (T1.10) fällt der Beitrag der Röhrenwand weg, - klar, durch die Wand kann nichts
fließen. Der Normalenvektor zu F1 ist - ~e1 , der zu F2 ist + ~e1 . Also folgt insgesamt aus
Gl. (T1.10):
Z
Z
~
0 = − df (−~e1 ) · ~e1 |jm | − df~e1 · ~e1 |~jm | ,
F2
F1
oder
Z
df |~jm (~r, t)| =
Z
df |~jm (~r, t)| ,
(T1.11)
F2
F1
was nichts anderes besagt, als dass der Gesamtstrom durch F1 und F2 zu jeder Zeit gleich
ist.
Wie würden wir diese Integrale berechnen? Die Flächen sind Kreisscheiben vom Radius
R. Damit folgt in Zylinderkoordinaten ρ, ϕ, x (Mechanik §T6.2 C) ~r = x~e1 + ρ~eρ (ϕ) und
(Mechanik, §T10.3) df = ρ dρ dϕ.
Also:
ZR
0
dρρ
Z2π
dϕ|~jm (x1~e1 + ρ~eρ (ϕ), t)| =
0
ZR
dρρ
0
Z2π
dϕ|~jm (x2~e1 + ρ~eρ (ϕ), t)| .
0
Zur weiteren Auswertung der Integrale müssten wir ~v (~r, t) und damit ~jm (~r, t) explizit kennen. Das liefert diese Betrachtung natürlich nicht.
————————————————————
B1.2 Brunnenschale
Die Flüssigkeit fließe radial nach außen. Im Querschnitt mögen die Stromlinien etwa so aussehen, wie hier gezeichnet; die Strömung sei stationär, d.h. ~v ist unabhängig von t.
Querschnitt
Außerhalb einer kleinen Umgebung der Quelle und das Randes können wir in guter Näherung
annehmen, dass ~v die Richtung des Einheitsvektors ~eρ hat und |~v | von ϕ unabhängig ist. Es
folgt (Zylinderkoordinaten)
~v = ~eρ (ϕ)v(ρ, z) .
5
Die Flüssigkeit sei inkompressibel:
~jm = ρ(0)
v,
m ~
und die Wassertiefe in der Schale sei h. Wir betrachten
zunächst das Volumen in einer Zylinderschale ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2 .
Wegen der Inkompressibilität ist die Masse in diesem VoludMF
men konstant: dM
dt = 0 = dt .
Aufsicht
Das Volumen wird begrenzt durch
a) die innere Zylinderfläche: ρ = ρ1 , 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ h, Normalenvektor −~eρ (ϕ),
b) die äußere Zylinderfläche: ρ = ρ2 , 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ z ≤ h, Normalenvektor +~eρ (ϕ),
c) den Boden, Normalenvektor −~e3 ,
d) die Grenzfläche zur Luft, Normalenvektor +~e3 .
Gl. (T1.10) ergibt wegen ~eρ · ~e3 = 0, df = ρdϕdz
Z2π
0= −
0
Z2π
−
dϕρ1
Zh
dz(−~eρ (ϕ)) · ~eρ (ϕ)ρ(0)
m v(ρ1 , z)
Zh
dz ~eρ (ϕ) · ~eρ (ϕ)ρ(0)
m v(ρ2 , z) ,
0
dϕρ2
0
0
also
2πρ2
Zh
dz v(ρ2 , z) = 2πρ1
0
Zh
dz v(ρ1 , z) .
(T1.12)
0
Unsere Überlegung gilt aber auch, wenn wir die Flüssigkeitsschicht zwischen den Höhen
δz
v k ~eρ fließt nichts durch die Boden- oder
h1 = z − δz
2 und h2 = z + 2 betrachten: Wegen ~
Deckfläche der Schicht. Es folgt
z+ δz
2
ρ2
Z
z+ δz
2
′
′
dz v(ρ2 , z ) = ρ1
z− δz
2
Z
dz ′ v(ρ1 , z ′ ) .
z− δz
2
Für kleine δz können wir v(ρ, z ′ ) nach Taylor durch v(ρ, z) approximieren. Es folgt im Limes
δz → 0:
ρ2 v(ρ2 , z) = ρ1 v(ρ1 , z) ,
6
oder
v(ρ, z) =
1
v̂(z) .
ρ
(T1.13)
Die Geschwindigkeit fällt also mit dem Abstand vom Zufluss wie ρ1 , - ein unmittelbar einsichtiges Ergebnis.
Jetzt wollen wir den Bereich ρ ≤ ρ1 betrachten, der die Quelle einschließt.
Durch die Oberfläche fließt Masse ab gemäß
dMF
dt
= −2πρ1
=
Zh
dz ρ(0)
m v(ρ1 , z)
0
−2πρ(0)
m
Zh
dz v̂(z) .
(T1.14)
0
Da die Strömung stationär ist, muss aber die Gesamtmasse M in diesem Volumen konstant
sein: dM
dt = 0.
dM
dt
setzt sich zusammen aus dem Abfluss durch die Oberfläche:
Q, d.h. der Masse, die die Quelle pro Zeiteinheit nachliefert.
0=
dM
dMF
=
+ Q.
dt
dt
Q=
2π ρ(0)
m
dMF
dt
und der Quellstärke
(T1.15)
Es folgt:
Zh
dz v̂(z) .
0
————————————————————
Bisher haben wir die Massenbilanz in einem endlichen Volumen Ω betrachtet. Jetzt wollen wir
zum Grenzfall eines differentiell kleinen Volument δΩ übergehen.Dies wird uns einen grund∂
ρm (~r, t)
legenden Zusammenhang zwischen der Stromdichte ~jm (~r, t) und der Änderung ∂t
der Dichte im Punkt ~r liefern. Wir betrachten einen kleinen Quader, zentriert um ~r0 :
z
δx
δx
≤ x ≤ x0 +
x0 −
2
2
δy
δy
≤ y ≤ y0 +
y0 −
2
2
δz
δz
z0 −
≤ z ≤ z0 +
.
2
2
3’
1
2’
1’
2
y
7
3
x
Wir teilen das Oberflächenintegral (T1.10) gemäß den Flächenstückchen auf
Fläche 1’
Z
y0 + δy
2
df~ · ~j =
F
Z
z0 + δz
2
Z
dy
Fläche 1
δx
δx
dz ~e1 · ~j x0 + , y, z, t − ~e1 · ~j x0 − , y, z, t
2
2
z0 − δz
2
y0 − δy
2
Fläche 2’
x0 + δx
2
+
Z
z0 + δz
2
dx
x0 − δx
2
Z
Fläche 2
δy
δy
dz ~e2 · ~j x, y0 + , y, z, t − ~e2 · ~j x, y0 − , z, t
2
2
z0 − δz
2
Fläche 3’
y0 − δy
2
x0 + δx
2
+
Z
dx
x0 − δx
2
Z
Fläche 3
δz
δz
dy ~e3 · ~j x, y, z0 + , t − ~e3 · ~j x, y, z0 − , t
.
2
2
y0 − δy
2
Da δx, δy, δz klein sein sollen, können wir schreiben
δx
δx
~e1 · ~j x0 + , y, z, t − ~e1 · ~j x0 − , y, z, t
2
2
δx
δx
= j1 x0 + , y, z, t − j1 x0 − , y, z, t
2
2
∂
j1 (x0 , y, z, t) + O δx2
= δx
∂x0
∂
= δx
j1 (x0 , y0 , z0 , t) + O δx2 , δx δy, δx δz .
∂x0
Also gilt
y0 + δy
2
Z
z0 + δz
2
dy
y0 − δy
2
Z
dz j1
δx
δx
x0 + , y, z, t − j1 x0 − , y, z, t
2
2
z0 − δz
2
y0 + δy
2
∂
j1 (x0 , y0 , z0 , t)
= δx
∂x0
Z
z0 + δz
2
dy
y0 − δy
2
Z
dz + höhere Terme
z0 − δz
2
∂
= δx δy δz
j (x , y , z , t) + höhere Terme.
| {z } ∂x0 1 0 0 0
δΩ
Die anderen Beiträge werden ebenso ausgewertet. Wir erhalten also:
8
Z
df~ · ~j = δ Ω
F
∂
∂
∂
j1 (~r0 , t) +
j2 (~r0 , t) +
j3 (~r0 , t) + · · ·
∂x0
∂y0
∂z0
(T1.16)
Den Ausdruck in der Klammer nennt mann die Divergenz des Vektorfeldes ~j.
div ~j(~r, t) =
∂
∂
∂
j1 (~r, t) +
j2 (~r, t) +
j3 (~r, t) .
∂x
∂y
∂z
(T1.17)
Dies lässt sich mit Hilfe des Nabla-Operators ausdrücken.
∇ = ~e1
∂
∂
∂
+ ~e2
+ ~e3
,
∂x
∂y
∂z
~j = ~e1 j1 + ~e2 j2 + ~e3 j3
∂
∂
∂
+ ~e2
+ ~e3
· (~e1 j1 + ~e2 j2 + ~e3 j3 )
∇ · ~j =
~e1
∂x
∂y
∂z
= div ~j .
(T1.18)
So weit war dies eine allgemeine Betrachtung zur Auswertung eines Oberflächenintegrals für
ein kleines Volumen δΩ. Jetzt wenden wir dies auf Gl. (T1.10) an:
1 d
MF = −div ~jm (~r, t) + höhere Terme.
δ Ω dt
Im Limes δΩ → 0 verschwinden die höheren Terme und
MF
δΩ
(F )
wird eine Massendichte ρm (~r, t).
Wir erhalten also
∂ (F )
ρ (~r, t) = −div ~jm (~r, t) .
∂t m
(T1.19)
Hierbei steht rechts die Änderung der Dichte im Punkt ~r auf Grund der Strömung. Falls
im Punkt ~r auch Quellen sind, so muss die lokale Quellstärke hinzugefügt werden, um die
∂
ρm (~r, t), zu erhalten. Gibt es in ~r keine Quelle und ist die
gesamte Änderung der Dichte, ∂t
Flüssigkeit inkompressibel, so reduziert sich (T1.19) auf
0 = −div ~jm (~r, t) = −ρ(0)
v (~r, t) ,
m div ~
also
div ~v (~r, t) = 0 .
(T1.20)
Das Strömungsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit ist ’divergenzfrei’.
Um mit der Divergenz vertraut zu werden, wollen wir (T1.20) für unsere Beispiele nachrechnen.
9
B1.3 Die Divergenz einfacher Strömungsfelder
z
Für die Rohrströmung gilt
y
~v (~r, t) = ~e1 v(y, z, t)
div ~v = ∇ · (~e1 v) =
x
∂
v = 0.
∂x
Für die stationäre Strömung in der Brunnenschale gilt
~v = ~eρ
1
v̂(z)
ρ
Sie wird am besten in Zylinderkoordinaten ausgedrückt. Wir könnten jetzt alles durch kartesische Koordinaten ausdrücken.
~eρ =
x ~e1 + y ~e2
;
ρ
ρ=
p
x2 + y 2 .
Die Berechnung der Divergenz ist dann eine längliche Übung in der Anwendung der Kettenregel. Aber ρ, ϕ, z sind ein Satz von Koordinaten, genau so gut wie x, y, z.
div ≡ ∇· lässt sich auch durch diese Koordinaten ausdrücken. Wir definieren
vρ = ~eρ · ~v ,
vϕ = ~eϕ · ~v ,
vz = ~e3 · ~v ≡ v3
~v = vρ ~eρ + vϕ ~eϕ + vz ~e3
und finden in unserer Formelsammlung (Stichwort: Koordinatensysteme)
∇ · ~v =
1 ∂
∂
1 ∂
(ρ vρ ) +
vϕ +
vz .
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
Für unser Problem gilt
vρ =
1
v̂(z),
ρ
vϕ = 0,
vz = 0 .
Also
1 ∂
∇ · ~v =
ρ ∂ρ
1 ∂
1
v̂(z) = 0 .
ρ v̂(z) =
ρ
ρ ∂ρ
10
(T1.21)
T1.3
Kontinuitätsgleichung und Gauß’scher Satz
Aus Gl. (T1.19) folgen weitere sehr wichtige Erkenntnisse. Wir betrachten ein beliebiges
Fluid, Dichte ρm (~r, t). Es gäbe im Punkt ~r weder Quellen noch Senken. Damit wird in
∂
∂ (F )
ρm ≡ ∂t
ρm , d.h. zur Änderung der wirklichen Dichte. Gl. (T1.19) wird zur
Gl. (T1.19) ∂t
Kontinuitätsgleichung der Masse
Kontinuitätsgleichung.
∂
r , t)
∂t ρm (~
+ div ~jm (~r, t) = 0 .
(T1.22)
Diese Gleichung ist die lokale Formulierung der Massenerhaltung.
Um dies zu verstehen, wollen wir einen wichtigen rein mathematischen Satz herleiten, der
direkt aus unseren Betrachtungen folgt. Wir integrieren Gleichung (T1.19) über ein beliebiges
endliches Volumen Ω, Oberfläche F, in dem durchaus Quellen liegen können. Es folgt
Z
Z
∂ (F )
3
~
(~r, t) .
− d r div jm (~r, t) = d3 r ρm
∂t
Ω
Ω
Wenn sich nun ρm (~r, t) auf Grund des Flusses ändert, so kann dies ja nur dadurch geschehen,
dass Masse in die unmittelbare Umgebung von ~r fließt oder aus dieser kommt. Da wir aber
über ~r integrieren, müssen sich diese Effekte im Inneren von Ω wegheben, und das Integral
rechts muss die Änderung der Masse auf Grund des Stromes durch die Oberfläche sein:
Z
d
∂ (F )
(~r, t) = MF .
d3 r ρm
∂t
dt
Ω
Dies hatten wir aber ganz zu Beginn (Gl. T1.10) berechnet:
Z
d
~ · ~jm (~r, t) .
MF = − df
dt
F
Also gilt
Z
F
~ · ~jm (~r, t) =
df
Z
d3 r div ~jm (~r, t) .
(T1.23)
Ω
Gl. (T1.23) ist eine mathematische Beziehung für das Vektorfeld ~jm (~r, t). Als solche ist sie
völlig unabhängig von der Interpretation von ~jm als Massenstrom. Es ist der ’Gauß’sche
Satz’.
11
Gauß’scher Satz
Sei Ω ein geschlossenes endliches Volumen, dessen Oberfläche F stückweise glatt ist.
~h(~r) sei eine in Ω definierte vektorwertige Funktion für die das Volumenintegral über die
Divergenz existiert. Dann gilt
Z
Z
df~ · ~h(~r) = d3 r div ~h(~r) .
F
Ω
Der Gauß’sche Satz erlaubt es also, ein Oberflächenintegral in ein Volumenintegral zu transformieren, und umgekehrt. Wir werden ihn häufig anwenden. Er ist das 3-dimensionale
Analogon zur bekannten Beziehung
h(x1 ) − h(x0 ) =
Zx1
dx
x0
d
h(x) .
dx
Nun können wir uns davon überzeugen, dass die Kontinuitätsgleichung (T1.22) die Massenerhaltung ausdrückt. Wir betrachten ein abgeschlossenes System, Volumen Ω, Oberfläche F,
keine Quellen und Senken. Integration der Kontinuitätsgleichung liefert
Z
Z
∂
3
d r ρm (~r, t) = − d3 r div ~jm (~r, t) .
∂t
Ω
Ω
Links steht die Änderung der Masse M in Ω, und das Integral rechts können wir nach dem
Gauß’schen Satz in ein Oberflächenintegral verwandeln. Es folgt
Z
d
M = − df~ · ~j(~r, t) .
dt
F
Da das System abgeschlossen ist, kann keine Masse durch F austreten, d.h. ~j ist überall
senkrecht zu df~. Also gilt Massenerhaltung:
d
M = 0.
dt
Aus der Mechanik wissen wir, dass Erhaltungsgrößen in der Physik eine zentrale Rolle spielen. Für die Dynamik von Feldern wird diese Rolle von den Kontinuitätsgleichungen übernommen. Betrachten wir etwa die Energie. Analog zur Massendichte
ρm können wir für
R
viele Systeme eine lokale Energiedichte ρE definieren, so dass d3 r ρE (~r, t) die Energie im
δΩ
Teilvolumen δΩ angibt. Ein Beispiel ist ein erwärmter Körper. Wir können im Prinzip die
Temperatur an jedem Punkt messen, und diese ist ein Maß für die gespeicherte Wärmeenergie. Da die Energie erhalten ist, kann sie sich - wenn keine äußeren Quellen vorliegen -, lokal
nur ändern, indem sie transportiert wird. Es muss also ein Energiestrom ~jE existieren, und
wörtliche Übertragung unserer Herleitung ergibt die Kontinuitätsgleichung der Energie
∂
ρE (~r, t) + div ~jE (~r, t) = 0 .
∂t
12
Wie der Energiestrom genau aussieht, hängt vom betrachteten System ab und kann kompliziert sein, 2 aber immer lässt sich ∂ρE /∂t als Divergenz eines Vektorfeldes ausdrücken.
Entsprechendes gilt für die anderen ’lokalen’ Erhaltungsgrößen (Impuls, Drehimpuls, Ladung).
T1.4
Eine Anwendung der Kontinuitätsgleichung:Diffusion
Wir betrachten ein sehr einfaches System: In ein Glas mit Wasser bringen wir einen wasserlöslichen Stoff, Masse Ms . Das System sei in Ruhe, wir rühren nicht um. Der Stoff wird
sich langsam lösen, und durch die Wärmebewegung der Moleküle wird er sich im Glas verteilen, er ’diffundiert’. Diese Diffusion wollen wir beschreiben.
Das grundlegende Feld ist die (Massen-) Dichte ρs (~r, t) des gelösten Stoffes. (Der Index s
steht für ’Stoff’). Da die Masse erhalten ist, erfüllt ρs die Kontinuitätsgleichung
∂
ρs (~r, t) + div ~js (~r, t) = 0 .
∂t
Was wissen wir über den Strom? Da das System in Ruhe ist, ist das hydrodynamische
Strömungsfeld ~v identisch Null,
~v (~r, t) ≡ 0 .
Der Zustand des Systems, und damit ~js ist allein durch das Dichtefeld ρs (~r, t) des gelösten
Stoffes bestimmt. Wir wollen uns jetzt einen einfachen, plausiblen Ansatz für ~js überlegen.
Die einzelnen Moleküle des gelösten Stoffes stoßen ständig mit Molekülen des Lösungsmittels
und führen deshalb eine völlig ungeordnete Bewegung aus.
Jede Bewegungsrichtung ist gleich wahrscheinlich.
(Der Einfluss der Schwerkraft ist bei den betrachteten kleinen Distanzen vernachlässigbar). Dies ist
die ’Brown’sche Bewegung’.
Der Diffusionsstrom ~js mittelt über die Bewegung vieler Teilchen in einem kleinen Volumen
δΩ, genau wie die Dichte ρs über die Masse des gelösten Stoffes in δΩ mittelt. Nehmen wir
zunächst an, dass ρs räumlich konstant ist, dann sind im Mittel gleichviel Moleküle auf jeder
~ und da alle Bewegungsrichtungen gleich wahrscheinlich sind,
Seite eines Flächenelements df
~ treten: Für ρs = const ist
werden im Mittel gleichviel Moleküle von beiden Seiten durch df
~js ≡ 0.
2
Den Energiestrom des elektromagnetischen Feldes werden wir in §T4.6 bestimmen.
13
~js muss also mit der räumlichen Variation von ρs
zusammenhängen. Stehe nun das Flächenelement
df senkrecht zu einer Fläche konstanter Dichte,
(d.h. der Normalenvektor ~n auf df ist tangential
zur Fläche konstanter Dichte). Dann sind wieder
~ · ~j ist
auf beiden Seiten gleichviel Moleküle und df
Null. Ist hingegen df tangential, d.h. ~n senkrecht
zur Fläche konstanter Dichte, so sind auf einer Seite
mehr Moleküle als auf der anderen, und im Mittel
bleibt ein Strom von höherer zu niedrigerer Dichte.
Also steht ~js senkrecht auf den Flächen ρs = const.
Diese Richtung kennen wir aber aus der Mechanik,
(§T6.1). Sie ist durch grad ρs gegeben.
Wir machen also den Ansatz
~js (~r, t) = −D grad ρs (~r, t).
(T1.24)
D ist hierbei die phänomenologische ’Diffusionskonstante’. Sie hängt vom Lösungsmittel,
der gelösten Substanz und der Temperatur ab, und um sie zu berechnen, müssten wir die
Brown’sche Bewegung genauer studieren. Das Minus-Zeichen in (T1.24) berücksichtigt, dass
die Teilchen im Mittel zur niedrigeren Konzentration wandern.
Wir hätten (T1.24) auch einfacher durch ein simples Theoretiker-Argument finden können: ~js ist ein Vektor, abhängig von der räumlichen Änderung von ρs . In führender Ordnung ist diese durch die Ableitungen
∂
∂
∂
∂x ρs ∂y ρs , ∂z ρs gegeben. Um diese zu einem Vektor zusammen zu fassen, müssen wir ∇ρs bilden. Also
~js ∼ ∇ρs .
Wir setzen jetzt (T1.24) in die Kontinuitätsgleichung ein und erhalten die
Diffusionsgleichung.
∂
r , t)
∂t ρs (~
= D div grad ρs (~r, t) .
(T1.25)
Für div grad hat man ein weiteres Symbol eingeführt. Es gilt ja: grad = ∇, div = ∇·. Also
div grad = ∇ · ∇ = ∇2 = ∆
(T1.26)
wobei ∆ der ’Laplace-Operator’ ist. Dessen explizite Form in kartesischen Koordinaten ist
leicht zu bestimmen:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∆ = ∇ · ∇ = ~e1
+ ~e2
+ ~e3
+ ~e2
+ ~e3
· ~e1
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
2
2
2
∂
∂
∂
+ 2+ 2.
=
2
∂x
∂y
∂z
(T1.27)
Den Ausdruck für andere Koordinatensysteme (Zylinderkoordinaten, Polarkoordinaten, ...)
finden Sie in Ihrer Formelsammlung. Damit schreibt man die Diffusionsgleichung auch als
14
∂
ρs (~r, t) = D ∆ ρs (~r, t) .
∂t
Wir wollen jetzt diese Gleichung in einem einfachen Fall lösen. Wir beschränken uns auf ein
unendliches eindimensionales System. Die Diffusionsgleichung reduziert sich auf
∂
∂2
ρs (x, t) = D 2 ρs (x, t).
∂t
∂x
− ∞ < x < +∞.
(T1.28)
Zu Beginn, t = 0, sei der zu lösende Stoff bei x = 0 konzentriert. Einen Lösungsansatz finden
wir durch Dimensionsanalyse. Der Diffusionskoeffizient D hat Dimension (Länge)2 /Zeit, wie
aus der Diffusionsgleichung folgt; ρs hat für unser eindimensionales Problem die Dimension3
Masse/Länge. Wir nehmen nun an, dass ρs (x, t) nur von x, t, D und der zu lösenden Masse
Ms abhängt.
ρs = ρs (x, t, D, Ms )
+∞
Z
dx ρs (x, t, D, Ms ) = Ms = const .
(T1.29)
−∞
√
Eine Größe der Dimension von ρs ist Ms / Dt.
Also schreiben wir
Ms
ρ̄s (x, t, D, Ms ) .
ρs = √
Dt
Die dimensionslose Funktion ρ̄s , kann nur von dimensionslosen Variablen abhängen, und eine
dimensionslose Kombination von x, t, D, Ms ist x2 /Dt. Dimensionsanalyse ergibt also
2
x
Ms
,
(T1.30)
ρs (x, t) = √ ρ̄
Dt
Dt
Mit diesem Ansatz werten wir die Ableitungen in Gl. (T1.28) aus.
Für das Argument von ρ̄ führen wir die Bezeichnung w =
x2
Dt
ein.
√
D ∂
ρs (x, t) =
Ms ∂t
2 ∂ −1
x
t 2 ρ̄
∂t
Dt
2
1
1 −3
∂
x
x2
−
= − t 2 ρ̄
ρ̄ (w) x2
+t 2 − 2
2
Dt
Dt
∂w
w= Dt
3
1
∂
= − t− 2
ρ̄ (w) + w
ρ̄ (w)
.
2
2
∂w
w= x
Dt
3
Die Dimension der Dichte hängt natürlich von der Dimension d des Raumes ab; ρs = Masse/Volumen.
[Volumen] = Länged , also [ρs ] = Masse/Länged . Für unser Beispiel ist d = 1, in der Natur ist offensichtlich
d=3
15
Es gilt weiter (Kettenregel),
∂
∂w ∂
2x ∂
2 √ ∂
w
=
=
=√
.
∂x
∂x ∂w
Dt ∂w
∂w
Dt
Also
√
∂
2 √ ∂
D ∂2
− 21 2 √
√
w
w
D
ρs (x, t) = Dt √
ρ̄(w) x2
2
Ms ∂x
∂w
∂w
w= Dt
Dt
Dt
√ ∂2
1 1 ∂
− 23 √
√
.
ρ̄(w) + w
ρ̄(w)
= t 4 w
2
2 w ∂w
∂w2
w= x
Dt
Einsetzen in (T1.28) ergibt
1 ∂
∂
∂2
− 23 1
− 32
−t
ρ̄(w) + w
ρ̄(w) = 4 t ·
ρ̄(w) + w
ρ̄(w) ,
2
∂w
2 ∂w
∂w2
oder
1
∂2
∂
+
4 w 2 + (2 + w)
ρ̄(w) = 0 .
∂w
∂w 2
(T1.31)
Die Variable t ist herausgefallen! (Wäre der Ansatz (T1.30) nicht mit der Diffusionsgleichung
verträglich, so wäre t nicht herausgefallen).
Unser Ansatz reduziert also die partielle Differenzialgleichung (T1.28) auf die gewöhnliche
Differentialgleichung (T1.31).Diese sieht kompliziert aus, ist aber nicht schlimm. Wir können
nämlich den Differentialoperator in der Klammer als Produkt schreiben
1
∂
∂
+
· 1+4
ρ̄(w) = 0 .
w
∂w 2
∂w
(Überzeugen Sie sich davon, in dem Sie das Produkt ausführen!). Diese Gleichung wird sicher
gelöst, falls gilt
∂
ρ̄(w) = 0 .
1+4
∂w
Lösung:
ρ̄(w) = const e−w/4 .
(T1.32)
Eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt zwei unabhängige Lösungen. Die zweite Lösung ist hier aber unphysikalisch, denn sie verschwindet nicht für w → ∞.
Damit wird gemäß Gl. (T1.29) die gelöste Masse unendlich. Wir haben also als Lösung unseres Diffusionsproblems
x2
Ms
ρs (x, t) = C √ e− 4Dt
Dt
16
gefunden, mit einer noch unbekannten Konstanten C. Diese wird aus (T1.29) bestimmt.
+∞
+∞
Z
Z
dx − x2
√
e 4Dt
dx ρs (x, t) = 2 Ms
4Dt
Ms =
−∞
= 2 C Ms
−∞
+∞
Z
dx ′ e−x
′2
= 2 C Ms
√
π
−∞
yC =
1
√ .
2 π
|
{z
}
’Gauß-Integral’
(Formelsammlung)!
Also folgt die endgültige Form der Lösung:
ρs (x, t) = √
x2
Ms
e− 4Dt .
4πDt
(T1.33)
2
Die Ortsabhängigkeit ist durch die Funktion e−z , z = 2√xDt gegeben. Diese hat einen Namen, denn sie tritt bei vielen Problemen auf. Es ist die Gauß-Funktion. Sie ist so wichtig,
2
dass wir sie kurz diskutieren wollen. e−z hat ein Maximum bei z = 0, (e0 = 1), und fällt für
|z| → ∞ schneller ab als e−a | z | , für beliebige a > 0!. Ihr Graph ist die berühmte ”Glockenkurve”.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-2
-1
1
2
Zur Charakterisierung wird häufig die Halbwertsbreite angegeben, definiert als Differenz der
2
beiden Lösungen von e−z = 12 :
√
Γ = 2 ℓn 2 .
Für die Halbwertsbreite von ρs (x, t), Gl. (T1.33) erhalten wir also
Γ=
√
4 Dt 2
√
ℓn 2 = 4
17
√
Dt ℓn 2 .
√
Sie nimmt proportional zu t zu. Anders ausgedrückt, die Zeit t, die die Diffusion braucht
um eine Strecke der Lange x zu überwinden, wächst wie
x2
.
D
Dies sollte man vergleichen mit dem Transport in einem Strömungsfeld ~v : t ∼ | ~xv | . Für große
√
Abstände x ist Diffusion ein sehr langsamer Vorgang, da x nur mit t zunimmt. (Deswegen
rühren Sie den Zucker im Kaffee um!).
t∼
Bisher haben wir den eindimensionalen Fall betrachtet. Unsere Lösung lässt sich aber leicht
auf den dreidimensionalen Raum verallgemeinern. Man findet
ρs (~r, t) = const ρ1 (x, t) · ρ1 (y, t) · ρ1 (z, t) ,
wobei die Funktion ρ1 durch Gl. (T1.33) gegeben ist. Berechnet man die Konstante aus der
Gesamtmasse, so findet man
ρs (~r, t) =
Ms
~
r2
3
(4πDt) 2
e− 4Dt .
(T1.34)
Wir haben hier die Diffusion am Beispiel einer Lösung behandelt. Das Phänomen ist aber viel allgemeiner.
Erwärmt man z.B. eine Flüssigkeit so vorsichtig, dass keine Konvektion (Durchmischung) eintritt, die ja
wieder ein hydrodynamisches Strömungsfeld einführt -, so wird die Energie - die Wärme -, durch Diffusion
transportiert. Dieser Prozess wird durch die gleiche Diffusionsgleichung (T1.25) beschrieben, nur ist ρ(~r, t)
die Energiedichte und ~j = −D grad ρ der Energiestrom. D ist der Wärmediffusionskoeffizient.
T1.5
Punktquellen und δ-Funktion
Wir haben bei der Lösung der Diffusionsgleichung implizit angenommen, dass zur Zeit t = 0
die gesamte Masse bei x = 0 konzentriert ist. So was nennt man eine Punktquelle. In Wirklichkeit nimmt der zu lösende Stoff natürlich zu Beginn einen endlichen - vielleicht sehr
kleinen Raum ein. Warum haben wir dies ignoriert? Das hat einen ganz praktischen Grund.
Berücksichtigen wir die Ausdehnung ℓ0 der Quelle, so führt diese Anfangsbedingung (mindestens) den weiteren Parameter ℓ0 von der Dimension einer Länge ein. Dimensionsanalyse
ergibt
2
x
x
Ms
,
,
ρs (x, t) = √ ρ̄
Dt ℓ0
Dt
also ist ρ̄ immer noch eine Funktion von zwei Variablen. Mit diesem Ansatz bleibt die
Diffusionsgleichung eine partielle Differentialgleichung in zwei Variablen und reduziert sich
nicht auf eine gewöhnliche Differentialgleichung.
Durch diesen Trick der Verwendung einer Punktquelle haben wir uns aber ein seltsames
Verhalten des Ergebnisses (T1.33) eingehandelt. Wir fanden
ρs (x, t) = √
x2
Ms
e− 4Dt .
4πDt
18
Wie verhält sich diese Funktion für t → 0?
x2
Sei zunächst x 6= 0. e− 4Dt fällt für t → 0 schneller als der Vorfaktor ∼
x
− vt
ja schon die Exponentialfunktion e
schneller).
1
√
t
anwächst, (das tut
, und die Gauß-Funktion fällt für großes Argument
Also folgt
lim ρs (x, t) = 0,
t→0
x 6= 0 .
(T1.35)
Ms
= ∞.
4πDt
(T1.36)
Setzen wir aber x = 0, so folgt
lim ρs (0, t) = lim √
t→0
t→0
ρs (x, 0) ist also überall Null, außer bei x = 0. Dort ist ρs (x, 0) unendlich. Das ist offensichtlich
keine anständige Funktion. Genau das hatten wir natürlich zu erwarten: Häufen wir die
gesamte Masse in einem Intervall der Lange ℓ0 auf, so gilt für die Dichte
ρs =
Ms
=
ℓ0
ℓ0 →0
−−−→ ∞ .
lim ρs (0, t) ist also unendlich, aber doch nicht völlig beliebig. Es gilt Massenerhaltung.
t→0
+∞
R
dx ρs (x, t) = Ms muss für alle Zeiten gelten, also auch für t = 0.
−∞
+∞
Z
dx ρs (x, t) = Ms .
lim
t→0
−∞
Wir suchen also ein Objekt δ(x) mit folgenden seltsamen Eigenschaften:
1)
δ(x) = 0
2)
δ(0) = ∞,
für
x 6= 0
+∞
R
dx δ(x) = 1 gilt .
aber so, dass
−∞
Wenn wir dem einen Sinn geben können, dann haben wir
ρs (x, 0) = Ms δ(x) .
(T1.37)
δ(x) können wir als Grenzwert einer Folge von Funktionen einführen.
Bemerkung für Mathematiker: Erinnern Sie sich hieran, wenn in der Mathematik-Vorlesung die ’schwache
Konvergenz’ von Funktionsfolgen eingeführt wird.
19
Mathematischer Exkurs: Distributionen
Wir betrachten die Folge

1
1


<x<
 j, −
2j
2j
fj (x) =
1


|x| ≥
 0,
2j
j = 1, 2, 3 . . .
(T1.38)
Offensichtlich gilt
+∞
Z
dx fj (x) =
−∞
1
·j =1
j
lim fj (x) = 0, x 6= 0
j→∞
lim fj (0) = ∞ .
j→∞
Also δ(x) = lim fj (x) .
j→∞
Ein solches Objekt, das keine Funktion ist, aber als Grenzwert von Funktionenfolgen definiert
werden kann, nennt man eine ’Distribution’. Ein Mathematiker würde also von der δ-Distribution
sprechen - und im Übrigen eine andere Schreibweise verwenden. Physiker nennen δ(x) die ’Deltafunktion’, weil man in vieler Hinsicht mit ihr so rechnen kann wie mit normalen Funktionen:
Die Eigenschaften der Glieder unserer Folge übertragen sich auf den Grenzwert.
Dieselbe Distribution lässt sich als Grenzwert (unendlich) vieler Funktionenfolgen darstellen. In
diesem Sinne sind Distributionen analog zu den irrationalen Zahlen. Diese sind als Grenzwerte
von Folgen von rationalen Zahlen definiert, und es gibt unendlich viele Folgen, die etwa gegen π
konvergieren. Tatsächlich impliziert unsere Behandlung des Diffusionsproblems eine Darstellung
von δ(x) als Grenzwert von Gauß-Funktionen.
x2
1
e− τ = δ(x).
lim √
τ →0
πτ
(T1.39)
(Setzen Sie in (T1.33) Ms = 1, 4 Dt = τ ). Weitere wichtige Darstellungen finden Sie in Ihrer
Formelsammlung. Ein wichtiger Begriff ist der ’Träger’ einer Distribution. Darunter versteht man
die Werte des Arguments x, in denen die Distribution nicht Null ist. Für δ(x) ist der Träger also
der Punkt x = 0.
Wir wollen jetzt sehen, wie man mit δ(x) rechnen kann. Wir berechnen zunächst das Integral
J=
Zb
dx δ(x) g(x) .
a
20
Das Integrationsintervall [a, b] enthalte den Träger x = 0 im Inneren, und g(x) sei eine um x = 0
nach Taylor entwickelbare Funktion. (Im Grunde würde schon Stetigkeit bei x = 0 genügen).
J ist als Grenzwert einer Folge
Zb
Jj = dx fj (x) g(x)
a
zu berechnen, wobei wir hier die in (T1.38) angegebenen Funktionen fj (x) verwenden wollen.
1
1
Da a < 0 < b, gelten für hinreichend großes j die Ungleichungen |a| > 2j
, b > 2j
und Jj erhält
die Form
Jj
=
1
1
Z2j
Z2j
dx j g(x) = j
1
− 2j
x2 ′′
dx g(0) + x g (0) +
g (0) + · · ·
2
′
1
− 2j
x3 ′′
x2 ′
g (0) +
g (0) + · · ·
= g(0) + j
2
6
2j1
1
− 2j
1 3
+ ···
2j
1
g′′ (0)
+O
.
= g(0) +
2
24 j
j4
j
= g(0) + g′′ (0) 2
6
Also
Zb
dx δ(x) g(x) = lim
j→∞
Zb
dx fj (x) g(x) = g(0) .
(T1.40)
a
a
Hier steckt die Mathematiker-Definition von Distributionen drin: Es sind (lineare) Abbildungen von Funktionenräumen in die (reellen oder komplexen) Zahlen. Die δ-Distribution bildet g(x) auf g(0) ab. Mathematische Notation: δ[g] = g(0).
Offensichtlich sind in Gl. (T1.40) die Integrationsgrenzen völlig gleichgültig, solange nur der
Träger im Inneren des Integrationsintervalls liegt. Ich lasse deshalb im Folgenden die Grenzen
weg.
Was ist
Z
dx δ(x − x0 ) g(x) ?
Der Träger liegt jetzt bei x − x0 = 0, d.h. x = x0 , und das Integrationsintervall enthalte diesen
Punkt. Substitution x − x0 = y ergibt
Z
Z
(T 1.40)
dx δ(x − x0 ) g(x) = dy δ(y) g(y + x0 ) = g(x0 ) .
(T1.41)
Wir wollen noch die δ-Funktion im dreidimensionalen Raum einführen.
δ(~r − ~r0 ) = δ(x − x0 ) δ(y − y0 ) δ(z − z0 ) .
21
(T1.42)
Damit folgt
Z
3
d r δ(~r − ~r0 ) g(~r) ≡
Z
dx
Z
dy
Z
dz δ(x − x0 ) δ(y − y0 ) · δ(z − z0 ) g(x, y, z)
= g(x0 , y0 , z0 ) ≡ g(~r0 ) .
(T1.43)
Zum Schluss möchte ich noch Folgendes betonen. Wir haben hier immer Integrale ausgewertet,
in denen die δ-Funktion auftrat. Dies ist eine ganz allgemeine Eigenschaft des Rechnens mit
Distributionen: Um einem Ausdruck in dem Distributionen auftreten einen wohlbestimmten endlichen Wert zuzuweisen, muss man über den Ausdruck integrieren.
Ende des mathematischen Exkurses
Jetzt wenden wir uns noch einmal dem (eindimensionalen) Diffusionsproblem zu. Wir definieren
x2
1
G(x, τ ) = √
e− τ
πτ
(T1.44)
Wir wissen (Gleichung T1.39)
lim G(x, τ ) = δ(x) ,
τ →0
sowie (Gl. T1.33)
ρs (x, t) = √
x2
Ms
e− 4 Dt = Ms G(x, 4 Dt) .
4πDt
(T1.45)
Also löst G(x, 4Dt) die Diffusionsgleichung mit einer Punktquelle der Stärke Ms = 1. Ich
behaupte nun: Für eine beliebige glatte Anfangsverteilung ρ0 (x) mit endlicher Gesamtmasse,
+∞
R
Ms =
dx ρ0 (x) < ∞ entwickelt sich die Dichte gemäß
−∞
+∞
Z
ρs (x, t) =
dx′ G(x − x′ , 4 Dt) ρ0 (x′ ) .
(T1.46)
−∞
Dies ist die Lösung des Diffusionsproblems im unendlichen eindimensionalen Raum für Anfangsbedingung ρs (x, 0) = ρ0 (x). Der Beweis ist einfach. Für t → 0 gilt
lim ρs (x.t) =
t→0
=
+∞
Z
dx′ lim G(x − x′ , τ ) ρs (x′ )
−∞
+∞
Z
−∞
τ →0
dx′ δ(x − x′ ) ρ0 (x′ ) = ρ0 (x) .
22
Die Anfangsbedingung ist erfüllt! Jetzt setzen wir die Lösung in die Diffusionsgleichung
(T1.38) ein:
∂2
∂
−D 2
∂t
∂x
ρs (x, t) =
+∞
Z
∂2
′ ∂
dx
− D 2 G(x − x′ , 4 Dt) ρ0 (x′ )
∂t
∂x
−∞
=
+∞
Z
∂2
∂
′
′
− D 2 G(y, 4 Dt)
.
dx ρ0 (x )
∂t
∂y
y=x−x′
−∞
∂
∂
∂
G(x − x′ , τ ) =
(x − x′ )
G(y, τ )
y=x−x′
∂x
∂x
∂y
∂
=1·
,
Kettenregel!
.
G(y, τ )
y=x−x′
∂y
Beachten Sie:
Es gilt aber
∂
∂2
− D 2 G(y, 4 Dt) = 0 ,
∂t
∂y
denn dies ist die Diffusionsgleichung, die G(y, 4 Dt) ja erfüllt! Also gilt
∂2
∂
− D 2 ρs (x, t) = 0 ,
∂t
∂x
wie behauptet.
Was wir hier gelernt haben ist typisch für viele Probleme, mit denen wir uns beschäftigen
werden: Für allgemeine Verteilung der Quellen können wir die Lösung häufig als Integral über
die mit der Quellverteilung gewichtete Lösung für eine Punktquelle der Stärke 1 darstellen.
Unsere Berechnung hier lässt sich sofort auf dreidimensionale Diffusion übertragen. Schaffen
Sie’s?
Zum Abschluss wollen wir noch einmal unseren Brunnen betrachten (Beispiel B1.2, B1.3).
Wir wissen
(B1.2): ~v = ~eρ ρ1 v̂(z)
(0)
(B1.3): div ~v = 0 = div ~jm , da ~jm = ρm ~v .
Das gilt aber nur für ρ > 0. Für ρ = 0 ist |~v | unendlich, und ~eρ nicht wohldefiniert. Welchen
Wert müssen wir div ~jm bei ρ = 0, d.h. x = 0 = y, zuweisen? Hierzu fordern wir, dass der
Gauß’sche Satz auch für ein Volumen gilt, das die Quelle enthält.
23
Also
Z
d r div ~jm (~r, t) =
3
Ω
Z
dMF
~ · ~jm (~r, t) (T 1.10)
df
= −
dt
(T 1.15)
=
2π ρ(0)
m
F
Zh
dz ~v (z) .
0
Nun ist div ~j = 0, außer bei x = 0 = y.
Damit die obige Gleichung erfüllt ist, setzen wir
div ~jm (~r, t) = 2πρ(0)
m δ(x) δ(y) v̂(z) .
(T1.47)
Dann folgt
Z
Ω
d τ div ~jm (~r, t) =
3
ρ(0)
m
Zh
0
dz
Z
dx
Z
dy 2π δ(x) δ(y) v̂(z) =
2πρ(0)
m
Zh
dz v̂(z) .
0
An Gl. (T1.47) sehen wir, warum die Divergenz häufig als ’Quellstärke’ bezeichnet wird. Für
eine inkompressible Flüssigkeit ist sie außerhalb der Quellen Null, und am Quellort von Null
verschieden. Idealisierte ’Punktquellen’ führen auf δ-Funktionen.
T1.6
Wirbel, Rotation und Stokes’scher Satz
Wir stellen uns wieder das Strömungsfeld ~v (~r, t) einer Flüssigkeit vor. Ich denke, jeder von
Ihnen weiß was eine Stromlinie ist. Es ist eine Linie, deren Richtung in jedem Punkt mit der
dort momentan vorhandenen Richtung von ~v zusammenfällt. Ist ~r(s) eine Parameterdarstellung der Stromlinie, so gilt also
d
~r(s)
ds
k
~v (~r(s), t) .
Ganz allgemein können wir so für jedes Vektorfeld die Feldlinien definieren. Die Feldlinien
~ r ) traten schon in der Mechanik auf.
des Kraftfeldes K(~
Nun ist ~v (~r, t) eine glatte Funktion. Deshalb sind die Stromlinien glatte Kurven und wir können den momentanen Zustand des Strömungsfeldes im Stromlinienbild veranschaulichen. Für unseren idealisierten Brunnen, (Beispiel B1.2), ist
es hier gezeichnet. Die Stromlinien beginnen in der Quelle
und zeigen radial nach außen. Sie enden an Senken.
Im Stromlinienbild ist ein Wirbel sehr einfach zu identifizieren: Ein Wirbel erzeugt geschlossene Stromlinien.
24
Geschlossene Stromlinien gibt es im wirbelfreien Feld nicht.
Der Prototyp eines Wirbels in einer unendlich ausgedehnten
reibungsfreien Flüssigkeit hat das (stationäre) Strömungsfeld
~v (~r) = ~eϕ
w
.
2πρ
(T1.48)
(ϕ, ρ Zylinderkoordinaten, ~eϕ Einheitsvektor in ϕ Richtung,
w konstant). Im Stromlinienbild erhalten wir Kreise mit
Zentrum ρ = 0. An diesem Beispiel wollen wir sehen, wie
wir Wirbel quantitativ beschreiben können.
B1.4 Idealer Wirbel
Wir berechnen für das Feld (T1.48) das Kurvenintegral entlang einer Stromlinie mit Radius ρ0 . (Dies wird auch als
’Zirkulation’ bezeichnet).
I
Jz = d~r · ~v (~r) .
(T1.49)
d~r hat die Richtung von ~v (~r) und der Kringel im Integral gibt an, dass wir über eine geschlossene Kurve integrieren. In Zylinderkoordinaten gilt für einen Kreis mit Radius ρ
d~r = ~eϕ ρ dϕ .
(T1.50)
Mit (T1.48), (T1.50) erhalten wir
Jz =
Z2π
0
w
=w
dϕ ρ ~eϕ · ~eϕ
| {z } 2πρ
1
Z2π
dϕ
= w.
2π
(T1.51)
0
Jz = w ist also unabhängig von ρ, d.h. von der von uns gewählten Stromlinie und charakterisiert damit eindeutig die Stärke des Wirbels.
————————————————————
Ich muss betonen, dass dieses Ergebnis eine Spezialität des betrachteten Beispiels ist. Für
andere Vektorfelder hängt das Integral über eine geschlossene Feldlinie durchaus von der
gewählten Linie ab. Wir betrachten wieder ein einfaches Beispiel.
25
Beispiel B1.5 Starre Rotation
Ein starrer Zylinder, Radius R, rotiere mit Winkelgeschwindigkeit ω = ~e3 ω um seine Achse.
Es gilt
d~r
dt
dϕ
~eϕ
= ρ
dt
= ωρ ~eϕ .
~v (~r) =
(T1.52)
Die Feldlinien von ~v (~r) sind wieder Kreise mit Mittelpunkt ρ = 0. Bilden wir das Integral
(T1.49) über eine Feldlinie mit Radius ρ, so erhalten wir jetzt
Jz =
I
d~r · ~v (~r) =
Z2π
0
dϕ ρ ~eϕ · ~eϕ ωρ
= 2π ω ρ2 ,
(T1.53)
also 2 · Winkelgeschwindigkeit · von der Linie eingeschlossene Kreisfläche.
————————————————————
In §T1.3 haben wir das Oberflächenintegral über den Fluss für ein kleines Volumen δ Ω ausgewertet und die Divergenz erhalten. Entsprechend wollen wir jetzt das Kurvenintegral über
eine Kurve berechnen, die eine kleine Fläche δf umschließt. Die Kurve ist im Allgemeinen
keine Feldlinie. δf sei ein um ~r0 zentriertes Rechteck, Kantenlängen δa, δb, parallel zur x-y
Ebene gelagert.
1’
δf :









x0 −
δa
2
y0 −
δb
2
≤ x ≤ x0 +
≤ y ≤ y0 +
2
δa
2
2’
δb
2
1
z ≡ z0 .
Wir berechnen das Integral über den Rand von δf für ein beliebiges (differenzierbares)
~ r)
Vektorfeld V(~
26
1′
1
x0 + δa
2
Jz =
Z
δb
δb
~
~
dx ~e1 · V x, y0 − , z0 − ~e1 · V x, y0 + , z0
2
2
x0 − δa
2
2′
y0 + δb
2
+
Z
2
δa
δa
~
~
dy ~e2 · V x + , y, z0 − ~e2 · V x − , y, z0
.
2
2
(T1.54)
y0 − δb
2
Da δa, δb klein sein sollen, können wir die Integranden wieder vereinfachen.
δb
δb
, z0
V1 x, y0 − , z0 − V1 x, y0 +
2
2
= − δb
∂
V1 (x, y0 , z0 ) + O δb2
∂y0
= − δb
∂
V1 (x0 , y0 , z0 ) + O δb2 , δa δb .
∂y0
Ebenso
δa
δa
V2 x0 + , y, z0 − V2 x0 − , y, z0
2
2
= δa
∂
V2 (x0 , y0 , z0 ) + O δa2 , δa δb .
∂x
Also erhalten wir
x0 + δa
2
∂
Jz = −
V1 (x0 , y0 , z0 )
∂y0
Z
dx δb
x0 − δa
2
y0 + δb
2
∂
V2 (x0 , y0 , z0 )
+
∂x0
Z
dy δa + · · ·
y0 − δb
2
∂
∂
V2 (x0 , y0 , z0 ) −
V1 (x0 , y0 , z0 ) + · · · .
= δf
∂x0
∂y0
(T1.55)
Der Ausdruck in der Klammer erinnert an die dritte Komponente eines Kreuzprodukts.
~ = ~e1 (a2 V3 − a3 V2 ) + ~e2 (a3 V1 − a1 V3 ) + ~e3 (a1 V2 − a2 V1 ) .
~a × V
27
Allerdings müssten dann die Komponenten des ersten Vektors Ableitungen sein:
a1 →
∂
,
∂x0
a2 →
∂
,
∂y0
a3 → ?
Einen solchen ’Vektor’ kennen wir: Nabla.
∇ = ~e1
∂
∂
∂
+ ~e2
+ ~e3
.
∂x
∂y
∂z
~
Es gilt für ein beliebiges differenzierbares Vektorfeld V
∂
∂
∂
~ 2 + ~e3 V3
~ =
+ ~e2
+ ~e3
× ~e1 V1 + ~e2 V
∇×V
~e1
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
∂
= ~e3
V2 −
V1 + ~e2
V1 −
V3
∂x
∂y
∂z
∂x
∂
∂
+ ~e1
V3 −
V2 .
∂y
∂z
(T1.56)
~
Dieses Kreuzprodukt heisst ’Rotation’ von V.
~ ≡∇×V
~.
rot V
Wir können also schreiben
(T1.57)
~.
Jz = δf ~e3 · rot V
~ ist das vektorielle Flächenelement, wobei die Normalenrichtung + ~e3 nach
Aber δf ~e3 = δf
der Rechtsschraubenregel gewählt ist.
Wir erhalten also als Endergebnis
~ · rot V
~.
Jz = δf
(T1.58)
Wir haben dieses Ergebnis für ein Flächenelement hergeleitet, das parallel zur x-y Ebene
liegt. Es gilt aber für ein beliebig im Ram gelagertes Flächenelement. Warum? Sowohl Jz
~ · rot V
~ sind Skalare, also invariant unter Drehungen. Drehen wir also unser
als auch δf
Koordinatensystem, so bleibt (T1.58) erhalten, aber unser Rechteck liegt schief in dem neuen
Koordinatensystem.
Wir wollen jetzt die Rotation für einige Beispiele berechnen.
B1.6 Die Rotation einfacher Geschwindigkeitsfelder
a) Sei ~v (~r) = ~e1 v(y, z). Ein solches Feld trat als Geschwindigkeitsfeld der Rohrströmung
auf. Wir finden
rot ~e1 v(y, z) = ~e2
∂
∂
v(y, z) − ~e3
v(y, z) .
∂z
∂y
Dieses Beispiel zeigt, dass rot ~v 6= 0 nicht notwendig mit Wirbeln zusammenhängt. Für eine ideale reibungsfreie Flüssigkeit wäre hier allerdings
v(y, z) = v0 = const, also rot ~v = 0.
28
Die Felder in Beispielen B1.4, B1.5, haben in Zylinderkoordinaten eine einfache Darstellung. Den Ausdruck für rot ~v in Zylinderkoordinaten finden wir in der Formelsammlung
∂ vϕ
∂ vρ ∂ vz
1 ∂ vz
−
−
rot ~v = ~eρ
+ ~eϕ
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
1 ∂ vρ
1 ∂
(ρ vϕ ) −
.
(T1.59)
+ ~e3
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
b) Idealer Wirbel
(T1.47):
~v = ~eϕ
also
vϕ =
w
,
2π ρ
w
, vρ = 0 = vz .
2πρ
Es folgt:
1 ∂
∂ vϕ
rot ~v = ~eρ −
(ρ vϕ )
+ ~e3
∂z
ρ ∂ρ
w
1 ∂
ρ
= 0.
= ~e3
ρ ∂ρ
2π ρ
(T1.60)
Dieses Ergebnis gilt aber nur für ρ 6= 0! Für ρ = 0 ist ~v nicht definiert.
c) Starr rotierender Zylinder
(T1.52):
~v (~r) = ω ρ ~eϕ
1 ∂ 2
1 ∂
(ρ ωρ) = ~e3 ω
ρ
ρ ∂ρ
ρ ∂ρ
= 2ω ~e3 .
rot ~v = ~e3
————————————————————
Jetzt betrachten wir eine beliebige stückweise glatte Fläche
F mit Berandung C. Wir können das Integral
Z
~ · rot V
~
J = df
F
auf das Kurvenintegral
Jz =
I
~
d~r · V
C
zurückführen. Wir unterteilen F in kleine Stückchen δf , die
wir näherungsweise als eben annehmen können. Es gilt
X
~ · rot V
~.
J = lim
δf
δf →0
Flächen δf
29
(T1.61)
~ · rot V
~ bis auf Terme, die wir für δf → 0 vernächlässigen können, die
Nach (T1.58) ist δf
Zirkulation über den Rand von δf . Ein Randstück, das im Inneren von F liegt, wird aber
in der Summe über die Flächenstücke in beiden Richtungen durchlaufen, hebt sich daher in
der Summe heraus. Es bleibt nur das Kurvenintegral über C übrig also gilt J = Jz .
Dies ist der Integralsatz von Stokes.
Stokes’scher Satz
~ r ) und eine stückweise glatte Fläche F mit Rand C. rot V(~
~ r)
Gegeben ein Vektorfeld V(~
existiere für ~r ǫ F. Dann gilt
I
Z
~ · rot V(~
~ r) .
~ r ) = d~r · V(~
df
C
F
Eine wichtige Konsequenz ist die Folgende:
Wir betrachten zwei Flächen F1 , F2 , die dieselbe Randkurve haben.
Dann gilt
Z
~ · rot V
~ =
df
F1
I
~ =
d~r · V
C
Z
~ · rot V
~.
df
(T1.62)
F2
~ ist also unabhängig von der Form der Fläche, solange nur
Das Flächenintegral über rot V
der Rand erhalten bleibt.
B1.7 Starre Rotation eines Zylinders
Aus Beispiel B1.6 c wissen wir
rot ~v = 2 ω ~e3 .
Wir betrachten jetzt eine ebene Fläche, parallel zur x-y Ebe~ = ~e3 df .
ne, Rand C, df
Nach dem Stokes’schen Satz gilt
Z
Z
I
df ~e3 · (2 ω ~e3 ) = 2 ω df = 2 ω F ,
d~r · ~v (~r) =
C
F
F
wobei F der Betrag der Fläche ist. Ist F insbesondere der Kreis ρ = const, so gilt
I
d~r · ~v (~r) = 2 ω π ρ2 ,
C
30
wie im Beispiel B1.5 direkt erhalten, (Gl. T1.53). Nach dem Stokes’schen Satz gilt dieses
Ergebnis aber für jede Fläche mit Rand C, wobei F die durch C berandete Grundfläche ist.
Für den idealen Wirbel
~v (~r) = ~eϕ
w
,
2πρ
erhielten wir in B1.4 für die Zirkulation entlang einer Wirbellinie
Jz = w ,
und in B1.6 b fanden wir
rot ~v = 0,
ρ 6= 0 .
Um dies mit dem Stokes’schen Satz in Einklang zu bringen, definieren wir
w
= w ~e3 δ(x) δ(y) .
rot ~v = rot ~eϕ
2πρ
Dann gilt, wenn wir beachten, dass der Kreis für den Jz berechnet wurde, in der x-y Ebene
~ = df ~e3 gilt),
lag, (also für die Kreisfläche df
Z
Z
Z
~
df · rot ~v = w
dx
dy δ(x) δ(y) = w = Jz .
F
Die Wirbelstärke eines idealen hydrodynamischen Wirbels ist also im Wirbelzentrum konzentriert.
————————————————————
Wir haben jetzt verschiedene Differentialoperatoren kennen gelernt: grad, div, rot. Sie lassen
sich durch Nabla ausdrücken.
Sei Φ ein skalares Feld. Dann gilt
grad Φ = ∇Φ .
∇Φ ist ein Vektorfeld.
~ ein Vektorfeld. Es gilt
Sei V
~ ist ein skalares Feld. Weiter gilt
∇·V
~ =∇·V
~.
div V
~ =∇×V
~.
rot V
~ ist ein (Pseudo-) Vektorfeld.
∇×V
Diese Differentialoperatoren erfüllen einige wichtige Relationen. Es gilt
rot grad Φ ≡ 0 .
Dies liegt nahe, denn wir haben
rot grad = ∇ × ∇,
31
(T1.63)
und wenn ∇ ein normaler Vektor wäre, wäre dies Null. Da ∇ aber ein Differentialoperator
ist, wollen wir es nachrechnen.
∂
∂
∂Φ
∂Φ
∂
∂Φ
+ ~e2
+ ~e3
+ ~e2
+ ~e3
∇ × (∇Φ) = ~e1
× ~e1
.
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Die Komponente des Kreuzprodukts parallel zu ~e3 ist
2
∂ ∂Φ
∂2
∂
∂ ∂Φ
+ ~e2 × ~e1
= ~e3
Φ−
Φ = 0,
~e1 × ~e2
∂x ∂y
∂y ∂x
∂x ∂y
∂y ∂x
da für physikalisch sinnvolle Felder die partiellen Ableitungen vertauschen. Ebenso geht es
für die anderen Komponenten.
Weiter gilt
~ = ∇ · (∇ × V)
~ = 0.
div rot V
(T1.64)
Auch dies wäre selbstverständlich, wenn ∇ ein normaler Vektor wäre. Der Beweis geht
durch Nachrechnen wie oben. Diese Erkenntnisse werden üblicherweise folgendermaßen aus~ hat keine Quellen.
gedrückt: Ein Gradientenfeld ∇Φ hat keine Wirbel. Ein Wirbelfeld ∇ × V
Diese Sprechweise ist aus der Hydrodynamik inkompressibler reibungsfreier Flüssigkeiten
entnommen.
Wir können jetzt eine Lücke stopfen, die im Mechanikteil, §T6.1c, geblieben war. Dort hatten wir Folgendes gesehen: Wenn die Arbeit entlang eines Weges C nur von Anfangspunkt
und Endpunkt abhängt, können wir ein Potential V (~r) einführen.
A=
Z~r
~ r ′ ) = V (~r0 ) − V (~r)
d~r · K(~
(T1.65)
~ r ) = − ∇ V (~r) .
K(~
(T1.66)
~
r0
und es gilt
Die Kraft ist also ein Gradientenfeld.
Jetzt wollen wir zeigen: Für jedes Gradientenfeld ist das Wegintegral zwischen ~r0 und ~r vom
Weg unabhängig und damit existiert ein Potential. Sei also
~ r ) = − ∇ Φ(~r) ,
V(~
dann folgt
Z~r
~ r ′ ) = Φ(~r0 ) − Φ(~r) .
d~r ′ · V(~
~
r0
~ r ) die Rotation verschwindet (Gl. T1.63).
Zum Beweis stellen wir zunächst fest, dass für V(~
32
Wir betrachten jetzt zwei Wege C1 , C2 , die von ~r0 zu ~r
führen. Der zusammengesetzte Weg (C1 , − C2 ) berandet
eine Fläche F. (Zur Erinnerung: − C2 ist der Weg C2 ,
durchlaufen in umgekehrter Richtung, von ~r zu ~r0 ).
Nach dem Stokes’schen Satz gilt
I
Z
~ r) =
d~r · V(~
~ · rot V
~ = 0,
df
F
(C1 , −C2 )
~ = rot grad Φ ≡ 0. Wir erhalten also
da rot V
Z
Z
I
~ r) ,
~ r ) − d~r · V(~
~ r) = d~r · V(~
d~r · V(~
0 =
oder
C2
C1
(C1 , −C2 )
Z
C1
~ r) =
d~r · V(~
Z
~ r) .
d~r · V(~
(T1.67)
C2
Also ist das Wegintegral zwischen ~r0 und ~r vom Weg unabhängig. Φ ist ein Potential und
erfüllt
Z~r
~ r ′ ) = Φ(~r0 ) − Φ(~r) .
d~r ′ · V(~
~
r0
Man nennt Gradientenfelder deshalb auch ’Potentialfelder’.
Zum Abschluss wollen wir noch einen wichtigen mathematischen Satz kennen lernen, natürlich
wie immer in Physiker-Manier, d.h. ohne alle Voraussetzungen penibel aufzuzählen: Ein Vek~ r , t) ist eindeutig bestimmt, wenn wir die folgenden Informationen haben.
torfeld V(~
~ r , t)
a) div V(~
In der von der Hydrodynamik inspirierten Sprechweise sagt man:
Wir müssen zu jedem Zeitpunkt die Quellen kennen.
~ r , t)
b) rot V(~
Wir müssen zu jedem Zeitpunkt die Wirbel kennen.
c) Wir müssen die Randbedingungen kennen: In welchem Volumen Ω ist das Feld definiert? Wie verhält es sich auf der Oberfläche des Volumens?
33
Das für die Dynamik von Feldern auch die Randbedingungen eine wesentliche Rolle spielen,
lässt sich leicht einsehen. Wir betrachten wieder unser Diffusionsproblem: Wir lösen eine
Substanzmenge Ms in einem Glas mit Wasser, Volumen Ω, Oberfläche F. Das Dichtefeld
ρs (~r, t) gehorcht der Diffusionsgleichung (T1.25). ρs (~r, t) hängt aber stark davon ab, was am
Rand des Volumens, am Glas, passiert. Wird der Stoff vom Glas nicht adsorbiert, so wird
sich für große Zeiten eine endliche konstante Konzentration einstellen:
Ms
,
Ω
lim ρs (~r, t) =
t→∞
~r ǫ Ω .
Die zugehörige Randbedingung ist
~js (~r, t) ∼ ∇ρs (~r, t) = 0 ,
~r ǫ F .
Wird der Stoff hingegen adsorbiert, Randbedingung lim ρs (~r, t) = 0, so nimmt die Stoffmen~
rǫF
ge im Wasser ab und wir erhalten
lim ρs (~r, t) = 0 ,
t→∞
T1.7
~r ǫ Ω .
Zusammenfassung
Dieses Kapitel war lang und inhaltsschwer. Ich fasse daher hier noch einmal die wesentlichsten Punkte zusammen.
Wir betrachten physikalische Größen, die eine lokale
Dichte ρ(~r, t) besitzen, so dass wir den
R
Gesamtbetrag dieser Größe im Volumen Ω als d3 r ρ(~r, t) bestimmen können.
Ω
Für solche Größen können wir eine Stromdichte ~j(~r, t) definieren:
~ · ~j(~r, t) ist die Menge, die im differentiellen Zeitintervall (t, t + dt) durch das (gerichdt df
~ tritt. Die Menge, die in dt durch die Oberfläche eines
tete) differentielle Flächenelement df
differentiell kleinen Volumens d Ω tritt ist,
dMF = d Ω dt div ~j(~r, t) ,
mit div ~j(~r, t) ≡ ∇ · ~j(~r, t). Definieren wir ρF (~r, t) durch
ρF (~r, t) =
so ist
∂
∂t
dMF
,
dΩ
ρF (~r, t) die Änderung der lokalen Dichte auf Grund des Transports der Größe.
Handelt es sich um eine Erhaltungsgröße, die also lokal weder erzeugt noch vernichtet werden
kann und - wenn sie sich im Gesamtsystem überhaupt ändert -, von außen zugeführt oder
∂ (F )
abgeführt werden muss, so wird ∂t
ρ
zur Änderung der lokalen Dichte und wir erhalten
die Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(~r, t) + div ~j(~r, t) = 0 .
∂t
Diese ist die lokale Formulierung des Erhaltungssatzes.
34
Für differenzierbare Vektorfelder gilt der Gauß’sche Integralsatz
Z
Z
~ · V(~
~ r) .
~ r ) = df
d3 r div V(~
F
Ω
~ zeigt nach außen.
Hierbei ist F die Oberfläche des endlichen Volumens Ω; df
Quellen werden zur Vereinfachung der Rechnung oft als Punktquellen approximiert. Dies
führt auf die δ-Funktion
0, x 6= 0
R
δ(x) =
∞, x = 0, so dass
dx δ(x) = 1 .
Eine grundlegende Beziehung lautet
Z
dx δ(x − x0 ) g(x) = g(x0 ) ,
wobei vorausgesetzt ist, dass der Integrationsbereich den Träger x = x0 im Inneren enthält
und g(x) bei x0 stetig ist. Die δ-Funktion muss immer unter einem Integral ausgewertet
werden. Wenn man sich des Ergebnisses nicht sicher ist, muss man die δ-Funktion durch eine
Funktionenfolge approximieren und den Grenzwert der entsprechenden Folge von Integralen
bestimmen. Eine dreidimensionale Punktquelle führt auf die dreidimensionale δ-Funktion
δ(~r − ~r0 ) = δ(x − x0 ) δ(y − y0 ) δ(z − z0 ) .
Für eine beliebige Verteilung der Quellen kann man die Lösung häufig als mit der lokalen
Quelldichte gewichtetes Integral über Punktquellen darstellen.
Die Beschreibung von Wirbeln führt auf die Rotation eines Vektorfeldes
~ r ) = ∇ × V(~
~ r) .
rot V(~
Es gilt der Stokes’sche Integralsatz
Z
~ · rot V
~ =
df
I
~.
d~r · V
C
F
~ ist
Hierbei ist F eine endliche, hinreichend glatte Fläche mit Rand C. Die Richtung von df
aus der Umlaufsrichtung von C mit Hilfe der Rechtsschraubenregel zu bestimmen.
Rotation, Divergenz und Gradient erfüllen die Beziehungen
rot grad ≡ 0
div rot ≡ 0
div grad ≡ ∇2 = ∆ : Laplace Operator .
~ r ) ist festgelegt, wenn div V,
~ rot V
~ und Randbedingungen gegeben sind.
Ein Vektorfeld V(~
Wenn Sie alles dieses gut verdaut haben, sollten Ihnen die weiteren theoretischen Betrachtungen in dieser Vorlesung keine Schwierigkeiten bereiten.
35