Aufgaben

Max Mustermann // 123456
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Klausur – Teil I
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
für Lehramt Gymnasium
Winter 2006/2007
Sie erhalten 15 Blätter: ein Aufgabenblatt mit 10 Aufgaben, 10 Blätter für die Lösungen (auf
jedem Blatt steht nochmal die entsprechende Aufgabe), drei Schmierpapierblätter. Nach Bedarf
bekommen Sie mehr Schmierpapier.
Alle Blätter, außer dem Aufgabenblatt und den Schmierpapierblätter, müssen abgegeben werden,
auch wenn Sie die Aufgabe nicht angefangen haben. Bitte überprüfen Sie, ob auf allen Blättern, die
abgegeben werden soll, Ihr Name/Matrikelnummer steht.
Zur Kontrolle halten Sie bitte den Lichtbildausweis bereit.
Die Ergebnisse werden im Vorlesungsraum und auch an meiner Tür (Raum 3531 EAP) ausgehängt werden.
Wird von Korrektor ausgefüllt!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pukten
Viel Erfolg!
P
Klausuraufgaben (Ingesamt: 50 Punkte)
Bitte die Lösung jeder Aufgabe auf das entsprechede Blatt schreiben!
Überprüfen Sie auf jedem Blatt Namen und Matrikelnummer!
1. (5 P.) Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation und zeigen Sie,
dass die Relation R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c, c)} eine Äquivalenzrelation auf der Menge
M := {a, b, c} ist. Geben sie die Äquivalenzklasse an, die das Element a enthält.
2. (4 P.) Für die Vektoren ~u, ~v ∈ E2 × E2 /= mit ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 gelte |~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden
Sie den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren.
   


3
1
−1
3. (3 P.) Liegt der Vektor  −1  in der linearen Hülle von  2  ,  2 ? (Mit Be1
3
−1
gründung)
4. Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Falls die Aussage FALSCH
ist, bitte eine kurze Begründung hinzufügen.
(a) (2 P.) Sei (V, +, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleere Teilmenge. Dann gilt: U ist
genau dann ein Untervektorraum von V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v, w ∈ U
gilt λu + µv + νw ∈ U .
(b) (2 P.) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: V enthält genau n verschiedene eindimensionale Untervektorräume.
3
5. Es sei {e1 , e2 , e3 } die Standard-Basis von
Betrachten
lineare Abbildung, die die Vek
 die
 Sie
 R .
1
0
1
toren e1 , e2 , e3 jeweils in die Vektoren  2  ,  1  ,  0  überführt. Ist die Abbildung
3
2
1
(a) (3 P.) surjektiv, (b) (3 P.) injektiv? (Jeweils mit Begründung)
1
1
6. (4 P.) Die lineare Abbildung f : R2 → R2 bildet die Vektoren
,
jeweils auf
1
−1
1
3
die Vektoren
,
ab. Man bestimme die Matrix der Abbildung und das Bild des
2
0
x
Vektors
.
y
7. Seien V, W Vektorräume, v1 , ..., vn Vektoren aus V und f : V → W eine lineare Abbildung.
Man zeige (Beweis) oder widerlege (Gegenbeispiel)
(a) (3 P.) Ist {f (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn )} linear unabhängig, so ist {v1 , v2 , ..., vn } auch linear
unabhängig.
(b) (3 P.) Ist {v1 , v2 , ..., vn } linear unabhängig, so ist {f (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn )} auch linear
unabhängig.
8. (5 P.) Finden Sie die Matrix X, so dass AX + B = C, wobei die Matrizen A, B, C wie folgt
definiert sind.
2
2
2 3
−18
7
A :=
, B :=
, C :=
1 −1
−3 2
−3 −2

1
2
3
9. Invertieren Sie die Matrix A :=  1
2 −1
(noch 3 P.)

−2
−2  (3 P.) und berechnen Sie ihre Determinante
0
10. (7 P.) Alle Einträge einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1 oder −1. Beweisen
Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.
Max Mustermann // 123456
Aufgabe 1
1. (5 P.) Nennen Sie die definierenden Eigenschaften einer Äquivalenzrelation und zeigen Sie,
dass die Relation R := {(a, a), (a, b), (b, b), (b, a), (c, c)} eine Äquivalenzrelation auf der Menge
M := {a, b, c} ist. Geben sie die Äquivalenzklasse an, die das Element a enthält.
Max Mustermann // 123456
Aufgabe 2
2. (4 P.) Für die Vektoren ~u, ~v ∈ E2 × E2 /= mit ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 gelte |~v + ~u| = |~v − ~u|. Finden
Sie den Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren.
Max Mustermann // 123456
Aufgabe 3
   

3
1
−1
3. (3 P.) Liegt der Vektor  −1  in der linearen Hülle von  2  ,  2 ? (Mit Be1
3
−1
gründung)

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Aufgabe 4
4. Man gebe an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Falls die Aussage FALSCH
ist, bitte eine kurze Begründung hinzufügen.
(a) (2 P.) Sei (V, +, ◦) ein Vektorraum, U ⊆ V eine nichtleere Teilmenge. Dann gilt: U ist
genau dann ein Untervektorraum von V , wenn fur beliebige λ, µ, ν ∈ R und u, v, w ∈ U
gilt λu + µv + νw ∈ U .
(b) (2 P.) Sei V ein Vektorraum der Dimension n ≥ 2. Dann gilt: V enthält genau n verschiedene eindimensionale Untervektorräume.
Max Mustermann // 123456
Aufgabe 5
3
5. Es sei {e1 , e2 , e3 } die Standard-Basis von
Betrachten
lineare Abbildung, die die Vek die

 Sie
 R .
1
0
1
toren e1 , e2 , e3 jeweils in die Vektoren  2  ,  1  ,  0  überführt. Ist die Abbildung
1
2
3
(a) (3 P.) surjektiv, (b) (3 P.) injektiv? (Jeweils mit Begründung)
Max Mustermann // 123456
Aufgabe 6
1
1
jeweils auf
,
6. (4 P.) Die lineare Abbildung f : R2 → R2 bildet die Vektoren
−1
1
1
3
die Vektoren
,
ab. Man bestimme die Matrix der Abbildung und das Bild des
2
0
x
.
Vektors
y
Max Mustermann // 123456
Aufgabe 7
7. Seien V, W Vektorräume, v1 , ..., vn Vektoren aus V und f : V → W eine lineare Abbildung.
Man zeige (Beweis) oder widerlege (Gegenbeispiel)
(a) (3 P.) Ist {f (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn )} linear unabhängig, so ist {v1 , v2 , ..., vn } auch linear
unabhängig.
(b) (3 P.) Ist {v1 , v2 , ..., vn } linear unabhängig, so ist {f (v1 ), f (v2 ), ..., f (vn )} auch linear
unabhängig.
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Aufgabe 8
8. (5 P.) Finden Sie die Matrix X, so dass AX + B = C, wobei die Matrizen A, B, C wie folgt
definiert sind.
2
2
2 3
−18
7
A :=
, B :=
, C :=
1 −1
−3 2
−3 −2
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Aufgabe 9

1
2
3
9. Invertieren Sie die Matrix A :=  1
2 −1
(noch 3 P.)

−2
−2  (3 P.) und berechnen Sie ihre Determinante
0
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Aufgabe 10
10. (7 P.) Alle Einträge einer (n × n) Matrix A, wobei n ≥ 2 ist, sind gleich 1 oder −1. Beweisen
Sie: det(A) ist ganzzahlig und gerade.
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Schmierpapier
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Schmierpapier
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Schmierpapier