Matrikel-Nummer - Bachelor Physik LMU

Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik)
SS08, Studienziel Bachelor (170 12/13/14)
Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala
Klausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2008
(23. Juli 2007)
Bearbeitungszeit: 120 Minuten
Gesamtpunktzahl: 36 Punkte + 2 Bonuspunkte
Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt, das Sie abgeben, Ihren Namen.
Erlaubte Hilfsmittel: Ein beidseitig handbeschriebenes Blatt sowie die mathematische Formelsammlung von Bronstein.
Name:
Gruppe:
Matrikel-Nummer:
Nur für Diplomstudiengang: Brauchen Sie einen Schein?
Aufgabe
Punkte
Korrektur
1
2
3
4
(JA / NEIN )
Bonus
P
(10 Punkte)
Aufgabe 1 : Kleine Schwingungen
Im Schwerefeld der Erde sei eine Punktmasse m [mit Koordinaten (x2 , z2 )] über einen masselosen Faden der Länge l [mit
Ausschlagswinkel θ] an einer Punktmasse 3m [mit Koordinaten
(x1 , z1 )] aufgehängt, die sich reibungsfrei auf einer Parabel der
1 2
Form z1 = 2l
x1 bewegt (siehe Skizze). Ziel dieser Aufgabe ist
es, die Eigenfrequenzen kleiner Schwingungen dieses Systems
zu bestimmen. Betrachten Sie somit im Folgenden ausschliesslich den Limes θ ≪ 1, und wählen Sie q1 := x1 und q2 := lθ als
verallgemeinerte Koordinaten.
(x1 , z1 )
3m
z
x
θ l
(x2 , z2 )
m
(a) (2 Punkte) Drücken Sie x1 , z1 , x2 und z2 sowie ẋ1 , ż1 , ẋ2 und ż2 durch q1 und q2 sowie q̇1
und q̇2 aus. [Hinweis: Entwickeln Sie sin θ und cos θ bis zu (und einschließlich!) der zweiten
Ordnung in θ.]
(b) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion L(q1 , q2 , q̇1 , q̇2 ) im Limes kleiner Schwingungen folgende Form hat:
L=
m 2
4q̇1 + 2q̇1 q̇2 + q̇22 − Ω2 (4q12 + q22 − 2l2 ) ,
2
mit Ω2 = g/l .
(1)
[Hinweis: Terme höherer als quadratischer Ordnung in q1 , q2 , q̇1 und q̇2 (d.h. Produkte von
mehr als zwei dieser Variablen) sollten vernachlässigt werden.]
(c) (3 Punkte) Nutzen Sie Matrixnotation, um die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 des Systems zu
finden.
(d) (2 Punkte) Berechnen Sie die entsprechenden Eigenmoden und skizzieren Sie qualitativ die
Eigenschwingungen als Funktion der Zeit für jede der beiden Eigenmoden.
(10 Punkte)
Aufgabe 2 : Stark gedämpfter harmonischer Oszillator
Betrachten Sie einen stark gedämpften harmonischen Oszillator mit Antrieb f (t):
2
∂t + 2γ∂t + ω02 x(t) = f (t) , mit γ > ω0 > 0 .
(2)
(a) (1 Punkt) Wie lautet die Differentialgleichung, durch welche die Greensche Funktion G(t)
des gedämpften harmonischen Oszillators definiert ist?
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass der Ansatz
G(t) = θ(t) xh (t),
mit

 1
θ(t) =
1/2

0
für t > 0 ,
für t = 0 ,
für t < 0 ,
(3)
die in Teilaufgabe (a) angegebene Gleichung erfüllt, falls xh (t) eine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung ist und für t = 0 die Anfangsbedingungen xh (0) = 0,
ẋh (0) = 1 erfüllt. [Hinweis: hierfür ist es nicht nötig, xh (t) explizit zu konstruieren!]
(c) (2 Punkte) Machen Sie nun für die in Teilaufgabe (b) definierte homogene Lösung xh (t) den
Ansatz
xh (t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t
(4)
und bestimmen Sie die darin vorkommenden Konstanten. [Hinweis: bestimmen Sie zuerst
c1 und c2 mittels der Anfangsbedingungen, danach λ1 und λ2 mittels der Differentialgleichung.]
(d) (1 Punkt) Geben Sie eine Formel an, die für einen beliebigen Antrieb f (t) die Auslenkung
x(t) [d.h. die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (2)] durch die Greensche Funktion G(t) ausdrückt.
(e) (3 Punkte) Betrachten Sie nun einen Antrieb der Form f (t) = θ(t)f0 . Finden Sie mittels der
Formel von Teilaufgabe (d), sowie Gleichungen (3) und (4) für G(t), den Wert x(∞), den x(t)
im Limes t → ∞ annimmt. [Hinweis: Finden Sie das Ergebnis zunächst als Funktion von λ1
und λ2 , und vereinfachen Sie es dann mittels der Resultate von Teilaufgabe (c).]
(f) (1 Punkt) Interpretieren Sie das Ergebnis von Teilaufgabe (e) durch Vergleich der Antriebsund Rückstellkräfte.
(6 Punkte + 2 Bonuspunkte)
Aufgabe 3 : Tunnel durch die Erde
Betrachten Sie einen Tunnel durch die Erde, der zwei
Punkte auf der Erdoberfläche verbindet (siehe Skizze). Der
Tunnelverlauf sei so gewählt, dass er die Zeit T minimiert,
in der eine am Tunneleingang mit Anfangsgeschwindigkeit Null losrollende Punktmasse m den Tunnel unter Einfluss der Gravitation durchrollt. Ziel dieser Aufgabe ist es,
mittels der Variationsmethode eine Gleichung zu finden,
die den Verlauf r = r(φ) dieses Tunnels bestimmt, wobei
r den Abstand zum Erdmittelpunkt bezeichnet. Das Gravitationspotential im Inneren eines homogenen massiven
Körpers ist dabei durch V (r) = αr gegeben. (Reibung und
Corioliskräfte sind zu vernachlässigen).
y
φ
r
x
x = r sin φ, y = r cos φ
(a) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass man das zu minimerende Funktional als
T = T [r(φ)] =
Z
dφ
p
r2 + r′2
,
v(r)
mit r ′ =
dr
,
dφ
(5)
schreiben kann, wobei v(r) die Geschwindigkeit der Punktmasse bezeichnet. [Hinweis:
Drücken Sie zunächst das Wegelement ds durch r, dr und dφ aus.] Drücken Sie v(r) durch
die Gesamtenergie E des Teilchens aus.
(b) (2 Punkte) Da der Integrand (F ) in Gl. (5) nicht explizit von der Integrationsvariable φ
∂F ′
= konstant. Nutzen
abhängt, existiert eine φ-unabhängige “Erhaltungsgröße”, F − ∂r
′r
Sie dies um die folgende Differentialgleichung für den Tunnel herzuleiten:
2
r 4 = c2 (E − αr)(r 2 + r ′ ) mit c = konst.
(c) (1 Punkt) Bestimmen Sie durch Integration der Differentialgleichung aus (b) einen Integralausdruck für die Bahnkurve φ = φ(r).
(d) Bonusaufgabe (2 Bonuspunkte): Wir betrachten nun das gleiche Problem für eine große Hängebrücke zwischen zwei hohen Türmen auf der Erdoberfläche. Was ändert sich in Ihren Gleichungen? Vollziehen sie den Grenzübergang zu “gewöhnlichen” Brachistochrone im konstanten Schwerefeld.
Aufgabe 4 : Kanonische Transformation für geladenes Teilchen im Magnetfeld
(10 Punkte)
Die Lagrange-Funktion für ein geladenes Teilchen (Masse m = 1, Ladung e = 1) in der q1 -q2 Ebene, senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld der Stärke B, lautet
L=
1 2
q̇1 + q̇22 + (q1 q̇2 − q2 q̇1 )B
2
(6)
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, ausgehend von L, dass die Hamilton-Funktion folgende Form hat:
1
1
H(q1 , q2 ; p1 , p2 ) = (p1 + q2 B/2)2 + (p2 − q1 B/2)2 .
2
2
(7)
(b) (2 Punkte) Betrachten Sie nun eine kanonische Transformation von den alten Variablen
(q1 , q2 , p1 , p2 ) zu neuen Variablen (Q1 , Q2 , P1 , P2 ), gegeben durch
q1 =
q2 =
i
1 hp
2P1 sin Q1 + P2 ,
α
i
1 hp
2P1 cos Q1 + Q2 ,
α
i
αh p
2P1 cos Q1 − Q2 ,
2
i
αh p
p2 =
− 2P1 sin Q1 + P2 .
2
p1 =
(8a)
(8b)
Berechnen Sie die Poisson-Klammern {q1 , p1 }Q,P . Ist Ihr Ergebnis konsistent mit der Behauptung, dass die Transformation (8) kanonisch ist?
√
(c) (2 Punkte) Wählen Sie nun α = B. Zeigen Sie, dass die Hamilton-Funktion, ausgedrückt
durch die neuen Variablen, H(q1 , q2 ; p1 , p2 ) =: H̃(Q1 , Q2 ; P1 , P2 ), die Form H̃ = ωP1 hat,
und bestimmen Sie ω.
(d) (2 Punkte) Lösen Sie die kanonischen Hamilton-Gleichungen für die neuen Variablen als
Funktion der Zeit, mit den Anfangsbedingungen P1 (0) = α2 r 2 /2 und Q1 (0) = Q2 (0) =
P2 (0) = 0 bei t = 0 (r ist eine Konstante).
(e) (2 Punkte) Bestimmen Sie, durch Einsetzen des Ergebnisses von Teilaufgabe (d) in Gl. (8),
die Bahn des Teilchens, q1 (t) und q2 (t), und skizzieren Sie diese Bahn qualitativ in der q1 -q2 Ebene. Was ist die physikalische Bedeutung des Parameters r?