(Einführung WS12)

FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Mathematik für Studienanfänger
Fachhochschule Köln
Ingenieurwissenschaften
Einführungswoche WS 2012/3
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Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
1
WS 2012/3
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Prof. Böhm-Rietig
Dr. Lau
Fr. Breiderhoff
Internet:
http://www.gm.fh-koeln.de/~boehm
http://www.gm.fh-koeln.de/~lau
Lernplattform: https://ilias.fh-koeln.de
Dort Faktultät 10 und dann Mathematik 1
Password: Gauss12
Email: [email protected]
Heute: Einweisung, Arithmetik, Test
Morgen: Geometrie, insbes. Winkellehre
Nächste Woche: Vektorrechnung
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2
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Langweilige Vorlesung?
Fragen?
Anregungen?
Jederzeit!
... aber sonst bitte
aufmerksam und ruhig!
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3
Literatur
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Nicht nur zum Auffrischen:
Michael Knorrenschild: Vorkurs Mathematik.
Ein Übungsbuch für Fachhochschulen.
Fachbuchverlag Leipzig.
Preiswerter sehr elementarer Einstieg!
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi, Gisela Trippler:
Mathematik- Vorkurs
Teubner-Verlag, Leipzig.
Musteraufgaben mit Lösungsweg.
Sehr viele Aufgaben! Hilfe für das ganze erste
Semester.
www.stefanbartz.de: Kernwissen!
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Literatur
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Schulformelsammlungen:
„Das große Tafelwerk - Formelsammlung für die
Sekundarstufe I, II“ Cornelsen Verlag.
H. Sieber und L. Huber: „Mathematische Formeln“
(erweiterte Ausgabe E) Klettverlag
Lehrbuch für das erste Semester:
Lothar Papula:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
Band 1
Verlag Vieweg, Fachbücher der Technik, ca. 30€
Mathem. Formelsammlung, ca. 25€ .
Klausur- und Übungsaufgaben sehr zu empfehlen: ca.32€.
Zusammen ewas günstiger!
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Was wird hier vorausgesetzt ?
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Grundrechenregeln, bes. Bruchrechnen,
Prozentrechnung.
Grundstrukturen : Logik (Und/Oder/Implikationen)
Mengen, Abbildung, Invertieren.
Kenntnisse des Zahlbereiches ℝ (z.B. Wurzeln)
Rechnen mit Termen : Ausdrücke mit Zahlen,
Rechenzeichen und Symbolen.
Gleichungskalkül bis quad. Gl., insbesondere auch
die Umsetzung von Textaufgaben!
Geometrie: Abstände, Gerade, Kreis, Drei- und
Vielecke, Flächeninhalte, Winkellehre,
Trigonometrie, Strahlensätze
Elementare Funktionslehre.
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Hinweis auf den Vorkurs
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Vom 3.-6.9. fand hier ein gut besuchter Vorkurs
statt. http://advbs06.gm.fh-koeln.de:8080/mathevorkurs/InfoblattWS12.pdf
Die Unterlagen bitte von Kommilitonen besorgen!
Themen dort:
Rechnen in reellen Zahlen, Klammern, Summen.
Betrag, Potenz, Wurzel, Logarithmen und
Gleichungslehre
Die Grundfunktionen wie Parabel, ganzrationale
und einfache gebrochen rationale Fkt. ex und ln(x)
(z.B. http://www.gm.fh-koeln.de/~konen/Mathe1-WS/Vorkurs_Funk.pdf)
Geometrie: Winkel, Strahlensätze, Dreieckslehre,
Körper, trigonometrische Funktionen, Sinus- und
Kosinussatz.
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Schlüsseltechnologie
Warum Mathematik?
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Mathematik ist eine Schlüsseltechnologie !
●
Jürgen Rüttgers, Ex-Ministerpräsident NRW in einer
seiner vorherigen Positionen:
●
Mathematik ist so etwas wie eine gemeinsame
Sprache. Sie schafft die Möglichkeit der genauen
Kommunikation zwischen den Naturwissenschaften
und den Ingenieurwissenschaften und immer mehr
auch den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften.
●
Mathematik ist darüber hinaus eine
Schlüsseltechnologie der Gegenwart. Ein Land, das den
globalen Wettlauf um Wissen und seine Verwertung
bestehen will, benötigt Mathematik von höchster
wissenschaftlicher Qualität. Es braucht aber auch eine
mathematisch gebildete Bevölkerung.
Zitat: Rüttgers, J., Bundesminister für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie,
Grußadresse zum Internationalen Mathematiker-Kongress 1998. Berlin, Deutschland (1998).
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Links zur Schlüsseltechnologie
Video zum Thema auf Youtube (4 Teile) :
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http://www.youtube.com/watch?v=d02utMTgdS4
Mathematik-“Portale“ für Interessierte:
www.mathematik.de
matheplanet.com oder auch matheplanet.de
Mathematik lernen im Netz (alle kostenlos!):
http://www.matheboard.de/
http://www.mathe-online.at/
http://www.mathe-trainer.com/
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Semesterüberblick
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1 Woche Einstieg, Mengenlehre, (Un-)Gleichungen,
Geometrie
2 Wochen Vektorrechnung
1,5 Wochen komplexe Zahlen und Anwendungen
2 Wochen Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit. Dann
besonders gebrochen rationale Funktionen.
1,5 Woche Kurven auch in Polarkoordinaten,
Wurzeln, Exponential- und Logarithmenfunktion
sowie Gleichungen damit.
2,5 Woche Ableitungen und Anwendungen,
besonders Optimierung
2 Wochen Integration und Anwendungen
0,5 Musterklausur und Wiederholungen.
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Semesterüberblick
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Drei verpflichtende Projektarbeiten im Raum
2.112:
Woche des 26.10.: Taschenrechner, Winkelfunktionen
Woche des 26.11.: ....
Woche des 7.1.: ....
Termine
Terminefür
fürHausarbeiten
Hausarbeitengenau
genaubeachten!
beachten!
Mathematik-frei vom 24.12.12 - 4.1.13
Klausurwochen ab dem 4.2.13
Die verbindlichen Testatbedingungen hängen an
meinem Büro (1.245) und am Labor (2.112) aus.
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11
Unser Lernangebot
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Vorlesungen zur Themenfestlegung und
Einführung.
Aktivübungen (Dr. Lau u.a.): Besprechung der
Übungen. Verbesserte Diskussionsmöglichkeiten
wegen kleinerer Gruppen. Dort auch Vorrechnen
mit Sonderpunkten für den nächsten
Klausurtermin.
Basiskurs (Hr. Großmann) zur Aufarbeitung der
fachlichen Voraussetzungen. Besonders, wenn
keine sinnvolle und erfolgreiche Teilnahme im
normalen Tempo möglich erscheint.
Tutorien bei Studierenden höherer Semester in
Gruppen zu 6-8 bei hinreichenden Vorkenntnissen!
Anmeldung ab Mittwoch, siehe
www.gm.fh-koeln.de/~boehm.
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Unser Lernangebot
Dr.Lau und ich teilen das Büro 1.245
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Sprechstunden: Mi. 11-12 , Di. 13-14 oder nach
Vereinbarung. Auch immer kurz vor/nach den
Veranstaltungen.
Kontaktaufnahme per Email: jederzeit willkommen!
Bitte: erkennbare Namen und Betreff „Mathe 1“!
Feedback bitte dort oder auch ins Postfach 7.
Nutzen Sie unsere Lern-Angebote im Ilias:
https://ilias.fh-koeln.de
Vorlesungsaufzeichnungen, Übungen, Tests.
Zwei ausdrückliche Bitten:
kommen Sie immer pünktlich!
Quasseln/telefonieren/stören Sie nie im Unterricht.
Aktive Teilnahme ist aber immer sehr erwünscht.
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Noch einige Lernhinweise
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Lernen tut man nur selber und auch nur, wenn man
sich anstrengt und konzentriert.
Lernen kann durch Gruppenarbeit befördert
werden. Man kann sich allerdings auch gegenseitig
herabziehen/behindern.
Lernen heißt aktiv werden. Es ist eine willentliche
Tätigkeit, keine passive Beschäftigung!
„Learn by doing“!
Es hat keinen Sinn, sich den Anfang jeder Aufgabe
zeigen zu lassen und dann nur selber weiter zu
machen. In der Klausur müssen Sie auch selber
anfangen. Aufgabenstellungen abschreiben ist da
eine ganz doofe Idee und bringt keinerlei Punkte!
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Noch einige Lernhinweise
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Machen Sie sich Check-Listen und To-Do-Listen!
Fangen Sie mit den Inhalten der Folien 6, 7 an!
Lernen Sie immer!!!
Der Lernfortschritt lässt sich nicht durch Gewalt
oder Willensstärke oder gar Medikamente/Drogen
beschleunigen.
Das bedeutet, dass Sie sofort anfangen sollten,
mögliche Defizite zu vermerken und sie möglichst
umgehend und gründlich ab zu stellen.
Wiederholen Sie nicht die Fehler Ihrer Schulzeit...
Sie wissen selber am besten, welche!
Bedenken Sie, es gibt auch noch weitere Fächer!
Teilen Sie sich die Zeit gut ein → Stundenplan!
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Nun sind Sie dran!
Fragen, Wünsche?
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Prozentrechnung ist Bruchrechnung !
19% von
100€ sind (leider) 19€
P.-Satz
Grundwert
P.-Wert
schwieriger:
19% sind 38€. Was ist der Grundwert?
Nicht schwierig sondern ganz einfach mit Symbolen:
p*G=P
Also:
G = P/p
Wie rechnet man das? G = 38€/0,19 = 200€
Prozentsatz verrechnen als Dezimalbruch!
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Worauf müssen wir besonders achten?
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Die Umsetzung unscharfer sprachlicher Ausdrücke
in mathematische Symbole (Variablen) und
Rechenoperationen ist nie einfach oder eindeutig!
Die Logik ist wichtig: Was ist gegeben, was ist
gesucht, was benötige ich nur als
Zwischenergebnisse („Netto“ im Bsp.) ?
Zum Üben:
Milch ist 2006 um 20% teurer geworden und 2007
nochmals um 10% im Preis gestiegen (alles Brutto).
Anfang 2008 kostet der Liter 0,89€. Was hat er
Anfang 2006 gekostet?
Wie hoch war die mittlere Preissteigerung pro Jahr?
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Haben Sie das so gelöst ?
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M2008 = 0,89
p2006 = 20%
p2007 = 10%
M2006 = ?
Vorgaben
gesucht
M2008 = M2006*(1+p2006)*(1+p2007)
Ansatz
Auf-Lösung :
M2006 = M2008/((1+p2006)*(1+p2007))
M2006 = 0,89 /( 1,20
* 1,10
)
M2006 = 0,67
Am Anfang von 2006 hat der Liter 0,67 gekostet.
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Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Bevor wir die zweite Frage beantworten zunächst
einige Beobachtungen:
Ohne die symbolische Formel im Kopf kann man
dieses Problem nicht lösen.
Auf-Lösen heißt immer Gleichungen umformen
bzw. umstellen.
Algebra
Die Rechenreihenfolge ist wichtig:
Brutto = Netto + Netto*p
≠ 2*Netto*p
Klammern sind ganz wichtig:
Brutto = Netto + Netto*p = Netto*(1+p)
Brüche sind allgegenwärtig :
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p = P/G
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20
Rechnen mit Zahlen und Symbolen
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Zurück zur Übung:
Wie hoch war die mittlere Preissteigerung pro Jahr?
Vorgaben:
M2006 = 0,67
M2008 = 0,89
ges.: Symbolische mittlere Preissteigerung :
p
Ansatz: M2008 = M2006 * (1+p) * (1+p)
= M2006 * (1+p)2
Womit wir bei der Potenzrechnung sind!
Bloß nicht ausmultiplizieren!
Lös.: (1+p) = 0,89 = 1,152544
0,67
also p≈15,25%.

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P.S.: Wenn Sie mit 20% und
10% rechnen, dann kommt
nur 1,14891... heraus! Ist OK!
21
Terme
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Terme sind z.B.:
2
23 7x 7x +23
!
Auch Terme:
ax by
cx d  y
2
a∙x +bx+c
für die
Eindeutigkeit
keine
Verwechslungsmöglichkeit
sin xy 23z
Arbeitsdefinition:
Terme sind Ausdrücke mit Bezug auf eine
Grundmenge, die nur aus Zahlen, Variablen,
Rechenzeichen, Funktionsnamen und Klammern
bestehen.
(Korrektheit vorausgesetzt)
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Terme und Variablen
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Arbeitsdefinition „Variable“:
Buchstaben oder Symbole, die an Stelle von Zahlen
einer Grundmenge verwendet werden.
Typisch:
a, b, ...
x, y, z, x1, x2, ...
i, j, k, ...
α, β, ...
a,b,...: Parameter, also vorgegebene, aber unbekannte
Werte; nicht zu bestimmende Variablen!
i, j, k,... : Index- oder Laufvariablen z.B. für Vektoren oder
Summen.
x, y, z, ... : teilweise noch Unterscheidung nach „freien“
und „gebundenen“ Variablen, z.B. y = x2 .
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Terme und Variablen
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Wichtig:
gleiches Symbol ↔ gleicher (unbek.) Inhalt
ungleiches Symbol ↔ ungleicher oder auch
gleicher Inhalt !
Beispiel:
a∙x - b∙x = c
Für a=b : 0∙x = c
kann unendlich viele oder keine Lösung haben!
Also : (a-b)∙x = c
nicht einfach durch (a-b) teilen !!!
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Klammern
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Gerade beim letzten Beispiel Zinsrechnung sah
man, wie einfach das Rechnen wird, wenn man
Klammern stehen läßt.
Klammern legen die Berechnungsreihenfolge fest:
(a+b)∙c
also zuerst die Summe!
Klammern legen fest, wo das Argument einer
Funktion steht und wo nicht:
sin(2x+1) ≠ sin 2x + 1
Klammern sind wichtig bei gemeinsamem
Vorzeichen:
ab
a b
ab
=
=
c
c
c
©
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25
Klammern
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Klammern machen manche Ausdrücke erst
a
eindeutig:
c
b
Unbrauchbare
b =?
a =?
Schreibweisen!
c
Versuchen Sie es:
 
24
6
3
=
≠
24

6
3
=
Symbole für öffnende Klammern :
Symbole für schließende Klammern
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( [ {
} ] )
26
Klammern
Natürliche Reihenfolge von Rechenoperationen:
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Rechenz.
+, sin, f, f',...
Rechnung
Vorrang/Priorität
Stufe
Strichr.
geringste
1.
Funktionen
mittlere
2.
nicht überall einheitlich!
*, : oder /
Punktr.
^ (Potenzen)
Wurzelr., Potenzr.
erhöht
3.
höchste
4.
Die Rechnungen höherer Stufe werden immer vor
denen geringerer Stufe vollzogen.
Ansonsten Links-nach-Rechts-Regel.
Knorrenschild sieht das anders: S. 26
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Klammern
Gesetze
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(a+b)⋅c = ac + bc
(Distributivgesetz)
(a+b)⋅(c+d)=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(Ausmultiplizieren)
–(–a) = a
–(a–b) = –a+b
Achtung bei Vorzeichen
Bei Funktionen fast immer erforderlich:
sin(2+7)
f(x) = g(h(x))
y = 2(3x+7)⋅((5-2x)2+sin2(2x+))
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Klammern
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Faktorisieren →
← Ausmultiplizieren
a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2 −2ab+b2 = (a−b)2
a2 − b2
= (a+b)⋅(a−b)
Übrigens: allgemeine Binomische Formel:
n
(a+b)n
=
∑
i=1

n ⋅a i⋅bn
i
i
¿
Nur in Summenschreibweise mit
Binomialkoeffizienten richtig !
100
Summen:
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z.B. a10 a11... a100 =
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∑
i =10
ai
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Klammern
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Klammern und das Faktorisieren sind vor allem
beim Gleichungslösen sehr hilfreich:
x
4
4x
3
2
3x 10x8 = x 4⋅x1 ⋅x 2
Nullstellen???
©
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2
Nullstellen: klar!
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30
Klammern üben:
(x+2y)·(y-x) =
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9x2+6x =
9x2+6xy =
9 x6  x=
©
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Einführung WS12.odp
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Kompliziertes aus Einfachem
Entspannen Sie sich bei ein paar schönen „Fractals“:
http://philippe.boiteau.free.fr/
©
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Einführung WS12.odp
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Brüche, Bruchterme
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Erstmal: keine Angst mehr vor Brüchen. Sie sind
viel praktischer bei vielen Dingen als
„Dezimalbrüche“ :
Können Sie sich unter
0,071428571428571428571428571428571
was vorstellen?
Können Sie!
Denken Sie an eine
Torte mit verbleibenden
14 Stücken.
Leider bekommen Sie
nur eines: 1/14
1/14=0,0714...
©
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Einführung WS12.odp
33
Brüche, Bruchterme
Arbeitsdefinition „Brüche“:
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Brüche sind symbolisch geschrieben aber nicht
durchgeführte Auflösungen einfacher Gleichungen.
...also echt was für Faule!
Bsp.:
→
8x = 4
4
1
x= =
8
2
Die Doppeldeutigkeit rührt daher, dass x eben auch
Lösung von 2x=1 ist.
Das nennt man übrigens Kürzungsregel.
Alle Regeln resultieren aus dieser Überlegung:
©
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Einführung WS12.odp
34
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Brüche, Bruchterme :
Regeln
(B1)
a c
a±c
± =
b b
b
: gleichnamige Strichrechnung
(B2)
a c
ad±bc
± =
b d
bd
für b⋅d≠0
(B3)
(B4)
©
: ungleichnamig
a c
a⋅c
⋅ =
für b⋅d≠0 : Multiplikation
b d
b⋅d
a
b
a c
a⋅d
: =
=
für b⋅c⋅d≠0 : Division
b d
b⋅c
c
d


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35
Brüche, Bruchterme: Wichtige Folgen
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(B3´)
a⋅c a
=
b⋅c b
(B3´´) Für b≠0 :
für c≠0
: kürzen/erweitern
a
= 0 ⇔ a=0 : Gleichungen lösen
b
(B3´´´) Ungleichungen lösen :
a
0∧b≠0 ⇔ a⋅b0 ⇔ a0∧b0 ∨ a0∧b0
b
Auf Deutsch:
Ein Bruch ist dann positiv,
wenn Zähler und Nenner
das gleiche Vorzeichen haben.
©
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bedeutungsgleich
oder äquivalent
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36
Brüche, Bruchterme
Wie kürzt man richtig?
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Die gemeinsamen Faktoren eindeutig herausstellen:
3⋅ x 2y 
3x 6y
=
= x 2y
3
3⋅1
(B3´) und Komm.
Wie kürzt man falsch ?
2
a
a
a
=a
Selber probieren:
3x 6y
=
x 2y
©
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Das Ergebnis ist nur
dann 3, wenn x+2y≠0
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37
Übung: Brüche, Bruchterme
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Hinweis Strichrechnung mit Brüchen:
Verwenden Sie nach Möglichkeit das kleinste
gemeinsame Vielfache („kgV“) der Nenner!
Rechnen Sie ohne Taschenrechner :
7 9
=
6 14
Nun können Sie das auch mit Symbolen:
5
12
=
2
6a 9ab
5
2
6a
©
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12 5b 8a
=
2
9ab
6a b
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kgV ist 2·32·a2·b
38
Brüche, Bruchterme
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Zum Nachdenken: Was ist hier falsch?
9 4
9 4
=
=3 2=1
3 2
3 2
Richtig: überhaupt nichts!
Weitere Vorteile der Bruchrechnung:
222
⋅17=6,529⋅17=110,993
34
Das ist natürlich Unsinn! Das Ergebnis muß 111
lauten und geht mit Bruchrechnung auch im Kopf!
Hinweis Dezimalbrüche: immer auf ausreichende
Genauigkeit achten, also Zwischenergebnisse mit
mindestens einer zusätzlichen tragenden Stelle!
©
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41
Brüche, Bruchterme
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Übung: vereinfachen Sie unter Angabe aller
verwendeter Regel und Voraussetzungen!
2
a
abac
Leicht:
b a c
a b
Schwerer:

b a
2
2
b
2
a
a  ab
2
abb
Lösungshinweis: das
Ergebnis ist einfach!
©
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Einführung WS12.odp
42
Terme mit Potenzen
Verbindliche Regeln der Potenzrechnung:
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Definition von ab nachschlagen!!
In den meisten Fällen muß a>0 sein.
00 ist weder definiert noch definierbar!
(P1) (a·b)c = ac · bc
(gleicher Exponent)
(P1') (a/b)c = ac / bc
(b≠0, gleicher Exponent)
(P2) ab+c = ab · ac
(gleiche Basis)
(P2') ab−c = ab / ac
(a≠0, gleiche Basis)
b
c
(b·c)
(P3) (a ) = a
c
= (a )
b
(bc)
≠a
im allgemeinen!
Alle anderen „Formeln“ bis auf die „Binomische F.“
sind falsch!!!
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43
Terme mit Wurzeln
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Definition „Wurzel“ :
x ist eine (n-te) Wurzel von a,
falls diese Gleichung erfüllt ist
xn = a
mit:
n eine natürliche Zahl >1 und a≥0.
Schreibweise für die erste nicht-negative Wurzel
n
einer Zahl: √ a ist eine Zahl und Lösung von xn = a.
Arbeitsdefinition „Wurzelziehen“: derartige
Gleichungen lösen.
Quadratwurzel: 2.Wurzel
In den reellen Zahlen gibt es für gerades n immer
zwei, für ungerades n immer genau eine Wurzel:
6
3
6
±
64=±2
√
√ 8= 2
x = 64 ⇔ x=
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44
Terme mit Wurzeln
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Achtung: derartige Gleichungen haben häufig mehr
als eine Lösung, es gibt also nicht „die“ 2. Wurzel
von 4.
Bei ungeradem n kann man auch a<0 zulassen:
(-2)3 = -8, also ist -2 eine (die) 3. Wurzel von -8.
Im ersten Semester werden Sie die komplexen
Zahlen kennenlernen, dann wird das alles sehr viel
einfacher, weil xn=a für a≠0 stets genau n
verschiedene Wurzeln/Lösungen hat.
©
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45
Quadratische Gleichungen
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x 2 + p⋅x +q=0 ⇔ x 1,2 =
p
±
2
√( )
p
2
2
q
Eine einzige reelle Lösung für (p/2)2=q
Zwei reelle Lösungen für (p/2)2>q
Für (p/2)2<q keine reellen Lösungen!
Graphische Lösungen:
©
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Einführung WS12.odp
47
Bruchgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Arbeitsdefinition: Bruchgleichungen sind solche
Gleichungen, bei denen Vielfache der Unbekannten
im Nenner und evtl. Zähler von Brüchen ohne
(Potenzen oder) Funktionen auftreten.
x 52
=11
Beispiel:
x 2
Lösungsweg bei einfachen Formen:
1.Alle Terme mit x nach links!
2.Hauptnenner bilden (kgV) !
3.Unter der Bedingung Hauptnenner≠0 damit multiplizieren!
4.Alle Terme mit x nach links sollte eine algebraische
Gleichung ergeben.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
48
Bruchgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
13
Beispiel :
= 15
2x 7
1.
2.
3.
16
x 4
13
16

= 15
2x 7 x 4
13⋅ x 4  16⋅2x 7
= 15
2x 7⋅ x 4
13⋅ x 4  16⋅2x 7 = 15⋅2x 7⋅ x 4
unter der Voraussetzung (2x-7)(x+4)≠0, d.h.
x≠7/2 und x≠-4.
4. ... x2 - x - 12 = 0
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
also x=4 oder x=-3.
Einführung WS12.odp
49
Bruchgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beobachtung: obgleich im Nenner nur x bzw. 2x
auftreten, resultiert dennoch eine quadratische
Gleichung.
Achtung: Beachten Sie immer den
x 2
Definitionsbereich! z.B.
=0
2
hat keine Lösung!
x 4
©
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Einführung WS12.odp
50
Bruchgleichung zur Übung
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Lösen Sie unter Angabe des Definitionsbereiches
und machen Sie eine (korrekte!) Probe :
5
2x4
x
4 x
=
1
2
Hinweis zur Probe:
Sie setzen jede Ihrer Lösungen in die gegebene
Gleichung (hier nur auf der linken Seite) ein und
formen solange mittels elementarer Bruchrechnung
um, bis klar ist, ob das Ergebnis auf beiden Seiten
übereinstimmt oder nicht!
©
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Einführung WS12.odp
51
Bruchgleichung zur Übung
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Diese Gleichung
5
2x4
x
1
=
4 x 2
hat genau diese beiden Lösungen: x1=1, x2=-12
Korrekte Schreibweise als Menge: IL ={1;-12}
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
52
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Typische kleine Sachaufgaben wie
Mischungsrechnung o.ä. sind häufig als lineare
Gleichungssyteme behandelbar.
©
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Einführung WS12.odp
53
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Zwei oder drei lineare Gleichungen
In den einfachsten Fällen linearer
Gleichungssysteme löst man diese meist durch
„scharfes Hinsehen“ oder „Elemination und
Einsetzen“.
Arbeitsdefinition lineare Gleichungen:
Eine l.Gl. enthält neben den Variablen in einfacher
Form ausschließlich Zahlen, Zahlenvorfaktoren und
Strichrechnung:
3x + 4y – 5z +2a -77b = 23
ist linear
3x2 + 1/y + sin(z) = 44
ist nichtlinear
x zum Quadrat,
also nicht
„in einfacher Form“
©
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y im Nenner,
also nicht
„in einfacher Form“
z in einer Funktion,
also nicht
„in einfacher Form“
Einführung WS12.odp
54
Zwei oder drei lineare Gleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Zunächst werden wir nur den Fall betrachten, dass
genauso viele nutzbare (!) Gleichungen wie
Unbekannte auftreten.
Zwei lineare Gleichungen:
a,b,c,d,e,f seien feste Zahlen,
x,y die beiden Unbekannten:
ax+by = c
Lin. Gl.system in Standardform
dx+ey = f
Man kann nun direkt die Lösung aufschreiben, oder
(nächste Folie) schon mal Elimination und
Einsetzen üben:
ce bf
af cd
x=
y=
ae bd
ae bd
im Fall ae=bd gibt es keine Lösung!
©
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Einführung WS12.odp
55
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Zwei oder drei lineare Gleichungen
Eleminations- und Einsetzungsverfahren:
Die Idee ist, eine Gleichung „nach einer der
Variablen aufzulösen“ (Elemination) und diesen
Wert dann in der zweiten Gleichung zu verwenden
(„einzusetzen“), so dass dann nur eine Gleichung
mit einer Unbekannten übrig bleibt.
©
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Einführung WS12.odp
56
Zwei oder drei lineare Gleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beispiel:
3x – 5y = -7
2x + 3y = 8
x=
( 7)∗3 ( 5)∗8
3∗3 ( 5)∗2
y=
3⋅8 ( 7)⋅2
3∗3 ( 5)∗2
Enthält eine Gleichung nur eine Variable, dann
erübrigt/vereinfacht sich der erste Schritt :
z.B. Gl.1 nach x auflösen: x = -7/3 + (5/3)y
Ersetzen (einsetzen bzw. eleminieren) in die andere
Gleichung:
2(-7/3 + (5/3)y) + 3y = 8
Lösen: (19/3)y = 38/3
also y=2.
Rückwärts einsetzen: x = -7/3 + (5/3)y, also x=1.
©
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Einführung WS12.odp
57
Zwei oder drei lineare Gleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Die allgemeine Formel für drei Gleichungen kann
man sich schwer merken, daher nur das
Eliminationsverfahren im Beispiel.
Bitte unbedingt sehr sorgfältig durchführen, am
besten mit kurzen Notizen, welche Variable in
welcher Reihenfolge bearbeitet wird:
Hat man eine Gleichung nach einer Variable
aufgelöst (geschickt wählen!), dann setzen man in
die beiden verbleibenden ein und erhält ein
lineares Gleichungssystem mit nur noch zwei
Variablen, welches man dann mit den obigen
Methoden knacken kann:
©
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Einführung WS12.odp
58
Drei lineare Gleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beispiel:
2x - 3y + 4z = 8
x- y - z
= -4
3x + y – z
=2
Günstig ist Gl.2 für jede der Variablen:
Wähle Gl. 2 für x:
x = -4 + y + z
Einsetzen in die Gl. 1 und 3:
2(-4 + y + z) - 3y + 4z = 8
3(-4 + y + z) + y – z
=2
Vereinfachen in die Standardform:
-y + 6z = 16
4y + 2z = 14
Lösung: y=2, z=3 und damit auch x=1.
©
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Einführung WS12.odp
59
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Einfache Sach- und Textaufgaben
➢
Es geht darum, einen realen Zusammenhang
➢
in ein mathematisches Modell abzubilden,
➢
aus dem Modell die Lösung/die Lösungsmenge
➢
und weitere Hinweise zur Lösung abzuleiten
➢
©
und schließlich die Lösung in die Realität / in den
Zusammenhang der Aufgabenstellung zurück zu
transferieren.
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Einführung WS12.odp
60
Einfache Sach- und Textaufgaben
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Mein Vorschlag: 2 oder 3 Spalten:
Realität –
Aufgabenstellung
Gegeben:
Gesucht:
Nebenbedingungen:
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Kurzfassung auch mit
korrekte
unzulässiger
mathematische
mathematischer
Notation
Notation
...
a,b,... Parameter
...
x,y,...EntscheidungsVariablen
Gültigkeitsbereiche
BestimmungsWas ist wichtig, was
gleichung oft
irrelevant?
Zielfunktion.
Weitere Un-/
Gleichungen
Einführung WS12.odp
61
Einfache Sach- und Textaufgaben
Aufgabe:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Der Start zum 200m-Lauf innerhalb eines Sportfestes
erfolgt mittels Startpistole (Knall).
Dabei steht der Starter 10m hinter der Startlinie.
Die Zeitnehmer am Ziel betätigen ihre Stoppuhren,
sobald der Abschußrauch sichbar wird.
Wie groß ist die Zeitdifferenz, die man gegenüber
dem akustischen Signal auf diese Weise ausschaltet,
wenn die Schallgeschwindigkeit 340 m/s beträgt?
(Schäfer-G.-T. Kap. 6, A.1.7.27)
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
62
Einfache Sach- und Textaufgaben
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Aufgabenbearbeitung
Realität
Sammlung
Mathematik
Geg.: 200m
10m hinter Start
Akustik:
vs=340m/s
Optik: vL=c≈∞
Strecke: d=190m
Entsch.Var.: „t“ für die
Zeitdauer des
akustischen Signals
t∈[0;∞[
Schallgeschw.
340m/s
Ges.: Zeitdifferenz
Strecke/Zeit
Signale
=
Nebenbed.:
DurchschnittsWegstrecke ist
geschwindigkeit
190m (oder ?)
lang.
Lichtgeschw. ∞
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
s/t=v
t = s/v
mit s=d und v=vs
t = 190 [m] / 340 [m/s]
t =0,56 [s]
Dimensionskontrolle !
63
Einfache Sach- und Textaufgaben
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Rückkopplung in die Realität, d.h. Interpretation im
Aufgabenkontext: Die Zeitdifferenz zwischen dem
akustischen und dem optischen Signal beträgt
0,559s, wenn Start, Ziel und Startschuß in einer
Linie liegen.
Weitere Diskussion:
©
➢
Das Ergebnis lautet 0,618s, wenn man den
Starter 210m von der Ziellinie vermutet
(wie SGT).
➢
Im Stadion sind 100m entlang eines
Halbkreises zu rechnen!
➢
Schallgeschw. hängt von der Situation ab!
➢
Reaktionszeiten??
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Einführung WS12.odp
64
Einfache Sach- und Textaufgaben
Zum Üben: SGT K.6, Bsp. 6.8
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
2 Bahnstationen sind 30km voneinander entfernt.
Von A fährt ein Güterzug mit einer konstanten
Geschw. Von 30 km/h in Richtung B. Von B fährt ein
D-Zug mit 90 km/h in Richtung A.
Wo/Wann treffen sich die Züge, wenn Sie
gleichzeitig abfahren?
Lösungshinweis: nach 15 Minuten!
Diskutieren Sie Details wie Zuglänge,
Trassenführung! Was heißt „treffen“ genau?
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
65
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Entspannung
http://philippe.boiteau.free.fr/
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
66
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Ohne Mengenlehre sollte man
nicht mit der Algebra (dem
Lösen von Gleichungen)
weitermachen!
Im Allgemeinen gibt es mehr als
eine Lösung, oft auch (mehrere)
Intervalle wie bei |x|>1.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
67
Einordnung Mengenlehre
Statistik
Wellen/Schwingungen
CAD, Bildverarbeitung
Geometrie
Algebra
Physik und Technik:
u.a.Differenzialgleichungen
DifferenzialIntegralRechnung
Mathem. Logik ↔ Mengenlehre → Strukturen → Zahlensysteme
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
68
Arbeitsdefinition
Definition: Mengen
Menge („A“), die Zusammenfassung bestimmter
wohlunterscheidbarer Objekte ( Elemente der Menge) zu
einem Ganzen.
Wichtig:
Es muß immer eindeutig sein, ob ein gegebenes Objekt zur
Menge gehört oder nicht!
Beispiele:
A : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in Gummersbach,
die weiß sind.
B : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in Gummersbach.
C : Alle in Deutschland aktuell angemeldeten PKW mit weißer
Farbe.
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
69
Negativbeispiel und Eingrenzung
keine Mengen:
D : Alle weißen PKW.
E : Alle Zahlen.
F : Alle Barbiere, die nur die Menschen rasieren, die
sich nicht selbst rasieren.
G : Die Menge aller Mengen
Erforderlich u.a.: sachliche, zeitliche und räumliche
Festlegung. Am besten auch der Bezug auf eine
wohldefinierte Grundmenge, aus der die Elemnte
abstammen. Kategorienfehler vermeiden!
So geht es:
D' : Alle weißen PKW auf diesem Parkplatz hier in
diesem Moment
E' : Alle natürlichen Zahlen kleiner gleich 10.
G' : Die Menge aller Teilmengen einer Menge A.
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
70
Mathematische Notation
Schreibweise
X := { a1; a2; ...; an} für endliche Mengen
X := { a1; a2; a3; ...} für unendliche/unbeschränke Mengen,
aber nur mit eindeutigem Bildungsgesetz!
X = {1 ; 4 ; 9 ; ...}
X := { x aus A | x besitzt die Eigenschaften ....... von A
und/oder die Eigenschaften ........ von A nicht }
P = {x ist eine natürliche Zahl | x>1 ist nur durch sich
selbst oder 1 ohne Rest teilbar }
X := {x ist eine natürliche Zahl | x = 2k für ein nat. k }
= {x ist eine natürliche Zahl | x/2 ist eine nat.Zahl }
Die erste ist eine Sonderform mit einem „Existenzquantor“: es existiert ein k, so dass...
Die zweite Form setzt weitere Rechnungen voraus.
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
71
Besondere Mengen
Zahlensysteme
ℕ : natürliche Zahlen ab 0 nach DIN 5473 : ℕ = { 0; 1; 2; ...}
ℤ : ganze Zahlen :
ℤ = {x | x oder -x ist aus ℕ }
ℚ : rationale Zahlen (gekürzte Bruchzahlen)
ℚ = { p | p aus ℤ und q>0 aus ℕ }
q
ℝ : reelle Zahlen (ℚ und alle möglichen Grenzwerte von
konvergenten Zahlenfolgen darin)
ℂ : komplexe Zahlen, in zwei symbolischen Schreibweisen:
jϕ
2
x+j⋅y oder r⋅e
oft „i“ statt „j“ mit j = −1
Die „Leere Menge“ : Ø = {} : Menge ohne Elemente.
Intervalle : [a;b] ; ]a;b[ ; ]a;b] ; [a;b[ = {xℝ| a ≤ x < b}
Die Potenzmenge einer gegebenen Menge A:
℘(A) : Menge aller Teilmengen von A, s.u.!
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
72
Beziehungen der Zahlenmengen
ℂ
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
73
Mengenschreibweise
Da wir fast ausschließlich Mengen reeller Zahlen
und auch Vektoren (wie Punkte, aber evtl. mehr
Koordinaten) behandeln hier die typischen
Schreibweisen:
Alle reellen Zahlen, die höchstens den Abstand 1
von π haben: {x∈ℝ | π-1 ≤ x ≤ π+1}.
Richtige Alternativen: {x∈ℝ | |π-x| ≤ 1} = [π-1 ; π+1]
Die y-Achse und die 45° Winkelhalbierende:
{(x,y)∈ℝ2 | x=0} und {(x,y)∈ℝ2 | x=y}
Alle Punkte der Ebene (Schreibweise ℝ2), die
oberhalb des Parabelbogens y=x2 liegen:
{(x,y)∈ℝ2 | y>x2}
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
74
Mengen
Aufgaben
Beschreiben Sie die Menge der durch 7 teilbaren
ganzen Zahlen formal korrekt!
Beschreiben Sie das Intervall von -Unendlich bis
einschließlich 0.
Welche reellen Zahlen haben von 0 einen Abstand
von mehr als 7 ?
2
Welche ganzen Zahlen erfüllen x < 9 ? Wie viele?
Zu welcher der Mengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ gehören diese
Zahlen:
 6,25; π; 1+π/2;
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
0,333... ; 0,250 ; e
Mengenlehre
2
75
Beziehungen
Element sein oder nicht sein
10 ist keine Primzahl, d.h. 10 ist kein Element der
oben genannten Menge P = {x ist eine natürliche Zahl |
x>1 ist nur durch sich selbst oder 1 ohne Rest teilbar }
10  P
aber
z.B. 13 ∈ P.
Das ist manchmal eine schwere Frage, s.o. oder:
Collatz-Problem:
Sei A die Menge aller natürlichen Zahlen, für die ein
einfacher Algorithmus (Collatz) immer auf 1 führt.
Man weiß nicht, ob A = ℕ.
Einzelfallprüfung kann beliebig lange dauern.
z.B. 16 Schritte bei „7“
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
76
Beziehungen
Teilmengen
A B
A  C
B ⊄ C
A : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in
Gummersbach, die weiß sind.
B : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in
Gummersbach.
C : Alle in Deutschland aktuell angemeldeten PKW mit
weißer Farbe.
„Nicht B  A“ schreibt man: B  A.
X  Y genau, wenn alle x aus X auch aus Y sind.
Zusammenhang mit der Logik:„wenn X, dann auch Y“.
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
77
Beziehungen
Obermenge
irrelevant, kein neues Konzept : B  A .
Schreibweise für Teilmengen: sehr selten A  B !
Also: nicht verwechseln mit < und ≤ .
Von der Definition her kann A  B auch
Gleichheit bedeuten!
Mengengleichheit :
A = B genau dann, wenn A  B und auch B  A .
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
78
Verknüpfung: Gemeinsamkeiten
Mengenschnitt
A
A∩B
B
Bei additiver Farbmischung ist der Schnitt von Blau und
Rot Lila/Violett. Bei subtraktiver Farbmischung mit dem
Tintendrucker ist der Schnitt von Cyan mit Magenta?
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
79
Mengenschnitt
Anwendung des Mengenschnitts
Definitionsbereich zusammengesetzter Funktionen:
4
f(x) =
x
+ ln(x+1)
X≤4
f(x) =
X > -1
g(x) +
h(x)
oder - ; * ; / ; ^ ;...
Df = Dg
∩ Dh
= { x∈ℝ | -1 < x ≤ 4 }
= ] -1 ; 4 ]
: „Intervall“
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
80
Mengenschnitt
Anwendung bei Gleichungen
Ein nichtlineares Gleichungssystem:
sin(x)
cos(x)
= 0,5
=
(I)
3
(II)
2
1,5
sin(x)
cos(x)
1
0,5
>
0
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
11
-0,5
-1
-1,5
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
81
Mengenschnitt
Ein nichtlineares Gleichungssystem:
sin(x)
cos(x)
=
= 0,5
(I)
3
(II)
2
Alle Lösungen für (I):
A = {xℝ | x=/6+ 2k oder x=5/6+ 2k für ein kℤ }
Alle Lösungen für (II):
B = {xℝ | x=/6 + 2k oder x= -/6 + 2k für ein kℤ }
Das Gleichungssystem hat diese Lösungsmenge:
IL = A ∩ B = {xℝ | x=/6+2k für ein kℤ }
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
82
Mengenschnitt
Die Elemente der Schnittmenge besitzen genau die
Eigenschaften beider Partner :
A ∩ B = {x | x hat die Eigenschaften von A
UND
x hat die Eigenschaften von B }
Oft ist er Schnitt zweier Mengen leer: keine
Gemeinsamkeiten: {1;2;3} ∩ {0;-1;-2} = Ø = {}
Jeder Schnitt mit der leeren Menge ist leer:
immer!
A∩Ø=Ø
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
83
Verknüfung: Zusammenlegungen
Mengenvereinigung:
A : meine Freunde
B : deine Freunde
A ∪ B : unsere Freunde
Achtung: Vereinigung ist keine „Rechnung“/Addition !
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
84
Mengenvereinigung
Anwendung der Vereinigung:
Ungleichungen wie :
1
x2 > 1
-1
1
Fall 1 : x  0 : Wurzel ziehen ergibt x > 1 als Teil
der Lösungsmenge :
LA = ] 1 ;  [
Fall 2 : x < 0 : Wurzel ziehen ergibt |x| > 1
also x < -1 als Teil der Lösungsmenge :
LB = ] - ; -1 [
lL = LA  LB = ] - ; -1 [  ] 1 ;  [
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
85
Mengenvereinigung
Die Elemente der Vereinigungsmenge besitzen
genau die Eigenschaften mindestens eines der
beiden Partner :
A  B = {x | x hat die Eigenschaften von A
ODER
x hat die Eigenschaften von B }
Manchmal bringt die Vereinigung nichts wirklich
Neues: {1;2;3;4}  {1;2;4} = {1;2;3;4}
Die Vereinigung mit einer Teilmenge ändert nichts:
AB=A
immer, wenn B  A !
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
86
Verknüpfung: Differenzmenge
Das Eine ohne das Andere:
Alle natürlichen Zahlen, die nicht gerade sind:
G := {x ∈ ℤ | x=2k für ein k∈ℤ }
A = ℕ\G
ℕ\G
G
ℕ
A={1;3;5;7;...}
Komplementärmenge : wie oben mit Obermenge
AC oder auch A := X \ A := { x ∈ X | x ∉ A }
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
87
Mengenverknüpfungen
Aufgaben
➢
Bilden Sie die Vereinigung, den Schnitt und die beiden
Differenzmengen für
A = {a; c; e; g}
B = {f; e; d; c}
➢
Bestimmen Sie die Lösungsmenge von 4-x < 0
2
➢
[-3 ; -1[ ∩ ]-2 ; 0[ =
➢
[-3 ; -1[ ∪ ]-2 ; 0[ =
➢
Markieren Sie A\(B∪ C) !
A
Markieren Sie B\(A∩ C)
und A ∪ (B\C) !
B
C
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
88
Verbindung zur elementaren Logik
UND-Verknüpfung
↔ Mengenschnitt
ODER-Verknüpfung
↔ Mengenvereinigung
NICHT-Operator
↔ Komplementmenge
Implikation
↔ Teilmenge:
A⇒B
wenn A die Aussage x∈M und
B die Aussage x∈N ist ↔ M  N .
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
89
Mengenverknüpfungen - Regeln
Assoziativ, Kommutativ : klar !
Achtung: A ∪ B ∩ C ohne Klammer ist undefiniert !
Distributivgesetze:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
De Morgan´sche Distributivgesetze:
X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B)
X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B)
Alles sehr leicht mittels „Wolkenbildern“ begründbar:
„Venn-Diagramme“, s.o.!
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
90
Mächtigkeit von Mengen
Eine wichtige Anwendung: Das Zählen
Schulklasse mit 30 Schülern :
18 Musikfreunden
15 Lesefreunden
6 Schülern, die sowohl Musik als auch Lesen toll finden.
Wie viele Schüler mögen weder die Musik noch das Lesen?
15
30
18
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
6
Mengenlehre
91
Mächtigkeit von Mengen
Die Lösung mit Vereinigung und Komplement
Die Vereinigung enthält 27 Elemente
Es verbleiben 3 von 30 Schülern!
30
27
3
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
92
Mächtigkeit von Mengen
Rechnung
|Klasse|
= 30
|Musiker|
= 18
|Leser|
= 15
|Musiker ∩ Leser| = 6
|Musiker ∪ Leser| = 18 + 15 - 6
= 27
|“keine Musiker und keine Leser“| = 30 - 27 = 3
„keine Musiker und keine Leser“ =
= (Klasse
= Klasse
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
\ Musiker) ∩
\ (Musiker ∪
Mengenlehre
(Klasse
\
Leser)
Leser)
93
Mächtigkeit von Mengen
Definitionen
Mächtigkeit einer endlichen Menge:
Anzahl ihrer verschiedenen Elemente
Schreibweise :
A = { x 1, x 2 , ... , x n } ⇒ ∣A∣= n
gibt´s das
denn?
Mächtigkeit einer unendlichen Menge:
unendlich „∞“ .
Ganz raffinierte Leute unterscheiden
| ℕ |= 0 ,
|ℝ| = 1 , …
siehe http ://de .w ikipedia .org /w iki/M %C 3 %A4chtigkeit_%28M athem atik %29
auch http ://de .w ikibooks .org /w iki/M athe_f %C 3 %BC r_N icht -Freaks :_M
%C 3 %A4chtigkeit_von_M engen
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
94
Mächtigkeit von Mengen
Zählregeln bei endlichen Mengen
|A \ B| = |A|
|A ∩ B|
nur bei Teilmengen: B ⊂ A dann |A \ B| = |A|
|B|
weil |A ∩ B| = B
|A ∪ B| = |A| + |B|
|A ∩ B|
|Menge aller Teilmengen von A| = |℘(A)|=
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
|A|
2
.
95
Mächtigkeit von Mengen
Aufgaben
Verständnis
In einer Klasse sind 18 Musiker, 12 Leser und 15 Schüler,
die entweder beides gerne machen oder nichts davon.
Wieviele Schüler sind in der Klasse ?
Teilmengen
Machen Sie sich an einer kleinen Menge klar, das und
warum diese Formel gilt :
|A|
|Menge aller Teilmengen von A| = 2 .
Teilmengenmächtigkeit
Welche Mächtigkeit hat die Menge der Primzahlen?
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
96
Die Mengenlehre ist für die richtige
Schreibweise z.B. umfangreicherer
Lösungsmengen wie bei Ungleichungen
unumgänglich.
© J.Böhm-Rietig, 2007,2009
Mengenlehre
97
Gleichungen und Ungleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beide Themen hängen eng zusammen, aber bei
Ungleichungen kommen praktisch immer
zusammengesetzte Mengen heraus!
Eine einfache gedankenlose Rückführung auf
Gleichungen funktioniert nur im einfachsten Fall !
Beispiel:
-x < 3 .
Löse -x = 3 und schau, wie es rechts und links der
Lösung aussieht:
x=-3.
Für x<-3 ist die Ungleichung nicht erfüllt,
für x>-3 ist sie erfüllt: IL=]-3;∞[.
Also: -x < 3 und x > -3 ist gleich bedeutend!
!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
98
Einfache Ungleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Ungleichungen sind auch Aussageformen und
daher müssen Sie immer mit einem
Definitionsbereich festgelegt werden!
Bei Ungleichungen ist die Vorzeichenfalle zu
beachten:
-x < a  x > -a
„gleich bedeutend“!
Additionen/Subtraktionen auf beiden Seiten sind
unbeschränkt erlaubt!
Multplikation/Division mit c>0 ist immer erlaubt.
Multplikation/Division mit c<0 ist nur mit Drehen
des „Relationszeichens“ erlaubt (s.o.!) !!!
Auch: -3x ≥ a
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
 x ≤ -a/3
Einführung WS12.odp
!
99
Einfache Ungleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Lineare Ungleichung : Lösungsmenge ist immer ein
unendliches Intervall.
Quadratische Ungleichung
Am einfachsten ist die graphische Lösung!
Ansonsten bestimme man die Nullstellen der linken
Seite (mit x) und diskutiere dann alle Teilintervalle:
Beispiel: x2-2x-3 ≥ 0
(Standardform mit 0 rechts)
Lösungen der quadrat. Gleichung x1=3, x2=-1
Fall 1: für x≤-1 ist x2-2x-3 ≥ 0
Fall 2: für 3≤x ist x2-2x-3 ≥ 0 (nach oben offene Parabel)
Fall 3: für -1<x<3 muss demzufolge x2-2x-3<0
sein, da an den Rändern die Nullstellen liegen.
IL = ]-∞;-1]∪[3;∞[ . ©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
Achtung mit >,≥ ...
100
Einfache Ungleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beispiel: x2+2x+2 ≥ 0
Lösungen der quadrat. Gleichung :
keine Lösung in ℝ!
Diskussion über das gesamte Intervall:
Die Ungl. ist stets erfüllt!
IL = ]-∞;∞[ . Beispiel: x2+2x+2 < 0 (keine Lösung in ℝ s.o.)
Diskussion über das gesamte Intervall:
Die Ungl. ist nie erfüllt! IL ={}
Beispiel: x2-2x+1 > 0
Lösungen der quadrat. Gleichung :
Nur eine Lösung x=1 in ℝ!
Diskussion über das gesamte Intervall:
IL = ]-∞;1[ ∪ ]1;∞[ = ℝ\{1} . ©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
101
Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Mit dem Betrag (der Betragsfunktion) haben viele
Studierende große Schwierigkeiten.
Was bedeutet „Betrag“?
Auf keinen Fall „ohne Vorzeichen“!!!
Das ist ganz falsch verstanden!
Betrag eines Ausdrucks ist der Ausdruck selber,
wenn er ≥ 0 ist.
Ansonsten wird das Vorzeichen umgekehrt!
Beispiel: ∣x+4∣=
{
x+4 für x ≥-4
( x+4) für x < -4
siehe folgendes Bild
|a-b| ist der Abstand der beiden Zahlen a,b !
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
102
Betragsgleichungen und -ungleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Graph der Funktion
Anschaulich:
| | spiegelt
alles „von unten
nach oben“
∣x+4∣=
{
x +4 für x +4≥0
( x+4) für x +4<0
4
-4
-4
Geometrisch:
|x-a| ist der Abstand zwischen x und a !
Hier also zwischen x und (-4).
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
103
Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
Zunächst nur der einfache Fall:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
|x+3|=2
Welche Zahl hat von (-3) den Abstand 2?
Na die beiden Lösungen x=-5 und x=-1
Ungleichung:
|x+3|>2
Alle Zahlen, die von (-3) mehr als den Abstand 2
haben: IL =]-∞;-5[]-3;∞[
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
104
Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
Zunächst nur der einfache Fall:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
|x+3|=2
Welche Zahl hat von (-3) den Abstand 2?
Na die beiden Lösungen x=-5 und x=-1
Ungleichung:
|x+3|>2
Alle Zahlen, die von (-3) mehr als den Abstand 2
haben: IL =]-∞;-5[]-3;∞[
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
105
Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
Ungleichung:
| 3 - 2x | > 2
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Vorfaktoren von x können aus dem Betrag
herausgezogen werden:
| 3 - 2x | = | 2x – 3| = 2·|x - 3/2|
Löse erst die Betragsgleichung und entscheide
dann über alle Teilintervalle der reellen
Zahlenachse („Fallunterscheidung“, s.u.)!
2·|x - 3/2 | = 2
also |x - 3/2 | = 1
also x=1/2 oder x=5/2
Für sehr große positive und negative Werte für x ist
die Ungleichung sicher erfüllt. Im Bereich zwischen
1/2 und 5/2 ist der Abstand von 3/2 zu gering:
IL =]-∞;1/2[]5/2;∞[.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Stets
StetsStichprobenkontrolle!
Stichprobenkontrolle!
Einführung WS12.odp
106
Einfache Wurzel- und Potenzgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Gerade bei der Zinseszinsrechnung (siehe oben)
und in sehr vielen anderen Zusammenhängen
müssen (Un-)Gleichungen gelöst werden, bei denen
die Unbekannte/Variable als Basis einer Potenz
auftritt:
Beispiel: K = K0·qn
die Formel der Zinseszinsrechnung mit n gleichen
Zinsperioden. K ist das End- und K0 das
Anfangskapital.
So ist z.B. bei der Kapitalverdopplung q gesucht,
die anderen Größen sind bekannt:
Bei Potenz- und Wurzelgleichungen immer zuerst
den Definitionsbereich bestimmen!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
107
Potenzgleichung
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Beispiel:
Zu welchem Zinssatz p muss ich mein Geld
anlegen, damit es sich innerhalb von 10 Jahren
verdoppelt?
Ansatz: 2·K0 = K0·q10
wobei K0 selber irrelevant ist und q=1+p gilt.
Lösung:
Der Definitionsbereich ist sicher p>0 (≥0)
q=
√ 2=1,07177
10
da nur die Lösung q>1 interessiert
also für etwa p=7,2% muss das Geld investiert
werden.
Die Lösung q=-1,07177 von q10=2 ist nicht praxisrelevant!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
108
Wurzelgleichungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Da die Wurzelberechnung die Umkehrung des
Potenzierens ist nutzt man genau diese
Rechentechnik, um Wurzelgleichungen zu lösen.
Aber Achtung:
➢
Zuerst den Definitionsbereich festlegen!
➢
Immer eine Einsetzprobe machen, da z.B. beim
Quadrieren zusätzliche falsche Lösungen entstehen
können!
Beispiel:
√ 3x +1
4
2=0
Def.: 3x+1≥0, also x≥-1/3.
Erst die Wurzel isolieren, sonst keine sinnvolle
4
Potenzrechnung: √ 3x +1=2 | ()4
3x+1 = 24 = 16
also x=5 (Probe OK).
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
109
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Kleine Entspannung
http://philippe.boiteau.free.fr/
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
110
Etwas Geometrie
Dreieckslehre:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Alle Dreiecke haben eine Innenwinkelsumme von
C
180°
γ
A
α
α+β+γ = 180°
a
b
c
β
B
bes. für Physik: griechische Buchstaben lernen!
Die Dreicksfläche ist immer Grundseite mal Höhe
mal 0,5:
h
F=½·c·h
c
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
111
Geometrie: Dreiecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Seiten mit kleinen, Punkte mit großen Buchstaben:
C
b
A
Standard:
Standard:
entgegen
entgegendem
dem
Uhrzeigersinn
Uhrzeigersinn
a
c
B
Wichtige Dreiecksbedingung:
a < b+c
b < a+c
c < a+b
Das auch: a > |b-c|
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
b > |a-c|
Einführung WS12.odp
c > |a-b|
112
Geometrie
Pythagoras:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
·
ausdrücklich
nur bei
rechtwinkligen
Dreiecken!!!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
113
Geometrie : Dreieckslehre
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Dreieckslehre: Quelle: www.stefanbartz.de
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
114
Geometrie : Dreiecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Kongruente Dreiecke:
Sie können durch Drehung und Verschiebung
genau übereinander gelegt werden.
Kongruenzsätze sind für alle Konstruktionen und
Nachweise sehr wichtig:
Seite, Seite, Seite (SSS)
2 Seiten und eingeschlossener Winkel (SWS)
(SSW)
(WSW)
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
115
Geometrie : Ähnlichkeit von 3-Ecken
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Ähnliche Dreicke: Sie entstehen durch
gleichmäßige Vergrößerung oder Verkleinerung:
Dabei bleiben alle Winkel gleich.
→ Sätze über Gegenund Wechselwinkel
α
β
·
β
α
·
Die Seitenverhältnisse ändern sich nicht!
→ Strahlensätze!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
116
Geometrie : Strahlensätze
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Alle Strahlensätze haben diese Grundlage:
Quelle: www.stefanbartz.de
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
117
Aufgabe Strahlensätze
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Wie lang sind die nicht vermaßten Strecken?
1
3
5
7
Lösungen:
Die rote Strecke ist 18/5 lang.
Die Strecke 7 besteht aus den Stücken 35/6 und
7/6.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
118
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Dreieckslehre - Kosinussatz
Ideal zur SWS
Berechnung!
B
C
A
Quelle: www.stefanbartz.de
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
119
Dreieckslehre - Sinussatz
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Ideal für WSWBerechnung.
„Peilungen über
Grundseite“.
Anwendung nicht
immer ganz
offensichtlich,
daher das
Symbol!
Tipp: erst eine
Dreiecksseite,
dann die Höhe
bestimmen.
Quelle: www.stefanbartz.de
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
120
Sin, Cos, Tan
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Zur Erinnerung:
Im rechtwinkligen Dreieck sind:
a
c
b
cos(α)=
c
a
tan(α)=
b
sin (α)=
·
a
b
a:
a:Gegenkathete
Gegenkathetevon
vonαα
b:
b:Ankathete
Ankathetevon
vonαα
c:
c:Hypothenuse
Hypothenuse
α
c
Diese Funktionen (und Ihre Umkehrfunktionen)
vermitteln zwischen den Längen und den Winkeln!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
121
Sinus- und Kosinussatz
Lösungen der beiden Aufgaben
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Die Fährstrecke ist etwa 4,2(43) km lang.
Der dritte Winkel ist γ=76°, ohne ihn geht die
Rechnung nicht!
Die Seite a (rechts) ist 23,3m und die Seite
b=28,3m.
Die Flussbreite ist
23,3·sin(59°)=28,3·sin(45°)=20,0m
Als kleine Probe schaue ich mir immer an, ob die
kürzeste/längste Seite auch wirklich dem
kleinsten/größten Winkel gegenüber liegt.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
122
Typische Aufgabenstellungen
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
In rechtwinkligen Dreiecken ist die Seiten- und
Winkelbestimmung besonders einfach:
2 Seiten gegeben : 3. Seite mit Pythagoras!
Ein nicht rechter Winkel gegeben: siehe
Winkelsumme!
Eine Seite und ein Winkel (nicht der rechte)
gegeben:
Bestimme die anderen Seiten unter Verwendung
der Definition von sin, cos und/oder tan.
Beispiel: In obiger Aufgabe ist b=28,3 die
Hypothenuse des linken rechtwinkligen Teildreiecks
mit Winkel α=45°. Also ist die Gegenkathete die
gesuchte Höhe und somit h=28,3·sin(45°).
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
123
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Bestimmen Sie die Fläche eines gleichseitigen
Dreiecks der Seitenlänge a (>0)!
Hinweise: zuerst eine Skizze, dann schauen, was
gegeben, was gesucht wird und was fehlt. Kann die
fehlende Größe aus den bekannten Größen durch
Anwendung eines der oben genannten Gesetze
bestimmt werden?
 3⋅a 2
Richtig: Lösung ist A=
unter Verwendung
4
von Pythagoras.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
124
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
Bestimmen Sie die fehlenden Größen:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
C
2,5
2
3,307
2
1
8
1,4
?
=
x2
x1=?
B
·
6
A
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
2,5
Einführung WS12.odp
α = 55,77°
β = 41,41°
γ=?
125
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
x1: Verwenden Sie den Satz von Pythagoras!
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
x2: Der Schwerpunkt teilt die Seitenmitten in einem
bestimmten Verhältnis!
Kein Tipp für γ !
Lösungen:
x1=2,25 (ganz genau sogar 27/12)
x2=2,963
γ=82,82°
Wem das zu einfach war:

175
Finden Sie selber die Formel für die Höhe (hc=
)
16
1
und die Länge der Seitenhalbierenden (sa=  106 ) (nur
2
mit dem Kosinussatz oder nach Formelsammlung)!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
126
Kreise
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Kreis: Menge der Punkte in einer Ebene, die von
einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M, alle den
gleichen Abstand r haben:
r
M
Umfang : U=2πr=πd
d
Fläche : A=πr2 .
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
127
Teilflächen des Kreises
Kreis-Sektor:
r
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Einfacher Dreisatz für

2
⋅r
die Fläche: AS=
360 °
φ
AS
b
Einfacher Dreisatz für

2 ⋅r
die Bogenlänge b=
360 °
Hinweis zur Rechnung mit Winkeln:
In der ganzen Analysis muss man mit Radiant
(Bogenmaß) rechnen und darf nicht die Winkelgrad
verwenden: Wir ersetzen den Winkel durch die
Länge des zugehörigen Kreisbogens mit r=1:
Umrechnung in Radiant „Rad“: Bogenmaß=Gradmaß ⋅
180 °
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
128
Kreissegmente und Kreissektoren
Aufgabe: bestimmen Sie die Fläche dieses
Kreissegments!
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
r
Hinweis: Vom Sektor
eine passende Dreicksfläche
(gleichseitiges Dreieck!)
abziehen.
Lösung:
φ
2
r
Fläche= ⋅  sin  
2
φ muss in Rad gemessen sein!
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
129
Zusammenhang mit Dreiecken
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Der Satz von Thales sagt, das jedes Dreieck über
dem Druchmesser eines Kreises ein rechtwinkliges
ist, wenn denn der dritte Punkt auf dem Kreisbogen
liegt:
·
r
·
Es gibt weitere faszinierende Eigenheiten, z.B. den
Zusammenhang zwischen Zentriwinkel und
Peripheriewinkel über einem Bogen/einer Sehne
und die oben genannten Zusammenhänge mit den
Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
130
Vierecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Zu den allgemeinen Vierecken gibt es wenig
Regelmäßigkeiten!
Winkelsumme ist 360°.
Fläche wird durch zwei Dreiecksflächen bestimmt.
Diagonalen auch durch Rückgriff auf Dreiecke und
z.B. Kosinussatz.
Nur spezielle Vierecke haben auch interessantere
allgemeine Eigenschaften!
©
➢
Quadrat : alle Seiten gleich, Winkel ebenso
➢
Rechteck: Seiten parallel und alle Winkel gleich
➢
Rhombus/Raute: Alle Seiten gleich lang.
➢
Parallelogramm: Gegenseiten sind parallel und gleich
lang
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
131
Vierecke
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Interessant ist das Trapez: zwei gegenüber
liegende Seiten sind parallel.
c
h
d
b
a
Zerlege es in zwei Dreiecke gleicher Höhe :
ac
⋅h
Fläche: A=
2
dabei ist die Höhe h der Abstand der Parallelen.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
132
Geometrie : Körper im Raum
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Für die folgenden Körper mit Radius r, Höhe h,
Grundfläche G gilt:
Kugel: Volumen V= 4  r 3
3
Oberfläche O=4π·r2
Prisma: alle Querschnitt
entlang der Achse sind gleich:
Volumen V=G·h
Zylinder: Prisma
mit kreisförmigem
Querschnitt:
V=π·r2·h O=2π·r2+π·r·h
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
133
Geometrie : Körper im Raum
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Volumen von Kegelkörpern:
Kegel haben immer eine Grundfläche und eine
Spitze. Sie müssen für dies Formel so geformt sein,
dass jeder Querschnitt in Richtung Spitze
entsprechend der Höhe proportional „ähnlich“ (also
proportional verkleinert) ist.
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
134
Geometrie : Körper im Raum
Aufgaben:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonale eines
Würfels mit der Kantenlänge a!
Auf einen Kreiszylinder mit Radius r=9 cm und der
Höhe 25 cm wird ein gerader Kreiskegel mit dem
gleichen Radius und der Höhe 10 cm aufgesetzt.
Berechnen Sie Volumen (in l!) und Oberfläche (in
cm²) des dadurch enstandenen Körpers.
Ein gerader Kreiskegel besitze den Radius r und die
Höhe h. In welcher Höhe h' muss der Kegel
horizontal geschnitten werden, so das beide
Restteile das gleiche Volumen aufweisen?
©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012
Einführung WS12.odp
135
Geometrie : Körper im Raum
Lösungen:
FH Köln Ingenieurwissenschaften F.10
 3⋅a
V=7210 cm³ =7,210 l
O=2049 cm2.
Am besten mit dem Strahlensatz rechnen!
1
h'= h⋅ 1 3
2

©
Jürgen Böhm-Rietig, 2012

Einführung WS12.odp
136