Musterlösung¨Ubung 8

Physikalische Chemie I
Musterlösung Übung 8
FS 2009
Musterlösung Übung 8
Aufgabe 1: Kopplung von Wärmekraftmaschine und Wärmepumpe
Ein Wirkungsgrad ist immer so defininert, dass die Nutzgrössen, die möglichst gross sein sollen,
im Zähler und dafür aufzuwendende Grössen, die möglichst klein sein sollen, im Nenner stehen.
Dadurch gilt immer je grösser der Wirkungsgrad, desto effizienter arbeitet die Maschine.
a) Eine Wärmekraftmaschine soll mit möglichst wenig eingespeister Wärme Qw möglichst
viel Arbeit W leisten. Der Wirkungsgrad ist also
η=
W
|Qw | − |Qk |
Tw − Tk
Tk
=
=
=1−
= 0.534,
|Qw |
|Qw |
Tw
Tw
wobei wir von der Tatsache gebrauch gemacht haben, dass die zu- und abgeführte Energie
gleich sind, damit sich in der Maschine keine Energie ’anstaut’: |Qw | = |Qk | + |W |. Man
stellt fest: Je höher der Temperaturunterschied, desto höher auch der Wirkungsgrad.
b) Im Gegensatz zu einer Wärmekraftmaschine soll bei einer Wärmepumpe möglichst viel
Wärme Q0w aus möglichst wenig Arbeit W generiert werden. Der Wirkungsgrad (in dieser
Form auch Leistungszahl genannt) ist hier also anders definiert:
η0 =
|Q0w |
|Q0 |
T0
= 0 w 0 = 0 w 0 = 10.105.
W
|Qw | − |Qk |
Tw − Tk
Für den totalen Wirkungsgrad ηtot interessiert uns ausschliesslich das Verhältnis zwischen
gewonnener Wärme in der Heizung und verbrauchter Wärme im Kraftwerk, also
ηtot =
η0 · W
|Q0w |
=
= η 0 · η = 5.394.
|Qw |
W/η
Wir sehen, dass die gewonnene Wärme zum Heizen mehr als fünfmal so gross ist, wie die
eingesetzte Verbrennungswärme im Kraftwerk. Dies kommt dadurch zustande, dass das
Temperaturverhältnis zwischen warm und kalt im Kraftwerk viel grösser ist, als bei der
Heizung.
Aufgabe 2: Stirlingmotor
a) In Abbildung 2-1 ist schematisch das p, V -Diagramm von einem Stirling-Prozess und einem
gleichartigen Carnot-Prozess dargestellt. Sie gleichen einander bis auf die Tatsache, dass
die Punkte 2 und 3 sowie 1 und 4 durch Isochoren anstatt durch Adiabaten miteinander
verknüpft sind.
b) Die vier Zustände sind die Kombinationen von Th und Tk mit Va und Vb . Danach muss
nur noch der Druck mit der idealen Gasgleichung
pi =
nRTi
Vi
ermittelt werden. Richtig kombiniert ergibt sich:
1
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p / bar
p / bar
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1
D
1’
A’
A
D’
2
4
6
W
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2’
W
B
4’
C
C’
3
B’
3’
-
-
3
V / m3
V /m
Abbildung 2-1: Schematisches p, V -Diagramm von Stirling-Prozess (links) und Carnot-Prozess (rechts). Beide
fahren entlang derselben Isothermen und leisten daher dieselbe Menge an Arbeit. Der Wärmeverbrauch in
beiden Prozessen ist jedoch unterschiedlich.
Zustand V /L T /K p/bar
1
2 700 29.10
2
10 700
5.82
3
10 300
2.49
4
2 300 12.47
c) Die Arbeit, welche entlang einer Isotherme im reversiblen Fall verrichtet wird ist
ZVj
Wij = −
ZVj
pdV = −nRT
Vi
Vj
dV
= −nRT ln
V
Vi
Vi
Da im isothermen Fall die innere Energie konstant bleibt gilt ausserdem Qij = −Wij .
Bei der isochoren Temperaturänderung wird keine Volumenarbeit geleistet und daher wird
Qij = ∆Uij = ncV (Tj − Ti ).
Man erhält also
Schritt
A
B
C
D
W/kJ Q/kJ
-9.367 9.367
0
-12.0
4.015 -4.015
0
12.0
d) Mit diesem Stirlingmotor erhält man eine Arbeit von |W | = |WA + WC | = 5.35 kJ pro
Zyklus.
e) Die Effizienz dieser Maschine ist
ηStirling =
|W |
= 0.25.
|QA | + |QD |
Im Vergleich dazu beträgt der Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen den
Temperaturen 300 K und 700 K läuft, η = 0.57. Der Grund für die schlechtere Effizienz ist die zusätzlich einzuspeisende Wärme |QD |, die ein Stirlingprozess für die isochore
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Erwärmung benötigt. Diese läuft beim Carnot-Prozess adiabatisch ab, und benötigt daher
keine Wärmezufuhr. Bei sehr niedrigen Temperaturdifferenzen wird der Term jedoch |QD |
vernachlässigbar gegenüber |QA | und der Stirling-Wirkungsgrad erreicht annähernd den
Carnot-Wirkungsgrad.
Aufgabe 3: Kühlschränke
Das Prinzip eines Kühlschrankes ist schematisch in Abbildung 3-1 dargestellt. Überträgt man
Wärme von der Region mit der tieferen Temperatur Tk zur Region mit der wärmeren Temperatur Tw , muss zusätzlich Arbeit aufgewendet werden (vgl. Formulierung des 2. Hauptsatzes der
Thermodynamik durch Clausius).
```
`
` Tw > Tk
Qw = −|Qw |
W = |W |
System
Qk = |Qk |
Tk
Abbildung 3-1: Schematische Darstellung des Prinzips eines Kühlschrankes. Tk ist die Temperatur der Region
mit der tieferen, Tw derjenigen mit der höheren Temperatur. Entsprechend sind Qk resp. Qw die vom System
mit der kälteren resp. wärmeren Region ausgetauschten Wärmemengen. W ist die am System geleistete Arbeit.
Gemäss der üblichen Vorzeichenkonvention gilt für den Betrieb der Maschine als Kühlschrank: Qk > 0, Qw < 0
und W > 0.
a) Da der Kühlschrank reversibel arbeiten soll, gilt
∆S =
Qk Qw
+
=0
Tk
Tw
beziehungsweise
|Qw |
Tw
=
.
|Qk |
Tk
(3.1)
Man erhält damit für die Temperatur im Innern
Tk = Tw
|Qk |
100 kJ
= 293.15 K ·
= 225.50 K.
|Qw |
130 kJ
Es handelt sich also um eine Tiefkühltruhe der Temperatur T = −47.7◦ C.
b) Die aufzuwendende Arbeit W ergibt sich mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik
und der Energieerhaltung für zyklische Prozesse:
W = −(Qw + Qk ) = |Qw | − |Qk |.
(3.2)
Unter Benutzung von (3.1) kann man schreiben
Tw
Tw
293.15 K
W =
|Qk | − |Qk | = |Qk |
− 1 = 50 kJ ·
− 1 = 15.00 kJ.
Tk
Tk
225.50 K
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c) Eine Möglichkeit, die Effizienz eines Kühlschrankes zu beurteilen, ist den Quotienten zwischen der aus der kühleren Region abgeführten Wärme |Qk | und der dazu aufzuwendenden
Arbeit |W | zu bilden:
|Qk |
ηK =
.
|W |
Dabei ist die Effizienz des Kühlschrankes umso besser, je grösser ηK ist. Mit (3.1) und
(3.2) findet man nun
ηK
−1 −1
|Qk |
|Qk |
|Qw | − |Qk |
|Qw |
=
=
=
=
−1
|W |
|Qw | − |Qk |
|Qk |
|Qk |
−1
Tk
Tw
−1
=
.
=
Tk
Tw − Tk
(3.3)
Da sinnvollerweise Tw > Tk gelten muss, kann ηK Werte im Bereich 0 ≤ ηK < ∞ annehmen.
Setzt man die in der Aufgabenstellung gegebenen Zahlenwerte in (3.3) ein, erhält man
ηK (Tw = 293.15 K, Tk = 225.50 K) = 3.33
ηK (Tw = 303.15 K, Tk = 225.50 K) = 2.90.
Man sieht, dass bei einer Erhöhung der Aussentemperatur von 20◦ C auf 30◦ C pro geleisteter Arbeit wesentlich weniger Wärme aus dem Innern des Kühlschrankes entfernt
wird.
d) Kühlschränke und Wärmepumpen arbeiten im Prinzip identisch, die Anwendung ist jedoch
verschieden.
Bei Kühlschränken ist man an der Region mit der tieferen Temperatur interessiert. Für
einen optimalen Betrieb muss dafür gesorgt werden, dass die Abwärme in der Region mit
der höheren Temperatur möglichst effizient weggeführt wird, da sonst die Temperatur dort
ansteigt, was zu einer geringeren Effizienz des Kühlschrankes führt (vgl. Teilaufgabe 3c)).
Bei Wärmepumpen ist man hingegen an der der wärmeren Region zugeführten Wärmemenge interessiert. Dabei sollte man auf eine möglichst stabile Temperatur der kälteren
Region (z.B. See im Winter) achten, damit die abgegebene Wärmemenge allein über die
von der Wärmepumpe geleistete Arbeit reguliert werden kann.
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