Versuch E17

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22.11.2013
Grundlagen
Impedanz
Die Impedanz (Wechselstromwiderstand) gibt das Verhältnis der Amplituden sinusförmiger Wechselspannung zu sinusförmigem Wechselstrom bzw. die Verschiebung des Phasenwinkels an.
Z = R + jX
Kopplungsgrad
Bei gekoppelten Pendeln oder Schwingkreisen kann der Kopplungsgrad die spezifische Eigenschaft des
vorliegenden Systems ausdrücken. Der Kopplungsgrad ergibt sich statisch durch die Verschiebung der
Winkel der einzelnen Systeme:
κstat =
ϕ2
ϕ1
Dynamisch ergibt sich der Kopplungsgrad durch die Kreisfrequenzen der einzelnen Schwingkreise:
κdyn =
ω22 − ω12
ω22 + ω12
Eigenfrequenz von RLC-Systemen
Im ungestörten Fall schwingen schwingungsfähige elektrische RCL-Systeme in der Eigenfrequenz.
ω0 = √
2
1
LC
Kirchhoff-Regeln
Knotenregel
Bei einer Parallelschaltung von Einzelwiderständen müssen nach dem Gesetz der Ladungserhaltung alle
zu einem Stromknoten fließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme sein.
n
X
Ii = 0
i=1
Maschenregel
In einem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die Summe aller Quellenspannungen gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Elementen des Netzwerks. Kurz: Die Summe aller Spannungen eines
Stromkreises ist Null.
n
X
Ui = 0
i=1
3
Konsensator
Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauelement, das elektrische Ladung bzw. elektrische Energie speichern kann. Die Speicherfähigkeit wird als Kapazität bezeichnet. Kondensatoren wirken Spannungsänderungen
entgegen (Strom eilt vor).
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Aufladung
Wird an einen Kondensator (in Reihenschaltung mit einem Widerstand) eine Spannung U0 angelegt,
dann fließt so lange ein Strom IC , bis die Spannung UC des Kondensators der angelegten Spannung U0
entspricht. Dabei verändert sich UC und IC zeitabhängig:
1
UC (t) = U0 · 1 − e− RC
IC (t) =
U0 − 1
· e RC
R
Das Produkt R · C im Nenner des Exponenten bildet eine Zeitkonstante τ .
Entladung
Die Entladung erfolgt entgegengesetzt, aber analog zur Aufladung:
1
UC (t) = U0 · e− RC
IC (t) = −
4
U0 − 1
· e RC
R
Schwingkreise
Harmonischer Oszillator
Ein harmonischer Oszillator ist ein schwingungsfähiges System mit linearer Rückstellgröße (proportional
zur Auslenkung entgegenwirkende Kraft). Der harmonische Oszillator kann durch folgende Differentialgleichung beschrieben werden:
ẍ + ω02 x = 0
Dabei bezeichnet x(t) die Auslenkung zu einem bestimmten Zeitpunkt und ω0 die Eigenfrequenz des
Systems.
Freie gedämpfte elektrische Schwingung
Eine freie gedämpfte Schwingung ergibt sich aus einem schwingungsfähigem elektrischen System, welches
einmal in Schwingung gebracht wurde, jedoch ohne äußere Einflüsse gedämpft ausschwingt. Dieses System
kann allgemein durch folgende Differentialgleichung beschrieben werden:
ẍ + ω0 ẋ + ω02 x = 0
Im Falle eines RLC-Schwingkreises ergibt sich:
L · Q̈ + R · Q̇ +
5
1
·Q=0
C
Abklingvorgang im RLC-Schwingkreis
Ein Abklingvorgang ergibt sich aus der Dämpfung eines Schwingkreises. Dabei sind drei Fälle möglich.
(1) Freie schwach gedämpfte Schwingung, (2) Kriechfall und (3) aperiodischer Grenzfall.
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Für einen Abklingvorgang kann die Abklingkonstante angegeben werden:
δ = ω0 · D
Dabei entspricht ω0 der Eigenfrequenz und D dem Dämpfungsgrad. Dieser ergibt sich für RCL-Schwingkreise
über:
R
R
D= q =
2Lω0
L
2 C
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Gekoppelte Schwingkreise
Ein elektrischer Schwingkreis ist eine elektrische Schaltung aus einer Spule und einem Kondensator, die
Schwingungen ausführen kann und resonanzfähig ist. Dabei wird Energie zwischen magnetischem Feld
(Spule) und elektrischem Feld (Kondensator) periodisch ausgetauscht.
Kapazitive Kopplung
Als kapazitive Kopplung wird die elektrische Beeinflussung benachbarter Schaltkreis durch gegenseitige
elektrische Kapazität bezeichnet.
Tiefpunkt Schaltung
Für eine Tiefpunkt-Schaltung wird folgender Aufbau verwendet:
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Nach der zweiten Kirchhoff-Regel gilt für UC,A , UC,B und Uk :
UC,A + UC,B + Uk = 0
Die Schaltung kann mit folgenden Differentialgleichungen beschrieben werden:
L
d2
1
1
IA + IA +
(IA − IB ) = 0
2
dt
C
Ck
L
1
1
d2
IB + IB +
(IA − IB ) = 0
dt2
C
Ck
Die Bezeichnungen der Größen können aus der obigen Skizze entnommen werden. Durch Addition der
Differentialgleichungen ergibt sich:
L
d2
1
(IA + IB ) + (IA + IB ) = 0
dt2
C
Die Differentialgleichung lässt sich lösen mit:
(IA + IB ) = (IA,0 + IB,0 ) · cos (ω1 t)
Dabei entspricht ω1 der Eigenfrequenz. Durch Subtraktion der Differentialgleichungen ergibt sich:
L
d2
(IA − IB ) +
dt2
1
2
+
C
Ck
(IA − IB ) = 0
Mit der Lösung:
(IA − IB ) = (IA,0 − IB,0 ) · cos (ω2 t)
Wobei für die Kreisfrequenz ω2 die Kapazität gegeben ist durch:
Cges =
2
1
+
C
Ck
−1
Aus den Lösungen ergeben sich die zeitabhängigen Stromstärken für die Schaltungen A und B:
IA (t) =
1
1
(IA,0 + IB,0 ) · cos (ω1 t) + (IA,0 − IB,0 ) · cos (ω2 t)
2
2
IB (t) =
1
1
(IA,0 + IB,0 ) · cos (ω1 t) − (IA,0 − IB,0 ) · cos (ω2 t)
2
2
Der Kopplungsgrad ergibt sich durch:
κ=
ω22 − ω12
C
=
ω22 + ω12
C + Ck
Für die Schwebung gilt:
ωs =
2π
= ω2 − ω1
Ts
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Hochpunkt Schaltung
Für eine Hochpunkt-Schaltung wird folgender Aufbau verwendet:
Die Schaltung kann mit folgenden Differentialgleichungen mit I+ = IC,A + IC,B beschrieben werden:
IC,A
0=
+L
C
d2 IC,A
Ck d2 I+
+
dt2
C dt2
IC,B
+L
C
d2 IC,B
Ck d2 I+
+
2
dt
C dt2
0=
Die zeitabhängigen Stromstärken für die Schaltungen A und B ergeben sich durch:
I(t) = A+ cos(ω+ t) + A− cos(ω− t)
Wobei für die Kreisfrequenz ω+ die Kapazität gegeben ist durch:
Cges = C + 2Ck
Für den Kopplungsgrad ergibt sich:
κ=
2
2
ω−
− ω+
Ck
=
2
2
ω− + ω+
C + Ck
Induktive Kopplung
Als induktive Kopplung wird die magnetische Beeinflussung benachbarter Schaltkreis durch gegenseitige
magnetische Induktion bezeichnet. Es wird folgender Aufbau verwendet:
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Unter den Voraussetzungen C = CA = CB und L = LA = LB , kann die Schaltung mit folgenden
Differentialgleichungen beschrieben werden:
IA
d2 IB
d2 IA
+L 2 +M 2 =0
C
dt
dt
d2 IA
IB
d2 IB
+L 2 +M 2 =0
C
dt
dt
Dabei entspricht L der Induktivität und M der Gegeninduktivität.
Die Kreisfrequenzen ergeben sich durch:
ω+ = p
1
C(L + M )
1
ω− = p
C(L − M )
Mit der Eigenfrequenz ω0 lassen sich diese allgemein ausdrücken durch:
ω± = √
ω0
1±κ
Wobei κ der Kopplungsgrad der induktiv gekoppelten Schwingung ist, mit:
κ=
M
K
Im Fall schwacher Kopplung ergibt sich:
∆ω = ω− − ω+ = κω0
∆f = f− − f+ = κf0
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Fourier-Transformation
Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Methode der Fourier-Analyse. Sie ermöglicht es kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen.
Frequenzspektrum
Frequenzspektren stellen die Anteile unterschiedlicher Frequenzen eines Signals dar. Dabei wird die Amplitude in Abhängigkeit von der Frequenz dargestellt.
Aus dem Verlauf (Amplitude in Abhängigkeit der Zeit), kann sowohl das Spektrum (Frequenz in Abhängigkeit
der Zeit), als auch der resultierende Verlauf (sofern mehrere Schwingungen überlagert sind) angegeben
werden.
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Abtasttheorem
Bei der Erfassung eines Frequenzspektrums muss berücksichtigt werden, dass eine Signal, welches eine
maximale Frequenz fmax besitzt mit einer Abtastrate frate von mindestens 2 · fmax abgetastet werden
muss.
frate = 2 · fmax
Alias-Effekt
Haben die abzutastenden Signale höhere Frequenzen, als die halbe Abtastrate gewählt wurde, so kann es
zum Alias-Effekt kommen. Dabei werden höhere Frequenzen fälschlicherweise als niedrigere Frequenzen
interpretiert. Ursache dafür kann neben einer zu geringe Abtastrate auch ein Rauschsignal sein. Durch
eine Wahl von geeigneten Filtern können zu hohe Frequenzanteile von vorne herein vermieden werden.
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