Ein diskreter Differentialformenkalk¨ul zur Modellierung der

Ein diskreter
Differentialformenkalkül
zur Modellierung der
Maxwellschen Gleichungen auf
vierdimensionalen Simplizes
von
Peter Feuerstein
Vom Fachbereich 7 – Mathematik
der Bergischen Universität –
Gesamthochschule Wuppertal (D-468)
angenommene Inauguraldissertation
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
Wuppertal 2001
Gutachter: Prof. Dr. Gerhard Heindl
Prof. Dr. Hans-Jürgen Buhl
Eingereicht am: 8. Januar 2001
Tag der mündlichen Prüfung: 15. Mai 2001
„Mir ist bis heute kein auch noch so kompliziertes Problem begegnet,
das nicht, richtig betrachtet, noch komplizierter wurde.“
Poul Anderson
für Egbert, Hanns-Peter
und Tina
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
I
Ein diskreter Differentialformenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen .
I.1.1
Inneres Produkt und quadratische Form . . . . . . . . . . . . . .
I.1.2
Orthogonale Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.3
Affine Punkträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2
Affine Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1
Affin lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2
Affin polynomiale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2
Äußere Produkte von Multilinearformen . . . . . . . . . . . . .
I.3.3
Innere Produkte alternierender Multilinearformen . . . . . . . .
I.3.4
Orientierung und kanonische n-Form . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.5
Die Dualitätsabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Affine r-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2
Zurückgeholte Form und äußere Ableitung . . . . . . . . . . . .
I.4.3
Hodge-Operator und Koableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.4
Exkurs: Die klassischen Differentialoperatoren . . . . . . . . .
I.5
Das affine Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.1
Integration von n-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.2
Integration von r-Formen kleineren Grades . . . . . . . . . . . .
I.5.3
Der Stokessche Integralsatz auf k-Simplizes . . . . . . . . . . .
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II
Stückweise affine r-Formen . . . . . . . . . . . . .
II.1
Simplizialzerlegungen . . . . . . . . .
II.2
Simpliziale r-Formen . . . . . . . . .
II.2.1
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . .
II.2.2
Tangentialstetigkeit . . . . . . . . . .
II.2.3
Simpliziale Stammformen stückweise
II.2.4
Simpliziale Stammformen stückweise
.
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. 87
. 87
. 90
. 90
. 92
. 94
. 101
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
konstanter Formen .
affin linearer Formen
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1
1
2
8
11
20
20
27
36
36
39
42
49
53
56
56
59
67
69
71
71
79
81
III Elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
III.1
Die Minkowski-Raum-Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
III.1.1
Definitionen, Bezeichnungen und grundlegende Eigenschaften . . 108
III.1.2
Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
III.2
Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
III.2.1
Die Maxwellschen Gleichungen im Wandel der Zeit . . . . . . . . 121
III.2.2
Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
III.2.3
Die diskreten Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 130
III.2.4
Die komponentenweise Formulierung der diskreten Maxwellschen
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen
Simplizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
IV.1
Die diskrete Modellierung elektromagnetischer Felder . . . . . . . 139
IV.1.1 Die diskreten Maxwellschen Gleichungen unter Verwendung der
klassischen Feldkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
IV.1.2 Diskretisierung der Minkowski-Raum-Zeit . . . . . . . . . . . . . . 145
IV.1.3 Eigenschaften des diskreten Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
IV.2
Ein numerisches Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
IV.2.1 Das transversale magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
IV.2.2 Die Simplizialzerlegung einer Quaderzerlegung . . . . . . . . . . . 151
IV.2.3 Das Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
IV.2.4 Die Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
IV.2.5 Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
IV.3
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A
Quellcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Einleitung
„So auch sagt es nichts über die Welt aus, daß sie sich
durch die Newtonsche Mechanik beschreiben läßt; wohl
aber, daß sie sich so durch jene beschreiben läßt, wie
dies eben der Fall ist.“
Ludwig Wittgenstein
Die Lösung der Maxwellschen Gleichungen spielt eine große Rolle in der naturwissenschaftlichen Forschung sowie in Anwendungen der Physik und der Elektrotechnik. Diese Gleichungen, in denen Maxwell die Erkenntnisse Faradays in Formeln gefaßt hat, beschreiben
die elektromagnetischen Erscheinungen durch Abhängigkeiten elektrischer und magnetischer
Felder:
"! # $
So erfordert beispielsweise der erhebliche Herstellungsaufwand bei der Konstruktion elektromagnetischer Apparaturen etwa der Hochenergiephysik (Teilchenbeschleuniger, etc.), die
aufgrund ihrer mitunter enormen Ausmaße nur noch einen einmaligen Bau der Anlage erlauben, eine möglichst genaue Vorhersage der zeitabhängigen elektromagnetischen Feldgrößen.
Leider sind, außer in wenigen Spezialfällen, keine expliziten Lösungen der Maxwellschen
Gleichungen bekannt, insbesondere kann im allgemeinen keine Aussage über das Verhalten elektromagnetischer Felder innerhalb der meist sehr komplizierten Strukturen realer oder
geplanter Apparaturen gemacht werden.
Aus diesem Grund wurde eine Reihe numerischer Verfahren zur näherungsweisen Lösung der
Maxwellschen Gleichungen entwickelt. Die übliche Vorgehensweise ist hierbei zunächst eine
Diskretisierung des Raumes, etwa die Betrachtung der Eckpunkte einer Zerlegung in Würfel
oder Simplizes, und ausgehend von vorgegebenen Anfangsbedingungen an diesen diskreten
Stellen die Durchführung einer Zeititeration über (meist äquidistante) diskrete Zeitpunkte,
wobei die in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Differentialoperatoren durch Differenzenoperatoren ersetzt werden, indem man also von partiellen Differentialgleichungen
übergeht zu Differenzengleichungen. Zur Lösung der durch diesen Diskretisierungsansatz
aus Systemen partieller Differentialgleichungen entstehenden Differenzengleichungssysteme
ist die Vorgabe von Anfangs- und Randwerten erforderlich, es handelt sich hierbei somit um
Anfangsrandwertprobleme.
Sehr erfolgreich ist die von Kane S. Yee in [37] vorgestellte und darauf aufbauend von
Thomas Weiland weiterentwickelte1 Methode, die Komponenten des elektrischen Feldes und
die Komponenten des magnetischen Feldes in den Knoten zueinander versetzter („dualer“)
Raumgitter sowie in um einen halben Zeitschritt versetzten Zeitpunkten zu plazieren, um
&
' ) abwechselnd in Form
dann die jeweils neuen Komponenten (zum Zeitpunkt % bzw. %
eines sogenannten „Leap-Frog“-Verfahrens aus den vorherigen (älteren) Komponenten (an
)(
*&
+&
' bzw. %
' und % ) zu berechnen. Eine auf dieser
den Zeitpunkten %
und %
Idee basierende Modellierung des Rowland-Versuchs unter Berücksichtigung absorbierender
Randbedingungen2 wurde erfolgreich in [1] durchgeführt.
Die beschriebene Vorgehensweise zur numerischen Lösung der Maxwellschen Gleichung
trennt zwischen Raum und Zeit, indem beide separat diskretisiert werden und anschließend
eine reine Zeititeration durchgeführt wird. Da die Stabilität der numerischen Verfahren ein
1
2
Vgl. [35, 34, 36].
Zur Modellierung absorbierender Randbedingungen innerhalb der Diskretisierung von K. S. Yee, vgl. [25].
vii
spezielles Verhältnis der gewählten Diskretisierungen erfordert, führt diese Trennung insbesondere dazu, daß die Größe der für die Zeititeration zu verwendenden Zeitintervalle durch
den kleinsten Abstand benachbarter Raumpunkte bestimmt wird: Die Zeitdiskretisierung muß
mindestens so fein gewählt werden, daß die Größe der Zeitintervalle multipliziert mit der
Lichtgeschwindigkeit höchstens der Distanz zweier benachbarter Raumpunkte entspricht,
daß also für zwei solche Punkte und stets gilt. Anschaulich heißt
das, daß die Zeitintervalle mindestens so klein gewählt sein müssen, daß die Feinheit der
diskreten räumlichen Struktur bei einer sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitenden elektromagnetischen Welle Berücksichtigung findet. Bei der Modellierung spezieller Situationen
besteht also nicht die Möglichkeit, in Regionen, die eine gröbere Raumdiskretisierung zulassen, auch die Zeitdiskretisierung gröber zu wählen und damit den Rechenaufwand zu senken.
Während den obigen Ansätzen die klassische Formulierung der Maxwellschen Gleichungen
zugrunde liegt, in der insbesondere die beschriebene Trennung von Raum und Zeit zum Ausdruck kommt, trägt ihre zeitgemäße Formulierung der speziellen Verwobenheit von Raum
und Zeit sowie der Untrennbarkeit von elektrischen und magnetischen Erscheinungen Rechnung: Raum und Zeit werden in der vierdimensionalen Minkowski-Raum-Zeit vereinigt,
in der die Sonderrolle der Zeit durch das dort definierte Pseudoskalarprodukt repräsentiert
wird, ein indefinites inneres Produkt, dessen assoziierte quadratische Form durch das Vorzeichen zwischen raumartigen und zeitartigen Vektoren unterscheidet. Die elektromagnetischen
Feldstärken werden in -Formen und zusammengefaßt, deren äußere Ableitung in einem
Fall verschwindet (homogene Maxwellsche Gleichung):
und deren Koableitung im anderen Fall eine 1–Form ist, die Ladungsdichte und Stromdichte
zur Gesamtladung verbindet (inhomogene Maxwellsche Gleichung):
!"
Die Lorentztransformationen, als die mit der Pseudometrik verträglichen orthogonalen Transformationen der Minkowski-Raum-Zeit und gleichzeitig als die Abbildungen, unter denen die
Maxwellschen Gleichungen forminvariant sind, zeigen die fundamentale Verbundenheit der
Minkowski-Raum-Zeit mit den Feldgleichungen.
Diese durch den Cartanschen Kalkül ermöglichte moderne Formulierung der Maxwellschen
Gleichungen ist Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit. Eine Diskretisierung der MinkowskiRaum-Zeit in Form einer Zerlegung der betrachteten Teilmenge in vierdimensionale Simplizes
und Plazierung der Feldgrößen in deren Eckpunkten legt nahe, den Kalkül der alternierenden Differentialformen im Hinblick auf diese Situation zu modifizieren, indem affine Formen
als eindeutig bestimmte affin linear Interpolierende der Werte in den Ecken der Simplizes
betrachtet werden. Die Minkowski-Raum-Zeit wird aufgrund der ihr inhärenten Ursprungsfreiheit (im Sinne des in der Speziellen Relativitätstheorie durchgeführten Verzichtes auf einen
absoluten Raum zugunsten relativer, zueinander äquivalenter Bezugssysteme, der Inertialsysteme) konsequenterweise als vierdimensionaler affiner Punktraum betrachtet. Im Gegensatz
zu den auf Zeititerationen führenden klassischen Verfahren erhält man durch die Simplizialzerlegung der vierdimensionalen Minkowski-Raum-Zeit ein lineares Gleichungssystem, das
durch entsprechend andere Methoden zu lösen ist. Eine Unterscheidung zwischen Anfangsund Randbedingungen im Sinne der klassischen Problemstellung ist bei dieser vierdimensionalen Betrachtungsweise nicht sinnvoll, da es in der Minkowski-Raum-Zeit keine absolute,
sondern nur relative, vom gewählten Bezugssystem abhängige Gleichzeitigkeit gibt. Es sollte
daher ohne Auszeichnung eines speziellen Inertialsystems nur noch von Randbedingungen
die Rede sein.
viii
Zum Aufbau dieser Arbeit:
Zunächst wird ein Kalkül affiner -Formen entwickelt, eine an die beschriebene Situation
angepaßte Version des klassischen Differentialformenkalküls. Dazu werden alle Begriffe und
Methoden geliefert, die für die Betrachtung affiner -Formen benötigt werden; es werden
neben Operatoren und Abbildungen für Vektoren, wie innere Produkte und orthogonale
Transformationen, auch affine Punkträume, affin lineare Abbildungen, Polynome höheren
Grades und Multilinearformen betrachtet. Aus Gründen der Notationskonsistenz werden
dabei auch Begriffe und Methoden aufgeführt, die sich nicht oder nur wenig von denen des
klassischen Kalküls alternierender Differentialformen unterscheiden. Im Hinblick auf weitere
Anwendungsmöglichkeiten des hier entwickelten diskreten Kalküls wurde besonders großer
Wert auf die Vollständigkeit der vorgestellten Methoden gelegt. Die numerische Lösung der
Maxwellschen Gleichungen im Rahmen der Theorie elektromagnetischer Felder ist nur ein
mögliches Anwendungsfeld.
Da diese Arbeit die Bestimmung von Feldkomponenten in Eckpunkten eine Teilmenge der
Minkowski-Raum-Zeit zerlegender vierdimensionaler Simplizes zum Ziel hat, folgt die Betrachtung stückweise affiner -Formen, die auf Vereinigungen aneinandergrenzender Simplizes definiert sind. Stetigkeitsbedingungen an die lokalen -Formen auf gemeinsamen Seiten
benachbarter Simplizes stellen dabei die Eindeutigkeit der Werte in den Eckpunkten dieser
Untersimplizes sicher, womit eine solche simpliziale -Form auf dem betrachteten Polyeder
eineindeutig einer diskreten Lösung in den Eckpunkten aller beteiligten Simplizes entspricht.
Im anschließenden dritten Teil wird der entwickelte Kalkül auf die Theorie elektromagnetischer Felder angewandt. Dazu werden zunächst die im ersten Teil allgemein formulierten
Eigenschaften affiner Punkträume unter Berücksichtigung der in der Physik üblichen Bezeichnungen für die Situation der vierdimensionalen Minkowski-Raum-Zeit formuliert. Es folgt
ein kurzer Überblick über die innerhalb der Theorie elektromagnetischer Felder benötigten
Begriffe und die Anwendung des Kalküls auf diese Situation, die als Ergebnis alle für die
Modellierung einer realen Situation notwendigen Zusammenhänge liefert.
Schließlich folgt die explizite Darstellung des diskreten Modells der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes, also die Anwendung der entwickelten Methoden
auf in vierdimensionale Simplizes zerlegte Teilmengen der Minkowski-Raum-Zeit mit in den
Ecken der Simplizes plazierten Feldkomponenten. Die Lösung eines Problems innerhalb des
diskreten Modells wird abschließend an einem numerischen Beispiel demonstriert.
Die vorliegende Arbeit eröffnet ein breites Feld möglicher weiterführender Forschung zur
Klärung der Zusammenhänge zwischen
•
•
•
der Wahl der vierdimensionalen simplizialen Zerlegung,
der Auswahl und Modellierung von Randbedingungen sowie
der Strategie zur Lösung des entstehenden Gleichungssystems.
Hierbei setzt eine realistische Modellierung komplizierterer Strukturen ein tiefes Verständnis
elektromagnetischer Erscheinungen voraus. Der genaue Einfluß und die Abhängigkeiten der
vielfältigen eine konkrete Problemmodellierung determinierenden Faktoren auf Effizienz und
Stabilität erfordern umfassende numerische Tests und sind ein vielversprechendes Feld für
zukünftige Untersuchungen.
ix
An dieser Stelle möchte ich mich bei meiner Arbeitsgruppe für die freundschaftliche und
angenehme Arbeitssituation bedanken, insbesondere bei Prof. Dr. Gerhard Heindl für seinen
stets wachen Blick für die vielen Dinge in der Mathematik, die klar scheinen, es aber nicht
sind, bei Prof. Dr. Hans-Jürgen Buhl für seine Eigenschaft als wandelnde universalinteressierte Enzyklopädie und meinem Freund und Korrekturleser Dipl. Math. Thorsten Hübschen.
Schließlich gilt mein Dank Prof. Dr. Erich Ossa und Prof. Dr. Klaus Fritzsche, die beide erheblichen Anteil an meinem mathematischen Werdegang haben und nicht ganz unschuldig an
meiner Liebe zu Differentialformen sind.
Wuppertal, im Dezember 2000
Peter Feuerstein
x
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
„Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man
zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann
ist es alsbald etwas ganz anderes.“
Johann Wolfgang von Goethe
Es wird ein Kalkül affiner -Formen, ein an die Situation diskreter Daten in den Eckpunkten
von Simplizes angepaßter affin linearer Spezialfall des Differentialformenkalküls, dargestellt.
Dazu sind, im Anschluß an einige grundlegende Definitionen, verschiedene Vorbereitungen
erforderlich: zunächst werden affine Punkträume, affin lineare und affin polynomiale Abbildungen und Multilinearformen eingeführt und untersucht. Schließlich werden die affinen
-Formen definiert und, unter besonderer Berücksichtigung ihrer speziellen Eigenschaften,
die bekannten algebraischen Operationen, die äußere Ableitung sowie das Integral über ein
Simplex betrachtet.3
I.1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe
und Bezeichnungen
„[...] jeder, der mal in irgendeiner der höheren Dimensionen gewesen ist, wird auch wissen, daß die da oben
eine ziemlich grauenhafte, unzivilisierte Meute sind, die
einfach kurz und klein gehauen und um die Ecke gebracht
werden müßte, und das würde ja auch passieren, wenn
jemand auf den Dreh käme, wie man Raketen im rechten
Winkel zur Realität abfeuert.“
Douglas Adams
Ein geeigneter „Lebensraum“ der später einzuführenden affinen -Formen sind pseudoeuklidische Punkträume, eine Verallgemeinerung euklidischer Punkträume. Beispielsweise ist die der
Speziellen Relativitätstheorie zugrundeliegende Minkowski-Raum-Zeit als vierdimensionaler
Minkowski-Raum ein pseudoeuklidischer Punktraum. Zunächst wird daher das Pseudoskalarprodukt auf einem reellen Vektorraum definiert und ein grundlegendes Konstruktionsverfahren für Orthonormalbasen beschrieben. Anschließend wird der pseudoeuklidische Punktraum
eingeführt, dessen Verschiebungsvektorraum ein mit einem Pseudoskalarprodukt versehener
reeller Vektorraum ist.4
3
Grundlagen des Differentialformenkalküls und der klassischen Vektoranalysis finden sich beispielsweise in [6, 18, 27, 3,
22, 32, 33, 9, 13, 14], dabei mit spezieller Berücksichtigung affiner Koordinaten und affin linearer Abbildungen in [27]. Für
die grundlegenden topologischen Begriffe sei auf [2, 11, 12], für den Infinitesimalkalkül speziell auf [5] und [10] verwiesen.
4
Anschauliche Behandlungen euklidischer Punkt- und Vektorräume finden sich in [3] und [8].
2
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
I.1.1 Inneres Produkt und quadratische Form
Definition 1
sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum für eine natürliche Zahl
a) Ein inneres Produkt auf
.
ist eine nicht entartete, symmetrische Bilinearform
! " ,
%&#'()%# .
#$ Ein inneres Produkt auf
heißt
* (+ %&#%-, ,
!
• positiv definit
! . * /+ %&#021 ,
• negativ definit
! ist weder positiv noch negativ definit.
• indefinit
#3 heißen -orthogonal ! %#4' .
Zwei Vektoren
Für eine Teilmenge 5 von ist der -orthogonale Untervektorraum von 5
ist also in beiden Komponenten linear, und es gilt:
•
•
b)
c)
d)
durch
in
definiert
576 8:9; =< %#4- > : 53? Bezeichnung
a) Ein inneres Produkt , also eine symmetrische, nicht entartete, aber nicht notwendigerweise positiv definite Bilinearform heißt auch Pseudoskalarprodukt, geschrieben als
mit
@A ACB&D
b)
=EFG
HF#%JIEF %&HF#%-/ @ HF# B D Im folgenden wird anstelle von „ -orthogonal“ kurz orthogonal verwandt.
Bemerkung
Der eingeführte Orthogonalitätsbegriff läßt die Möglichkeit selbstorthogonaler Vektoren
mit
zu.
Sei etwa
,
mit Standardbasis und (indefinitem) innerem Produkt
'K 9 % ? @ # B D -L :M
R R
@ # B&D 8 LOQ R NFP E L L
SP
T3 P VUVUVUV# L &W , 7 P VUVUVUV# L &W , dann gilt für H87 VUVUVUV VXOVXO&W
für
@&Y HF#Z[H BD Y Z @ HF#H BD \ Y #Z" offenbar ist also
5 8:9 Y H < Y ? ]
56 :
3
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
Definition 2
Sei
wie oben und ein inneres Produkt auf
.
a) Die assoziierte quadratische Form zu ist definiert durch
b) Die durch induzierte Pseudonorm auf
ist definiert durch
"!
#$&%
-
'
(
' (
%
*),+
falls ' (
'
*.+ (
falls
Bemerkung
a) Unterschiedliche innere Produkte definieren unterschiedliche quadratische Formen, denn
das innere Produkt läßt sich durch seine assoziierte quadratische Form ausdrücken („Polarisierungslemma“):
0/1 32 ' 78/1 465
b) Zu jedem <;
gilt:
' /1:9 gibt es genau ein Element /? ,
des Dualraums
6=
, so daß für alle />;
/1 =
=
@' A A ABC
Für eine Basis
von und die zugehörige duale Basis D@ A A ABC von
=
läßt sich ;
folgendermaßen schreiben:
E F#G
F
C
F
H = @
M @ 7
@
7
M C C
@
K
F
= ( = , so ist @ A A AB C eine Basis des Dualraums
N
N
7
M C C ( ,+VSU<;
Folglich ist die Abbildung
X =
X
ein Isomorphismus des Vektorraums auf seinen Dualraum
d) Ist Y[Z
ein Untervektorraum, so gilt:
Y]\UY_^
N
,+
In diesem Fall läßt sich
Y]`aY_^
, denn:
M C C
Q (R,+TSU<;
M @ @ 7 7, M C C M @ @ 7
M @BD@W7 7 M D
C C,+
M @ M C ,
+ N
=
,+
7
NPO M @ @ 7
F
c) Ist @ A A A C eine Basis von
K
C
FJE I KLG
ist auf Y
nicht entartet.
als direkte Summe schreiben:
(Ein Beweis hierzu findet sich in [14].)
=
=
.
4
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Im folgenden sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum für eine natürliche Zahl
ein inneres Produkt auf und
die zu assoziierte quadratische Form.
Bezeichnung
Für eine Basis
Definition 3
von
heißt
die zugehörige -Basis von
,
.
mit heißt Einheitsvektor.
"! ! von aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren heißt Ortho-
a) Eine Vektor
b) Eine Basis
normalbasis.
Satz 1
"!!
#$&%('
)+*, &% ('.-
/0 3 #$4
21 a) Es gibt eine Orthonormalbasis
von .
, so daß für jede Orthonormalbasis
b) Es gibt eine Zahl
von
gilt:
Beweis:
a) (Modifiziertes Schmidtsches Orthonormierungsverfahren5)6
Sei
von
i.
5 5 eine Basis von . Das Ziel ist, daraus eine Orthonormalbasis
zu konstruieren. Es sind zwei Fälle zu betrachten:
"! ! 6798+
, d.h. ;:=<?>@ 0A ]
5 $ B und nicht entartet ist, gibt es ein C , mit D05 E B . Nun gilt aber:
F?G HI%' mit G 5 J B D05 E G D05 5 E 4
Folglich ist 5K B . Mit
5
! ML N
5 [
Da
folgt:
ii.
D"!!E 55 PO 4
[67Q8R
S
]
1. Schritt: Konstruktion des Vektors ! :
,
• Falls es ein &% (' mit 5?/0 B ! ML N
5
5 gibt, vertauscht man
5?/
mit
5K . Mit
folgt wie oben:
D"!!E 55 PO 4
5
Vgl. etwa [27, 14].
Da die in der Literatur zu findenden Versionen dieses Verfahrens ohne Voraussetzung der Definitheit des inneren
Produktes meist nichtkonstruktive Anteile enthalten, wird hier eine rein konstruktive und im Hinblick auf Anwendungen
leicht implementierbare Form vorgestellt.
6
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
•
5
Ansonsten gilt für . Man wählt nun ein # mit !" $
. Solch ein existiert, denn unter der Annahme
%&' !
(*)
&'
erhielte man:
%+,
$
+/. % 0 " 12
. % 0 )
!3
-
und damit (mit Koordinatenfunktionen 4 45 bezüglich 5 )
)768
5
9
6< 4 2=(>
;: . %6 0 9
5
;: 6< . % 0 (8?
4 Da @ nicht entartet ist, müßte also %A
B gelten, was ein Widerspruch wäre!
Man setzt nun
C
>
D
E
E %&' F?
E ' E
2. Schritt: Konstruktion der C für $G :
Dazu sei bereits eine Basis HC CJI 5 von = mit folgenden Eigenschaften gegeben:
•
•
HC CJI sei ein Orthonormalsystem, es gelte also
K HCL K M
für N3O &P und
. CRQSCL 0 für T N3B P U N # T .
+
Im Fall G
seien die Vektoren 5 bereits orthogonal zu CC JIV es sei also
. Q C L 0 W
für TXB U N2B P
Für T
+ .
:
Man setzt
Y Q
( Q
>
P
. Q CJI 0 Dann gilt für Z/[\!P
.]
Y QSC^ 0 HCJI -CJI ?
. ]QSC^ 0 P
. ]Q_C JI 0 HC JI . C JI C^ 0 (
und
.]
Y QSC JI 0 . ]QSC JI 0 P
. ]Q_C JI 0 HC JI %HC JI !
B`
also gilt
Y Q
]
3
CC JI a'?
Schließlich setzt man
Q
>
Y Q ?
(Damit ist die zweite Voraussetzung für den nächsten Induktionsschritt erfüllt.)
Offensichtlich ist HCC JI 5 eine Basis von = , da nur Vielfache linear
unabhängiger Vektoren subtrahiert, also nur zulässige Basistransformationen durchgeführt werden.
6
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Man hat nun zwei Fälle zu unterscheiden:
•
gibt, vertauscht man ein,
denn für ein beliebiges
mit
Falls es ein
Dieser Fall tritt speziell für
mit
.
%
&
"!$# +*
-, /.
)!
!
(' %)
bezüglich * % * % ) gilt dann
(mit Koordinatenfunktionen %
!0# !
1 -2 1 2 ) ) ! 3 )
! 4 ) !
! !
!
!
und da und 5 nicht entartet ist, muß 0 67
gelten.
!
Man setzt!
*
8 : ;; 9 ;; <
und damit gilt:
;;
•
;
* ; 9 und 1 * *
= 2 > @? 9 +A 9CB
für E
und ohne Einschränkung (siehe oben) sei
Es gelte D
GF . Man wählt nun ein HE
, für das I,H7
gilt. Wie im
ersten Schritt existiert solch ein , denn unter der Annahme
0 , >KJ ML>
erhielte man einen Widerspruch:
1 2 >KJ NL>
%
O 1 -2 >KJ PQ & # +* , & ! 3 TSU /.
R ' %)
R'+ )
O >
bezüglich * % * % ).
(mit Koordinatenfunktionen %
)
)!
#
!
Man setzt nun
; , B
* 8 : ;; 9
, ;
Damit gilt
;;
;; *
< 9
und ferner gilt für alle
V FW
:
1 *
*X 2 : ; 9
1 *
X 2 , 1 *
X 2 >
;
Z
B
; I, ;@Y
*
\[ % eine Basis von . ist.
Auch hier ist offensichtlich, daß * %
!
(Damit ist auch die erste Voraussetzung für den nächsten Induktionsschritt erfüllt.)
7
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
b) (Spezialfall des Trägheitssatzes von Sylvester7)8
Sei
•
•
!#" .
()
!*
(,+
also % für alle
-%"
.
eine Orthonormalbasis von
und
, woraus
Falls $&% ist, ist ' positiv definit, es gilt
sofort die * Behauptung folgt.
/
Sei also % . Ohne Einschränkung seien die Basiselemente so sortiert, daß 0
für 213415 gilt. Es sei 6758:9;<=>
>?" und @
ein beliebiger maximaler
Untervektorraum von , auf dem ' negativ definit ist. Dann gilt zunächst, da ' auf 6
negativ definit ist:
ED
ABC
@
ABFC
6
GH
O
J
#NG
PQ I
==R
N
I
Nun sei mit Koordinatenfunktionen
J
E@K=LM6
definiert
durch:
J
SL
N
I
O
bezüglich
T I
PQ
N
=
eine Abbildung
H
Diese Abbildung ist offenbar linear, und es gilt:
J
N
G%UVI
UVI
a#>b
Somit ist
WX O
N
N
G%
D0Y
U3%
J N
N[Z G%
ABFC
@
1
ABFC
6
_
WX :
T \
der Nullvektorraum,
I
P
J
]
N
U
^
O
P
I
N
][D
%
NGG%`H T\
also ein Monomorphismus, und man erhält:
H
Es folgt:
ABFC
also ist
@
ABFC
6
c
unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis.
Definition 4
Für eine (beliebige!) Orthonormalbasis
e
A
<
>f
'
+
X4g#
#
_
"! von
heißt
0h
der Index von ' . (Satz 1 garantiert die Wohldefiniertheit.)
Bemerkung
Sei
a) Ist
i
+
kj
eine Orthonormalbasis.
Y^(
und damit
7
8
(
, so gilt mit
( N.Z Gi
oi
.
N
nm
l
Y W PQ
Z i
N
+
:
Ein Beweis des allgemeinen Satzes findet sich in den gängigen Büchern über Lineare Algebra (vgl. etwa [14]).
Siehe auch [26].
d
8
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
und
!"#"#$%'&)65(*&)+-, /. .
,/012"#"3$4+-, /&7(&7+
dann gilt für 8 9;:2:5=<<<>5)9@?@? , A CBD:2:5=<<<>57B;?@? :
E 8 . AGF =9
:HBD:57<<<5%9@?>I;JHB;?I;J , 9@?I;JLKM:HB;?I;JKM: , <<< , 9@?B;?ON
: .QQQ. ?
P
.
Q
Q
Q
.
P
?
:
Ist
die zugehörigen -Basis von
duale Basis und
R P , dann erhältdiemanzugehörige
folgenden Zusammenhang:
E . F P P P falls (&7+-, /N/.
, falls (S%+-,
b) Ist zusätzlich
I.1.2 Orthogonale Transformationen
Bezeichnung
Im folgenden sei
•
•
•
•
R
+
R
ein -dimensionaler reeller Vektorraum,
ein inneres Produkt auf ,
die zu assoziierte quadratische Form und
die durch induzierte Pseudonorm auf
C
R
W
U
V
T <T R
R
Weiter seien Orthonormalbasen 2:.QQQ.? von wie folgt sortiert:
3 falls '&)(*
&)+-
, >M
5 >6. N
,/ falls +-,
'&)(*&)+
Y R7UZR
.
X>
Definition 5
Eine lineare Abbildung
heißt orthogonale Transformation (bezüglich ), wenn
mit verträglich ist, wenn also gilt:
E 8 . AGF E Y 8 H. Y A F \
[ 8 .)
A ] R N
R U^R ist ein Isomorphismus, denn es gilt:
Y )
8-]_ ` Y ba E 8 . AcF E Y 8 L. Y A F )d [ A=] R
a 8 )de.
da nicht entartet ist. Y ist also ein injektiver Endomorphismus und damit bijektiv.
R=UZR bilden selbstorthogonale Vektoren auf selbstOrthogonale Transformationen Y orthogonale Vektoren ab:
de7 8 * E 8 . 8>F E Y 8 H. Y 8 F )2 Y 8 fN
Bemerkung
a) Jede orthogonale Transformation
b)
Y
9
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
Lemma 1
Für eine lineare Abbildung
a)
b)
c)
sind folgende Aussagen äquivalent:
!"#
ist eine orthogonale Transformation.
ist verträglich mit der zu assoziierten quadratischen Form, es gilt also:
bildet Orthonormalbasen auf Orthonormalbasen ab, wobei eine Anordnung gemäß
erhalten bleibt.
& ('* )+
Beweis:
•
•
,+-./././
,.01
$%
,+-../././,.0
Ist eine orthogonale Transformation und
eine Orthonormalbasis
von , so ist auch
eine Orthonormalbasis, denn ist ein Isomorphismus, und es gilt:
9;< =@> ? A=1 ? CBEDE./././.FHGI
:
,.23
,5461 ,.2,748 DELI DETFUD(JLVN= O@PQ.? R
JKFMWXLC= NOPQ.RSJK
F"A #
@?
)+Y'[ZS Es seien , 0 - ./././, 0 und , - ./././
, 0 1 Orthonormalbasen von \ E23,.2I_ :
gilt für jedes 2^] 0
0
U` a 2 , 2cb a 2 , 2 A
2^] 2^] -
, dann
0
a
e2 d 45] - E2e64 ,.23
,7461 0
0
a 2^] - 2 ,.231 a 2^] - 2 ,.23
0
a
2cd 45] - E2e64 ,.2,746 f#
und damit folgt:
•
ZSg' & Es gelte
U"K
1hT :
dann folgt für alle
D
h ij (kVhHL (LVhl
D
i j (kVh1HL (LVh1l
D mkV
h1HL HLC
h1 l h1 # o
ij n
10
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
und
orthogonale Transformation. Weiter seien mit eine
für !#" Orthonormalbasen von .
$ %&' bezüglich der Basis gehörige
Dann ist die zu der inversen Transformation
)+*, -. 0/ -213 mit
Matrix (
8
4-56 $ 4 -7 13 *, - 3:9;!#"
/?> ( >@/BA> (DC=E GFG von nach :
die Koordinatentransformationsmatrix (=<
HJIK L E M E N OQP="R -Matrizen zu interpretierenden Basen:
mit als
ST 8 STU% WX 8 WX
8
UV... 13 UVR 13 UV -@13 *Y-@ 4 8 8 *Y-@\UV0] 4 -5 ST (=< /?> ST U ... WX WX_^
-@13[Z 13
UV
/?> heißt auch die mit der orthogonalen Transformation und der OrthonorDie Matrix ( <
malbasis assoziierte Matrix.
u
`
Wegen
gkOl gon f p?h3iqj p rsl p+tvu fgh3iVj gk j g@ryx#l g!n!l g!z
g
f
R
h
V
i
j
+4-7a+bJcd_e m e m cwe
m m
uOŠ ‹
[
u
|
#
u

‹
Œ u#Š!
folgt mit {
x k n r z k0€ r@h3i
c~} m m e cV‚ e!ƒV„0…†‡+ˆ‰
‚ „0…†‡+ˆ‰
u{
u{
€?’“ der Basiselemente:
“ €?’J”
aus der Orthogonalität
c6Ž‘  l Ž ‘ l k r7– k0€ r@h3i
Žwc_• j e mit
Betrachtet man analog
l r r7– f k
h3i j l k r k 0fk € gh3i j l k r j gkOl g˜n:™ n›››n#œ3n
m c6—• m cwe m c e
m cš
u
u
i
l
{
{
€?¡’ €?’ “ €?’ “ n | Œ¤£+¥V¦§¨
so gilt offenbar
ŽcžŽ ‘VŸ c6Ž ‘ ƒ €?’ c k r.Ž – k0‘ € r@h3i Œ œ
–
Œ
Ž c• j e g€ i (und ¢ g®3c iO€ i “““ •© ) €diei inverse Matrix:
insbesondere erhält man füriO€ i ‘ “““
j
j
j
j ¯°°
Œ
Œ
i€?’ Œ j ...iO€ g “““ Œ j ...g€ g j g... ®3iO€ g “““ j ... e € g °°° ”
Ž ‘ ƒ c«ª¬¬ Œ j iO€ g®3i “““ Œ j g€ g®3i j g®3iO€ g®3i “““ j € ge ®3i °°
¬¬ . iO€ “““ . g€
e
g
3
®
“
“
“
.. € ±
.. iO€
¬¬ j ..
..
.
.
j
j
j
¬­
e
ee
e
e
Bemerkung
Es sei
11
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
Weiter gilt:
und es folgt
eine Matrix mit
Ist umgekehrt
!" $#
so ist
die Koordinatentransformationsmatrix des Basiswechsels
%'& &
%/.%'& *
.%'&
#)()()()# +*-,
#)()()(0# *1*
.
für eine orthogonale Transformation . Die Menge der Matrizen mit
Eigenschaft bildet
%/5 dieser
mit der Matrixmultiplikation offenbar eine Untergruppe von 243
# *:
7
8
)
9
mit
• Für #6
6 6 gilt:
% * % * 6: 6
6:
6
6 6
;< gilt:
• Für
#
"
8=' " )> = > )
@? 0? .
• Es ist offenbar
I.1.3 Affine Punkträume
Definition 6
Zu einer Menge
daß gilt:
%/G
A
gebe es eine Menge
B
GH von bijektiven Abbildungen
1) Für alle # *
A IJA gibt es genau ein
2) Es gibt Verknüpfungsabbildungen
C B
mit
C
%/G * GH
C$DA
EFA
, so
.
K D BLIBMNEOB
% *-Q
C #P MNEOC K P D $
P R C
und
D I BLMESB
%'T *-Q T C #
# C ME
% K
5
so daß B # # * ein -dimensionaler reeller Vektorraum ist.
5
Dann heißt A
-dimensionaler (affiner) Punktraum bezüglich B (oder mit zugehörigem
(Verschiebungs-)Vektorraum B ). Die Elemente von A
heißen Punkte, die Elemente von
B heißen (Verschiebungs-)Vektoren.
12
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beispiel
Ist
ein -dimensionaler reeller Vektorraum, so ist die Menge
Abbildungen
bezüglich
('
%
!
#"
$
&%
der
# ) $* #)!+ ('-, /
.10243&
5
6$*7 , 0 8
5
und
vermöge der linearen Bijektion
9
ein zu
isomorpher reeller Vektorraum. Folglich ist
bezüglich .
ein
-dimensionaler Punktraum
Vorbemerkung (zum folgenden Lemma)
Das im Anschluß zitierte Ergebnis aus [14] garantiert die Existenz einer Topologie auf dem
zu einem -dimensionalen Punktraum : gehörigen Vektorraum , bezüglich der die obigen
Verknüpfungsabbildungen sowie Linearformen stetig sind.
<="
von vermöge
Offene Mengen in werden dazu für eine fest gewählte Basis . 01;1;1;0
der Abbildung
<
> =8 <#"BA6
@? . 01;1;1;0 ?
< D D
CD
?
E .
<
als Bilder offener Mengen des 8
definiert. Diese Topologie ist dieselbe, die durch jede
Norm auf induziert wird und ist insbesondere eindeutig bestimmt.
Lemma 2
Auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum
1)
existiert genau eine Topologie, so daß
ein topologischer Vektorraum ist, also die beiden Verknüpfungsabbildungen
•
•
Addition zweier Vektoren und
Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor
stetig sind, und
2) jedes lineare Funktional
F&
HG
stetig ist.
Im folgenden sei
:
Schreibweise
Für I&0HJ
"
J . 9
J 3 schreibt man auch
HL
J . K J 3 *J 3 J . 0
%M
NHO =J . %
%
"QP6R
J!. J!.2K J3&*J3/*J!.
J3 J!.
. 02J
"
J .
ein -dimensionaler Punktraum bezüglich
3 I:
mit
.
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
13
Rechenregeln
Es gilt:
a)
b)
c)
!#" $%
&'$()
" *
"+%$+," -. $+/01
Beweis:
a) Für alle
2)
und
gilt:
3
4
056
1
'$78
b) Für
gilt:
9
$+7<
)"
: ;
1
gilt:
,
: + $
9
c) Für
+ ;=
> + ;?
: + $
@ +
+ $
@$1
Definition 7
A''>B%B%B%$C
Für alle
D
heißen genau dann affin linear unabhängig wenn gilt:
$IJLKM(
7E'F%B%B%B%GOHQPE H
sind die Vektoren für N
D
linear unabhängig.
7E'F%B%B%B>GH
Bemerkung
$AQ%B%B%B>$CR
Die affin lineare Unabhängigkeit
der
$A%'%B%B%B> $A%$C'
abhängigkeit der Vektoren denn für S
$U' I $UQ A folgt bereits aus der linearen Ungilt
EOTQ%B%B%B%GOH
A I F%B%B%B%G'
D
und somit erhält man:
W X Y%V Z
I U $
I$
X\Y'
[ ]^
F
W X Y'V _
I%: U $
A
X\Y'
[ ]^
9
Lemma 3
Für
^
I$Fg
W X Y'V _
X\Y'
[ ]
I $A%$I`"#abc
A,
^
^
7E'F%B%B%B>GH'PE
D
S
^
und
A'%B%B%B%
<lkm
Ikj3A
unabhängig von
mn8
^
m I (
^ I
.
W X Y'
V _
X\Y'
[ ]
A U $
A
^
^
IJd%e $A%$U
f
U
U
W
H1
(„O-Lemma“, [16])
$AQ%B%B%B> U
$A%$I ;
U
0h
mit
i
IT
^
kI j3A
ist der Punkt
14
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beweis:
Es gilt:
Schreibweise
) aus
Nun können affine Linearkombinationen von
Punkten
(
"!###! %
$
! " !###! &$' !
sei
***" ,+ $ .
für einen beliebig gewählten Punkt
Für
definiert werden:
Bemerkung
a) Offenbar ist
21 21
.-0/ -"/
; < für jede Permutation 3 von 465 !###!87:9 .
!= 5 !###>!>7:! für ein ? $ 465 !###!>7:9 , so gilt:
Falls
<@
Für einen A -dimensionalen Vektorraum B als Punktraum bezüglich CD
Linearkombination von E !###! E $ B eine Linearkombination
F)
E mit
b)
c)
Definition 8
Eine Teilmenge
ist eine affine
GIHJ heißt konvex, wenn gilt: F)
K L ! M $ G + 4 L8L MMN L M
! L ! MO 5 9 HPG
Für eine Teilmenge G
HQ ist die konvexe Hülle von G definiert als kleinste konvexe
Menge, die G enthält. DaY Durchschnitte
konvexer Mengen konvex sind, gilt also
R>S0T0U
V GXW
G Z\Z []^cZ_bd^`eg[6fgah2i
15
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
% %+* %!,.-0/21 %
**
$
'
%
&
!#"
$ %'&
5476
)(
(
3(
das von den Eckpunkten
aufgespannte 8 -Simplex.
-@?5AB
9 ? 9;:<= >
9 9;:
Ist
mit affin linear unabhängigen Punkten
und
A
8 eine Teilmenge der Eckpunkte eines 8 -Simplex, so heißt das von diesen Punkten
Speziell heißt für affin linear unabhängige Punkte
aufgespannte -Simplex
9;9 : 39;9 : )<>3C>D
A
D
( -dimensionale) Seite oder Untersimplex von . Dabei spricht man nur im Fall
D
einer eigentlichen Seite;
selbst heißt uneigentliche Seite.
D
D
D
Der Rand F
von
ist die Vereinigung aller eigentlichen Seiten von :
F
DGH" $ %'&
)(
% +
% **
*
(
%!,.-I/J1
$ %'&
ACE
8 von
%
54C)KMLN
O ;
6R
8 Q( P
3(
Die eindimensionalen Seiten eines Simplex nennt man Kanten, nulldimensionale Seiten sind
offenbar Eckpunkte.
,
Definition 9
4
4T
Für 8
zerfallen die 83S
Anordnungen der Eckpunkte eines 8 -Simplex
in
zwei Klassen, wobei Elemente derselben Klasse durch gerade Permutationen und Elemente
unterschiedlicher Klassen durch ungerade Permutationen auseinander hervorgehen. Diese
beiden Klassen nennt man die Orientierungen des Simplex.
>
4
Ein Simplex
zusammen mit einer Orientierung des 8BS
U >
U -Tupels der Ecken
heißt orientiertes Simplex; man schreibt dafür
.
Für die zu einem orientierten Simplex V gehörige Punktmenge schreibt man W VXW .
Bemerkung
a) Es gilt:
U )R
W
b) Ist Y die Menge der Permutationen von
8 und
Z[\^]_`>a b `a bUc
g3h3
Wd Y 7eBf
W
die Zuordnung der Orientierung, dann gilt für ein orientiertes Simplex
g
Orientierung
:
Z ]] ` a b ` a bUcc Hi h
g
falls d gerade
falls d ungerade
U
der
R
d :
j ] ` a b `a Ub c>k U >)R
Folglich gilt für jede gerade Permutation
,
Für
und
U !l!mn>
4
8 U l gibt
es also genau zwei orientierte Simplizes, nämlich
U
m _
. Im Fall 8
gibt es nur das eine orientierte Simplex
.
16
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Definition 10
Es sei
ein Punktraum mit zugehörigem Vektorraum Eine Teilmenge heißt (affiner) Unterpunktraum von
torraum von gibt, so daß gilt:
1)
2)
,
!
#"$
, wenn es einen Untervek-
.
Bemerkung (Eigenschaften von Unterpunkträumen)
a) Affine Unterpunkträume sind affine Punkträume.
b) Für alle % gilt
c)
'&($")*+&-,.("/1023546
wobei der Untervektorraum eindeutig bestimmt ist.
Für zwei Unterpunkträume 7&8$"9 und ;:&8:<"9=:
7> :@?BA #3 : und *C :+D von
gilt:
d) Der Durchschnitt von Unterpunkträumen ist entweder leer oder ein Unterpunktraum.
Definition 11
Die affine Hülle EGFIHKJML einer nichtleeren Teilmenge J eines Punktraumes
schnitt aller Unterpunkträume N
, die J enthalten.
(EOFPHKJ2L ist also der kleinste Unterpunktraum, der J enthält.)
Die Dimension einer Teilmenge JQ
ist definiert durch
R<S+T HKJML+& T E.U,WVMYXZ60
Es gibt
H[V\"(].L
ist der Durch-
affin linear unabh. Punkte in
Lemma 4
R_S`T HKJMLP&-a und sind
Ist
Z g bg/
bbj cMYJ g affin linear unabhängig, so gilt:
jj f g+h c
EOFdHKJ2L&
&-]@k(&(EOFdHlK Z bbb cnm L
Zi
Zi
R_S`T HoEOFIHKJ2LpL1& R_S`T HKJ2L .
und folglich ist
e c
f g+h
Beweis:
Für V(&rq ist die Aussage trivial.
Sei also Vts-q und u&8$"9 ein Unterpunktraum von
Dann gilt &vg Z "; und
, der
J
enthält.
Z 3
5wY,W]WbbbV@46
folglich enthält den Unterpunktraum
g g/jj g
e
f g+h c
j
: _& Z"
Z xw&8]WbbbV k
i
i
g~}
g gjj g
e
f g+h c
f g+h c
j
& Z"zy]|{
Z Z"
Z xw&8]WbbbV k
i
i
i
e c g gjj c g
f g+h
j f g+h
&
&-] k Zi
Zi
J^4\
$ $
#
$
"! % &
17
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
Es bleibt noch zu zeigen:
.
. Dann sind die Punkte
affin linear abhängig und damit
Sei dazu
linear abhängig. Da nach Voraussetzung
affin
die Vektoren
linear unabhängig, also
linear unabhängig sind, gibt es
mit
Damit ist
$ $ #
$
"!'
)( "!*
( % &
+
Bemerkung
,
Der obige Beweis zeigt auch, daß die Definition der Dimension von Teilmengen affiner
Punkträume verträglich ist mit der Definition eines -dimensionalen Punktraumes (also der
Dimension von Punkträumen und damit insbesondere von Unterpunkträumen) am Anfang
dieses Abschnittes.
-/.
013254687 ! 0192:4;.<7=4;> ?A@B4C87 ! <. 7 &
Definition 12
Eine Teilmenge
heißt maximaldimensional, wenn gilt:
,
,
Definition 13
0F;G HIJ4 E 7 !/D K
.
E
Ein -dimensionaler pseudoeuklidischer Punktraum ist ein -dimensionaler Punktraum
,
auf dessen zugehörigem Verschiebungsvektorraum ein Pseudoskalarprodukt definiert ist.
F;G 0HIJ4 E 7 !"L
E
Ein pseudoeuklidischer Punktraum mit
Falls
Bemerkung
gilt, also
.
heißt Minkowski-Raum.
ein Skalarprodukt ist, heißt
E
O P6O N D
R NTS . Q5. JU VW
4 )X 7YJU VZR N 4 )X 7 S ! O[ X8O N &
euklidisch.
. Q.
a) Die durch die zum Pseudoskalarprodukt assoziierte quadratische Form
auf induziert eine Pseudometrik auf
:
Pseudonorm
MN
definierte
b) Unterpunkträume euklidischer Punkträume sind euklidisch, da sich Skalarprodukte auf
Untervektorräume vererben. Unterpunkträume pseudoeuklidischer Punkträume müssen
dagegen nicht pseudoeuklidisch sein, da die Einschränkungen indefiniter innerer Produkte
entartet sein können. Der Index eines eingeschränkten inneren Produktes kann dabei stets
nur kleiner werden.
18
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
"!
# %$ &' ' # ' $ +) * , &' ' - # /. &' ' # '
(
(
(
) * , &' '
' '3
#
&
'
%$0 . %$ ( - . ( 12
Vorbemerkung (zur folgenden Definition)
Es sei
ein Punktraum mit zugehörigem Vektorraum und
ein -dimensionaler
Unterpunktraum mit zugehörigem Untervektorraum von . Weiter seien
affin linear unabhängig.
Dann gibt es für alle
und somit
eindeutig bestimmte
, so daß gilt:
Daher definiert man:
*
4 . 5
798 ;:
5<+$=
>? '
) * , &' &' ' '
.
%
$
@
(
(
'
* AB$ A
Definition 14
Ein
-Tupel
affin linear unabhängiger Punkte
heißt (affines) Koordinatensystem von
Für einen Punkt
heißt
für
Bemerkung
mit
.
mit
die -te (affine) Koordinate von
bezüglich
5
.
C C DE /
. C . C
*H, &' ' B) I &' ' *
/FG$ ( ( +$ - 5
von
a) Für eine Basis
ein Koordinatensystem von .
b) Setzt man zusätzlich
so heißen
6
und einen Punkt
baryzentrische Koordinaten von
ist
bezüglich
# # 5 J K # B
# L
M $N . 4O%OP
O . C C5
O .
CC 4O K C C
.
Bezeichnung
Ist
ein affines Koordinatensystem von , so ist der Punkt
als Ursprung des
aufgespannten Unterraumes gewählt. Man schreibt daher
von den Vektoren
auch
für
. Ist also
ein -dimensionaler affiner
Unterraum von
,
und
eine Basis von , so schreibt man für das affine
Koordinatensystem
von
auch
.
19
I. 1 Geometrische Grundlagen, Grundbegriffe und Bezeichnungen
Lemma 5
Es seien
(Koordinatentransformation)
% ' & & & (
% ) & )
& (
*+
&
"!
& & #$
,!
#
affine Koordinatensysteme von - .
2
#
0/
.!
Für
seien
die
affinen
Koordinaten
eines
Punktes
mit
1
bezüglich
& & & 2
und mit 1
bezüglich
bezeichnet. Es gelte weiter
&
3
und
4
% & ( .67!98
5 1
4
5 1
% & (:
4
3
5 1
% & ( 4
&
; 5<
>=
;
"!
#
?@
3
)&
; & 3
3
& &
; 4
%
5 A
% ) & (
1
3
<
BC
EF GIH J
( >=
;
D
"!
#K
* L 5
;
;
mit einer regulären Matrix <
.
Dann erhält man die folgende Koordinatentransformationsformel:
MN
& 2
1
1
&
..
.
2
PO
QSRRR
MN
<
..
.
NM
<
1
<
RRR
<
V & 8
1
..
.
1
MN
1
..
.
OPT
& 8
1
1
2
V & WRRR
8
1
1
1
..
.
2
& URRR
& 8
1
& OP
% & (
% & (
& 8
1
8
..
.
1
X & OP T
V
NM
1
1
2
V2
& 8
8
..
.
1
1
VX & OPZY
(Diese Transformationsformel für affine Koordinaten läßt sich leicht durch Koeffizientenvergleich verifizieren.9)
9
Vgl. etwa [3].
20
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
I.2 Affine Polynome
„Der leere Raum ist verdammt viel besser als so manche
Materie, mit der die Natur ihn füllt.“
Tennessee Williams
Zunächst werden affin lineare Abbildungen zwischen affinen Punkträumen betrachtet. Solche
Abbildungen bilden affine Linearkombinationen von Punkten auf die entsprechenden Kombinationen der Bildpunkte ab. Die Definition läßt sich dabei analog auf Vektorräume als spezielle affine Punkträume übertragen. Anschließend wird im Hinblick auf den zu entwickelnden
Kalkül affiner -Formen und deren Integration der allgemeinere Begriff affin polynomialer
Abbildungen eingeführt, wobei eine zu der in [5] analoge Vorgehensweise gewählt wurde.
Diese Abbildungen stellen sich in natürlicher Weise als homogene Polynome in baryzentrischen Koordinaten dar, wobei affine Polynome ersten Grades gerade die zuvor betrachteten
affin linearen Abbildungen sind. Eine ausführliche Untersuchung von Abbildungen bezüglich
baryzentrischer Koordinaten sowie zahlreiche Transformations- und Umrechnungsformeln finden sich in [4].
I.2.1 Affin lineare Abbildungen
Definition 1
Es sei
ein -dimensionaler Punktraum mit zugehörigem Vektorraum ,
ein dimensionaler Punktraum mit zugehörigem Vektorraum
und
eine nichtleere
konvexe Teilmenge.
Eine Abbildung
heißt genau dann affin linear, wenn gilt:
Für alle
mit
und
ist
! "$#% '&()+*
-,./&!10)23,405&!13,40/6
2 7
3,8 0 Dann gilt für alle "1;1;1;<$= "1;1;1;1<>
DE<
< @ @
E
@
G
@
F
@BA ) @BA 3,4 0/6
<
?
mit @BA @ )C*
Bemerkung
a) Für ein solches
ist auch das Bild
konvex.
b) Verkettungen affin linearer Abbildungen sind ebenfalls affin linear.
9 :
Lemma 1
Sei
affin linear.
Beweis: (Induktion über k)
•
HC)I% :
3,*'J0K)2*3J"3,40K6
<
?
und @BA @ @ = :
•
:
21
und gilt offenbar
"!#$! %!& '! %!(
/ .
ii) Mit )
*+ sei nun -, $ .'$*+ mit .'
/2 *3 . Dann gilt:
Weiter sei etwa 10 und damit ! 4 . ' 5 *!& ' !
und man erhält
*! $'$%! !&' %!6(
7 !78 :9<; :
> B und <, > = ? ? .
Es sei ?A@ = ?
?A@ 9
i) Zunächst sei ?
für alle CDEF%G%G%G% 'H .
H mit ?LK 0 , denn sonst wäre > = ? 9 3 .
Dann gibt es ein CJIDEF%G%G%G%
A
?
@
2 ?LK > ?* S , dann gilt:
Es sei I,
?LMFN O P P P O ?LK
=%Q#R
W
*! UTV = ?V X ?ZY
?A@ [\V W ?V X ? ?LK]V X ?LK_`^
?LMFN O P P P O ? K
[\ V I =%[\ Q#R W
? V X ?a^` ?LKbV X ?LK_`^
?LMFN O P P P O ?LK I
dc)V I V X I ?L=%K]Q#V R X ?LK_e
i)
•
I. 2 Affine Polynome
Für
I , V ?LMF N W L? K I? V X ? O P P P O
=%Q#R
und somit
*! I I ?LK ?LK ! mit
W
? ? f ?LMFN O P P P O L? K I
=%Q#R
I I !& ?LK ?LK !(
Mit der Induktionsvoraussetzung folgt:
ii)
*! I W
? ? !& ?LK ?LK ! W = ? ? !(
?A@ L? MFN O P P P O ? K I
=%Q#R
'H und I2, : ? K > ? 3 Es sei nun etwa ? K 0 für CJI2gEF%G%G%G$
?LMFN O P P P O ?LK
Wegen
=$Q_R
?LK : ?LK
?
I I I 3 1 I 3 und K f .
22
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
ist dann
!$#&%
"
'*(
'*(
Damit gilt:
'(
) ),+
) '*(
'*(
'*(
und mit der Induktionsvoraussetzung erhält man:
) -) '*( )
'*(
'*(
) ) ) %
/.0
(
Lemma 2
+ 2 # +3+3 # und ! #,4 2 # wie oben mit 56
7 ! # )
Seien 2
+:::;+
Dann gibt es zu affin linear unabhängigen Punkten < +:::+ < =' 2 genau eine affin
'*( lineare Abbildung
!>#@? 2
mit
und beliebigen Punkten
) < +BA DC +:::+ 8 %
'
'*(
(
( FC +:::+ 8 (
<
)
E
+
A
!
?
#
Eindeutigkeit: Sei
2 ( affin linear mit
.
)
)
+
:
:
:
+
) LK
(
G
!
!
#
#
F
4
J
H
I
Zu
M existieren eindeutig bestimmte
M jedem
) und N
) . Folglich gilt:
/.0 /.0 '*(
'=O (
( '*(
(
) &P ) ) ) < 0%
) '
/.0
/.0
/.0
Beweis:
1)
98 .
"! #
1
mit
Also ist
eindeutig bestimmt.
'
2) Existenz: Offenbar ist die Abbildung
! # ? *' 2 (
FQ ?
) /
'*(
) < ,+ A
affin linear mit
(
)< /.0
NC +:::;+ 8
.
Folgerung
'
(
!
#
4
#
Ist
2 eine nichtleere konvexe Menge und
HJI ! # ) ?
genau eine affin lineare Abbildung R
'S TVUfür 'die also gilt
übereinstimmt,
R
%
1
'
2
! # ? 2
'
affin linear, so gibt es
, die eingeschränkt auf ! # mit
23
I. 2 Affine Polynome
Beweis:
Es sei
, weiter seien affin linear unabhängig.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin lineare Abbildung
"!$#&% ')(+*
Da die Einschränkung
mit
2 354
)
-,
/
10
-, .
affin linear ist, folgt die Behauptung aus der Eindeutigkeit.
Bemerkung
6 * Ist
eine maximaldimensionale konvexe Teilmenge eines 7 -dimensionalen Punkt
8 (9*
durch ihre Werte auf 7;:=< affin
raums, so ist eine affin lineare Abbildung
linear unabhängigen Punkten ->?
eindeutig festgelegt.
Lemma 3
*
* B6
Seien
@A@ wie oben.
Unterraum von @ mit
!$#&% ' FE
:DC
( *
H
G
*
sei eine nichtleere konvexe Teilmenge und C
Beweis:
:ML
K :MI J L
E
(
C
LNC
@ mit
mit :ML
0
1) Existenz:
sei die eindeutig bestimmte affin lineare Fortsetzung von
Für einen beliebigen, fest gewählten Punkt O
sei
-Q IKP L
:ML
=
•
der
!$#&% ' 0
Weiter sei
affin linear.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung IKJ
E
auf
!$# .
0
LRNC
I P ist linear, denn für STU 8VWKL1YXZ[C gilt:
IKP SL):MUTX
Y
-Q
Y
-Q
Y-Q =:
:\SL
:
:MUTX
R] < `_=Q ^ ^
< ^ =: SL : ^ =: UTX
`_ Q ] < ^ ^
< : SL : ^
=
: UTX
=
^
Y
] < Y Q ^ ^ <
S =: S :ML :
^
Q ^ ] <
S :\S
:ML :
^
Ga" Q
Q <
S
U
:\S
:ML
a a -Q b
:\S
:ML
a -Q `b
a S
:ML
:MU
W0
SIKP L :MUTIKP X
^
< Y <
Q ^
Y`_=Q ^ U : U :MX
Q ^ ` _=Q U :MU
M
: X
^
` bcQ :MU
:MX
a -Q bBb Q :MU
:MX
-Q `b
:MX
<
24
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
•
Die Abbildung ist unabhängig von
Aus
, denn für
gilt :
! #"$"% ! " "
& ! " '
(*! ) " + .98: <; >=
,.- 0$/ 21 ,.-35476
.?8 < > @ <; folgt nun
.?8 < >@ <; mit < >=
2) Eindeutigkeit: Sei A%BCEDFCG und BH;I$JLK eine lineare Abbildung mit
.?8 < >@ <; mit < >=
Im Fall AMON ist ;I
P*NQ und ON die Nullabbildung.
&T &X .
Falls A%ROS ist, existieren affin linear unabhängige Punkte @VUVUVUW@
T ! &Y @VUVUVUW@ T ! X " eine Basis von ;I und
Damit ist 0 T ! &Z5" [ Z T @
\ ES @VUVUVUV@ A @
wodurch eindeutig bestimmt ist.
% < gilt also die Behauptung.^
Mit ] . BC
. für ein < und alle <;I mit
Punkträume, baO_` @ ac_` nichtleere konvexe Teilmengen und
Bd_ & Je@ _`_ @ _`sowie
fBg &Jh affin lineare Abbildungen, so gilt:
]ji7kM
]ml
k @
gilt einerseits
denn für alle @
l#f 7 f . f k.2
f ] k .2
und andererseits, da die Komposition lnf affin linear ist,
l#f 7 l#f 7 ]jik .
f ]jik . =
Bemerkung
Sind
25
I. 2 Affine Polynome
Definition 2
Es sei
ein pseudoeuklidischer Punktraum mit zugehörigem Vektorraum
und Pseudoskalarprodukt .
Eine affin lineare Abbildung
heißt affin orthogonale Transformation (bezüglich
), wenn die zugehörige lineare Abbildung
eine orthogonale Transformation ist.
Vorbemerkung (zum folgenden Beispiel)
Da man jeden reellen Vektorraum als speziellen affinen Punktraum mit ausgezeichnetem
Nullpunkt betrachten kann, dessen zugehöriger Vektorraum zu ihm selbst isomorph ist, lassen
sich die obigen Bezeichnungen und Eigenschaften auf Abbildungen von Punkträumen in
Vektorräume, von Vektorräumen in Punkträume und auf Abbildungen zwischen Vektorräumen
übertragen. Der erste Fall, Abbildungen von Punkträumen in Vektorräume, soll hier näher
betrachtet werden.
Beispiel
Es sei
ein -dimensionaler Punktraum mit zugehörigem Vektorraum
nichtleere konvexe Teilmenge.
sei der Unterraum von mit
und eine
"! # %$
*) in einen + -Vektorraum ) heißt genau dann affin linear, wenn
Eine Abbildung &'(
für alle -,/.0-12!
.34,/.53617!8+ mit 34,/.536179;: und 34,<361=?> gilt:
& 34,@A,83615-1@34,@& A,/B83615& -1@%$
Es gelten die auf diese Situation übertragbaren bereits für affin lineare Abbildungen in affine
Punkträume gezeigten Eigenschaften.
Insbesondere gibt es genau eine lineare Abbildung
mit
CDE GF
& IH4-& 2AIC H4JK"!LM.0HN!L mit IHO!L$
QF , jeden Punkt "!L und jeden Vektor
Umgekehrt ist für jede lineare Abbildung 8P
HR! F die Abbildung
&TS4U V= W QF
XRYW &TS4U V X %ZH[IO\R ] X[^
X X
affin linear, denn es gilt für alle ,@. 1=!M.[34,T.5361=9;: mit 34,_361[?> :
&TS4U V 3 , X , 83 1 X 1 H=I \ 3 , X] , 83 1 X] 1 ^
3 , 83 X 1 `H[83 , \a X X] , ^ 83 1 \a X] 1 ^
34,@&TS4U V ,@B83615&TS4U V 15%$
Folgerung
Die Menge der affin linearen Abbildungen
b c . F %ZRd/&e fQF
von einem -dimensionalen Punktraum
vermöge der Vektorraumoperationen in
F
affin linear
g
F
h
-dimensionalen reellen Vektorraum ist
i O>TAj/hk -dimensionaler reeller Vektorraum.
in einen
ein
26
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beweis:
Die Vektorraumeigenschaften sind leicht nachzuweisen, und es gilt offenbar:
! "# $ )*,+.-0/012)34)5 ) für alle
:);;;)<+ 1
Seien nun
3
von .
Dann ist =:BC DFEGIHJHK
B CD
für
G%H
V
HWK
#%& #%'( ) +1
)58
P!QRTS
>UD
sonst
-0/0(12)34
eine Basis von
, denn jedes
?
Y
X
C
D*Z
7 CD > D
98
.
);;;)
=>
>:?A@
eine Basis
HMLNHO @ mit
$V)
falls J
G
+6
und
mit
affin linear unabhängige Punkte, und sei
)
J
);;;)
G
mit
K
.+.-0/012)34
+[6)
CD
ist durch
)58
GIHJHK
)
HMLNHO
eindeutig festgelegt, und es gilt:
?
Y
C
X
D\Z
D\Z
sowie
Y
P
Z
P
D]B
D
Y
P
P
Z
P
D B
C
C
Y
P
D\Z
?
d
d
Y
P
Y
d
P
Z
CD > D
D\Z
Z
P
DUB
P
D B
P
D B
G
5$
C
P
P
P
D\Z < Z
?
Y
Y
Dbac
C
)
J
G
);;;)
K
<
?
^` Y
G$d
<
?
_^` Y
D\Z
D
C DUBC D
<
?
D\Z
Y
P
D\Z
<
?
Y
C DU>UD
?
Y
D
)
J
CR?
Dbac
C
X
G
)
J
)
G
)
G
);;;)
G
X
C
J
G
J
G
);;;)
);;;)
K
K
K
G
);;;)
Ke
f
Vorbemerkung (zur folgenden Definition)
Qhgi_gj
Ist B
eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen
+Tgj
und >
fest gewählt, dann ist
Bk
Qhg7li2g
mnli
B k
j
QR
m
>
B
m
affin linear. Lineare Abbildungen sind also spezielle affin lineare Abbildungen (mit >
G ).
Die obige Bezeichnung der zu einer affin linearen Abbildung gehörigen eindeutig bestimmten
linearen Abbildung wird daher übernommen:
Definition 3
Für eine lineare Abbildung
B
Qhg7i_gj
zwischen reellen Vektorräumen
go)gj
sei
pXq
QR
B
.
27
I. 2 Affine Polynome
I.2.2 Affin polynomiale Abbildungen
Definition 4
Es sei
ein -dimensionaler Punktraum mit zugehörigem Vektorraum und
eine
nichtleere konvexe Teilmenge. Weiter sei ein endlichdimensionaler Vektorraum und eine
natürliche Zahl mit
.
Eine Abbildung
heißt genau dann affin polynomial (affines Polynom) vom Grad
, wenn es eine in jeder Komponente affin lineare ( -fach affin lineare) Abbildung
$ !#"
&%('*)!+ (% '-, . !. .0",/' )213'546
gibt, so daß gilt:
78 %9:,;*)
Die Menge der affin polynomialen Abbildungen von
nach
vom Grad
wird mit
bezeichnet.
Speziell sei noch
die Menge der konstanten Abbildungen von
nach .
78< %9:,;*)
7 %9:,;*)=>+ @7 ? 9% :,;8)
7 < %9:,;*)- 7 ? %9:,;8)! 78A %9:,;*)- 7*B %9:,;*)-C
7 %9:,;*)- 7 EDGF %9:,;8)213,EH*I8,
J NDOF H*KI
H
L M $ P
L %Q' ? ,...,/' ,/' NDR? ,...,/' F )->+ %(' ? ,...;,/' )
Bemerkung
ist die Menge der affin linearen Abbildungen von
a)
b) Es gilt:
nach
.
und damit
denn für jede -fach affin lineare Abbildung
letzten Komponenten konstante) Abbildung
und
ist auch die (in den
mit
in jeder Komponente affin linear.
5STU
V JWX GY $ 5,
!0"
Lemma 4
Ist
eine affin polynomiale Abbildung von Grad , so gibt es eine -fach affin
lineare symmetrische Abbildung
&%('*)!+ V (% '-, . !. .;0",/' )Z13'546
für die gilt:
28
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beweis:
Setzt man mit den Bezeichungen der Definition
so ist
! $# %#&(' *),+-
"
"
symmetrisch, -fach affin linear, und es gilt:
./
.
.0213. ' 4),+-5
Bemerkung
17)48
Es sei
9+:
;.
6
und
13%./<. ' 4),+
für eine -fach affin lineare symmetrische Abbildung
>
B C =
.
>
0
)
A
affin linear unabhängig, so gilt mit @
@
CED = @
>
>
>
1GF
JKF
@ C CIH
CED = @ C CIH
CED = @ C C
CED =
>
>
>
KFM CEL @ C C @ C CIH
CELD = @ CEL
CED =
CED =
>
>
NO
CEL C 5
CELD =QPPP C D = @ CEL PPP @ C 1 als „Linearkombination“ (mit Vektoren aus ; als Koeffizienten!)
Folglich läßt sich
Monome R
>
@ S= T PPP @ >SU VVV3W =
W > )YXZ= CED = W C \[
=
>?),+
Sind nun
.
:
der
schreiben. Da symmetrisch ist, sind dabei die Koeffizienten dieses Polynoms in baryzen= @ > für ein festes %]Z^ -Tupel = > durch die Werte
trischen Koordinaten @
CEL C )Y;4_?`Ja `
`<a `b]
PPP
= @ > unabhängigen Koeffizienten lassen sich wiederum in eindeufestgelegt. Diese von @
c cd* von ; darstellen. Sei
tiger Weise als Linearkombinationen bezüglich einer Basis
ce cOde die duale Basis, dann sind die Komponentenfunktionen 1
1 d mit
dazu
d
d
13%./
c e %13.Qc C 1 .Qc C ' 4),+
CED C
CED C
29
I. 2 Affine Polynome
Polynome in den baryzentrischen Koordinaten
, $ !
#
mir reellen Koeffizienten:
"#
"#
"$&% ) " %#$*% "' (
" '+' (
" "'
(/
"$ % .
10
$
$
'
% mit Komponentenfunktionen
von bezüglich der Basis
:
2 ' 3 %#$*% 2 '+' $*% $ % 4
2 ' 57684
2:9<;>=
2
9@? % ;
; 2ED
'
$ $
A
CB
Sind umgekehrt
F -fach affin lineare
% ' Abbildungen
' mit
6P
$ %
G
2KM
LON
HI J
affine Polynome und sind
9<;
&Q
(/
A
10R
so gilt:
% ' 5) $ % ' 5) $*% '
B
$ ; 2SDUT
B
mit einer offenbar F -fach affin2 linearen
Abbildungen
. Damit folgt:
T
V
5 9W? % ;
' =
B Die obige Definition affiner Polynome soll nun mit der nachfolgenden üblichen Definition
homogener sowie nicht notwendigerweise homogener Polynome10 in Zusammenhang gebracht
werden.
Definition 5
DZT
X
sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum.
B X
Eine Abbildung Y
heißt homogenes Polynom vom Grad F , wenn es eine in jeder
D_T
Komponente lineareAbbildung
2 KMLON \]X ^
[ B G X(\ H I
J
10
Vgl. [5]
30
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
gibt, so daß gilt:
"!$#
"%!'&)(
Eine Abbildung
heißt Polynom vom Grad *
/.0%!1&2(
Polynome
vom Grad + gibt, so daß gilt:
34/5764888/69 #
, wenn es für
+
',-
*
homogene
Bemerkung
?>@
Es sei nun : der zu ;=<
gehörige Vektorraum.
In [4] wird unter Verwendung der letzten Definition eine Abbildung
A % ;=< B>@&)C
als homogenes Polynom * -ten Grades bezüglich eines Entwicklungspunktes
definiert, wenn die Abbildung
D
5 ;=<
B>@
& C
AE/F G% I
A H7JKE/F % :ML N
PO & A 5769
L
D
mit
J E/F %G D 569 =; < B>@QR :
JE/SUF T D 7%G DVL9D 5 : D ;=< B>@
homogenes Polynom * -ten Grades ist.
und
ein
Nicht notwendigerweise homogene Polynome (genau) * -ten Grades werden dann in üblicher
A 5 6'8886 A homogener Polynome
Weise als Summe A
A 5/- A % =; < B>@&)C
,
1
W , eingeführt.
* mit A "
vom Grad
Motiviert durch die Gleichheit der Kardinalität
[
6
[
^
`
X3Y0Z 5 Z\[/7"] 5 T _
Z . dcfe *
*b
__ G. aU5
*hg
und der Dimension des Vektorraums der Polynome höchstens * -ten Grades über einem e dimensionalen Vektorraum wird dann nachgewiesen11, daß sich jedes reellwertige Polynom
höchstens * -ten Grades12 als homogenes Polynom genau * -ten Grades in baryzentrischen Ko'j B>k-C
ordinaten darstellen läßt. Weiter wird gezeigt, daß für jedes Polynom i
die
Koeffizienten der Monome in baryzentrischen Koordinaten bezüglich eines affinen Koordi 5 - [l
natensystems D
D
p sUwVxy
F
r
G
s
U
t
Y0mn5 8 88 m nlp o q uv
qq
u
unabhängig vom Entwicklungspunkt z
sind. Durch Anwendung dieser Ergebnisse auf die
Komponentenfunktionen der am Anfang dieses Abschnittes eingeführten affin polynomialen
Abbildungen erhält man damit folgendes Resultat:
11
12
Vgl. [4].
Im Sinne der Definition in dieser Bemerkung gemäß [4, 5].
31
I. 2 Affine Polynome
Lemma 5
der affin polynomialen Abbildungen -ten Grades von nach
Die Menge
ist vermöge der Vektorraumoperationen in ein reeller Vektorraum.
und "!"!"!" #$ ein affines Koordinatensystem von , %& '
Ist (*)""!"!"!($+, eine Basis von , so ist die Menge
und
# A
-/.1032$4 0 *2 7
@
A
B
EDF>HG*I$"!"!"! %KJML
65"5"5 9
# 8 5 (;:<< "!"!"! #>9? <,= .1032$= 4 032 7 = C
N5"5"5 #98 die Monome in baryzentrischen Koordieine Basis dieses Vektorraums, wobei
naten bezüglich des affinen Koordinatensystems sind. Es gilt:
O P
1 % 5 Q SRT
U6W
V
6 stets auch ein affines Koordinatensystem "!"!"!" #$ mit Punkten
$"!"!"!1 #/>X
gewählt werden kann, gilt die Aussage entsprechend für Y/ . Folglich
>H Y eine eindeutig bestimmtes affines Polynom
gibt es für jedes affine Polynom Z
[Z > , das auf mit Z übereinstimmt.
Folgerung
Da wegen Vorbemerkung (zur Definition der Ableitung)
Während im klassischen Infinitesimalkalkül Abbildungen zwischen Banachräumen betrachtet
werden, können für polynomiale Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen
Ableitungen rein algebraisch, ohne Voraussetzung der Vollständigkeit und Normiertheit, so
eingeführt werden, daß dieser Ableitungsbegriff mit dem analytischen verträglich ist.13 Dabei
ist ausschlaggebend, daß verschiedene Normen auf den betrachteten Vektorräumen auf den
gleichen Ableitungsbegriff und die gleichen Ableitungen führen. Eine beliebige Norm auf
einem Vektorraum induziert dabei stets diejenige eindeutig bestimmte Topologie, bezüglich
der alle Vektorraumoperationen und linearen Funktionale stetig sind.14 Desweiteren induziert
jede Norm auf einem Verschiebungsvektorraum in natürlicher Weise einen Distanzbegriff auf
dem zugrundeliegenden affinen Punktraum.
Im Anschluß soll nun in Anlehnung an die übliche Vorgehensweise die Ableitung affin polynomialer Abbildungen eingeführt werden. Für diese Betrachtungen können alle Vektorräume
als normiert und vollständig vorausgesetzt werden. Desweiteren sind aufgrund der Stetigkeit
der Vektorraumoperationen alle polynomialen Abbildungen stetig.15
Zur Berechnung der Ableitung sei dazu
/\ I
und
]K^`_ ein homogenes Polynom mit
] (3 b
a c (M"!"d"!"e !(f nmo(p> ^
hgjilk
_ .
für eine -fach lineare Abbildung abj^
Setzt man nun wie im affin linearen . Fall
q (*)"!"!"!"( I @ a ( s$w )'x "!"!"!( s$w x 8 mo(*)"!"!"!"( > ^ *r s$t*uv
13
14
15
Ableitungen von Polynomen ohne Voraussetzung normierter Vektorräume werden in [27] betrachtet.
Vgl. dazu das Lemma auf Seite 12.
Zur Stetigkeit von Polynomen (im Fall endlichdimensionaler Vektorräume) vgl. [5].
32
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
eine -fach lineare symmetrische Abbildung mit
!#"
! die Ableitung von in $ in Richtung Üblicherweise definiert man für $
% '& (.0)+/*-, 1 2 $435 2672 $ "
5
so ist
Nun gilt:
durch:
2 $435 $435 8 $435 $ 9 $ 3CB DECF $ 9 $ 5 G 3CB N ECF $ 9 $ 5 8 5 @ 3 FFF
: >@;? < (A =
: .0H I ? (K;J L < L L J (KJ MA =
: .+OPH I ? (K;J L <L L J (KJ M9J MPA =
FFF 3RQ 6 DS F $ 5 8 5 3CB ECF 5 8 5 G 5 "
: .0TVUKWXH I ?;(K< J M9J L L L J MA = : .0TPH;>@< ? MA =
% & ( F $ 9 $ \ FK[^] +
)
+
*
,
F
K
[
\
3 .0/Y1Z 5 $ 35
$ 3 35P_@`a FK[ _ $ Xb
[ $ [ $ Yc und damit
mit nicht von 5 abhängigen
% & ( F $ a 9 $ " _
D
% & ( d#2 , für e gilt % & ( d#e .)
(Für erhält man speziell
Cg4hjikmln9 ein affines Polynom, o der zu hjikmln gehörige Vektorraum und
Sei jetzt f
f'pKq o 4s66r
f p@q - f Xt 1 3 t !hjikmln . Dann gilt:
das zugehörige Polynom bezüglich eines Entwicklungspunktes 1
t t u E 6 t t u E
f Pu 35 26 f Xu f B 1 3 1 v 35 f B 1 3 1 v
XxG
5
5
t
u
6
t
u
E
E
f p@q Bw1 v 35 f p@q Bw1 v
5
#
u
y
j
h
z
i
m
n
l
|
e
für alle
,
o und 5Y{ . Dieser Zusammenhang ist dabei offenbar unabhängig
Daraus folgt:
vom Entwicklungspunkt, denn mit
f p W - f t a 3 B f B t 1 3 t 1 v t a 3 E f p@q B}t 1 v t a 3 EE o
t |hjikmln erhält man:
für einen weiteren Entwicklungspunkt
a
f Pu 35 26 f Xu f p@q Bwt 1 v u 35 E 6 f p@q Bwt 1 v u E
5
5u E 6
t
t
t
t t t uE
1
fdp q B}v a 3 a v 35 fdp q B}1 v a 3 a v
5t uE
t
u
6
E
fdp W B a v 35 fdp W B a v "
5
I. 2 Affine Polynome
Gilt nun
mit homogenen Polynomen
mit
und symmetrischen Abbildungen Grad so gilt für
33
vom
!#"%$ &!#" & " ' ( ) * $ 01"2 3-4 65 7
+-,/.
8 "92 :
:; =< >%!#"$ :; =< >=!#"$ 4? ! 8 & 8 "$ 4 65 7
' ( ) *
A@CBD+-,E.
und folglich (unter Verwendung der Ableitungsregel für Summen):
:; < > !#"$ 9:GF H
7I< > !#"$
J 4? ! 8 & 8 "$-O
' ( ) *
LKMB
N@?DB +-,E.
Wegen
!QP=$
setzt man daher naheliegenderweise:
:; < R!#"$ 9:; <T S R !#"$
J 4? !6
V U W V U W "$-O
'
( )
*
LKMB
N@?DB +-,E.
Definition 6
Es sei X
ein Y -dimensionaler Punktraum mit zugehörigem Vektorraum Z , []\^X
eine
!
$
nichtleere konvexe Teilmenge und der zu _a` [
gehörige Vektorraum. Weiter sei ein
b .
endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine natürliche Zahl mit
2ed ! [ & $ sei _f` ! [ $ g das (eindeutig bestimmte) affine Polynom mit
Für c
<h
c . Weiter sei
9 H
=
fij
das zu
gehörige Polynom bezüglich eines Entwicklungspunktes
genen Polynomen
V 2 _f` ! [ $
& fij
7 und symmetrischen Abbildungen Tk l mit
!#"$ &!#" & " $01"2 3-4 65 7 O
' () *
+-,E.
V 2 [ und "92 heißt
Für
: c < !#"$ 9:; < !#"$ 9:; < S !#"$
J 4? &!m
V U V V U V "$2 '
()
*
LKMB
N@?B+-,E.
V in Richtung " .
Ableitung von c an der Stelle
vom Grad
mit homo-
34
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Die Abbildung
!"#$ linear %
&'()*&+),(.- /0132!4'(5- /64789
heißt Ableitung von .
Bemerkung
8;:<+ gilt
)6&>=4?>)6&+@=AB647DC&E8F<G4(8F mit &,=48F
AB0HIJ .
mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung
KLNM.=OP mit
Nun ist
M *Q+,)6&+)) P *Q+),)*Q+R0)6&+SCTQ8F
a) Für eine affin lineare Abbildung
und
M/ 6 47N> M 6&>=4?>)6&+)
/P 647N> P 6&>=4?>)6&,=4?R)6&+>AB647DC4(8F
mit
&,=4(8FU
Es folgt:
b)
c)
(5- / 647N> /P 647N>A B 647DC&E8F<)4(8F
(VW2;&X'JA B
und somit (als konstante Abbildung
(YOA B U
8;:M < ist
Für ein konstantes affines Polynom
(>Z 5[
&'ABYOZ"32!4'@\Z(89EU
Z und festes 408_ ist die Abbildung
Für ]!^
()*47 $
&'(5- / 647
O` , denn
ein affines Polynom vom Grad ] f
a)/[b[- c?647N e f d
/[b 6nk@f lmomlmp lmGkq G47
g PRh@i[j
r Ptsuwv
` -fach linearen
f
mit
Abbildungen
h
k' /[b 6k@f mlmlmlGk G47 `[mlmlml ] U
j n r omPtp suwv q
h
)
Vorbemerkung (zur Definition höherer Ableitungen)
Es sollen nun höhere Ableitungen affin polynomialer Abbildungen eingeführt werden. Da für
endlichdimensionale reelle Vektorräume und auch
ein endlichdimensionaler
reeller Vektorraum ist, kann dazu der oben eingeführte Ableitungsoperator auf die Abbildung
angewandt werden. So erhält man eine rekursive Definition höherer Ableitungen durch
mehrfache Anwendung des Operators .
(
5[+
35
I. 2 Affine Polynome
Definition 7
sei ein -dimensionaler Punktraum mit zugehörigem reeller Vektorraum ,
eine
nichtleere konvexe Teilmenge, der zu
gehörige Vektorraum,
ein endlichdimensionaler Vektorraum und eine natürliche Zahl mit
.
Für eine natürliche Zahl
ist die -te Ableitung von
definiert durch
wobei
!
)+ " %,-./
00''<;=
*
"$# &%(' " 1#?>A@ %,2" -.354768
9!:# %,2-.35476 9!:BCED$
354769F
9!: GH;
35476 @ 9!C%('35476I
9! >A@
354769F,
9!C%('35476KJL9M354769F 9!:ON:PGQDR
für
definiert ist durch die rekursive Vorschrift
und
I/TS/
U @ VVVWU # X
"$# YU @ VVVMU # % Z[-\
]<^Z[- " # 5_ `
YU @ aVVV!
YU # " # YU @ VVVMU # :Z T'/
" # K'cb90SE:R
de%f,
-g
d=_ hi'e
d`kj5'dT`l j0mEnnnom d ` j %,p-\
] l q,
d
d l`7j VVV!!d `7j %,p-\
fVVV!M
r #` j %s # -t
d #` j YUu0'er #` j YvUa#Vw zCVx {}V!|MUy ~b9U$€C0'<;7VVVM:
=S ] ‚ U @ VVV!MU # ‚
" # 5_ `C
YU @ VVVMU # C' " # d` j _=` j ƒ ` YU @ VVVMU # ' „ # G n G‡ZE;7 nnn G‡Z m ;k n r F` j <v] l ˆ ] >[Vw #Vx zCV!‰{Š|] l ˆ ] y MU @ VVV!MU # R
F†…
F
Bemerkung
a) Für
und fest gewählte
ein affines Polynom vom Grad
.
Insbesondere ist
für
b) Ist
ist die Abbildung
konstant, und es gilt:
das (eindeutig bestimmte) affine Polynom mit
und
das zu
gehörige Polynom bezüglich eines Entwicklungspunktes
homogenen Polynomen
vom Grad
so gilt für
und symmetrischen Abbildungen
,
und
mit
mit
:
c) Eine ausführliche Behandlung der Ableitungen von Polynomen sowie explizite Umrechnungsformeln zwischen kartesischen und baryzentrischen Koordinatendarstellungen finden sich in [4].
36
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
I.3 Multilinearformen
„Warum kann uns nicht jemand ein Verzeichnis der
Dinge geben, die jeder denkt und keiner sagt, und eines
derjenigen, die jeder sagt und keiner denkt?“
Oliver Wendell Holmes
Es wird der reelle Vektorraum der Multilinearformen sowie dessen Untervektorraum der alternierenden Multilinearformen eingeführt und neben der Behandlung der üblichen algebraischen
Operationen das oben eingeführte Pseudoskalarprodukt für Multilinearformen verallgemeinert.
Anschließend wird die kanonische -Form definiert, die eine Standard-Orientierung auf dem
zugrundeliegenden Vektorraum und damit auf dem affinen Punktraum induziert. Durch die
verallgemeinerte innere Multiplikation mit der kanonischen -Form wird schließlich
die Dualitätsabbildung definiert, die es erlaubt, die Vektorräume der -fachen und der
-fachen
alternierenden Multilinearformen als zueinander dual aufzufassen.
I.3.1 Grundbegriffe
Im folgenden sei
•
•
ein -dimensionaler reeller Vektorraum und
für
die Menge der Permutationen von , d.h.
bijektiv !
Definition 1
" ) $#&%* %+ %'#( , 32 heißt genau dann r-fach multilinear, wenn "
'-/.10
linear in jeder Variablen ist.
Solch eine Abbildung " heißt (r-fache) Multilinearform, die Vielfachheit r heißt auch der
Grad von " . Die Menge der -fachen Multilinearformen wird mit 4(65 bezeichnet.
Eine -fache Multilinearform "7$4 65 heißt genau dann alternierend, wenn für jede
Permutation 88
gilt:
":9<;=>@?BAB;=> ADC FE<GIHJ KL%" ; ? ;NMO; ? ;P(F
Q 65 bezeichnet die Menge der alternierenden -fachen Multilinearformen.
QSR 65 I 2 und 4 R 65 I 2 .
Speziell sei noch
a) Eine Abbildung
b)
c)
Bemerkung
a)
b)
4 65
2 :
?
?
?
"FT
<X UV ; ? ; W "X ; ?;LTU ; ;S 5 X
"! ; ; W % " ; ; mit "6UY(4 Z2[
Q 65 ist ein Untervektorraum von 4(65 , denn für "6U\ Q 65 X ]
2 und ]Y
ist ein reeller Vektorraum vermöge der Addition und Multiplikation in
gilt offenbar:
"FTUV9<; =>^?<A ; => A C F
E<G@HJ
<X
"!9<;=>^?<AB;=> A<C F
E<G@HJ
K "$TU! ; ? ;S
<X ?
K "_ ; ;/
37
I. 3 Multilinearformen
Definition 2
Für
wird das Tensorprodukt
Das
definiert durch
! #" $
&%
' ' ( äußere Produkt
wird definiert durch
' ' !&)+*, - /. 0 -21 .43 " $
&%
Bemerkung
Die so definierten Produkte haben folgende Eigenschaften:
a) Falls für
5 und
mindestens eine der Bedingungen
-C /. 67 98:
5;<0=?> 7A8
@ B
mit
67 D8E
5;<=> 7A8
@ B
- .
mit
erfüllt ist, so gilt stets
b)
' ' FG%
)?H2I JLKNMOP 0RQS=
Falls
ist, gilt:
T MO+UV - . 0 -21 .W3 0X Q&=ZY[)?*, V - \ . 0 -21 .W3 0X F
Y ' ' &FR%
=]_^&_)?H2I $
Insbesondere erhält man für
:
' ' F`" Y[( F`"E=a]^%
Schreibweise
Im folgenden wird das Auslassen eines Faktors in mehrfachen Produkten, eines Elementes in
Mengen, etc., durch ein Dach über dem auszulassenden Element bezeichnet, also z. B.:
' 'cb- ' ' $!& ' ' -!dP ' -!e ' ' ; b -\ >Z!f; 2- dP -!e >Z%
Lemma 1
Lg g h Es sei
eine Basis von
<jik=il^
Dann ist für
.
m g .9 n g .9 op <ZiA8qD8/$i&^r
=
eine Basis des Vektorraums der -fachen Multilinearformen
Dimension:
dim
. Insbesondere gilt für die
^ %
Beweis: Siehe z. B. [22].
Bemerkung
Lg g
Ist
h
f
L g g h , so gilt:
L g .Dn g .Do Nv g .D n g .D oLw "xy
%
eine Basis von
s
0t .Dn 1 u u u 1 .Do t h
mit zugehöriger dualer Basis
38
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Definition 3
Der alternierende Anteil einer Multilinearform wird definiert durch die Abbildung
!#"
122354. (6 .7 (6 .7.8:9
$&%(&' )*+&,.-/0
Bemerkung
Offenbar ist
;<
für alle
>=@? 4.A 6 . 7 A 6 .7.8
N O +PRQ
N O +PCQ
Desweiteren gilt
-TS
Beispiel
<UL=V
Für
,.-/0
.BCDE&GFH&=IJB5=LKM 9
, die Abbildung
ist also eine Projektion.
gilt
UW 333 W denn es ist
alternierend, denn
$&% 3 UX 333 X < W 333 W U&<
D2Z.\[]E Z^ [`_2
SY
1223<&4. (6 .78 3&333&3U&4. (6 .78
'()&* + ,.-/0
a
bc ^ m m m ^
d
7
E
i
.
j
k
E
i
.
j
k
6e&fg2h h h gDe&+ fTl
+Tl
$&% 3< X 333 X U& 9
Rechenregeln (für äußere Produkte)
<U=@ . Dann gelten die folgenden Regeln:
Es seien
a) Für
JnJ=o b) Für
1x=yK c)
p p nJ=rq gilt:
< W 333 W UZsD W 4 p ut p n n 8 W UZ!v2 W 333 W U
UW 333 W ZsDUW W Zwv2UW 333 W p t p n UW 333 W ZsDUW n W Zwv2UW 333 W 9
und
gilt:
(6 . 7 W 3 33 W (6 . 7
1223 UW 333 W 9
,.-/0
Z w { Z [ [ | " $ mit p Z [ =}q|E~€}‚&ƒ&„………„†&‡&„
Für z
[`_2 p
ˆŠ‰U‹LŒŒŒ‹
ˆJŽu‘2’“2” •]– ”— •™˜2‰ Œš<‰U‹LŒŒŒ‹5šU›
d) Aus
š ” Žoš •
für
œ „žŸ€@‚&ƒ„………„†&‡
und
œ:Ž¡

folgt
gilt:
š ‰ ‹¢ŒŒŒ&‹
š  Žo£
.
39
I. 3 Multilinearformen
Lemma 2
Es sei
eine Basis von
Dann ist für .
&%
! "$#
%
#('&)+*
. Insbesondere gilt
/.10 ,+'-
dim
, ' eine Basis des Vektorraums der alternierenden Multilinearformen
für die Dimension:
23
Beweis: Siehe z. B. [22].
Bemerkung
Ist
eine Basis von
.
5
6
87
9;: : : 9<
mit zugehöriger dualer Basis
= ?> @4
5
7 4
8ACB
5ED
, ' , so gilt:
3
I.3.2 Äußere Produkte von Multilinearformen
Definition 4
Für zwei Multilinearformen
5)L
D@G
I
J
'M
5FDHG
'-
und
DHGKJ
I
wird das Tensorprodukt
definiert durch
5)L
-=N -N
I
J +OP.
'M
=N -N
5
'
=N
I
-N
'M
Das äußere Produkt zweier alternierender Multilinearformen
definiert durch
5
-S
!QR
S SUT!VXW
R
I
OP.
5)L
D
I
,+'M
J
5FD
'M
J B
,+'-
N -N
und
I
D
,
J!D
J
'M
wird
3
Bemerkung
a) Das äußere Produkt zweier alternierender Multilinearformen ist wegen
5 5Y .[Z
5 L5\Y T&VXW
B
5 5\Y]D
verträglich mit dem bereits definierten äußeren Produkt zweier Linearformen.
b) Diese Definition des äußeren Produktes alternierender Multilinearformen liegt aufgrund
des folgenden
Zusammenhanges
nahe:
OP. 5 OP.
5
J D
J
5 5 5 4
4 I
' I
'
Für
I
I
I
gilt:
T&VXW
5)L
I
/.
S
R
!QR
S
-S
5 @
5
' I
@
I
J 3
3
40
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beweis: (zu Teil b) der Bemerkung)
Für gilt einerseits
&' ..
..
..
"!$#%
.
.
.
( ) )* < ;= ?@ ;; ;= ?@ ;= 7?@
.>
.>
.>
./0132457698;:
und andererseits
ACB
% D"E
+,
..
.
;$ $= .> 7?@
< "E =
.> ? .> ?@
./;01324 56M8:
< =
F J
. > ? .> ? @ = .> ? . > 7? @
GIHK
L
./;01324;56M8:
&'
+,
<
7
O
;= .>3N> ?3?@ ;; ;= F J
. >3N> ?D?@
GIHK
L
./;01324 56M8:
N/;01 56M8:
F J
GIHK
L
R ;=
P . > Q> ?3?@ ;;$= .> Q> ?3?@SUT
Q/;04 56M8:
<
O
R
Nun gibt es für Permutationen V , WV und V stets eine eindeutig bestimmte
<
Permutation X YVZ
mit
< <GIHKJ 7
<O; <7O;G 7 <DGCHKRZ <DGCHKRZJ 7 T
X F
X
F
F
Dabei gilt:
56M8:
Es folgt
ACB
< X
< 56M8:
7O 56M8:
56M8:
R T
% D"E
G LJ L
< ;= ?@ ;; ;= ?@
. >
.>
GIHKJ L ./;01324;56M8:
$= . > 7?@ ;;;= .> ?@
G LJ L
;
T
GIHKJ L Bemerkung
Man erhält im obigen Beweis insbesondere den Zusammenhang
; G LF J L
< =
.> ? .> ?@ = .> 7? .> ?@\T
./;01324;56M8:
[
I. 3 Multilinearformen
41
und gilt allgemein:
"!$#&% ' /. ! ' % ')(*$+-,
0 >?A@B4 "C ED FG H FG H"I ( JD FG KH FG H"IL
12139 464655 :67";-8"<1=9-:6= ;-<<1= 9 46= <517 9; ;
Beweis:
NM ((( O und M ((( P mit Es genügt,
zu betrachten. Wegen
! 'Q % ' FR0 S 4657 >?A@B "C T D FG H FG H I ( D FG KH FG H I
bleibt nur zu zeigen:
0 >?A@B "C T D FG H FG H I ( D FG KH FG H I
FRS 4657 ! ' % '
0 >?A@B 4 "C " D FG H FG H I ( D FG H FG H I L
12139 464655:U7U;-8<1=9V:6= ;A<<1=9 46= <517 9; ;
C XWT , dann gilt:
Sei dazu
YCZ Q CZU! [
\ YCZ"!
# Q CZU!$#&% [ Y Q !
#&% [ L
WT , ^ WT , so daß gilt:
Nun gibt es genau zwei Permutationen ]
CZ ] Q `_ ((( _ CZ ] ! K und CZ"!
# ^ Q `_ ((( _ CZU!$# ^ U% K L
XWT mit
Definiert man nun a
a Q ! !
# Q !
#&% M ] Q ] "! !$# ^ Q !
# ^ U% K
so ist
"Ccb a Q !
#&% "CZ ] Q K CZ ] "! CZU!
# ^ Q K CZ"!
# ^ U% KK L
Es gilt also
aed Q D ! !
# Q "!
! #& !
% # !
# "% ]d Q ]d
^d Q
^d I
Folgerung
Für
und
Es folgt:
>?A@B "C >?A@B D "CJb a b a d I >?A@B K"Ccb a K ( >?A@B ] ( >?A@B ^ L
0 >?A@B "C fD FG H FG H"I ( JD FG KH FG H"I
FRS 4657
0 >?A@B4 "C 0 4 >?A@B ] >?A@B ^ TD FGAijG H6H FG-ijG H6H"I
1213 9 464655 :U7 ;-8"<19-= :6= ;-<<1= 9 46= <517 9; ; gh 2233 7
JD FG Tk G H6H FG Tk G H6H"I
(
0 >?A@B4 "C ! ' % 'D FG H FG H"I ( JD FG KH FG H"IlL
12139 464655 :U7";-8"<19-= :6= ;-<<1= 9 46= <517 9; ;
m
42
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
!" #$&% ' ,
Homogenität: #()*+ ,-. ,
Assoziativität: , 0/1.,6.8 0/1- und /0$2#,-*/00#
Distributivität:
+34 657 ( .
Alternierendheit:
Bemerkung (Eigenschaften des äußeren Produktes)
Für alle
gilt:
a)
b)
c)
d)
,
.9 5 .:<; für *1 mit ungeradem = . Aber es gilt zum
> ? > @ > / A > B < 2 : / C > ? > E @ > A > B > ? > @ > A > B > ? > @ > A > BD
F hat durch das äußere Produkt die Struktur einer graduierten
Die Vereinigung 6G ?
Algebra. Da das äußere Produkt für
erzeugenden Dualbasiselemente
H @ JIJIJIJ H E antikommutativ ist, ist F G E ? die diese
eineAlgebra
Grassmann-Algebra.
Bemerkung
a) Aus d) folgt
Beispiel für
b)
I.3.3 Innere Produkte alternierender Multilinearformen
L6M MONP Q R. 52S '
T > U52S L T > NP D
Es sei nun zusätzlich ein Pseudoskalarprodukt
K
auf
gegeben:
+V > UW5 SX> P 1 mit
P K L N P % .
> Y > Y Y
:
erhält man ein Pseudoskalarprodukt auf
L6M MONP Q P R. P6[ 5WS ' P P^
Z T > U5WS\]T > P Q L T > N P D
Dieses Produkt soll nun zu einem Pseudoskalarprodukt für alternierende Multilinearformen
JIJIJIa > Y @ JIJIJIa Y ( :
verallgemeinert werden. Sei dazu =`_<7 , dann gilt für > @
Z > P@ .IJIJIb > P [ Y @ JIJIJIa Y c]dJe Z > fP Yhg [ G
fj[ i g @
Z
c]dJe L > f Y g N P fji g G @
c]dJe Z Y Pf >kg [ fji G @
Z Y P@ MJMJM Y P g [ > @ JIJIJIJ > D
Setzt man
P MJMJM P P MJMJM P ^ P Q c]dJe Z L f N P [ ,c]dJenm P P ^ Pao \!> @
> Y@
Y
> Ylg fji g G @
\]> f Y g fji g G @
Vorbemerkung (zur folgenden Definition)
Durch den durch induzierten Isomorphismus
43
I. 3 Multilinearformen
so ist für fest gewählte die Abbildung
"!$# &%')(((&'
% %')(((&' %&*
%
offenbar + -fach multilinear und alternierend, womit die Abbildung
# %')(((&'
% ( *
%')(((&' %- "!$# %')(((&'
,
%
% %')(((&' %&*
%
linear und eindeutig bestimmt ist. Hierzu verwendet man
.0/2143 5 76 68:9
5 76 9
.0/;1
,=< +
-
und die Injektivität16 der Zuordnung
#0 %')(((&'
% ( *
>
"!
%
Analog zeigt sich, daß für fest gewählte ?@ die Abbildung
A A & "!$# %
')(((&' % %'B( ((&' % *
%
+ -fach multilinear und alternierend ist, und damit ist die Abbildung
# ( %'B(((&' % *
% ,
%')(((&'
% %
')(((&' % *
% - "!$# %')(((&'
%
linear und eindeutig bestimmt.
Man hat somit also eine wohldefinierte symmetrische bilineare Abbildung
C ( E( D
die für +
9KJ
% 5 6GF 5 6!IH mit dem Pseudoskalarprodukt auf 6 übereinstimmt.
Es bleibt noch zu zeigen, daß diese Abbildung nicht entartet ist. Sei dazu
Orthonormalbasis von mit
J
9WVYX
@Z[ .0\] _^ falls
U
S
T
CLN LPO D 9RQ
J
9WVY` < aZ[ .0\] _^ falls U
%
b
<
sonst dann gilt mit
J
X
U dc
((( c
X
U
und
<
L
L
L
# %N ')(((' %N O% ')(((&' L O% *
L O
L O
J:XWV c
Da r % ')(((' % t
s
s
Behauptung.
16
Vgl. dazu [22].
((( c V X
J
XeV dc
%
.0\f
9
((( c
,
94n
o J
b
<u
V X
CL 2N g L iO h D %
jk lE< m
:
9
falls p U U q
sonst >
eine Basis von
L L M eine
V
V
p q:
5 6
ist, folgt damit die
44
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Definition 5
Es sei eine Basis von
"!$#"%'&)( ( ( &*#'+'! Speziell für
seien
# %32
/// 2
# +'45
#"%', . . . , #"+0/$1
#"%32
/// 2
#"+'456
mit
'!*#"%-&)( ( ( &*#"+-! Das (durch das Pseudoskalarprodukt
ist definiert durch
8
und für
#"%-, . . . , #"+0/$1
:9;:< induzierte) Pseudoskalarprodukt von
0F %-, . . . , F + / HG %-, . . . , G + /@I
JKML
N
>% =@? = C
% AB B B A ? + @
%>=ED = C
% AB B B A D + @
Z "[\]^ und
XY
auf
7
8
sei
`_
G
R
>
Q
S
"
;
T
FPO
#, UWV3
/ [
Z "[39-;< Z
und
6
.
Bemerkung
a) Wie bereits gesehen ist das Pseudoskalarprodukt alternierender Multilinearformen wohl
definiert, also insbesondere unabhängig von der gewählten Basis von , und stimmt für
mit dem durch das Pseudoskalarprodukt 7 auf induzierten Pseudoskalarprodukt
auf überein.
auf
dem
b) Für a ist das obige Produkt die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung
-b
b
-dimensionalen Vektorraum
, so daß für jede Orthonormalbasis
von
gilt:
8-b b /// 2
2
b b /// 2
2
9 ;
'c
;"k
dfeghij
6
c) Ist auf ein Skalarprodukt gegeben, so ist auch das oben definierte Pseudoskalarprodukt
auf positiv definit. -b
b
d) Für eine Orthonormalbasis von mit
8-b
und
F b
GE9 ;
ml
falls p0rqst
falls 0€rs‚]ƒ
sonst |
no
‰
}5~
Š
cvuw
I
Jx$y>z
{|
}„…$†
‡ˆ y>z{|
Š
›
€
‹
Œ"$Ž"')‘ ‘ ‘ *Ž'’'*“
€
‹
Œ'*Ž  )‘ ‘ ‘ *Ž ’ *“
›
y”Ž  |•••|”Ž ’ {3–$—-”˜Ž 3™
––– ™
”˜Ž ’'š
y'”Ž  |•••|”Ž ’ {3– — ”˜Ž" ™
––– ™
”˜Ž"’'š5œžŸ |
erhält man wegen
”˜¡
”£¡
€`¢
}
”£¡
falls
falls
0¤\ƒ
}v„…$†
‡ˆ y>z{|
Š ƒ
0‚t
}v„…$†
‡ˆ y>z{
für das Pseudoskalarprodukt
von
Š
¥
|
›:¦
£
€
‹
Œ' ¡  )‘ ‘ ‘  ¡ ’ *“
Š
und
›
›
y-” ¡  |•••|” ¡ ’ {3–
–y }5~ {-§©¨
Žª
¨
y'” ¡  |•••|” ¡ ’ {
Œ'« ¬ ¬ ¬ « '
Ÿ ­"® ¡P¯"° “±$²f³´µ-¶·
£'¸
­º¹
˜
45
I. 3 Multilinearformen
Vorbemerkung (zur folgenden Definition)
Für
mit
seien Multilinearformen
gegeben. Dann ist die Abbildung
und
!#"%$ &' ) (+*,
-.+( * !)"%$ &0/ -01 '3254 6 - 87:9
offenbar ein lineares Funktional auf . Da das oben definierte Pseudoskalarprodukt nicht
"%$ & < , so daß gilt:
entartet ist, gibt es nun eine eindeutig bestimmte Multilinearform ;
!)"%$ &0/ -01 24 6 - 879 2= - ; "%$ &0> 9@? - 8 )A
B ' ) C ) (+*
/ D1 .+( *
Man erhält damit eine Abbildung
/ 1 '32 "%$ &
B ; A
EFEFE definiert man das innere Produkt durch
B ' C (+* G+ / -01D.(+* BIH '32 B / -01 A
Definition 6
Für
Lemma 3
Das innere Produkt genügt der folgenden rekursiven Vorschrift:
8F
, J und KLMN 2 , ist
BIO 2 KFP A
- 5Q 2 ist
(2) Für BIH 254 - 7:9 A
5 Q TSU
, Q V:W , S VIXN und - V Q ist
(3) Für R
BIH / DQY6F S 1 25/ BIH DQ 1 6F S / ( R 1 :W DQY6 / BIH S 1 A
L Q S UL
mit Q U S , - Q#8 :W , - S 8 IX und 8 (4) Für
BIH WZ H X 2 BIH X / BIH W 1 A
(1) Für
- [
5N gilt:
4 K\6 - 87 9 24 K - <7 9 2 K 4 - <7 9 254 - K]<7 9
^ B O 2 K] A
Für [QN und K , gilt:
4 6FK 87:9 2 K 4 879 2_ K 4 87:9a`
9
^ B " 24 87 9 A
Beweis:
1) Für
2)
K ,
und
ist
46
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
3) Es reicht, diese Eigenschaft für Basiselemente der Multilinearformen
bezüglich einer Orthonormalbasis von mit
$'&)(+*-,.0/1
2
5
falls # %
4 3
$'67(8*9,.0/1
2
:
falls # %
43
sonst
!"
*
"
;
nachzuweisen. Sei dazu
<>= ? :
@ = ? A
BA ? DCBEGFH I = J
BK IML= DCH J
BK DCBE:N
Dann gilt:
<
A@O I P
I L >Q0 ? A ? A
BK ? DCBEDFH J
BK DCBER
Dieser Ausdruck verschwindet nur dann nicht, wenn gilt:
•
•
Z\]
[
S+TH#
#UWVX
Y
und
H
TB^ ^
^ UWVX`_ Y
TH#
# UWVX Y .
Andererseits erhält man mit obiger Regel (3):
ab
I c
IML P
UWVX
de
*
Hf
_
"
? gih 0j
J
Blk
gmJ
BK DCBEn9N
@ a4b I P I L ` Damit verschwindet O
nur dann nicht, falls gilt:
•
•
•
oZ\]O*
S+TB^
^BUWVX`_ Y
" ,
^pqTH#
#UWVXY und
H
TB^
^ UWVX`_ Y
TH#
# UWVX YB
r TB^0Y .
Da die Bedingungen, unter denen die beiden Ausdrücke notwendigerweise
verschwinden,
< K@O I IML offenbar
äquivalent sind, genügt die Betrachtung des Falles, in dem
@Oa4b I P I L ` und
nicht verschwinden müssen. Die obigen Bedingungen seien also
$
sZ5\-]
erfüllt, und es sei ^
# für ein pT "
Y . Dann gilt:
@Oa4b
I IML ` `ƒ z
? Wx y y y x ? DCBEDFHWzs{ ? ? * WtPuWvwu
_
v| _0}G~€W
‚
"
"
^BUWVX`_
H„W…B.† ^
‡ #
#
#UWVXHˆ
*
und andererseits
<
A@O I IML A@O I IML *
sƒ z
Wx y y y x DCBEzs{ ^ UWVX`_
B
w u
| _0}G~€H‚
tPu H„W…B.† ^ ^
"
#
#WU VX
ˆ
Damit folgt:
<
und da a4b 4) Es gilt:
I IML @Oa4b
I IML ` eindeutig bestimmt ist, ist die Regel (3) verifiziert.
@Oa4b ‰ bHŠ I
P
< <‹L A@O I < <‹L A@s I < L A@O a b I @Oa4bBŠ a4b I ` N
Œ
N
47
I. 3 Multilinearformen
Bemerkung
b)
als Abbildung
auf, so ist dies die zur inneren Multiplikation mit
! " #$ %$ ! & (' )
' ,+"- . Es gilt also für zwei
adjungierte Abbildung bezüglich des Pseudoskalarproduktes *
. und / " . :
Multilinearformen
* )' / +"- & !01 / & !1 ! / & * )' ! / +2-43
Mit der obigen rekursiven Vorschrift zur Berechnung des inneren Produktes folgt dessen
Distributivität aus der Bilinearität des Pseudoskalarproduktes 5 :
' #;<= . '<)' ;=. '4>?'> ;<@ gilt:
Für 687:9 und
2ACB 1 BED 1 D F & 2AGB 1 F H 2ACBED 1 D F
&> 1 H > ; 1 D
und
!1#I > H > ; ;J & !1 > (H !1#I > ; ;J
&> 1 H > ; 1 ; 3
a) Faßt man die äußere Multiplikation mit
K &V7MU L N - und
von .
-' N "NEO 'Q& PQPQPQ' NN R ' N eine+ - '4Basis
Mit 5QS T
S TXW - AY$Z\[^] F * S T _'\`a&cbd'QPQPQPQ' K ' gilt dann:
!e"fg 0 e"hjf i N -k N l- N -m-k n - -mnn
& e hf i e fg i N N l N
& !e"hjf ii !k e"fg N -kn N -l N -m N -k i !e"fg i N -l N -mm nnn
& !e"hjf i 5 O k - N -l N m -m k N -k - i 5 O k l N -m - N -l k 5 O nm n - m
& 5Eo l 5 O m N m 5Qm o 5 O -k N l 5Qo m 5 O k l N m H k 5Qo m 5 O - N l H 5Qk o 5 O l
& 5 O l 5Qo 5 O 5Qo l N H 5 O 5Qo 5 O 5Qo N l H 5 O 5Qo l Beispiel
Es sei
"N O 'QPQPQP' N R von . und Basen
p N T g qQQd N T\ r.s b4tu` Ov QQ v ` t K w von '?x(t 6 t K '
berechnet sich das innere Produkt von
& Oz${g"|y } } |${~€z$R I N { g 'QPQPQPQ' N { ~€J i NQ{ g QQd NQ{ ~ n ‚ƒ '
& Oz${ g |y } } |${„"z$R I N { g 'QPQPQPQ' N {„J i N { g QQ N {„ n … Bemerkung
Bezüglich einer Basis
N -k 5Qko l 5 -m O m N -k
5 O l 5Qo N 3
48
für
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
wie folgt:
!#"#"#"# $ &%(' *),+#+#+-) &%(/' .
) &%(' 0 1 1324 1 #"#"#"5 132 $ + 561 87 +#+#+ 7 #6132:9
;! !#"#"#"# $ % (' *),+#+#+-) % (/' <
) &%(/' . 0 1 1324 1 #"#"#"5 132 $
?HG
+> ?A@ = *BCED-F +JI 6 61KL!M + 61 7 +#+#+ 7ON 61 K 7 +#+#+ 7 6132 9
&P ;PTS 5#"#"#"5 $ + 1 #"#"#"# 132 $ + I #6 #6? L!M +^+#+#+
V K W X KX ]W K \T2ZY[Q-VR RU Q KW 2X X W U 2ZY
&PTU( Q-Q-RR RR QQ (U 2 PTS
k ?6
?6
?6
#"
#
#
"
#
"
6
+#+#+J+J_ T` M +bacHd^egfij h #"#"#"# jh = ]\T 7 +#+#+ 7 2ml
6 6
#"#"#"# von
=
Für den Fall, daß #"#"#"# die duale Basis zu einer Orthonormalbasis
n ist, erhält man: B
F
B
F
; 5#"#"#"5 $ + 1 #"#"#"5 132 $
&P ( Q-V R R Q &( PT U PT24S Q-YW [R &RP V Q (U U ]2 \TPT S Q-U 2ZR RY Q ( 2 PTS
( W X X W ( W ?HX p X W
Gwvyx5z#{|#}
M~ Y f€ ##"#"#"5  k 6 ]\T 7 7 &6 2 l
V
V
!
Y
t
!
q
r
r
r
q
s
A
K
u
+ BCEDTFo
+#acyd-e j T#"#"#"5 j =
+#+#+
=
Bemerkung
n 6 gilt:
a) Für 8ƒ‚…„
† # = 5‡ M † 7 T‡ M † ˆ #‡ M ‰&ˆ 
D
D
und somit folgt die Symmetrie:
&ˆ  † # #‡ M †  ‡ M ‰&ˆ . l
M M
n
n 6 und
b) Für eine Basis ##"#"#"# von mit zugehöriger Š -Basis #"#"#"# von
ŒB ‹ M 7 +#F +#+ 7 M 2  Œ‹  M 7 +#+#+ 7 &M 2 B ‚i„ n 6 F
=
erhält man speziell:
&ˆ  Œ‹ + %Ž 2 ),+#+#+-) %Ž 0 ‹  M 7 +#+#+ 7 &M 2 9
G 
1 † 5 U ‡ M M 7 +#+#+ 7 N M U 7 +#+#+ 7 M 24‘
Œ‹ ‹  + % Ž 2 ),+#+#+-) % Ž . @=
1  BCEDTF
"#"#" Œ‹ ‹ ’ p^” acyd-e I –— ]˜ L5M +^+#+#+^+JI  2™ –— 2 ˜ L!M
“  2 B•8F
Œ‹ ‹ šJ›#œ 0 † UT K ‡ M 9 =1#q ?A@ † # 5‡ M †  ‡ M Œ&ˆ . l
49
I. 3 Multilinearformen
I.3.4 Orientierung und kanonische n-Form
Definition 7
Es sei
und
Für zwei Basen
die Menge der (geordneten) Basen von .
sei
!" #$ "&% #(')+*-, mit ."/ 0 !1#("2$#354) #(')
der Basiswechsel. Dann heißen und • gleich orientiert, wenn die Determinante 6879/ des Basiswechsels positiv ist,
•
entgegengesetzt orientiert, wenn die Determinante des Basiswechsels negativ ist.
Durch die (offensichtliche) Äquivalenzrelation „gleich orientiert“ erhält man eine eindeutig
bestimmte (disjunkte) Zerlegung der Basen in zwei gleichmächtige Äquivalenzklassen
:<;>? = ,
so daß für @ACB
DEFEG je zwei Basen HI<J gleich orientiert sind. Diese beiden
Klassen heißen die Orientierungen auf . Die Elemente ><; heißen positiv orientiert,
die Elemente AK
negativ orientiert.
?
,
Ein orientierter Vektorraum
ist ein Vektorraum mit gewählten Orientierungen ;>= ,
auf .
Bemerkung
Die Bezeichnung mit
(
ebenso ausgetauscht werden.
; ,
) sowie mit positiv (negativ) ist dabei willkürlich und kann
Schreibweise
Für einen orientierten Vektorraum
bezeichne
LMNO<;5NP? = N
,
die Zerlegung in positiv orientierte und negativ orientierte Basen.
QSRNT LMNOUVBSF D G sei die durch die Orientierung eindeutig bestimmte Abbildung mit
Q
R 8OW D falls PA ; NO
F falls PA NOX
,
Da durch Auszeichnung einer Orientierung auf einer Basis YZLN eine Orientierung auf
ganz festgelegt ist, wird im folgenden eine Orientierung auch durch +[S mit [\B
D F G
und Q
R 8Y][ bezeichnet.
Vorbemerkung (zur kanonischen
Für eine Basis
von
läßt sich wegen
-Form)
mit zugehöriger
S
8
^ -Basis _ S8_ ^ " # T baM " #1c _
dYf
e _-gLhhh
g _
e j _Oghhh
g _ _OghhhSg l_ k f
i d<:
6879/M^ " # "&% #(')
_
von
5`
sowie
50
eine
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
-Form
definieren durch
7
8
"!$#&%(' )+* 1032.465"5"534 0 2
' )-,/.
Für diese
-Form gilt
9;:=<> ? @ @ @ ? > A BDCB EB F G G "!$#&% ' ) * H 7
"!$#&%"' )+*
EJ"J"J"E I * von erhält man2 den Zusammenhang mit dem Index
Für eine Orthonormalbasis #I(.
des Pseudoskalarproduktes % . In diesem Fall ist
K K I .465"5"534 I #L *;MNOP;Q I . 465"5"534 I 2
2
2
und man erhält:
9 :=<R ? @ @ @ ? R A K K C K KEBK K F
TS I . E I .BU 5V5"5"5V5 S I E I U #L *;MNOP;Q 7
2
2
Z
2 * durch die
2 Gleichung
Nun ist eine -Form
wegen WXY#
9 : D #L *;MNOP;Q
2
bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt. Daher wird noch folgendermaßen normiert:
Definition 8
a) Auf
sei eine Standard-Orientierung dadurch festgelegt, daß eine beliebige, aber fest
gewählte Standard-Orthonormalbasis
[\ # I(. E"J"J"JE I * ^]
[V\ ]Y_
als positiv orientiert definiert wird, es sei also
`6VZ auf ist die eindeutig .bestimmte -Form, so daß für
b) Die kanonische n-Form
E"J"J"JE Ia * ] _ gilt:
jede positiv orientierte Orthonormalbasis #Ia .
Yb I a. E"J"J"J"E I a3c # L *;MNOP;Q 7
2
Bemerkung
VZ * ist als Vielfaches der Determinantenform
a) Wegen WX# *
und WX#
durch die obige Definition eindeutig bestimmt und wohldefiniert. Mit der gewählten
Standard-Orthonormalbasis gilt dabei:
D I . 465"5"5V4 I E
2
2
Yb I a. E"J"J"J"E I a3c "!Ze3I ' b I )a c"f ' g) ,/.
2
#Ia. E"J"J"J"E Ia *
"!Ze C I ' E I )a F
denn für jede positiv orientierte Orthonormalbasis
Es gilt also insbesondere auch:
Dhb I a. c i
4 5"5"534 b I a c 7
2
2
2
d] _ ist
f # L *;MNOP;Q 7
' )g,/.
2
51
I. 3 Multilinearformen
b) Man erhält mit der gewählten Standard-Orientierung
c)
!"#%$&(')+*,-
./10324
456 !"#
$&(')7*,-
810 2 9
;
:
9
CDEF gilt
denn für
<>= @? <BA <
,-
..G
H
9? ( J *.***.* ? 9(M *,- A 9(J A 9(M I 9(JK L L L K 9(MN = I K L L L K N 9 O
!"#
$&(')7*PQRGS ? <UT 9!K <V= die Determinante des Basiswechsels hat also das entsprechende Vorzeichen.
YX mit Standardskalarprodukt und -Orientierung mißt ,-
. das
Im Fall W
aufgespannten Parallelotops. Deshalb wird ,
orientierte Volumen des von
9
auch Volumenform genannt.
9 ; ? <BA < ZC[\F :
Man erhält in diesem Fall für
<V=
,-
GO A]Z^ *** ^ A] _PQRa` ? <9b 9!K <V= dc ef. ^ *** ^ @. ^ *** ^ g
und inbesondere
,- A A Zdc ef,-,hgGODi
Definition 9
Eine Orientierung auf
abhängiger Punkte in
l
W
c)
d)
F
9p m nq m 9 W für CZdF .
Fjr
mn m p sut
v.wxyyyxvz{h|}~ ,
• positiv orientiert
t
v w xyyyxv z {h|d}4‚ .
• negativ orientiert € 
Eine Orientierung des Punktraums ƒ
ist die durch die Orientierung
des†{ zugehörigen
t
4
„
O
…
Vektorraums induzierte disjunkte Zerlegung der Menge geordneter
-Tupel affin
linear unabhängiger
Punkte in ƒ in die Menge positiv orientierter und die Menge negativ
t
4
„
O
…
†
{
orientierter
-Tupel.
t ‡ {[ ƒ , dann heißt eine bijektive affin
Sei ‡‰ˆOƒ
eine konvexe Teilmenge
mit
Œ
Š
‹
t { ˆ\ƒ
lineare Abbildung Ž\€‡‘’Ž ‡
• orientierungserhaltend (oder
falls “G” die Orientierung
von}› •
|˜—…orientierungstreu),
x™š für eine orientierte
t
v.wxyyyxvz.{|Y
erhält, wenn alsow mit –
Basis
t t
v {xyyyx “G” t
v z {{|d} › gilt, und
stets auch “G”
• orientierungsumkehrend , falls Ž nicht orientierungserhaltend ist.
„ -Simplex ist ein orientiertes „ -Simplex œ t
žxyyyxz{Ÿ ,
Ein positiv (negativ) orientiertes
t
„o…_†{ -Tupel t
 ž xyyyx z { der Eckpunkte positiv (negativ) orientiert ist.
dessen
mn m o l
affin linear unabhängig und
a) Seien
Dann heißt das geordnete
-Tupel
b)
Fjk
induziert eine Orientierung auf
-Tupeln affin linear unsowie auf von diesen Punkten aufgespannten -Simplizes:
52
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Bemerkung
a) Für eine Basis
•
von
gilt:
ist genau dann orientierungserhaltend, wenn gilt:
•
ist genau dann orientierungsumkehrend, wenn gilt:
!
"
b) Die durch die Orientierung auf induzierte Orientierung auf Simplizes ist mit der
Definition in Kapitel
I.1.3 auf Seite
15 verträglich.
*,+.*,+
/,0/,
1
eine Permutation,
ein geordnetes
Sei
dazu #%$'&))( 6 7/,68./,0:&)9 (
*3254)
6 7/,<= 6> ./,<= 0> 9
@4*
-Tupel,
$
und ;
$
für ?
.
•
•
6
A
B/ <= 6>
7/ 0
B <= 6>
C4*
( , so gilt ;
für ?
Ist # (
Determinante des Basiswechsels von
nach
Vorzeichen wie die Permutation # .
Es genügt nun, die (ungerade) Permutation
D /,<= 0> /,<= )>E
;
. Damit
hat die
;
das gleiche
!//,0/,F/,
*,+@- I
zu betrachten, da sich für jedes GH$3&(
Permutation der Eckpunkte als Verkettung
&)(
*,+
mit
G
(
KJ
/,0/)/,
1L
D /,0/,M= 0> /,F/,M= 0>ONP //,M= 0>RQ, /,
E
L
D /,M= 0> /,0)/,F/,M= 0>ONP //,M= 0>RQ, /,
E
L
D /,M= 0> /,M= > /,M= )> E
(
die
schreiben läßt. Damit gilt:
;
Folglich sind
;
!S S 2. F S 2. "
und
;
WX :4Z:4Z[[[\:4 ]^
X
T1UV
4
Y
..
;
wegen
^
!:4
.
4
_
entgegengesetzt orientiert.
*`2a4)
c) Zur Wahl einer Orientierung besteht auch die Möglichkeit, von geordneten
-Tupeln
affin linear unabhängiger Punkte auszugehen und als Äquivalenzrelation gerade Permutationen solcher Tupel zu betrachten. Auf diesem Weg induziert ein positiv orientiertes
*
/ 0 / c
/ 0 / / 0 / g
-Simplex b
eine positive Orientierung einer Basis dfe
e
und
damit auf dem zugehörigen Verschiebungsvektorraum sowie auf dem von den Punkten
aufgespannten affinen Punktraum.
d) Im folgenden werden Orientierungen auf Punkträumen und Orientierungen auf den zugehörigen Verschiebungsvektorräumen synonym behandelt.
I. 3 Multilinearformen
53
I.3.5 Die Dualitätsabbildung
Der Zusammenhang
%)&(* !"#$%'&(
zeigt, daß die Vektorräume
und
identifiziert werden können. Dazu soll nun
ein von + abhängiger Isomorphismus eingeführt werden:
Definition 10
Die Dualitätsabbildung ist für ,.- definiert durch
/ / 021 (3 %)&( 4"5
4 1 7689;:
(3 /
Bemerkung
bijektiv:
a) Die Dualitätsabbildung ist ein Isomorphismus, also insbesondere
=<>?@@@?*< % eine Orthonormalbasis von und ,A- .
Dazu sei
Für ein Basiselement
< 0BCED.FFF)D < 0BHGI#J < K0 CDFFF)D < K0 GMLLON
>SR FFF R T.U
-QP
P - und VXW
>*?@@@? ? =Y >?@@@*? % Z
W W
W
0BCDFFF)D < 0B G / <
>
7e=$f)g W
N
?@@@? Z
erhält man:
V N
[6]\=^_ Ca`b b b ` \=^_ G 9c76]\=^_ G
d FFF d 6]\=^_ C < 0 > D.FFF)D < 0% @ @@ %
! h < B C *? < B Cj 0 F)FFFF h < B G *? < B Gj 0 < 0BGlkXCED.FFF)D < 0Bm :
W i
@@@
Folglich ist die Dualitätsabbildung eine Bijektion der Basiselemente und somit ein Isomorphismus der Vektorräume.
b) Der Name „Dualitätsabbildung“ ist motiviert durch die Möglichkeit, vermöge der Abbildung
n
F ?*oSp 1
3rq
s"tuvxw sy*zS{
für
z
|#}
~)(€‚
, wobei
w sy*zS{
durch die Gleichung
s#ƒz"„"w sy*zS{†…X‡;|.} ~  ‚
}
~)(€‚
}
€‚
eindeutig definiert ist, den Vektorraum
als Dualraum von
aufzufassen.
Mit den im Anschluß aufgeführten Eigenschaften d) und b) erhält man
€Œ$~)(€=lŽ($*‘*’=“Œ”
s#ƒz"„[ˆauŠ‰X‹
s7ƒ.ˆ=•ˆ=•'zO‹a‹
€aŒl~)(€=lŽ($*‘*’“XŒ”†–—
„[ˆauŠ‰X‹
•z7…X‡;y
folglich ist
w sy*zS{„"ˆauŠ‰X‹
€aŒ$~)(€=lŽ($*‘*’“XŒ”†– —
•Sz"˜
54
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Lemma 4
(Eigenschaften der Dualitätsabbildung)
a) Es gilt:
b) Für !#"%$ &')( gilt:
* ! + & -,. & -/01 !
c) Bezüglich obigen Dualitätsbegriffes sind innere und äußere Multiplikation zueinander
duale Abbildungen, denn für !2"3$ & ')( 54 "3$ 61')( +798
:;=< gilt:
>? *@4A B4DC ! Man hat also ein kommutatives Diagramm:
?
G
$561')(
EEEF
$ & / 61')(
H
I
H
$ ,. 6 ')(KJL G E E E $ ,. & . 6 ')(
d) Für ! 4 "
$ & ' ( gilt:
! CM@4B >N? 4O
4DCM !
1 > ? *@4APO
(
Beweis:
a) Anwendung der Definition:
>Q )O
>NR 1+
b) Sei *S Q TTTS , eine Orthonormalbasis von ' . Mit UV WYX ZS V S \W [ 5]_^ "3` TTT1:Pa@ und
b
! * S V d TTTS Vh gS (Vd CiOOOCMS (Vh Qc Vdegf f f e0Vh c
,
1jS (Q CiO OOCMS (
,
!
erhält man:
* ! +B+k
b
1lO ! S Vd TTTS Vh Qc Vd*egf f f e0Vh c
,
] Q TTT]
,
Omno@pqk
O
OOO UVhVh OS (
CtOOOCMS (
V h-sd
Vu r
+TTT:ir UVdVd
b
! * S V d TTTS Vh 9O vU Vd*Vd
Qc Vdegf f f e0Vh c
Q
,
-.
] Q TTT]
]
,
Om*nopk
Om*nopqk & /
+TTT:ir
v
wx
Q h u‚ h
-.  
OOO U V u V u
wx
y
z {|}~N€-
Q TTT1] 1] Q TTT1] &
,
O S ( CtOOO@CMS ( V d
Vh
+TTT1:
r
y
gilt:
!" #%$ " #'&(%$ " ( )*+,
-./ . Durch Anwendung der schon bewiesenen Rechenregeln und
Seien
I. 3 Multilinearformen
55
c) Für
d)
Ausnutzung der Symmetrie des Pseudoskalarproduktes und damit des inneren Produktes
zweier alternierender Multilinearformen gleichen Grades erhält man:
0)576913832 :9 ; 4 " +<>=@?3A-B>C3DFEG H( )
" +<>=@?-A-B>CDFEG '& #%$
+%" +<>=@?-A-B>CDFEG I0 >'& 13 2 #$ 4
7
5
J
LK $ ,
) M" +< =@?-A-B>CDFEG #%$ NLK $
" +<>=@?-A-B>CDFEG #O MK $
" +< =@?-A-B>CDFEG O K $ ) M" +<>=@?-A-B>CDFEG@P DRQ7S G #'&( $ LK $
" +<>=@?-A-B>CDFEG@P DRQ7S G H +NLK $
" K $ ) M" +< =@?-A-B>CDFEG I #%$ N
" +<>=@?-A-B>CDFEG I #O T
" +< =@?-A-B>CDFEG I O !
" +<>=@?-A-B>CDFEG I #%$ N
" +<>=@?-A-B>CDFEG I #'& $
" +<>=@?-A-B>CDFEG H( ) T
"M) U,
Es folgen die zu beweisenden Identitäten:
V
56
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
I.4 Affine r-Formen
„Dieses Prinzip ist so vollkommen allgemein, daß keine
Anwendung möglich ist.“
George Polya
Es werden affin polynomiale -Formen als affin polynomiale Abbildungen von konvexen Teilmengen affiner Punkträume in den Vektorraum der -fachen alternierenden Multilinearformen
über dem zu dem affinen Punktraum gehörigen Verschiebungsvektorraum eingeführt. Affin
polynomiale -Formen ersten Grades, also affin lineare Abbildungen, heißen affine -Formen.
Alle weiteren Betrachtungen erfolgen im Hinblick auf die Anwendung und die damit verbundene Notwendigkeit, den Raum der affin linearen Formen nicht zu verlassen, um so die
Möglichkeit zu erhalten, die Abbildungen als eindeutig bestimmte Interpolierende mit in affin
linear unabhängigen Punkten gegebenen Werten zu identifizieren. Dabei werden neben den
von alternierenden Multilinearformen durch punktweise Betrachtung vererbten Operationen
die äußere Ableitung, die mittels einer affin linearen Abbildung zurückgeholte Form und unter Verwendung des Hodge-Operators, der punktweise durch die Dualitätsabbildung definiert
wird, die Koableitung als Verallgemeinerung der Divergenz eingeführt.
I.4.1 Grundbegriffe
ein -dimensionaler Punktraum, der zugehörige Vektorraum der
Im folgenden sei
Parallelverschiebungen und für die Menge der Permutationen von .
Definition 1
Es sei eine nichtleere konvexe Teilmenge und der zu gehörige Verschiebungsvektorraum.
Eine affin polynomiale r-Form vom Grad auf ist eine affin polynomiale Abbildung
"! $#&%'(*)
vom Grad .
+-,
bezeichnet die Menge der affin polynomialen -Formen vom Grad auf .
Eine affine r-Form auf ist eine affin polynomiale -Form vom Grad , also eine affin
lineare Abbildung
./! $#0% )21
+
+76
Mit 3 !54
wird die Menge der affinen -Formen auf bezeichnet.
+ ,
.
und 8 ist der Wert von . an der Stelle 8 definiert durch
Für
.:9;!54<. =8> % )?1
Da stets eine maximaldimensionale konvexe Teilmenge in @ ist, sei im folgenden
zur Vereinfachung als maximaldimensional in
angenommen, es sei also @ 4
und 4 .
57
I. 4 Affine r-Formen
Bemerkung
a)
b)
c)
-Vektorraum vermöge der Vektorraumoperationen in :
"!#$%&'($%
)* + -, + + -, (+ ./, 10
43 2 ist 6
5 8796
: ein Untervektorraum.
Für 2
, ; gilt:
Für
;@
; ist ein
<=?> ; ! +
BC>
ist also die Menge der affinen Polynome A
vom Grad
die Menge; der affin linearen Abbildungen von
nach .
,
!
F
E!
!KL gilt die obige Aussage entsprechend für d) Wegen (D
e) Für GIHKJ ist und damit auch
2
, speziell ist
D
.
!NM A O?>PLRQ-!#LS) 26T L40
Lemma 1
U +VVV+ U eine Basis von . Dann ist die Menge WXU +VVVY+ WXU D
D
WXU Z O1[\> .N][\>^WXU Z . !NWXU Z %_"!#U Z
; .
eine Basis des Vektorraums der konstanten 1–Formen
a) Sei
b) Es gilt:
mit
`ba"cd e! J J 0
Beweis:
a) Für die konstanten und damit insbesondere affin linearen Abbildungen gilt offenbar
WXU Z ,
f
E! Mg<=1> h ji=kml8noaolbpiqQ +(r !Ns +VVV+ J 0
s
WXU +VVV+ WXU folgt unmitD und der
Die Basiseigenschaft der Menge der (konstanten) -Formen
telbar aus der punktweisen Definition der Vektorraumoperationen auf
U +VVV+ U .
Basiseigenschaft von
D
b) Aus
!#tvuw + E! twuwx + erhält man mit der Folgerung auf Seite 25:
`baoc#e!d J fsy{z J s\| ! J J 0
}
58
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Definition 2
Für ist das äußere Produkt
!
"
definiert durch
$#&%(') $# *+ $#-,/. 10
Bemerkung
Für *23
mit
46587 :9; <=?> !@AB DCFEG<3H ;
(es darf also höchstens ein
@
nichtkonstant sein) ist das äußere Produkt eine affine < -Form:
I0
Folgerung
JK+LJMN K von O K und ;QP < PSR ist
5MT J @ K + T J @ K > ;UP 7 3
VWXV 7 3PGR C
eine Basis des Vektorraums der konstanten < -Formen B .
a) Für eine Basis
b) Mit den Formeln von Seite 31 und Seite 39 erhält man:
R hkj
Rhkj n
Y?Z\[ ]' YMZ^[ `_ ab K ]c'ed R g i
'
O
j l
m
<!f
<n R Hk<]n j n
und speziell
YMZ^[ ]'W Rih; d R
Schreibweise
Für o und
. < f
0
# b O K , also gilt:
+ J r K
r r .U J r K # '
p
qXr ]s! s r q N t ]u v v v u r ]u v v v u r .U Xx T J r K # +zx T J r K #
'
p
]y
y
]qwr ]s! s r q N t
ist
und folglich
r ]u v v v u r T J r K T J r K
p
]qwr s! s r q N t
polynomialen Abbildungen vom Grad j :
'
mit affin
r ]u v v v u r %8|{~} ;€PG$3VWXVz
3PGR 0
(Im Fall
t
‚ sind dies affin lineare Abbildungen.)
59
I. 4 Affine r-Formen
Definition 3
Für durch
und
ist das äußere Produkt
definiert
!#"$ &
% (')+*-, /.
Bemerkung
Für 01 , 2 3
sei 54 6 konstant oder 2 4 6
798;:<
-Form:
Dann ist das äußere Produkt eine affine
konstant.
= 2 > 3 .
In den Fällen
?@ >
A B"DCE@>FHGJI 4 @
2 >3
A B"DCE@>FHGJI @
?B@ >
>
A
4
3
2
A
konstant K
sowie
affin linear K
erhält man speziell:
@ "L@NM " @ > 3 .
2
2 2
I.4.2 Zurückgeholte Form und äußere Ableitung
Definition 4
OQP
SR;OTP!R
Es seien
und
maximaldimensionale konvexe
Teilmengen
R
VSRWaffiner
GX
Punkträume mit zugehörigen Verschiebungsvektorräumen ' und ' . Weiter sei U
affin linear und es sei YZ
.
SR[
Die mittels U zurückgeholte affin polynomiale r-Form U ) S& ist definiert durch
U )
Definition 5
h?9P
Es seien
\] _? ^_^_^_?`] B
#" acb \d e a ] `?_^_^_^(?`e a ] f
R ?] ?_^_^_^_?`] R .
*-g '
' wie oben, und es sei &
i j /kcGml kcG ioj B'" ) ioj 4 ,Dn
,
und
definiert durch
#"$
p 54 `
]
i j 4 ] `? ] ?_^_^_^(?`] Dann ist die äußere Ableitung q 0 ` r #"$
78;s<oMEtu[v_ ioj 4 q
*-,
Bemerkung
Für wx
und
i j 4
'
, GJI
ist
. Weiter sei die Abbildung
h?] ?_^_^_^(?`] .
` ] ?_^_^_^(?`] * , '
von
/.
definiert durch
p 54 &yz<{ ? % '
' ) .
in jeder Komponente linear und in den hinteren
7
Damit ist die Abbildung
Komponenten alternierend.
60
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
mit der (eindeutig bestimmten) zugehörigen linearen
, so istdie oben definierte Abbildung konstant. Daher
mit
"!#$%!'&($)))*$%!'* ,+- "!#*%"!'&$)))$%!'*/.0!#$)))*$%!' $
und es gilt für die äußere Ableitung 1 2 34 von :
1 56 + "78-9(:(;<,= >.@?ABDC
Mit der Folgerung auf Seite 41 erhält man für EF G :
1 5 6 "! $)))*$%! + "7 78-8-9(9 %HAI
"V
J'K#L(MON(PRQS,T#U
:#"W@YX 6 (Z! J'[ \"] Z! J'[ &^\ $)))*$%! J'[ \"]
+ _%`%I a MbN(P QSiT'U "V"W@jX 6 Z ! J'[ \ ] Z ! J'[ &^\ $)))$%! J'[ ^\ ]
_"ced"f, g'h h g(_c Mbk N(P f
+ Ikil ^mn9( "W@jX 6 %"! k %"!#*$)))$p! o k $)))*$%!'*
.0?AB$! $)))*$%! C
Im affin linearen Fall, also für q (r erhält man entsprechend:
k k
1 5 6 "! $)))*$%! + Ik,l ^mn9( "! %"! $)))$p! o k $)))$%! .0?AB$! $)))*$%! C
Folgerung
a) Ist affin linear, also
Abbildung
setzt man in diesem Fall
b)
"!#$)))*$%!'sR eine Basis von , "! $)))$%! s die zugehörige duale Basis von + ^t k P^uwI v v v u k M txsy k P^z { { { z k M 1 ! k P| ::: | 1 ! k M } G Lemma 2
Es sei
und
k P^z { { { z k M 
~ $ 9€‚ƒ:::„ƒF‚"€…
y
mit affin polynomialen Abbildungen
†
vom Grad .
Dann gilt die Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung:
‡‰ˆ‹Š
Œ
^Žx,‘w’ ’ ’ ‘x,“Žx”
•– ”
Œ—™˜
ˆªŠ ‡ ,  £«¥¥¥#£ ‡ ,“ œ ¡¢
¡ ¢ ¬ ­¯® •–
ˆY¶ · °  Š jˆ ¶ · š"› š š"›
— ¤— £ £}¥¥¥'£
‡ , “^¦§©¨
 ^ž Ÿ Ÿ Ÿ ž  “* ‡ ‡ , 
wš"›œ
šO¡ ¡R¢ ¡R¢
¡R¢
Beweis:
Es genügt offenbar, die Behauptung für einen einzelnen Summanden zu beweisen. Sei also
,
und
. Durch Einsetzen von
° ±²²²*± ° ³´  ­µ
”Œ—™˜ — ¥ —»º Š Œ—™˜ ” — ¥ jˆ ¶ · —


¹¸¡R¢ š ° ¡ ¦§
x ¡R¢ š ° š"› "š ¡ 61
I. 4 Affine r-Formen
erhält man:
!#" ' &
( *
,
)
+
( & ( ) +
( & ( 8
)
+
( %$ !-" ( %$ .
)
0/
21." ( %$ 5
3
4
4
6
7
)
) +
) +
91." ( )
A
. CD
3
3
:8;<>=?@ ) + 3
) +
) +
..
..
.. E
A .
.
.
B.
) +6
) +6 ) +6 &
/
/
/
91." ( P
R
R
( FIQ R 7
F
I
N
Q
S
FIQ
3
7
6
7
)
8
)
+
8
)
+
8
)
+
( F,GIH 6BJ 38KLNMIO
& 91." 0/
(
( 4
34
4 ) + 67
)
)
)
+
+
( C
@ &
0/
/
/
= 91." ( .
( 7 4
3 7 4
4
6 7 E
)
8
)
+
8
)
+
8
)
+
( C
@ &
= 91 ( * (
.T
4 )8+ 3 4
4 )8+ 6 E
)
8
)
+
( U
Folgerung
Für eine affine V -Form
W
3XZY Y Y X 6
W
1
&
3[ \ \ \ [ 6
3 4
) +
mit affin linearen
Abbildungen
1
3[ \ \ \ [ 6.c
`edgfh.ikj l
l
4
a`b
6 ]_^
) +.
j inm
erhält man entsprechend als Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung:
W
@
= &
3XZY Y Y X 6
W
&
( ( 5 (
*opIq 3r s s s r q 6 )
)8+ 4
)8+ 3 4
C
4
)8+ 6
E
T
62
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
! 0 0
/
0
"
$#%&(')"
#*+%&,(-.
(')"
#*+% 1 ,(-2 234 0 0 0
0
0
/
0
5 ' 8$9+: : 9 8$= > > = ;+? @ 8.A 333 AB? @ ;CEDFG 76 ; 6 2<
0 /I 0 I I
? H' 1 , - ? "@ KJ.')LM
0 0 0
0
0
0
/
K@ 5 ' 76 879+: : 9 ; 6 < 8 = > > = ;2N ? 8 A 333 AO? ; CEDFGP HQ I
I
I
R C S' T 1 @ U+ C 0 /I 0 I I Q
? $V
WU(' 1 , - I P ? "@ V U
/' I ,(-2 0 234 I@ U
1 0YXZ I I\[] 0
/
I
')
, 0 - 1 "@ UY0 '^
, - U 0
'@ , - U$('^
? @ - _ V+` , - U$ a'^
$K@ ? @ V UWbdc
e + +
0
f C^D F$ggG KJh'iLjk
lfm A fmn A fmo"'fm A lfpn A fpo a CSD FG 88qq FWG rr qq FWG ss b c
f C^DmtG 5 C^D Fu 5 A fv')
7w*L G : u f A 5 a CEDmtG qq uF b c
Bemerkung
und
maximaldimensionale konvexe Teilmengen affiner
Es seien
Punkträume mit zugehörigen Verschiebungsvektorräumen und . Weiter sei
eine Basis von und
eine Basis von .
Schreibt man eine affin lineare Abbildung
mit Komponentenabbildungen
so erhält man für
und
die zurückgeholte Form
denn es gilt für
und
:
Rechenregeln
Es seien
maximaldimensionale konvexe Teilmengen affiner
Punkträume mit zugehörigen Verschiebungsvektorräumen
.
a) Für
b) Für
gilt:
gilt:
gilt:
"!$#"%& (')* , ++-$+0.-// 2143
Für 56 &
gilt:
798:3
Für ;< &
=<=
und eine affin lineare Abbildung >9? ;@BAC
gilt:
>ED F >ED 70 >ED 2G'&<H ++-F I @KJ 1<3
Für ;< und affin lineare Abbildungen >9? L@-AM
NO ? L@ -AM
L@ gilt:
O D >ED 7 ><P O" D I * I @ KJJ 3
Für NQ und eine affin lineare Abbildung >? L@0AR
gilt:
>ED 7$ >ED 7G'&*, +0.-// I @SJ 143
I. 4 Affine r-Formen
63
c) Für
d)
e)
f)
g)
Beweis: (Siehe auch [6, 9].)
a) , b) folgen sofort aus den entsprechenden Eigenschaften alternierender Multilinearformen.
c) folgt aus der Produktregel
2T UV0 T*UV!QT*U V
WXT ) Y SZD [ QUUU )Y ZSD \ 9 &
gilt:
] I T )Y ZSD [ *UUU) )Y ZSD \ J T )Y ZSD [ <UUU& )Y ZSD \
^ 7 I T )Y ZSD [ *UUU& )Y ZSD \ J T_- )Y ZSD [ *UUU) ) Y ZSD \ 3
und der Rechenregel b).
d) Für
T$a` bE Y $c"_9d T` b Y 2ce0#Qd T_` bE2ce Y 9dfdgT=` b Y f2ce0#QdfdgT=` b 2ce$ Y 9dhaT=` b Y ce0#QdghT=` b 2c" Y E3
Nun folgt die Behauptung wegen
Y / jjja Y > D kE@
O" D Jl Y / jjja Y LmKnpo$q-rsm l r$2t npo$q Y / jjjat npo$q Y $
LunBmKq0m l rvr$2t n 2t q Y / $jjjat n 2t q Y $$
>ED w q0m l r 2t q Y / jjjt q Y a$
fO D > D 7$ l Y / jjja Y E3
aus der Symmetrie der zweiten Ableitung.
e) folgt aus der Definition von
.
f) Für
und
gilt:
i L
L@
I >4P
64
!#" $ %! %! & $'(% " & )+*,'- / /
" ./ 0 21 )3*,'- & (
4 / & /
./ . 4 4
" 0 0 1 %) 5*,'-768 ! (
." 4 %$ 4 5*,',76 /. %! 4 / & ,/(
0 1 4 0 4 " . 4 0 1 %$ 5*,', & '
4 & 4;
4
.
" '(79 0 71 %$ :(
" '( & <=
> " >?%@A>?BC D 7EGFIHJ>?C-KL
M>JBC OD NN LK I Ein diskreter Differentialformenkalkül
g) Es sei
eine affin polynomiale -Form,
eine Basis von
und
dungen. Dann erhält man mit der Kettenregel:
eine Basis von ,
in Komponentenabbil-
Die Aussage folgt nun per Induktion für
& $' ( >P " & ) ' ( >?%@3' ( >JB L
" &''( &(Q>> @3@3''(R(R>> BBSS $$TVTVUU L ''(Q(Q>> @@C&''( & (R>> BB
" ' (W & >?%@X>JB S $TVU L >?%@ & >JBY
" ' (&>
"
>Z[ D =
unter Ausnutzung von c) und e):
\
und aufgrund der Linearität der Operatoren für beliebige
] `_ ] ^
•
•
geschlossen
exakt
Definition 6
Es sei
ein -dimensionaler affiner Punktraum mit zugehörigem Verschiebungsvektorraum
und
eine maximaldimensionale konvexe Teilmenge.
Eine affin polynomiale -Form
heißt
b> c KD a&
> m "g & >
d
f
e
$
K
l
dfeihkj D N jn"
a
,
mit
a
. (Die -Form
>
Bemerkung
Eine exakte affin polynomiale -Form ist stets geschlossen, denn für
& > " & & j "c =
j
besitzt eine Stammform .)
> " &j
gilt:
65
I. 4 Affine r-Formen
Lemma 3 (Zwei Spezialfälle des Poincaréschen Lemmas)17
Für
gilt:
a) Jede konstante -Form
!#"$"$"%! &('*),+-/.1032
ist exakt.
b) Jede geschlossene affine -Form
!#"$"$"%! '*) - .1032
ist exakt.
Beweis:
7 '5098;: 8$<$<$<=8: -> '@? definiert durch
6%A .B: 8$<$<$<=8: -> 2DC FEHGJ4;I 7 8: 8$<$<$<$8: ->K 8
dann ist 6 '#) -> .1032 , denn für L 8 LNM '#OD8 7 8 7M 'P0 mit L 7 RQ LNM$7M 'P0 gilt:
6%S A BT S=U A U .B: 8$<$<$<=8: -> 2 E .. L 7 RQ LNM=7M 2V 4 8: 8$<$<$<$8: -> 2
FEWG L 4;I7 Q L M 4;I7 M 8: 8$<$<$<$8: ->K
L FEHGX4;I7 8: 8$<$<$<=8: ->K Q LNM FEHGX4;I7 M 8: 8$<$<$<=8: ->K
L " 6 A .B: 8$<$<$<=8: -> 2 Q LNM " 6 A%U .B: 8$<$<$<$8: -> 2DY
Nun gilt für 7 Q '90
6 A TZ 6 A Q@[R\ . 2
a) Sei
4 '50
und damit
und
6
für alle
[ \ . 2.B: 8$<$<$<=8: -> 2 %6 A TZ .B: 8$<$<$<=8: -> 2V 6%A .B: 8$<$<$<=8: -> 2
G EHGJ4;I 7 Q 8: 8$<$<$<=8: ->K V EHGJ4;I 7 8: 8$<$<$<$8: ->KK
FE . 8: 8$<$<$<$8: -> 2DY
Mit der in Teil b) der Folgerung auf Seite 60 angegebenen Darstellung der äußeren
Ableitung gilt nun:
17
. 6 2 A .B: 8$<$<$<=8: - 2 ] .V 2 T [ \ .B: 2.B: 8$<$<$<$8_^: 8$<$<$<=8: - 2
.V 2 T E .B: 8: 8$<$<$<=8_^: 8$<$<$<$8: - 2
]
`FE .B: 8$<$<$<=8: - 2DY
Die affine . V 2 -Form 6 ist also eine Stammform der konstanten -Form -
.
Ein allgemeiner Beweis des Lemmas von Poincaré für Differentialformen auf sternförmigen Mengen findet sich etwa
in [6, 9]. Die hier betrachteten konvexen Mengen sind natürlich stets sternförmig, ebenso sind alle betrachteten affin
polynomialen -Formen differenzierbar. Daher ist das allgemeine Ergebnis auch hier gültig. Da jedoch für die im nächsten
Kapitel zu untersuchenden stückweise auf Simplexpolyedern definierten Abbildungen Stammformen explizit benötigt werden,
wird an dieser Stelle ein konstruktiver Beweis für die im Blickpunkt stehenden affin linearen Spezialfälle angegeben.
66
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
"!
#
/0 :
setzt man für alle $&%(' *) ) ',+-%(. und 132 465 7 7 7 5 89:<; $ > 435 7 7 7 5 8? A@ @ = CB = GF
= $ 2D F
+
E
J
1 465 7 7 7 5 8 9: ; 6HI$ K 4L LNM K L L K 8PO
E 2 2D Dann gilt offenbar
465 7 7 7 5 8 RQPS T 43 5 7 7 7 5 8 RQ +U und
2 465 7 7 7 5 8 ; 2 435 7 7 7 5 8 L 2D 435 7 7 7 5 8 RQ D+6U O
Es gilt:
2V 465 7 7 7 5 8 : 1 V 2 465 7 7 7 5 869 : L 1 2 D 465 7 7 7 5 869 : @ 1 2 465 7 7 7 5 89: L 1 V 2 D 465 7 7 7 5 869 :
XWY =$ = @ = 43_ ` ` _ 8 Z ZbK ac
Z $[]\^ GF ^
F
+ E
J
L ed E 6HI $ K 4fL LNM K L L K 83g
=
@ =$ > 435 7 7 7 5 8? h@ = @ CB = K 4L L K 8
$ F
+
= @ $ 43_ ` ` _ 8 Z f6HI$ EJ $ Z E []\^ ^
F
Z K L K 4L = LNM K L L K 8 @ ? > 435 7 7 7 5 8 @ = @ 4 _ ` ` _ 8i Cj B K 4 L L K 8 O
$[ \^ ^
Aus
Vlk 43npo o o n Z [ \ ^ 43_ ` ` _ ^ 8 Z V Z K L V K 4 L L V K 8 rq
6s
m t 8 m und uv
u + :
folgt nun für alle
q* Vbkxw i uv
u + j
pVbk w u uP+
4 _ ` ` _ 8 Z 6m 43npo o o n 8 m Z 1 []\ ^ ^
Z K L K 4 L L K 869 u uP+
4 _ ` ` _ 8 Z ? Z 1 K 4L L K 869 uv
u + 6m 46npo o o n + 8 m GF Z []\ ^ ^
GF
@ f6HI$ E i Z K L K 4 L LNM K L L K 8 j u uP+ B O
E b) Für ein
von
mit
und Koordinatenfunktionen
bezüglich einer Basis
67
I. 4 Affine r-Formen
Es gilt also:
! #"%$&$&$"'( ! *
+
, )
+10
-/. $2 3
! "4 ! "%$&$&$"6 5 ! , "7$&$&$"' ! 98
Insgesamt erhält man für
:<; )
: = > > > = @?A7B9C*D FE
das Ergebnis:
H
H
:I
?2? : = > > > = G "
)
.
K9L
? : C = > > > = G2G I
J
)
G
. M JN
L
= > > > = O
J
.
)
K9L
JN
L
. L
= > > > = O
)
P
= > > > = O
L
. K
K9L
L
P@
ORQ TSUV ! "%$&$&$"4 ! U
. P@
ORQ TSUV ! "%$&$&$"4 ! U
P@
ORQ SS
N
= > > > = K9L
PW
ORQ TS% ! "%$&$&$"4 ! N
)
K
( ! #"%$&$&$"4( ! ( ! #"%$&$&$"4( ! )
( ! M"%$&$&$"'( ! X I
Y
A
E
Die affin polynomiale K -Z. -Form zweiten Grades (affin quadratische Form)
eine Stammform der geschlossenen affinen K -Form X .
8
:
ist also
[
I.4.3 Hodge-Operator und Koableitung
Im folgenden sei
\
zusätzlich pseudoeuklidisch und
Definition 7
Die kanonische affine n-Form
_
I`; )Za
Y
A
\
AVB \
_
]
das Pseudoskalarprodukt auf
^
.
ist definiert durch
8
Bemerkung
Im vorliegenden Fall eines pseudoeuklidischen Punktraums \ mit zugehörigem Vektorraum
^ existiert die kanonische b -Form stets global. \
ist daher stets orientierbar.
Betrachtet man dagegen die allgemeinere Situation von Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten mit punktweise definierten Tangentialräumen, so ist die Orientierbarkeit, äquivalent zur
globalen Existenz einer solchen c -Form, keineswegs garantiert.
68
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Definition 8
Für
sei
Das innere Produkt
und .
"%$&!# ist definiert durch
'(')+*-,%./ )1032 465
Bemerkung
a) Wie die Definition des inneren Produktes zweier Multilinearformen ist diese punktweise
Definition abhängig vom Pseudoskalarprodukt auf .
b) Es besteht die Möglichkeit, zunächst das Skalarprodukt zweier Multilinearformen zu
verallgemeinern und anschließend daraus das innere Produkt herzuleiten.
Hierzu definiert man für
und
punktweise:
7
8
9+
: +
;
=
@?%>A'B%C ) *-, ) ?% ) ADBE?
man hat also eine Abbildung
=GF F
=
? A'BE*H
JI
JKL@?%MONP&Q @?%MADB
<>=
=
<>=
=
2
@?%MADBE*R6K NP&Q @?%MADBSC ) , ) ?% ) ADBETU5
vom Grad V3WUX = . Sind dabei @?%Y+
und ist mindestens eine der beiden Formen
konstant, so ist @?%MA B U
;Z eine affin lineare Abbildung.
Das innere Produkt von [
und \
; mit ^] läßt sich dann durch die
folgende rekursive Vorschrift berechnen:
=
(1) _*-,
@?%MA B für , ,
'l
(2) La`cbdef*-,' `gbhieWGPkj: `;b' ie
l
für `^U
Dl , iemU
n und U
;` ,
n
(3) l'o *-,p
n
nEq l .
l
Mit diesen Regeln gilt für Y
; , +
; n und rs
; t :
=
=
!
fbd@?%r>A B , oHu r^, u 'r>O, @?Sr>A B ?
='F F
inneres und äußeres Produkt sind also adjungierte Abbildungen bezüglich ? ADB .
mit einer polynomialen Abbildung
Definition 9
Der Hodgesche -Operator wird punktweise durch die Dualitätsabbildung definiert:
v
v^*>
JP#Qw
;x $& yNP#Qzv" mit 'v"( ) *-,v>L ) 032 465
Bemerkung
Aufgrund der punktweisen Definition gilt für den
alitätsabbildung entsprechende Eigenschaft:
v -Operator die der Definition der Du-
'v"( ) , v>L ) O, u .M{ , u .M| ) ,}' u | )
~ v"y
, u | 5
I. 4 Affine r-Formen
69
Lemma 4 (Eigenschaften des -Operators)
Die folgenden Eigenschaften lassen sich aufgrund der punktweisen Definition der verwendeten Produkte und Abbildungen unmittelbar aus den entsprechenden Aussagen über die
Dualitätsabbildung herleiten:
a) Es gilt
wobei reelle Konstanten als konstante -Formen zu verstehen sind.
b) Für "!$#&%' )(* gilt
+ ,
' -. ' 0/1
2354 76
c) Für 8!9#;: ' ) (*3< !9# %= )(*3?>A@9BDCFE gilt:
GIH J K+ ML <N
'O = A< LP 'O = G0Q JR<N 6
Inneres und äußeres Produkt
H vertauschen also bezüglich des -Operators:
)
*
(
S
S
S
T
U
# :'
# : ' // =% )(*
V
W
V
SSS
#;: -R. ' )(*YXZ U
#;: -R/ . % ' . = )(*
d) Für [!K#;: ' )(* und < !K# %' )(* gilt:
< L
G H 4 ML R<\
3 GI] H J 4 6
Definition 10
Die Koableitung ^_ einer affin polynomialen > -Form ist definiert durch die Abbildung
a )(*
^`# %' )(*? U #'% .b
.5a
ReAgf
J-R ' /ba0/13 4 ;hi6
dc U ^_7` 9
I.4.4 Exkurs: Die klassischen Differentialoperatoren
Die klassischen Differentialoperatoren der Vektoranalysis (Rotation, Gradient, Divergenz)
lassen sich in einfacher Weise durch die Operatoren des Differentialformenkalküls ausdrücken.
Spezielle Eigenschaften wie das Verschwinden der Divergenz eines Rotationsfeldes folgen
dabei aus dem Verschwinden der zweimaligen äußeren Ableitung.
$m,n mit Standardbasis und Standardskalarprodukt.
Es sei nun j lk
o
•
Ist ein Vektorfeld
o
oRs
tu
o a
qpr
n
` m o U
m n
o s
o
n
o
oRs
o
e+vg@
e+w@
e+x :
gegeben, so gilt für 8` n
a
KReN ew L exA@
ex L ev@ n ev L ewN
^_ KReA
a
K,yz1{|
z1{R
z1{R
}\… €… ‚
z1}~ z1€K~ z1‚ƒA„
„
„
z1{ 
z1{  †ˆ‡+‰Š
† z1{ |
{D‹
z1} ~ z1€ ~ z1‚
Die Koableitung ist also eine Verallgemeinerung der Divergenz.
70
•
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Weiter gilt:
man erhält also einen Zusammenhang mit der Rotation des Vektorfeldes :
!#"
•
Für .0/
) .
Aus
$&%'
,1 ,
(
)
)
*
(
21 2
,
!-
gilt:
)
,
!35476
(
folgt damit:
354<6>=?$&%'
•
)
,
1)
89 (
+
•
+
>@
)
;:
] /
I
1
N D
\
ein Skalarfeld, dann folgt mit
^ [
[
[
[
aus
1)
!-
Mit den durch das Skalarprodukt induzierten Abbildungen
C= T T
T
ACB
ACB =
@
/5D1EGFH
F LK7M(N DPO Q
F @SR
F MVU
>I#J
J
und
ACW AB
/ Q RYX /)D O
D
I
erhält man:
$&%' ACWZ A B
G
354<6 Z ZPACB Sei nun [/Y\
! ] [
! [
5
G
[
_ [
[
)
2 5
[
[
a
` )
das Verschwinden der Rotation eines Gradientenfeldes:
$&%'b=Sc$ed3
_$&%'
P [ [ [
[ @
f1 [
[
[
[
[
5
g )
)
G 2
[
5
h
!-
71
I. 5 Das affine Integral
I.5 Das affine Integral
„Die Konstruktion selbst ist eine Kunst, ihre Anwendung
auf die Welt ein böser Schmarotzer.“
Luitzen Brouwer
Es wird nun das Integral einer -Form über ein -Simplex sowie einer Form kleineren Grades
über ein entsprechend kleinerdimensionales Simplex für die spezielle affin lineare Situation betrachtet. Dazu wird zunächst eine (bis auf einen konstanten Faktor) zu der in [27] angegebenen
Berechnungsvorschrift für das affine Integral eines linearen Operators äquivalente Definition
verwendet. Da die zu integrierende Form dort allerdings im Schwerpunkt ausgewertet wird,
folgt eine weniger allgemeine Darstellung, die es gestattet, das Integral durch Funktionswerte
in den Eckpunkten zu berechnen, um so der Anwendung innerhalb eines diskreten Modell auf
Basis von in Simplexecken plazierten Größen gerecht zu werden. Schließlich wird der Satz
von Stokes für affine -Formen auf Simplizes unter Verwendung der eingeführten Begriffe
und Werkzeuge bewiesen.
I.5.1 Integration von n-Formen
Vorbemerkung (zur Definition des Integrals)
und
seien Basen von ,
und
zugehörigen dualen Basen , sei der Basiswechsel mit für Vermöge der dualen Abbildung "
#
mit
$%&
'
($"
')+*,$.
/0-21
folgt aus
4345 36(
für
A!
7348(
439&8
434:*
<;=-?>! "@
:
B
/
8C
Man erhält:
D D B
8
E
E
739 D 3 3GF I
H8JIL&
K M
N
3GF /
O H J%L K
E
L
3GF H N
B
H N8P
734 D 3 3 D 3 E
3GF 3 D 3 und es folgt:
D /
Q.RRR!Q
D ST E
3 F G
XYZ%
734 D V
3 UW
3 & \[ 3GF D Q2RRR!Q
Q.RRR!Q
ST E
734 D V
3 UW
3 F G
D C
seien die
.
!
72
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
über
müssen
ein -Simplex
ein orientiertes
!#" ein orientiertes
-Simplex,
$'& !"&)(*,+.-0/ 12)
%
Für die Definition des Integrals einer affinen -Form
nun noch lokale Koordinaten eingeführt werden. Dazu sei
-Tupel affin linear unabhängiger Punkte, also
sei das zugehörige -dimensionale Simplex,
3,435,7689:
mit
35; $'& < ;0 = & die orientierte Basis der Verschiebungsvektoren, und es sei
$'&)>?,3.4@ A8BBB5A ?,3.@ !
>)$CEDGF
eine affine -Form mit einer affin
linearen Abbildung
$F DG definiert durch
Weiter sei eine Abbildung H
H I4#I#.$'& I43,4 I#,35J
.
dann gilt mit
K $'&ML2NI4#I#.8F P
OO I#;RQ)SUTV=# W #I ;RY !Z
O
;'X 4
offenbar:
Da
>
O
W
W
[& ."& L #I ;\35; OO #I ; Q S]T^=# #I ; Y Z & H K . _
;'X 4
;'X 4
affin linear ist, gilt nun:
W
> H NI4#I#.#&)>J` #I ;a35;ab
;'X 4 &)>J` ` c W I ; b N < ;'X 4 &)>J`J` c W I ; bd W I ; ; b
;'X 4
;'X 4
& ` :c W I#; b > W I#;\>
;'X 4 ;'X 4
&)> W I#;> ; c > #
;'X 4
&)> W I ;.ef 3 ; _
;'X 4
Üblicherweise definierte man nun das Integral von über
g & g > I 4 #I #0?5I 4 ?5I H
h
ij
W I ; < ; b
;'X 4
;
durch
I. 5 Das affine Integral
im vorliegenden Fall läßt sich dieses Integral jedoch explizit berechnen:
Es
1)
2)
"!
)
,
) ) ,
#$#%'&
( )+* ( )+* . 0/
. 21
werden zwei Zwischenbehauptungen
bewiesen:
%
:
gilt:
Für 3 54
678/
"9 #%'& )+*0: )-,
0 :
%
&;% %
0
3
0 >=
1
<
72/ <
&
3 4 -malige Integration:
Beweis:
A
A
7
/ "?
)-, HJI
"? # %@& )+*0A )-,
#
'
%
&
II +
)
0
*
A
0
A
II
&
&C% EDFF
0
0
FF
*
0
K
? L"M
B
<
B< A
FG
)-P
%@& )+ *0A
ON :
)+,
B<
"9 # %'& )+*0:
0
:
C
&
%
Q
0
3
0 : <
"9 R"M %'& )+*0: ) P
:
N
3
%@&
% <
%
S 1
%
7
<
T
U
7
/
<
:
Für 3 54
gilt:
)-,
6 "9 78 / # %@& )+*0:
WV
)
) :
)+*0( : & 0
:
:
4
3
.
W
0
P
P
0
%' & )+ *0: < )
%'& )+ *0: )
)
)
:
0
( )+*0 :
&C
%
EN
N
3
3
=
. 0 0/
. X1
<
<
73
74
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beweis:
'
* )
(
# + "!$#&%
- ( *) ,
"!$#&%
465 5
5
5
5
3
#&%
.0/1
1 1
1
12
'
( ) #
#+ ;:
7
*8
9 Die beiden Summanden werden getrennt berechnet:
-
( *) "!$#&%
< =
,
#+ ">@?A>
( ) "!$#&%
BC
C
CD
,
/1
1
12
,
< E
?F>
G#&%
< M
?
%
#+$>
4 5 5
5
I@J
J
J
H >
"!$#&% K
( ) # 7
L (
*)
#
und
4 5 5
5
5
5
/1
12
1
1 1
3
#&%
'
$( ) #
7
8
9 ,
< *
?
G#&%
'
( *) # :
75
I. 5 Das affine Integral
Unter Verwendung der Zwischenergebnisse 1) und 2) folgt nun:
!# "
.
*
*
* $%$&('
) *,+ ) *,+ / 0 8 / 1
!# 5
*.9 &7' *, +8
&
8
6
&
: / 0
/ 230 4
!5
*.*
* 8
$ &7'
)
,
*
+
8
)
,
*
+
8
0
/ = !#<
*.9
&7' *, +=
&
8 =
6
&
> / 10;/0
/ 230 4
4
!<
**
* =
$&7'
)
,
*
+
=
)
,
*
+
=
/ & 0 *
& ) *,+ / A@
2?0 4
Man erhält damit also eine Berechnungsvorschrift für das Integral einer affinen -Form über
ein -Simplex, die nur von den Werten der affin linearen Funktion
in den 2 Eckpunkten
2
dualen Basis zu der
des Simplex
abhängt. Allerdings muß dazu die -Form B bezüglich der
2
durch die Eckpunkte gegebenen Basis des Vektorraums
C dargestellt werden. Daher wird nun
18
zunächst eine allgemeinere Definition des Integrals angegeben, die anschließend in obigem
Sinne spezialisiert wird:
Definition 1
&
Es sei
ein orientiertes
-Tupel (nicht notwendigerweise affin linear un
/
1
/
D
E
2
0
abhängiger)
Punkte in F
und G
HIF eine konvexe Menge maximaler Dimension
mit
J
HLG .
&
/DasIntegral
/ DK einer -Form BNMPO G über das orientierte
-Tupel
ist
2
Q
2
0
/
1
/
D
definiert durch:
R.STU V V V U S W
18
BYX &
214
&
$ ) *,+ B
230
&
* -[Z]\
/
\
/ / / / _^ @
Diese Definition stimmt bis auf einen konstanten Faktor mit dem Integral eines linearen Operators in [27] überein.
76
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Bemerkung
Im Fall
verschwindet das Integral, da für nicht affin linear un
abhängige Punkte
die Vektoren linear abhängig sind und damit
die auf diesen Vektoren ausgewertete alternierende Multilinearform verschwindet.
Spannen dagegen
ein -Simplex auf, so ist
&%('
)
$
#
"
!
"
das Baryzentrum, und es gilt für %:9
<;=
*,+.-0/2135
4 687776 153 4
mit 3
+.-
?> -
:
"
@
*H- I * 5 J 5 K
"
$# "
!
ABCD E E E D BFG
"
- I
/ 7 3 L
4 6:7776 3 4 3 3 $# "
"
!
"
- $# I
/ LM
"
!
"
Dieser Zusammenhang legt im Sinne der Vorbemerkung und eines diskreten Modells mit in
den Eckpunkten der Simplizes plazierten Werten nahe, das Integral einer -Form über ein
orientiertes -Simplex unter Vermeidung der Auswertung im Schwerpunkt zu definieren. Das
2# betrachtete
-Tupel muß nun also ein -Simplex aufspannen und die zu integrierende
-Form bezüglich" der durch die Eckpunkte des Simplex gegebenen Basis des Vektorraums
N
dargestellt werden:
Definition 2
Es sei
$# •
ein orientiertes
-Tupel affin linear unabhängiger Punkte in O
'
>
• 3 +.für und "
; +. ) "
•
.
Das Integral von
%:9
<;=
*,+.-0/2153L
4 687776 153 4
'
)
über das orientierte -Simplex
ist definiert durch
@
*S+.- $# I / T LM
"
!
PQABCD E E E D B5FGQR
'
"
V
TWXWZY )
;
Für U
ist das Integral über ein orientiertes U -Simplex
in
@
*S+.-`_ M
PQA[\CD E E E D [^]TGQR
,
definiert durch
77
I. 5 Das affine Integral
ist , , !
-, 01 023
,/.
"$#&%('*)$+
Bemerkung
Im Fall
und damit
4 1 (576767685 9:<; ein orientiertes -Simplex in . Weiter sei
=> > 4 576767675 9 ;@? = 4 576767685 9 ;A0 4 = 1 576767685 = 1 9 <;0 > CBED eine bijektive affin lineare Abbildung und 29: B .
Dann gilt:
!
! =L
3
"$#&FG#&%('*)IH J J J H FG#&%(K7)&)$+ "&#&%('<H J J J H %/KA)$+
Lemma 1
Es sei
1 (576767685 9: ein orientiertes 1NM , -Tupel in , OP > S 576767675 und > T
VU R LWYXZ7Z7Z[X U R 9L 9 \ B .
,
Dann gilt:
9
!
^
1]M , 0 = * P <
, . P`_
"$#&FG#&%('*)IH J J J H FG#&%/K8)&)$+
9
^
1]M , 1ba = A1 P ! , . P`_ = WL XcZ7Z7Z/X
1Va GU O
"&#&% ' H J J J H % K )$+
Q P , R P > = * Q = 1 P Beweis:
Es sei
U O 9L !
"&#&% ' H J J J H % K )$+
für
= L 3
d
Folgerung
Das Integral ist wohldefiniert, da es invariant unter geraden (also zulässigen) Permutationen
der Eckpunkte des orientierten Simplex ist.
Für orientierungserhaltende Permutationen der Eckpunkte des -Simplex
, also
bijektive, orientierungserhaltende affin lineare Abbildungen
4 1 576767685 9 <;
=> e 4 75 6767685 9 ;0? 4 = 1 75 6767685 = 1 9 <;0 = 0f
!
erhält man:
Ist
=
"$#&%('<H J J J H %/KA)$+
!
!
"$#&%('<H J J J H %/KA)$+
=@L !
"&#&FG#&%('*)IH J J J H FG#&%/KA)$)$+
3
! = L hg !
h
g
3
"$#&%('<H J J J H %/KA)$+ "$#&%('<H J J J H %/K8)$+
$" #&FG#`%('*)IH J J J H FG#`%/K8)$)$+
orientierungsumkehrend, so gilt:
78
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
! #" für $ .
Im Fall % , also &'& , gilt mit
( & ) *( ! &+" ) ! #" & ) ! #" $-, und dem Basiswechsel .0/ 21-31 mit .0/ ( 4 *( für $5, :
6879(:;<>=
=
=!<?79(@: ABC+. / E*( D + @GF DIH ; =687J*( :;0<=
=
=!<87K*( @:
: R
LNM#O9PQ =687J*( :; <>=
=
=!<87K*( @S
Das Vorzeichen einer bezüglich der entsprechenden Basen dargestellten -Form ändert
sich also genau dann, wenn orientierungsumkehrend ist und somit die Orientierung des
?T , -Tupel U & @ ändert. Es gilt: U
6879( :;<>=
=
=!<879( @: 6c7K*( :;<>=
=
=9<87J*( @:
V XW!Y F Z Z Z F W![ "G\
] W!^N_`Ya F Z Z Z F W9^N_`[+a +b
U
6c79(:;<>=
=
=9<879(@: R
LNMXO!PQ ] W ^N_ Ya F Z Z Z F W ^N_`[+a +b
Es reicht, die (ungerade) Permutation
d ! ! @ S ; & f @ &+"
"e
zu betrachten.19 Für die Vektoren
( & ) *( ! &+" ) ! #" $-, Beweis: (Siehe dazu auch Teil b) der Bemerkung auf Seite 52.)
Sei
eine Permutation mit
1)
2)
gilt also
und somit
Es folgt:
T ( @
*( ; *( @ 0SNg ( ; g ( ; Th( f g ( ; h
79( :; Sg 7J*( :; g =
=
= g 7K*( @: 97 (: 7J*( : $ji R
U
6879(:;0<=
=
=!<879(@:
V XW Y F Z Z Z F W [ "G\
U
6c7K*( :;<=
=
=!<87J*( @:
] W ^N_ Ya F Z Z Z F W ^N_`[+a +b
U
+g 6 = +g 7J*( :; g =
=
= g 7K*( @: <87K*( f: <>=
=
=9<87J*( @:
] W ^N_ Ya F Z Z Z F W ^N_`[+a +b
U
6c79(:;<=
=
=!<879(@: R
Sg
] W ^N_ Ya F Z Z Z F W ^N_`[+a +b
Da sich eine beliebige Permutation der Eckpunkte mit ! &+"lm
k & als Verkettung einer
Permutation der letzten
Punkte, einer Vertauschung der ersten beiden Punkte und
einer weiteren Permutation der letzten Punkte darstellen läßt und das Vorzeichen der
Verkettung der Permutationen das Produkt der Vorzeichen der Einzelpermutationen ist,
folgt somit die Behauptung.
n
19
Vgl. Bemerkung auf Seite 52, Teil b).
I. 5 Das affine Integral
Definition 3
Gegeben seien orientierte
79
-Simplizes
!#" $ " % ' &)( mit
und paarweise nicht maximaldimensionaler Schnittmenge, also
,* +.- %/ 10,24 3 ( 57698$: <;= 3 6?>
@ &( eine konvexe Teilmenge mit BADCFEEEC9HG & @ &I( .
Weiter sei
@L2 über M ! A CFEEEC9 G ist definiert durch
Das Integral von J 8$K G N
N
J ! P0RQ A S?TVU J >
O
W
Bemerkung
Es gilt folgende Linearität:
N -YX A [A Z X \ \ 2 X A N DA Z X \ N \^] A \
J
J <8 K @ X A X \ F8 _>
J
J
J
J
O
O
O
I.5.2 Integration von r-Formen kleineren Grades
- =c 2 &d(
-` Z 2
!eY cf dghij : c ; &)(
das von diesen Punkten aufgespannte ` -dimensionale Simplex. k &dl sei der von den Vekw=xv w syo{z[u|oqqqo } aufgespannte } -dimensionale Untervektorraum
toren mnpoqqqo mr mit mps[t!u
von ~ . Für die affine Hülle von  gilt somit:
€,.‚ „ƒDu… w xD†ˆ‡Š‰‡Œ‹Ž u w x†‘“’
w=x w
Weiter sei •”–t!u— ‚ oqqqo rƒ˜ eines der beiden zu  gehörenden orientierten } -Simplizes
‹ … † |oš›|  . Damit ist auch auf der Basis œ$t!u ‚ m n oqqqo m r ƒ von
einer Orientierung ™
miteine
ž ~ zu einem orientierten
Orientierung ‚ œ%o™ƒ festgelegt, wodurch der Unterraum
Vektorraum wird. Die Basis œ sei zu einer Basis ‚ mnoqqqo mŸƒ von ~ ergänzt, und es sei
  .
• ¡ eine maximaldimensionale
konvexe Teilmenge mit 
Nun läßt sich mit der zu ‚ mnoqqqo mŸƒ gehörigen dualen Basis ‚ m¢n oqqqo mŸ ¢ ƒ eine beliebige
} -Form £ ‹¤ r ‚  Lƒ schreiben als
£¥u ¦
¨ ª° ± ± ± ° ¨ ®5²m ¨7¢ ª=³<´´´³ ²m ¨7¢ ®
n §©¨7ª«5¬ ¬ ¬ «­¨7®§yŸ=¯
mit affin linearen Abbildungen ¨ ª° ± ± ± ° ¨ ®4tµ =¶¸· für |º¹» n›¼ ´´´ ¼ » r ¹½ .
¯
`ba Vorbemerkung (zur folgenden Definition des Integrals)
Mit
sei
ein
-Tupel affin linear unabhängiger Punkte und
80
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Vermöge der Inklusionsabbildung
Es gilt:
! " "$ # &% - " #
falls
falls
läßt sich
nach
zurückholen.
')(+*,
')./*,
;< 3>= ? ? ? = < 8@ A3BDCECEC$B A8 F; 1= ? ? ? = " # BDCECEC$B " #
102431576 6 6 524810:9
G
I
:
H
K
J
M
N
M
1
Q
Diese * -Form „lebt“ auf
, ist also auch über L
,EOEOEOP,
integrierbar. Man
setzt naheliegenderweise:
R
R
#
]
SUTWVYX = ? ? ? = V 8[ZU\
SUTWVYX = ? ? ? = V 8ZU\
G
also gilt für die zurückgeholte Form
# Definition 4
Es sei I^`_a] L MN ,EOEOEOP, M 1Q ein orientiertes * -Simplex in und " < ] MNEb M < ,!c ed ,EOEOEOP,`* .
Basis von f und IH!ge eine maximaldimensionale konvexe
Weiter sei " ,EOEOEOP, " 9 eine
Teilmenge mit h]ji I^1_EiagkIH .
Das Integral von
1 02A3>576 6 6 52A8>0l9 ; A3>= ? ? ? = A8 "mA# 3 BDCECECYB m" A # 8onDp HWr
$q
über I^1_ istR definiert durch
d ; 1= ? ? ? = M < ]
*xw dy`z < N
sut[v
G
Bemerkung
a) Im Fall
* R-
{; n+p N IHU
d ;!MNy+;!MNy
]
dYz
SUTWVYX ZU\
G
setzt man für
:
| : | i s}~ L M N ,EOEOEOP, M Q! L| M N ,EOEOEOP,P| M 1 Qa
im Fall der Orientierungserhaltung
R
R auf die Gleichung
R
| # SUTWVYX = ? ? ? = V 8[ZU\
SUTWVYX = ? ? ? = V 8[ZU\
SWTWlTWVYX Z[= ? ? ? = lTWV 8ZWZU\
und im Fall derR Orientierungsumkehrung
R
R
ƒ‚
| # ƒ‚
SUTWVYX = ? ? ? = V 8[ZU\ SUTWVYX = ? ? ? = V 8ZU\
SUTWlT]VYX Z[= ? ? ? = lT]V 8ZUZU\
Es gilt:
R
R
R
[„ w „>… …E!/„ w „1… …‡† ,ˆ …
s tUv
s tUv
s tUv
F mit
| a€
b) Wie oben gilt für bijektive affin lineare Abbildungen
c)
G
nDp WH r , „ , „1… nK‰
$q
G
Diese Linearität vererbt sich auch auf das im Anschluß an diese Bemerkung definierte
Integral über Vereinigungen orientierter Simplizes.
81
I. 5 Das affine Integral
Definition 5
Gegeben seien orientierte -Simplizes
"! # !$ &%(' $
und paarweise höchstens ) +* -, -dimensionalen Schnittmengen , es gelte also:
. 0/21#3 $5468 7 / :9; < ) >= @? ,BA :C
D %' eine konvexe Teilmenge maximaler Dimension mit
Weiter sei
FEBG5HHHG2JI % D %K' C
D , über N E GOHHHG2 I ist definiert durch
Das Integral von L 1#M )
I P
P
L R?TS6E UWVYX L C
Q
Z
mit
20
I.5.3 Der Stokessche Integralsatz auf k-Simplizes
Bezeichnung
•
•
•
•
•
•
[5\^] ' [ 6c,
_
,
]@`ab`[ )
)a:d
'
fe ) c ,g
a
h! !jihkmljn-opppo$l6qr c
i l nv l
ixopppoy {
„‡†‰ˆ‹ŠBiKl nŒ z
z u iK|}>~-€ s‚ opppo s qƒ ˆ‘~…Ž
ˆŽ6^ st6u t w
ˆ
† s ‚ opppo s qo s q’ ‚ opppo s“ Š
” † s‚• opppo s“• Š
Für
sei
ein -dimensionaler Punktraum mit zugehörigem Vektorraum .
Für
sei
ein orientiertes
-Tupel affin linear unabhängiger
.
Punkte in
sei das von
aufgespannte orientierte -Simplex, und
.
es sei
Es sei
für
und
, also
.
sei eine konvexe Teilmenge maximaler Dimension mit
.
sei eine Basis von und
die duale Basis.
Lemma 2
Es sei
–
ui
—
t š ¡ ¡ ¡ t ž-š¢ s t• šj£5¤¤¤£ ¢ s t• ž-š¦¥5§ q ¨ ‚ © ˆ «ª
‚˜™t š›œ œ œ ›™t ž-š˜ “jŸ
eine †y­¬^x-Š -Form auf ˆ  mit affin linearen Abbildungen
t š ¡ ¡ ¡ t ž-š8u ˆ ™®°¯ o¦x&± w ‚¦² ¤¤¤ ² w q¨ ‚ ±(³5´
Ÿ
Dann gilt: µ
–
º
q
º †¿l º Š6¬
º †¿l6n-Š¿ÀO´
x
¨
½
‚
¼
i
—
T
º
»
†
:
¬
x
Š
q
q
¢
y>¹ ‚
¶W·m¸
Ÿ ‚ ¡ ¡ ¡ ¾ ¡ ¡ ¡ Ÿ ‚ ¡ ¡ ¡ ¾ ¡ ¡ ¡ ÃÑÐ
Ð Æ
Ò ÊÉ×ØÅÇÆ-ÈÉÅjÊ
Á>Í«Ã2Ù>Â Ú&Ä ÛÏ ÅÇÆ-ÈÉÅBÊ
Ô Æ
Ò ÊÝÜ:Þ Ë0ÌÎÍ ÅÇÆÈÉÅjÊTÏ Æ Ò ÊÎÓÕÔÖÆ
Ò Ê
20
Für
höchstens
ist
also entweder leer oder es ist
-dimensionalen Untervektorraum
.
für ein
(S1)
und einen
82
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
Beweis:
Aus
mit
$%
DBE
%
E
87:9;<7
9?
= > <7
= >A@B@B@C> <7
= !"
- . / / / . - !"
&
F
!"#
)' ,* ( +- . / / / . - !"0
2 1 ' 1"3
465
KLNM OQP
erhält man vermöge der Inklusionsabbildung G6H
I;J
die zurückgeholte Form
KLTVUW KL
= A R <S
G
I;J
mit
$%
DBE
E
%
87;9:<7
9Y
= > <7
= >Z@B@B@C> <7
= !"
. / / / . - !"
&
F
!" )' *,( +- . / / / . - !"0
21 ' 1"
4 5
6
9ba 8
;
7
;
9
]
`
^
C
_
<7
= >AcBcBc"> <7
`
= d
. / / / . '\ . / / / .
9)[ 465
Für das Integral über das e -Simplex gilt:
f
f
f
9la
X
87 9 ]^V_C <7 = >A@B@B@C> <7 =
= .
/
/
/
.
\
.
/
/
/
.
'
G
9b[ gih2j
gihkj
gihkj
4 5
$ D
_
9la _C &
F
. / / / . ' \ . / / / . 87;9;]^V_"
_Con e`m
b
9
[
e`m
465
_
9la qpBr
^V_C
8wx9;]^ r
8wzyB8{ d
s t t t sv9 u s t t t s s t t t sv9 u s t t t s n 9b[
e
G
=BX
|
^Z_"
Um nun die Gleichheit des Integrals einer e
-Form über den Rand eines e -Simplex (also
^A_"
eine Vereinigung von e
-Simplizes) und des Integrals der äußeren Ableitung dieser Form
über das gesamte Simplex zu zeigen, wird die durch die Orientierung des Simplex induzierte
Orientierung des Randes benötigt.
Definition 6
Eine orientierte Seite des orientierten } -Simplex ~o€ ist ein orientiertes Simplex
€ ‚v„†…"‡"ˆz‰"ŠB‹B‹B‹,ŠbŒˆ  ŠB‹B‹B‹,Šoˆ]BŽzNŠ‘“’•”"–
ŠB‹B‹B‹BŠ }q—V˜
~ ƒ
Eine orientierte Seite ~ € „™…š8ˆz›œ,ŠB‹B‹B‹,Šoˆ]›Bž für ”"Ÿ8 "ŠB‹B‹B‹,ŠoŸ8 — „¡”"–
ŠB‹B‹B‹ }¢—C£ ”b — heißt nach
außen orientiert, wenn die š }¥¤¦ ž -Tupel š2ˆ  Šoˆ › œBŠB‹B‹B‹,Šoˆ › "ž und š8ˆ]‰CŠB‹B‹B‹,Šoˆ]<ž die gleiche
Orientierung haben; andernfalls heißt ~ € nach innen orientiert.
Der nach außen orientierte Rand §¨~€ von ~€ ist die Vereinigung

©
§¨~ € „
~  €
bª ‰
der }«¤¬¦ nach außen orientierten Seiten ~ € von ~€ .
Bemerkung
Für das orientierte } -Simplex …š8ˆ ‰ ŠB‹B‹B‹BŠoˆ]Cž ist die orientierte Seite …š8ˆ ‰ ŠB‹B‹B‹BŠ Œ ˆ  BŠ ‹B‹B‹,Šoˆ]<ž
nach außen (innen) orientiert, falls  gerade (ungerade) ist.
83
I. 5 Das affine Integral
Lemma 3
#('
"#%$ & ! )* # 0/ # 1& * # 0/320465
+ , , , +.- + , , , + + , , , +.- + , , , + ! wie im letzten Lemma definiert. Dann gilt für das Integral von
Es sei
:
den nach außen orientierten Rand von
über
(S2)
Beweis:
Es sei
#
#
#DC
#
8790/12;:<<<=:%>/ :<<<:?/1;@A:B FEE EE :HGIKJL:<<<: 5
#
#DCONQP # G nach innen orientiert.)
(Damit ist für gerades G nach außen und für ungerades
#
SR TVU zurückgeholten & Nun werden die mittels der Inklusionsabbildungen M
betrachtet: NQP
Formen MXW
N;b
#
#
!\ ist ]/ 2A^`_9a Zdc :<<<=:fc e :<<<:?c; \ , also gilt:
1) Für GY[Z :<<<=:
# * #
#
M W + , , , +.- + , , , + Ag c AW hiii;hkNQjg P c W hiii;h g c W 5
Y2o8/ ^qp 2 mit
2) Für Gl8J , also Y2mn7X/ :<<<=:?/1O@ ist
C NdbSsut
t
pr2 _9a Ndb s / /1t vd:<<<: / t /1!w
t
t
)
)
_9a Ndb / /12 ^ /12/ v=4 :<<<: / /12 ^ /12/ 4w
_9a ZO&oc ^ c;v?:<<<:9&oc ^ c;; \ 5
C
Durch die Zuordnung21
x # C ]&oc : #
x ]
&oc ^ c :yGI[zL:<<<: erhält man:
& g x W & iii & g x W :
g c W ]
g c { W g x {W :A1| KzL:<C1<NQ<P : 5
}mR T~U gilt
Mit der Inklusionsabbildung M
M!€M 2 M 2[ M W2 ] M!€M 2 W M W2 €M W :
Ndb
und unter Verwendung von
Ndb
p 2€ _9a ZO0c v &‚c ?:<<<=:0c &‚c \ _9a Zdx v :<<<=:?x \
21
Vgl. Teil b) der Bemerkung auf Seite 52.
84
I Ein diskreter Differentialformenkalkül
folgt:
! " " " ! #%$ '&)(*(*(+&
#%$ ,-
! " " " !21. ! " " " ! 3
./0
7
0 !"""!
0 &8(*(*(+&
#%4
! " " " ! . 1 ! " " " ! :9 3
./0
7
0 !"""!
3:=
#%4 <
. ;
.> &
./ (*(*( 3
#%4
0 &8(*(*(+&6#%
5 4 . &)(*(*(%&
#%4
&
0
#%4
&)(*(*(+&6#%
5 4 . &)(*(*(+&
,-
#%4
#%4
#%4
#%4
! " " " !21. ! " " " ! 3
#%4
0 &8(*(*(+&
#%4
#%4
0
?
:
#%4
&)(*(*(+&
Unter Verwendung der orientierungsabhängigen Vorzeichen22 erhält man somit für das Integral
von über den nach außen orientierten Rand von @BAC :
D
D
3:=
./ F
EFHGJI
K
L
GJI
R .> =
.> / 3:=
! " " " !21. ! " " " ! S
,-
.> ZY
! " " " !21. ! " " " ! S
3:=
7
7
3:=
.
U L
U K
! " " " !21. ! " " " ! S
R
T TV
! " " " !21. ! " " " ! S
U L
U K
]
! " " " ! . 1 ! " " " ! S . [3\ ! " " " ! . 1 ! " " " ! S
./ .
T
TV
OQP
./ R ./ OQP
#%$ 8
5 #%$ .N
& M*M*M&
R
R
! " " " !21. ! " " " ! #%$ &8M*M*M&
R
W
3:=
OQP
.
GJI
./ / =
K
3:=
OQP
3:=+
./ F
=
D
7
F
. GJI
D
.
?
,*X
-
^
Bemerkung
O
c
Im Fall _= ist @`AC ba
S S d und egfihjlknmoqpBrts .
Damit ist pBm uv fxwoy'z*s{ nach außen und p`z uv fxwoy m s{ nach innen orientiert, und man erhält:
|
|
ef
}H~€
22
|
o%zŽs
‚Jƒt„…‡† „+ˆ‰JŠ‹Œ
€
z
Vgl. dazu Teil b) der Bemerkung auf Seite 80.
o%zŽs'f’h‘oy'z*s[“\h‘oy m s‘f
f
‹‘Œ
e`•
” }H~J
I. 5 Das affine Integral
85
Aus (S1) und (S2) folgt nun (zusammen mit obigem Sonderfall) :
(Stokesscher Integralsatz auf -Simplizes)
sei ein -dimensionaler Punktraum, ein orientiertes -Simplex in ,
eine konvexe Teilmenge maximaler Dimension mit und !#" .
Dann gilt: $
$
Satz 1
Für %'&)(+*
,
- %'&#(
.
II Stückweise affine r-Formen
„Daten ohne Verallgemeinerung sind nur Klatsch und
Tratsch.“
Robert Pirsig
Nachdem im ersten Kapitel affine -Formen auf konvexen Teilmengen affiner Punkträume
und speziell auf einzelnen Simplizes untersucht wurden, wodurch sie als eindeutig bestimmte
affin linear Interpolierende in den Eckpunkten der Simplizes den Übergang zu diskreten Daten
ermöglichen und damit Grundlage des diskreten Modells sind, werden nun stückweise affine
-Formen auf endlichen Simplexpolyedern betrachtet, also auf Vereinigungen endlich vieler
aneinander grenzender Simplizes gleicher Dimension, die (zusammen mit ihren Untersimplizes) als Simplizialzerlegung ihrer Vereinigungsmenge einen Simplizialkomplex bilden. Die
Stetigkeit der stückweise auf jedem Simplex definierten Abbildung ist in natürlicher Weise
durch die Werte in den Eckpunkten gemeinsamer Seiten garantiert und vererbt sich auf die
stückweisen äußeren Ableitungen als Tangentialstetigkeit. Umgekehrt läßt sich unter Voraussetzung
einer der Tangentialstetigkeit ähnlichen Bedingung an lokal definierte konstante
-Formen auf den einzelnen Simplizes sowie des einfachen Zusammenhangs des Simplizialkomplexes die Existenz einer durch stückweise Integration konstruierbaren simplizialen
Stammform zeigen, also einer stetigen stückweisen
-Form, deren äußere Ableitung auf jedem
Simplex der entsprechenden vorgegebenen -Form entspricht. Man erhält auf diesem
Weg eine diskrete Version des Poincaréschen Lemmas für stückweise konstante Formen auf einfach zusammenhängenden Simplexpolyedern.23 Betrachtet man simplizial
Simplizialzerleaffin lineare -Formen auf Simplexpolyedern bezüglich vorgegebener
gungen, also stetige Abbildungen, die sich aus stückweise definierten -Formen auf den
einzelnen Simplizes zusammensetzen, so genügt der einfache Zusammenhang im allgemeinen
nicht mehr. In diesem Fall läßt sich eine diskrete Version des Lemmas von Poincaré unter
Voraussetzung der Geschlossenheit der lokal definierten Formen und der Sternförmigkeit des
Polyeders bezüglich eines Eckpunktes zeigen.
II.1 Simplizialzerlegungen
„Es gibt einen sehr guten Ausspruch, wonach Dreiecke,
wenn sie einen Gott erfunden hätten, ihn dreiseitig gemacht hätten.“
Baron de Montesquieu
Es wird eine an die vorliegende Situation angepaßte Definition einer Simplizialzerlegung
eines Simplexpolyeders vorgestellt. Da ein endliches diskretes Modell das Ziel ist, genügt es,
sich auf endliche Simplizalkomplexe zu beschränken; desweiteren ist es im Hinblick auf die
für die Modellierung in Betracht kommenden Teilmengen affiner Punkträume angemessen,
Grundsimplizes gleicher Dimension zu fordern. Die hier (zum Teil in spezialisierter Weise)
eingeführten, ebenso wie ohne explizite Definition Verwendung findende Begriffe (konvexe
Zellen, Zellenkomplexe, Zellenhülle, etc.) lassen sich Büchern über Topologie24 entnehmen,
wobei die Bezeichnungen dieses Kapitels speziell an [11] angelehnt sind.
23
24
Eine vergleichbare Methode zur Konstruktion von Spline-Funktionen durch Integration findet sich in [15].
Vgl. z. B. [2, 11, 12]. Für Kantenwege und deren Deformationen sei speziell auf [31] verwiesen.
88
Im folgenden sei
ein -dimensionaler Punktraum und
.
Parallelverschiebungen
$
#
&
'
%
!
(
) ) * ,+,
Definition 1
Eine endliche Menge
(endlicher) Simplizialkomplex, wenn gilt:
•
•
II Stückweise affine r-Formen
der zugehörige Vektorraum der
von Simplizes
heißt
Mit jedem Simplex ist auch jede seiner Seiten in
enthalten.
Der Durchschnitt zweier Simplizes in ist entweder leer oder eine gemeinsame Seite.
"! (
Unter den Grundsimplizes von
versteht man die Simplizes
, die selbst nicht Seite
eines
sind.
heißt homogen -dimensional, wenn alle seine Grundsimplizes -Simplizes sind.
Unter dem Körper (der geometrischen Realisierung) von
versteht man die Vereinigung
aller seiner Simplizes als Punktmengen:
Bemerkung
a) Gemeinsame Seiten zweier Simplizes können dabei je nach Bezug eigentlich und uneigentlich sein. So ist der Durchschnitt eines Simplex mit einem seiner Untersimplizes für
letzteres eine uneigentliche Seite.
b) Der Körper eines Simplizialkomplexes ist die Vereinigung seiner Grundsimplizes, da jedes
weitere Simplex als Seite eines Grundsimplex bereits in der Vereinigung enthalten ist.
.1324524 ./ ) ) 0. 6
. .
Definition 2
heißt Polyeder, wenn es einen Simplizialkomplex
gibt, dessen
Eine Teilmenge
Körper
ist, wenn also
gilt.
heißt dann Simplizialzerlegung von .
heißt ein Polyeder
-dimensionales Simplexpolyeder oder kurz
Für
-Simplexpolyeder, wenn es eine homogen -dimensionale Simplizialzerlegung von
gibt.
7
.
8
:
.
9
.;<. >= = . 9 .
Bemerkung
a) Sind
die
-Simplexpolyeders
-dimensionalen Grundsimplizes der Simplizialzerlegung eines
.
.
#
?
@
2
B
C
A
@
2
E
D
F
H
;
G
A
IJ4KFL
. NMJO P O Q R.#SNMTO P # O U# Q V.WX2Y8AZ2YDE"VG A
# #
[3\]
^O P O _ ^O P # O # `H2a P
^O P O b_
^P O P O H
^c cUdT e ! ^1'?Kf
.: g_Z. # H Mhc # c d Q - #
^O P O U_3
^O P O ai
. _Z.#jYi -
so ist die Schnittmenge zweier Simplizes
stets entweder leer oder ein höchstens
Grundsimplizes
eines
(1)
und
für
-dimensionales Untersimplex. Für zwei
-Simplexpolyeders gilt also:
.
(2) Falls
Falls
für
, so gilt:
, so gilt:
89
II. 1 Simplizialzerlegungen
b) Aus dem Pflastersatz25 folgt, daß jede Simplizialzerlegung eines
homogen -dimensional ist.
-Simplexpolyeders
Definition 3
Es sei
! "
#%$& * $&')( *,+.$& $&'&/0 1!
*65879!
3
2
4
/
$;: < $&:= >?$&: $&:= @ / A
#%$ $&'B(
$ $&' E
C
D
%
#
$
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'
(
C #%$ CG F $& :H $&@ : $& := $&')(I5KJL#%$ $&:9H $&:= $&')( C;F
C >?$ #%$&:9H $ : $ $ : : =$ := / $ ' (MI51JONP$& $ : 1Q $ := $ 'BR C;F
C S$ #%$&: $ := $ :9Q9H T / $ : $ := $&')(MI5KJU#%$& $ :9H $&')( C;F
C $&#%:9$ H $&$&:: = $&:= $&'B(I51J N $ $&: Q $&: $&:= $&'BR C;F
C S $ #%$&: 1 $Q9T3 / $ ' (;I51JV#%$ $ ' $ ( C;F
*W+X $& $& ' C Y
:
$& : $&' Y
#%$& $&'B(
#%$ $&')( -
ein -Simplexpolyeder, wobei
plizialzerlegung
von
seien.
Simplizes (Eckpunkte) in .
die
-dimensionalen Grundsimplizes einer Simsei die Menge aller nulldimensionalen
a) Eine endliche Folge
mit
von Punkten
heißt Kantenzug (der Länge ) in , wenn jeweils zwei aufeinanderfolgende Punkte die
Kante eines Simplex aufspannen, also wenn für alle
gilt:
und
b) Ein Kantenzug
heißt geschlossen, wenn
c) Eine elementare Deformation eines Kantenzuges
Kantenzug
in
ist eine der folgenden Abbildungen:
ist.
in
in einen
•
,
für
,
•
,
für
,
•
,
für
,
•
,
für
,
•
falls
d)
e)
und
(also
,
geschlossen) ist .
heißt zusammenhängend, wenn es für je zwei Eckpunkte
in
mit
und
gibt.
einen Kantenzug
heißt einfach zusammenhängend, wenn
zusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Kantenzug
in
durch Anwendung endlich vieler elementarer
Deformationen in einen Kantenzug der Länge überführen läßt.
Bemerkung
Die obigen über Kantenzüge eingeführten Zusammenhangsbegriffe für Simplizialkomplexe
sind äquivalent zu den topologischen, sich auf Polyeder als Körper der Komplexe beziehenden.
Für den Zusammenhang läßt sich diese Äquivalenz recht einfach zeigen, wogegen für
den einfachen Zusammenhang, also den Nachweis der Isomorphie der Fundamentalgruppen
simplizialer Komplexe und der Fundamentalgruppen ihrer geometrischen Realisierungen Sätze
über simpliziale Abbildungen, simpliziale Approximation und Unterteilungen simplizialer
Komplexe erforderlich sind.26
25
26
Vgl. [11].
Vgl. dazu etwa [2].
90
II Stückweise affine r-Formen
II.2 Simpliziale r-Formen
„Das Universum besteht aus dem fortgesetzten Verschwinden aller Mengen der Möglichkeiten bis auf eine.“
David Cottingham
Simplizial affin polynomiale -Formen auf Simplexpolyedern sind stetige stückweise auf den
Grundsimplizes definierte Abbildungen. Im affin linearen Fall sind auf jedem Simplex der
Simplizialzerlegung affine -Formen durch ihre Werte in den affin linear unabhängigen Eckpunkten eindeutig bestimmt. Setzt man in gemeinsamen Eckpunkten verschiedener Simplizes
gleiche Werte voraus, so erhält man eine stetige Abbildung auf dem gesamten Simplexpolyeder, deren Einschränkung auf jedes Grundsimplex eine affine -Form ist. Die äußeren
Ableitungen dieser -Formen stimmen dabei tangential in Richtung von Vektoren auf gemeinsamen Seiten überein. Unter stärkeren,
dieser Tangentialstetigkeit ähnlichen Voraussetzungen
an stückweise definierte konstante -Formen lassen sich umgekehrt stetige simpliziale
Stammformen konstruieren, wodurch man eine Verallgemeinerung des ersten Spezialfalls des
Lemmas von Poincaré auf einfach zusammenhängenden Simplexpolyedern erhält. Für den
zweiten
also simplizial affin lineare und damit auf gemeinsamen Kanten ste Spezialfall,
tige
-Formen, ist mit der Sternförmigkeit des Polyeders bezüglich eines gemeinsamen
Eckpunktes aller Grundsimplizes eine stärkere Voraussetzungen für die Existenz einer simplizialen Stammform erforderlich.
II.2.1 Grundbegriffe
Definition 1
Es sei
ein -Simplexpolyeder mit einer Simplizialzerlegung
Eine simplizial (affin) polynomiale r-Form vom Grad
Abbildung #%$ &('
"
!! .
und Grundsimplizes
auf
bezüglich
ist eine stetige
+) *-, !
./die
0 Einschränkung
die auf jedem Simplex
einer affin polynomialen -Form vom Grad " ist.
# .4 78maximaler
%. 4 5
.!61 %. 4 !+!32 gibt es also eine konvexe Menge
9 %. 4
Für jedes Simplex
) , so
Dimension
mit
sowie eine affin polynomiale -Form
daß gilt: # . $ # .4 : # : $ .<&='
) * ,>
;
;
simplizial affin
lineare -Form, also eine
Eine simpliziale r-Form auf
bezüglich ist eine
simplizial polynomiale -Form vom Grad auf
bezüglich .
#?$<@ &A'
Bemerkung
# 4 7K89 DCFEHG
EHAbbildung
IJ ) * , vom Grad " auf einem B -dimensionalen
Jede affin@ polynomiale
I sich zu einer affin polynomialen -Form
E G
E ) !+! E G in EHläßt
Simplex
!+! zu einem affinen Koordinatensystem !! L von
fortsetzen,
indem man
I
I
ergänzt und definiert:
QWV
Q QXV Y
Q Q
Q
# 4 E $ #MNM
O P QSR U T
E G
E
P QSR U T
EZ P QSR L E P QSR L
>
G T ! G T
91
II. 2 Simpliziale r-Formen
Lemma 1
Eine simpliziale -Form
bezüglich ist durch ihre Werte in den Eckpunkten
der Simplizialzerlegung (also auf den -Simplizes der Zerlegung des Polyeders ) eindeutig
bestimmt.
!
#" $&%
+
'(*)
, 1 ,
.
,
0
2
/
1
3
465 für 798;: !=< . Weiter seien Werte
Sei dazu
, 8 ?> 8=: <@ 7A8=: !=<
Beweis:
Für jedes -Simplex
ist die affin lineare Abbildung
durch ihre
Werte in den
affin linear unabhängigen Eckpunkten eindeutig bestimmt. Es ist also
nur zu zeigen, daß man durch die Vorgabe von Werten in allen Eckpunkten eine simpliziale
-Form, also eine insbesondere stetige Abbildung erhält.
, > 1 D1 , FE , G !=<@IJK <
B C B C 8
7H8=:
8=: gegeben. Dann definiert man in einem Punkt
1 L 4 1 , 8 , L 4 Q6 R NM 3PO
NM 3PO
O
den Wert von durch
4 , T
L
6
1
+
S' NM 3PO 8
Insbesondere gilt damit:
, V , > <@ !=< T
1
F
HU
8=: 7A8=:
mit der Verträglichkeitsbedingung für gemeinsame Eckpunkte
Durch diese Vorschrift erhält man eine stückweise affin lineare Abbildung auf der gesamten Simplizialzerlegung. Die Wohldefiniertheit folgt dabei aus der durch die Konstruktion
erfüllten Stetigkeit. Sei dazu für
I 8 : XW @<
E -,YZ\[ 3 [ B] _^1 `a 1 `bc _^ 1 d\, a 1 dG, bc
und , mit
ein gemeinsames Untersimplex
von
[ C D1 ` e ;1 dG, e K IJ
und
B
1 L C [ C 8 Z([ 3 [ B ]
CM 3 O
B h R iKj I
g
3
B
C
C
mit
ein Punkt in diesem Untersimplex.
O
O 8f C M 3 O
O Dann gilt:
k k
1 L B C [ C L B `e 1 ` e Lk 4 1 'G8 l+
M 3O
CM 3 O
CM 3 O
k k,
B
4
,
,
,
L
L
k
1 1 'G8 -,m+
MC 3 O dGe dGe M 3O
92
II Stückweise affine r-Formen
,
mit reellen Zahlen
und
" !$#&%(' *),+- '. . +
0/ %(' *),+- '1 1 +
32 465
Es folgt:
798;:&< 7=8> < 7@?: BA
@
7 ?: A
7@?: A
7@? : A 5
Der Wert von 7 im Punkt : hängt also nur von Werten in den gemeinsamen Ecken der
Simplizes C und C ab. Da dies für beliebige gemeinsame Untersimplizes in D gilt, ist 7
eine simpliziale E -Form auf C bezüglich D .
F
Folgerung
Ist 7HG CJILK3M*NP% O eine simpliziale E -Form auf C Q D Q bezüglich D , so ist für beliebige
Untersimplizes R
D die Einschränkung 7 Q S G RTIUK3M*NPO eine affin lineare Abbildung.
II.2.2 Tangentialstetigkeit
Es seien
: : Y
X*
Zdc
X3Z
C =WV :
C C\[^],___]`Cba WQ D Q
)
4
zwei Grundsimplizes eines -Simplexpolyeders C , die sich in einem gemeinsamen C WV :
dimensionalen Untersimplex
> X
C e C R V >
4 schneiden.
mit
2
4
<
Mit f G > g > für h
sei 8 f [
f
f
fj eine Basis von N mit der
[
<
8
zugehörigen dualen Basis fk[O
fkj O .
*i
l
7
G
Ist nun
C ImK M NPO eine simpliziale E -Form auf C bezüglich D , so lassen sich die
Einschränkungen von 7 auf die einzelnen Simplizes schreiben durch
n
†…
*ˆ
7on 7 Q prq3 7tn s Q prq3
‡
xw€    € x} Q prq‚ f xO wƒ ___ ƒ„‚ f xO }
[vu xwy{z z z y|x} u j~
,
%
‰
Zdc
Z
M 8 C n s < und maximaldimensionalen konvexen Mengen C n s
mit 7 n s
mit C n
C n s . Für
Z
…
‘

eine gemeinsame Kante Š >
‹ >Œ|
R und Ž gilt dann:
7’n ? > Œ A 7’n8> ‹ <{“•”^– qk— > ‹ g > Œk˜
™
š
xž§ ¨ ¨ ¨ § x¡©ª
«¬{­•® «°¯± žv² ³ ³ ³ ² ± ¡ ª
«ªYµk¶|¶6·kx¸ ž¹»ººº¹ ·kx¸ ¡P¼
›vœ|xžŸ{ Ÿ|x¡vœ£¢&¤¥{¦
¤ ´
II. 2 Simpliziale r-Formen
Aus der Stetigkeit von
93
, speziell aus
!"#!%$&('*)+!
folgt
,
,
241 35/67
-/.0 3
2:1 35/6<;
-980 Aus der Darstellung
,
bezüglich der
, Basis erhält man weiter
2 .. => ? ? ? > .A@ 0 2 1 35/6B
2 8. = > ? ? ? > . @ 0 2 1 3567DCEF#GDHJIII4H+F#KDE+LB;
Diese Gleichheit gilt für beliebige Kanten in ) und damit für beliebige Linearkombinationen
innerhalb des durch das Simplex ) aufgespannten Unterraums von M . Somit stimmen
alle Richtungsableitungen auf gemeinsamen Untersimplizes überein, es gilt also für alle
NJ'PO Q4RTSUVN/, G
NVWX , :
,
,
-/. #N:!
-98 #N:!
und
2 .. = > ? ? ? > . @ #N:!
2 8. = > ? ? ? > . @ #N:!DCEF G HJIII4H+F K E+LB;
Betrachtet man nun die äußeren Ableitungen
c a ,
d
dih
h
h
Y
Y
Y N g @j kFml"
]
] dAe
#
N
!
N
/
g
N
g
I
I
I
=
/2 f. = > ? ? ? > . @
G ^ = _` ` ` _ @ ^ba
G
d
Y Z
Y Z
so folgt die Gleichheit aller derjenigen Summanden in
und
, in denen N einer der
G
N
T
N
W
Basisvektoren
ist, also auf dem gemeinsamen Untersimplex ) liegt.
Y [Z\ Bezeichnung
,
Die Eigenschaft
,
d
dih
h
h
dih
h
h
2 .. = > ? ? ? > . @ n N ! Y N g Y N g = I II Y N g @ 2 8. = > ? ? ? > . @ #N ! Y N g Y N g = III Y N g @
für CoE(F G HPIIIHpF K E(L und q '+U/CT
4X , die für rsut v . und &wut v 8 auf zwei
beliebigen Grundsimplizes x # x zy x mit einem gemeinsamen Untersimplex ) erfüllt ist,
d
nennt man Tangentialstetigkeit der äußeren Ableitungen der Einschränkungen der simplizialen
{ -Form bezüglich des Simplizialkomplexes | .
Bemerkung
Y Z '~}iK€G Z !
Da die Tangentialstetigkeit der äußeren Ableitungen
x
der lokalen affinen
{ -Formen Z '(} K x Z !riF‚ƒCT
„ aus den Eigenschaften der simplizialen { -Form
folgt, ist sie bei einer stückweise gegebenen konstanten #{D…JCV! -Form als Kandidat für eine
stückweise äußere Ableitung eine notwendige Bedingung für die Existenz einer (globalen)
simplizialen { -Form auf einem Simplexpolyeder bezüglich einer Simplizialzerlegung.
Nun ist aber im allgemeinen bei zwei benachbarten Simplizes x x y x (außer im Spezialfall einer affinen { -Form auf R‡†ˆ x :‰ x Š! ) in den ergänzten linear unabhängigen Richtungen NTW €G N a keine Gleichheit der entsprechenden Richtungsableitungen gegeben. Das
führt insbesondere dazu, daß die Tangentialstetigkeit einer gegebenen stückweise konstanten
#{b…*CV! -Form als mögliche stückweise äußere Ableitung einer simplizialen { -Form nicht direkt
überprüfbar ist, dah sich h die Koeffizienten der einzelnen #{D…+CV! -Formen bezüglich der Basis
‹ Y N g =
III
Y N g @ Œ = t/CE+F G HJIII4HŽF K €G EL
als Summen zusammensetzen. Im Falle der Tangentialstetigkeit sind dabei einige Summanden
notwendigerweise gleich, andere müssen aber nicht gleich sein, womit im allgemeinen auch
keine Gleichheit der Koeffizienten gegeben ist.
94
II Stückweise affine r-Formen
II.2.3 Simpliziale Stammformen stückweise konstanter Formen
-Form ist neben der notwendigen, aber
Ausgehend von einer stückweise konstanten
nicht direkt überprüfbaren Bedingung der Tangentialstetigkeit, eine stärkere, hinreichende,
aber nicht notwendige,
dafür aber leicht als erfüllt zu verifizierende Bedingung für die Existenz
einer simplizialen -Form
auf zwei benachbarten Simplizes die Gleichheit aller Summanden,
in denen ein mit
auftritt. Die Existenz der lokalen Stammformen folgt dabei aus
dem Lemma von Poincaré. Unter Voraussetzung entsprechender Verträglichkeitsbedingungen
auf gemeinsamen Seiten aneinander grenzender Simplizes lassen sich auf diesem Weg simpliziale Stammformen auf einfach zusammenhängenden Simplexpolyedern konstruieren.
Definition 2
Es sei
!#" $%"&'
ein
(
-Simplexpolyeder mit einer Simplizialzerlegung
$
) ) und Grundsimplizes
.
a) Eine Abbildung
$
*,+.+
/
021
04365
0
87:9<;>=
$
heißt stückweise konstant bezüglich
b) Es sei
*,+
$
7:9 ;KJ =
-
, wenn
" ?A@CBEDF?G@
*
7:9<;>=
"? @ LO0N
"? @ )
LO0
N PRQ
$
L 0N
Dann heißt
L
" ? @ BEDF? @
konstant ist.
$
und
mit
;
*
" ? @ BEDF? @ )
H
)
0N
für maximaldimensionale Teilmengen
) )>I
eine simpliziale -Form bezüglich
L
H
eine stückweise konstante Abbildung bezüglich
LM+
für
0N
) )>I
H
&'
mit
0
&M
0N
. Weiter gelte:
) )>ITS
eine simpliziale Stammform von
*
.
Lemma 2
Es seien
0
) VUW&X8R!#" $%"&'
zwei Grundsimplizes einer Simplizialzerlegung
einem gemeinsamen -Simplex
Y
mit
und
,c
)
[ZK\^] ) ) \_6`8
0ba
eines
(
-Simplexpolyeders
, die sich in
,U
) )
schneiden.
Weiter sei )
d sei die duale Basis.
$
d
eine Basis von
=
mit
\
]e \
) ) ) )
95
II. 2 Simpliziale r-Formen
und seien
% & & & % !$')(+* $,.-/-/-0, '+()* !21.35467 +8:9<>; =
!"$#
@BA0C -Formen auf maximaldimensionalen konvexen Mengen in D
konstante ?
Mit
so daß gilt:
mit
9 F E 9 ;
,
% & & & % ! % & & & % !JI ?K /L/L/L>M 67 CONQP /L/L/L>M 67 /R5S P+A /L/L/L>>T RV
XU WZY
#
H# G
C
C
Dann gibt es affine -Formen [ 13 6 ? 9 ; und [ 13 6 ? 9 ; , so daß gilt:
G
' [ ' [ und [ \ ] ^[ \ ] G Y
G G
G
Beweis:
_@AC -Formen sind und exakt. Daher sei für Z
` wie im Beweis des
Als konstante ?
ersten Spezialfalls des Poincaréschen Lemmas
G [ 1.3 6 ? 9 ; C mit ' [ definiert durch
67 a7 A
N
A
C
[ 5@2A ! "# % & & & % ! acb _d e - ?f '+()* _,.-/-/-0,h'+g ( * e ,.-/-/-0, '+()* !
C
mit Koordinatenfunktionen /L/L/L/ " bezüglich ?i 4j ( /L/L/L/ ( " .
d
d
Damit gilt für alle k /L/L/L/Mk 6 1ml :
A
8 [ =n ?Kk /L/L/L/Mk 6 C o@2A - 8 =pqsrui 4>t v Mk /L/L/L>Mk 6w I v 1 9 ; Y
z aa
Ist nun v 1x ein Punkt auf dem gemeinsamen Untersimplex, so gilt i 4t v acb y |{ ( mit
a
~€m gilt:
geeigneten { /L/L/L> { 1} , und wegen ( * r i 4t v w für T
y
C
? pq rui 4t v Mk /L/L/L/Mk 6w
ŸB u¢¤£>¡ ¥Z¦M§o¨/¦/©/©/©>¦M§5ªM«
›
›
 ƒ‚„ …0† † … „ ! ‚‡
ˆ „ ‰ Š Š ‰ „ !‹MŒM ‰ Š Š ‰ Ž‘ ’“$””•– — — — – ”˜!™•$š ”•$œ.//+œžš ”˜!™•
›
› ŸB ¢ £¡ ¥Z¦M§ ¨ ¦/©/©/©>¦M§ ª «
¬­
®
´ ¡
‘ ’“H¼”•– — — — – ”˜!™• š ”• œ.//+œžš ”˜!™•
¬m½K¾ ° ¿•À•ƒµ ¶ ¯Á ¶ µ° ° •˜!±0™¢¤²•²£>·M± ¥Z¸M° ¹˜!•™¦Mµ §o¶• ¶¯µ ¨/º³ » ¦/©/©/©/¦M§5ª «
¼
und folglich
½: ¿Ã ½ § ¨ ¦/©/©/©/¦M§ ª ¿ ¬m½: ¿ à ½ § ¨ ¦/©/©/©>¦M§ ª ¿ÅÄ ¥ÆBǦO§ ¨ ¦/©/©/©>¦M§ ª Æ.È`É (V1)Ê
”
¼
27
27
Siehe Seite 65.
96
II Stückweise affine r-Formen
Folgerung
Da die Einschränkungen der beiden -Formen und
identisch sind, erhält man durch
auf das gemeinsame Untersimplex
eine (wohldefinierte) simpliziale -Form
!#"$&%('
bezüglich der Simplizialzerlegung
*) ,
+-*/.01* */.23
6+-*/.01* */.
54
mit den Eigenschaften:
7 8 0:9
>=
$<; - ?
und
@5 A
ist Seite von
B
0C+D
oder
54
4/E
Bemerkung
Im
Beweis
werden die Stammformen
eines affinen Koordinatensystems
FHGJIDobigen
KMLN
LQP<R
GJI bezüglich
0S
-O-O-O&
definiert, wobei der Punkt
als Ursprung gewählt ist.
G G = 0T willkürlich
2U
die entsprechenden
Betrachtet man für zwei
P R
FHGXKML N
L Stamm= 0W9 F = R Ursprungspunkte formen
H
V
$
bezüglich
der
affinen
Koordinatensysteme
O
O
&
O
und
FHG = KMLN
LQP<R
-O-O-O&
mit
F
RHY(F[Z\N
- O-O-O&
= Y F[Z N
;g ?
- O-O-O&
Z R F A RHa/b,GJc d \
Z N
Z
]
- O-O-O& f$ e $
^ `
] _
Z R F A R ahMb G c = d Z N
Z
Z N
Z 0
]
$
- O-O-O- f$ eji
- O-O-O- $ %k
^ ]`_ so gilt:
Z R F A RHahMb G c = G ^ GJc d Z\N
Z
= Y F[Z\N
]
-O-O-O& $
-O-O-O& f$ e
; ?
^ ] _ Z
] F A R a b GJc d Z N
-O-O-O& $ e
^ ] Z
] F A RHa/b G c = G Z\N
^
-O-O-O& $fe
^ ] Z RmlkF RHahnF[Z\N
Z R
F RHY(F[Z\N
-O-O-O- $
-O-O-O& $
also
= Y F HR Y:lkF RHahob F RHY ^
= a
(V2)
; ?
; ? e
d 0p =
F RHah 0
d
für beliebige Punkte
" $ % ' nicht von ab.
. Dabei hängt k
• Betrachtet man nun für jeweils zwei Gwie0im obigenG Beweis
=
= 0k konstruierte -Formen
q und bezüglich der Ursprungspunkte
bzw.
, so gilt aufgrund der
Stetigkeit:
d 0w= d x
= Yr F R a h F R aht F R Yvu l
=
0 =
;s ?
;g ? Y u i E
=
I
Die entsprechenden simplizialen -Formen
und
unterscheiden
sich
also
auf
0,9 Fnz{R
um eine konstante -Form y h
mit
$
F[d/R ah l a
d 0 z
y
i
E
F
R Yr l
97
II. 2 Simpliziale r-Formen
•
, -Formen "! # ( *),+-/.10 32
%$ '
# &
45 6 0 7 Wählt man als Ursprungspunkte
sowie
und
mit
8% mit
"! # ( ),+ + - . 10 32
%$ # &
4 6 0 7 9
; für einen beliebigen Punkt <>=
:
0 @?1! A B A ) $ C ) 4 0 7 FE7 durch
so erhält man eine simpliziale -Form auf
und definiert man
durch
(D )
G HJI 1? ! K G HLI " M O
! N QPR
denn unterscheidet sich von der in obiger Folgerung konstruierten simplizialen -Form
nur durch eine konstante -Form; es gilt:
! B ) + 4 0 7
sowie
; ! A B S )
!/- B )
! B ) +
$ C )
+ + 2 BT- ) B ) + + 2 $ - *)B * ),+ 2
4 0 7
und speziell:
! B ),+
! B * ),+F! U 4 0 V=OW
Es zeigt sich hier insbesondere, daß diese Konstruktion unabhängig von
T=
ist.
Wählt man nun zusätzlich noch
!
V= ! YXZ[
; in ( D ) wegen S ) ! S ),+ + !]\ zu
:
0 "! S $ ),+ + 4 0 7 W
(V3)
entwickelten Stammform muß also nur der Wert
Zur stetigen Fortsetzung der in
),+ + zu der in entwickelten Stammform addiert werden.
so vereinfacht sich
98
II Stückweise affine r-Formen
Satz 1
Gegeben sei ein einfach zusammenhängendes
!#"
$&%('*),+-/. 0 2%1 3 4576&98
:;=< 6>
?;A@BC
mit einer Simplizialzerlegung
Mit
seien
-Simplexpolyeder
und Grundsimplizes
.
% % 1 D
konstante
-Formen auf maximaldimensionalen konvexen Mengen mit
.
Weiter gelte für je zwei Grundsimplizes
, die sich in einem gemeinsamen Simplex
E F 7G;H + H(I&J= ?LK @
6 D
:;M MN >
O M&P H + Q H P SRTU6& D :;MV MWNV >
$ % /YZ?\[^]`_X _ ]Z?\acb[/Y %?\[/f g g f ?\acb[eh M ?\V [i*jjj&i h M ?\V acb[ =4Tk/lm
Ned
??\[/f g g f ?\acb[ @?\[^f g g f ?\acb[on k 9k -^. > Fqp k 9k -^. r,K p 6& rAs t5u
:
D
d
d v v wyxz v % w{xS v %q'*) - : % 1 >z=4T76&98
h v % w{x $ % w{x =456&98u
mit
schneiden:
Ist
eine Basis von
mit
zugehörige duale Basis, und schreibt man ferner
und ist
die
so ist
Dann gibt es eine simpliziale -Form
auf
bezüglich
mit
so daß gilt:
p| |} r ~
| |e€ ' % ‚=ƒe„ ' p 6&9… r /4 ' p 6&98 r
% v € '
† - O,V
e
|

|€
$%
v € :;‡ ‡ - > F 6 6 j 0 $% 3ˆ‰`Š |eWQ |e€ ‡ ‡ -/‹
S
<
v|eŒ €
p 6&9… r
'
% d 4 > ' p 6&9 8 r : |  | & |  |eŒ |  |`Ž
Beweis:
Es seien
eines Grundsimplex
sei
zu
im Punkt
:
alle nulldimensionalen Simplizes in
definiert als Wert der in
. Für zwei Eckpunkte
entwickelten Stammform
n ‡ ‡ - ' O u
Damit ist
durch die vorausgesetzte Verträglichkeitsbedingung wohldefiniert.28
Nun sei
für ein
beliebig, aber fest gewählt.
Für ein Simplex
gibt es dann einen Eckpunkt
und einen
und
, also eine Folge von Eckpunkten,
Kantenzug
mit
28
Siehe Gleichung (V1).
|eŽ ' %
99
II. 2 Simpliziale r-Formen
zwei aufeinanderfolgende Punkte in einem Simplex liegen. Man definiert auf
so daßdie jeweils
Stammform:
!
#"%$'(*)+& ( -,
/2 35.1470 6 98
:58
: ;=< ! ?>@ ! ACB ( A E D
( 8 F ( 8 G (*H nach (7) .
( 8 F ( 8 G JIK (*L F (*L-M Dazu wird gezeigt, daß für elementare Deformationen gilt:
235.5470 6 N8
:18
: ;
< PO2 35470 6 L : L : ;
< D
(*Q < (*Q!R (*QS A UTWV YX A[Z !\^] gilt offenbar
Für Eckpunkte
Q < Q!S Q < Q!R Q!R-Q!S
Es sind nun zwei Teilbehauptungen zu beweisen:
1)
ist unabhängig vom Kantenzug
von
29
sowie
Q < Q < Q < Q!R !Q R-Q < [ _J
woraus die Gleichheit der obigen Summen für die ersten vier elementaren Deformationen30 folgt. Die Fünfte der Deformationen, also die Verschiebung des Anfangspunktes
innerhalb eines geschlossenen Kantenzuges, äußert sich nur in einer Umnumerierung,
denn mit
gilt:
6
`. `
235.5470 6 N8 : 8 : ;
< N8F-8 < 2 35.540 N8 : 8 : ;
< 2 35.540 N8 : 8 : ;
< N8 G 8 < D
( ( 8
8G F (*!L M ( (*8
LG M a und
( (*L LF F ! ( L M zwei Kantenzüge von (*H nach (7) , so ist
Sind
( 8F nun
<
! ein geschlossener Kantenzug. Da einfach zusammenhängend ist, läßt sich jeder geschlossene Kantenzug durch endlich viele elementare
Deformationen in einen Kantenzug der Länge _ überführen. Daher gilt:
2 35.5470 6 8 : 8 : ;
< 2O 35470 6 L M a : L M a : a < [_
8 : 8 : ;
< 2 35476 : : < 2 35476 : < : 2 35476 : : ;
<
2
5
3
7
4
6
b .50
/cdO 0 L M a L M a a PO 0 L M a a L M a eO 0 L L D
Die Stammform ist also wegen
2 35.5470 6 N8 : 8 : ;
< feO235470 6 L : L : ;
< ! ?>@ - EACB
(*H nach (7) .
unabhängig von der speziellen Wahl des Kantenzuges von
29
Siehe Gleichung (V2) in obiger Bemerkung.
Ersetzen zweier Seiten eines Dreiecks durch die Dritte (und umgekehrt) sowie Streichen (Einfügen) eines „Hin-undZurück”-Weges.
30
100
2)
II Stückweise affine r-Formen
ist unabhängig vom gewählten Eckpunkt
Sei dazu
.
ein Eckpunkt. Dann gilt für alle :
"!
)( +*-,/. % . 21
#
-0 $%
#' &
%47 86369-5 : ;=<6;< >?
!
)( =@-,A. 21B% #
( =@ , . 1
+
$%
#
!
#&
6
8
9
7
%4365 : ; < ; < >? $%
# &
7
6
8
9
% 3 : ;<C;< >? DE GF
(
mit H 'K !4L . Man erhält also den Wert der
in entwickelten Stammform zu im
Punkt3JI zuzüglich des durch den Kantenzug ;M ;=N >?2 von "O nach definierten
zu addierenden Anteils. Die Stammform ist somit auch unabhängig vom gewählten
Entwicklungspunkt -PQ .
Da die lokalen Stammformen
GR T S U"V'! 2W
#
unter Verwendung der Verträglichkeitsbedingung für die stetige Fortsetzung (V3) konstruiert
wurden, stimmen sie auf gemeinsamen Seiten aneinandergrenzender Simplizes überein. Durch
die Einschränkung
YX Z\[ K !]^X Z_[`VU!
#
W
erhält man also eine (wohldefinierte) simpliziale $ -Form
Eigenschaften.
Folgerung (Poincarésches Lemma für stückweise konstante
zusammenhängenden Simplexpolyedern)
Ist mit den Voraussetzungen des letzten Satzes
auf
$b%
mit den gewünschten
#
a
-Formen auf einfach
( KBd c !fg e 9 h=i kjml F n
I
d
:
stückweise konstant bezüglich
mit
( X Z_[)o2pqZ_[ ! ( X Z_[o2pqZ_[ ( GR S `VU! # W
I
(
$
so ist die oben konstruierte simpliziale -Form eine simpliziale Stammform von
.
101
II. 2 Simpliziale r-Formen
Bemerkung
nicht zusammenhängend, so kann, da zwischen verschiedenen Zusammenhangsa) Ist
komponenten keine Stetigkeitsbedingungen zu erfüllen sind, jede der Komponenten für
sich betrachtet werden. Der Satz gilt also auch für nichtzusammenhängende Simplexpolyeder, deren sämtliche Zusammenhangskomponenten einfach zusammenhängend sind.
b) Die aus der Tangentialstetigkeit einer stückweise konstanten -Form folgende
Existenz einer simplizialen Stammform entspricht innerhalb der klassischen Vektoranalysis der aus der Tangentialstetigkeit eines stückweise konstanten Vektorfeldes folgenden
Existenz einer stückweise affin linearen Funktion, deren Gradient das (somit konservative) Vektorfeld ist.31
II.2.4 Simpliziale Stammformen stückweise affin linearer Formen
Der zweite in Kapitel I behandelte Spezialfall des Poincaréschen Lemmas besagt, daß jede
geschlossene (affin lineare) -Form auf einer konvexen Menge exakt ist. Setzt man nun
eine simpliziale -Form auf einem Simplexpolyeder voraus, die auf jedem Simplex
Einschränkung einer geschlossenen Form ist, so lassen sich lokale Stammformen auf benachbarten Simplizes in Punkten gemeinsamer Untersimplizes entwickeln, wodurch man eine
simpliziale Stammform auf den beteiligten Simplizes erhält. Folglich läßt sich der zweite
Spezialfall des Lemmas von Poincaré für sternförmige Simplexpolyeder mit einem gemeinsamen Eckpunkt aller Grundsimplizes verallgemeinern. Da sich aber im affin linearen Fall
die in verschiedenen Punkten entwickelten (quadratischen) Stammformen um geschlossene
-Formen unterscheiden, die im allgemeinen nicht konstant sind, ist es nicht möglich, wie
im letzten Abschnitt simpliziale Stammformen auf einfach zusammenhängenden Polyedern
durch Anpassung von Konstanten zu konstruieren.
Definition 3
Es sei
"!
$ $ ein # -Simplexpolyeder mit einer Simplizialzerlegung und Grundsimplizes
Eine simpliziale Stammform einer simplizial polynomialen %" -Form
&('
vom Grad
)+*-,/. 10-2
auf
3
45'
(vom Grad
bezüglich
)6* , 0
3
4
2
) bezüglich
798:
ist eine simpliziale -Form
mit
798 $
4<;>=?A,@
4<;
. 5B $-C ; und maximaldimensionalen konvexen Mengen
daß gilt:
G 4 ; 7 8 31
.
&
7 8>$-C $ $1D$
;
B
$ $1DH
Vgl. dazu I.4.4 Exkurs: Die klassischen Differentialoperatoren.
E!
mit
;
F
;
B $C
$ $1D$
so
102
II Stückweise affine r-Formen
Lemma 3
Es seien
zwei Grundsimplizes einer Simplizialzerlegung eines
einem gemeinsamen ! -Simplex
" $#%'&())%+*(,
.-/
-Simplexpolyeders
! 021
354687:9 ;
8CEDF$G8HJIKL8HJ
NM $G8HEIL8H
mit
schneiden.
Mit
sei eine simpliziale (also simplizial affin lineare)
bezüglich der Simplizialzerlegung
, die sich in
<=6?>@1A -Form auf B/
Seite von
oder
NM
mit
; OQP? ;R OSPT ;R IUTVXWY < R C A Z8[X\]
C C mit C und C .
und maximaldimensionalen konvexen Mengen
Sind nun ; und ; geschlossen, gilt also
^ ; 3 und ^ ; 3 C . Es gibt also eine simpliziale 6 -Form
so besitzt
;
eine
simpliziale
Stammform
bezüglich
_ auf J/ vom Grad ` bezüglich C mit
_ OSPT _ R OSPa _ R IUTbV < R C A cZ5[X\]
so daß gilt:
^ _ L OQdJ ; OSd
und
^ _ e Ocfg ; Ocfih
;Ha und% & n ;%+ HEgeschlossen
und damit exakt.
T
'
o
j
1
! und <=jp jlkp A
Beweis:
Nach Voraussetzung sind die
-Formen
Sei nun
eine Basis von
mit
zugehörige duale Basis. Weiter sei
<=j jklA
<=6T>1A
m
die
;R XrEFstJuq u u tEFvxwsXr R sXz { { { z vxws ^ j Fp sc|}}}(| ^ j Fp vxws Z8[X\]h
Yk y
) ~ k bezüglich < %+& j ) j k A setzt man:
Mit Koordinatenfunktionen ~
ƒ
€ _ R‚ DF
q
1 } RFs z { { { z Fvxws.„ % & > 6T>:1 % &)n †'‡
XrEFsXtJu u u tEFvxwsXr k 6T>:1 y
6T>…`
VWY
| q ~ F‰ < † A } <XŠ81A * WY } j Fp s |}}}(|Œj‹ Fp ‰ |}}}(| j Fp vxwsXŽ
*)ˆ Z5[X\ und † I C . Dann ist _ R IU bV < C A und es gilt ^ _ R ;R für Z[X\ .32
für
R
R
32
Vgl. dazu Teil b) des Beweises des Poincaréschen Lemmas auf Seite 66.
103
II. 2 Simpliziale r-Formen
Da die simpliziale
Untersimplex:
und da mit
5
78
CB
CB
#
des gemeinsamen
$#&%('*)+-,././.0,)123+-'465
!
123+
12=<>
78?
A@:
;78
"
!
stetig ist, gilt für alle Punkte
auch
9:
-Form
ist, folgt:
DE*F
Damit ist
BHGI
B
I
I
KJ
T abcB
eine (wegen
I
J
bezüglich
1QPSR
MLON
wohldefinierte und stetige) simplizal quadratische -Form auf
mit
d]e
f B Z T VXW Ta
BUT VXWSGYB[ZA5"\]*)^5`_
mit
Z T VXW
T VXW
5"\()^5`_
F
g
Folgerung (Poincarésches Lemma für simplizial affin lineare
Simplexpolyedern)
Ein i -Simplexpolyeder
IjkI
+
InmoT
J6l/l/lJ
Ir+/5
T VXw=
T VXw35
123+ yI
6x
e
"5z)35
und
maximaldimensionalen konvexen Mengen
]D
-Formen geschlossen seien:
f
*%(5z)35
Dann besitzt
5Qt
l/l/l
|
+^}
^~€   ~€!
zwei Stammformen
B !
}€
<
B‡5ˆB
eAx
1 yI
^~=   ~€!
e
I
mit
p{I
e
, wobei die lokalen
}€Š‰
5
7
fƒ‚ R
3„
I
7Ae"
././.
„
d
.
p{I
fh‚ R
!
und
6x
123+h…CI
Qe †
mit
|
+^}
)"o5
5Qt
psq
e
m
5`I
sei sternförmig
bezüglich
5Qt
.
für
l/l/l
bezüglich d mit
l/l/l
I
F
Bemerkung
Betrachtet man für zwei Ursprungspunkte
I
l/l/l
eine simpliziale Stammform bezüglich
-Formen auf sternförmigen
Thp*q
d
mit einer Simplizialzerlegung d und Grundsimplizes
eines gemeinsamen Eckpunktes 7s6d , es gelte also 7s
%u'v,4
A*
I
Mit
sei eine simpliziale
-Form auf
h]
-
. !0‹ 7
S
>
S:Π7
A
„
123+
|Ž?
+0K‘’“•”(–3—h“^˜™–š?›3œ"—h‘ž Ÿ3 —/—/— ¢ ¡ ‘ž ’ —/—/— ƒ‘ž £!¤Ÿ^¥
104
II Stückweise affine r-Formen
bezüglich des affinen Koordinatensystems
2
3
465
$&%(')+* * * ),%.-0/'1$,
7%.'8 9 9 9 8 %.-0/'&:,
@B#D AC
;%.H ' @
@J I % H E @
C
sowie
?
3 4<5>=
D
%E F;1G
3
4<5
;5
und
3
#
!"
@
%.H -0/'1K
bezüglich
;L
M
465>=
O
5
O
5
465>=
N
3
465
5
O
3
465
5
und
3
465>=
5
3
4<5>=
3
5
, so gilt wegen
4<5
4<5>= 3 5
465
465>=
3
465
5
465>=
und
5
P
#
#
5
R
Q
N
5
TTU+
P
S<
3 LV
der Zusammenhang
2
W"
3
#
3
4<5
1$,%.')+* * * ),%.-0/'1$,
7%.'18 9 9 9 8 %.-0/'&:+
5
#D AC
@
5
%.E ;1G
3 C
Die beiden Stammformen unterscheiden sich also wegen
Q
%&G
W% SR
c %,G
%.H ' @
@X I %.H E @
@
%.H -0/'
@
%.H -0/'
@
% H -0/'1K
3 465>= 5J "ba
c
R?
YTZ[ '1\ ] ] ] \ [ -0/'+^ _
D
%.H ' @ X
%.E `F;1G 3 @ #D AC
@ I .% H E @
C
3
Y Z;[ ' \ ] ] ] \ [ -0/' ^ 3 _
465
465>= D
3 % H ' @ X
% E ;1G
@ #D AC
@ I .% H E @
C
465
5
3
4<5>=
D
3
4<5
c W% ed%,G>d%+Of
II. 2 Simpliziale r-Formen
105
um eine geschlossene affine -Form, die im allgemeinen nicht konstant und damit auch nicht
abhängig ist. Insbesondere gilt wegen
allein von den Punkten und
/135024
%
/135024
und
, .
"! # $ $ $ # %'&
)(+*
3
>
798 : <;= 2 ?<@ / "" /B? A @ 7 / "" / ?9@ %C
'6
"! # $ $ $ # %'& D)(+ * 3
>
>
8 = 7 ; : <;= 2 ? @ / "" /B? A @ 7 / "" / ? @ % C
6
! # $ $ $ # %
& )(E * %
3
>
F
>
?9@ / "" /G? A @ / " " / 9? @ %C
/135024 7 ; <;=
7
2
'6
im allgemeinen
I H = und
H J G
KJ L
M
Die Konstruktion einer simplizialen Stammform auf einem Simplexpolyeder durch Auswahl
eines Startpunktes und Addition von Werten entlang Kantenzügen, wie sie im konstanten
Fall durchgeführt wurde, wäre also, da die zu addierenden Anteile auf geschlossenen Kantenzügen im allgemeinen nicht verschwinden, stets von den speziell gewählten Eckpunktfolgen abhängig. Der einfache Zusammenhang des Simplizialkomplexes genügt in diesem
Fall offenbar nicht. Desweiteren ist nicht garantiert, daß man durch eine solche Konstruktionsvorschrift eine stetige Abbildung und damit eine simpliziale Stammform erhielte, da die
Stetigkeitsbedingungen zwischen benachbarten Simplizes nur bei Auswahl eines gemeinsamen Entwicklungspunktes der Stammformen Berücksichtigung finden, nicht aber bei Addition
von geschlossenen Formen entlang Kantenzügen.
Bemerkung
>
N
;
-Form und die daraus folgende Existenz
Die lokale Geschlossenheit einer simplizialen
einer simplizialen Stammform (vom Grad ( ) entspricht innerhalb der klassischen Vektoranalysis der aus dem lokalen Verschwindens der Rotation eines Vektorfeldes folgenden Existenz
einer stückweise quadratischen Funktion, deren Gradient das Vektorfeld ist (also der Konservativität des Feldes).33 Da sich zwei quadratische Funktionen mit identischen Gradientenfeldern
nur um eine Konstante unterscheiden, ist es im klassischen Analogon aber möglich, globale
Lösungen auf Simplexpolyedern bereits unter Voraussetzung des einfachen Zusammenhangs
zu konstruieren.
33
Vgl. dazu I.4.4 Exkurs: Die klassischen Differentialoperatoren.
III Elektromagnetische Felder
„Es gibt ein Paradoxon, auf das ich schon im Alter von
16 Jahren stieß. Wenn ich einen Lichtstrahl verfolge,...
sollte ich einen solchen Lichtstrahl als ein ruhendes, im
Raum oszillierendes elektromagnetisches Feld sehen. So
etwas scheint es jedoch nicht zu geben, weder auf Grund
der Erfahrung noch nach den Maxwellschen Gleichungen.“
Albert Einstein
Im folgenden wird der diskrete Differentialformenkalkül auf die Maxwellschen Gleichungen angewandt, die – beruhend auf den Ergebnissen Faradays – als Grundformeln einer
vereinheitlichenden Theorie elektrischer und magnetischer Kräfte die elektromagnetischen
Erscheinungen als Eigenschaften des kontinuierlichen Modells elektromagnetischer Felder
beschreiben. Erst durch den von E. Cartan geschaffenen Differentialformenkalkül lassen sich
die Maxwellschen Gleichungen dem besonderen Zusammenhang von Raum und Zeit sowie
der Verwobenheit von elektrischem und magnetischem Feld angemessen formulieren. In der
hier betrachteten Situation diskreter Daten in Eckpunkten vierdimensionaler Simplizes und
damit eindeutig bestimmter affin linearer Interpolierender auf den gesamten Simplizes erweist
sich der diskrete Differentialformenkalkül als angemessenes Werkzeug.
III.1 Die Minkowski-Raum-Zeit
„Zeit, Ort und Bewegung, als allen bekannt, erkläre
ich nicht. Ich bemerke nur, daß man gewöhnlich diese
Größen nicht anders als in bezug auf die Sinne auffaßt
und so gewisse Vorurteile entstehen.“
Isaac Newton
Elektrisches und magnetisches Feld lassen sich in einer -Form zusammenfassen, die auf
dem erweiterten Konfigurationsraum (Ereignisraum), dem kartesischen Produkt des Anschauungsraumes mit der Zeit und damit einem vierdimensionalen affinen Punktraum, definiert ist.
Der erweiterte Konfigurationsraum ist mit einer durch die relativistischen Gleichungen aufgeprägten Pseudometrik, der Minkowski-Metrik versehen, die durch ein Pseudoskalarprodukt
des Index auf dem zugehörigen Verschiebungsvektorraum induziert wird. Unter diesen Voraussetzungen „sieht in gleichförmig zueinander bewegten Bezugssystemen alles gleich aus“,
sofern affine Koordinatensysteme gemäß der Poincaré-Gruppe (Verschiebungen und LorentzTransformationen) transformiert werden. Insbesondere sind die Maxwellschen Gleichungen
für die -Form und die Minkowski-Metrik forminvariant unter der Poincaré-Gruppe. Man
nennt den mit dieser Metrik versehenen erweiterten Konfigurationsraum (der ein vierdimensionaler Minkowski-Raum im Sinne der Definition in I.1.3 ist) Minkowski-Raum-Zeit.
Im folgenden wird die geometrische Struktur der Minkowski-Raum-Zeit im Hinblick auf die
diskrete Formulierung der Maxwellschen Gleichungen betrachtet. Die speziellen Eigenschaften setzen dabei zumeist nicht die Vierdimensionalität sondern nur ein Pseudoskalarprodukt
des Index voraus. Als Grundlage dieser Betrachtungen dienen im wesentlichen [26] und
[14]; auf Beweise wird, soweit sie dort nachzulesen sind, verzichtet. Eine Untersuchung von
Minkowski-Räumen (gemäß der Definition in I.1.3) als affine Punkträume finden sich in [3].
108
III Elektromagnetische Felder
III.1.1 Definitionen, Bezeichnungen und grundlegende Eigenschaften
Im folgenden sei
•
•
•
ein vierdimensionaler Minkowski-Raum (die Minkowski-Raum-Zeit),
der zugehörige vierdimensionale Vektorraum der Parallelverschiebungen
das Pseudoskalarprodukt
!
)*
$
"
#
%
(
&
'
+-,$+. 0/
1
12 34 (56 / 34756 365
1 ;- <(7;7+=>78;7?-7+:;79@-
A7B ;7C$ED * * FF GIHM *>9 7JKL6
mit
•
•
,
,
die durch
induzierte Pseudonorm auf
,
die durch diese Pseudonorm induzierte Pseudo-Abstandsfunktion
Desweiteren sei jede Orthonormalbasis
von
so sortiert, daß gilt:
falls
falls
;-<77;(=-7;(?-7;7@- X
Y
W
Z
W
>
*
J
K
\
M
]
L
U
F
V
F
[
G
H
R
U
S
T
;(C7;ONP!0Q *> *> FF XXWW^G[HM*> JKL6
+ ; < + + ; = + + ; ? + _*> + ; @ + F9
\` GI a Cdb c @ < C ; C :`e Cdb c @ < ` C ; C
`U!
< ` <f ; <= 7` ; == 7f ; ? 7? ; ` @ ? @ ` @ 9
g g f ;<g f ;=g f ;?g f ;@
@
@
i
i
3h g f Cdc <j C;(C3]k g f Cdc <j kC ;(C G
3 3k
31.l 43:knm] + 3]83 k + ho j < j k< = f j = j k= = f j ? j k? = 3
g =
=
=
=
1 34 g + 3 8 g+ o j < f j = f j ? j @ 9
Bemerkung
a) Für jede Orthonormalbasis
von
gilt:
und damit
Für zwei Vektoren
mit
gilt also:
b) Für eine Orthonormalbasis
von und einen beliebigen Punkt
ein affines Koordinatensystem von
.
gEG
ist
Für zwei Punkte
erhält man als Abstand von
Für den Abstand des Punktes
und
:
vom Ursprung
erhält man:
j @ kj @ = 9
III. 1 Die Minkowski-Raum-Zeit
109
Bezeichnung
Üblicherweise nennt man
•
•
•
(raum-zeitliche) Ereignisse,
die Punkte
das innere Produkt Lorentzprodukt und
(nichttriviale) Vektoren
mit
selbstorthogonal, lichtartig oder isotrop.
, die nur aus selbstorthogonalen Vektoren bestehen. Für eine Orthonor von ist eine solche beispielsweise
"!#$%!#%!#$"!#%!#& '
()
Lemma 1
- sind genau dann orthogonal, wenn sie linear
Zwei selbstorthogonale Vektoren *,+
Bemerkung
Es gibt Basen von
malbasis
abhängig sind.
seien
von
00
00
/
2
0
1
/
5
0
1
. 3!4 %+ + +3!4+ 768*9: . Auf diesem Untervektorraum ist positiv definit.
mit 3 ,+ 3
Sind nun und + selbstorthogonal, so gilt:
; *,<%>=?3@,?3@A$B4 und ; +C,+D<%E=+3@,+3FA$B4+ )
1) Sind und + zueinander orthogonal, so gilt:
; *,+
<$>=?3@,+3@AB4 + )
sind, gilt weiter:
Da (per def.) *,+H G
=,?3@,?3@A
I K J ILM:*N =,+3F,+3@ADO+ . J )
Man erhält:
= ?3@,+3 A + = ?3@,?3 A= +3F,+3 A )
E68*9: Damit ist Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für 3 ,+ 3
erfüllt, und es folgt die lineare Abhängigkeit:
PMQ SR%>T +3* Q ?3
U +$D = 3 ,+ 3FA Q = 3 , 32A Q U + Q )
Man erhält:
+V+ 3 !4+$D Q 3 ! Q Q W)
2) Sind umgekehrt und + linear abhängig, so erhält man sofort die Orthogonalität:
. Q + U ; *,+D<% ; Q +C,+C<% Q ; +C,+D<% )
X
Beweis:
Für eine Orthonormalbasis
110
III Elektromagnetische Felder
Definition 1
Für
heißt
Lichtkegel von
in
. Für
!" $ #&% ('
)*(+$, * - .0/ 1
/32
Licht-Weltlinie oder Lichtstrahl durch
und
heißt
.
Bemerkung
Die Bezeichnungen „Lichtkegel“ und „Lichtstrahl“ sind motiviert durch die Lichtartigkeit der
456
Verschiebungsvektoren für Punkte
. Die zwei Punkte
-58 und lassen
festgelegten)
sich in diesem Fall als zwei mögliche Ereignisse eines sich mit (der als 7
Lichtgeschwindigkeit fortbewegenden Teilchens interpretieren, also als zwei auf der Weltlinie
eines Photons liegende Ereignisse.
Lemma 2
9 :
gilt:
6
;<=6
>?
0
b) Sei
, dann gilt:
) *(+$, *0 ) *@, *(+BAC $#&% (' ?
0
c) Für alle
gilt:
)*(+$, * ?
6
D
E
*FHGJIHK-*(+MLONQP$*(+MR
a) Für alle
9 UT S
S 19 S mit " gilt:
) *@, V0" >W S D?
d) Für zwei Punkte
Beweis: (Siehe auch [26].)
a) Es gilt:
X AC (9 5 ?
Y 9 U"6
$#&% 'H9
b) Sei
dann gilt:
S ) *(+$, *
;[Z\/]32 S "D.0/ 55
$8]^0/$M.0/$5".
$8]^0/Q X
; S )*@, *(+ ?
c) Für
>3
/\02
9 06
$#&% '
S Y./ )* + , *
und
mit
gilt:
S _ /_ "
und folglich ist
)*(+$, *` 6
aAC6
$#&% ' ?
Umgekehrt gilt:
. )* + , *
AC6
?
111
III. 1 Die Minkowski-Raum-Zeit
d) Die Inklusionsbeziehung
wurde durch b) und c) bereits gezeigt.
. Für Sei also *!#+$
Für ()
'
"!#$
% &
oder gilt dann offenbar
gilt:
. /
! .
, -
+0
-
. 21 . ! . 21 .
0
-
. +!3
. 1;:<-=. +!3 .
1-= . !3 .
!
0
+0
+0
4
576
8
4
5>6
8
9
9
. .
die Vektoren
und sind also selbstorthogonal und zueinander orthogonal; folglich34
. ? . sind sie linear abhängig. Es sei etwa , dann gilt:
31 . 212A@B?< B. AC"13?<A@3?%212AC"13?<
. E
D % &
Bezeichnung
Ein Verschiebungsvektor FG
•
•
zeitartig G J
raumartig GOJ
Lemma 3
!AR
Es seien F
!
. ,
KF MF ! L;N
, (J
KF FLQP
(J
/H zweier Ereignisse
*!#
/I
heißt
liegt innerhalb des Lichtkegels
),
liegt außerhalb des Lichtkegels
).
, $
zwei Vektoren mit
VZ>V
VZ>V
U
X
V
W
Y
U
[
V
W
Y
T
!*R T R
F
F
Z Y Z>\ Z#] Z
! ! ! R
bezüglich einer Orthonormalbasis
von H . Weiter sei F zeitartig und zeitartig
T
oder lichtartig, es gelte also
HQS
!
,
KF F L*N
R ,
Dann ist F
'
T;` T ab[cMd F R
T"`
und K
!^R
L*_
, &
,
L'
, und es gilt:
e@ abXcfd !^R &
KF L
und KF
T
RB!^R
Beweis: (Siehe [26].)
Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wie im Beweis zu Lemma 1.
Folgerung
!
R
!^R ,
RB!^R
, $
,
, $
,
Ist FgHQS
mit KF FMLQN
und HQS
mit KF
L
, so gilt K
LQP .
Jeder nichttriviale Vektor, der orthogonal zu einem zeitartigen Vektor ist, ist also raumartig.
34
Vgl. Lemma 1
112
III Elektromagnetische Felder
Bemerkung
Man kann nun auf der Menge der zeitartigen Vektoren
eine Äquivalenzrelation definieren:
!" #$%'&(
Die Äquivalenzrelationseigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität) sind offensichtlich.
offenbar auch
, und es ist
. Desweiteren gilt wegen
Nun ist für alle
des letzten Lemmas für alle
:
)*
oder
-. +
.+ (
*
, + Damit wird durch
in genau zwei Äquivalenzklassen zerlegt:
Für eine beliebige fest gewählte Standard-Orthonormalbasis
von
sei
/36 enthalten ist, und
+ /36 enthalten ist.
Da aufgrund obigen Lemmas für :; mit "' <="=% > und "? <
bezüglich jeder Orthonormalbasis stets 6A@ 6B gilt, haben die vierten Komponenten
•
•
87
9
!0/213/343/253/36&
die Äquivalenzklasse, in der
die Äquivalenzklasse, in der
äquivalenter Vektoren das gleiche Vorzeichen. Die beiden Äquivalenzklassen werden nun
wie folgt bezeichnet:
•
Die Äquivalenzklasse der zukunftsorientierten zeitartigen Vektoren
•
Die Äquivalenzklasse der vergangenheitsorientierten zeitartigen Vektoren
7 .
C36 B A(
9 .
C36%A(
87 und 9 handelt es sich offenbar um Kegel, denn für D *EA + 'F?GH%EI F%
C F J B AGHJ @ C F (
Bei den Mengen
gilt:
Hinweis: Diese Klassifizierung ist zunächst willkürlich und von der gewählten Orthonormalbasis abhängig, ebenso wie die anschließenden Definitionen und Bemerkungen dieses Abschnittes, in denen Zeitorientierungen verwendet werden. Die Basisunabhängigkeit wird erst
im folgenden Punkt III.1.2 über Lorentztransformationen durch die Beschränkung auf spezielle Orthonormalbasen, die durch Anwendung besonderer orthogonaler Transformationen aus
der Standardbasis hervorgehen, sichergestellt.
Definition 2
Für
•
•
•
MK L
OCP
O P7
O P9
;N heißt
! K L &=-Q K N
! K L &?;Q K N
! K L &?;Q K N
RR K L S K UT Zeitkegel von K L in N ,
RR K L S K 87?T Zukunftszeitkegel von K L in N
RR K L S K 9VT Vergangenheitszeitkegel von K L
und
in
N
.
113
III. 1 Die Minkowski-Raum-Zeit
Bemerkung
läßt sich als raum-zeitliche Geschichte einer vom
a) Für ein Ereignis
Raumpunkt
ab dem Zeitpunkt ausgehenden sphärischen elektromagnetischen Welle,
festgelegten)
also gleichzeitig in alle Richtungen ausgesandter, sich mit (der als Lichtgeschwindigkeit fortbewegender Photonen, interpretieren.
b) Der Begriff der Vergangenheits- und Zukunftsorientiertheit läßt sich auch auf den Licht
kegel ausweiten: Für !"!# mit $ &%
" gilt:
')(
*,+
,
-.
5 6 (87 5
#../021&3 4$ %
9 *:
Beweis:
Zunächst gilt nach Lemma 3:
;5
$4
7 5
%=< "
Angenommen, es gibt
reelle Zahl CBD" mit
9 ):
5=
;5>
9 mit $4
;5
%@?A" und $
;5>
%BA" , dann gibt es eine
H ;5 J> I H 5 4> I
E ;
5 E $ %
C FF G
FF FF C
FF
und es folgt:
H 5 >4I H ;5
5 >4I
:
C
+KC
5
5 >
Also ist orthogonal zu +KC
*9 und damit raumartig (Widerspruch!).
"
$4
;5
%+
Definition 3
Ein lichtartiger Vektor
•
•
L!"!# heißt
7 5
;5
zukunftsorientiert NM
$4 %?
;" 5
7 9 5 ,
vergangenheitsorientiert NM
$ %OBP"
9 .
Q
Bemerkung
>
Zwei lichtartige Vektoren !"!# haben genau dann die gleiche zeitliche Orientierung,
wenn bezüglich jeder Orthonormalbasis ihre vierten Komponenten das gleiche Vorzeichen
haben.
Definition 4
R
Für
•
•
von
S
SX
in
heißt
TU
S
YTU
S
R .
V ist zukunftsorientiert W Zukunftslichtkegel und
FFZV ist vergangenheitsorientiert W Vergangenheitslichtkegel
FF
114
III Elektromagnetische Felder
III.1.2 Lorentztransformationen
Im folgenden werden orthogonale Transformationen, also lineare Abbildungen
mit der Eigenschaft
!"
und affin orthogonale Transformationen #$%&"
, deren zugehörige lineare Abbildungen
orthogonale Transformationen sind, betrachtet. Zunächst werden die wichtigsten
Eigenschaften aus I.1.2 für den Spezialfall der Minkowski-Raum-Zeit formuliert.
'()
Eigenschaften orthogonaler Transformationen
a) Jede orthogonale Transformation
ist ein Isomorphismus.
b) Orthogonale Transformationen bilden lichtartige Vektoren auf lichtartige Vektoren ab.
Folglich bilden affin orthogonale Transformationen Lichtstrahlen auf Lichtstrahlen und
Lichtkegel auf Lichtkegel ab.
c) Orthogonale Transformationen sind mit der zu
assoziierten quadratischen Form
verträglich und durch diese Eigenschaft charakterisiert.
d) Orthogonale Transformationen bilden (unter Berücksichtigung der Position des zeitartigen
Vektors) Orthonormalbasen auf Orthonormalbasen ab und sind durch diese Eigenschaft
charakterisiert.
*
,+ -./0
123 54+ ,6 +7 + %3 54,6 +87 9
2 ,6 ,6 9:;' Vorbemerkung (zur folgenden Definition)
orthogonale Transformationen, so gilt:
Sind
und
1 + + -4,+ -4,+ ;' &<
Folglich bildet die Menge der orthogonalen Transformation zusammen mit der Verkettung
von Abbildungen eine Gruppe.
/0
Definition 5
Eine orthogonale Transformation
heißt allgemeine (homogene) Lorentztransformation. Die Menge der allgemeinen Lorentztransformationen versehen mit der Abbildungsverknüpfung heißt allgemeine (homogene) Lorentzgruppe. Man schreibt dafür:
=> ?@AA"
orthogonal
B 4 <
= > eine allgemeine Lorentztransformation und es seien C ED8F+ D8F- D8FG D8HF und
I ED8F+ D8F- D8FG D8HF mit D8FJ ED8FJ für K LMNOP Orthonormalbasen von .
Dann ist die mit der orthogonalen Transformation und der Orthonormalbasis C assoziierte
I
Matrix die Koordinatentransformationsmatrix von C nach :
QSRT U Q UVT W X J Y HJ T Y[Z + $\ HM]H <
Bemerkung
Es sei
115
III. 1 Die Minkowski-Raum-Zeit
Mit
gilt dann:
!
!
"
" '% &&
!
#$!
(*)
,+-. . /'0 ,+-'. . 1. . /0 2
*354 7698 8 34 : 76 ;34 : 76 8 8 354 76 und man erhält in Komponenten:
> > ?
3 4 < 7 6 ; 8 3 4 : 76 8 =
> A
# > >@? >@??
> ?A
# > ?
>BA >@A?
> AA
# > A
# > '% &&
# > ?
# > A (DC
> Entsprechend gilt umgekehrt: Zu einer gewählten Orthonormalbasis
3 HJI FKL mit
Matrix
FE 'FE ? G E A G E ist jede
*3:M 3N*3 3:
die Koordinatentransformationsmatrix des Basiswechsels
FE G E ? G E A G E MOPQFE Q E ? Q E A Q E Q
für eine orthogonale Transformation . Die Menge der Matrizen mit dieser Eigenschaft bildet
VUWIX .
zusammen mit der Matrixmultiplikation eine Untergruppe von RTS
Definition 6
Eine Matrix
3YH=I F KL mit der Eigenschaft
*3:M 3 ;3 3: 2
)
heißt allgemeine Lorentzmatrix. Die Menge der allgemeinen Lorentzmatrizen versehen mit
der Matrixmultiplikation heißt allgemeine Lorentzmatrizengruppe:
Z[\^]_J`WacbedgfhFiLhjjkl _*bm kl b,noqp r5s
Vorbemerkung (zu folgendem Lemma)
bt_vuwBx yz hx{ y|} d~q[ \
Für
gilt wegen
k l _b m k l b
:
h
‚
_
w ‡‡ h9ˆ @
w ‡‰ h € @
w h‡ h s
€T x{ y|} w x h w y „h ƒ… x o … y† _*wB‡} h9ˆ @
Es folgt:
w@h‡ h _  ˆ w@‡} h9ˆ w@‡‡h9ˆ w@‡‰ hTŠ P‹ Œ w hh Œ Š  s
~q[\
Die Gruppe
w hh wird dadurch in zwei Teilmengen zerlegt, die durch das Vorzeichen der
Komponente
bestimmt werden. Diese beiden Teilmengen unterscheiden sich durch die
Wirkung ihrer Elemente auf die Zeitorientierung lichtartiger und zeitartiger Vektoren.
116
III Elektromagnetische Felder
! " # $
%'&)(
*,+ -. + % $/10"243 6 5 + 57 298;:%<.= > + ? @: <= > A -. + BDC
*,+ -. + $ 6E + +GFIH 298;:@<= > + ? :@<= > A -. + B C
Lemma 4
Sei
und
folgende Aussagen äquivalent:
a)
b)
c)
eine Orthonormalbasis von
. Dann sind
.
erhält die Zeitorientierung aller (nicht-trivialen) lichtartigen Vektoren, es gilt also:
erhält die Zeitorientierung aller zeitartigen Vektoren:
%
Beweis: Siehe [26].
Damit zeigt sich, daß die durch das Vorzeichen der Komponente
bestimmten
Äquivalenzklassen der Lorentzmatrizen Klassen von Lorentztransformationen entsprechen,
welche die Zeitorientierung erhalten bzw. ändern. Dabei wird die Unabhängigkeit von der
gewählten Orthonormalbasis gerade durch das obige Lemma sichergestellt. Man definiert
daher:
JK L
N
&
(
%
8
M
8OM %QPSR (
T '?
T
*,+ VU T
*,+ VU C
Definition 7
Eine allgemeine Lorentzmatrix
•
•
heißt
kausalitätserhaltend (orthochron)
nicht kausalitätserhaltend
,
.
Entsprechend heißt eine allgemeine Lorentztransformation
•
kausalitätserhaltend (orthochron) , wenn
erhält, wenn also gilt:
•
nicht kausalitätserhaltend, wenn
E T + % +4FIH 2
E T + % +4FIW 2
die Orientierung aller zeitartigen Vektoren
die Orientierung aller zeitartigen Vektoren umkehrt:
Nicht kausalitätserhaltende allgemeine Lorentztransformationen ändern die Zeitorientierung
aller zeitartigen und (nichttrivialen) lichtartigen Vektoren und sollen im folgenden nicht mehr
betrachtet werden. Desweiteren werden nur noch solche Orthonormalbasen zugelassen, die
mit der bereits fest gewählten Standard-Orthonormalbasis
gleich orientiert sind
und deren zeitartiger Vektor zukunftsorientiert ist:
!#
! " # $
! # Definition 8
gleichorientierte geordnete OrthonorEine zulässige Basis von ist eine mit
malbasis
mit zukunftsorientiertem zeitartigen Vektor .
117
III. 1 Die Minkowski-Raum-Zeit
Bemerkung
Eine weitere Möglichkeit, die Orientierung der Basis in eher klassischer Weise festzulegen,
ist zusätzlich
zur Zeitorientierung die Forderung der „Rechtshändigkeit“ der raumartigen
Vektoren
bezüglich der Restriktion des inneren Produktes auf den Unterraum
(das dort positiv definit, also ein Skalarprodukt ist) und des durch auf definierten Vektorproduktes.
Man fordert dazu für %'&(
&(
*)+
,
&(
#
)+
:
#
+.
) -0/213
!#"#$
Vorbemerkung (zur folgenden Definition)
Die Beschränkung auf zulässige Basen wirkt sich auch auf die als Basiswechsel in Frage
kommenden Lorentztransformationen und Matrizen aus:
Für 465879;: gilt wegen <>= 40?@<>=4 :
ABC>D
4
I
Setzt man 4
K
<8K
so gilt:
4
? < = 4
und
ABC
A BC
ABC
A BC
? <>=4FE 4 ?HG
<>= G
4
ABC
A
B
C
0 I
FJ
4
4
3
<L4
mit
&M
P
M
(ON
) Q
Q
P
+
4
? < ? < = <L4
4
ABC ABC
< G
4
ABC
N
U U U U und V
Sind nun aber STK
K
für die Koordinatentransformationsmatrix 4
•
•
X
ABC
4
^]
? < = 4
4
4
ABC
<>=
4R5'79;:
I
< =
3
U U U U U U U U zulässige Basen von W , so gilt
YX
[Z .
5
79;: von S nach V :
\
, denn S und V sind gleich orientiert und
, denn U und U U sind zukunftsorientiert.
Definition 9
Eine allgemeine (homogene) Lorentztransformation heißt eigentlich, wenn sie orientierungserhaltend ist.
Die Menge der eigentlichen kausalitätserhaltenden homogenen Lorentztransformationen ist
definiert durch
7_K
0`a
5'7O:Hb!c
a
#
fa
d>e
1
orientierungserhaltend g
3
Entsprechend ist die Menge der eigentlichen kausalitätserhaltenden Lorentzmatrizen definiert
durch
79RK
ih
4
YX
X
[ Z 5'79;:kj
j
l]
! ABC
4
0m
3
118
III Elektromagnetische Felder
Bezeichnung
Zur Vereinfachung wird im folgenden kurz Lorentzgruppe genannt, die Elemente
heißen kurz Lorentztransformationen. Matrizen
heißen kurz Lorentzmatrizen.
Bemerkung
a) Es ist leicht nachzuweisen, daß
von
) ist.
b) Jede Lorentztransformation
eine Untergruppe von
(und
eine Untergruppe
überführt zulässige Basen in zulässige Basen.
Definition 10
Die Poincaré-Gruppe (inhomogene Lorentzgruppe)
ist die Menge der affin orthogonalen
Transformationen, deren zugehörige lineare Abbildungen Lorentztransformationen sind:
affin linear
Beispiele für Lorentzmatrizen
Im folgenden werden zwei spezielle Untergruppen der Lorentzmatrizen betrachtet. Dabei ist
zu beachten, daß eine entsprechende Bezeichnung für Lorentztransformationen erst dann Sinn
macht, wenn durch Auszeichnung einer zulässigen Basis ein Bezugssystem fest gewählt ist
und so die eindeutige Zuordnung
!
" $%
# '&)(+*, von Transformationen und Matrizen ermöglicht wird.
a) Die Untergruppe der Raumdrehungen
- .0/02 1 53 4 687:9;7< 2 1 =)>,?@A6BCED Die Gruppeneigenschaften folgen unmittelbar daraus, daß =)>,?:@A6BFDGIHJ@LK;M6B
:
tergruppe ist. Es gilt hierbei für jede Lorentzmatrix N@LOQP RSB 7PT( RVU8W -XX O W 7 OZ3 Y 7 O ? 7 [
X OO 7 W O 7 Y
O 7 ? [
7\7
eine Un-
jede Lorentzmatrix mit der letzten Eigenschaft ist also bereits eine Raumdrehung.
b) Die Untergruppen der Schübe (boosts) in Richtung der ersten drei Einheitsvektoren
3Ib ^b 3
3
] P ^ P @L_JB`,a _ D F c8 ed;eK;
3b bf3
wobei man für a
_ setzt:
j WeW k)l:m t p n)q o uvvv
t q nro:s w
W @L_JBghh
hi p q
pq
nrnro o s
nro s
119
III. 1 Die Minkowski-Raum-Zeit
und entsprechend durch Vertauschung von Zeilen und Spalten
!
"
# % $&(' gilt dann die relativistische
Geschwindigkeitsadditionsformel:
) *)!+), - /.1032 )546) ) 032 )
"
sowie
8
) 7 9):;<46) 032 )
"
)
/
=
>@? .
Die Gruppeneigenschaft folgt schließlich mit
Für
Vermöge der Variablentransformation
A%BCED &FG:8HGIE: &J
KML:8H A%BCED K N/
erhält man die hyperbolische Form eines Schubes:
: EC D K O K &
S7T Q: P(R/S CED K
DK
UWV7X(Y Z
UWV7X(Y Z
S7TUWV7X(Y Z
(
P
/
R
S
UWV7X(Y Z UWV7X(Y Z
W
U
V7X(Y Z
und analog
DK
: CED K
DK
: CED K P(R/S
S7T D K
S7T
(P R/S
!O K &
D K : CED K
: CED K
DK
P(R/S
S7T
S7T
P(R/S
O K &
9 A%BCED K 9 9 9 "
120
III Elektromagnetische Felder
Damit gilt:
!
" $#
%!&'
& )(* + ,.-&+/ "0+12+354
Satz 1
,768
Für jede Lorentzmatrix
gibt es einen Schub
+ ,=< , so daß gilt:
Raumdrehungen : :;
>
mit
,9-
und zwei
4
: ; :
Beweis: Siehe [26].
Bemerkung (Physikalische Interpretation)
,?68
Ist
die Koordinatentransformationsmatrix eines Basiswechsels
A @ + A @ + A@ B + A@ C D9EA @ + EA @ + EA@ B + EA@ C '
GFHGIJH
für eine Lorentztransformation
, so entspricht obige Zerlegung
1. einer Raumdrehung des ersten Bezugssystems, so daß die erste Raumachse in Richtung
der Bewegung des zweiten Bezugssystems relativ zum ersten zeigt,
2. einem Schub in Richtung der Ersten der gedrehten Achsen (also in Richtung der Bewegung des zweiten Bezugssystems relativ zum ersten), so daß die Raumachsen des
gedrehten ersten Bezugssystems sich bezüglich des zweiten in Ruhe befinden und
3. einer weiteren Drehung dieser Raumachsen auf die Achsen des zweiten Bezugssystems.
121
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
III.2 Die Maxwellschen Gleichungen
„Die Wissenschaft ist eine Differentialgleichung.
Die Religion ist eine Randbedingung.“
Alan Turing
und magnetisches Feld
werden in einer affinen -Form
zusamElektrisches Feld
mengefaßt, die auf konvexen maximaldimensionalen Teilmengen der Minkowski-Raum-Zeit
definiert ist. In dieser Betrachtungsweise sind die homogenen Maxwellschen Gleichungen
äquivalent zur Geschlossenheit dieser -Form. Durch Kombination der elektrischen Erregung
und der magnetischen Erregung
in einer weiteren -Form
sowie der Ladungsdichte
(als zeitlicher Teil) und der Stromdichte (als räumlicher Teil) in einer -Form erhält man
eine entsprechend elegante Formulierung der inhomogenen Maxwellschen Gleichungen.35
III.2.1 Die Maxwellschen Gleichungen im Wandel der Zeit
Es soll nun kurz die zeitliche Entwicklung der Formulierung der Maxwellschen Gleichungen
nachgezeichnet werden.36 Auf die Betrachtung physikalischer Hintergründe und der speziellen
in der Physik Verwendung findenden differentialgeometrischen Methoden wird an dieser Stelle
verzichtet.37
In der anfänglichen Formulierung der Maxwellschen Gleichungen werden Abhängigkeiten
von Vektorfeldern
!"#$&%'
beschrieben, die jedem raum-zeitlichen Ereignis (bezüglich der Standardbasis des
zusammen mit der Zeit) einen (Raum-)Vektor zuordnen, der die Feldkomponenten in Richtung der
kanonischen Basisvektoren enthält:
)(*,+-./10* 3 2&4'+56.*$70*$ $3298
Im einzelnen betrachtet man dabei folgende Vektorfelder:
•
•
•
•
•
Das (äußere) elektrische Feld
– die Wirkung der elektrischen Kraft auf eine Ladung als passives Objekt –,
die elektrische Erregung (Verschiebung)
– die aktiv durch eine Ladung erzeugte elektrische Kraft –,
das (äußere) magnetische Feld (magnetische Induktion)
– die Wirkung der magnetischen Kraft auf eine Ladung als passives Objekt –,
die magnetische Erregung (Verschiebung, Feldstärke)
– die aktive Rolle einer Ladung, die ein magnetisches Feld erzeugt – und
die elektrische Stromdichte
– die Ladung, die sich durch eine Fläche hindurch bewegt.
Weiterhin findet ein Skalarfeld Verwendung, die Ladungsdichte
: ;'9$$! : 3$&%'98
35
Betrachtungen elektromagnetischer Erscheinungen in Differentialformenschreibweise finden sich beispielsweise in [32,
33, 24].
36
Vgl. dazu speziell [33].
37
Weiterführende physikalische Einzelheiten finden sich etwa in [21, 19, 32, 33].
122
III Elektromagnetische Felder
Der Zusammenhang dieser Felder wird durch die Maxwellschen Feldgleichungen und durch
Materialgleichungen beschrieben.38
In den Materialgleichungen
treten „Tensoren“ auf:
für raum-zeitliche Ereignisse
• Die elektrische Permittivität ,
• die magnetische Permeabilität und
.
• die Konduktivität
sind die linearen Abbildungen und stets positiv definit39,
Für ein Ereignis
ist entweder positiv definit oder verschwindet. Im Spezialfall eines isotropen („richtungsunabhängigen“) Mediums sind die Matrizen Vielfache der Einheitsmatrix; man kann die
obigen Tensoren in diesem Fall also als (skalare) Funktionen40 betrachten:
"!#%$&'%(
) *+
Die Maxwellschen Gleichungen in ihrer anfänglichen Form sind partielle Differentialgleiindizierten Komponentenfunktionen der elektromagnetischen Felder
chungen der mit
in Richtung der Standardbasisvektoren des
. Die räumlichen Koordinaten werden dabei
mit
bezeichnet, die partielle Ableitung nach der Zeit üblicherweise durch den Punkt:
,-.
•
Die homogenen Maxwellschen Gleichungen:
/ " 0 / 43 / 6
/ 21 / ,51 / .
(1) Die Quellenfreiheit:
/ $ / 73 8
/ , / . $: 9 0
/ 40 $ / 8
/ . / $: 9 3
/ 73 $ / 40 8
/ / , $: 9
(2) Das Induktionsgesetz:
•
Die inhomogenen Maxwellschen Gleichungen:
/ 0 / <3 /
/ ;1 / ,=1 / .
(4) Das Durchflutungsgesetz:
/ $ / <3 ?@0
/, /.
1
/ 0 $ / ? 3
/. /
1
/ <3 $ / 0 ?
/
/,
1
(3) Die Eigenschaft „elektrische Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes“:
38
39
40
8>
09
93
9
ABDCFEHGHI
JKBDCFEHGHI
Die klassischen Formulierungen und Bezeichnungen finden sich etwa in [19, 21, 23].
Mit thermodynamischen Mittel kann gezeigt werden, daß
und
zusätzlich symmetrisch sind (Vgl. [21]).
Vgl. [19].
123
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
Eine kürzere, seit Ende des 19. Jahrhunderts Verwendung findende Schreibweise ermöglichen
die Operatoren „Divergenz“ und „Rotation“:41
(1)
(2) (3)
(4) Seit Mitte des 20. Jahrhunderts verwendet man schließlich eine der vierdimensionalen Situation angemessene Differentialformenschreibweise:
•
Die homogene Maxwellsche Gleichung:
(H) •
Die inhomogene Maxwellsche Gleichung:
" #$
%'&( ( " )
+*
(I)
! Die elektromagnetischen Felder sind dabei in den Formen , -, /.0 13245
768 9$245
7:0;/245
<
<
<
. 9$24 ;
6 ;/24 1
: 1324 9>=
" 7
?
<
. 13245
6 9$2@5
: ;$245
-,
A.0 9$24 ;
360 ;$24 1
3:8 1324 9>=
/
?
?
?
6 9
: ;
, . 1
5CB
"
und
zusammengefaßt:
Bemerkung
a) In der Minkowski-Raum-Zeit gelten zwischen äußerer Ableitung und Koableitung unabhängig vom Grad D des Operanden stets die Beziehungen
E<( (
!
=
)( (
! =
denn für eine D -Form F
mit DHGEI J=K=L=MN gilt:
`. _ . ( (
!OF PRQTSVU XJ WZY\[]^ ^
F
E?( (
F
und folglich auch
( (
?( ( ( (
E
! F
U W F
E .`_
.`_ . _ .
U JW []`^ [aY\bc]b ^ U XJ W ][aY\bc] ^ F
.`_d d .
^+] ^ eF
U JXW[]`^
eFfB
b) Man erhält die klassischen Maxwellschen Gleichungen aus den Gleichungen (H) und (I)
durch komponentenweise Betrachtung bezüglich der Standardbasis:
41
Vgl. dazu I.4.4 Exkurs: Die klassischen Differentialoperatoren.
124
III Elektromagnetische Felder
Aus der homogenen Gleichung
folgt aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Basiselemente komponentenweise das
Induktionsgesetz (2)
"!# $ & % $ ! '$ % ! $ % und die Quellenfreiheit (1)
! % )(
Entsprechend erhält man die klassischen inhomogenen Maxwellschen Gleichungen (3)
und (4) aus der inhomogenen Gleichung
*
+ $,.-0/ 1 1 + "
, / 1 + $21, .03
durch komponentenweise Betrachtung, denn bezüglich der Standardbasis gilt:
+ . -$4) 4 5$64 1 #7 #7 #7 3
$ 4) 5$ 4 4 4 $ 4 5$ 4 7 7 7 7 7 7 8
125
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
zusammengefaßt also
! !
! ! $
! ! sowie
#"
%"
%" &
%' ' %" ' %" ' %" )( *
Man erhält:+
,(-
. ' / ! ! ' / ! ! ,' ! ! %"
%"
%" *
c) Die Kontinuitätsgleichung, also die lokale Formulierung der Ladungserhaltung, folgt aus
+
der inhomogenen Maxwellschen
Gleichung (I):
0
'21
und folglich+ gilt:
% 34' / ' 87:9<; ' 0%0 0#'
' ' ' ' )( %"65
(
( * III.2.2 Materialeigenschaften
In der Theorie elektromagnetischer Felder sind Materialeigenschaften abhängig von einem
raum-zeitlichen Ereignis und einer Richtung. Man hat es dabei mit Abbildungen
=>@? ACBED#F 43 G3 ? 56&HG3 ? 5I5
JK
A =ML> G3 J 5 ,A G3 J 5
G3 J 5
JPO
? ein
zu tun, wobei ? eine Teilmenge des Ereignisraums N
und
für jedes
G
3
5
3
5
.
R
Q -Vektorraum ist. Betrachtet man zum Beispiel das Tangentialb
? >
? einer
S -dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit ?UT N , soündel
ist die Abbildung =ML ein
S
G
3
5
J
V
R
> L 3 ? 5 von ? in J .
Endomorphismus des -dimensionalen Tangentialraums
126
III Elektromagnetische Felder
Da in dieser Arbeit maximaldimensionale konvexe Teilmengen
des Ereignisraums
gehörige Vektorbetrachtet werden, deren Verschiebungsvektorraum stets der gesamte zu
raum
ist, wird zur Vereinfachung im folgenden
als von
unabhängig angenommen.
Man kann daher als Materialeigenschaften Abbildungen der Form
für einen endlichdimensionalen
-Vektorraum
betrachten.
III.2.2.1 Materialeigenschaften in klassischer Formulierung
! " # ! $&%'$)( *
$&% " + $)( ", ! $)( ",.-/0 1
"
2
0
3
$ % " + "4$ ( ".-50 61
7 8
" "
$&% " +;: $)( "<-/0
= > 0? 1
In der klassischen Formulierung elektromagnetischer Zusammenhänge ist
für einen festen Punkt eine Abbildungen zwischen 3–dimensionalen -Vektorräumen, deren
Elemente Bilder der betrachteten elektromagnetischen Felder sind. Die Abhängigkeit zweier
läßt sich also beschreiben durch:
Vektorfelder
Die Maxwellsche Elektrodynamik gründet auf der Voraussetzung eines punktweise linearen
Zusammenhangs elektromagnetischer Felder,
ist also für jedes
eine lineare
Abbildung, die bezüglich der Standardbasis des
als Matrix geschrieben werden kann:
9
Die auftretenden Matrizen sind dabei diagonalisierbar, und
sind positiv definit,
ist
positiv definit oder verschwindet.
Ist
zusätzlich richtungsunabhängig, so spricht man von Isotropie. In diesem Fall sind
die Matrizen
stets proportional zur Einheitsmatrix, es gilt also:
mit einer Funktion
III.2.2.2 Materialeigenschaften in Differentialformennotation
Im vorliegenden Modell, dem die Differentialformenschreibweise der Maxwellschen Gleichungen zugrunde liegt, verwendet man anstelle der üblicherweise betrachteten Vektorfelder
affine -Formen, also affin lineare Abbildungen von maximaldimensionalen konvexen Teilmengen
des Ereignisraums
in den Vektorraum der alternierenden -fachen Multilinearformen
. Die zugehörigen Materialeigenschaften sind Abbildungen
@
ABC A B C 2A B C
ED" ED"
@
D>0FAA BB C C
für -fache Multilinearformen
und damit auch des Vektorraums
@
, wobei hier die Unabhängigkeit des Vektorraums
vom Ereignis
ausgenutzt wird.
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
127
Bezeichnung
In Anlehnung an die klassische Terminologie lassen sich die Bezeichnungen für spezielle Materialeigenschaften auf die Differentialformennotation übertragen und somit als Eigenschaften
der Abbildung
ausdrücken:
•
Die Abbildung heißt affin linear, wenn sie in der ersten Komponente affin linear ist,
wenn also für jedes
die Abbildung
affin linear ist.
•
•
linear, wenn sie in der zweiten Komponenten linear ist, also wenn
heißt
die Abbildung
!" ! Die Abbildung
für jedes
linearheißtist.homogen bezüglich , wenn unabhängig vom betrachteten Ereignis ist, also
wenn gilt:
$# &%' # ( ) +*
Hinweis: Eine solche Abbildung ist also konstant in der ersten Variablen, dem raumzeitlichen Ereignis. Da es in der Minkowski-Raum-Zeit keine absolute, sondern nur
relative, vom gewählten Bezugssystem abhängige Gleichzeitigkeit gibt, ist auch ein rein
räumlicher Homogenitätsbegriff (für jeden festen Zeitpunkt) stets bezugssystemabhängig.
•
Ist
nicht homogen bezüglich
, so nennt man
heterogen bezüglich .
Die affine Materialgleichung
Unter Verwendung dieser Bezeichungen erhält man für den Zusammenhang der affinen
–Formen
und
eine Materialgleichung
,
-
.-
.- ! / !0 - ! 1%2 mit
/!" 34 5 36 57/! / für eine affin lineare und lineare Abbildung
/8:9 3 5 3 057/ *
Bemerkung
Um auch in der Differentialformennotation einen an die Anschauung angelehnten Isotropiebegriff einzuführen, ist es notwendig, zwischen Raum- und Zeitrichtungen zu unterscheiden.
Dazu sei
eine zulässige Basis von . Dann ist
$;=< ; 3 ;6> ;? @ BA ; <C ; 3 ; <C ; >
; 3 C ; >
; <C ; ?
; 3 C ; ?
; >0
C ; ?E
D
128
III Elektromagnetische Felder
eine Basis von
. Weiter habe die Abbildung in einem Punkt bezüglich
Diagonalgestalt mit positiven Diagonalelementen. Dann gibt es reelle Konstanten
so daß für alle
"!$#&%'(
*)+ + + + ! %-, /! . % gilt:
) , 102
*) + + + + ! %, ! . %
"!$#&%'(
34
"!$#&%'(
*)+ + + + ! %
! %, ! . 6
% 5
Um die Unabhängigkeit der Konstanten von der gewählten (zulässigen) Basis sicherzustellen, ist die Verträglichkeit mit Lorentztransformationen erforderlich. Es genügt dazu, die
Verträglichkeit mit Raumdrehungen und Schüben zu überprüfen:42
a) Für die (spezielle) Raumdrehung mit
:+ 7 :+ 7 :+ 7 <+
8 7 :+ ;
8 7 <
+
)>9= 8 7 <+ 8 7 <+ ;
,
7
erhält man wegen
"!$#&%'(
= A ?@
@B
aus der Bedingung
für die
*)+ + + + *) 7 7
! %, ! . %
! %
"
$
!
&
#
'
%
(
C
C
*) + + +D +D ! %, ! . %
E "!$#&%'"
E "C !$#&%'"
+D C *) 7
*) + + +D
! , !JI . !GFH
!GFH
*) + + + + ! %
! %, ! . L
% K
7 7
, ! . %
*) 7 7 7 7 ! %, ! . %
D+ + 7
! , !I . )
*
! % 7 ! 7 % , 7 ! . 7 % "!$#&%'(
"!$#&%'(
Konstanten die Beziehungen:
und 5
Umgekehrt ist leicht verifizierbar, daß diese Bedingung hinreichend für die Verträglichkeit
mit beliebigen Raumdrehungen ist.
b) Die Verträglichkeit mit Raumdrehungen sei nun bereits erfüllt, es sei also
) , >
M N 02
mit reellen Konstanten
BasisvektorsU
M )V 0WW
, >2 XJY[Z\ V
42
Vgl. III.1.2, Satz 1.
Z]$^_\
V
*) + + + + ! %O, /! . %
34P
*)+ + + + /
M M N>Q
! R , /! . S
!GFH
"!$#&%'"
M M T . Durch den (speziellen) Schub in Richtung des ersten
U
U
V 3Dbb
4
c
`
=
)V ) e;V
` Z]$^_\
,d
,f
V
XYaZ\
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
129
erhält man mit
"!$#
die Verträglichkeitsbedingung:
*+ ,
,6
%'(& )
B
%
&
&
0 3>= 0BA 3EDFHG ()'I
0 = 0BA
-/.10
2435.1687:9<; ; ;@? ;C?
0
JK-'7L9; ;M ;C? ;CM@? N
O % (& )P - Q = - G = A
7G L9 ; - Q; M ; 6 9 = ; ? - G ; M? = ;A ? 6
G 7L9 ; 6 = ; M A ; 6R 9 ; ? ; M? ; ?
7L9; ; ; ? ; ?
G % (& & )P - Q - = - G = A G - =
G 7L9 ; ; M ; - M = A ; 9 ;G ? - = ; M? 9 ; M? ; ?
G 7L9; 6 ; M ; -@= ; ?6BA 9 ; M? G ; ?- = R
H$ %B(& 7L 9%B; (& & ;@@M # ) ; - ;C? = G 9 $;C M? %B(& ;C%B? (& & ## ) = # - A G $ % (& % (& & # 7L) 9; - ; 6 = G $ % (& % (& & ## 7L) 9; 6 ;@ M = ;C# ? - A ;C? 6
7L9; ; M ; ? ; ?
G % (& ) 6 = # A 7L96 ; ;
G %B(& & ) 7L9; - ; = # ; ?-KA ; ?
G $$ %B(& & 7L 9; %B(& ;@#M S1#;C? ) ;CM? - = G %B(& & T %B(& @# ) = # A
G $$ % (& & % (& #S1# ) 7L9; - ; 6 = G % (& & % (& # ) 7L9; 6 ;@M = # ;C?6 A ;CM?
? U
7L9; ;
7L9; ; M ; ? ; M
Damit diese Gleichheit und damit auch die Gleichheit aller Koeffizienten in der DarstelVQX @Y erfüllt ist, müssen die
lung bezüglich der Basis für beliebige QVW und alle
&
&
&
%
%
7
?
Konstanten ( und ( notwendigerweise gleich sein.
Wie bei der Betrachtung der Raumdrehung ist hier leicht nachweisbar, daß diese Bedingung für die Verträglichkeit mit Schüben auch hinreichend ist.
Bezeichnung
•
•
Z% & heißt isotrop in einem Punkt [ V Z bezüglich % , wenn es eine Vreelle
Konstante
(]_
\ ^ gibt, so daß für jede alternierende ` –fache Multilinearform X CY gilt:
7
?
% [ = %B(& )
9 7
7 U
%
Die Abbildung
ist in diesem Punkt also linear und richtungsunabhängig in allen
Variablen.
Z heißt isotrop bezüglich % , wenn die Isotropie bezüglich % in jedem Punkt [ V Z
erfüllt ist.
%
Für den Fall, daß Z homogen und isotrop bezüglich einer Materialeigenschaft ist, gibt
% & VaW , so daß gilt:
es eine Konstante
% [ = %&)
V VX
9 7
7 b [ Z 7 @Y ? U
% & eine Materialkonstante.
In genau diesem Fall nennt man
130
III Elektromagnetische Felder
Bemerkung
a) Ohne Normierung der Lichtgeschwindingkeit
Lorentztransformationen die Bedingung43
erhält man für die Verträglichkeit mit
Umgekehrt impliziert die Forderung der „Invarianz des Vakuums“ (und damit des
Übergangs von Galileitransformationen zu Lorentztransformationen) zusammen mit obigem Transformationsverhalten (für eine zunächst beliebige reelle Konstante ) eine
Lichtgeschwindigkeit, die der Gleichung
genügt44, im vorliegenden normierten Fall also .
definieb) Die oben gestellte Forderung der Basisunabhängigkeit der die Abbildung
renden reellen Konstanten schließt nicht die Möglichkeit aus, basisabhängige Materialeigenschaften zu betrachten. Bei der Modellierung realer Strukturen ist es sogar erforderlich, solche zuzulassen. So sind natürlich Materialeigenschaften, die etwa das elektrische
und magnetische Verhalten von Festkörpern beschreiben, im allgemeinen nicht invariant gegenüber Raumdrehungen (zum Beispiel bei Gitterstrukturen), geschweige denn gegenüber Schüben, also bei Übergang von einem Bezugssystem, in dem der Körper ruht, zu
einem sich dazu gleichmäßig gradlinig bewegenden Inertialsystem. Die klassischen nur
die Raumdimensionen berücksichtigenden Bezeichnungen „homogen“, „heterogen“ und
„isotrop“ sind daher stets als homogen, heterogen bzw. isotrop bezüglich des gewählten
Bezugssystems zu verstehen. Beim Wechsel zu einer anderen zulässigen Basis und der
damit verbundenen orthogonalen Transformation der Koordinaten sind dann stets auch
die basisabhängigen Materialeigenschaften entsprechend zu transformieren.
III.2.3 Die diskreten Maxwellschen Gleichungen
Die Maxwellschen Gleichungen in Differentialformenschreibweise werden an die Situation
diskreter Daten in Eckpunkten vierdimensionaler Simplizes angepaßt. Man erhält Gleichungen für die eindeutig bestimmten Interpolierenden der Funktionswerte in den Ecken dieser
Simplizes, also Gleichungen für affine -Formen auf -Simplizes.
Dazu sei !#" #$ #%'& ein orientiertes ( –Tupel affin linear unabhängiger Punkte in ) ,
es sei *,+ - !#" #$ %&/. das orientierte (maximaldimensionale) von diesen Punkten
aufgespannte -Simplex und 01+ " 2 #1 für 3465 8798:9 <; .
> 4@ A *BA & mit
Weiter seien = =?
=C+ D E9FHGI E9FH%KG J D E9FHG I E9FH%LG J D $ E9FH$G I E9FH%G
JNM E9FHG I E9FH$G JNM E9FHG$ I E9FHG JNM $ E9FHGI E9FHG O
O
> + O =C
E9FHGI E9FH%KG J E9FHG I E9FH%LG J $ E9FH$G I E9FH%G
JNP E9FHG I E9FH$G JNP E9FHG$ I E9FHG JNP $ E9FHGI E9FHG
43
44
Eine Behandlung der Invarianz der Materialgleichungen findet sich etwa in [23].
Vgl. dazu [7, 30].
131
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
und
!
# %$ $ $ ! die duale Basis zu einer zulässigen Basis
eine affine " -Form auf , wobei
# $ $ $ ! von & sei.
affine -Formen auf
Ist nun
' )(*+ *+ *+ *+ die Zerlegung in nach außen orientierte , -Simplizes, so folgt aus
-/.01324. !
mit dem Stokesschen Integralsatz auf Simplizes:
2. 5 ! 41476 -/.9:6 /.0 <=?> 6 /.0 =?< > 6 .9A
8
;8
( 8@
( ; 8@
III.2.3.1 Die Integralform der diskreten homogenen Maxwellschen Gleichung
=
Aus der homogenen Maxwellschen Gleichung (H) erhält man nicht nur das Verschwinden der
, sondern sogar das Verschwinden
Summe der Integrale über die Ränder der Randsimplizes
jedes einzelnen Summanden. Mit dem Stokesschen Integralsatz auf Simplizes folgt aus
-BC1ED 6 -BF1 $HG 1 $III$KJ
8@
die Integralform der diskreten homogenen Maxwellschen Gleichung auf
6 BC1 $LG 1 $III$KJ A
; 8@
:
(DH)
Bemerkung
M C N 1 $III$KJO
6 BC132 G PN 1 $III$KJO5Q N M O4$
; 8 @
Durch das Verschwinden der Summe aller fünf Integrale folgt jeweils eine der Gleichungen
aus den vier übrigen. Gilt nämlich für
so erhält man:
?=< > 6 BF1 D 6 BC
; 8SR
( ; 8@
U< @WV T X 6 BF1[A
@ZVY R ; 8@
132
III Elektromagnetische Felder
III.2.3.2 Die Integralform der diskreten inhomogenen Maxwellschen Gleichung
Aus der inhomogenen Maxwellschen Gleichung (I) folgt:
'&)(*,+-&/.0.0.1&243
! "$#
%" #
Mit dem Stokesschen Integralsatz erhält man die Integralform der diskreten inhomogenen
Maxwellschen Gleichung auf 5 :
6" #
"%#
'&)(*,+-&0.0.0.0&243
(DI)
Bemerkung
Auch hier läßt sich der Stokessche Integralsatz auf
7
89;:=<
"%#
>
6"
und mit (DI) erhält man:
7
89;:=<
"%#
7
8
;
9
=
:
<
6 "%#
"
5
?+
7
8
;
9
=
:
<
"%#
'
anwenden. Es gilt:
6"
@
"
Aus der Gültigkeit der inhomogenen Maxwellschen Gleichung auf
Integralsatz folgt also die Ladungserhaltung auf 5 :
+A
"
@
"
'3
5
und dem Stokesschen
CBEDF1G = HIBEDJ/CG0K0=HIBEDL0G =HIBNM/G 7 O-G0P
- G0P 3
%Q@R0R0RQ 7
Diese Eigenschaft der -Form ist somit eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit der
2
diskreten Maxwellschen Gleichungen auf dem orientierten -Simplex 5 .
Dabei folgt wie oben aus dem (stets erfüllten) Verschwinden der Summe der Integrale und
der (Voraussetzung der) Ladungserhaltung jeweils eine der Gleichungen aus den vier übrigen.
Sei dazu
7
89;:=<
und für
7
89;:=<
@?+
"%#
6 "%#
+-&0.0.0.0&24X
ein SUTWV
ZY( T[V +-&0.0.0.0&24X\ V/S X]&
"%#
6" #
dann gilt:
a8 `
f8 `
@ '3
c
#
0
b
d
g
#
0
b
d
"i^
#;b/e ^ 6 "%#
#hb/e ^ "%#
6 _" ^
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
133
III.2.4 Die komponentenweise Formulierung der
diskreten Maxwellschen Gleichungen
" !#
Zur Verkürzung der Schreibweise sei nun
+,, . /10324/*576 9::
+,, . =? 0324?=5A@ 9::
. / 6 5 =< > . ? @5
$ &% ' ( !#*) )
. 60;
. @ 0;
' (!# - 8
-8
.
.
2CB .
sowie mit )
Zur komponentenweisen Formulierung der diskreten Maxwellschen Gleichungen ist es erforderlich, die betrachteten
affinen Formen zu transformieren. Dazu sei D )*EGF3E ein
$
I
H
%
für J LK MMMN und D )*E F3E die duale Abbildung.
Basiswechsel mit D Dann gilt:
OH P D D $ H %
mit den Komponenten
$H H $H H $
H
Q P D %
% % J K MMMNV
D
( !#RSUT
( !#
und folglich:
III.2.4.1 Die homogene Gleichung
W
Für die in der homogenen Gleichung betrachtete -Form
erhält man:
Z
\
YX Z D $ H % H Z [ X \ D $ H % H \ [
+ !#
!#
9
Z \ - D $ H Z % D $ H \ % ; H Z H \
' !# +
9 Z \
Z
\
\
Z
Z \ - $ D $ H % D $ H % 2 D $ H % D $ H %% ; H H V
.
Es sei nun ein ]_^a` MMMNb fest gewählt. Da für die Gleichung (DH) die Orientierung
auf den dreidimensionalen Randsimplizes von c unerheblich ist, kann man (willkürlich) eine
5 0 ` . MMMNbqp `] b wählen.
Orientierung auf dfe hg e ji e hk e hlm mit `]on ] ] ] b
$
Es sei also c ) d e g e i e k e l % m ein orientiertes Simplex. Diese Orientierung legt auf
dem Rand r s
r 0
c Zt !
nvuwYxhyz{{{zwY| xj}~z{{{zwYxh€q
134
III Elektromagnetische Felder
! eine Orientierung nach außen fest: Mit
" # $ " (% '
% & Man setzt nun
)
)
)
)+
* * " * * '
Dann erhält man mit dem (von , abhängigen) Basiswechsel
- .0/1. )
23546 / 3 87 :9 ;;;<
und
=
)
)
) )
C
+
B
%> 3 ?
A 3 3 3 - 3 % - 3 > 6 - 3 > - 3 % D 9FEHGJIHKLE <
@ @
B über # :
für das Integral von
= )VU )VU
M B M
+
?% A > %>CT %XW T >
NPORQ NSORQ @ @
=
" %[ ]\ =
9
YVZ ?%& 6 9 ^ _ _ _ ^a% ` ^ _ _ _ ^ " b 6 ^ _ _ _ ^a% ` ^ _ _ _ ^ " c
=
=
=
=
=
=
\
9
d " 6 " 6 " 5e " 5e 6 fc '
gilt für den nach außen orientierten Rand:
Es folgt die komponentenweise Darstellung der diskreten homogenen Maxwellschen Gleichung
in Integralform für die Seite
des Simplex :
) )
) )
B
B
+
g ? % > 6 %> - % - > " 6 - % " - > ) )
) )
@ % A > @ + B
B
6 ? %> 6 %> - % - > " 6 - % " - > ) )
) )
@ % A > @ + B
B
e ? %> 6 %> - % - > 6 - % - > '
@ % A > @
) ) )
Achtung: Der Basiswechsel , die Vektoren " und die Indizes , ;;; , " hängen von
,ihHj g ;;;<]k ) ab! Die in) der Gleichung auftretenden reellen Zahlen
- % > Hl8m b > 8 9FEnGJE <J 9oEHKLE Y sind aber nur einmal zu bestimmen, da sie durch die Diskretisierung festgelegt sind.
B ;;; B "
+
Bemerkung
Die durch Ersetzen der Komponenten
durch die klassischen Feldkomponenten
und
entstehenden Gleichungen sind aus Gründen der Übersichtlichkeit
im anschließenden Kapitel aufgeführt.
p p p "
q q q "
135
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
III.2.4.2 Die inhomogene Gleichung
Für die inhomogene Gleichung (DI) müssen die -Form und die -Form transformiert
werden. Es gilt:
! "
$# % '
& $%( # *
) #%( #
& + # %) #$ %*& %$ - , *
/.0,
und
65
3 24
& # % '
# ) # *
) % ,
(87779;: 87779
324
1
<
mit
/. ,
<
A
&-C %
A
B
0 , >= .3
? @24
% # %
B
C #
& C B
F
DE
D # G
G
D % "I
H
A
, .3
+ = 3 24
A
B
& # G
G
% "IK
&/J
Mit einem Basiswechsel
L . MONPM
RQ& NTS erhält man
V
H*U
HWWWHX
0,Y
Z[3
sowie
, 324
,
1
Z624
0 , ]\ L \ S 9Z ^ L \ S _[ ^ & L \ S [ ^ L \ S 9Z ^^ " S Z S [ L \ S Z ^ S Z 5
`7779
1
777
Z624
1
L a \ S Z ^ S 5
Z
Z624
8777
L \ S Z9^ S Z 5
K
Wie oben sei nun ein bdcfe B HWWWHXYg fest gewählt. Da auch für die Gleichung (DI) die
Orientierung auf den Seiten von h unerheblich ist, kann man für ikj ml H j mn H j po H j pq6r mit
eb!s H b H b # H b % g
e B HWWWHXYg9t eb g wiederum willkürlich eine Orientierung wählen, indem das
.3
orientierte Simplex h i \ j pl H j mn H j po H j pq ^ r betrachtet und damit auf dem Rand uvh einen Orientierung nach außen festgelegt wird.
136
III Elektromagnetische Felder
Setzt man weiterhin wie oben
so erhält man mit dem (von abhängigen) Basiswechsel
"!#
$&%(')*!+% -, /. &0&0&0&21
und
3546&7(
8
: 9 % 2; % <
9 <=
% 4 % -> % > 6? % > 7@? ) % > 7@? % > 6?:? .ACBEDCF5A 1
für das Integral von 4 über GIH
:
=
J
J
4<
8
3(467<QSR6TUQSR7
;
6
7
9 <
KMLON =
KPLON :9
.
VXW 3 4: > ? )Y3 4: > ? )X3 4 2 > ?(Z 3 4 2 > ?(Z 3 4 2 > ? X
) 3 4 2 > ?\[
.
V W 8
46 7 > ? )
46 7 > ?2_ > 6 > ? 7 > ? ) 6 > ? 7 > ?:?
;
6
7
=
:9
9<^] =
8
46 7 > ? )
46 7 > ? _ > 6 > ? 7 > ? ) 6 > ? 7 > ?:?
)
;
:9 6 7 9<-]\=
=
Z
8
:9 6 ; 7 <
9 -] =
46 7 > ? )
=
46 7 > ?2_ > 6 > ? 7 > ? ) 6 > ? 7 > ?2?\[Y`
Mit
3XSba 4 W ) Z > ? > ? > ? ) > ? > ? > ? > ?(Z > ? > ? > ? > ? ) > ? Z a 4 > ? W
) > ? Z > ? Z (
a 4 W >
) > Z > > ? > ? ) > ? > (
? Z > ? > ? ) ? > ? > ?
? > ?
Z a 4 > W
) > ?
Z > ?
LON
a(4c
J
LON
> ? > ? > ? > ? > ? > ? ? > ? ) > > ?(Z > ?
> ? ) > ?
> ?
> ?
> ?\[
? > ? > ?
> ? > ?
> ? > ?\[
? > ? > ? ) > ? > ? > ?
> ? > ?(Z > ? > ? > ?
> ? > ? ) > ? > ? > ?\[
erhält man für das Integral von a 4 über H :
J
> ? > ?
> ? > ?
> ? > ? [
3UQSR TUQSR TUQSR .
1 d 8
c
%e(f
3 > g ?-`
III. 2 Die Maxwellschen Gleichungen
137
Somit folgt die komponentenweise Darstellung der diskreten inhomogenen Maxwellschen
des Simplex :
Gleichung in Integralform für die Seite
' )( +* ' .- $/
"!$#&% #,% 0
* ' .5+* ' .- /
#,% 4! #,% .
7
+
*
6
'
' .- /
# % 4"! # % +* 4
132 0 1 0 1 0 12
+* 4
0 1 0 1 0 1 0 1
+* 4"8
0 1 0 1 2 0 1 2 0 1
Hinweis: Auch hier sind der Basiswechsel , die Vektoren '9 9 und die Indizes : 9;;;9 : BA abhängig. Es ist daher0 naheliegend, diese
1 1 2Größen
1
von :=<?>3@ 9;;;9
und damit die reellen
Zahlen
DCEGF 9 ,HJIH? 9 KHDL+H?M 9
0 1
1
vom homogenen Fall zu übernehmen.
Bemerkung
und
durch die klassischen
Die durch Ersetzen der Komponenten
Feldkomponenten
und entstehenden Gleichungen sind
wie bei den homogenen Gleichungen im nächsten Kapitel aufgeführt.
N % 9 ;;;9 N %
O 9 O 9 O 49 P 9P 9 P 9 N 9 N 9 N 2
2
2
9 ;;;'9 $
# %Q 2
# %
IV Das diskrete Modell der
Maxwellschen Gleichungen auf
vierdimensionalen Simplizes
„Der naive Realismus führt zur Physik, und die Physik
zeigt, daß der naive Realismus falsch ist. Deshalb ist der
naive Realismus, falls er wahr ist, falsch; deshalb ist er
falsch.“
Bertrand Russell
Die im vorherigen Kapitel durch Anwendung des diskreten Differentialformenkalküls auf die
Maxwellschen Gleichungen erhaltenen Versionen bilden die Grundlage des diskreten Modells
elektromagnetischer Felder auf vierdimensionalen Simplizes. Im folgenden werden nun die
für diese Modellierung erforderlichen Hilfsmittel und Techniken vorgestellt. Dazu werden
die diskreten Maxwellschen Gleichungen unter Verwendung der klassischen Feldkomponenten auf vierdimensionalen Simplexpolyedern, die in den Gleichungen auftretenden Materialeigenschaften sowie die für die Lösbarkeit notwendigerweise zu setzenden Randbedingungen
betrachtet. Abschließend wird an einem numerischen Beispiel die Verwendung des entwickelten diskreten Modells demonstriert.
IV.1 Die diskrete Modellierung elektromagnetischer Felder
„Viele physikalische Systeme sind rechnerisch irreduzibel; das effizienteste Verfahren, ihre Zukunft zu bestimmen, ist also ihre eigene Entwicklung.“
Stephen Wolfram
Nachfolgend werden Hinweise für die Modellierung einer realen Situation im Blick auf die
Verwendung der Ergebnisse der vorausgehenden Kapitel zusammengetragen. Bei Betrachtung
konkreter Beispiele sind die Komponenten der in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Felder bezüglich eines gewählten Bezugssystems, im allgemeinen des Ruhesystems der
betrachteten Situation, zumeist also des näherungsweisen Inertialsystems eines Ortes auf der
Erdoberfläche, von Interesse. Daher werden zunächst die als Ergebnis des letzten Kapitels gewonnenen komponentenweisen Darstellungen der Maxwellschen Gleichungen nach Ersetzen
der aus Gründen der Übersichtlichkeit eingeführten Hilfskomponenten durch die klassischen
Feldkomponenten aufgeführt. Anschließend wird die Einbeziehung von Materialeigenschaften
und Randbedingungen diskutiert. Im darauf folgenden Unterkapitel sind Hinweise für die Diskretisierung der betrachteten Teilmenge der Minkowski-Raum-Zeit zusammengestellt. Es wird
ein einfaches Verfahren beschrieben, um aus einer gegebenen dreidimensionalen Simplizialzerlegung des Raumes durch Zylinderkonstruktionen eine Zerlegung der Minkowski-Raum-Zeit
in vierdimensionale Simplizes zu erhalten. Es folgen einige Bemerkungen bezüglich der Umsetzung des klassischen Stabilitätskriteriums. Schließlich werden die speziellen Eigenschaften
des vorgestellten diskreten Modells zusammengefaßt.
140
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.1.1 Die diskreten Maxwellschen Gleichungen unter
Verwendung der klassischen Feldkomponenten
Es sei
Basis. Weiter sei
eine zulässige Basis von
und
die zugehörige duale
ein vierdimensionales Simplexpolyeder,
wobei
die vierdimensionalen Grundsim
plizes einer Simplizialzerlegung
von ) seien. ) Für zwei Simplizes
!
!
!"$#%
gilt damit also:
687-9
!
%
% (' *)+$,-%
&
IKJ
0
)
% >@?8ACB
&
9
J<LNM
&
G
DFF
) E
! ;
)
!
% -:<;8= %
&
% /.
&
falls
V
!
%
falls
FFH
!
% :
&
9
)
% >
&
JPLQR2S A *
T A U
)
)
V W
% > X
= %
&
&
% :
)
= %
;
ONJ
!
&
!
%
2140
3 5
;
IV.1.1.1 Die Diskretisierung der elektromagnetischen Felder
Auf jedem vierdimensionalen Simplex werden die durch die Werte in den Eckpunkten
eindeutig bestimmten affinen Y -Formen Z und Z [ sowie die affine \ -Form ] betrachtet. Dazu
seien die Werte in
einem Punkt
_
%^
! % !c
!a`
)
I %
% Md _
&
%
! !a`
&2b
definiert durch
Z
&eb
_
!
!a`
& b
%/! e
Z
%
Z[
_
!
!a`
%/! 2
Z[
& b
5
c
Es sei nun [
Randsimplex
•
m
O
•
dg8QPh
ij Z
ij clk Z[
) 2
!
!a`
Z
und
ij clk
]
_
& b
Z[
ein vierdimensionales Simplex
I %
eine Orientierung
Basisvektoren
o
h
von sowie
ein Basiswechsel
% % N % M &
%
%
&
q
n
)
&
p% h
I %
% % N % o
$rs
h
%
&
&
mit
% % % N % M 0*)
]
%/! W
sowie eine simpliziale
) W
die
Menge der dreidimensionalen Seitensimplizes in
c [ wird
m
•
•
\
%
]
Durch diese Vorschriften
erhält
man simpliziale Y -Formen
\ -Form ] auf
bezüglich :
f
\
. Für jedes solche
der Eckpunkte,
p% mit
q
o
! h
o
%
&
p% ! P1 o
\
h
%
&
p% B
gewählt. Für die Anwendung der diskreten
Maxwellschen Gleichungen
werden
die Ein*)
ij ij
sowie die
schränkungen von
Z , Z [ und ] auf
, also die affinen Y -Formen Z
Z[
ij
I %
% % % tM
&
affine \ -Form ]
betrachtet. Damit erhält man für die orientierte Seite
folgende Ergebnisse:
IV. 1 Die diskrete Modellierung elektromagnetischer Felder
141
IV.1.1.2 Die diskrete inhomogene Maxwellsche Gleichung
!
" !
#
$
$
$
$
!
%
&%
&%
&%
!
' ()
*()
&
( +( &
( *( &
(,
*(,
&
(,
*(,
&
( +( (,
*(,
&
(,
+(,
&
( *( &
- *- &
-)
*-)
&
-)
*-)
&
- *- &
-,
*-,
&
-,
*-,
&
- *- &
- *- &
-,
*-,
*.
Die in der Gleichung auftretende Gesamtladung, zusammengesetzt aus der skalaren Ladungsdichte % und den Komponenten /$/$ des Stromdichtevektors, wird in jedem Punkt 0
durch die zu modellierende Situation vorgegeben.
142
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.1.1.3 Die diskrete homogene Maxwellsche Gleichung
!!
!!
" " $# $# "
"
! # # !
"
"
! # # !
" " $# $# " " $# $#! "$
"$
! # # !
" " $# $# " " $# $#! "$
"$
! # # !%
IV.1.1.4 Materialeigenschaften
&
Der Zusammenhang der Feldkomponenten in beiden Gleichungen wird durch die Materialgleichungen
'()*
'"+
'
,
'(.-
'/0
'
1 '(.2
'"+
'
hergestellt. Die dabei auftretenden Tensoren sind bei einer Modellierung von Materialien
(also nicht des Vakuums) im allgemeinen vom gewählten Bezugssystem abhängig. Für
die Gewährleistung der Invarianz des Vakuums, einem insbesondere (im allgemeinen Sinne)
isotropen Medium, wo also anstelle der bezüglich einer gewählten zulässigen Basis auftretenden Matrizen positive reelle Konstanten
und
verwendet werden
können, ist zu beachten, daß die in III.2.2 für die Einführung eines allgemeinen Isotropiebegriffs geforderte Basisunabhängigkeit der Materialgleichung durch die Bedingung
) ,3 )*
'
- ,3 4-
'
)$6-75 erfüllt wird. Diese Bedingung entspricht (ohne Normierung der Lichtgeschwindigkeit) der
klassischen Bedingung
) - 8 5 , 9
IV. 1 Die diskrete Modellierung elektromagnetischer Felder
143
wobei die Permittivität des Vakuums und die Permeabilität des Vakuums physikalische
Konstanten sind.45
So ist es also bei konkreter Modellierung neben der Betrachtung der Maxwellschen Gleichungen zusätzlich erforderlich, den lokalen Zusammenhang der Feldkomponenten in jedem
Knotenpunkt durch folgende linearen Gleichungssysteme herzustellen:
!"
$ #
('
&%
Die auftretenden Matrizen sind dabei zwar stets diagonalisierbar, haben aber im allgemeinen
bezüglich der gewählten zulässigen Basis keine Diagonalgestalt. In einem im klassischen
Sinne (also basisabhängig) isotropen Medium vereinfachen sich die Zusammenhänge durch
den Übergang zu reellen Konstanten:
!"
)*#+
$
,
)-
'
%
IV.1.1.5 Randbedingungen
Für die eindeutige Lösbarkeit des durch das vorgestellte Verfahren entstehenden Gleichungssystems ist es im allgemeinen erforderlich, Randbedingungen vorzugeben, wobei aufgrund
der vierdimensionalen Betrachtungsweise und der nur relativen (bezugssystemabhängigen)
Gleichzeitigkeit erst nach Auszeichnung einer Basis und damit der Wahl eines Inertialsystems
zwischen klassischen Anfangs- und Randbedingungen unterschieden werden kann.
In bezug auf die Anzahl von Gleichungen und Unbekannten hat man folgende Situation:
sind jeweils drei Komponenten des elektrischen und des
• In jedem Knotenpunkt
magnetischen Feldes, also sechs Unbekannte plaziert. (Durch die Materialgleichungen
!
#
können die elektrischen Felder und sowie die magnetischen Felder und jeweils
identifiziert werden.)
• Auf jedem dreidimensionalen Randsimplex hat man zwei Gleichungen gegeben.
• Auf jedem vierdimensionalen Simplex folgt die homogene Maxwellsche Gleichung auf
einer der Seiten aus den vier übrigen. Ebenso folgt unter der (notwendigen) Voraussetzung
der Ladungserhaltung auf dem gesamten Simplex eine der inhomogenen Gleichungen aus
den anderen. Von den insgesamt zehn Gleichungen sind also stets zwei automatisch
miterfüllt.
• Durch Hinzunahme eines weiteren Punktes über einer Seite erhält man sechs weitere
Unbekannte und acht weitere Gleichungen, von denen aber zwei aus den restlichen folgen.
Die Anzahl der zusätzlichen Gleichungen kann sich dabei durch Einführung weiterer
Seiten erhöhen.
45
Siehe z. B. [19].
144
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
Auf einem vierdimensionalen Simplex ohne Vorgabe von Randbedingungen hat man somit
30 Unbekannte, aber nur acht Gleichungen.
Nun ist für die konkrete Formulierung von Randbedingungen ebenso wie für die Einbeziehung
von Materialeigenschaften die konkrete zu modellierende Situation ausschlaggebend. Neben
der Möglichkeit der Einbeziehung klassischer Anfangsbedingungen in das diskrete Modell
seien hier zwei der üblichen klassischen Randbedingungstypen betrachtet:
a) Anfangsbedingungen lassen sich durch die Vorgabe von Feldkomponenten in einer
„Gleichzeitigkeitshyperebene“ des Ereignisraums, also innerhalb eines nur von den
räumlichen Basisvektoren aufgespannten dreidimensionalen affinen Unterraumes modellieren. Entweder verringert sich dabei innerhalb des Gleichungssystems durch Einsetzen
der Feldkomponenten die Zahl der Unbekannten bei gleichbleibender Gleichungsanzahl,
oder man nimmt für jede vorzugebene Feldkomponente eine zusätzliche Gleichung in das
System auf, wodurch sich bei unveränderter Variablenzahl die Anzahl der Gleichungen
erhöht.
b) Die Oberfläche eines perfekten Leiters läßt sich durch das Verschwinden der zu dieser
Oberfläche tangentialen Komponenten des elektrischen und der zur Oberfläche normalen
Komponente des magnetischen Feldes modellieren.46 Man erhält so zu jedem Ereignis,
das sich auf der Weltlinie eines Punktes auf der Leiteroberfläche befindet, entsprechende
Bedingungen an die Feldkomponenten. Die Einbeziehung solcher Randbedingungen in
das zu lösende Gleichungssystem gestaltet sich insbesondere dann sehr einfach, wenn die
Oberfläche des Leiters bereits in Richtung der Standardbasisvektoren verläuft und damit
nur die entsprechenden Komponenten des elektrischen bzw. magnetischen Feldes als Null
vorzugeben sind. Wie bei den Anfangsbedingungen verringert sich dabei entweder die
Zahl der Unbekannten, oder die Anzahl der Gleichungen erhöht sich.
c) Um ein den Versuchsaufbau umgebendes (unendliches) Vakuum durch endlich viele Punkte
nachzubilden, verwendet man absorbierende Randbedingungen, die die Eigenschaft haben, Reflexionen an den Rändern, wie sie bei der obigen Modellierung perfekter Leiter
auftreten, zu vermeiden.47 Der Gedanke dabei ist, unter Annahmen über die Gestalt
der auftretenden Felder eine sich fortsetzende Welle nachzubilden, indem Feldkomponenten in Randpunkten aus Feldkomponenten innerer Punkte des betrachteten Gebietes
extrapoliert werden. Diese Vorgehensweise erfordert eine sehr gute Abstimmung der Diskretisierung auf die zu modellierende Situation. Man erhält dabei für die absorbierenden
Randpunkte bei gleichbleibender Variablenzahl zusätzliche in das System einzubeziehende
(im allgemeinen nichtlineare) Gleichungen.
Eine alternative Modellierungsmöglichkeit eines umgebenden Vakuums besteht darin, den
betrachteten räumlichen Bereich in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit sich ausbreitender Einflüsse zu vergrößern. Bei einer vierdimensionalen Modellierung läßt sich dies
sehr leicht realisieren, indem als Teilmenge der Minkowski-Raum-Zeit die Vereinigung
aller Zeitkegel der zur Anfangszeit betrachteten Ereignisse verwendet wird.
Eine umfassende Untersuchung vierdimensionaler Randbedingungsmodellierung, also insbesondere der Einbeziehung stets sehr eng mit dem konkreten zu modellierenden Beispiel
verknüpfter klassischer Anfangs- und Randbedingungen, ist ein interessantes Feld für weitergehende Forschung.
46
47
Vgl. [37].
Für die Einbeziehung solcher Randbedingungen in das in [37] vorgestellte Verfahren: Siehe [25].
145
IV. 1 Die diskrete Modellierung elektromagnetischer Felder
IV.1.2 Diskretisierung der Minkowski-Raum-Zeit
Die entwickelten diskreten Maxwellschen Gleichungen setzen ein vierdimensionales Simplexpolyeder voraus, es wird also eine Diskretisierung der für die Modellierung betrachteten Teilmenge der Minkowski-Raum-Zeit durch Zerlegung in vierdimensionale Simplizes benötigt.
Vor allgemeinen Überlegungen zu einer (im Sinne der Stabilität) günstigen Wahl einer solchen Diskretisierung sollen kurz Möglichkeiten aufgezeigt werden, unter Verwendung einer
bereits erfolgten Simplizialzerlegung des dreidimensionalen Raumes eine vierdimensionale
Zerlegung der Minkowski-Raum-Zeit zu konstruieren.
IV.1.2.1 Zylinderkonstruktionen
Ist eine Zerlegung des betrachteten räumlichen Gebietes in dreidimensionale Simplizes gegeben, also eine Unterteilung des Raumes auf einem Niveau gleicher Zeit bezüglich eines
gewählten Bezugssystems, so kann durch Bildung eines Zeitzylinders über jedem dreidimensionalen Simplex und anschließende Simplizialzerlegung dieser Zylinder ein vierdimensionales Simplexpolyeder konstruiert werden. Dabei stößt man auf das Problem, daß die durch
Zerlegung der vierdimensionalen Zylinder entstehenden benachbarten Simplizes gemeinsame
Seiten oder Untersimplizes kleinerer Dimension haben müssen, um so eine Diskretisierung
im Sinne der entwickelten Methode zu erhalten. Es sollen hier zwei Verfahren vorgestellt
werden, die dies leisten:
Es sei
ein dreidimensionales Simplex auf einem Gleichzeitigkeitsniveau bezüglich
gelte also
Mit
a)
"!$# %'& (*)
+-,. , / 012223
4 . 56 %87 & 9
+ + + + ( )
4
4 :
9
+ ';<=9
+ + ;<= + + + ';> + + + + )
für
ist dann ein Zylinder über
, es
definiert:
läßt sich durch sukzessives Abscheiden von Simplizes wie folgt zerlegen:
?
( )
Diese Zerlegung hat den Nachteil, daß benachbarte Zylinderzerlegungen zunächst nicht
zusammenpassen, da nicht notwendigerweise gemeinsame Seiten auftreten. Das Problem
läßt sich lösen, indem das Ausgangssimplex
zunächst feiner unterteilt wird und dann
Zylinder über diesen kleineren Simplizes gebildet werden. Als Punkte verwendet man
1. die Eckpunkte
2. jeweils einen Punkt im Inneren der Kanten
3. jeweils einen Punkt im Inneren der Seiten
und
4. einen Punkt im Inneren des Simplex ,
/ GCHI
= , A@ /-DB C
= , A@EF
für
,
für paarweise verschiedene
146
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
wobei jeweils die Baryzentren gewählt werden können. Anschließend betrachtet man als
feinere Unterteilung die durch Numerierung der Punkte in obigem Sinne (Ecke, Kante,
Seite, Simplex) entstehenden
kleineren Simplizes ( über jeder der Seiten) und führt
über diesen die angegebene Zylinderkonstruktion durch.
b) Eine weitere Methode, die eine feinere als die in ( ) angegebene Simplizialzerlegung des
Zylinders über zum Ergebnis hat, ist ausführlich in [2] beschrieben:
1. Für jedes Untersimplex wird ein fester Punkt im Inneren des Zylinders über
ausgewählt.
2. Mit aufsteigender Dimension wird für jedes Untersimplex die Zentralunterteilung48 in bezug auf die gewählten Punkte im Inneren und die bereits vorhandenen
Randunterteilungen durchgeführt.
Wenn bei diesem Verfahren als Punkte im Inneren der Zylinder über den Teilsimplizes
die Baryzentren gewählt werden, so passen die entstehenden Simplizialzerlegungen benachbarter Zylinder in der Weise zusammen, daß als Durchschnitte zweier Simplizes stets
nur die leere Menge oder gemeinsame Untersimplizes auftreten.
Auch bei Verwendung einer bestehenden dreidimensionalen Simplizialzerlegung ist es
möglich, die Größe der Zeitintervalle, die hier der Höhe der Zylinder über den Simplizes entspricht, der Feinheit der gegebenen räumlichen Unterteilung anzupassen. Dazu wählt
man die Kanten über den verschiedenen Eckpunkten unterschiedlich lang. In diesem Fall
hat man zwar deformierte Zylinder, die hier angegebenen Konstruktionen lassen sich aber
dennoch ohne weiteres durchführen.
IV.1.2.2 Geometrische Stabilitätsbedingungen
Eine Übersetzung des klassischen Stabilitätskriteriums auf die vierdimensionale Situation, also
der Bedingung, daß (bei einer Lichtgeschwindigkeit von ) die Zeitdiskretisierung stets
so fein gewählt werden muß, daß die Größe der Zeitintervalle kleiner als die Distanz zweier
benachbarter Raumpunkte ist und somit für zwei solche Punkte und stets "!#%$'&
gilt49, führt zu einer lokalen, rein geometrischen Bedingung an die Wahl der Simplizes.
Geht man von (bezüglich eines Bezugssystems) räumlich fest gewählten Punkten aus, so
dürfen, mit einer Ausnahme, alle von einem Ereignis ( in zukünftiger Richtung ausgehende
Kanten nicht innerhalb des Lichtkegels verlaufen, wobei die ausgenommene Kante zu einem
zukünftigen Ereignis des räumlich ruhenden Punktes verläuft. Aus Symmetriegründen läßt
sich diese Bedingung entsprechend auch in Richtung der Vergangenheit formulieren. Diese
Einschränkung stellt sicher, daß sich das elektromagnetische Feld innerhalb eines Zeitschrittes
nicht signifikant verändern kann. Es liegt nahe, eine etwas allgemeinere Bedingung zu
formulieren:
Von einem Eckpunkt )( darf in zukünftiger Richtung höchstens eine Kante innerhalb des
Lichtkegels verlaufen.
Weiterhin scheint es angebracht, zu starke Größenunterschiede zwischen den Seitenflächen
eines Simplex, die entsprechende Unterschiede der in den Gleichungen auftretenden Summanden zur Folge haben und dadurch zu numerischen Problemen führen können, zu vermeiden. Eine klassische Bedingung hierfür ist, die Simplizes nicht zu spitz zu wählen. Bei
entsprechender Formulierung ist das obige Kriterium nur ein Spezialfall (in Zeitrichtung)
dieser allgemeineren Bedingung. Dabei ist allerdings zu beachten, daß sich die geometrische Struktur des (dreidimensionalen) Raumes bei Übergang zu einem anderen Bezugssystem
48
49
Siehe [2].
Vgl. z. B. [37].
IV. 1 Die diskrete Modellierung elektromagnetischer Felder
147
verändern kann: Die Lorentzkontraktion verändert die Koordinaten in Richtung eines Schubes. Da aber für die Modellierung ein Ruhesystem ausgezeichnet wird, bezüglich dessen die
Feldkomponenten betrachtet werden und in den Gleichungen Basistransformationen verwendet werden, die durch die gewählte zulässige Basis und die Simplexkanten festgelegt sind,
genügt es, eine „ausgewogene“ Form der Simplizes innerhalb des betrachteten Inertialsystems
zu fordern. Die obige kursiv gesetzte Bedingung ist dabei allerdings durch die spezielle Eigenschaft der Lorentztransformationen, stets Lichtkegel auf Lichtkegel abzubilden, unabhängig
vom gewählten Bezugssystem.
IV.1.3 Eigenschaften des diskreten Modells
Durch das vorgestellte Verfahren erhält man ein Gleichungssystem, in dem alle Bedingungen
für die Gültigkeit der diskreten Maxwellschen Gleichungen bezüglich der gewählten Simplizialzerlegung, die Materialeigenschaften sowie die für die Lösbarkeit notwendigen Randbedingungen zusammengefaßt sind.
Bei entsprechend gewählten Randbedingungen handelt es sich bei diesem Gleichungssystem
um ein im allgemeinen sehr großes und durch die rein nachbarschaftliche Verknüpfung der
Feldkomponenten dünn besetztes lineares Gleichungssystem, dessen Gestalt entscheidend
durch die Numerierung der Eckpunkte beeinflußt wird. Eine entsprechend geschickte Vorgehensweise sollte dabei zu einem durch bekannte numerische Verfahren effizient lösbaren
System führen. Bei Wahl von Randbedingungen, die nicht zu einem linearen Gleichungssystem führen, sind entsprechend andere Lösungsstrategien zu wählen.
Da die Maxwellschen Gleichungen fester Bestandteil des zu lösenden Systems sind, müssen,
anders als bei herkömmlichen Zeititerationsverfahren, zusätzliche Forderungen an die zu
wählenden Anfangs- und Randbedingungen gestellt werden. Wählt man etwa einen auf einigen dreidimensionalen Simplizes nicht den diskreten Gleichungen genügenden Anfangszustand, so ist das gesamte Gleichungssystem nicht lösbar, während herkömmliche Verfahren zum Teil auch aus inkonsistenten Anfangswerten entsprechende Ergebnisse berechnen.
Ebenso kann die Vorgabe von zu vielen oder inkonsistenten Anfangs- und Randbedingungen
zur Überbestimmtheit und zur Unlösbarkeit des Systems führen, wogegen eine zu geringe
Zahl oder die Redundanz der Bedingungen zu einem unterbestimmten und damit nicht eindeutig lösbaren Gleichungssystem führen wird. Im Fall der Überbestimmtheit besteht hier die
Möglichkeit, das System als Ausgleichsproblem zu behandeln und so eine Näherungslösung
zu ermitteln.
Schließlich ist zu beachten, daß, um eine realistische Modellierung im Sinne eines elektromagnetischen Feldes zu gewährleisten, dessen Veränderungen durch sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitende Wellen hervorgerufen werden, entsprechende Bedingungen an
die für die Zerlegung der betrachteten Teilmenge der Minkowski-Raum-Zeit zu wählenden
Simplizes zu stellen sind.
148
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.2 Ein numerisches Beispiel
„Es gibt keinen weiter verbreiteten Irrtum als die Annahme, langwierige und genaue mathematische Berechnungen könnten garantieren, daß die Anwendung des Ergebnisses auf eine Naturgegebenheit absolut sicher ist.“
A. N. Whitehead
Zur Illustration der Verwendung des vorgestellten diskreten Modells wird nun ein (räumlich)
zweidimensionales Beispiel betrachtet, indem die Feldgrößen als unabhängig von der dritten
Raumkoordinate des Bezugssystems und damit als konstant in dieser Richtung vorausgesetzt
werden. Desweiteren wird ausgenutzt, daß elektromagnetische Felder bei Verwendung eines
zylindrischen räumlichen Koordinatensystems und der Voraussetzung der Homogenität und
Isotropie bezüglich des Ruhesystems, also von Materialkonstanten im klassischen Sinne, in
zwei unabhängige Teilfelder zerlegbar sind: Das transversale elektrische Feld (TE) und das
transversale magnetische Feld (TM). Beide Teilfelder, aus denen sich das Gesamtfeld gemäß
dem Superpositionsprinzip (welches besagt, daß die Summe zweier oder mehrerer Lösungen
wiederum eine Lösung der Differentialgleichung ist) additiv zusammensetzt, zeichnen sich
dabei durch das Verschwinden jeweils einer Hälfte der elektromagnetischen Feldkomponenten
aus. Als weitere Vereinfachung werden Ladungs- und Stromdichte, also die Komponenten
der 1–Form für die folgende Modellierung als verschwindend vorausgesetzt.
Zur Anwendung des diskreten Modells auf ein (raum-zeitlich) dreidimensionales Beispiel
transversaler magnetischer (TM-)Wellen werden zunächst die diskreten Maxwellschen Gleichungen an die vereinfachte Situation angepaßt. Anschließend werden die konkrete Simplizialzerlegung sowie die auf den einzelnen Simplizes zu erfüllenden Gleichungen entwickelt,
wobei sich letztere aus den an die Simplizialzerlegung angepaßten inhomogenen Maxwellschen Gleichungen, den entsprechenden Anfangs- und Randbedingungen, sowie aus homogenen Gleichungen auf Simplizes weiterer Simplizialzerlegungen, die gemeinsame Seiten mit
den für die Modellierung zugrundeliegenden Simplizes haben, zusammensetzen. Auf diesem
Weg erhält man das zu lösende lineare Gleichungssystem, das schließlich verwendet wird,
um in einem konkreten Beispiel das Fortschreiten einer anfänglich initialisierten Wellenfront
zu berechnen.50
IV.2.1 Das transversale magnetische Feld
Bei der Zerlegung des elektromagnetischen Feldes in zwei unabhängige Teilfelder erhält man
das transversale elektrische Feld mit der Eigenschaft
und das transversale magnetische Feld mit der Eigenschaft
deren letzteres im folgenden betrachtet wird. Neben der Homogenität und Isotropie des Materials bezüglich des Ruhesystems wird dabei vorausgesetzt, daß keine Abhängigkeit von der
dritten Raumkomponente besteht, so daß für die Modellierung eine Teilmenge eines dreidimensionalen Schnittes durch den Ereignisraum verwendet wird, der von den ersten beiden
50
Eine entsprechende Modellierung eines zweidimensionalen Beispiels für transversale magnetische Wellen, in dem das
Fortschreiten einer anfänglich initialisierten Wellenfront simuliert wird, findet sich in [37].
149
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
räumlichen
Basisvektoren und dem zeitlichen Basisvektor der gewählten zulässigen
von aufgespannt wird. Dieser Schnitt wird in dreidimensionale SimBasis
plizes zerlegt, die jeweils als Randsimplizes vierdimensionaler Simplizes betrachtet werden.
Ladungs- und Stromdichte werden im folgenden als verschwindend vorausgesetzt:
Es sei nun eine zulässige Basis von und die zugehörige
sei ein dreidimensionaler Unterpunktraum mit dem zugehörigen
duale Basis, Verschiebungsvektorraum "!#%$& , es gelte also
(')* "!#+$&-,.'0/ Weiter sei eine Teilmenge
1
1 3254442 16
7
1
1 6
mit einer Simplizialzerlegung in dreidimensionale Simplizes 444
gegeben, so daß die
18
1:9
>
=
Schnittmenge zweier Simplizes
und
für ;<
stets entweder leer oder ein höchstens
zweidimensionales gemeinsames Untersimplex ist.
Diese dreidimensionalen Simplizes
9
9
9
9
1 9 @?A' C ' C' C' +D E=F/G$IH444KJ*&
B
lassen sich nun als Seiten vierdimensionaler Simplizes betrachten. Dazu sei ein orientiertes
(dreidimensionales) Simplex
LNM O ' B C'3C'%C' KP eine Basis
RQ 444 Q von mit
Q S ' B T '3 Q ' B T '% Q ' B T' und ein Basiswechsel
U
M
(V+WX
Q 8 [H444 \
8ZY
V+W
;
gegeben.
Dann erhält man unter den obigen Voraussetzungen durch Streichen der Terme mit ] K^ C^ L
(sowie _ C` C` ) die folgenden vereinfachten Gleichungen für die orientierte Seite :
•
Die diskrete inhomogene Maxwellsche Gleichung
U
U für transversale
U
U magnetische Felder:
[
` ' V ` '
) ` ' V `
` ' V
V `
) ] '3 V*] '
' V
]
V*] ) ] '% V*] ) ] '3 V*] '
' V
]
V*] )
] '% V*] V
B K
' B K
' B U
B K
' B K
' B K
U
B K
' B K
' B K
R Q RQ
U
U
RQ U
U
RQ U
RQ RQ
U
U
RQ U
U
RQ C
U
RQ RQ
U
U
RQ U
U
RQ C
R Q RQ
U
U
RQ U
U
aQ VU
U
RQ RQ
V
U
U
RQ RQ V U
U
RQ R
Q
VU
U
R
Q
RQ
V
U
U
RQ R
Q
V U U RQ RQ V
V
RQ V
RQ K
RQ K
aQ K
K
RQ K
RQ C
K
K
RQ K
RQ C
K
(DITM)
150
•
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
Die diskrete homogene Maxwellsche Gleichung für transversale magnetische Felder:
!
!
!"!"
!
!
#!"!"##
" " %$
(DHTM)
Bemerkung
' ( ' ( ' "
&
a) Diese diskreten Maxwellschen Gleichungen für transversale magnetische Felder setzen
nicht voraus, daß das orientierte Simplex
in einem durch die Basisvektoren
aufgespannten affinen Unterraum des Ereignisraums liegt. Sie entstehen allein durch
Streichen der als verschwindend vorausgesetzten Feldkomponenten. Folglich müssen die
Gleichungen (bei Berücksichtigung der dem Modell zugrundeliegenden Annahmen) auf
jedem orientierten dreidimensionalen Simplex ihre Gültigkeit haben, unabhängig davon,
wie dieses Simplex liegt.
b) Da in diesem Beispiel ein von den Vektoren
aufgespannter und damit von
unabhängiger dreidimensionaler Schnitt durch den Ereignisraum betrachtet wird, ist die
homogene Gleichung (DHTM) offenbar stets erfüllt, denn es gilt bei den vorausgesetzten
Eigenschaften der Feldkomponenten:
'('('"
'
) * ) , 043 ',75 6 3 '05
+-,/.102+-"
3 ' 5 6 3 ' 5 % 3 ' 5 6 3 ' 5 ! 3 ' 5 6 3 ' "5 (
3 und da in jedem der Summanden ' 5 auftritt, folgt:
8 ) ;=< >
( ( ( ?7@BAC;
DE-FGIH ( ( "JK$
&
' ' '
9:
Zur Einbeziehung der homogenen Gleichung ist es daher erforderlich, weitere dreidimensionale Schnitte durch den Ereignisraum zu betrachten, bei denen auch die dritte
räumliche Richtung Berücksichtigung findet, soweit man dadurch Bedingungen an die
Feldkomponenten innerhalb der für die Modellierung betrachteten Teilmenge erhält.
c)
"
N
KLM ,PO ,L, gilt:
Mit
"
"
"
"
RQ * , ' ,UT * , , * , Q * 0 ' 02T ,I(
,POS
,POS
,PO 0VO-S
, 0 die W -te Komponente von 0 bezüglich ' ( ' ( ' ( ' " .
folglich ist
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
151
IV.2.2 Die Simplizialzerlegung einer Quaderzerlegung
Zur Einbeziehung aller für die Problemstellung relevanten raum-zeitlichen Komponenten ist
es erforderlich, verschiedene dreidimensionale Schnitte durch die Minkowski-Raum-Zeit zu
betrachten. Dabei wird das Problem nur für die folgende erste Teilmenge gelöst, wogegen
die weiteren Schnitte durch den Ereignisraum nur der Berücksichtigung der dritten Raumkomponente dienen. Bei konsequent vierdimensionaler Modellierung sind diese zusätzlichen
Betrachtungen nicht erforderlich, sie treten hier nur durch die Anwendung des vierdimensionalen diskreten Modells auf ein dreidimensionales Problem zutage.
IV.2.2.1 Die e1 -e2 -e4 -Ebene
Es wird nun eine „rechteckige“ dreidimensionale Teilmenge
!"#$%&(')+*-,
/.0 1 für #02$%&(' betrachtet.
mit reellen Intervallen
"
!435 6 70 8!9 43: 6 90; 35 90;=<<<; 3: 708!> 708!9
6 1 12CCC1 2 #0D$%&('
B
0
/
A
1
@
70L8 F M für$% @IN $J. ) #IH$%&('
mit ?
und
H
%
$
J
)
I
K
G
F
I
@
? <<<
E
? <<<
für
Es seien Indexmengen E
Multiindexmengen
%PQRP P P S P E #O$%&(')T E VU E U E E K FF O
E O%WGQRW
W
W S W E K #O$%&(')T E K U E K U E K Diese Intervalle seien in Teilintervalle aufgeteilt:
definiert. Dann erhält man für
eine Zerlegung
YX Z
Z[]^]\ _
Q @ C@ C@ S Quader
in
Z F L`J
]
cdWGQRW
W%
W S _
3 Z8 Z85a 9 #$%&(']b
ELK e
#$%&('
f Z F Bg $+Z 85a N Z 8 h
# ji
Die auftretenden Intervalldurchmesser dieser Quader seien mit
in einer Diagonalmatrix
o q rr
f Z F lkmmn f Z f Z
€
s
t
v
G
u
w
R
x
u
y
z
u
{
z
u
|
0
}
~
p
f Z
o
f Z
zusammengefaßt. Bezeichnet man weiter mit
‚ƒ w  ‚5y „
… y †  ‚:{ ‡
… { †  |‚5ˆ
… | tŠ‰wxR‰ y z
‰ { z
‰ | }0~ €
und
152
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
die auftretenden Gitterpunkte dieser Quaderzerlegung und zur Vereinfachung die Eckpunkte
für alle entsprechend der eindeutigen Dualdarstellung
eines Quaders
der Zahlen
"!#%$&(')+*&()%&,&('&(& ,&&(&('- .
mit
1 67 897 :;
/ 0
3254
/ 1 3254 6=< 7 897 :9; / 1 3254 67 8< 7 :9; / ' 1 3254 6=< 7 8< 7 :9;
/ 1 32 4 6 7 8 7 : < ; / > 1 3254 6=< 7 897 :9< ;
1 67 8< 7 :9< ;
/ ?
/ @ 1 3254 6=< 7 8 < 7 :9 <
3254 ; so gilt offenbar
J
BACDE / 0 / @ GFHI K
Um eine zulässige Simplizialzerlegung dieser Quaderzerlegung zu erhalten, wird jeder Quader
in fünf dreidimensionale Simplizes zerlegt, wobei es erforderlich ist, eine von zwei punktspiegelbildlichen Simplizialzerlegungen in Abhängigkeit des Indextripels des Quaders gemäß
einem dreidimensionalen Schachbrettmuster zu wählen (s. Abb. 1).
Abbildung 1: Quaderzerlegung
X
Für ein Indextripel LMONL
PQLRQLSTVUW richtet sich dabei die zu wählende Simplizialzerlegung
YZ MO[ Z [ Z [ ] Z [ Z [ _ Z
P\ R \ \ S^\
Y Z danach, ob L PK` L R` L S gerade oder ungerade ist. Diese beiden
eines Quaders
Simplizialzerlegungen (A) und (B) werden im folgenden angegeben. Dabei ist für jedes
Z
Simplex [ a QbcMedQfffQ(g der erste Eckpunkt als Ursprung ausgezeichnet. Zusätzlich wird
Z
Z
jeweils die zur Transformation h a der lokalen Basis gehörige Transformationsmatrix i a
bezüglich der Basis Nj P QfffQj S T angegeben, wobei der dritte räumliche Basisvektor in der
Weise vorzeichenbehaftet an letzter Stelle ergänzt ist, daß die Basis positiv orientiert ist
153
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
und Simplizes mit gleichem Index
beider Zerlegungen punktspiegelbildlich
zueinander stehen. Weiterhin wird für jedes dreidimensionale Simplex die entsprechende,
sich durch Einsetzen in (DITM) ergebende diskrete inhomogene Maxwellsche Gleichung
angeführt. Durch Einsetzen in (DHTM) läßt sich dabei ebenfalls leicht überprüfen, daß die
homogene Gleichung stets erfüllt ist.
Für ein Simplex
mit der zur Transformation
gehörigen Transformationsmatrix
gilt also im folgenden:
!
"#
&'
/
0 1 +32 544 76#"8#
4 :9 und ; < ; '< ;#= gerade $ #(*),+.- 2 ) )
:9 und ; < ; '< ;#= ungerade
mit >#?7@A&'C
BED , womit die Basis
( $ #(*) - $ #(*) - $ #(*) - $ #(*) = -- ( 2 2 2 7F ) stets positiv orientiert ist.
(A) Für gerades
; < ; < ;=
zerlegt man
GH
in folgende Simplizes (s. Abb. 2):
q6
q4
q7
q5
q2
q3
e4
e2
e1
q0
q1
Abbildung 2: Simplizialzerlegung eines Quaders (A)
(A 1.1)
(A 1.2)
b [c[ [
IKMJ LONQPR KJ S"R TJ S"R UVJ S"R W#J X'S'Y KJ LONCZ J%[]\^^_a` [[ [[cb [ [ b
[ b [ [
`
g NhZ KJ Z iJ [jlk W jlm i
n k W jlm Tonn
p Z KJ Z q J [jlr K jlm W n r K jlm T nn p Z iJ Z q J [jlr i jlm K n
`
NhZ KJ Z iJ [jlk W j R UJ n k ` W j R KJ nn
p Z KJ Z q J [jlr K j R WJ n r K j R KJ nn p Z i#J Z q J [jlr i j R TJ n `
`
`
[ b [ [`
I isJ LONQPR qAJ S"R tVJ S"R UVJ S"R T#J X'S'Y iMJ LONCZ J []\^_^ b [c[[ [[ [ b
[c[ b [
`
g NhZ KJ Z iJ [jlk W jlm W
n k W jlm Tonn
`
Z KJ Z q J [jr K jlm K` n r K jlm T nn p Z iJ Z q J [jlr i jlm i n
NhZ` KJ Z iJ [jlk W j R TJ n k ` W j R q J nn
`
Z KJ Z q J [jr K j R tJ ` n r K j R q J nn p Z i#J Z q J [jlr i j R UJ n
`
`
`
d
ee
f S
r i lj m T nn
r i j R KJ n n S
d
ee
f S
r i lj m T nn
r i j R q J nn S
$%
154
(A 1.3)
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
!
& ' )(+* (, .- /* (+, .-0 ') 1 )(+2 ' (+, .- /2 ' (+, .-3- ) 1 )(+2
') )(+* ( - /* ( -3 ') 1 )(+2 ' ( - 52 ' ( -3- ) 1 )(+2
(A 1.4)
) (+* (, ' - /* (+, -0' 1 )(+2 ' (+, .- /2 ' (+, .-3 )(+* ( - /* ( 6 -3') 1 )(+2 ' ( 7 - /2 ' ( 6 -3-
(A 1.5)
(B) Für ungerades
; ' 8 ; 8 ; 1
% +( , 4' - /2 +( , . -3 ( - /2 ( 3- - $" ##
% 1 )(+2 +( , . - 52 +( , . -3 ) 1 )(+2 ( - /2 ( 6 3- - 7
7 9 7
) (+* (, '$- /* (+, .- 8 *
') 1 )(+2 ' (+, ' - /2 ' (+, - 8
9 1 )(+2 (+, ' - /2 (+, - 8
' )(+* ( - /* ( - 8 *
8 ') 1 )(+2 ' ( - /2 ' ( - 8
9 1 )(+2 ( - 52 ( - 8
& ' 8 $" ##
1 6 7 1 & ') 8 ' 8 " ##
% +( , . - /* (+, $-32 ' (+, - 52 ' (+, -32 (+, - /2 (+, -3 ( - /* ( 7 -32 ' ( - /2 ' ( 7 -32 ( - /2 ( 7 -3-:
wählt man folgende Simplizes (s. Abb. 3):
q6
q4
q7
q5
q2
q3
e4
e2
e1
q0
q1
Abbildung 3: Simplizialzerlegung eines Quaders (B)
155
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
(B 1.1)
& ' ( 3 $" ##
! % * ),+.-() 0 / 1+.-() 0 /2/
* *),4 ) / 14 ) 5 /2/ 3 0 *),4 ) / 64 ) 5 2/ /
(B 1.2)
9 $" ##
9
% 8
- 0 7
& ' ( *),+.-() / 1+.-() - /2/
*)4 ) / 14 ) - /2/ 3 *),4 ) / 14 ) - 2/ /:
(B 1.3)
- 8
; 5 & ' *),+ - ) / 1+ - ) ; /2/
* *)4 ) / 14 ) ;5 /2/
(B 1.4)
9
9
" ##
% * *),4 ) 5 / 14 ) ;0 2/ /
9 $" ##
< 8
= > 9> %
>>
& ' ( *),+ - ) 5 / 1+ - ) =0 /2/
3 * *),4 ) 5 / 14 ) =5 /2/ 0 *),4 ) * / 14 ) =5 2/ /:
(B 1.5)
$" ##
!
<; 8
5 ; % & ' ( *),+.-() / 1+.-() * / 3 +.-() / 1+.-?) 5 /2/
3 * *),4 ) / 14 ) 0 / 3 4 ) 5 / 14 ) 0 /2/
*)4 ) 5 / 14 ) / 3 4 ) / 14 ) /2/@
Diese aus der diskreten inhomogenen Maxwellschen Gleichung (DITM) folgenden Zusammenhänge entsprechen in [37] der Gleichung
4.H
ABDCFE B
BG
BI
B
4.J
BDK
@
Aufgrund der durch Vernachlässigung der dritten räumlichen Richtung auf der betrachteten Teilmenge stets erfüllten homogenen Maxwellschen Gleichung (DHTM) erhält man
nur einen Teil der zur Problemlösung erforderlichen Bedingungen. Es fehlen speziell die
Abhängigkeiten der Ableitungen der Komponenten L und L in zeitlicher Richtung von den
Ableitungen der Komponente C in Richtung von M und M .
156
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.2.2.2 Die e1 -e3 -e4 -Ebene
Betrachtet man im obigen Modell anstelle des Unterpunktraums
einen dreidimensionalen
Unterpunktraum
mit zugehörigem Verschiebungsvektorraum
und eine dreidimensionale Teilmenge
"! $#&%(' )*#+,-#/.0&1&23*54$67 mit einer zur obigen analogen Simplizialzerlegung, so ist keine der beiden diskreten Maxwellschen Gleichungen a priori erfüllt.
Es ist dabei für ein Simplex
die Transformation
durch
8 # 9 ;:+<&=-<-<&>-<&? 16%@2AAA-B$
<MEONP< = RQS2-T*-3*
K
L
QSU4 und V V V gerade C $#9 D FEHG JI NW> >X
QSU4 und V V V ungerade C"#9
so festgelegt, daß die Basis
D C #$9 D G- C #*9 D > G- C #*9 D G- C #*9 D G5G D < N(< = -< > N(< = -< N(< = Y6 > G
positiv orientiert ist.
D V V V G
W
Z
9
,
V
V V V :
Man erhält folgende Gleichungen für die Zerlegung eines Quaders
Typs (A) für gerades und des Typs (B) für ungerades
(A 2.1)
[
(A 2.2)
[
(A 2.3)
[
(A 2.4)
[
(A 2.5)
[
[ U\ D+] 9 G&N(\ D+] 9 GX
U^ 9 D+_ > D0] `9 G&N _ > D+] 9 G5G ^ 9 D+a D+] =9 G&N a D+] 9 G5GX
[ U\b D+] c9 G&N(\b D+] 9 GX
U^ 9 D+_ > D0] =9 G&N _ > D+] 9 G5G ^ 9 D+a +D ] `9 G&N a +D ] 9 G5GX
[ U\ D+] =9 G&N(\ D+] >9 GX
U^ 9 D+_ > D0] c9 G&N _ > D+] >9 G5G&N(^ 9 D+a +D ] 9 G&N a +D ] >9 G5GX
[ U\b D+] `9 G&N(\b D+] d9 GX
U^ 9 D+_ > D0] 9 G&N _ > D+] d9 G5G&N(^ 9 D+a D+] c9 G&N a D+] d9 G5GX
[ U\ D+] =9 G&N(\ D+] c9 G&N(\ D+] 9 G \ D+] `9 GX
U^ 9 D+_ > D0] =9 G&N _ > D+] c9 G _ > D+] 9 G&N _ > D+] `9 G5G
N(^ e9 D+a D+] =9 G a D+] c9 G&N a D+] 9 G&N a D+] `9 G5G f
des
157
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
(B 2.1)
! (B 2.2)
! (B 2.3)
! " " # " (B 2.4)
$ $ # $ (B 2.5)
! # ! ! &%
Das Problem zerfällt damit in zwei entkoppelte Teilprobleme:
•
•
in Richtung von ' konDie inhomogene Maxwellsche Gleichung erfordert, daß
stant sein muß, was bei der Betrachtung von zu ' transversalen magnetischen Feldern
erwartungsgemäß ist.
in zeitlicher
Die homogene Gleichung erfordert die Abhängigkeit der Änderung von
in Richtung von ' , man hat es also mit
Richtung ' und der Änderung von
einem Problem in einer von ' und ' aufgespannten affinen Ebene zu tun. Dieser
Zusammenhang entspricht in [37] der Gleichung:
()
* .+
) %
),
) /
Bei der Betrachtung einer für transversale magnetische Felder durch Vernachlässigung der
zweiten räumlichen Richtung nur teilweise interessanten Teilmenge erhält man also Glei
chungen, die, da die Abhängigkeiten in Richtung des Basisvektors ' fehlen, auch nur einen
Teil der die Felder determinierenden Informationen berücksichtigen. Dabei trägt die homogene Maxwellsche Gleichung (DHTM) eine der fehlenden Abhängigkeiten bei, wogegen die
inhomogene Gleichung nur triviale Information liefert.
158
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.2.2.3 Die e2 -e3 -e4 -Ebene
Nun wird eine Teilmenge
!#"$&%')(
*,+.-/ - +10
eines Unterpunktraums
mit zugehörigen Vektorraum
eine zu den obigen analoge Simplizialzerlegung betrachtet.
4365
78#9 *
2 und
=<?>@9>$A> > B
:$ ;
ist die Transformation C; wiederum durch
I >LENMO>@QPRTS9%'
J
FEHG K M, A PRU(
C ; D
und V
V
V
gerade
A PRU(
und V
V
V ungerade
Für ein Simplex
so festgelegt, daß die Basis
D C ; D A G C ; D G C ; D G C ; D G)G D > A M> @ >WM> @ >WM> @ XY A G
positiv orientiert ist.
Man erhält folgende Gleichungen für die Zerlegung eines Quaders Z,; ,
V V :
Typs (A) für gerades und des Typs (B) für ungerades V
[
(A 3.1)
(A 3.2)
[
(A 3.3)
[
[ U\] D ^ GMO\] D ^ A GW
;
;
U_ ; D` A D^ a; GM ` A D^ A; G)GM_ ; Db D^ @; GM b D^ A; G)GW
[ U\] D^ c G M\] D ^ GW
;
;
U_ Y
A
G
M
A D^ ; G)GM_ Y
@
D
`
D
?
^
`
; Db D^ a; GM b D^ ; G)GW
;
;
(A 3.4)
[
(A 3.5)
[
[ U\
U_
D ^ @; GM\ D ^ ; GW
; D` A D?^ c; GM ` A D^ ; G)G#_ ; Db D^ ; GM b D^ ; G)GW
[ U\] D ^ a GM\] D ^ d GW
;
;
U_ ; D` A D?^ ; GM ` A D^ d; G)G#_ ; Db D^ c; GM b D^ d; G)GW
[ U\] D^ @ GM\] D^
;
U_ Y
D
`
; A D?^ @; GM `
_ ; Db D^ @; G#
c; G M\] D^
A D^ c; G# `
b D^ c; GM
; #G \] D^ a;
A D^ ; GM ` A
b D^ ; GM b
WG D^ a; G)G
D^ a; G)GWe
V
D G
V V V
des
159
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
(B 3.1)
!
(B 3.2)
(B 3.3)
" " $# %" (B 3.4)
& & $# %& (B 3.5)
$# $# # $# '
Auch dieses Problem zerfällt in zwei entkoppelte Teilprobleme:
•
•
Die inhomogene Maxwellsche Gleichungen erfordert, daß
in Richtung von ( konstant
sein muß.
in zeitlicher
Die homogene Gleichung erfordert die Abhängigkeit der Änderung von
in Richtung von ( was in [37] der Gleichung
Richtung und der Änderung von
)*
+ . *
*,
* /
entspricht.
IV.2.2.4 Die e1 -e2 -e3 -Ebene
Schließlich wird nun ein rein räumlicher Schnitt
01 1 1 324 ( # 4 ( # 4 ( !5 46798 :%6 <; 6>= ? 3@ BA%<C%DEGF 1 1 1
1 1 1 EIH mit Vektorraum J 1 1 1KILMNO$2 ( ( ( D
für einen Unterpunktraum F
entsprechenden Simplizialzerlegung betrachtet.
6 ist für ein Simplex Q 6 SRT & TU T TV wieder durch
Die Transformation P
Y T W T & ]\ ^@ BA%BC%
Z
P 6 (XW [ ( \ `_ und a # a # a gerade \ `_ und a # a # a ungerade ( mit einer
160
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
so festgelegt, so daß die Basis
!
positiv orientiert ist.
Man erhält für die Zerlegung von
&%
'%
Typs (B) für ungerades #
#
"
#
#
,
$
#
#
#
des Typs (A) für gerades und des
:
(
(A 4.1)
*)+, )+, *. /0, /0, .
(
/, /, (
(A 4.2)
*)+, )+, (
*. /
, /
-
, %
. /
, /
1
2, (
(A 4.3)
*)
(
, ) , 1
*. /0, /0, .
/, /, *)+, )+, 3
*. /0, /0, %
3
1
/, /2, 3
-
(
(A 4.4)
(
.
(
(A 4.5)
*)+, )+, % )+, )+, 1
*. / , % / , / , / , 1
% . / , / , / , % / , 4
1
(
(
(B 4.1)
(
*)+, )+, 1
*. /0, /0, .
3
1
/, /, 1
*)+, )+, 3
*. / , / , %
/
, /
2, /
, /
3
, -
(
(B 4.2)
(
. (
(B 4.3)
*)
(
*. , )
/
, , / , . -
(
(B 4.4)
*)+, )+, (
*. /0, /0, %
.
/, /2, (
(B 4.5)
(
*)+, )+, % +
) , )+, 3
*. / , % / , / , / , 3
/ , % / , 4
% . / , / , 3
161
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
Man erhält die folgenden zwei entkoppelten Teilprobleme:
•
•
in Richtung von .
(DITM) erfordert die Konstantheit von
(DHTM) setzt die Ableitung von
in Richtung und die Ableitung von
in Richtung
von
in Beziehung. Dies entspricht (zusammen mit der vorausgesetzten Bedingung
) der Quellenfreiheit des magnetischen Feldes:
Hinweis: Dieser Zusammenhang wird in [37] nicht berücksichtigt, was zur Folge hat,
daß dort auch solche Anfangsbedingungen verwendet werden können, die einer (im
Sinne der Quaderzerlegung) diskreten Version der Quellenfreiheit und damit den diskreten
Maxwellschen Gleichungen nicht genügen!
IV.2.3 Das Gleichungssystem
Man erhält durch die oben vorgestellte Simplizialzerlegung der Quaderzerlegung von
Gleichungen für die Variablen
!#"%&($ '*) #"%&($ '*) + #"%&($ '*)-,/.10 )!2!2!2!)4365
innerhalb eines Quaders
7 $ 849%:<; 0 " =$ )!2!2!24) " >$ 5)@?A.C B Da die Maxwellschen Gleichungen auf beliebigen dreidimensionalen Schnitten durch den
Ereignisraum Gültigkeit haben, werden für die Problemlösung auch die Bedingungen herangezogen, die sich aus den Diskretisierungen der Mengen ,
und
ergeben und sich auf
Simplexseiten beziehen, die auch in der Simplizialzerlegung von auftauchen. Alle diese
Gleichungen lassen sich zu einem Gleichungssystem in den Variablen
*D *D D
*D D D
! E F' ) % E '*) + E '*)/G G )4G )4GIH'*. C
? )4? )4?<H'. C B und zur Abkürzung
zusammenfassen. Dazu sei ?
J &LK J &$ )*, M )ON<)QP()
R K J J H)@S K J J H)*T K J J Für den ersten Zerlegungstyp (A) erhält man damit aus der inhomogenen Maxwellschen
Gleichung das Gleichungssystem
UVVV XZY[X]\<^\<Y_\(`aX_XbXc^dXbX_XeX X XeXc` X X X XeXbX suttt
VVV X Xc`fX X XeX_XbXeXeXbXg^\<Y_\<`fXhY[Xh\<^iX X XeXbX ttt
VV \<^dXbXeX X Xc^jYk\<`lX1\<YX_XeX X XeXbX X XZ` XeXbX tt XxwLyz
W X XbXeX X XeX_XbXeXeXc`aXeX Xm^iXbX Xn\<Y[Xh\<^jYk\<` v
^o\<Yp`fX X XeX_XbXc^\<Yk`aXeX Xq\<^jY_\<`_\<^[Yr\<`fXeXbX
für
#"%=$ 'O) #"%=$ 'O) #"%=$ 'O)!2!2!2!) #"%>$ 'O) #"%>$ 'O) #"%>$ 'Q'|{
162
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
und aus der homogenen Gleichung
"!
# # # # "!
# # # # # # #
#$ "!
# # # # für
&% '(*),+-(*.013/ 24 )"50(*.61/ 24798-:;8 (*.613/ 24-<-<-<=4 ),+-(*.6>/ 24 )"50(*.6>/ 24798 (*.6>/ 2?2A@CB
$D E $GF$ GHIDDJ
H
K
FLK $DJ
HIE JKMH
KN
F$DD MF T9!
$D OF $D$$ $P
KQHK
F J
H HKN
FR
KSHD$$ $$GFD $
DJ
HK
F
HK
F$ GH
KNFD OH
KNF
"!
# # $
# # "!
# # $
#
# # # # # "!
# # # # Für den zweiten Zerlegungstyp (B) erhält man die folgenden Gleichungssysteme:
Diese Teilsysteme lassen sich mit
),+9'U VW+ 4 ") 59'UXV;5 4C798 Z
' [Y ;: 8
V+ V5
:8
in offensichtlicher Form zu einem Gleichungssystem für die Feldgrößen
,
und
in
allen Gitterpunkten der Quaderzerlegung zusammenfassen.
Zur Einbeziehung von klassischen Anfangs- und Randbedingungen können die entsprechenden
Feldgrößen auf der rechten Seite des Gleichungssystems zusammengefaßt werden oder weitere
Gleichungen hinzugenommen werden, etwa
\]PPP PP^\PP\P T
_` a
163
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
für die Bedingungen
Es zeigt sich hier insbesondere, daß man ein klassisches (explizites) Zeititerationsverfahren
dadurch erhält, daß man die unbekannten Feldkomponenten einer räumlichen Ebene aus den
als Anfangsbedingungen verwandten Komponenten benachbarter zeitlich früherer räumlicher
Ebenen der Quaderzerlegung ermittelt.
Bemerkung (Verträglichkeitsbedingungen)
Die Gültigkeit der diskreten Maxwellschen Gleichungen in dieser speziellen Diskretisierung
hat einige besondere Abhängigkeiten der Feldgrößen in benachbarten Simplizes zweier aneinander grenzender Quader mit einer gemeinsamen Seitenfläche zur Folge.
Sei dazu
für
ein Quader vom Typ A.
Für
und
ist dann
ein Quader
vom Typ B.
Durch die Gleichungen (A 1.1) auf
und (B 1.4) auf
erhält man
" !#
$&% ' (((" )+ * , , ,
, /.10243 5
67 , 85 , ,
- ? @ B 3 A 8 B 3 -
sowie
,
- 8
:9 ;"!#
$=<
9
'9 ((( )&9 >
' 3 B ? C -E9 D B 3 E C '9 D 8 C 9 D B 3 C '9 D 3 C 9 D B 3 C '9 D
9
9
9
3 @ B 3 A 8 B 3 3 C 9 D B C '9 D
9
-
und folglich
C 9 3 C ' 9
3 DB
D C 9 D B 9
9
und (B 2.4) auf 9 erhält man desweiteren
Durch die Gleichungen (A 2.1) auf 3 A ' C 9 D 3 EC '9 D C 9 D 3 B B 9
B 9
3 ' B und aus (A 4.1) und (B 4.4) folgt
3 ' C 9 D 3 C '9 D C 9 D 3 B B 9
B 9
C '9 9 D sind die Felder , und also affin linear.
Entlang der Strecke '
und (B 1.1) auf 9 die affine Linearität des
Analog erhält man etwa aus (A 1.4) auf entlang der Strecke C F ) F9 )9 .
Feldes
D
vom
Durch Betrachtung entsprechender Gleichungen auf aneinandergrenzenden Quadern Typ (A) und 9 vom Typ (B) erhält man zusammenfassend die affine Linearität aller Felder,
, und entlang folgender Strecken:
also der Felder
1) in Richtung des Basisvektors G :
IH ? und 67 , 35 , , - entlang C 9 @ und C 9 ,
• für ,
- - C D D
:.0235 und 627 , 85 , ,
- entlang
'
• für ,
9 D und C F ) )9 D ,
164
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
2) in Richtung des Basisvektors :
•
•
für
für
und entlang !"# und ! ! !$# ,
&
%
(
'
,
.
#
und )*+
! entlang ! ! ! und /!0 !1 !1 # ,
3) in Richtung des Basisvektors :
•
•
und *+ entlang ! ! !0 # und ! ! !$ # ,
für %
'
,
für und )*+ entlang !. ! ! # und /!" !1 !1 # .
Durch diese Folgerungen aus den diskreten Maxwellschen Gleichungen auf benachbarten
Simplizes erhält man ebenfalls Einschränkungen an Anfangs- und Randbedingungen. Dies
sind notwendige Verträglichkeitsbedingungen für die Lösbarkeit des Gleichungssystems.
IV.2.4 Die Implementation
Für das Beispielprogramm TM.p zur Berechnung transversaler magnetischer (TM-)Wellen
wurde die Programmiersprache Pascal-XSC verwendet.51 Die Programmläufe wurden auf
einer SUN-Workstation ausgeführt.
Das Programm verwendet an besonderen Spracherweiterungen insbesondere dynamische
Felder, damit verbunden das Operatorkonzept und das optimale (exakte) Skalarprodukt.
Sämtliche Berechnungen wurden mit der Standardrundung zur nächsten Gleitkommazahl
durchgeführt; Intervallarithmetik oder gerichtete Rundungen zur Einschließung wurden nicht
verwendet. Für die Lösung des linearen Gleichungssystems wurde keine Rücksicht auf
die Laufzeit des Programms oder Effizienz der verwendeten Algorithmen genommen. Die
berechneten Beispiele sind daher recht klein gehalten.
Der Programmablauf im Überblick:
1) Bestimmung der Komponenten der Matrix des linearen Gleichungssystems (TMMain):
•
•
•
•
•
Anfangsbedingungen
Randbedingungen
Inhomogene Maxwellsche Gleichungen
Homogene Maxwellsche Gleichungen
Gegebenenfalls zusätzliche Modellierungsbedingungen
2) Im Falle der Lösung als lineares Ausgleichsproblem (AGP=1) Berechnung der 1. Gaußschen Transformation
3) Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)
•
•
•
Überführung in obere Dreiecksgestalt (durch Gaußalgorithmus mit Spaltenpivotwahl)
Bestimmung der Lösung durch Rückwärtsrekursion (RR)
Ergebnisausgabe
Die Ergebnisse wurden mit MATHEMATICA 3.0 durch die Funktion ListPlot3D graphisch
dargestellt.
51
Der Quelltext des Programms findet sich im Anhang.
165
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
IV.2.5 Numerische Ergebnisse
Als erstes Beispiel für transversale magnetische Felder wurde das zeitliche Verhalten eines
konstanten Feldes berechnet. Die Randbedingungen wurden dabei so gewählt, daß sie mit
einem zeitlich unveränderlichen konstanten elektromagnetischen Feld verträglich sind.
Erwartungsgemäß läßt sich ein solches Problem exakt lösen. Bei der Simulation bleiben alle
drei Felder mit fortschreitender Zeit konstant.
Als weiteres Beispiel wurde das Fortschreiten einer anfänglich initialisierten Welle berechnet.
Dazu wurde ein
-Gitter verwendet, was der Simulation über Zeitschritte auf
einem räumlichen Gitter mit
Punkten entspricht. Als Intervalldurchmesser
wurden
im Einklang mit dem klassischen Stabilitätskriterium und verwendet.
Desweiteren wurden folgende (klassischen) Anfangs- und Randbedingungen gesetzt:
•
Anfangsbedingungen: Für alle
&'$#
&'$# '
"!$#
%%%
%%%
also zur Startzeit ( )
+* , 23 +*-,+
•
+*-,+
)
(
.
/0 &
&
4
) :
falls 1
sonst
&
falls 5
sonst &
Randbedingungen: Für alle
"!$#
%%%
&'$#
'$#
%%% '
sowie für alle
"!$#
also am vorderen Rand ( )
+* , %%%
7
&'$#6&'$#
%%% ) und am hinteren Rand ( '
7
&
):
8
Auf diesem Weg erhält man ein Problem mit:
•
•
•
•
•
•
9
66:
6969
<;6;
Quadern
Gitterpunkten
Anfangsbedingungen
Randbedingungen
diskreten inhomogenen Maxwellschen Gleichungen
diskreten homogenen Maxwellschen Gleichungen
&
&
;
Dies entspricht einem linearen Gleichungssystem mit 6<= Gleichungen (Zeilen) und 9
Variablen (Spalten).
+& ;
& ; Dieses System wurde als Ausgleichsproblem behandelt, womit also ein 9
9 -System
zu lösen war.
166
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.2.5.1 Das D3 –Feld
Die folgenden drei Graphen zeigen räumliche Schnitte durch den Ereignisraum für .
Bei der gewählten Zeitschrittweite entspricht dies den Zeitpunkten , und
. Die anfänglich bei initialisierte Welle wird durch die Ausgleichsrechnung an
zulässige Anfangsbedingungen angeglichen. Diese Welle bewegt sich dann (nach rechts) in
Richtung des ersten Basisvektors und hat zum Zeitpunkt ihren höchste Ausschlag
etwa bei .
0.75
0.5
0.25
0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.6
0.4
0.2
0
IV. 2 Ein numerisches Beispiel
167
IV.2.5.2 Das H2 –Feld
Auch diese Graphen zeigen räumliche Schnitte durch den Ereignisraum für die Zeitpunkte
, und . Die bei durch ein Wellental initialisierte und an zulässige
Anfangsbedingungen angeglichene Welle bewegt sich dann nach rechts in Richtung von ihren Ausschlag zwischen und .
und hat zum Zeitpunkt
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
168
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
IV.2.5.3 Das H1 –Feld
Die räumlichen Schnitte für die Zeitpunkte
,
und
zeigen für das
zur Anfangszeit in allen räumlichen Punkten als verschwindend vorausgesetzte Feld die zu
erwartenden geringen Ausschläge.
0.05
0
-0.05
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
0.05
0
-0.05
-0.1
IV. 3 Ausblick
169
IV.3 Ausblick
Es zeigt sich, daß der gewählte Ansatz geeignet ist, numerische Lösungen der Maxwellschen
Gleichungen im Rahmen eines diskreten Modells elektromagnetischer Felder zu ermitteln.
Das vorgestellte Beispiel kann dabei aber allenfalls die Anwendbarkeit nachweisen sowie
einen Einblick in die Vorgehensweise zur Modellierung konkreter Situationen geben. Eine
Reihe von Fragen bleibt noch unbeantwortet und bietet Raum für weitergehende Forschung:
•
•
•
•
•
•
Offen ist, ob die Vorschaltung eines Anpassungsschrittes, in dem fehlerbehaftete oder
durch Interpolation gewonnene Anfangs- und Randbedingungen mit dem diskreten Modell
verträglich gemacht werden, zur eindeutigen Lösbarkeit des Systems führen kann. Dabei
ist sicher nicht zu erwarten, daß für beliebige modellierte Beispiele exakte (diskrete)
Lösungen existierten.
Ist es erforderlich, das Gleichungssystem näherungsweise zu lösen, also etwa wie im
zweiten betrachteten Beispiel durch Behandlung als Ausgleichsproblem, so scheint eine
Gewichtung der einzelnen problemdeterminierenden Bedingungen naheliegend. Auf
diesem Weg könnte man die Erfülltheit der diskreten Maxwellschen Gleichungen stärker
gewichten, Anfang- und Randbedingungen entsprechend schwächer.
Es stellt sich die Frage, inwieweit sich die Effizienz der Lösungsstrategie durch Ausnutzung modellspezifischer Eigenschaften wie der Dünnbesetztheit der in dem zu
lösenden linearen Gleichungssystem auftretenden Matrix steigern läßt. Dabei ist auch
zu berücksichtigen, ob und wie sich diese Eigenschaften bei Lösung des Systems als
Ausgleichsproblem auf die erste Gaußsche Transformation vererben.
Diese Frage nach der Ausnutzung der Dünnbesetztheit ist sehr eng mit der Parallelisierbarkeit einer angemessenen Lösungsmethode verknüpft. Dabei hat die Numerierung der
Eckpunkte einen entscheidenden Einfluß auf diesen Aspekt.
Bei der Wahl von (zum Beispiel absorbierenden) Randbedingungen, die nicht zu einem linearen Gleichungssystem führen, ist es erforderlich, andere der Problemstellung angepaßte
Lösungsstrategien zu wählen. Eine umfassende Untersuchung ist hierzu erforderlich. Es
kann in diesem Zusammenhang sinnvoll sein, lineare und nichtlineare Bedingungen getrennt zu behandeln.
Es ist noch zu klären, in welcher Weise sich die Diskretisierung der betrachteten Teilmenge
der Minkowski-Raum-Zeit auf die Stabilität (im Sinne sich zeitlich verändernder Felder)
auswirkt. Die durch Übertragung des klassischen Stabilitätskriteriums auf die vierdimensionale Situation gewonnene Einschränkung ist dabei aus numerischen Gründen sicherlich
nicht ausreichend. Eine allgemeinere Bedingung zur Vermeidung sehr unterschiedlicher
Größenordnungen der auftretenden Werte, die gegebenenfalls das klassische Kriterium als
Spezialfall enthält52, scheint hier angemessener.
Die vielen Freiheiten, die das entwickelte Verfahren im Hinblick auf die Diskretisierung durch
eine Simplizialzerlegung, Numerierung der Eckpunkte, Auswahl und Plazierung der Randbedingungen sowie die Lösungsstrategie für das entstehende Gleichungssystem bietet, legt
eine umfassende Untersuchung dieser Zusammenhänge nahe und schafft damit viel Raum für
weitere Forschung. Es ist zu erwarten, daß ebendiese Freiheiten eine Anwendbarkeit der vorgestellten Methode auf weit mehr konkrete Situationen zulassen, als dies durch herkömmliche
Ansätze möglich ist, sowie, bei geschickter Modellierung unter Berücksichtigung einer angemessenen Lösungsstrategie für das entstehende Gleichungssystem, zu weit effizienteren
Verfahren der Problemlösung führen.
52
Etwa eine Bedingung an die Simplizes der Art „nicht zu spitz“.
170
IV Das diskrete Modell der Maxwellschen Gleichungen auf vierdimensionalen Simplizes
Basierend auf den hier gewonnenen Erkenntnissen besteht die Möglichkeit, in einem weiteren
Schritt den bewußt allgemein gehaltenen diskreten Kalkül auch auf andere Probleme der Naturund Ingenieurwissenschaften anzuwenden, soweit sich diese in Differentialformennotation
darstellen lassen.
Eine konsequente Modellierung naturwissenschaftlicher Zusammenhänge, bei der künstliche
Trennungen verschiedener Dimensionen vermieden und zeitgemäße Formulierungen verwendet werden, erscheint im Blick auf aktuelle Entwicklungen in den Naturwissenschaften mehr
als angemessen.
Quellcodes
171
A Quellcodes
Struktur des Programms TM.p
program TM;
•
Funktion TestAb :
Überführung der (erweiterten) Matrix in obere Dreiecksgestalt mit Überprüfung auf
maximalen Rang. Test auf Lösbarkeit bei Überbestimmtheit.
•
Prozedur RR :
Rückwärtsrekursion zur Berechnung der Lösung.
•
Prozedur GS_Ausgabe :
Ausgabe der erweiterten Matrix.
•
Prozedur Ergebnis_Ausgabe :
Ausgabe der Lösung.
•
Prozedur Hoehenlinienbild :
Ausgabe der Lösung als Zeitschicht-Höhenlinienbilder.
•
Prozedur Mathematica_Ausgabe :
Ausgabe der Lösung für MATHEMATICA in eine Datei.
•
Prozedur LGS :
Lösung des linearen Gleichungssystems via TestAB und RR.
Anschließend Ausgabe der Ergebnisse (Ergebnis_Ausgabe, Hoehenlinienbild,
Mathematica_Ausgabe).
•
Prozedur TMMain :
Definition des Gleichungssystems und Lösung durch LGS.
Globale Variablen
•
test (0 oder 1):
1 für die Ausgabe von Zwischenschritten.
•
AGP (0 oder 1):
1 für Lösung als Ausgleichsproblem.
•
dimx1, dimx2, dimx4 (integer):
Anzahl der Knoten ( [0..dimx1, 0..dimx2, 0..dimx4] ).
•
eps (real):
Schranke für den Lösbarkeitstest.
•
delta1, delta2, delta4 (real):
Intervalldurchmesser der Quader.
172
Quellcodes
Programmlisting
{****************************************************************************}
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
{*
TM.p
PASCAL-XSC-Programm zur Simulation transversaler magnetischer Wellen.
Autor: Peter Feuerstein
Version: 11.12.2000
Schematische Darstellung der Diskretisierung:
(x,y,z): Koordinaten ein Knotens q
[a,b,c]: Indizes der Feldkomponenten in q im Loesungsvektor x
mit x[a]=H1[q], x[b]=H2[q], x[c]=D3[q]
(Abkuerzungen: D1:=dimx1, D2:=dimx2, D4:=dimx4)
******************************************************************
* (0,0,0) (1,0,0)
(2,0,0) ....
.... (D1,0,0) *
* [1,2,3] [4,5,6]
[7,8,9]
[3*D1+1,..+2,..+3] *
*
*
* (0,1,0) ....
*
* [3*(D1+1)+1,..+2,..+3]
*
*
.
*
* (0,2,0) ....
.
*
* [3*2*(D1+1)+1,..+2,..+3]
.
*
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
*
* (0,D2,0) ....
.... (D1,D2,0) *
* [3*D2*(D1+1)+1,..+2,..+3]
[3*(D2*(D1+1)+D1)+1,..+2,..+3] *
******************************************************************
******************************************************************
* (0,0,1)
....
*
* [3*(D2+1)*(D1+1)+1,..+2,..+3]
*
*
*
* (0,1,1)
....
*
* [3*(D2+2)*(D1+1)+1,..+2,..+3]
*
*
*
* (0,2,1)
....
*
* [3*(D2+3)*(D1+1)+1,..+2,..+3]
*
*
*
*
.
*
*
.
*
*
.
*
*
*
*
....
(D1,D2,1) *
*
[3*((2*D2+1)*(D1+1)+D1)+1,..+2,..+3] *
******************************************************************
.
.
.
******************************************************************
* (0,0,D4)
....
*
* [3*D4*(D2+1)*(D1+1)+1,..+2,..+3]
*
*
*
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
*}
173
Quellcodes
{*
* (0,1,D4)
....
*
*}
{*
* [3*(D4*(D2+2)*(D1+1)+(D1+1))+1,..+2,..+3]
*
*}
{*
*
*
*}
{*
* (0,2,D4)
....
*
*}
{*
* [3*(D4*(D2+2)*(D1+1)+2*(D1+1))+1,..+2,..+3]
*
*}
{*
*
*
*}
{*
*
.
*
*}
{*
*
.
*
*}
{*
*
.
*
*}
{*
*
*
*}
{*
*
.... (D1,D2,D4) *
*}
{*
*
[3*((D4+1)*(D2+1)*(D1+1)-1)+1,..+2,..+3] *
*}
{*
******************************************************************
*}
{*
*}
{*
*}
{****************************************************************************}
program TM ( input, output );
use mv_ari; { Matrix/Vektor Arithmetik }
const
test
AGP
dimx1
dimx2
dimx4
eps
delta1
delta2
delta4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0; { 1: Ausgabe von Zwischenschritten }
1; { 1: Loesung als Ausgleichsproblem }
13;
13;
5; { Knoten ( 0..dimx1, 0..dimx2, 0..dimx4 )}
1E-10; { Schranke fuer Loesbarkeitstest }
1;
1;
0.5;
type gvector = dynamic array[*] of integer;
{----------------------------------------------------------------------------}
function TestAb(var A
var b
m, n
var index
:
:
:
:
rmatrix;
rvector;
integer;
gvector) : integer;
{ Ueberfuehrung der (erweiterten) (mx(n+1))-Matrix A | b in
{ obere Dreiecksgestalt mit Ueberpruefung auf maximalen Rang.
{
-> TestAB = j > 0 falls Pivot = 0 in Spalte j
{ Test auf Loesbarkeit von A x = b bei Ueberbestimmtheit.
{
-> TestAB = j < 0 falls Nullzeile j mit rechter Seite <> 0
{
-> TestAB = 0 sonst (alles OK)
}
}
}
}
}
}
{ Weitere Uebergabeparameter:
{ index : Zeilenindizes zur Vermeidung von Zeilenvertauschungen
}
}
var i, j, k, imax, ipivot
: integer;
max, betrag, pivot, faktor : real;
err
: integer;
begin
err := 0;
j := 1;
writeln(’Ueberfuehrung in obere Dreiecksgestalt...’);
while j <= n do
174
Quellcodes
begin
{ Pivotsuche in Spalte j }
max := 0.0;
for i := j to m do
begin
betrag := abs(A[index[i],j]);
if betrag > max then
begin
max := betrag;
imax := i
end;
end;
if test = 1 then { Fortschrittsanzeige fuer Testzwecke }
begin
write(’[’,(n-j+1):6,’ ]’);
writeln(j:5,index[j]:5,’ | ’,imax:5,index[imax]:5,’ | ’,max)
end;
if max < eps then { irregulaerer Fall }
begin
err := j;
j := n + 1 { Schleifenende erzwingen }
end
else { regulaerer Fall }
begin
ipivot := index[imax];
if imax <> j then
begin
{ Vertauschung der Inhalte von index[imax] und index[j] }
index[imax] := index[j];
index[j] := ipivot;
end;
pivot := A[ipivot,j]; { abs(pivot) = max > 0.0 }
for k := j+1 to m do
begin
{ Alle Zeilen unterhalb von j bearbeiten }
faktor := A[index[k],j] / pivot;
A[index[k],j] := 0;
for i := j+1 to n do
A[index[k],i] := A[index[k],i] - faktor * A[ipivot,i];
b[index[k]]:=b[index[k]] - faktor * b[ipivot];
end;
j := j+1
end
end; { while }
if err = 0 then
begin
if A[index[n],n] < eps then
err := n { kein maximaler Rang }
else
if m > n then
begin
writeln;
writeln(’Ueberbestimmtheitstest...’);
for j := n+1 to m do
if (abs(b[index[j]])>eps) and (err=0) then
err := -j; { Nullzeile mit rechter Seite <> 0 }
end;
end;
TestAB:=err;
Quellcodes
end; { TestAb }
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure RR(var A
var b
var x
m, n
var index
:
:
:
:
:
rmatrix;
rvector;
rvector;
integer;
gvector);
{ Rueckwaertsrekursion zur Loesung von A x = b
}
{ mit (mxn)-Matrix A unter Beruecksichtigung der }
{ Zeilenindizes (index)
}
var i, j : integer;
begin
x[n] := b[index[n]]/A[index[n],n];
for j := n-1 downto 1 do
x[j] := #*( b[index[j]] for i := j+1 to n sum(A[index[j],i]*x[i])) / A[index[j],j];
end; { RR }
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure GS_Ausgabe(var A
: rmatrix;
var b
: rvector;
m,n : integer);
{ Ausgabe der erweiterten (mx(n+1))-Matrix A | b }
var i, j : integer;
begin
writeln(’Gleichungssystem:’); writeln;
for i := 1 to m do
begin
for j:=1 to n do write(trunc(A[i,j]):2);
write(’ | ’,trunc(b[i]):2);
writeln
end;
writeln
end; { GS_Ausgabe }
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure Ergebnis_Ausgabe(var x : rvector;
n : integer);
{ Ausgabe der Loesung x }
var i, j, k : integer;
begin
175
176
Quellcodes
writeln; writeln(’Berechnete Loesung : ’); writeln;
for j := 1 to ( n div (dimx4+1) ) do
begin
for i :=0 to dimx4 do
begin
k := 3*i*(dimx1+1)*(dimx2+1)+j;
write(’x[’,k:4,’] = ’,x[k]:20,’
’);
end;
writeln
end
end; { Ergebnis_Ausgabe }
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure Hoehenlinienbild(var x : rvector;
n : integer);
{ Ausgabe der Loesung x als Zeitschicht-Hoehenlinienbilder }
var x1, x2, x4, Feld, q : integer;
begin
writeln;
writeln(’Feldkomponenten H1, H2, D3 :’); writeln;
for x4 := 0 to dimx4 do
begin
writeln(’[x4 = ’,x4,’]’);
for x2 := 0 to dimx2 do
begin
for Feld := 1 to 3 do
begin
for x1 := 0 to dimx1 do
begin
q := 3*(x1+x2*(dimx1+1)+x4*(dimx1+1)*(dimx2+1));
q := q + Feld; { Feld: 1:H1 2:H2 3:D3 }
write(round(x[q]) mod 10)
end;
write(’
’)
end;
writeln
end;
writeln; writeln
end
end; { Hoehenlinienbild }
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure Mathematica_Ausgabe(var x : rvector;
n : integer);
{ Ausgabe der Loesung x zur Verwendung mit }
{ ListPlot3D[array] in MATHEMATICA
}
var x1, x2, x4, Feld, q : integer;
mfile
: text;
mfilename
: string;
Quellcodes
begin
mfilename := ’Erg_’ + image(dimx1+1) + ’x’ + image(dimx2+1) + ’x’
+ image(dimx4+1);
rewrite(mfile,mfilename);
for Feld := 1 to 3 do
begin
case Feld of
1: writeln(mfile,’Feld: H1’);
2: writeln(mfile,’Feld: H2’);
3: writeln(mfile,’Feld: D3’);
end;
writeln(mfile);
for x4 := 0 to dimx4 do
begin
writeln(mfile,’[x4 = ’,x4,’]’);
writeln(mfile);
write(mfile,’ { ’);
for x2 := 0 to dimx2 do
begin
write(mfile,’ { ’);
for x1 := 0 to dimx1 do
begin
q := 3*(x1+x2*(dimx1+1)+x4*(dimx1+1)*(dimx2+1));
q := q + Feld; { Feld: 1:H1 2:H2 3:D3 }
write(mfile,x[q]);
if x1 < dimx1 then write(mfile,’ , ’);
end;
write(mfile,’ } ’);
if x2 < dimx2 then write(mfile,’ , ’);
end;
writeln(mfile,’ } ’); writeln(mfile);
end;
writeln(mfile);
end
end; { Mathematica_Ausgabe }
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure LGS(var A
var b
var x
m, n
:
:
:
:
rmatrix;
rvector;
rvector;
integer);
{ Loesung des Gleichungssystems A x = b mit mxn-Matrix A
}
{ 1. Ueberfuehrung in obere Dreiecksgestalt (TestAb)
}
{ 2. Bestimmung der Loesung durch Rueckwaertsrekursion (RR) }
var index
: gvector[1..m];
i, err
: integer;
x1, x2, x4 : integer;
begin
for i := 1 to m do index[i] := i; { Indizes fuer Zeilen }
err := TestAb(A,b,m,n,index);
if err = 0 then { kein Fehler }
begin
RR(A,b,x,m,n,index);
177
178
Quellcodes
Ergebnis_Ausgabe(x,n);
Hoehenlinienbild(x,n);
Mathematica_Ausgabe(x,n);
end
else
begin
writeln;
if err > 0 then { A hat keinen maximalen Rang }
begin
writeln(’Rang der Matrix nicht maximal! ’);
write(’ Spalte:’,err);
i:= (err-1) div 3;
write(’ (Variable: ’);
case ((err-1) mod 3) of
0: write(’H1’);
1: write(’H2’);
2: write(’D3’);
end;
x4 := i div ((dimx1+1)*(dimx2+1));
i:= i mod ((dimx1+1)*(dimx2+1));
x2 := i div (dimx1+1);
x1:= i mod (dimx1+1);
writeln(’(’,x1,’,’,x2,’,’,x4,’))’)
end
else { keine Nullzeilen }
begin
writeln(’Ueberbestimmtes Gleichungssystem nicht loesbar!’);
writeln(’ Zeile ’,-err,’: b[’,index[-err],’] = ’,b[index[-err]]);
end;
writeln;
end
end;{main}
{----------------------------------------------------------------------------}
procedure TMMain ( gl,va: integer );
{ Definition des Gleichungssystems (gl Gleichungen, va Variablen) }
{ - Anfangsbedingungen, Randbedingungen, Maxwellsche Gleichungen }
{ Loesung des Gleichungssystems (LGS)
}
var
A
: rmatrix[1..gl,1..va];
AtA
: rmatrix[1..va,1..va];
b
: rvector[1..gl];
Atb
: rvector[1..va];
x
: rvector[1..va];
x1, x2, x4, glnr, glnr2
: integer;
i, j, k
: integer;
q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7 : integer; { Ecken eines Quaders }
d1, d2, d4, d14, d12, d24
: real;
pi
: real;
begin
{ Bestimmung der Komponenten der Matrix }
glnr := 0; { Gleichungsnummer }
glnr2 := 0; { alte Gleichungsnummer }
pi := arctan(0.5)*4;
d1 := delta1;
Quellcodes
d2 := delta2;
d4 := delta4;
d14 := d1 * d4;
d24 := d2 * d4;
d12 := d1 * d2; { ...zur Abkuerzung }
A := null(A);
b := null(b);
x := null(x);
writeln(’Bestimmung der Matrixkomponenten...’); writeln;
{ Anfangsbedingungen }
write(’
Anfangsbedingungen
: ’);
for x4 := 0 to 0 do
for x2 := 0 to dimx2 do
for x1 := 0 to dimx1 do
begin
q0 := 3 * ( x1 + x2 * (dimx1+1) + x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
A[glnr+1,q0+1]:=1; b[glnr+1]:=0; { H1(x1,x2,0) }
A[glnr+2,q0+2]:=1; b[glnr+2]:=0; { H2(x1,x2,0) }
A[glnr+3,q0+3]:=1; b[glnr+3]:=0; { D3(x1,x2,0) }
if (x1=3) then
begin
b[glnr+2]:=-3; { H2(x1,x2,0) }
b[glnr+3]:=3; { D3(x1,x2,0) }
end;
glnr:=glnr+3
end;
writeln((glnr - glnr2):5);
glnr2 := glnr;
{ Randbedingungen }
write(’
Randbedingungen
: ’);
for x4 := 1 to dimx4 do
begin
for x2 := 0 to dimx2 do
begin
{ linker Rand }
q0 := 3 * ( x2 * (dimx1+1) + x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
{ A[glnr+1,q0+1]:=1; b[glnr+1]:=0; { H1(0,x2,x4) }
{ A[glnr+1,q0+3]:=1; b[glnr+1]:=5; { D3(0,x2,x4) }
{ A[glnr+1,q0+2]:=1; b[glnr+1]:=0; { H2(0,x2,x4) }
glnr:=glnr+0;
{ rechter Rand }
q0 := 3 * ( dimx1 + x2 * (dimx1+1) + x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
{ A[glnr+1,q0+1]:=1; b[glnr+1]:=0; { H1(dimx1,x2,x4) }
{ A[glnr+1,q0+3]:=1; b[glnr+1]:=0; { D3(dimx1,x2,x4) }
{ A[glnr+1,q0+2]:=1; b[glnr+1]:=0; { H2(dimx1,x2,x4) }
glnr:=glnr+0;
end;
for x1 := 0 to dimx1 do
begin
{ vorderer Rand }
q0 := 3 * ( x1 + x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
A[glnr+1,q0+1]:=1; b[glnr+1]:=0; { H1(x1,0,x4) }
{ A[glnr+1,q0+2]:=1; b[glnr+2]:=0; { H2(x1,0,x4) }
{ A[glnr+2,q0+3]:=1; b[glnr+2]:=0; { D3(x1,0,x4) }
glnr:=glnr+1;
{ hinterer Rand }
179
180
Quellcodes
q0 := 3 * ( x1 + dimx2 * (dimx1+1)
A[glnr+1,q0+1]:=1; b[glnr+1]:=0; {
{ A[glnr+1,q0+2]:=1; b[glnr+2]:=0;
{ A[glnr+2,q0+3]:=1; b[glnr+2]:=0;
glnr:=glnr+1;
end;
end; { x4 }
+ x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
H1(x1,dimx2,x4) }
{ H2(x1,dimx2,x4) }
{ D3(x1,dimx2,x4) }
writeln((glnr - glnr2):5);
glnr2 := glnr;
{ inhomogene Maxwellsche Gleichungen }
write(’
Maxwellsche Gleichungen : ’);
for x4 := 0 to dimx4-1 do
for x2 := 0 to dimx2-1 do
for x1 := 0 to dimx1-1 do
begin
{ Indizes der Knoten (jeweils H1 (+1), H2 (+2), D3 (+3)) }
q0 := 3 * (x1 + x2 * (dimx1+1) + x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
q1 := q0 + 3;
q2 := q0 + 3 * (dimx1+1);
q3 := q2 + 3;
q4 := q0 + 3 * (dimx1+1) * (dimx2+1);
q5 := q4 + 3;
q6 := q4 + 3 * (dimx1+1);
q7 := q6 + 3;
if (x1+x2+x4) mod 2 = 0 then
begin { Typ A }
{ A 1.1 - 1.5 }
A[glnr+1,q0+2]:= d24;
A[glnr+1,q1+1]:=-d14; A[glnr+1,q1+2]:=-d24; A[glnr+1,q1+3]:=-d12;
A[glnr+1,q3+1]:= d14;
A[glnr+1,q5+3]:= d12;
A[glnr+2,q0+3]:= d12;
A[glnr+2,q4+1]:= d14; A[glnr+2,q4+2]:=-d24; A[glnr+2,q4+3]:=-d12;
A[glnr+2,q5+2]:= d24;
A[glnr+2,q6+1]:=-d14;
A[glnr+3,q0+1]:=-d14;
A[glnr+3,q2+1]:= d14; A[glnr+3,q2+2]:= d24; A[glnr+3,q2+3]:=-d12;
A[glnr+3,q3+2]:=-d24;
A[glnr+3,q6+3]:= d12;
A[glnr+4,q3+3]:= d12;
A[glnr+4,q5+1]:= d14;
A[glnr+4,q6+2]:=-d24;
A[glnr+4,q7+1]:=-d14; A[glnr+4,q7+2]:= d24; A[glnr+4,q7+3]:=-d12;
A[glnr+5,q0+1]:= d14;
A[glnr+5,q3+1]:= d14;
A[glnr+5,q5+1]:=-d14;
A[glnr+5,q6+1]:=-d14;
glnr:=glnr+5;
end
else
begin { Typ B }
{ B 1.1 - 1.5 }
A[glnr+5,q0+2]:=-d24;
A[glnr+5,q3+2]:=-d24;
A[glnr+5,q5+2]:= d24;
A[glnr+5,q6+2]:= d24;
A[glnr+5,q0+3]:= d12;
A[glnr+5,q3+3]:= d12;
A[glnr+5,q5+3]:=-d12;
A[glnr+5,q6+3]:=-d12;
181
Quellcodes
A[glnr+1,q7+2]:= d24;
A[glnr+1,q6+1]:=-d14; A[glnr+1,q6+2]:=-d24; A[glnr+1,q6+3]:=-d12;
A[glnr+1,q4+1]:= d14;
A[glnr+1,q2+3]:= d12;
A[glnr+2,q7+3]:= d12;
A[glnr+2,q3+1]:= d14; A[glnr+2,q3+2]:=-d24; A[glnr+2,q3+3]:=-d12;
A[glnr+2,q2+2]:= d24;
A[glnr+2,q1+1]:=-d14;
A[glnr+3,q7+1]:=-d14;
A[glnr+3,q5+1]:= d14; A[glnr+3,q5+2]:= d24; A[glnr+3,q5+3]:=-d12;
A[glnr+3,q4+2]:=-d24;
A[glnr+3,q1+3]:= d12;
A[glnr+4,q4+3]:= d12;
A[glnr+4,q2+1]:= d14;
A[glnr+4,q1+2]:=-d24;
A[glnr+4,q0+1]:=-d14; A[glnr+4,q0+2]:= d24; A[glnr+4,q0+3]:=-d12;
A[glnr+5,q7+1]:= d14;
A[glnr+5,q4+1]:= d14;
A[glnr+5,q2+1]:=-d14;
A[glnr+5,q1+1]:=-d14;
A[glnr+5,q7+2]:=-d24;
A[glnr+5,q4+2]:=-d24;
A[glnr+5,q2+2]:= d24;
A[glnr+5,q1+2]:= d24;
A[glnr+5,q7+3]:= d12;
A[glnr+5,q4+3]:= d12;
A[glnr+5,q2+3]:=-d12;
A[glnr+5,q1+3]:=-d12;
glnr:=glnr+5;
end;
end;
writeln((glnr - glnr2):5,’ (DITM)’);
glnr2 := glnr;
{ homogene Maxwellsche Gleichungen }
write(’
’);
for x4 := 0 to dimx4-1 do
for x2 := 0 to dimx2-1 do
for x1 := 0 to dimx1-1 do
begin
{ Indizes der Knoten (jeweils H1 (+1), H2 (+2), D3 (+3)) }
q0 := 3 * (x1 + x2 * (dimx1+1) + x4 * (dimx1+1) * (dimx2+1));
q1 := q0 + 3;
q2 := q0 + 3 * (dimx1+1);
q3 := q2 + 3;
q4 := q0 + 3 * (dimx1+1) * (dimx2+1);
q5 := q4 + 3;
q6 := q4 + 3 * (dimx1+1);
q7 := q6 + 3;
if (x1+x2+x4) mod 2 = 0 then
begin { Typ A }
{ A 2.1 - 2.4 }
A[glnr+1,q0+3]:= d4; A[glnr+1,q1+3]:=-d4;
A[glnr+1,q5+2]:= d1; A[glnr+1,q1+2]:=-d1;
A[glnr+2,q5+3]:= d4; A[glnr+2,q4+3]:=-d4;
A[glnr+2,q0+2]:= d1; A[glnr+2,q4+2]:=-d1;
A[glnr+3,q2+3]:= d4; A[glnr+3,q3+3]:=-d4;
A[glnr+3,q6+2]:= d1; A[glnr+3,q2+2]:=-d1;
182
Quellcodes
A[glnr+4,q7+3]:= d4; A[glnr+4,q6+3]:=-d4;
A[glnr+4,q3+2]:= d1; A[glnr+4,q7+2]:=-d1;
glnr:=glnr+4;
{ A 3.1 - 3.4 }
A[glnr+1,q2+3]:= d4; A[glnr+1,q0+3]:=-d4;
A[glnr+1,q6+1]:= d2; A[glnr+1,q2+1]:=-d2;
A[glnr+2,q4+3]:= d4; A[glnr+2,q6+3]:=-d4;
A[glnr+2,q0+1]:= d2; A[glnr+2,q4+1]:=-d2;
A[glnr+3,q3+3]:= d4; A[glnr+3,q1+3]:=-d4;
A[glnr+3,q5+1]:= d2; A[glnr+3,q1+1]:=-d2;
A[glnr+4,q5+3]:= d4; A[glnr+4,q7+3]:=-d4;
A[glnr+4,q3+1]:= d2; A[glnr+4,q7+1]:=-d2;
glnr:=glnr+4;
{ A 4.1 - 4.4 }
A[glnr+1,q0+1]:= d2; A[glnr+1,q1+1]:=-d2;
A[glnr+1,q1+2]:= d1; A[glnr+1,q3+2]:=-d1;
A[glnr+2,q5+1]:= d2; A[glnr+2,q4+1]:=-d2;
A[glnr+2,q6+2]:= d1; A[glnr+2,q4+2]:=-d1;
A[glnr+3,q3+1]:= d2; A[glnr+3,q2+1]:=-d2;
A[glnr+3,q2+2]:= d1; A[glnr+3,q0+2]:=-d1;
A[glnr+4,q6+1]:= d2; A[glnr+4,q7+1]:=-d2;
A[glnr+4,q5+2]:= d1; A[glnr+4,q7+2]:=-d1;
glnr:=glnr+4;
end
else
begin { Typ B }
{ B 2.1 - 2.4 }
A[glnr+1,q7+3]:= d4; A[glnr+1,q6+3]:=-d4;
A[glnr+1,q2+2]:= d1; A[glnr+1,q6+2]:=-d1;
A[glnr+2,q2+3]:= d4; A[glnr+2,q3+3]:=-d4;
A[glnr+2,q7+2]:= d1; A[glnr+2,q3+2]:=-d1;
A[glnr+3,q5+3]:= d4; A[glnr+3,q4+3]:=-d4;
A[glnr+3,q1+2]:= d1; A[glnr+3,q5+2]:=-d1;
A[glnr+4,q0+3]:= d4; A[glnr+4,q1+3]:=-d4;
A[glnr+4,q4+2]:= d1; A[glnr+4,q0+2]:=-d1;
glnr:=glnr+4;
{ B 3.1 - 3.4 }
A[glnr+1,q5+3]:= d4; A[glnr+1,q7+3]:=-d4;
A[glnr+1,q1+1]:= d2; A[glnr+1,q5+1]:=-d2;
A[glnr+2,q3+3]:= d4; A[glnr+2,q1+3]:=-d4;
A[glnr+2,q7+1]:= d2; A[glnr+2,q3+1]:=-d2;
A[glnr+3,q4+3]:= d4; A[glnr+3,q6+3]:=-d4;
A[glnr+3,q2+1]:= d2; A[glnr+3,q6+1]:=-d2;
183
Quellcodes
A[glnr+4,q2+3]:= d4; A[glnr+4,q0+3]:=-d4;
A[glnr+4,q4+1]:= d2; A[glnr+4,q0+1]:=-d2;
glnr:=glnr+4;
{ B 4.1 - 4.4 }
A[glnr+1,q7+1]:= d2; A[glnr+1,q6+1]:=-d2;
A[glnr+1,q6+2]:= d1; A[glnr+1,q4+2]:=-d1;
A[glnr+2,q2+1]:= d2; A[glnr+2,q3+1]:=-d2;
A[glnr+2,q1+2]:= d1; A[glnr+2,q3+2]:=-d1;
A[glnr+3,q4+1]:= d2; A[glnr+3,q5+1]:=-d2;
A[glnr+3,q5+2]:= d1; A[glnr+3,q7+2]:=-d1;
A[glnr+4,q1+1]:= d2; A[glnr+4,q0+1]:=-d2;
A[glnr+4,q2+2]:= d1; A[glnr+4,q0+2]:=-d1;
glnr:=glnr+4;
end;
end;
writeln((glnr - glnr2):5,’ (DHTM)’);
glnr2 := glnr;
{ Zusatzbedingungen (Hindernis) }
write(’
Zusatzbedingungen
: ’);
for x4 := 0 to dimx4 do
for x2 := 3 to 4 do
for x1 := 5 to 6 do
begin
q0 := 3 * ( x1 + x2 * (dimx1+1) + x4
{ A[glnr+1,q0+1]:=1; b[glnr+1]:=0; {
{ A[glnr+2,q0+2]:=1; b[glnr+2]:=0; {
{ A[glnr+3,q0+3]:=1; b[glnr+3]:=0; {
glnr:=glnr+0
end;
* (dimx1+1)
H1(x1,x2,0)
H2(x1,x2,0)
D3(x1,x2,0)
* (dimx2+1));
}
}
}
writeln((glnr - glnr2):5);
glnr2 := glnr;
writeln;
if glnr = gl then
begin
writeln(’
Gleichungen (Zeilen): ’,gl:5);
writeln(’
Variablen (Spalten) : ’,va:5);
writeln;
if (test = 1) and (va < 38) then GS_Ausgabe(A,b,gl,va);
if AGP=1 then
begin
writeln(’
Ausgleichsproblem
: ’,va:5,’ x ’,va);
writeln;
{1. Gausssche Transformation}
AtA := transp(A) * A;
Atb := transp(A) * b;
LGS(AtA,Atb,x,va,va)
end
else
LGS(A,b,x,gl,va);
end
else
184
Quellcodes
begin
writeln(’Fehler!’);
writeln(’va:
’,va);
writeln(’gl:
’,gl);
writeln(’glnr: ’,glnr)
end;
end; { TMMain }
{----------------------------------------------------------------------------}
{ Hauptprogramm }
var gl ,va :
integer;
begin
writeln;
writeln(’*** Simulation transversaler magnetischer Wellen ***’);
writeln;
writeln(’Gittergroesse: ’,dimx1+1,’ x ’,dimx2+1,’ x ’,dimx4+1);
writeln;
{ Anzahl Gleichungen }
gl := 0;
gl := gl + (dimx1+1) * (dimx2+1)
gl := gl + 0 * (dimx2+1) * dimx4
gl := gl + 2 * (dimx1+1) * dimx4
gl := gl + dimx1 * dimx2 * dimx4
gl := gl + dimx1 * dimx2 * dimx4
{ gl := gl + 2 * 2 * (dimx4+1) *
*
;
;
*
*
3
3; { AB }
{ RB links/rechts }
{ RB vorne/hinten }
5 ; { (DITM) }
12 ; { (DHTM) }
; { Zusatz }
{ Anzahl Variablen }
va := (dimx1+1) * (dimx2+1) * (dimx4+1)
TMMain(gl,va)
end.
* 3;
Literatur
185
Literatur
[1] R. Ahrem. Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen auf rotationssymmetrischen Gittern.
Diplomarbeit, BUGH Wuppertal, 1997.
[2] P. Alexandroff / H. Hopf. Topologie. Erster Band. Springer, 1974.
[3] S. Brehmer, H. Haar. Differentialformen und Vektoranalysis. VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, 1973.
[4] H.-J. Buhl. Stückweise quadratische
-Interpolation und ihr Einsatz bei der Galerkindiskretisierung im Raume . Dissertation, BUGH Wuppertal, 1987.
[5] H. Cartan. Differential Calculus. Hermann, 1971.
[6] H. Cartan. Differentialformen. BI-Wissenschaftsverlag, 1974.
[7] A. Einstein. Relativitätstheorie. Vieweg, 1963.
[8] G. Fischer. Analytische Geometrie. Vieweg, 1992.
[9] O. Forster. Analysis. Band 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen. Vieweg, 1984.
[10] O. Forster. Analysis. Band 2: Differentialrechnung im IRn . Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg, 1984.
[11] W. Franz. Topologie I. Walter de Gruyter, 1973.
[12] W. Franz. Topologie II. Walter de Gruyter, 1974.
[13] H. Grauert / I. Lieb. Differential- und Integralrechnung III. Springer, 1977.
[14] W. H. Greub. Linear Algebra. Springer, 1967.
[15] G. Heindl. Spline-Funktionen mehrerer Veränderlicher. I. Verlag der Bayerischen
Akademie der Wissenschaften, 1970.
[16] G. Heindl. Diskrete Vektoranalysis. Seminarvortrag im Rahmen der Arbeitsgemeinschaft
Diskrete Modelle, FB Mathematik – BUGH Wuppertal, 1992/93.
[17] G. Heindl. Elemente einer Vektoranalysis für stückweise polynomiale Vektorfelder.
Vortrag im Rahmen des Workshops über Perspektiven der Angewandten Informatik,
7. bis 8. Juli 2000 in Witten-Bommerholz, Institut für Angewandte Informatik – BUGH
Wuppertal, 2000.
[18] H. Holmann / H. Rummler. Alternierende Differentialformen. BI-Wissenschaftsverlag,
1972.
[19] R. S. Ingarden / A. Jamiołkowski. Classical Electrodynamics. Elsevier, 1985.
[20] S. Lang. Real and Functional Analysis. Springer, 1993.
[21] R. Lenk. Theorie elektromagnetischer Felder. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
1976.
[22] L. H. Loomis / S. Sternberg. Advanced Calculus. Addison-Wesley, 1968.
[23] K. Meetz / W. L. Engl. Elektromagnetische Felder. Springer, 1980.
[24] C. W. Misner / K. S. Thorne / J. A. Wheeler. Gravitation. W. H. Freeman and Company,
1973.
[25] G. Mur. Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the
Time-Domain Electromagnetic-Field Equations. IEEE Transactions on Electromagnetic
Compatibility, Vol. EMC-23, No. 4, 1981.
[26] G. L. Naber. The Geometry of Minkowski Spacetime (Applied mathematical sciences ;
92). Springer, 1992.
[27] F. und R. Nevanlinna. Absolute Analysis. Springer, 1973.
186
Literatur
[28] B. O’Neill. Semi-Riemannian Geometry – With Applications to Relativity. Academic
Press, Inc., 1983.
[29] E. Ossa. Analysis III. Vorlesung im FB Mathematik – BUGH Wuppertal, 1985/86.
[30] R. Sexl, H. K. Schmidt. Raum–Zeit–Relativität. Vieweg, 1979.
[31] E. H. Spanier. Algebraic Topology. McGraw-Hill Book Company, 1974.
[32] W. Thirring. Lehrbuch der Mathematischen Physik. Band 1: Klassische Dynamische
Systeme. Springer, 1988.
[33] W. Thirring. Lehrbuch der Mathematischen Physik. Band 2: Klassische Feldtheorie.
Springer, 1988.
[34] T. Weiland. On the Numerical Solution of Maxwell’s Equations and Applications in the
Field of Accelerator Physics. Particle Accelerators, Vol. 15, 1984.
[35] T. Weiland. Die Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen. Phys. Bl., Vol. 42, No. 7,
1986.
[36] T. Weiland, et. al. Maxwell’s Grid Equations. Frequenz, Vol. 44, No. 1, 1990.
[37] Kane S. Yee. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s
Equation in Isotropic Media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. AP14, No. 3, 1966.
187
Index
Index
Ableitung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
höhere Ableitung . . . . . . . . . . . . . 35
Feld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
elektrische Erregung . . . . . . . . . . 121
elektrisches Feld
affin lineare Abbildung
. . . . . . . . . . . . 121
in einen reellen Vektorraum . . . . . . . 25
Ladungsdichte
zwischen affinen Punkträumen
magnetische Erregung . . . . . . . . . 121
. . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . 121
affin orthogonale Transformation . . . . . . 25
magnetisches Feld
affin polynomiale Abbildung
Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . 121
affin polynomiale r-Form
. . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . 56
äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . 121
transversales elektrisches Feld
transversales magnetisches Feld
. . . . 148
. . . 148
. . . . . . . . . . . . . . . 59
Geschwindigkeitsadditionsformel . . . . . 119
affine Hülle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
affine Koordinaten
Hodge-Operator
. . . . . . . . . . . . . . . 68
Induktionsgesetz
. . . . . . . . . . . . . . 122
zurückgeholt
. . . . . . . . . . . . . . 18
baryzentrische Koordinaten . . . . . . . 18
Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . 18
Koordinatentransformation
. . . . . . . 19
Ursprung
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
affine r-Form
. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
affiner r-Formen
. . . . . . . . . . . . . 68
zweier Multilinearformen
Integral
. . . . . . . . 45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 76
äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . . 60
einer n-Form
. . . . . . . . . . . 75, 76, 79
Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
einer r-Form
. . . . . . . . . . . . . 80, 81
exakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Invarianz der Materialgleichungen . . . . 130
geschlossen
Invarianz des Vakuums
. . . . . . . . . . . . . . . . 64
. . . . . . . . . . 130
Koableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 69
kanonische affine n-Form
simplizial
kanonische n-Form . . . . . . . . . . . . . . 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . 90
simplizial polynomial
stückweise konstant
. . . . . . . . . . 90
Kantenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
. . . . . . . . . . . 94
elementare Deformation . . . . . . . . . 89
alternierender Anteil . . . . . . . . . . . . . 38
äußeres Produkt
. . . . . . . . . . 67
. . . . . . . . . . . . . . . 37
geschlossen
. . . . . . . . . . . . . . . . 89
Konduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . 122
affin polynomialer 1–Formen . . . . . . 58
Kontinuitätsgleichung
affiner 1–Formen . . . . . . . . . . . . . 58
konvex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
affiner Formen
konvexe Hülle
. . . . . . . . . . . . . . 59
alternierender Multilinearformen . . . . 39
Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
der elektromagnetischen Felder . . . . 140
der Minkowski-Raum-Zeit
. . . . . . 145
Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Durchflutungsgesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . 125, 132
Licht-Weltlinie
. . . . . . . . . . . . . . . 110
Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Diskretisierung
Dualitätsabbildung
. . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . 53
. . . . . . . . . . . . 122
Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Vergangenheitslichtkegel
Zukunftslichtkegel
. . . . . . . 113
. . . . . . . . . . . 113
Lichtstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Lorentzgruppe
. . . . . . . . . . . . 114, 118
allgemein homogen
inhomogen
. . . . . . . . . . 114
. . . . . . . . . . . . . . . 118
Poincaré-Gruppe
. . . . . . . . . . . . 118
188
Index
Lorentzmatrix . . . . . . . . . . . . . 115, 118
orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
allgemein
. . . . . . . . . . . . . . . . 115
selbstorthogonal
. . . . . . . . . . . 2, 109
eigentlich
. . . . . . . . . . . . . . . . 117
Untervektorraum
. . . . . . . . . . . . . . 2
kausalitätserhaltend . . . . . . . . . . . 116
nicht kausalitätserhaltend
. . . . . . . 116
orthochron . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Lorentzmatrizengruppe
Lorentzprodukt
. . . . . . . . . . 115
. . . . . . . . . . . . . . . 109
Lorentztransformation
. . . . . . . . 114, 118
allgemein homogen
eigentlich
. . . . . . . . . . 114
. . . . . . . . . . . . . . . . 117
kausalitätserhaltend . . . . . . . . . . . 116
nicht kausalitätserhaltend
. . . . . . . 116
orthochron . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Materialeigenschaften
. . . . . . . . 126, 142
affin linear . . . . . . . . . . . . . . . . 127
heterogen
. . . . . . . . . . . . . . . . 127
homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
isotrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Materialgleichungen
. . . . . . 122, 127, 142
Materialkonstante . . . . . . . . . . . . . . 129
maximaldimensional . . . . . . . . . . . . . 17
Maxwellsche Gleichungen
diskret
orthogonale Transformation . . . . . . . . . . 8
assoziierte Matrix
. . . . . . . . . . . . 10
Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Einheitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sortierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Standard-Orthonormalbasis
zulässige Basis
. . . . . . 112
. . . . . . . . . . . . . 116
Orthonormierungsverfahren . . . . . . . . . . 4
Permeabilität
. . . . . . . . . . . . . . . . 122
des Vakuums
. . . . . . . . . . . . . . 143
Permittivität . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
des Vakuums
. . . . . . . . . . . . . . 143
Poincarésches Lemma . . . . . . . . . . . . 65
auf Simplexpolyedern
. . . . . . 100, 103
Polarisierungslemma . . . . . . . . . . . . . . 3
Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Simplexpolyeder
. . . . . . . . . . . . . 88
Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 30
homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Pseudoskalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . 2
alternierender Multilinearformen . . . . 44
. . . . . . . . 122
assoziierte quadratische Form . . . . . . . 3
. . . . . . . . . . . . . . . 131, 132
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
homogen . . . . . . . . . . . . . . 122, 123
Pseudometrik
inhomogen
. . . . . . . . . . . . 122, 123
Pseudonorm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
komponentenweise . . . . . 134, 137, 140
Xi-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Minkowski-Raum
. . . . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . 17
Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Minkowski-Raum-Zeit . . . . . . . . . . . 108
affin linear unabhängig
Multilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . 36
affine Linearkombination
alternierend
. . . . . . . . . 13
. . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . 36
Verschiebungsvektoren . . . . . . . . . . 11
Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 39
Punktraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
euklidisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Grad
O-Lemma
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
pseudoeuklidisch . . . . . . . . . . . . . 17
Unterpunktraum
affin linear unabhängiger Punkte . . . . 51
Quellenfreiheit
eines Punktraumes
Randbedingungen
. . . . . . . . . . . . 51
. . . . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . . . 143
eines Simplex . . . . . . . . . . . . . . . 51
absorbierend
eines Vektorraumes . . . . . . . . . . . . 49
Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . 143
orientierungserhaltend
. . . . . . . . . . 51
klassisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
orientierungsumkehrend . . . . . . . . . 51
Raumdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Standard-Orientierung
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
. . . . . . . . . . 50
. . . . . . . . . . . . . . 144
189
Index
Schub
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Eckpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Kante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
nach außen orientierter Rand . . . . . . 82
orientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
orientierte Seite . . . . . . . . . . . . . . 82
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Seite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Untersimplex . . . . . . . . . . . . . . . 15
Simplexpolyeder . . . . . . . . . . . . . . . 88
einfach zusammenhängend . . . . . . . 89
sternförmig
. . . . . . . . . . . . . . . 103
vierdimensional . . . . . . . . . . . . . 140
zusammenhängend . . . . . . . . . . . . 89
simplizial polynomiale r-Form . . . . . . . 90
simpliziale r-Form . . . . . . . . . . . . . . 90
Stammform . . . . . . . . . . . . . 94, 101
tangentialstetig . . . . . . . . . . . . . . 93
Simplizialkomplex
. . . . . . . . . . . . . . 88
geometrische Realisierung . . . . . . . . 88
Grundsimplex . . . . . . . . . . . . . . . 88
homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Simplizialzerlegung . .
Stabilitätsbedingungen .
Stammform . . . . . . .
simplizial . . . . . .
Stetigkeit . . . . . . . .
Stokesscher Integralsatz
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. . . 88
. . 146
. . . 64
94, 101
. . . 12
. . . 85
Tangentialstetigkeit . . . . . . . . . .
Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . .
alternierender Multilinearformen
topologischer Vektorraum . . . . . .
Trägheitssatz von Sylvester . . . . .
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.
Verschiebungsvektoren . . .
isotrop . . . . . . . . . .
lichtartig . . . . . . . . .
raumartig . . . . . . . .
vergangenheitsorientiert
zeitartig . . . . . . . . .
zukunftsorientiert . . . .
Verträglichkeitsbedingungen
Volumenform . . . . . . . .
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. . . 11
. . 109
. . 109
. . 111
112, 113
. . . 111
112, 113
. . . 163
. . . . 51
Zeitkegel . . . . . . . . . .
Vergangenheitszeitkegel
Zukunftszeitkegel . . . .
Zylinderkonstruktionen . .
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93
37
39
12
. 7
112
112
112
145