¨Ubungen zur Einf¨uhrung in die algebraische Geometrie Blatt 3

Prof. Dr. Eike Lau
Dennis Brokemper
SoSe 2013
Übungen zur Einführung in die algebraische Geometrie
Blatt 3
Abgabe: Mo, 06.05.13 bis 12:00 Uhr in den roten Briefkasten 6 auf D1
Es bezeichnet k stets einen algebraisch abgeschlossenen Körper.
Aufgabe 1:
Es sei X ein topologischer Raum.
(a) Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) X ist irreduzibel.
(ii) Der Schnitt zweier nicht leerer offener Teilmengen von X ist nicht leer.
(iii) Jede nicht leere offene Teilmenge von X liegt dicht in X.
(iv) Jede nicht leere offene Teilmenge von X ist zusammenhängend.
(b) Ein Unterraum Y von X ist genau dann irreduzibel, wenn sein Abschluß Ȳ in X irreduzibel ist.
(c) Es seien V ⊆ W Unterräume von X. Dann ist jede irreduzible Komponente von V in einer
irreduziblen Komponente von W enthalten.
Aufgabe 2:
Es sei X ein topologischer Raum.
(a) Ist Y ein Teilraum von X, so gilt dim Y ≤ dim X.
(b) Besitzt X die koendliche Topologie, so ist dim X = 0 genau dann, wenn X endlich ist, und
dim X = 1 genau dann, wenn X unendlich ist.
(c) Ist X = U ∪ V für offene Teilmengen U und V von X, so gilt dim X = max(dim U, dim V ).
(d) Angenommen X ist irreduzibel und endlich dimensional. Es sei Y eine abgeschlossene Teilmenge
von X. Falls dim Y = dim X gilt, so ist X = Y .
(e)∗ Finde einen noetherschen topologischen Raum mit unendlicher Dimension.
Aufgabe 3:
Bestimme die irreduziblen Komponenten von
(a) V (X 2 − Y Z, XZ − X)
(b) V (X 2 − Y Z, X 3 − Y 3 )
Hinweis: Zerlege in (a) zunächst XZ − X bzw. in (b) X 3 − Y 3 in ein Produkt linearer Polynome.
Aufgabe 4:
(a) Es sei X ⊆ An (k). Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) X ist eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge ungleich An (k) und X ist maximal bezüglich
dieser Eigenschaften.
(ii) Es ist X = V (f ) für ein irreduzibles Polynom f ∈ k[T1 , . . . , Tn ].
(b) Es sei f ∈ k[T1 , . . . , Tn ]. Dann sind die irreduziblen Komponenten von V (f ) genau die Nullstellenmengen der irreduziblen Teiler von f .