Fasern von Morphismen

Fasern von Morphismen
Stephan Mohrdieck, 22.5.06
Ziel des Vortags:
• Beschreibung der Dimension der Fasern eines Morphismus
• Angabe eines Systems von Teilmengen, das stabil ist unter Morphismen
Zunächst die wesentlichen Begriffe:
Definition 1: Sei f : X → Y ein Morphismus von Varietäten. Dann heißt
für y ∈ Y die abgeschlossenen Teilmenge f −1 (y) die Faser von f über y.
Definition 2: Ein Morphismus f : X → Y mit Y = f (X) nennen wir
dominant.
Definition 3: Sei X ein topologischer Raum.
i) Eine Teilmenge V ⊂ X heißt lokal abgeschlossen, wenn sie sich als Durchschnitt V = U ∩ A einer offenen Teilmenge U mit einer abgeschlossenen A
schreiben läßt.
ii) Endliche Vereinigungen lokal abgeschlossener Teilmengen werden konstruierbar
genannt.
Bemerkung: Die Menge der konstruierbare Teilmengen eines topologischen
Raumes X ist die kleinste Teilmenge, die die offenen Teilmenge enthält und
stabil unter Hintereinanderausführungen von Komplementbildung und endlichen Durchschnitten ist.
Definition 4: Sei X eine Varietät und Z ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge
mit ihrer Zerlegung Z = Z1 ∪ ... ∪ Zp in irreduzible Komponenten. Dann definieren wir in jedem Punkt x ∈ Z die lokale Dimension dimx Z von Z in x
vermöge
dimx Z := max{dim Zi , i ∈ {1, ..., p}, x ∈ Zi }.
Die Aussagen:
Lemma 1: Sei f : X → Y ein dominanter Morphismus. Dann induziert f
einen injektiven Körperhomorphismus f ∗ : K(Y ) → K(X).
Die zentrale Aussage des Vortrags ist die Dimensionsformel:
Theorem 2: Sei f : X → Y ein dominanter Morphismus. Dann gilt für alle
abgeschlossenen Teilmengen W ⊂ Y und irreduziblen Komponenten Z ⊂
f −1 (W ) die Ungleichung:
dim Z ≥ dim W + dim X − dim Y.
Außerdem gibt es eine nichtleere offene Teilmenge U ⊂ Y derart, dass für
alle abgeschlossenen irreduziblen W ⊂ Y mit W ∩ U 6= ∅ und irreduzible
Komponenten Z von f −1 (W ) mit Z ∩ f −1 (U ) 6= ∅ Gleichheit gilt.
Korollar 3: Unter den Voraussetzungen des Theorems gibt es eine nichtleere
offene Teilmenge U ⊂ Y mit U ⊂ f (X).
Theorem 4: Ein beliebiger Morphismus f : X → Y bildet konstruierbare
Menge auf konstruierbare Mengen ab.
Satz 5: Seien X eine affine Varietät mit ihrem Ring der globalen Schnitte R
und Z ⊂ X eine beliebige abgeschlossene Teilmenge mit Ideal I(Z) = {f ∈
R, f |Z = 0}. Für den Ring der algebraischen Funktionen R[Z] := R/I(Z) auf
Z definieren wir in einem Punkt x ∈ Z den lokalen Ring OZ,x := S −1 R[Z],
wobei S := {f ∈ R[Z], f (x) 6= 0} ist. Dann gilt: dimx Z = Krull-dimOZ,x .
Satz 6: Sei f : X → Y ein Morphismus. Dann ist die Funktion
X → Z≥0
x 7→ dimx f −1 (f (x))
halbstetig nach oben.