Prof. Dr. Eike Lau Dennis Brokemper SoSe 2013 Übungen zur Einführung in die algebraische Geometrie Blatt 3 Abgabe: Mo, 06.05.13 bis 12:00 Uhr in den roten Briefkasten 6 auf D1 Es bezeichnet k stets einen algebraisch abgeschlossenen Körper. Aufgabe 1: Es sei X ein topologischer Raum. (a) Beweise die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (i) X ist irreduzibel. (ii) Der Schnitt zweier nicht leerer offener Teilmengen von X ist nicht leer. (iii) Jede nicht leere offene Teilmenge von X liegt dicht in X. (iv) Jede nicht leere offene Teilmenge von X ist zusammenhängend. (b) Ein Unterraum Y von X ist genau dann irreduzibel, wenn sein Abschluß Ȳ in X irreduzibel ist. (c) Es seien V ⊆ W Unterräume von X. Dann ist jede irreduzible Komponente von V in einer irreduziblen Komponente von W enthalten. Aufgabe 2: Es sei X ein topologischer Raum. (a) Ist Y ein Teilraum von X, so gilt dim Y ≤ dim X. (b) Besitzt X die koendliche Topologie, so ist dim X = 0 genau dann, wenn X endlich ist, und dim X = 1 genau dann, wenn X unendlich ist. (c) Ist X = U ∪ V für offene Teilmengen U und V von X, so gilt dim X = max(dim U, dim V ). (d) Angenommen X ist irreduzibel und endlich dimensional. Es sei Y eine abgeschlossene Teilmenge von X. Falls dim Y = dim X gilt, so ist X = Y . (e)∗ Finde einen noetherschen topologischen Raum mit unendlicher Dimension. Aufgabe 3: Bestimme die irreduziblen Komponenten von (a) V (X 2 − Y Z, XZ − X) (b) V (X 2 − Y Z, X 3 − Y 3 ) Hinweis: Zerlege in (a) zunächst XZ − X bzw. in (b) X 3 − Y 3 in ein Produkt linearer Polynome. Aufgabe 4: (a) Es sei X ⊆ An (k). Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (i) X ist eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge ungleich An (k) und X ist maximal bezüglich dieser Eigenschaften. (ii) Es ist X = V (f ) für ein irreduzibles Polynom f ∈ k[T1 , . . . , Tn ]. (b) Es sei f ∈ k[T1 , . . . , Tn ]. Dann sind die irreduziblen Komponenten von V (f ) genau die Nullstellenmengen der irreduziblen Teiler von f .