Physik I - I00-2

Andreas Schadschneider
Physik I
Version: 29. Mai 2001
Wintersemester 2000/2001
Vorbemerkungen
Das vorliegende Skript zum theoretischen Teil der Vorlesung Physik I ersetzt nicht den regelmässigen Besuch der Vorlesungen. Es ist als Ergänzung gedacht, zum Nacharbeiten oder zur
Vorbereitung auf Klausuren und Prüfungen. Deshalb sollten alle Formeln und Aussagen immer
kritisch betrachtet werden, es könnten noch Druckfehler enthalten sein!
Wesentlicher Bestandteil der Vorlesung Physik I sind die Übungen. Gerade in den ersten Semestern ist es unbedingt erforderlich, den Stoff durch eigenständiges Bearbeiten von Übungsaufgaben zu vertiefen.
Die Vorlesung soll einen Einblick in die Arbeitsweise der theoretischen Physik geben. Ihr Aufbau orientiert sich dabei an physikalischen Fragestellungen. Wenn dies zur Beschreibung der
Phänomene notwendig ist, wird in den entsprechenden Abschnitten zunächst eine Einführung in
die notwendigen mathematischen Techniken gegeben.
Für Fehlermeldungen und Verbesserungsvorschläge bin ich jederzeit dankbar. Sie können auch
per email an mich ([email protected]) geschickt werden. Die jeweils aktuellste Version des Skripts ist im Internet über meine Homepage
http://www.thp.uni-koeln.de/ as/as.html
verfügbar.
Für Ihre Hilfe bei der Erstellung dieser Ausarbeitung des Skriptes bedanke ich mich bei Marc
André Ahrens, Erik Bartel, Frank Brücher, Carsten Burstedde, Sascha Grabolus, Andreas Kemper und Alexander Reischl. Dr. Axel Weinkauf hat freundlicherweise Abb. 5.3 zur Verfügung
gestellt.
Andreas Schadschneider
1
Literaturempfehlungen
Im folgenden finden Sie eine kommentierte Auswahl der populärsten Lehrbücher. Die Vorlesung orientiert sich nicht speziell an einem Buch. Ich empfehle Ihnen deshalb, sich vor einem
eventuellen Kauf zunächst die einzelnen Werke gründlich anzusehen. Die meisten sind in der
Studentenbibliothek vorhanden.
S. Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik (Teubner-Verlag)
Sehr empfehlenswerte, preiswerte Einführung in die wichtigsten mathematischen Techniken, von einem Physiker für Physiker geschrieben. Kann während des gesamten Studiums
verwendet werden, insbesondere als Nachschlagewerk.
R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: Feynman Vorlesungen über Physik (Oldenbourg)
Ein eher ungewöhnliches Lehrbuch! Sehr empfehlenswert als Ergänzung zur Vorlesung,
um einen alternativen Zugang kennenzulernen, insbesondere in der zweisprachigen (deutschenglisch) Ausgabe.
W. Nolting: Grundkurs: Theoretische Physik, Band 1: Klassische Mechanik (Verlag Zimmermann-Neufang)
Sehr gut strukturiertes Lehrbuch mit einer guten Einführung auch in die mathematischen
Techniken. Enthält zahlreiche Aufgaben und Kontrollfragen und deckt zusammen mit
Band 2 im Wesentlichen auch den Stoff der Vorlesung Theoretische Physik 1 ab.
C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, A.C. Helmholz, B.J. Moyer: Berkeley Physik
Kurs 1: Mechanik (Vieweg)
Sehr übersichtliches Buch, das den Stoff der Vorlesung weitgehend abdeckt. Die Themen
werden ausführlich und auf relativ einfachem Niveau diskutiert.
W. Greiner: Theoretische Physik, Band 1: Mechanik I; Band 2: Mechanik II (Harri Deutsch)
Die ersten beiden Bände einer sehr populären Reihe. Alle Bände enthalten zahlreiche Aufgaben mit Lösungen! Band 1 und 2 decken zusammen allerdings nicht den Inhalt der Vorlesung Theoretische Physik 1 ab.
2
Inhaltsverzeichnis
1 Physikalische und mathematische Grundgrößen
1.1 Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Zweidimensionale Koordinatensysteme
1.3.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme
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. 5
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12
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18
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23
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24
25
27
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29
29
29
32
36
5 Impuls, viele Teilchen
5.1 Schwerpunkt und Relativkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Integration in allgemeinen Koordinaten, Volumenintegrale . . . . . . . . . . . .
42
43
44
46
2 Grundlagen der Kinematik
2.1 Funktionen und Differentiation . . . . .
2.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung .
2.2.1 Bewegung eines Massenpunktes
2.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . .
3 Dynamik eines Massenpunktes, Kräfte
3.1 Integration und Differentialgleichungen
3.2 Grundlagen der Dynamik, Kräfte . . . .
3.2.1 Newtonsche Gesetze (Axiome) .
3.3 Beispiele für spezielle Kräfte . . . . . .
3.3.1 Schwerkraft . . . . . . . . . . .
3.3.2 Elastische Kräfte . . . . . . . .
3.3.3 Zwangskräfte . . . . . . . . . .
3.3.4 Reaktionskräfte, Reibung . . . .
4 Arbeit und Energie
4.1 Vektoranalysis und Wegintegrale
4.1.1 Vektoranalysis . . . . .
4.1.2 Wegintegrale . . . . . .
4.2 Arbeit und Energie . . . . . . .
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6 Rotationsbewegung
51
6.1 Koordinatentransformationen, Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Newton-Gleichung in rotierenden Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Rotationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3
7 Bewegung eines starren Körpers
61
7.1 Rotation um eine feste Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 Statisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Zweikörperproblem und Gravitation
9 Schwingungen
9.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . .
9.2 Schwingungsvorgänge . . . . . .
9.3 Fourierreihen und Fourierintegrale
9.4 Fourier-Transformation . . . . . .
66
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4
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1 Physikalische und mathematische Grundgrößen
Zunächst stellen Sie sich vielleicht die Frage “Was ist überhaupt theoretische Physik?”
Im experimentellen Teil der Vorlesung haben Sie gehört, daß man durch die Beobachtung von
physikalischen Größen Gesetzmäßigkeiten feststellt und so zur Formulierung von physikalischen Gesetzen kommt. Ziel der theoretischen Physik ist eine einheitliche Erklärung dieser Gesetzmäßigkeiten. Zusätzlich erwartet man von einer “guten” Theorie auch, daß sie (neue) Vorhersagen macht, die einer experimentellen Prüfung unterzogen werden können. Die Formulierung
der Gesetze erfolgt in der Sprache der Mathematik.
1.1 Physikalische Größen
Um eine physikalische Größe zu definieren, benötigt man die Angabe einer Meßvorschrift. Es
liegt immer Zahl und Einheit zusammen vor. Mögliche Dimensionen der Einheit sind z.B. Länge,
Zeit oder Masse. In vielen Fällen kann eine Dimensionsanalyse zur Kontrolle hilfreich sein (siehe Aufgabe 2). Es haben sich unterschiedliche Maßsysteme entwickelt, die die Basiseinheiten
festlegen. So ist das SI-System
gesetzlich vorgeschrieben, während in der theoretischen Physik
gerne das cgs-System
verwendet wird.
Zunächst ein Überblick über die Größenordnungen, mit denen wir es in der Physik zu tun haben:
Planck-Länge
: Entspricht in etwa der Länge eines Superstrings. Unterhalb der
Planck-Länge bricht unser heutiges Wissen über die Struktur der Raumzeit zusammen, da
hier Effekte der Quantengravitation wesentlich werden. In Aufg. 6 (iii) (2. Übung) lernen
Sie, wie sich die Planck-Länge durch bekannte Naturkonstanten ausdrücken läßt.
Radius des Universums ( Milliarden Lichtjahre
Länge entspricht der Ausdehnung des Universums.
!"
): Die größte physikalische
Die kleinste und die größte relevante Länge unterscheiden sich also um mehr als 60 Größenordnungen! Man kann diese Längen auch in Zeiten umrechnen. Der Umrechnungsfaktor ist dabei
die Lichtgeschwindigkeit:
#$&%'
Planck-Zeit (
zurückzulegen.
Alter des Universums ( ): Entspricht der Zeit, die Licht benötigt, um die Planck-Länge
Milliarden Jahre
&(*)+
)
1.2 Vektoren
Vektoren sind gerichtete Größen. Sie beinhalten Informationen über L änge (Zahl) und Richtung.
Vektoren können auch dimensionsbehaftete Größen sein. Dann haben sie auch eine Einheit.
Ein typischer Vektor ist eine Verschiebung (siehe Abb. 1.1). Damit lautet eine erste, intuitive
Definition für einen Vektor:
5
,
Abbildung 1.1: Verschiebungen lassen sich durch Vektoren charakterisieren.
Größen, die sich wie eine Verschiebung verhalten, bezeichnet man als Vektoren.
Man schreibt ,/- ., .01.$22$2 .
Im Rahmen der Vorlesung und in diesem Skript verwenden wir die Notation , . Dies ist vor allem
dann bequem, wenn man mit der Hand schreibt.
Eine mathematisch formalere Definition eines Vektors ist folgende:
Definition 1.1 (Vektorraum, Vektor). Eine Menge von Elementen
torraum und , .8 .$2$2$2 Vektoren, wenn für alle , .8 .+; .$<<<>= 3 gilt:
1. Abgeschlossenheit: ,
2. Assoziativität: ,
?@8
=
?FEG8 ?H; I
EG,
4
4. Inverse: Für alle , = 3 existiert
Element. Man schreibt auch O , .
6. Für alle A
E
(a)
E
(b)
(c)
7.
V
<,
4
A
.QR=B
?PQSIT,
A
QSIT,
A
EG,
?J8
3
=BDC
(für alle A
heißt Vek-
bezeichnet man auch als Skalar)
A
=
mit ,
,
3
M
=
3
?
mit
,
L
,
?
4
,
M
für alle ,
4NL
.
,
M
=
3
bezeichnet man als inverses
8 ?P,
gilt:
,
4UA
?JQ1,
EGQ1, I
4FA
?J8 I
4
=
, .
8 .2$2$2:9
?J8 IK?H;
3. Neutrales Element: Es existiert L
5. Kommutativität: ,
,
und A
3
35476
4
E
A
, IK?FE
A
8 I
,
Die Addition zweier Vektoren , und 8 kann man sich wie folgt veranschaulichen (siehe Abb. 1.2a):
Der Vektor 8 wird parallel an das Ende des Vektors , verschoben. , ?J8 ist dann die Verbindung
des Anfangspunktes von 8 mit dem Endpunkt des verschobenen Vektors 8 .
Die anschauliche Bedeutung des Multiplikation mit einem Skalar werden wir später in diesem
Abschnitt diskutieren.
Abbildung Abb. 1.2b veranschaulicht das inverse Element , M 4WO , . O , hat die gleiche Länge,
aber die entgegengesetzte Richtung von , . Damit läßt sich auch die Subtraktion von Vektoren als
Addition des Inversen definieren.
6
X
Y
Z
Y
Y
a)
X
X[
b)
X
Abbildung 1.2: Veranschaulichung der Addition von Vektoren (links) und des inversen Elements
X [ \^]_X (rechts).
Beispiel 1.1.c
`ba
mit X
Xd
X afehg
\
wobei Xd
g
X a_i
`
mit der Addition und skalaren Multiplikation:
X
Zkj
Y
`bn
\
c
Y
XdlZkj d
Y
a e
X a Zkj m
Verallgemeinerung:
speziell für o \qp erhält man die bekannten Rechenregeln für die reellen Zahlen.
Definition 1.2 (Betrag eines Vektors). Den Betrag bzw. die Länge oder auch Norm eines Vektors X bezeichnet man mit
r r
X
\sXt
Später werdenr u wir
immer
die Schreibweise X verwenden, sofern keine Verwechslungsgefahr ber
u
steht.
Speziell gilt:
.
\
c
Für das obige Beispiel 1.1 des
`ma
Xd
X afe
bestimmt man den Betrag aus
v
v
v
v
v \xw
v
a
a
X d ZJX a
v
v
Im folgenden wollen wir drei verschiedene Multiplikationen von Vektoren definieren.
u~}
Definition 1.3 (Skalare Multiplikation).
ub}
a) j|{
b) j€
Y
\yj/X
(Skalar z Vektor \ Vektor)
X
Y
X
und zeigen in die gleiche Richtung (parallel): X
Y
und entgegengesetzt (antiparallel).

Y
Die Regeln für die skalare Multiplikation sind durch die Vektorraum-Axiome festgelegt.
}
Definition 1.4 (Skalarprodukt). Vektor z Vektor \ Skalar (Zahl)
`~a
Y
Y
Y
Definition im
X z
\FXd dlZJX a a
r n r r r
`~
Die Verallgemeinerung auf den
ist offensichtlich.
Y
Y
z‚:ƒ…„†
geometrische
Definition:‡ X z \ X z
u ‡
Diese geometrische Deutung impliziert
nun:
r r
Y
Y

Y 
senkrecht
auf
z
†
X
\
\yˆŠ‰l‹…Œ
X
X Ž
Y
Y
Die Projektion von auf X ist ‚ƒ…„† (siehe Abb. 1.3).
7
.
—
‘
‘“’$”:•…–˜—
™

™

Abbildung 1.3: Die Projektion von auf .
Definition 1.5 (Kreuzprodukt (Vektorprodukt, äußeres Produkt)). Vektor
tor
™
™ š
Vektor
›
‘ ‘¡’/‘ ‘*–
¢¤£¥— ist das Kreuzprodukt
Im Gegensatz zur skalaren Multiplikation und dem‘ ‘ Skalarprodukt
 ž~Ÿ
ž~Ÿ
 žbŸ
zweier Vektoren ™
nur im
definiert.™
š
™  ™ Vekœ
›
™

š
Anschauliche Definition: œ ›
hat den Betrag œ ›
und steht senkrecht auf



™
™
œ ¦
œ ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).
und : œ ¦
. Dabei bilden


Bem: Daraus folgt sofort: š
(antikommutativ).
›¨§
š
Komponentenweise Definition:
™&«
™

™
™
š

›
©ª
™
Ÿ

Ÿ
¬
™&« 
™
Ÿ §
:«¬
¬

«
Ÿ
¬®­¯
§
§
Weitere Rechenregeln für Skalar-und Kreuzprodukt lernen Sie in den Übungen (Aufgaben 4 und
5) kennen!
Wichtige Bemerkung: Im Gegensatz zur Multiplikation von reellen Zahlen lassen sich die Multiplikationen von Vektoren i.a. nicht umkehren. M.a.W.: Es gibt keine Division durch Vektoren!
1.3 Koordinatensysteme
« $±$±$±K Definition 1.6 (Basis, Dimension, Koordinatensystem). Es ist zweckmässig, in einem Vektor™
¬
raum gewisse Vektoren ° °
° ² auszuzeichnen, mit deren Hilfe sich alle anderen Vektoren
R³
µ µ
als
™
²
´ µ
¶
›
¬S·
°
µ
« ±$±$±K darstellen lassen1 . Die minimale Anzahl ¸ von Vektoren, die dies erfüllen, bezeichnet man als
³
³
™
« $±$±±1 ¬
° ² als Basis von
Dimension von und die Menge ° °
. Die · sind die Komponenten
« $±$±$±¹ ¬
° ² . In der Physik spricht man deshalb auch
oder Koordinaten von bzgl. der Basis ° °
¬
davon, daß ° °
° ² ein Koordinatensystem bilden.
Bem.: ¸ kann auch unendlich sein. In diesem Fall spricht man von einem unendlich-dimensionalen
Vektorraum.
1
Man sagt: º ist eine Linearkombination der Vektoren » ¼+½*» ¾+½T¿À¿T¿&½*» Á .
8
ÄÅ&Æ
Å
Ã
Å!Ç
Â
Abbildung 1.4: Kartesisches Koordinatensystem.
Å
Bem.: Nimmt man zu einer Basis È É:ÊÈ Ë$Ê$Ì$Ì$ÌKÊÈ Í zum Beispiel noch den Vektor È ÍÎ/ÉÐÏÑÈ ÉÓÒÕÔÖÈ Ë
hinzu, so lassen sich natürlich immer noch alle in obiger Weise darstellen. Ein solche nichtminimale Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannen, bezeichnet man als Erzeugendensystem.
Beispiel 1.2.
Ü
Ü
ØÙ
Û
Ú
ÜÞÝß
È É×Ï
Ê
È ËàÏ
ØÙ
Ü
Ê
ÜÞÝß
Ú
È áâÏ
Ü
ØÙ
á
Ýß
Ú
ist eine Basis des ã .
Í
Allgemein hat der ã
die Dimension ä .
Häufig ist es zweckmässig, die Basisvektoren möglichst “einfach” zu wählen. I.a. normiert man
Ü
ihre Länge auf (d.h. È åÐæçÈ å@Ï
) und wählt die Vektoren paarweise orthogonal: È åàæçÈ èKÏ
für
alle é¥J
êÏ ë . Man Ú spricht dann vonÚ einer Orthonormalbasis.
Å
ìRí
Å
Definition 1.7 (Einheitsvektor). Einheitsvektoren
sind Vektoren der Länge 1. Zu einem belieÅ
Ü
Å
Å
bigen Vektor
( êÏ ) kann man
einen Einheitsvektor
gleicher Richtung definieren:
Å
î
ï
Ï
ï
ð
ï î ï
Ï
Ç
Ú
Speziell für die Einheitsvektoren in Â
Ê
Ä
-Richtung schreibt man: Â
Ê+ñ
î
Ê
Äî
Ê ñ
î
oder È
Æ
Ê+È
Ê+È ò
.
Die Wahl einer Basis eines Vektorraumes ist nicht eindeutig. Man wählt i.a. die Basis, die für ein
gegebenes Problem am zweckmässigsten erscheint. Im folgenden werden wir die für die Physik
Ë
á
wichtigsten Basen (Koordinatensysteme) des ã und ã diskutieren.
1.3.1 Zweidimensionale Koordinatensysteme
Ç
Æ
Die einfachste Wahl einer Basis des ã
Å
ÅÇ
wählt man Einheitsvektoren È , È Ç in
der bekannten Darstellung
Ï
È
Ò
Ë
ÂKÅ!ó Æ
führt auf das sog.
Å!Ç kartesische Koordinatensystem. Hier
Æ
Äó Å
und
Richtung
Basisvektoren und kommt so zu
Å!Æ÷als
ö
È
bzw.
9
Ïõô
.
ú
ø!ý
ø
ü
ø þ ÿ
ø ø
ù
û
Abbildung 1.5: Zylinderkoordinaten
Das zweite häufig
Koordinatensystem in zwei Dimensionen sind die (ebenen) Po
verwendete
ù
larkoordinaten ø . Die Koordinaten sind hier nicht durch die Projektionen auf die û und
ù
ü
Achse gegeben, sondern durch die Länge ø des Vektors ø und den Winkel , den er mit der
û
Achse einschließt. Daraus ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen den kartesischen
und den Polarkoordinaten:
ø
ÿ
ø
ø
ø
ÿ
ø ù
!" ù ÿ
#%$
ø
ÿ
ø ù
#&
Bem: Ein Vektor ø an sich ist unabhängig vom Koordinatensystem. Erst die Komponenten eines
Vektors sind von der Wahl des Koordinatensystems abhängig.
1.3.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme
Üblicherweise arbeitet man hier in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem.
Bei Problemen mit bestimmten Rotationssymmetrien können jedoch daran angepaßte Koordinatensysteme weiterhelfen.
In Zylinderkoordinaten werden zweidimensionale ebene
in der û -ü -Ebene mit
ø'Polarkoordinaten
ú
ø þ ÿ
(
ø)
einer -Koordinate kombiniert (siehe Abb. 1.5).
ist die Projektion von ø in die
ù
û*h
ü+ Ebene und der Winkel zwischen ø þ und der û Achse. Dabei hat man zu beachten, daß
das urprüngliche kartesische Koordinatensystem rechtshändig ist, d.h. die Rechte-Hand-Regel
10
1'2
3
/
0
,
.
Abbildung 1.6: Kugelkoordinaten
,
erfüllt2 . Als Koordinaten erhält man 35476 1 896 , und 12 mit folgender Umrechnungsvorschrift:
3
4
N 1':
O P 1'@O
1: 4
3<;>=(? ,
LFM
,
,
Q
R
B
4
S%T
1@ 4
3<?%ACB
SU
GDFE
HJI
K 12
12
, 0
In Kugelkoordinaten benutzt man außer der Länge 1V4W6 1 6 des Vektors 1 zwei Winkel , (siehe
0
Abb. 1.6). Der Winkel ist dabei der Winkel zwischen dem Vektor 1 und der -YX Achse. Um von
den Zylinderkoordinaten zu den Kugelkoordinaten überzugehen, muß man die 0 Projektionen 1 8 in
die .ZX[/+X Ebene und 1'2 auf die -\X Achse durch die Länge 1 und den Winkel ausdrücken. Mit
1 8 4]1?%ACB 0 und 1'2^4]1;>=(? 0 erhält man:
N 1:
1
4
O P 1@a
O P 1'2O 4b6 1 6
1': 4
1_?ACB 0 ;>=(? ,
L
,
Q
R
M
S%T
B
4
1'@ 4
1_?ACB 0 ?%ACB ,
S
U
`
K
GD E
HJI
1'2 4
1_;=(? 0
QR B 0 4
c SdUe STd
S%f
`
Wir werden später sehen, daß man durch geschickte Wahl des Koordinatensystems oftmals ein
Problem stark vereinfachen kann. Dabei hat man sich an den Symmetrien des Problems zu orien,
tieren. Bei einer Kreisbewegung ist z.B. der Radius konstant und nur der Winkel verändert sich
in einer Polarkoordinatendarstellung. In kartesischen Koordinaten würden sich dagegen sowohl
die .X als auch die /+X Koordinate zeitlich ändern.
Der Daumen zeigt in Richtung der gh Achse, der Zeigefinger in i(h Richtung und der Mittelfinger in Richtung
der j)h Achse.
2
11
2 Grundlagen der Kinematik
Zur Begriffsklärung:
k Die Kinematik beschreibt die Bahn einer Bewegung.
k Die Dynamik untersucht physikalische Ursachen einer Bewegung.
k Die Statik gibt Bedingungen an, unter denen keine Bewegung auftritt.
2.1 Funktionen und Differentiation
Definition 2.1 (Funktion). Eine Funktion ist eine Zuordnung von zwei Variablen mit einer VorlVmonqpsrt
lVm]l+psrt
schrift für die Verknüpfung:
r
l
oder
l+psrt
n
Hier können
und auch Vektoren sein. Die Schreibweise
soll andeuten, daß man in der
l
Physik häufig nicht zwischen der Funktion (also der Zuordnungsvorschrift) und der abhängigen
Variablen unterscheidet.
rzu{r|v}xZr
Eine stetige Funktion hat einen Kurvenverlauf ohne Sprung3lV
. u lwvyxZl
Definition 2.2 (Ableitung, Differentiation). Der Zuwachs
xZl
l+psr~
vxZrAbb.
t€}l‚2.1):
pƒrt
ein Maß für die Veränderung einer Funktion
(siehe
m
xVr
xZr
pƒr„l‚pƒrtt
, wenn
ist
pƒr…v†xZr„l‚pƒr‡v†xZrtt
Dies ist also die
der Geraden
und
lYˆ‰psSteigung
rt
l‚pƒrt durch die Punkte
(siehe Abb. 2.1).
Die Ableitung
einer Funktion
ist dann die momentane Veränderung der Funktion, die
xZl
durch den Grenzwert
l ˆ psrt‹ŠŒm CŽ
xVr
‚‘“’^”
lYˆYm–•˜—
r
l
•
l ˆ ˆ mšpsl ˆ t ˆ lœ›ž Ÿœ¡£¢mšpƒlœ›ž ¢ƒt ˆ
‘ mit den Differentialen ™ , ™ .
gegeben ist. Man schreibt auch
•¤—
Höhere Ableitungen sind rekursiv definiert:
,
, etc.
•
Bemerkung: Streng genommen istxVl ‘ xV
kein
r Quotient zweier Größen und kann nicht auseinanderxZrzu ¥
gerissen werden. Trotzdem macht man dies in der Physik häufig! Dahinter steckt die Vorstellung,
,
rechnet und am Ende erst den Grenzübergang
daß man mit den Veränderungen
vollzieht.
3
Wir verzichten hier auf eine streng mathematische Definition zu Gunsten der intuitiven Vorstellung.
12
¦
¦+§s¨~ª¬«V¨©
¦+§s¨©
¨
¨
¨­ª¬«V¨
Abbildung 2.1: Zur Ableitung
Beispiel 2.1.
¦+§s¨©a®¯¨±°
²
¦'³‰§ƒ¨©a®]´‚¨±°¶µ\·
Im folgenden stellen wir die wichtigsten Rechenregeln zusammen, mit denen sich aus bekannten
Ableitungen weitere Ableitungen bestimmen lassen:
1. ¦+§s¨©¸®º¹q§ƒ¨©˜»§s¨©
¼
¦ ³ §s¨©a®]¹ ³ §s¨©¤»+§ƒ¨©½ª¬¹¾§s¨©¤» ³ §s¨©
(Produktregel)
¦ ³ s§ ¨©a®b¿ÄÅÀŒÁ“Â à ŒÀ Á“à  µ ¿ ÀŒÁ“ à ÄÆÀžÁ“Â
žÀ Á“ÂÇ
¼
¦+§s¨©¸®]ÈV§ƒ¹­§Æ¨©©
3. ¦Z®oÈ<§ƒ¹‚© , ¹z®]¹¾§ƒ¨©
¼
¦ ³ ®–ɤÊ
®
É¤Ê É ¿ ®†È ³ §ƒ¹­§Æ¨©©Y¹ ³ §ƒ¨©
É Á ËCÌÎÍÎÏ\ÌÎЌÑÒÌÎÍ ° Ä Ä É ¿ É Á
4. Ableitung der Umkehrfunktion ¨z®oÈ µ\· §s¦\© von ¦V®]È<§s¨© :
2. ¦+§s¨©¸®W¿ à ÀžÀžÁ“Á Â
¼
Ó È µ\·Ô ³ §ƒ¨©Õ®
Ö
È ³ Χ È \
µ · ƒ§ ¨©©×
(Quotientenregel)
(Kettenregel)
¦
¦ ³ ®ÙØ ®
¨
Ø
bzw. in Kurzform
Ö
ÉÁ
ɘʁÚ
Dies beweist man z. B. über die Kettenregel, da È<§ÎÈ µ\· §ƒ¨©©|®Ù¨ . Man beachte, daß man
die Ableitung von È ³ an der Stelle È µ\· §ƒ¨© zu nehmen hat (siehe folgendes Beispiel).
Beispiel 2.2.
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion È<§ƒ¨©Û®7Ü Á ist bekanntlich der (natürliche) Logarithmus È µ\· §s¨©a®]ÝCÞ^¨ . Da È ³ §s¨©a®oÜ Á erhält man als Ableitung des Logarithmus
Ø
Ø
Ýދ¨
®
¨
Ó È½µ\·Ô ³ §s¨©a®
®
Ö
È ³ §£È µ\· §s¨©%©
13
Ö ®
Ü>ß à Á
¨
Ö
Ú
Definition 2.3 (Ableitung von Vektoren).
Die Ableitung von Vektoren ist komponentenweise erklärt: Sei á âƒã%äZå
æ
wertige Funktion und á âÆãì¬í­ã%äÕåºá âÆã%äìíZá âƒã%ä deren Änderung. Dann ist
î
ô
á
íZá âƒã%ä
î
å æùø˜úô û
å ó‚ðñCôöòõ^÷
ëþý
ã‡ï
í­ã
ø˜ø úü
ø
áYçèâÆã%ä
á'éêâÆã%ä­ë
eine vektor-
Definition 2.4 (Partielle Ableitungen). Die Ableitung von ÿ*å <â ç é“ä nach +ç wird berechnet, indem man œé festhält und dann wie oben mit å ‚ç ableitet. Schreibweise:
<âç é“ä
<â
ç éä
ç bzw. é
Beispiel 2.3.
ç éé der Variablen +ç und œé . Als partielle Ableitungen
Wir betrachten die Funktion <â+ç é“ä¸å
erhält man dann
é
ç å é und é å ç é ý
é
Bem.: Man beachte, daß
é ç
ï
å
é æ ç ë å é‹å ç æ é ë
å
ï
é
ç é ý
Diese Regel für die Vertauschbarkeit der Reihenfolge partieller Ableitungen gilt und recht allgemeinen Bedingungen. Wir werden später darauf zurückkommen.
2.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung
2.2.1 Bewegung eines Massenpunktes
Es sei âÆã%ä der Ortsvektor eines Massenpunktes (keine Ausdehnung) zur Zeit ã . Man bezeichnet
die Funktion âÆã%ä auch als die Bahnkurve des Massenpunktes.
In 3 Dimensionen kann man die Bahnkurve z.B. in kartesischen Koordinaten angeben:
½âÆã%ä
ÿ+âƒã%ä
mit drei Funktionen ½âÆã%ä , ÿ+âƒã%ä und âÆã%ä .
âƒã%ä¸å
âƒã%ä
Im vorigen Abschnitt 2.1 haben wir die Differentiation von Vektoren definiert. Dies wollen wir
nun benutzen, um mit Hilfe der Bahnkurve verschiedene Geschwindigkeiten und die Beschleunigung zu definieren.
14
Abbildung 2.2: Zur Bahnkurve
! $" #&%(*% ')
Definition 2.5 (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Die mittlere Geschwindigkeit zwischen
und
ist
(siehe Abb. 2.2).
Als momentane Geschwindigkeit definiert man
! +",# /- .10 &
# 6 #8 7 .
%()3254 6
Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit
pro Zeit:
9 +",# -/.10 ! #&6 ! #:! 7 ;#=< .
%()3254 6
einen Punkt gekennzeichnet, um sie von anderen
Die Zeitableitung wird üblicherweise durch
Ableitungen zu unterscheiden. Man kann also auch schreiben:
@ 7 CD
!F7 E CD
@ < CDKJ
! # >? 7A und 9 # >? !H7 G # >? A <
B7
!H7 I
B<
2.2.2 Beispiele
eine
L9 #M9NWir
EO#QPbetrachten
RTSVUXW . Dannzunächst
folgt:
!Y7 #9 Z ![
\#M9]^! 4 Z @
\#`a_ 9]cbde! 4 f^@ 4
Dabei bezeichnen ! 4 und @ 4 die Werte von ! und @ zur Zeit g#&h . Diese Größen tauchen auf,
weil wir hier zweimal integriert und somit jedesmal eine Integrationskonstante erhalten haben
1-dimensionale Bewegung mit konstanter Beschleunigung
eindimensionale Bewegung mit konstanter Beschleunigung
(siehe Kap. 3.1).
@ A
Bjw i
,
J
BVk#mlf
9 #nohNpqhjpritsj su#Kv _[yox z
Anwendung: Freier Fall
Die Erdoberfläche sei die - -Ebene. Die
Koordinate gibt dann die Höhe des Körpers über
. Auf den Körper wirkt die Gravitation und er erfährt so eine
der Erdoberfläche an:
Beschleunigung
mit
. Mit der Anfangshöhe:
und
Bj
{#Kh]|#KB 4 #}l
15
~T€M~[‚ƒ\€„]…;€M„ ergibt sich dann:
† ‚
ƒ…\€ †L‡}‰[ˆ Š ƒc‹rŒ
~[ ‚
ƒ…\€Ž†‡  ‚
ƒ…\€ ‡ Š ƒŒ
‚
ƒ…\€ Š[‘
†
Denn Aufschlagszeitpunkt ƒ’ des Körpers erhält man aus ‚ƒ’f…;€„ :
‰†
ƒc’“€ Š ‘
der Anfangsgeschwindigkeit
~H’“€ ‡ ~[‚
ƒc’(…”€ Š ƒc’•€m– ‰ Š † ‘
Die Aufschlaggeschwindigkeit ergibt sich zu
—
Kreisbewegung (2-dimensional) Wir betrachten nun einen Körper, der sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius bewegt (siehe Abb. 2.3). Die entsprechende Bahnkurve ist dann gegeben
durch
˜
˜ ˜ ‚
ƒ…\€š™e›œ ‚
‚ƒƒ…ž…  €Ÿ™ —¡—¡ £¢T¦1§|£[¤¥¤¥‚
‚
ƒƒ…¨…  ‘
Wie man sieht, ist €m© ©€— .
Die
Änderung des Winkels ¤ª‚ƒ… bezeichnet man als Winkelgeschwindigkeit: «{‚ƒ…¬€
­X­c® ¯ € zeitliche
¥¤ ‚
ƒ… .
‡ und œ ‡ Richtung des Körpers auf der Kreisbahn ist durch
Die Geschwindigkeit in
›
~F°k€ ›  € ‡ —¡£¦/§f‚±¤*…d² •¤ € ‡ « œ Œ
~F³|€ œ  €—¡ ¢T£‚o¤(…ª²{•¤ €´« ›
gegeben, d.h.
‡ £¦1§{¤
~ ‚
ƒ…\€—{«Q™ ¢T£[¤  Œ
˜
~L€}© ~ ©€—µ© «g©/– ‚ ‡ £¦/§|¤(… ˜ ‹ª¶ ¢T£ ‹ ¤·€—µ© «g© ‘
Somit ist ~ ² €„ , d.h. zu jedem Zeitpunkt ist ~ ¸ .
Für die Beschleunigung ergibt sich analog:
 € ~  €— «Q ™ ‡ ¹¢T£¦/£[§{¤ ¤  ¶ —{« ‹ ™ ‡‡ ¹£¦1¢T§{£[¤¤  Œ
 €m©  ©T€»º — ‹ «  ‹ª¶ — ‹ «\¼5€M—½º «\¼ ¶ «  ‹ ‘
16
¿
À
Á¥Â
ÃÄ
À
¾
Abbildung 2.3: Kreisbewegung
ÆÈÅ ÇÄ ÉjÊ
Á
¥
Â
Ã
Ä
Ã
ª
Á
Â
Ã
ÆÈÇM˹ÌTÍVÎXÏ
ÇÐÆ
ÇÉ ÇÉ ).
Ñ Ç ÀÓÒ ËÎÌÔÕ/Í Î Â ÆÆ ÃÃÄ¨Ä Ö
ÑgÇ À
× Ç À Æ ÒMØ ËÌÔÎÕ1Î Í Â Æ Â Æ ÃÄÃÄ Ö
מÇÑÚÙ ÆgÙHÇQËÌTÍjÎÏ
Û Ç Ø À Æ”Ü Ò ËÎÌTÕ/Í Î Â ÆÆ ÃÃÄÄ Ö Ç Ø Æ”ÜÑ
ÛLÇ À Æ”ÜÇ × À Ü Ê
Dabei ist Û parallel zu Ñ und × senkrecht dazu (siehe Abb. 2.4).
Ý É , obwohl Ù × Ùßǚ×
Bem.: Die Kreisbewegung ist also eine beschleunigte Bewegung, da Û ÇÞ
Speziell: Gleichmäßige Kreisbewegung, d.h.
Dann ist
und
(wenn
konstant ist !
17
â ãäæé´ç]è
â ãäæåÐç]è
à
á
Abbildung 2.4: Richtung von Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der gleichmäßigen
Kreisbewegung.
3 Dynamik eines Massenpunktes, Kräfte
3.1 Integration und Differentialgleichungen
ê ã
ëè
â[ãëè;ìîícícï ð
wenn
bekannt ist ?
Eine häufig auftauchende Frage lautet: Wie bestimmt man
Die zur Beantwortung dieser Frage nötige Umkehrung der Differentiation bezeichnet man als
Integration.
Bemerkung: Ist
eine beliebige Lösung mit
, dann hat die allgemeine Lösung die
Form
ê ñ ã
ëè
mit
ô5ì
â[ã
ëèkìšírícï ðò
ê ãëè”ì ê ñ ã
ëèóõô
const. (Integrationskonstante).
ö ãê è
ö
êf÷
Eine andere Motivation der Integration ist die Flächenberechnung. Man spricht auch von bestimmten Integralen. Für die Fläche die vom Graphen
der Funktion mit der
Achse
zwischen
und
eingeschlossene Fläche (schraffierter Bereich in Abb. 3.1) schreibt
man auch:
ê ìKá
ê ìmø
ù
ã
ø*èúì»ûõý ü ö ã ê ècþ êfÿ
Man fragt sich nun: Wie sieht ã
ø*è aus, wenn ö ã ê è bekannt ist?
ù wir den Integrationsbereich
ù
Zu ihrer Beantwortung vergrößern
um ein Stück ø
ã
øYó ø(èšì ãø*è ó ö ãø*è ø ó ø ö[ÿ
ù
18
(siehe Abb. 3.1):
f(x)
f(u+ ∆ u)
∆f
f(u)
∆R
a
u
u+ ∆ u
x
Abbildung 3.1: Das Integral
Die Fläche
haben wir nur sehr grob durch
approximiert. I.a. wird hier noch ein Koeffizient auftreten, d.h.
. In dem Beispiel in Abb. 3.1 wäre eine Approximation
des Bereichs
durch ein Dreieck (d.h.
) sicher genauer. Wir werden aber gleich sehen, daß es darauf gar nicht ankommt. Wichtig ist nur, daß
gegen Null geht, wenn
oder
gegen Null gehen.
Nun ergibt sich durch einfache Umformung:
!"$# " "%&!
"(!
'
und somit für *) + :
,.-0/ 78"# 8" 9 "
124365
.
,
0
/
124365 :9+ .
Dabei haben wir ausgenutzt, daß
Insgesamt haben wir also:
"; < < " > =? "
Man nennt deshalb F auch Stammfunktion von f.
Die Menge aller Stammfunktionen4 bezeichnet man als unbestimmtes Integral:
A@ "; B C @ " < @
Das unbestimmte Integral von
4
D
ist also eine Funktion (bzw. eine Schar von Funktionen).
DFEHG
Man beachte, daß mit
immer auch
mit einer beliebigen Konstanten
Stammfunktion von ist, wie man durch Differentiation leicht nachprüft.
I
19
G
(Integrationskonstante) eine
Die Bedingung
Integral:
JKCLFMONQPMSR legt Integrationskonstante fest. So kommt man zum bestimmten
U
TVU
WYX KAZP\[]Z^MJKALP$_VJKANQP`MJKAZPbaaa W
a
Das bestimmte Integral von zwischen N und L ist also eine Zahl!
X
Beispiel 3.1.
Als einfaches Beispiel betrachten wir die Funktion
durch
T
JKAZP;M
Das bestimmte Integral zwischen
T N und
U L
Zc . Das unbestimmte Integral ist gegeben
ehg
Z c []Z*M idZ cf
j k j!lm
ist
nL coehg _ Npcoehg m
j k ijk
W Z c ][ Z^M i
Speziell für NM k und L^M9q ergibt sich
Tr
gs_ k m
Z c []Z^M qcoiehjt
k
g
In der Praxis muß man eine gewisse Menge elementarer (unbestimmter) Integrale auswendig
können. Aus diesen kann man sich durch Anwendung geeigneter Regeln viele Integrale herleiten.
Im folgenden wollen wir zwei wichtige Regeln vorstellen:
u
Partielle Integration: Die partielle Integration ist gewissermaßen die Umkehrung der Produktregel der Differentiation.
Sei
. Da
folgt:
zyz { KCLhxQT P;M|~ Lnw}x j Lhxpw
T
[ KALxQP$_Lhx w€ []Z^M|Lhx‚_ hL x w [ƒZ
KX CZPy[]Z^M
[]Z
Der Nutzen dieser Regel liegt darin, daß manchmal das Integral „Lhx w []Z einfacher auszurechnen ist als „ Lhw…x][ƒZ . Beispiele hierfür werden in den Übungen (Aufg. 14) diskutiert.
u Substitutionsregel: DieU Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel der Substitution.
Sei L^M|L†KAZP , L w M z . DannT ist
T
zy{
X KCZPvMtLhw?KCZPyxT KAZP
X KCL†KCZP%P\L w KCZP\[]Z*M
20
X KCLP\[]L
Ž
‡]ˆŠ‰‹ˆŒ…‡]
Dies kann man sich leicht merken, wenn man
schreibt und dies einfach in
einsetzt.
Die Substitutionsregel kann man in beide Richtungen (von links nach rechts oder von
rechts nach links) anwenden. Manchmal ist es nützlich, durch Substition mit einer geeigneten Funktion
zum scheinbar schwierigeren Integral auf der linken Seite überzugehen.
Auch hierzu wird es Beispiele in den Übungen (Aufg. 14) geben.
ˆ‘\ˆnŒ’‡]

ˆ  ‘
Bemerkung: Bei bestimmten Integralen sind die Integrationsgrenzen mitzutransformieren!
“” $  
“ –—…”™˜  
!
Œ
• ˆ ‘%‘\ˆ  ‘\‡]^‰ o– — • ˜ ˆ ‘\‡]ˆ›š
Beispiel 3.2.
“œ4ž.Ÿ Q¡›¢4£¥¤
1.
n‡] ­ %¦ §©‰ ¨…ª «©¬ ­
¦%©§ ®°¯±¨y¬ ¬
“œ –
œ–
‡]ˆ^‰
‰
œ4ž.Ÿ ²¡
“ nˆ Œ  ‘
“
ˆ ‘ ]‡  ³ –µ´²‰ –·¶ ³ ¡ ]‡ ˆ ˆ t
‰ ¸0¹º ˆ;ºb‰t¸0¹º ˆ  ‘º}š
2.
Differentialgleichungen (DGL)
Als Verallgemeinerung der Integration werden uns im folgenden immer sogenannte Differentialgleichungen (DGL) begegnen. In erster Linie werden wir es mit zwei Typen zu tun haben, den
und den DGL 2. Ordnung:
.
sog. DGL 1. Ordnung:
Wir wollen dies zunächst an Hand von Beispielen erläutern.
» Œ   ‘`‰   ( ¼½»d‘
» Œ Œ   ‘v‰   ( ¼½»¼¾» Œ ‘
Beispiel 3.3.
» Œ ‰    ‘
»  ‘;‰ Ž    ‘\‡]
1. Der einfachste Fall einer DGL 1. Ordnung ist
. Die allgemeine Lösung dieser
DGL ist
, d.h. dieser Fall entspricht gerade der Integration.
2. Wir betrachten eine DGL der Form
» Œ ‰¿  ‘%À  »d‘
Man bezeichnet diesen Typ als eine DGL mit getrennten Variablen. Für solche DGL läßt
sich ein allgemeines Lösungsverfahren angeben5 :
Á\¶ Ä ´ ­Ã­ ¬Â
5
 ‘\‡]
‡] » ‰
¿
À »²‘
Ä
Das ist nur für die wenigsten DGL-Typen möglich!
21
“
‡] » ‰ “ ¿  ‘\‡]
À »²‘
Å!ƷǒȷÉÊ$Ë ÅVÈ†Ò Ë Ê†Ë
ÌË
Î ÓÏ ÓÔ7Õ
Í(Î ÌdÏÑÐ
Î
und daraus durch Auflösen nach Ì Ð Ì ÓÏ die Lösung. Das oben dargestellte Verfahren
Somit erhält man
bezeichnet man auch als “Trennung der Variablen”.
Beispiel 3.4.
Wir betrachten als Beispiel folgende DGL mit getrennten Variablen:
Wir haben
Å Ê
Å Ê
Andererseits:
Ì
ÌÙ Ð
Å
Ê
Î \Ï Ó Ó
×ÚØ
Ð ×Ø Ó Ù Ô!Õ
Û
ÌdÖ Î ÓÏ ÐŠ×Ø ÓnÌQÙ Î ÓÏ .
Ì
ß
Ì Î ÓÏ Ð Ó Ù Ü ÔÕ
Ì Ù ÐÛ×ÝÌ Ü
Þ
Ì Î Ü ÓÏÑÐ Ó Ù Ô!Õ
Î
Mit Anfangsbedingung Ì Ï Ð
ergibt sich die Integrationskonstante zu Õ ÐOà und man erhält
Î
Ü diesÜ tatsächlich eine Lösung der DGL Ì²Ö Î ÓÏ ÐÛ×Ø Óñ٠ΠÓÏ überprüft
die Lösung Ì ÓÏ ÐÛ× ÓhÙ . Das
man leicht durch Differenzieren.
Ì Î 8Ó áâÏ Ð Ìá
Ì Î Óá¾Ï Ð Ì á ÌƒÖ Î Óná·Ï Ð|ã á
Bemerkung: Wie wir an den Beispielen gesehen haben, enthalten Lösungen von DGL 1. Ordnung eine offene Konstante, mit der man die Anfangsbedingung
erfüllen kann.
Bei DGL 2. Ordnung treten dementsprechend immer zwei Konstanten auf, die durch zwei Anfangsbedingungen festgelegt werden, z.B.
,
.
Weitere Typen von DGL werden in den Übungen besprochen (siehe Aufg. 19 und Aufg. 21). Wir
wollen sie hier der Vollständigkeit halber mit aufführen.
ä
È
È
Î
Î
å Ù Ì Ö Ö ÓφÔVåQæ%Ì Ö ÓÏ(ÔVåƒáçÌ Î ÓÏ Ð|à Ð8Þ ÌbèâéÃê Î ÓÏ Ð|ë æ¾ìfífî Ô ë Ù ìfí·ï
È
Die ðƒñ sind die Nullstellen
der charakteristischen Gleichung, die man durch Einsetzen des
Î
Ì
Ó
Ï
ì
í
Ansatzes
erhält.
Ð
ÎCò
inhomogene DGL: Ð Õµó ä(ô4õ Ï
å Ù Ì Ö Ö Î ÓϛÔ7åQæ%Ì Ö Î ÓÏ(Ô7å]áçÌ Î ÓÏ Ð ò ÐöÞ Ì Î ÓÏ Ð Ì¥÷°øâùCú Î ÓϛÔVÌèçéûê Î ÓÏ
ü ), ÌpèâéÃê Î ÓÏ die allgemeine
Ì÷°øâùÃú Î ÓÏ ist eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL (òÐ
à
ò
Lösung der homogenen DGL ( Ðà ).
Ò
Variation der Konstanten:
Ì Ö Î ÓÏ(Ô Î ÓÏ\Ì Î ÓÏ Ð Í(Î ÓÏ·ý
͛Î
Zuerst löst man die homogene DGL ( ÓÏ ÐOà ) und ersetzt dann die auftretende IntegraÎ
tionskonstante ë durch eine Funktion ë ÓÏ . Diesen Ansatz setzt man in die inhomogene
(
Í
Î
ü
DGL ( ÓÏ Ð|à ) ein.
1. homogene, lineare DGL -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
2.
3.
22
3.2 Grundlagen der Dynamik, Kräfte
3.2.1 Newtonsche Gesetze (Axiome)
In seiner “Philosophiae naturalis principia mathematica” hat Newton 1687 drei Axiome formuliert, die die Grundlage der (nichtrelativistischen) Mechanik bilden. Diese Axiome sind aus
Beobachtungen abgeleitete Erfahrungstatsachen, die nicht weiter begründet werden können 6 .
þ
1. Newtonsches Gesetz: Trägheitsgesetz
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung (keine Beschleunigung), falls keine äußeren Kräfte auf ihn wirken:
ÿ
falls
þ
Bem.: Die gleichförmige Bewegung entspricht also dem natürlichen Bewegungszustand
eines Körpers.
2. Newtonsches Gesetz: dynamische Grundgleichung (Bewegungsgleichung)
Greift an einem Körper der Masse
eine (äußere) Kraft
an und bewegt sich dieser
infolge der Krafteinwirkung mit der Geschwindigkeit , dann ist
bezeichnet man als den Impuls des Körpers.
þ
Bemerkung: Dies ist zum einen Definition der Kraft, zum anderen Gesetz, da
.
nicht z.B.
und
3. Newtonsches Gesetz: Wechselwirkungsgesetz (mehrere Körper)
Bei der Wechselwirkung zweier Körper ist die Kraft
, die Körper 1 auf Körper 2 ausübt,
entgegengesetzt gleich der Kraft
, von Körper 2 auf Körper 1:
þ
(actio=reactio)
4. Axiom: Superpositionsprinzip
Wirken auf einen Massenpunkt gleichzeitig mehrere Kräfte
samtwirkung durch
, , , so ist ihre Ge-
! gegeben.
6
Man mache sich klar, welche Abstraktionsleistung hinter der Formulierung dieser Axiome steht. So setzen sie
z.B. Dinge voraus (z.B. Kräftefreiheit), die sich experimentell niemals vollständig realisieren lassen!
23
Voraussetzungen und Annahmen
"
"
Absolute Zeit: Die Zeit ist in allen Koordinatensystemen gleich, d.h. invariant.
Bemerkung. Die Bestimmung der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse ist möglich, da unendliche Signalgeschwindigkeit erlaubt wird.
Absoluter Raum: Es existiert ein absolut im Raum ruhendes Koordinatensystem (KS).
Bemerkung. Man kann zeigen: Gelten die Newtonschen Gesetze in einem KS, so gelten
sie auch in jedem anderen KS, das sich relativ zum ersten mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Solche KS heißen auch Inertialsysteme. In ihnen hat die auf einen Körper
wirkende Kraft für alle Beobachter den gleichen Betrag, d.h. sie ist invariant (klassisches
Relativitätsprinzip).
3.3 Beispiele für spezielle Kräfte
3.3.1 Schwerkraft
#
$ %
%(
'# & #*)+-,.+-,/&-021
Als Lösung der Bewegungsgleichung ergibt sich dann
3 )5460 %7(9:8 &;4=<?>[email protected]> 3 BE1
Die Erdanziehungskraft, d.h. die Gravitationskraft an der Erdoberfläche, auf einen Körper der
Masse ist bekanntlich
Dies haben wir ja bereits in Kap. 2.2.2 diskutiert.
3.3.2 Elastische Kräfte
Elastische Kräfte haben die Form
IP%
F
elast
% F
elast
)HG 0
%(JI
G1
%N(OI M
#LM K
Speziell in einer Dimension gilt dann die Bewegungsgleichung
. Ein wichtiges Beispiel für das Auftreten solcher elastischen Kräfte ist die Rückstellkraft einer Feder.
Setzt man
, so erhält man folgende DGL 2. Ordnung
#RQ B<
S
% ( M
MK 7
Q B< 1
3
Diese Gleichung bezeichnet man auch als Schwingungsgleichung. Analoge Gleichungen gelten
für die anderen Komponenten und .
Diese DGL ist eine Gleichung, die sehr häufig in der Physik auftritt. Sie ist eng mit Schwingungsphänomenen verknüpft (siehe später) und hat die Lösungen
MUT %% V/X ]dWY^ X )5Q?B/460
M<
`) Q!B6460
%7( X6]_^
% ( aV WbX
M
\
T
M
Z denn: MU[ T % Q?B VWbX )`Q!B6460 , M K < % ( Q B< 6X ]_^ )5Q?B/4606c,
Z denn: [ Q?B )`Q!B6460 , K < Q B< 5) Q?B/460 c 1
24
Als allgemeine Lösung erhält man daher7
e f5g6hjilknm/odprq!s.gDtvuxwaybm-q?s/g
mit den beiden Integrationskonstanten k , u .
Eine alternative Darstellung dieser Lösung ist
e f5g6hzi{|wyYm f5q?s/g?}L~?sh€
mit den Integrationskonstanten { und ~‚s . Den Zusammenhang mit der ersten Lösung erkennt
man unter Benutzung des Additionstheorems
{|waybm f5q?s/g?}L~?shzi{|wybm f`q?s/g6h-wybm f~?s2hƒtv{„m/odp…f†q?s.g6h‡m/odpˆf‰~?sh
für die Kosinusfunktion. Hieraus kann man durch Vergleich sofort den Zusammenhang zwischen
den beiden Sätzen von Integrationskonstanten ablesen:
{Šwaybm\~?s‹iuR€Œ{Šm/odp~?sŽilk 
/‘bp’~?sri”•“ €Œ{—–ri˜kJ–!tvu™–š
e f›gœihœi˜ežs e Ÿ f›gœihœi˜ Cs
ežsŽile f›gjih ¡ u¢i˜ežs
£s‹i e¤Ÿ f›gzihzi¥q?s?¦§knwaybm-q?s/g‚}¨{|m/odprq!s6g©_ª¬« s ilq?s.k ¡
Wie üblich werden die Integrationskonstante durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Speziell
für
und
erhalten wir dann
k˜i q!£ s s š
Somit erhalten wir als Lösung
e f›g6hziežsUwyYm-q!s6g t q! £s s m6o_p‹q?s/g
i e –s t q s–s– waybm f5q?s.g?}L~?sh
­ mit /‘bp’~?s‹i q!C ®s ežs sb¯ š
3.3.3 Zwangskräfte
Zwangskräfte werden eingeführt, um Zwangsbedingungen zu erfüllen. Ein Körper, der auf einem Tisch steht, spürt natürlich die Erdanziehungskraft. Trotzdem bewegt er sich nicht. Nach
den Newtonschen Gesetzen muß daher die Gesamtkraft, die auf ihn wirkt, verschwinden. Die
Erdanziehungskraft wird also gerade durch eine entgegengerichtete Zwangskraft kompensiert
(siehe Beispiel (i)).
7
°›±³²´¶µ-·6¸›¹
°H±³²µ-·6¸
schreibt man i.a. einfach
. Aus dem Zusammenhang ist klar, daß damit nicht
Statt
gemeint ist, da z.B. das Argument des Sinus dimensionslos sein muß.
25
¸°H±³²µž·
¼¾½
»
¼P¿
º
Abbildung 3.2: Zwei über einen straffen Faden gekoppelte Massen.
À½
Â
Â
¼ ½=Á
¼P¿ Á
Abbildung 3.3: Kräfte, die auf die beiden Massen wirken.
(i):
À
Ã
ÄÅ Æ ÇÌ ˜
Æ È…Æ˜É ÊvË
Æ ÍJÉ
Ë ges
Î
Ë ½
(ii): Das zweite Beispiel sind zwei Massen, die über einen (straffen) Faden miteinander
verbunden sind (siehe Abb. 3.2). Die Fadenspannung sei dabei und
die Zwangskraft
auf Körper 1.
In Abb. 3.3) sind die Kräfte dargestellt, die auf die beiden Massen wirken. Die Bewegungsgleichungen lauten daher:
Ë ½ Æ Ä ½=½ Ï\½HÐ ÑÐ
Î Æ Ä Å
Ä ¿ Å ¿‰Ò Æ Î Í¨Ä ¿ ÏUÓ
26
Ô_՞Ö
×ÙØHÚÜÛÞݒ×߉à und somit
á
â Ø Û˜×‡ØHÚOÛݍ×;߉à
Da der Faden immer straff sein soll, ist
ã_äÙå‚æ
Hieraus folgt dann:
â
Ý â ßØ á Û á Ý â ß.ç
á Û â â Ø â â ß ç'ê â .ß çPÛë—ß
ؤè ߈é â ß.ç
ׇØHÚÜÛ7ݍ×߉à’Û â Ø è â ß vê ç
æ
ç
Die beiden Körper erfahren also eine Beschleunigung, die kleiner ist als die Erdbeschleunigung .
3.3.4 Reaktionskräfte, Reibung
Wie der Name schon andeutet, sind Reaktionskräfte i.a. die Antwort auf äußere Einflüße, z.B.
den Kontakt zweier Körper (Beispiel (i), (ii)) oder Bewegung (Beispiel (ii), (iii)).
(i): Haftreibung (Körper bewegt sich nicht)
í
ðñ
ò
îï
ì
zú ó ï
Ûõô óú
Ûüûû
ï ôCû ۘۘë|ë|öø6÷bý_øÙþÿù ù
û
ú ï Û |ë ø6ý_þÿù , die den Körper die
ñ Û ô ñ ô’Û ñ ó
ñ Û7Ý ú ï
ú ï ê ñ ó
Die Haftreibung ist also parallel zur Kontaktfläche der sich berührenden Körper. Die Mañ
ñ .
terialkonstante wird als Haftreibungskoeffizient bezeichnet. I.a. ist ú ï ñ ó , beginnt der Körper zu rutschen (siehe (ii)). Durch Messung des maxiWird
ñ
malen Winkels ù
, bei dem sich die Masse noch nicht bewegt, kann man experimentell
Solange sich der Körper nicht bewegt, wird die Kraft
Ebene heruntertreiben möchte, durch die sog. Haftreibungskraft
kompensiert:
falls
bestimmen.
27
(ii): Gleitreibung (Körper bewegt sich)
Auf den rutschenden Körper wirkt die Gleitreibungskraft
Der Gleitreibungskoeffizient
bzw.
ist wieder eine Materialkonstante. Allgemein ist
"!#
.
(iii): Stokessche Reibung: Widerstand bei Bewegung durch ein zähes Medium
% &('
$
zähe Flüssigkeit
&
Aus Erfahrung weiß man, daß die Reibungskraft , die ein Körper erfährt, der sich mit
der Geschwindigkeit durch ein zähes Medium bewegt, proportional zur Geschwindigkeit
ist8 :
. Dieses Gesetz gilt, solange nicht zu groß oder zu klein wird. In vektorieller
Form hat man
*& ) & +-, .
da die Reibungskraft der Geschwindigkeit entgegengerichtet ist.
Speziell in einer Dimension erhält man für ein Teilchen der Masse
weiteren Kräfte mehr wirken, folgende Bewegungsgleichung:
/ 0 2, 1
56 4 0 3
bzw.
/
, auf das sonst keine
7 mit 6 4 ,
9/ 8
Dies ist einer der wichtigsten DGL-Typen. Da wir wissen, daß die die Ableitung einer
Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist, machen wir folgenden Ansatz
zur Lösung der obigen Bewegungsgleichung:
;:=<?>A@ B
0 1CD:<?>E@;C B
HG ist also
0 +
;:<JILMOK N
POQSRUTWVXTZY[YZY]\_^`R bedeutet “P ist proportional zu R ”, d.h. aAbdcAe cfgehhhji ist unabhängig von R .
Die allgemeine Lösung der Gleichung
8
CF3 6 4
28
l
nl m
k
Abbildung 3.4: Relaxationsverhalten.
Speziell für die Anfangsbedingung
oqpsrutwvyxzt{o m erhält man dann
o|t{o mA}J~€O ‚
Diese Lösung beschreibt das sog. Relaxationsverhalten. Die Geschwindigkeit nimmt monoton ab und geht für
gegen 0 (siehe Abb. 3.4). Der Abfall erfolgt umso schneller,
je kleiner die sog. Relaxationszeit ist. Zur Zeit
ist die Geschwindigkeit auf das
fache9 ihres Ausgangswertes abgefallen.
rzƒ „
ˆŠ‰ }‹
…
om
r†t‡…
4 Arbeit und Energie
4.1 Vektoranalysis und Wegintegrale
4.1.1 Vektoranalysis
Zu Beginn sei noch einmal an die Definition der partiellen Ableitung (siehe Kap. 2.1) erinnert:
Œ q Ž‘’D“
DŒ qŽU p x*t ” L p q Ž t gD“ t
”
const.
x
etc.
‚
Eine wichtige Eigenschaft, von der wir uns bereits an einem konkreten Beispiel überzeugt haben,
ist die Vertauschbarkeit von partiellen Ableitungen:
Œ “
Œ Œ
Œ Œ
Œ “
ŒDD“•ŒDqŽ—– t ŒDD “`˜ Œ_qyŽ ™ št ŒDq Ž›˜ ŒDDU“ ™ t – ŒDqŽEŒDD “
 p  EœEœ x
¡
 gœ x zugeordnet.
wird ein Skalar  p
Definition 4.1 (Skalares Feld). Skalares Feld
¡
Jedem Raumpunkt
9
¥g¦A§©¨«ªŠ¬ ­¯®‘°A±‘°E² .
ž t Ÿ £œ ¢¤
29
³µ´s¶[·¹¸º³©´W»´s¶[·A¼g½¾´s¶[·•¼g¿O´s¶[·[·
¶ ³
À
³µ´s¶[·
³µ´s¶[·
Á ³ ¸ ³µ´W»Ã Á »¼g½Â Á ½¾¼g¿2 Á ¿y·uÄ9³µ´s»¼g½¾¼g¿y·
¸ Å ³» Á »ÆÂÅ ³½ Á ½ÇÂ+Å ³¿ Á ¿
Å
Å
Å
¶
Wir betrachten nun eine Funktion
. Hierbei kann z.B. die Zeit sein,
die Koordinaten eines Massenpunktes zur Zeit und die auf das Teilchen wirkende Kraft. Diese ist i.a. als Funktion des Ortes gegeben, wird aber bei Einsetzen der Bahnkurve zu einer Funktion
der Zeit.
Der Gesamtzuwachs der Funktion
ist dann gegeben durch
»´s¶[·A¼g½¾´s¶[·•¼g¿O´s¶[·
Á³
bezeichnet man auch als totales Differential.
Die Ableitung von nach dem Parameter bestimmt sich dann aus
³
Á³ ³
Á¶ ¸ Å»
Å
¶
Á» ³ Á½ ³ Á¿
Á ¶  Š½ Á ¶  Š¿ Á ¶ÉÈ
Å
Å
Wie erwartet gehen dabei natürlich auch die ¶AÄ Abhängigkeiten der Funktionen »´s¶[·A¼g½¾´s¶[·•¼g¿O´s¶[·
ein.
Definition 4.2 (Gradient). (eines skalaren Feldes)
Zu einem skalaren Feld
definieren wir
³µ´W»¼g½q¼E¿y·
ÔÕ
³ËÊd¸ ÍÏ
Ì Î¯EÎ ÑÐ È
ίÎEÒÐ
ίÎEÐÓ von ³ .
Dieses Vektorfeld bezeichnet man als den Gradienten
grad
Mit Hilfe des Gradienten läßt sich das totale Differential von
³
schreiben als
Á » ÕÔ
Á ³«¸´ grad³É·µÖ Á À mit Á À ¸ ÍÌ Á ½
Á¿
Definition 4.3 (Nabla-Operator). Der sog. Nabla-Operator × ist definiert als
ÔÕ
(Vektoroperator)
× Êd¸ ÌÍ ÎEÎ Ñ
È
ÎÎEÒ
Î
Damit kann man den Gradienten vonÎAÓ ³ auch schreiben als
grad ³¸;× ³
È
Der Gradient grad ³ eines skalaren Feldes ³ hat auch eine anschauliche Bedeutung.
(i): grad ³ steht senkrecht auf der Fläche ³µ´WÀ ·*¸ const. (siehe Abb. 4.1).
Á
Á
Dies sieht man, da auf diesen Flächen per Definition ³Ø¸ÚÙ , also ´ grad ³·*Ö À ¸ÚÙ , d.h. grad ³
30
ÛµÜsÝ ÞzßwàAá
Û©ÜWÝ Þ*ß;à¯â
grad
Û
Û
ÛµÜsÝ Þzß const.
Ý
ÛµÜWÝ Þ-ß const. zu einem
Ý
Ý
steht senkrecht auf ã , wobei ã entlang von einem Punkt der Fläche
Ý
ä
Ý
ã Þ¯ÜWÝ zeigt.
infinitesimal benachbarten Punkt
©
Û
W
Ü
Ý
•
å
Ç
Þ
æ
ß
Ü
É
Û
å•Þ zeigt in Richtung des stärksten Anstieges von Û am
(ii): Der Vektor grad
grad
å
Ý
Punkt .
Û
Ý
Dies ist klar, da ã in der Richtung ã des stärksten Anstieges maximal wird. Offensichtlich wird
Ü ÛÞµç ã Ý genau dann maximal, wenn gradÛ parallel zu ã Ý ist.
das Skalarprodukt grad
Abbildung 4.1: grad steht senkrecht auf der Fläche
Beispiel 4.1.
Die beiden oben genannten Eigenschaften kann man sich an folgendem Beispiel unmittelbar klar
machen:
grad
Û
ÛµÜsèégêOÞæß è á ä9ê á
è ßwëîÝ
Û
ß
—
ë
ì
ê9í
grad
ÛµÜWÝ Þ-ßàß const. sind hier Kreise vom Radius ï ß ð à . Das Gradientenfeld zeigt
Die Kurven
radial nach außen und steht senkrecht auf diesen Kurven.
ÜsÝ Þ
Definition 4.4 (Vektorfeld). Vektorfeld ñ
Ý
ÜWÝ Þ zugeordnet.
Jedem Raumpunkt wird ein Vektor ñ
WÜ Ý Þ ist definiert als
Definition 4.5 (Divergenz). Die Divergenz eines Vektorfeldes ñ
ßwó ç ñ ßô ñè õ ÜWÝ Þäô ñ ê ö ÜWÝ Þäô ñ÷ ÜsÝ Þ•ù
div ñ ò
ô
ô
ô_ø
Man erhält also div ñ indem man formal das Skalarprodukt des Nabla-Vektors mit dem Vektor-
feld bildet! Die Divergenz eines Vektorfeldes ist also ein Skalarfeld.
Die Divergenz gibt Auskunft über die Quellen und Senken eines Feldes. Dies wird uns noch
ausführlich in der Elektrodynamik (Physik II) beschäftigen (siehe auch Aufg. 25 der Übungen).
Eine andere Interpretation der Divergenz erhält man durch Betrachtung des sog. Flusses durch
(siehe Abb. 4.2):
ein Volumenelement
úüû
div
ñ ß ÿý þ å
Fluß durch
úüû
31
úüû
Abbildung 4.2: Fluß durch
Definition 4.6 (Rotation).
In 3 Dimensionen können wir die Rotation eines Vektorfeldes durch
&'
rot $#
"
!
%
!
(
"
%
#
definieren. Formal ergibt sie sich also aus dem Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit dem Vektorfeld. Die Rotation eines Vektorfeldes ist also wieder ein Vektorfeld. Sie gibt Auskunft über
die Wirbel des Feldes (siehe auch Aufg. 25 der Übungen).
4.1.2 Wegintegrale
Definition 4.7 (Wegintegral). Das Integral eines Vektorfeldes
Punkt ) zum * ist definiert durch
+-,
A
.
0/12
7935845:<6 ;>=@?BA
längs eines Weges vom
A
0/
A
793845:<6 ;C=@?BA
A$DFEHGJIALK
Im Gegensatz zum früherA definierten
Integral über eine vektorwertige Funktion
werden hier also
A
A
nur die Projektionen M / des Vektorfeldes auf die Richtung des Weges aufsummiert (siehe Abb. 4.3). Man muß dabei beachten, daß der Wert des Integrales i.a. vom genauen
Verlauf des Weges zwischen ) und * abhängt. Dieser muß daher immer spezifiziert werden.
,
Die praktische Berechnung von Wegintegralen N . /12 geschieht i.a. so:
1) Bestimme eine Parametrisierung O MPQ des Weges von ) nach * :
O RPQSTLO
MPQ UO
mit
RPQV
O MP
=
WX .
K
USO MPQYZ[ ,
2) Diese Parametrisierung wird% dann in den Integranden eingesetzt und das Wegintegral somit
zu einem Integral über den Parameter P :
+-,
.
+_^a`
\/]12
+
^cb
LO
^a`
^ bgf
MPQ UO
%
LO
%
RPQV0/dO MPQ@1eP
%
RPQUO
MPQV
32
1hO
1eP
%
MPQij
O
%
MPQUkO
MPQQ
1hO
1eP
RPQml
o
x
y
r saz
v
s
q
r sut
w
r s
n
p
Abbildung 4.3: Wegintegral
Damit haben wir die Berechung von Wegintegrale auf die Berechnung eines eindimensionalen
Integrals zurückgeführt. Dies kann man als Verallgemeinerung der Substitutionsregel ansehen.
Das Vorgehen in 3 Dimensionen ist vollkommen analog zum obigen zweidimensionalen Beispiel!
Beispiel 4.2. Im folgenden geben wir die wichtigsten Beispiele für Parametrisierungen an:
1. Gerade von { nach | :
{
} ~€} ‚
} ‚
|
} ~
ƒ „M…Q†Z‡
} ‚‰ˆ
„
} ~
} ‚
†Š…
„R…Œ‹Ž@‘]’F“”†
Offensichtlich beschreibt dies eine Gerade mit ƒ
„Le†Z‡
} ‚
und ƒ
} ~
„Q’†W‡
2. Kreisbogen:
|
•<—
•c–
{
ƒ „M…Q†Z‡X˜™„Mšœ›Hž… ‘kQŸ5 >…Q†
} ‚
} ~
˜¡‡£¢
¢¤‡£¢
¢
mit
33
und
…¥‹Ž¦…
‚
‘V…
~
“
.
Dabei sind §©¨ und §Qª die Winkel, die die Ortsvektoren « ¨ und « ª von ¬ und ­ mit der
®¯
Achse bilden, und ° der Radius des Kreisbogens. Bei solchen Wegen müssen natürlich
¬
und ­ den gleichen Abstand ° vom Ursprung haben.
Definition 4.8 (Geschlossener Weg).
Bei einem Wegintegral können Anfangs- und Endpunkt auch identisch sein (¬²±[­ ). Für solche
Wegintegrale führt mein ein spezielles Symbol ein:
¬²±­
³‰´
µ¶
«
³‰´
³‰´
µ·¶
µ¶
I.a. wird
immer
«
«
sein. Für den Weg, der nur aus dem Punkt
£
¸±
¹
¬º±»­
besteht, ist natürlich
.
±X¹
Beispiel 4.3.
´
¼
Wir wollen das Wegintegral des Vektorfeldes
« ½C±
®ÂÁ
À
®ÄÃÅ
¾¿
längs eines geraden Weges von
¹
nach
¾¿
¹
¹
ÃÅ
berechnen. Zunächst bestimmen wir eine Parametrisierung des Weges:
¾¿¡Æ Ç
¹
ÃÅ
¼
È
¼
§Q½Z±[§
È
¾¿Æ Ç
¹
ÃÅÊÉ
ÃÅÊÌ
¹
Durch Einsetzen dieser Parametrisierung
folgt ´ dann:
´ ¼
µ¶
¼ ¼
Í
¾¿Æ Ç
§Q½Z±
Ë
µ
¶
ÍÏÎ
ª
« ½
«
È
±
¾¿
§
§
§
Æ
¼
ÍÏÎ
Ð
µ
¶
¹
Ð
±
§
Ë
µ
ÍÏÎ
±
È
§Q½V½
Ð
¨
¾¿
ÃÅ
§
¶
ÆÇ
¹
ÃÅ
Æ
¹ÒÑ
Æ
§©Ó0Ñj¹e½
34
§W±Ô§©ÕHÖ Ð
Î
±
Ç
Eine wichtige Frage lautet nun: Wann existiert zu vorgegebenem Vektorfeld
mit × ÙTÚ grad Ø ?
×
ein Skalarfeld
Ø
Definition 4.9 (Potential).
Existiert zu einem Vektorfeld × ÛÜ Ý ein Skalarfeld Ø mit × ÙgÚ grad Ø , dann nennt man Ø ein
Potential von × .
Ein Potential Ø ist nicht eindeutig bestimmt, da auch ØßÞáà mit einer beliebigen Konstanten à ein
Potential ist. Häufig wählt man à geeignet, um z.B. gewisse Nebenbedingungen zu erfüllen.
Wie bereits erwähnt, hängt der Wert des Wegintegrals âWä ã × åcæhÜ i.a. vom gewählten Weg zwischen
ç
und è ab. Die Frage, wann das Integral unabhängig vom expliziten Weg ist, ist eng verknüpft
mit der Frage nach der Existenz eines Potentials. Wir geben nun (ohne vollständigen Beweis)
wichtige Kriterien für die Wegunabhängigkeit bzw. die Existenz von Potentialen an:
Satz 4.1. Folgende drei Aussagen sind äquivalent:
ist wegunabhängig
1)
âWä ã
2)
Es existiert ein Potential Ø von × , d.h. ×
3)
êQë·ì0×
×
åæ2Ü
ÙXí
ÙéÚ
grad Ø
(+ Definitionsbereich von × ist einfach-zusammenhängend)
Der Beweis zu “2) î 3)” ist leicht, denn rot Û grad Ø9ÝïÙ¡í gilt nach Aufg. 25 für beliebige Ø . Die
anderen Beweise wollen wir hier nicht angeben.
Existiert ein Potential von × , so kann man es aus
Ø0ÛMÜ ÝZÙXØ0ÛÜ ð Ý0Ú_ñjò
×
åæ2Ü
ò ó
bestimmen, wobei der Integrationsweg zwischen den fest gewählten (beliebigen) Punkten Ü
Ü beliebig ist.
ð
und
Definition 4.10 (einfach-zusammenhängend).
Eine Menge ô
õ
öø÷
heißt einfach-zusammenhängend, wenn sich jeder geschlossene Weg
durch kontinuierliche Deformation ganz in ô auf einen Punkt zusammenziehen läßt.
Diese Definition wollen wir durch zwei Beispiele illustrieren:
Beispiel 4.4.
1. Sei ô
Ù
ö™ùûúýüþíŠÿ , also die
Ú
JÚ Ebene ohne den Ursprung. Betrachten wir einen
geschlossenen Weg, der den Ursprung umschließt, z.B. einen Kreis vom Radius . Dieser läßt sich nicht auf einen Punkt zusammenziehen, da man beim Zusammenziehen immer am Ursprung í “hängenbleibt”, der ja nicht zu ô gehört. ô ist also nicht einfachzusammenhängend.
35
2. Sei
, also der dreidimensionale Raum ohne den Ursprung. Hier lassen sich
die im vorigen Beispiel betrachteten Wege auf einen Punkt zusammenziehen, da man sie
zunächst aus der
Ebene anheben kann. Man kann zeigen, daß
einfachzusammenhängend ist. In drei Dimensionen muß man typischerweise eindimensionale Gebiete (z.B. Geraden) entfernen, damit der einfache Zusammenhang verloren geht.
In Aufg. 28 der Übungen wird ein Beispiel diskutiert, das zeigt, daß die Bedingung über den
einfachen Zusammenhang des Definitionsbereichs tatsächlich erfüllt sein muß, um aus rot
auf die Existenz eines Potentials schließen zu können.
4.2 Arbeit und Energie
#
$
In diesem Abschnitt setzen wir generell voraus, daß
abhängig von und ist.
const und die Kraft
! "
un-
Definition 4.11 (Arbeit (längs eines Weges)).
&(
! "
%'&(
Die Arbeit, die von der Kraft
! "
(&
&()* +,&-
Die Kraft
bewirkt eine Verschiebung eines Massenpunktes
ist die infinitesimale Arbeit,
die am Objekt geleistet wurde.
! " bei endlicher Verschiebung längs eines Wegs . geleistet wird:
/0
) +1&( 2
Man beachte, daß diese Arbeit i.a. von der expliziten Wahl des Weges abhängt !
Eine eng verwandte Größe ist die (momentane) Leistung:
3*547476 8 +1#
Es stellt sich die Frage, ob es Kräfte gibt, für die die geleistete Arbeit nicht wegabhängig ist.
! "
Definition 4.12 (konservative Kräfte).
Eine Kraft
heißt konservativ, wenn die geleistete Arbeit bei Verschiebung von einem beliebigen Punkt P zu einem beliebigen Punkt Q unabhängig vom Weg zwischen P und Q ist.
Warum man solche Kräfte als “konservativ” (erhaltend) bezeichnet, wird weiter unten klar werden!
Aus Kap. 4.1.2 wissen wir, daß zu einer konservativen Kraft ein Potential
existiert. Für die geleistete Arbeit ergibt sich in diesem Fall:
9: " mit ;
/>=
A/ =
) ? +1&( @ ? BgradCE9D +1&(F 9<: ? "J9! = " KML(9 = N9 ? "
G I4 H
36
grad
9<! "
OP:Q RTS
Für die geleistete Arbeit ist also nur die Potentialdifferenz relevant. D.h. insbesondere, daß die
additive Konstante
, die bei der Berechnung des Potentials auftritt, herausfällt und somit
keine physikalische Bedeutung hat. Sie kann also frei gewählt werden.
Insbesondere folgt für
UVW
XZY [1\
Q V^]`_
d.h. die Arbeit längs geschlossener Wege verschwindet.
a
Definition 4.13 (Kinetische Energie).
Ein Körper der Masse , der sich mit der Geschwindigkeit
hat), besitzt die kinetische Energie
c V^adb
e
b
bewegt (und somit den Impuls
ist also eine skalare Größe.
ef Vhig adb-jkV i c j
aml
\
\oe n
[qp [,Y
V^adb b ^V b
Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie ist
\
Y [\
\-v
wobei wir die Newtonsche Gleichung ausgenutzt haben. Somit ergibt sich wegen
totale Differential der kinetischen Energie
e V
Y
QV
bZ
V rttr su
für das
l
Die totale Änderung der kinetischen Energie ist also gleich der am Körper geleisteten Arbeit.
P!Q S
Y [1\
O<P!Q S f VOP!Q R SwNx s :P Q S Q _
sy Y
wobei der Integrationsweg zwischen dem Bezugspunkt Q R und Q beliebig gewählt werden kann.
Für das so definierte Potential gilt dann offensichtlich V;w grad O .
Y
Y
Im folgenden wollen wir ein sehr wichtiges Resultat ableiten, den Energiesatz.
Es sei eine konservative Kraft mit V;w grad O .
\ Energie ist gegeben
[1\ durch
Y [1\ \
Die Änderung der potentiellen
O*V grad O Q V@w Q V;w e l
Definition 4.14 (Potentielle Energie).
Zu einer konservativen Kraft
definiert man die potentielle Energie
37
z
Die erste Identität folgt aus dem allgemeinen Zusammenhang von totalen Differentialen mit dem
Gradienten, im zweiten Schritt haben wir die Tatsache ausgenutzt, daß konservativ ist und im
letzten Schritt die oben abgeleitete Identität für die Änderung der kinetischen Energie.
Für die Änderung der Gesamtenergie
ergibt sich damit
‚ {;| ‚ ƒ J} A€…„†|^‡ ˆ
“
{;|~}'€
‚ ƒ
‚o‰ }NA€Š„†|^‡ ˆ
}NA€;|^‹EŒŽI‘E’
(in der Zeit)
Energieerhaltungssatz:
Für ein Teilchen der Masse , das sich in einem konservativen Kraftfeld mit Potential
wegt, ist die Gesamtenergie
zeitlich konstant.
{;|Z–• “d— – € !ƒ ” „
€ :ƒ ” „ be-
“Z|
€
Hier seien noch einmal die bei der Ableitung benutzten Voraussetzungen zusammengestellt:
1) Newtonsche Gesetze (mit
const.),
2) konservativ,
grad .
z
z |@˜
Der Energieerhaltungssatz ist also die Motivation für die Bezeichung “konservative Kraft” !
Allgemein spielen Erhaltungssätze in der Physik eine wichtige Rolle, nicht nur in der Mechanik
(z.B. Ladungserhaltung).
Erhaltungssätze
™
™
sind von Einzelheiten der Teilchenbahn unabhängig, oft auch von Einzelheiten der wirkenden Kräfte [d.h. sie sind Ausdruck sehr allgemeiner Folgerungen aus den Bewegungsgleichungen]
™
lassen erkennen, dass gewisse Vorgänge unmöglich sind
™
™
10
lassen sich auch ohne Kenntnis der ursächlichen Kräfte anwenden (z.B. in der ElementarteilchenPhysik)
‰›šœ‰  ‰ž
sind eng mit Invarianzen und Symmetrien verknüpft10 , z.B. folgt der Energiesatz aus der
Invarianz der Gesetze unter zeitlicher Verschiebung
“ ”Ÿ |z
erleichtern explizite Rechnungen, denn die Bewegungsgleichung ist eine DGL 2. Ordnung
(
), der Energiesatz führt auf eine DGL 1. Ordnung (s.u.).
Das sog. Noether-Theorem faßt diese Aussage in einer mathematisch präzisen Form.
38
V
V(r)
E
ungebundene Bew.
r
a)
-xmax
x
xmax
gebundene Bew.
b)
Abbildung 4.4: a) Potential einer Feder, b) Potential eines 2-atomigen Moleküls
Beispiel 4.5.
¡£¢!¤¥›¦*§©¨¤
1. Elastische Kraft
in einer Dimension:
Hier können wir durch Integration schnell ein Potential bestimmen:
ª ¢!¤¥›¦ ª ¢!¤«T¥§N¬­ ¡£¢!¤¥7°(¤¦ ª ¢:¤«T¥²±´µ³ ¨¶¢!¤·†§J¤·« ¥T¸
­¯® ª
Wählen wir speziell die Nebenbedingung ¢:¤¶«k¦¹o¥›¦¹ , so erhalten wir
ª ¢:¤¥†¦ µ³ ¨¤·
und damit für die Gesamtenergie º
¦»µ¶³ ¼d½ ·±´µ³ ¨-¤·1¸
Das Potential ist in Abb. 4.4a grafisch dargestellt.
¾¦´¿ · ½ ·ÁÀ ¹
Da die kinetische Energie
ist, folgt:
Diese Ungleichung legt die erlaubten Werte von
º
¨¤ ·Äà .
·¤ Â fest:
§Á¤ ¿qÅ Ã ¤ à ¤ q¿ Å , wobei
­
­
¤ ¿qÅ Ç
¦ Æ ·ÉÊ È .
Man­ spricht hier von einer gebundenen Bewegung, da sich das Teilchen nur in einem endlichen Raumbereich Ë ¤ÌË Ã ¤
¿ÍÅ ­ aufhalten kann.
2. Potentielle Energie eines zweiatomigen Moleküls:
Die Atome eines zweiatomigen Moleküls können gegeneinander schwingen. Die typische
39
Form des Potentials, das sie dabei als Funktion ihres Abstandes
Abb. 4.4b dargestellt11 . Die Gesamtenergie ist dann
Î
spüren, ist dabei in
Ï;ÐÒÑÔÕJÓ Ö(Ó× Ø Ñ JÕ × Ö(× ØAÙÚ ÎÜÛ¯Ý
×
Ï
Þàß ist nur eine gebundene Bewegung
Man kann zwei Bereiche unterscheiden: Für
Ïâá*ß ist die Bewegung ungebunden, denn die Teilchen können sich beliemöglich. Für
big weit voneinander entfernen. Dies entspricht dem Zerfall des Moleküls.
Obige Überlegungen lassen sich natürlich verallgemeinern. Da
Ù<Ú Î Ûkå Ï Ý
ãä ß
ist, folgt aus
Ï@Ð ã ØAÙ
:
Diese Ungleichung legt fest, in welchen Raumbereichen Bewegung stattfinden kann!
ÏæÐ Ó Ñ Ö × ØÙ<Ú Î Û
×
~Ñ Ö ç ^Ð è Ú Î Û
ߊРé Õ Ñ (Ö × ØAÙÚ Î Û7í Ð Ñ Ö î Ö ç ØÚ grad Ù
éoê£ëkì
è
Dies ist genau dann erfüllt, wenn die Newton-Gleichung
Ï
entspricht einer ersten Integration der Newton-Gleichung
Der Energiesatz
, die ja eine DGL 2. Ordnung ist, mit der Integrationskonstanten :
Û î éoé Îê Ð Ú Ñ~Ö ç ï è Û î1Ö
Ð Ñ^Ö ç gilt.
In diesem Sinne erleichtert der Energiesatz also explizite Rechnungen, da man es (bei der Bestimmung der Bahnkurve aus der Energie) nur noch mit einer DGL 1. Ordnung zu tun hat.
Wir wollen den wichtigen Spezialfall einer eindimensionalen Bewegung im Potential
betrachten. Aus dem Energieerhaltungssatz
folgt durch Auflösen nach
und hieraus
11
Ö Ð ðç :
Ï@Ð Õ Ñ@ð ç × ØÙ<Ú!ð Û
ì
é ð Ðñò Õ Ñ Ú Ï ï Ù<Ú!ð ÛIÛ
éoê
ì
éoê Ð ñ ó Ó Ï é ð
Ý
Ñ× Ú ï ÙÚ!ð ÛIÛ
ôÁõ÷ö¯øùûúýþKü ÿ þ Häufig verwendet man das sog. Lennard-Jones-Potential
40
.
Ù Ð Ù<Ú!ð Û
Diese
Gleichung kann man (unter der Randbedingung ) sofort integrieren:
bzw. deren Umkehrung
! " '&( )* +-,
#%$
./ 01
, aus der wir durch Invertieren die Bahnkurve Wir kennen somit die Funktion
erhalten.
Wir haben damit die allgemeine Lösung des Newton-Problems für konservative Kräfte in einer
Dimension bestimmt !
Beispiel 4.6.
Ein
wichtiger Spezialfall, mit dem man es häufig zu tun hat, sind Kräfte, die nur vom Abstand
2 43 2 3 abhängen und in radiale Richtung zeigen:
2
: 2 8 3 3<;
2
5 2 6/7 2 9 2 8
Solche Kräfte bezeichnet man als Zentralkräfte oder Radialkräfte.
Eine wichtige Eigenschaft dieser Kräfte ist, daß sie immer konservativ sind. In Aufg. 25 haben
wir nämlich gezeigt, daß durch
)= 2 6> ?
7 2 2
ein Potential von
5 2 6/7? 2 @ 2 8
gegeben ist.
Typische Beispiele für Zentralkräfte sind:
elastische Kraft:
Gravitation:
HG 2 IHG 2 2K8 J
5 A BDC+E0F >
QP $ " $ # 2 8
5 LNMCNO >
2# ,
Als einfache Faustregel kann man feststellen: Die meisten aktiven Kräfte sind konservativ.
Aktive Kräfte sind dabei z.B. von Reaktionskräften (siehe Kap. 3.3.4) wie der Reibung zu unterscheiden.
Im folgenden wollen wir nun den Einfluß einer Reaktionskraft, nämlich der Reibung, genauer
untersuchen. Wir betrachten ein Teilchen der Masse $ , daß sich unter dem Einfluß der Gesamtkraft
SRUT
5
5 41
bewegt, wobei V W konservativ sei: V WYX Z\[=] W . Die Reibungskraft Z.^`_ ist natürlich nicht
konservativ. Wir berechnen zunächst die zeitliche Änderung der mechanischen Energie abc] W :
d
fd e-g aYbc] Wih Xkjl_ om n_ ZV W %m _ Xk_ m g jpn_ ZqV W h
Xk_ m g V W ZS^`_ Z V W h X>.
Z ^`_srHtvuKw
Beim Übergang zur zweiten Zeile haben wir die Newton-Gleichung V Xxjpn_ benutzt. Wir sehen
also, daß die mechanische Energie aYby] W abnimmt.
Was passiert mit dem Verlust an mechanischer Energie ? Aus Erfahrung wissen wir, daß sich
Körper unter Reibung erwärmen.
e
Erwärmt sich der Körper in der Zeit z um z|{ (= Temperaturänderung12 ), so entspricht einer
}Q~
Zufuhr an Wärmeenergie von
Xkz|{€
wobei die Wärmekapazität
energie ist also

eine Materialkonstante ist. Die zeitliche Änderung der Wärme-
d }Q~
d
{
dse Xk‚z dfe Xp^`_ r €
wobei wir im letzten Schritt angenommen haben, daß der gesamte “Verlust” an mechanischer
Energie durch Reibung in Wärmeenergie umgewandelt wird. Insgesamt ergibt sich daher für die
Änderung der Gesamtenergie
d
dfe g aYbc] W bY{ h XƒuKw
}Q~
Unter der Annahme der Umwandlung
von mechanischer Energie in Wärmeenergie ist also die
Gesamtenergie aYby] W b
konstant.
Dies ist nur ein Beispiel dafür, daß die Energieerhaltung auch über die Mechanik hinaus gültig
ist. Man kann den allgemeinen Energiesatz folgendermaßen formulieren:
Summe aller Energieformen X konstant
5 Impuls, viele Teilchen
Bisher haben wir immer nur ein einzelnes Teilchen betrachtet, das sich unter dem Einfluß einer
äußeren Kraft bewegt. I.a. hat man es aber mit Systemen aus vielen Teilchen zu tun, die miteinander wechselwirken. Zusätzlich können dann noch äußere Kräfte wirken. In diesem Abschnitt
wollen wir uns mit den grundlegenden Eigenschaften solcher Systeme beschäftigen.
Hier zeigt sich wieder die Vorliebe der Physiker für bestimmte Buchstaben. Um die Temperatur „ von der
kinetischen Energie … unterscheiden zu können, wählen wir für die Temperatur die kaligraphische Schreibweise.
12
42
5.1 Schwerpunkt und Relativkoordinaten
Ein Teilchen:
Der Impuls für ein Teilchen berechnet sich wie bekannt über † ‡>ˆl‰ , die Newton-Gesetze fordern Š ‡ † ‹ . Wenn also keine Kräfte auf das Teilchen wirken ( Š ‡Œ ), folgt, daß der Impuls
konstant sein muß: † Ž01‡† ‘ .
Viele Teilchen:
Gegeben seien ’ Teilchen mit zeitlich konstanten Massen
und den Impulsen † › ‡kˆ › ‰ › für ž‡>Ÿ9•˜—˜—˜—•’ .
l
ˆ”“–•˜—˜—–—–•ˆ™
, den Koordinaten
š ›œŽ
1
Die Teilchen üben innere Kräfte aufeinander
aus, wobei die Kraft Š ›1£ von Teilchen ¤ auf Teilchen  wirkt.
¡0¢
j
Nach dem dritten Newtonschen Gesetz (actio=reactio) gilt somit Š ›N£ ‡ ¥HŠ £ › . Werden noch
äußere Kräfte Š › ¦¨§'©iª« (=Kraft der Umgebung auf Teilchen  ) dazugenommen, so lautet das zweite
Newtonsche Gesetz:
† ‹ ‡kŠ › ¦­¬N§®« ‡ƒŠ › ¦­§©iª« ¯c°
£²³ ± ›
Š ›N£
für ´‡>Ÿ9•–—˜—˜—–•+’
Definition 5.1 (Schwerpunkt, Massenmittelpunkt). Mit den obigen Benennungen gilt für den
Schwerpunkt einer Menge von Massen:
µ ¶
™
™
›³ “ ˆ ›š›
Ÿ
‡¸· ™
‡ ¹ ° ˆ ›š›
›³ “ ˆ ›
›³ “
·
mit der Gesamtmasse
¹
Für die Schwerpunktsgeschwindigkeit º
º ‡
µ‹
‡ ¹
Ÿ
‡ °
™
›³ “
ˆ ›—
erhält man durch Ableiten
°
›
Ÿ
ˆ › ‹š ›.‡ ¹ °
mit dem Gesamtimpuls
»
‡ °
™
›³ “
43
† ›—
›
† › ‡
»¹
5.2 Impulssatz
Ausgehend von den Größen des Gesamtsystemes aus Definition 5.1 ergibt sich zunächst
¼ ½ƒ¾
¿ÁÀ
und hieraus durch Differentiation nach der Zeit
Ä
Ä
Ä Ó Ô
Ô
Ô Ä â
ÄÆ+Ç È?É
¼ Â ½/ÃfÄ Å Â ½ ÃfÄËÊ ­Ì ÍNÎÏÐ ½/ÃfÄËÊ Ì­ÎÑiÒÐ Ã Ä1Õ×Ö ×Õ Ã ÖNÙ ÕfÄ Ê Ø ½ Ã Ä+Õ×ÖoÊ Ì­ÎÑiÒÐ
Ø ²Ø Ú
Û
ܖÝ
Þ
ÌàßáÐ
ãæ ä@å ,Óxdie
aussieht
Ö Ó
æ folgendermaßen
â˜â˜âausgeschrieben
Ó
Óxâ˜â˜â Ó
â
Ê Æ
Ê Æ
Ê Æ
¿%¿%¿s½xç
å
å Öã æ
æNÖ
Ê ½>èQÊ
Dabei haben wir ausgenutzt,
Öæ Ó Ö Óxdaß
æNÖ Ó
â˜â˜â die
Ó Summe
ãä@å
½
ã
Ê
Ê Æ
Ö
å
ã
Ê
îÄ
Sie verschwindet, da nach demÄíì 3.ÄNewtonschen
Gesetz
etc.
½ êxÄ`ë ì Ä
Der Schwerpunkt é
eines Systemes bewegt sich also wie die in ihm vereinig¾ ½ ë
Ê Ì­ÎÑiÒÐ ½
Ä
te Ä Gesamtmasse
unter dem Einfluß der Summe aller äußeren Kräfte
ë
Ê Ì­ÎÑiÒÐ
¼  ½ƒÊ Ì­ÎÑiÒÐ
, d.h.
â
Satz 5.1 (Impulserhaltungssatz).
Ê Ì­ÎÑiÒÐ
Ä Summe
Verschwindet die
der äußeren
Kräfte,
d.h.
gilt
Ä
¼ ½ ë Å
¼ Â ½xç ï
¼
½x¼ñ
timpuls
erhalten:
ã0ð1å
.
½ ë
Ä
Ä
Ê ­Ì ÎÑiÒÐ ½xç
, so ist der Gesam-
Beispiel 5.1 (2-Körper-Problem (n=2)).
ì Ö Ó wollen
ì æ nun den Fall ò ½Ió zweier Teilchen genauer betrachten. Die Gesamtmasse ist ¾
Wir
æ
ì Ö ìMasse
. Zusätzlich definieren wir die reduzierte
â
ôöõ ½
½
¾
Der Schwerpunkt ist gegeben durch
ì Ö1î Ö Ó ì æî æ â
÷
é
¾ ã îÖ îæ
å
îø
½
è
Durch Einführung der Relativkoordinate õ
kann man das Problem auf den Einkörper½
fall zurückführen. Dazu stellen wir zunächst für beide Massen die Bewegungsgleichung nach
Newton auf:
Ö Ó Öæ
ì Ö@î ù Ö
ó
֌
å
½
ì æfî ù æ
Ê ¨Ì Î'ÑiÒÐ Ê
æ Ó æNÖ
Ê Ì¨Î'ÑiÒÐ Ê
½
44
Addiert man Gleichung 1) und 2) so folgt wegen ú
Speziell für ú
û
ýxú
ýkú ü
ý
ýkú û
cú ü
folgt dann
ý
ú
mit
ûüþý>ÿQú üNû
ý
ý
Durch Bildung der Differenz 1) ÿ 2) der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich
û ûÿ
!#"
ü ü ýxú ûüÿqú üNûþý @ú
ú ¨ýƒú ûü.ý(ÿHú üNû
mit
(
$
)
*
&%'
Da
û ý
ü.ý
ü
û
folgt
-,.
ý
+
+
û ü
und somit
/
ýƒú
ü
û
ü
û ý
û
üþý
ý
(0/
Die Bewegungsgleichung in Relativkoordinaten ý û ÿ ü hat die also Form der NewtonGleichung mit reduzierter Masse /vý2148 35176 und der inneren Kraft ú ý¸ú ûü ý ÿQú üNû . Für die
û
ü û
ü û ü û / : ü (siehe Aufgabe 35(i)).
kinetische Energie gilt 9pý ü û;: û< ü ü: üQý ü
ü
Man kann die obige Problematik auf den Fall
ausgedehnter Körper verallgemeinern, indem man
diese als Ansammlung von Massepunkten auffaßt
und den Grenzübergang macht:
?A@ >
?CB
>
ý
DFEHG
ý
= >
E
^
ý
ÿ
O`
O
]_^
N
O
OF
\
1
^aO
ý
wobei O`
>;K
1
ML
N
PRS
Q TVU TXW-S'Y[Z
45
EJI
ý
mit der Dichte
G
b cVd
V
Ife K
Gg
5.3 Integration in allgemeinen Koordinaten, Volumenintegrale
Definition 5.2 (Volumenintegral).
Mehrdimensionale Volumenintegrale sind durch den Grenzübergang zu infinitesimalen Volumenelementen definiert:
h
0„

vfwyxz|{~}€
Volumen
i7jk
l7monqp
rtsVu
i7jk
l7ƒ‚gn
Analog dazu definiert man Flächenintegrale
h
„
Fläche
i7jk
l7m†…
In kartesischen Koordinaten schreibt man Volumenintegrale ausführlicher als
h‡hˆh
”•–˜—
‘’
h
œ
’X™‘š
h
h
ž
’X™
—y¢
£[¤
‘š
Ÿ¡ Volumen
—
‘X“
i7j‰fŠŒ‹ŠŽ€l~m‰Rm‹4m†Žp
“›™‘š
“›™
¦¨§

—y¢
‘š
©
¥
iCj‰fŠŒ‹ŠŽ€l~m‰
m~‹
m†Ž
Man beachte, daß die Integrationsgrenzen noch von den Koordinaten abhängen können, über
die noch nicht integriert wurde. Die Reihenfolge der Integrationen ist dabei i.a. unwichtig. Man
hat aber zu beachten, daß sich die Integrationsgrenzen natürlich ändern können, wenn man die
Reihenfolge vertauscht (siehe das folgende Beispiel).
Beispiel 5.2 (Viertelkreis in 2 Dimensionen).
Als Beispiel wollen wir das Integral der Funktion
über einen Viertelkreis integrieren.
Dabei wollen wir verschiedene Integrationsreihenfolgen
betrachten.
iCj‰fŠŒ‹~lAp‰
a) Zuerst soll von ª bis « laufen und dementsprechend gewählt werden. Zu festem läuft
dann die
Integration
bis ­ «
(siehe
Abb. 5.1).
‹
‰
‹
–
‰f¬
¬®‹`¯
h±°
h
°›µ
h±´
”
—;¶
´
h±°
—;¶ ¦
°›µ
«
{
{³²
Viertelkreis
©
º
{
‰Rm‰Rm‹
‰Rm‰¸·am‹¹p
{
p
°
°
h
«
«
«
º
{
p
º
»
«
»
¼
¯ l~m‹¹p
¬®‹
m‹
»
«
º
j
¯F»
‰
j‹a¬
»
‹¸½Œl
«
º
{
»
p
¼
¼

p
b) Mit der umgekehrten Reihenfolge der Integrationen (erst
, dann
Integration) ergibt sich
»
analog:
‹M¬
‰f¬
»
h
h±°
{
h¿¾
Viertelkreis
‰Rm‰Rm‹
p
{
‰Àm‹
·
m‰Áp
²
´
{
‰
j
«
»
«
¼
{
¬Â‰
¯ l ½-Å ¯
»
p
»
»
46
·
°»
»
¼
¬Â‰†¯m‰ÃpĬ
»
‰g_‹
«
«
¶
°›µ
{
°
h
p
¾
h±°
{
²
¶
°›µ
»
m~‰
y
y
1
1
ÇÌȮ͆Ê
Ë
Æ
Ç|ÈÂÉ`Ê
1
x
a)
1
b)
x
Abbildung 5.1: Veranschaulichung
der Integration über
einen Viertelkreis für
verschiedene InÍfÈ
ÉMÈ
ÉMÈ
tegrationsreihenfolgen.
a)
Erst
Integration,
dann
Integration;
b)
erst
Integration,
dann
ÍfÈ
Integration
Die allgemeine Vorgehensweise für die Berechnung von Flächen- (und Volumen-) integralen ist
in Abb. 5.2a) dargestellt. In kartesischen
Koordinaten findet eine Zerlegung der Fläche in infiniÍ
É
Í
tesimale
Quadrate der Fläche Î Î statt. Diese erält man, indem man die beiden Koordinaten
É
und infinitesimal variiert, aus der eingeschlossenen Fläche (siehe Abb. 5.2a)).
Bei der Integration in kartesischen Koordinten ergeben sich i.a. Probleme mit der Wahl der Integrationsgrenzen, wenn der Körper nicht rechteckig ist. Durch passende Wahl des Koordinatensystemes läßt sich dieses Problem in vielen Fällen umgehen, z. B. mit Polarkoordinaten:
ÏÑÐ7Ò
ÍfӌÉ~Ô
Í
Î
ɐÕ
ÏÑÐ7ÒÖ7×*ØÚٍÛ
ÖCÙ;ÜtÝRÛ
Ó
Ô
Ö
Î
Ö
Î
Û
Î
Wir wollen dies an unserem Beispiel etwas genauer untersuchen.
Beispiel 5.3 (Viertelkreis in Polarkoordinaten).
Ö7×#ØÚٍÛ
Ideal geeignet
für die Integration über den Viertelkreis sind
Polarkoordinaten.
Wir wollen wieÍ
ÍHÕ
Þ
Άß
der
berechnen, wobei in Polarkoordinaten
ist. Durch eine analoge
Viertelkreis
Õ
Konstruktion13 wie bei der Bestimmung des Flächenelements Άß
Î
dinaten erkennt man, daß in Polarkoordinaten gilt (siehe Abb. 5.2b))
Õ
Άß
Ö
Ö
Î
Í
É
Î
in kartesischen Koor-
Ûáà
Î
Ö
Ç
Ç
Û
Um einen Viertelkreis vom Radius zu beschreiben, muß zwischen
und variieren und
â
zwischen â und ã Ê . Man beachte dabei, daß für jedes der Winkel über das Ö volle Û Intervall
variieren muß (und umgekehrt), d.h. die Integrationsgrenzen sind unabhängig von und . Damit
Û
Ö
13
d.h. durch infinitesimale Variation von ä und å erhält man wieder æ#ç als eingeschlossen Fläche, siehe Abb. 5.2
47
y
y
y+dx
y
èêéìë¸è
è
x
a)
x
x+dx
r
b)
r+dr x
Abbildung 5.2: Flächenzerlegung in a) kartesischen Koordinaten bzw. b) ebenen Polarkoordinaten.
í
ergibt sich:
í¿ö
íùø_úXû
ø_úXû
í±ö
û
è
è
îïð7ñ*òÚó
è
ð7ô
÷
ôð¡õ
÷
ð
ö
û
ñ*òÚó
è
ô
÷
ôð¡õ
ð
þ
èˆþ
þ
þ ÷
þ
óüVý
þ
ôðÿõ
ð
þ
þ ÷
õ
Das Ergebnis stimmt natürlich mit dem in kartesischen Koordinaten überein. Der große Vorteil
bei der obigen Integration ist natürlich, daß das zweidimensionale Integral in zwei eindimensionale Integrale faktorisiert,
da die Integrationsgrenzen
unabhängig
von den Integrationsvariablen
í
í
í
ö í
ø_úXû
ö
ø_úXû
û
û
sind:
è
÷
÷
ð
ñ*òÚó
è
ô
ôð
Grenzen fest
õ
÷
ð
ôð
è
÷
ñ*òÚó
è
ô
Das gilt natürlich nicht allgemein, siehe z.B. die entsprechende Integration in kartesischen Koordinaten.
Satz 5.2 (Transformationssatz). Eine Verallgemeinerung der Substitutionsregel für eindimensionale Integrale auf mehrdimensionale Integtale ist der Transformationssatz. Gegeben sei eine
Koordinatentransformation
!"
# !"
mit
Dann transformiert sich ein
& ' ( Volumenintegral
##&)&!*+&#entsprechend
&)&!*+#&)&!*,í
%$
î
í
ô
ô
ô
õ
etc
õ
î
$
mit der Funktionaldeterminante
.+0 273
3
ô
/.10*243
3
FG
þ
þ
þ
& '
#&)&!* 598
þ ô
.+0;<>: ==@?
==D=@CE
48
=@
õô
==?A
=D=DCA
=D=DEA
===DB?C
==DB E
=B
& ' !
#&)&!*65
þ
þ
þ
þ
ô
ô
ô
H
HI
Wie bei der bekannten Substitutionsregel ändert sich natürlich der Bereich, über den zu integrieren ist (hier von nach ). In einer Dimension ändert sich i.a. nur die Länge des Integrationsintervalls, in höheren Dimensionen ändert sich darüberhinaus i.a. die Form des Volumens. Da bei
der Substitutionsregel auch die Ableitung der substituierten Funktion auftritt ist es nicht überraschend, daß dies hier auch passiert. Da wir es mit Funktionen mehrerer Variablen zu tun haben,
treten natürlich alle partiellen Ableitung auf. Warum diese gerade in einer speziellen Kombination, nämlich der Funktionaldeterminante, auftreten, soll hier nicht diskutiert werden.
Definition 5.3 (Determinante). An dieser Stelle seien zwei- und dreidimensionale Determinanten definiert, später wird der allgemeine Fall folgen.
JK1L*MONQPRPSN/PUT
NVTWPSNXTRTZY ][ \ N/PRPNVTRT_^`NQPUTNXTWPba
NQPUTfNQPUg
JK+L;cd NQNVTWPRPe
NVTRg
PeNVTRTfNVTRg []\ /N PRPk JK+L*MlNXNXTRgRTm
TmNVgRgZY
NVgWPeNVgRTfNVgRgihj
NVTRg N/PUg_k JK+L*M XN TWPSNVTRT
^ N/PUT_k JK+L*M NXNXTWgWPS
PSNVgRgZYln
XN gWPSNVgRTZYo
Wir haben hier dreidimensionale Determinanten rekursiv auf zweidimensionale zurückgeführt.
Man kann dies natürlich auch explizit ausschreiben, was eine Summe mit 6 Summanden ergibt.
Die Rekursionsregel kann man sich relativ leicht merken. Man nimmt jedes Element
der
ersten Zeile und streicht die erste Zeile und te Spalte. Von den vier übrigbleibenden Elementen
hat man dann die (zweidimensionale) Determinante zu bilden. Dies macht man für alle drei
und addiert die Beiträge dann mit dem korrekten Vorzeichen. Dieses erhält man
Elemente
durch Addition der Indizes von
: Ist
gerade, so ist das Vorzeichen ‘+’ zu wählen, ist
ungerade, so wählt man ‘ ’.
sn r
N Pqp
r^
N/Pqp
NPqp
^
sn r
Beispiel 5.4 (Ebene Polarkoordinaten). Wir wollen uns am Beispiel der ebenen Polarkoordinaten davon überzeugen, daß das transformierte Flächenelement tatächlich genau die Form hat,
die wir vorher schon anschaulich aus Abb. 5.2 abgeleitet haben. Mit
und
folgt für die Funktionaldeterminante
JK+L M„ƒ#… t a }/†
ƒ#… u a { † Y \
und damit
J—–
\
\
t v\ uwbxzy|{ } \~uy,€‚{
J/K1L7‡‰ˆˆŠ‹ ˆDˆŒŠ JK+L M wbxy { ^ uy‘€‚{
ˆDˆ‹ ˆDˆDŒ Ž T \
y‘€’{ uwbxy { Y
T
uwbxy {“nOuy,€ {”\•u
JK1L"M ƒ#… t a }† J J J J
ƒ… u a { † Y u {˜\vu u {o
49
Abbildung 5.3: Infinitesimales Volumenelement in Kugelkoordinaten.
™š1›‚œŸŸž¡ž¡¦ Ÿ¢ ¢ §£+¢ ¢¨¤,¥ ¥,©
beschreibt die Verzerrung des infinitesimalen VolumenelemenDie Determinante
tes unter der Koordinatentransformation. Speziell für die bereits bekannten Koordinatensysteme
ergibt sich:
™)ª¬«~™­‚™®¯™—°
±
Ebene Polarkoordinaten: ™—º¬«~»™/»™)¼
±
Zylinderkoordinaten:
™)ª¬«~»™»¾™)¼’™—°
±
Kugelkoordinaten:
™)ª¬«~»z×À,ÁÂ‚Ä*™»™)¼’™Ä ±
wobei ų µ»¶D¼#¶Ä·«È³¾µ»½1¿À ¼’ÀÁ‘ÂÇÄQ¶&»¾ÀÁ‘‚¼’ÀÁÂÇÄX¶&»½1¿À)Ä· .
Kartesisch:
²´³µ­¶®¶°·™­¸™/®¹™—°
² ³µ»¾½b¿À ¼#¶&»ÀÁÂ¸¼·»™»™—¼
² ³µ»¾½b¿À ¼#¶&»ÀÁÂ¸¼#¶°'·»™»¾™)¼’™—°
² ¾Å³ µ»6¶¼¶Äz·»ÆøÀÁÂÇЙ/»™)¼’™—Ä
Die Form des infinitesimalen Volumenelements in Zylinderkoordinaten kann man sich leicht
vorstellen, z.B. durch (kartesische) Fortsetzung des Flächenelements in ebenen Polarkoordinaten (Abb. 5.2b). Es ähnelt einem Tortenstück, von dem man die Spitze abgeschnitten hat. Das
infinitesimale Volumenelement in Kugelkoordinaten ist schwerer vorzustellen. Es ist in Abb. 5.3
dargestellt14 .
̄ʔÍ
14
(
Im Druck gibt es verschiedene Darstellungen für die griechischen (Klein-)Buchstaben phi (
).
50
ÉZÊË
) und theta
6 Rotationsbewegung
6.1 Koordinatentransformationen, Drehungen
Im folgenden wollen wir untersuchen, was bei Koordinatentransformationen, insbesondere durch
Drehungen der Basisvektoren, geschieht. Wir betrachten daher den Basiswechsel
Î×
Î ×Õ
Î ÏbÐΠџÐ&Î Ò ÓÔ Î ÕÏ1ÐÎ ÕÑÖÐÎ ÕÒÖÐ
Ø
×Ù Õ
Ø •Ú Ù Ï Î Ï¾Û Ù Ñ Î ÑÛ Ù Ò Î Ò vÚ Ù ÕÏ&Î ÕÏ¾Û Ù ÕÑDÎ ÕÑÛ Ù ÕÒDÎ ÕÒ
wobei die neuen Basisvektoren z.B. durch eine Drehung um eine Achse aus den alten Vektoren
hervorgehen. Bei solchen Basistransformationen bleibt ein Vektor unverändert, aber seine
Koordinaten ändern sich natürlich (in ):
Ù×
Î×
Wir betrachten nun speziell die Komponentendarstellung der neuen Einheitsvektoren
System :
Î Õ× im alten
Î ×Õ Ú•Ü × Ï Î Ï#Û Ü × Ñ Î ÑÛ Ü × Ò Î Ò ÝÞ Ú¬ß ÐDàQÐ&á'â
Die áäãåá Zahlen Ü ×Wæ (ÞÐ&ç Úèß ÐàQÐá ) kennzeichnen das neue System quantitativ. Man schreibt auch
é Ü ÏRÏ Ü ÏUÑ Ü ÏUÒ
kompakt
Ú êë Ü ÑWÒWÏÏ Ü ÑRÒRÑÑ Ü ÑRÒRÒÒ&ìí Ú Ý Ü æ × â ×æðîî ÏWÏWïï ÑÑïï ÒÒ ñ
é
Ü Ü Ü
bezeichnet man auch als Transformationsmatrix. Bevor wir uns weiter mit Koordinatentransformationen beschäftigen, wollen wir die wichtigsten Regeln für das Rechnen mit Matrizen zusammenstellen.
ò
ò
ÏRÏ Öõ õÖõ Ïö
ÏRÏ õÖõÖõ ù Ïö
ù
Ú êóë*ô ... Ï õÖ. .õÖ.õ ô ... ö ì+í ø und ù Ú êóë ô ... Ï õÖ. .õÖ.õ ô ... ö ì+í ø
ù
úãüû -Matrizen und ôV÷ ý ôV÷ ÏRÏ õÖõÖõ Ïö ôVù ÷
ôV÷
Ú êóëÿþ ... Ï õÖ. .õÖ.õ þ ... ö ìí ø
÷ Matrizen elementweise durch
eine û ã -Matrix . Dann definiert man dieþ ÷ Addition þ zweier
ò ò
ÏRÏ Û ù ÏRÏ õÖõÖõ Ïö Û ù Ïö
Û ù Ú êóëüô ... ô . . . ô ... ô ì+ø Ú Ý ×,æ Û ù ×Wæ â ×,æ
Ï Û ù Ï õÖõÖõ ö Û ù ö í ô ô
ô'÷ ô'÷
ô'÷ ôV÷ Definition 6.1 (Rechnen mit Matrizen).
Seien
15
15
Die Menge aller
-Matrizen bezeichnen wir im folgenden auch mit
51
.
durch
.0/
!" #$#$#%&'
... . . . ... 1 3246587:9 5876;
)(* #$#$#+,)(-'
und die Multiplikation mit einem Skalar
Man beachte, daß die Summe also nur für Matrizen der gleichen Größe definiert ist !
Das Matrixprodukt
< => #@?
ist eine
ACBED -Matrix mit den Elementen
'
FHG 5I J G 7 L07 5 ;
7=K,
Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, muß die Zeilenzahl der zweiten Matrix gleich der
Zahl der Spalten der ersten Matrix sein !
Bemerkung. Im allgemeinen ist
Z.B. ist das rechte Produkt für
AOP
M D
#@? N
M ? #$ ;
überhaupt nicht definiert.
QRBTS
Wichtiger Spezialfall:
-Matrizen, also Matrizen mit nur einer Spalte, identifiziert man mit
Vektoren. Die Multiplikation eines Vektors
mit einer Matrix
ist dann
16
gegeben durch
L V
U W2 QYXZS$9
VU 2WQYX[Q\9
. / . / ./
!" #$#$#]!'
L_
! "aLb-cT!ed`LHdfcg#$#$#@cT!'6LH'
..
#$L ... . . . ... 1 # ... 1 1
.
)(* #$#$#N^(-'
L`'
)f( aLbhci^(hd`LHdfcg#$#$#$ci^(-'jL`'
Im folgenden wollen wir einige wichtige Matrixtypen definieren.
Definition 6.2.
Die
-Einheitsmatrix ist definiert durch
QkBVQ
./
S m $# #$#m //
l m . S. $# #$#m . o2epq5q7:9
5sr7=K,8rututut r ' vwEx)y
.. .. . . . .. 1
m m #$$# #nS
mit dem sog. Kronecker-Symbol
16
|v>}
pa587{z mS falls
sonst
~ kann natürlich allgemeiner mit einer Matrix  €‚ƒ„…† multipliziert werden. Der Spezialfall ƒ‡V…
aber für die Praxis der wichtigste, z.B. für die Koordinatentransformationen.
52
ist
ˆ)‰e‰
Die Einheitsmatrix ist eine spezielle Diagonalmatrix, bei denen nur die Elemente
Diagonalen von Null verschieden sein können.
Man überlegt sich leicht, daß für eine beliebige Matrix
gilt:
auf der
Š V
‹ Œ Žh[Ž‘
Š ’$“ ”g“ ’_Š ” Š •
Die transponierte Matrix Š – einer Matrix Š ‹VŒ —aŽ‘ ist die Ž™˜š— -Matrix
£0¤
ˆ&ž"ž ’$’$’Ÿˆ) fž
Š – ” ›œ ... . . . ... ¥  d.h. ˆ ‰q– ¦ ”gˆ^¦ ‰@
ˆ!ž¡ ’$’$’¢ˆ)¡_ die aus Š durch Spiegelung an der Diagonalen, d.h. durch Vertauschung von Zeilen und Spalten,
hervorgeht.
Inverse Matrix: Sei
Š
eine
Žk˜VŽ
so bezeichnet man diese als zu
Š
-Matrix. Existiert eine Matrix
Š ’$Š § ž >
” “ ”Š § ž $’ Š 
Š §ž
mit
inverse Matrix.
An dieser Stelle wollen wir noch kurz auf die sog. Einsteinsche Summenkonvention hinweisen,
die in manchen Büchern17 verwendet wird. Hierbei läßt man das Summenzeichen
weg und
vereinbart, daß über alle Indizes, die mehrmals auftauchen, summiert wird.
bedeutet also
. Der Wertebereich des Summationsindex (hier ) ist dabei i.a. aus dem Zusammenhang
zu erschließen. Diese Konvention hat ihren Ursprung in der allgemeinen Relativitätstheorie, wo
sehr viele Größen mit zwei (d.h. Matrizen) oder gar mehr (sog. Tensoren) Indizes auftauchen
und die Formeln durch viele Summenzeichen noch unübersichtlicher werden.
¨ ¦ )ˆ ©ª¦«H¦ ‰
ˆ&©ª¦«0¦ ‰
¬
¨
Anwendung auf Basiswechsel
Wir wollen nun zu unserer ursprünglichen Fragestellung zurückkommen und die oben zusammengestellten Definitionen und Operationen von Matrizen auf die Beschreibung von Basiswechmit
seln
­ ‰¯®±° ­ ‰²
´
­ ‰² ” ³ ‰8¦­ ¦
¦=µ,ž·¶
s¸¹
anwenden.
Zunächst stellt sich die Frage, welche Eigenschaften eine Transformationsmatrix
Seien daher , , und , , Orthonormalbasen, d.h.
­ž ­¼ ­
17
³
­ ² ž ­ ²¼ ­ ²
­ ‰ ³ ’@­ ¦ ”>½a‰q¦
und
z.B. dem von Großmann aus den Literaturempfehlungen
53
­ ‰² @’ ­ ²¦ ”N½q‰q¦
º ”n q‰ ¦»
¶
hat.
Hier haben wir das oben eingeführte Kronecker-Symbol benutzt, ob die Orthonormalität der
Basen in kompakter Form auszudrücken. Für
ist nämlich
, was die Normiertheit
der Vektoren zeigt, und für
ist
auf Grund der Orthogonalität. Im folgenden
wollen wir nun die wichtigsten Eigenschaften der Transformationsmatrix herleiten.
¾¿È
Ç À
x¾ ¿>À
Á ÂÉÃÁ ʯ¿ÈË
Á ÂÄÃ@Á ÂÅ¿oÆ
1) Wir betrachten zunächst das Skalarprodukt zwischen einem alten Basisvektor
neuen Basisvektor :
Á ÂÍ
Ð"Ñ Ò
Á ÂÍ Ã@Á ÌÏοÓ
ÊÕÔ
ÂqÊ Á Ê Ã@Á Ì ¿NÒ
ÊÖÔ
ÁÌ
und einem
ÂqÊ×HÌªÊ ¿ s ÌeØ
Ô
Â8Ì der Transformationsmatrix! Eine anschauliche
Ô
Á ÂÍ @Ã Á Ì ¿ÙbÚjÛÝÜ Â8ÌeÞ
wobei Ü Â8Ì der Winkel zwischen alter ß -Richtung und neuer ¾ -Richtung ist. Hieraus folgert
man sofort
à à à
à^á
Â8Ì ¿ ÙbÚjÛÝÜ ÂsÌ Æ Þ
Ô
d.h. alle Matrixelemente der Transformationsmatrix sind betraglich kleiner oder gleich
Es entspricht also gerade dem Element
Interpretation folgt aus18
Eins.
2) Da die neuen Basisvektoren wieder normiert sein sollen, folgt
æ æ
æ æ
ÂqÊ Á Êå+÷ã‘Ò^æ  Á 埿NÒçæbè ÂqÊ Â é Á Ê&_ê Ã@ë Á ì ¿>Ò Â8Ê¿ Âaô-õ  õ Â8ö
ÊÕÔ
Ô
ÊIÔ Ô í&ðî ïòñ
ÊÖÔ^ó Ô^ó Ô^ó ó Ô^ó
à àá
Æ . Die Bedingung ist aber sogar noch strenger, denn aus
Auch hieraus folgt wieder Â8Ì
Ô
ihr folgt z.B. das in jeder Zeile höchstens ein Element gleich 1 sein kann (und dann sind
Æ¿NÁ ÂâÍ Ã@Á ÂIÍ ¿äã\Ò
die anderen sogar 0).
3) Schließlich nutzen wir noch die Orthogonalität der neuen Basisvektoren, um etwas über
ergibt sich
die Eigenschaften der Transformationsmatrix zu erfahren. Für
¾V¿
Ç ß
Ë÷¿Á ÂâÍ Ã@Á ÍÌø¿äã\Ò
æ æ
æ æ
æ
ÂqÊ Á +
å ÷ã‘Ò^æ Ì Á ån¿>ÒHæ Â8Ê Ì é Á Ê&_ê Ã@ë Á ì >
¿ Ò Â8Ê ÌÊ
ÊÖÔ
Ô
ÊxÔ Ô ðî ïòñ
Ê Ô Ô
Ö
2) und 3) lassen sich kompakt mit Hilfe des Kronecker-Symbols zusammenfassen:
Ò
18
Â8Ê ÌÊ ¿ Ò qÂ Ê ÊýÌ ¿ ×aÂsÌ
Ê Ô ùé Ôê_ú8ýïûëùü ì Ê Ô )Ô þ
ÿ ß Þ ¾÷¿oÆ ÞÞ0Ø
Denn nach den bekannten Eigenschaften des Skalarprodukts ist mit ! .
54
Hierbei haben wir schon die Matrixelemente "$%# & der transponierten Matrix ' #)(+* ",%# &.- %/& (10 " & %2 /% &
eingeführt. Dies ist nützlich, da man dann die Bedingungen 2) und 3) sehr kompakt als
'
#)(54
3'
(
'
# 36'
schreiben kann19 . Hier folgt nun
'
798 (
#;:
'
Eine Matrix, deren Inverses gleich ihrer Transponierten ist, bezeichnet man auch als orthogonale
Matrix. Orthogonale <>=?< -Matrizen bilden eine Gruppe, die sog. orthogonale Gruppe @ 0 < 2 . Die
zugehörige Verknüpfung ist die Matrizenmultiplikation, d.h. sind ' , ' A , ' BDCE@ 0 < 2 , so gilt:
1) '
2) 0 '
3) 4
ADCE@
3'
8
A 2 3'
3'
8
CE@
4) Mit '
8
0< 2
B (
'
8
8
0< 2
3 0'
A 3'
ist auch ' 798 C@ 0 < 2
8
B 2
0'
8
798 (
# 2
8
'
.
F GHNK 2 und FMGH I
Da allgemein gilt F9GH 0JI 3K 2 (L0 FMGH I 2 0 M
FMGH 4 (PO sofort:
A
0 FMGHN'
2
(
FMGH I #
, folgt aus ' 3' #)(54 wegen
(1O :
Unter (echten) Drehungen geht ein rechtshändiges Koordinatensystem in ein rechtshändiges
über. Dann gilt:
FMGHN'
(LO :
Die Menge aller orthogonalen Matrizen mit Determinante 1 bildet ebenfalls eine Gruppe, die
sog. spezielle orthogonale Gruppe:
Q
@
0 < 2 (SR '
CE@
0 < 2UT FMGHN'
(PO$V :
Ist FMGHN' (XWYO , so wird durch die entsprechende Transformation die Händigkeit geändert, dh.
ein rechtshändiges Koordinatensystem wird in ein linkshändiges überführt.
Beispiel 6.1 (Drehung um Z -Achse). Wir betrachten die Drehung eines Koordinatensystem um
die Z -Achse. Somit sind die alte und die neue Z -Achse identisch und wir haben [ \B ( [ B und
somit ' B ( ' B;A (^] und ' B;B (LO .
8
19
Wobei wir hier natürlich nur das erste Gleichheitszeichen bewiesen haben!
55
_ a
_ ba
_ a cegfih
_ a f/jlkmh
n _ `MfjokDh
y
z|{/}~ h†
cegfNhr_ `tsuf/jlkDhr_ a
_ bavp
n
_ b`
h
h
_ b `qp
€
x
_ `dcegfih
f/jlkDhr_ `tswcegfNhr_ a
y
z|{}~ hr p
cegfih
n fjokmh
‚
/f jlkDh
cegfih
‚
‚ „…
‚
ƒ
_ `
erfüllt die Eigenschaften 1) - 3) und
‡Mˆ‰ y
zŠ{/} ~ hr p
a
ce‹f
hŒsufjok
a
h
ƒg
p
Führt man zwei Drehungen um Ž -Achse nacheinander aus, so entspricht dies natürlich einer
einzigen Drehung. Tatsächlich gilt (siehe Übung 40)
y
z|{/} ~ h† y
z|{/} ~‘  p
z|{/}  ~ hŒs
y
‘ 
Abschließend wollen wir nun herleiten, wie sich die Koordinaten eines Vektors transformieren.
• •
• •
_ p™“–•š— b _ b
’ p”“–•˜—
Mit
—
p
¢
©tª
ª«
ª¬­
schreiben als
und
— b p
x
“ •
x
— œb p
¢
® ª¯
ª ¯«
ª ¯¬°
•
•
 _ œb p
 žŸ ¡ ¢o£¥¤¦§
• •
“–•˜¨ œ —
—
_
›
“ •
—
_ œ b
• •
_ b _ œ b ^
p — œb
läßt sich daher die Transformation der Koordinaten kompakt
— b p
y
 — 
Sind die Koordinaten — œ eines Vektors bekannt, so kann man seine Koordinaten in einem gey
drehten System einfach mit Hilfe der Transformationsmatrix
bestimmen. Die Umkehrung
funktioniert natürlich auch, und zwar mit
—
p
y
±
`
 — b p
y
²  — b
Als Übung kann man sich explizit durch Betrachtung der transformierten Koordinaten — b p
davon überzeugen, daß20
20
Die erste Aussage ist natürlich ein Spezialfall der zweiten.
56
y
 —
1. die Länge eines Vektors sich unter Drehungen nicht ändert, d.h. ³,´vµ™¶¸·¹d´· µ™¶¸·¹Mº· ´ ,
¶¸· » · ½ · µ
2. Skalarprodukte invariant unter Drehungen sind, d.h. » ¼6½ µ
¶™· » º· ½ º· .
Abschließend sei noch darauf hingewiesen, daß man zwischen aktiven Drehungen, bei denen der
Vektor gedreht wird, und den hier betrachteten passiven Drehungen, bei denen die Basis gedreht
wird, unterscheiden kann. Es ist aber anschaulich klar, daß eine aktive Drehung einer passiven
Drehungen in die entgegengesetzte Richtung entspricht.
6.2 Newton-Gleichung in rotierenden Koordinatensystemen
Wir betrachten ein Koordinatensystem ¾ , das gegenüber dem im (absoluten) Raum ruhenden
Koordinatensystem ¿ rotiert. Ein ruhender Beobachter in ¾ mißt die zeitliche Änderung ÀÂÁ
ÀÂÃÄ
einer vektoriellen Größe ³ ÆÇ/È . Diese hängt folgendermaßen mit der Änderung ÀÁ
zusammen,
Ä¥Å
Ä
Â
À
Ã
die ein in ¿ ruhender Beobachter mißt (siehe Aufgabe 41):
Ä|É
Ê
Ê
³
Ê
µ
Ä
Ç Ä
³
Ê
³
Ä
Ä
Ç Ä
Ä
Ä|É
Ä Å>ËÍÌ
Î
Man beachte, daß ¾ kein Inertialsystem ist21 .
Systems relativ zum raumfesten System ¿ .
Ì
Für die Beschleunigungen folgt aus ÆÂÏ‹È :
Ê
Ê
Ê
´³
µ
Ä
Ç ´ Ä
Ê
Ä
Ê
´³
Ç ´ Ä
Ä ÅÐË
³
Ä
Ì
Ä
Ä|É
ist die Winkelgeschwindigkeit des bewegten
Ê
Ê
Ä
Ç Ä
Ê
Ä
Ä ÅÎ
ËÒÑ6Ì
ÆÂϋÈ
³
Æ
Ä
Ç Ä
Ä
Ä ÅÐËÓÌ
Î
Î
³ È
Ì
Î
Denn: Seien Ô , Ô
die Operatoren für die zeitliche Ableitung in ¿
É
Å
und Ô
. Dann entspricht ÆÂÏ‹È der Operatorgleichung
µ
À
Æ;ÏϋÈ
bzw. ¾ , d.h. Ô
µ
ÀÂÃ Ä
É
Å
ÄÅ
Ô
É
´ ³
µ
Ô
ÆÔ
ÆÔ É
É
µ
µ
µ
´ Å ³
Ô
Ô Å´
Å
³
Å
Å
³ ÈÖµ^Ô
ÈÔ
ËÓÌ
ËÓÌ Î
³
Æ×Ô
ËÍÌ Î
Å
Î
³
ÄÉ
µ^Ô
ËÍÌ
Daraus folgt
Ô
Æ×Ô
É
ÆÔ
Ë
³ È
É Æ×Ô
³ È
Î5Õ
Å ³
È
Ë
Ô
Æ
É ÆÔ
³ È
Ì
Î
³ È
ɳ
È
ÆÔ
³
³ È
ËÓÌ Î
Å Æ×Ô
Å
È Å ³
³ È
Æ
³ È
Ë
Ì ËÍÌ ÎØÌ
Î
ËÍÌ Î
ËÓÌ Î
Å
ÌDabei
Î
ËÒÑÌ Î bei der Umformung
ËÍÌ Î
Ì Î zur letzten Zeile
wurde
ÆÅÔ
À
ÀÂÃ Ä
Ì
Î
Dies ist gerade GleichungË Æ;ÏÏ‹È .
verwendet. Die auftretenden Terme haben folgende Bedeutung:
Ì
µSÙ
ÎEÌ
ist die Beschleunigung relativ zum raumfesten System.
À/ÚÁ
ÀÂÃ Ú Ä
21 Ä|É
Wir hatten ja schon in Kap. 2.2 gesehen, daß eine Kreisbewegung immer eine beschleunigte Bewegung ist.
57
Û/ÜÝ
ÛÂÞ Ü–ß
Û;á
ÛÂÞ ß
ß|à
ist die Beschleunigung relativ zum rotierenden System.
ist die Linearbeschleunigung.
ß àâ!ã
ÛÂÝ
äå
ÛÂÞ ß ist die Coriolisbeschleunigung.
â
ᝅ
å
å
ist die Zentripetalbeschleunigung.
âÍæ
â!ã ç
Die letzten drei Terme ergeben sich aus der Beschleunigung des bewegten Systems relativ zum
raumfesten System.
Das rotierende System ist Ûkein
Inertialsystem. Deshalb muß dort die Newton-Gleichung modifiÜ Ý
Û
Þ
)
Ü
ß
folgt aus
die Newton-Gleichung im rotierenden Koordinaziert werden. Mit è éëê
æÂíí‹ç
ᝍ
tensystem:
êïî é™è
ã
ðÓê
å
ñ
ä
ð
âòã
å
ê
â!ó
ð”ê
å
å
âÓæ
âòã ç
Hierbei haben wir den Index ô unterdrückt.
Die letzten drei Terme auf der linken Seite der Gleichung sind neu gegenüber der NewtonGleichung in Inertialsystemen. Sie existieren nur, da das Bezugsystem beschleunigt ist. Man
bezeichnet sie deshalb auch als Scheinkräfte. Rotiert das System mit konstanter Winkelgeschwinå
å
ä
å
digkeit , so ist ñ éöõ und es treten nur die beiden letzten Terme auf. ê
heißt Corioliskraft
âvó
å
å
und ê
Zentripetalkraft.
âÓæ
âòã ç
6.3 Rotationsdynamik
Wir zerlegen den Geschwindigkeitsvektor in eine radiale Komponente Ý (Radialgeschwindigó
ó
keit) parallel zum Ortsvektor und eine tangentiale Komponente Þ (Tangentialgeschwindigkeit)
ã
ó
senkrecht zu (siehe Abb. 6.1a). Die Bewegung tangential zum Radius läßt sich als Rotation
ã
um eine Drehachse durch den Ursprung und senkrecht zur aus und Û/÷ aufgespannten Ebene
ã å
ó
auffassen. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit
ist gegeben durch é ÛÂÞ é ø ñ . Aus Abb. 6.1b
Û÷
ÛÞ ist und somit
entnimmt man, daß Þ é
ó
ã
å
ó
é
Þ
ãYù
Definition 6.3 (Vektor der Winkelgeschwindigkeit).
å
å
å
ø
Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit hat den Betrag
é
ú úmé
ñ . Seine Richtung bestimmt sich folgendermassen: Erfolgt die Winkelbewegung gegen den Uhrzeigersinn, dann steht
å
senkrecht auf der Bewegungsebene und zeigt nach oben (rechte-Hand-Regel 22 ).
Daraus folgt
womit offensichtlich
22
ó
ÞNû
ã
ó
é™õ
Þ é
å
â!ã
und die rechte-Hand-Regel erfüllt sind.
Der abgespreizte Daumen zeigt in Richtung von ü , wenn die anderen Finger in Bewegungsrichtung zeigen.
58
v
w
vt
r(t+D t)
a)
vr
dj
r(t)
r dj = vt dt
r(t)
b)
Abbildung 6.1: a) Zerlegung der Geschwindigkeit in einen radialen und einen tangentialen Anteil; b) Zur Definition der Winkelgeschwindigkeit.
v
v
m
m
r
r
a
Abbildung 6.2: Der Drehimpuls ist abhängig vom Bezugspunkt.
Definition 6.4 (Drehimpuls).
Der Drehimpuls ý eines Teilchens mit Impuls þ am Ort ÿ ist definiert als
ý
ÿ
þ
+ÿ
Der Drehimpulsvektor steht also senkrecht auf der Ebene, die durch ÿ und aufgespannt wird.
Man beachte, daß der Drehimpuls abhängig vom Bezugspunkt ist! Genauer muß man daher vom
Drehimpuls um einen Punkt sprechen.
Als Beispiel für die Abhängigkeit des Drehimpulses vom Bezugspunkt betrachten wir die Situa, da ÿ
, im rechten ý
.
tion in Abb. 6.2. Im linken Bild ist ý
Definition 6.5 (Drehmoment).
Auf ein Teilchen, das am Ort ÿ die Kraft
Dann gilt:
ý
spürt, wirkt ein Drehmoment 23
ÿ
ÿ
þ uÿ
þ
uÿ
23
^ÿ
Im Englischen heißt das Drehmoment torque, der Drehimpuls angular momentum. Hier muß man also vorsichtig sein, da es sonst schnell zu Verwechslungen kommen kann.
59
.
Speziell für eine Zentralkraft ! gilt:
" #$ % &# '(*)
da ,+- und deshalb #'( ist. Somit folgt die Drehimpulserhaltung in Zentralkraftfeldern:
. konstanter Vektor /
Diese Gleichung steht in Analogie zu
Diesen wichtigen Erhaltungssatz werden wir z.B. in Kap. 8 bei der Beschreibung der Planetenbewegung ausnutzen.
0 1 3
2 /4/4/ "
165
0
Wir betrachten nun wieder Systeme, die aus vielen Teilchen mit den Ortsvektoren
und den
Impulsen (
) bestehen. Wir definieren den Drehimpuls des ten Teilchens durch
. 0- 07#8 0 /
.
" .
Dann definiert man den Gesamtdrehimpuls :9%0=; <?> 0 und das Gesamtdrehmoment:
90@; <?> " 0 mit
KL
" 0A 07# 0 BDC=EGFIH 0J# 0 BMEINPOQH RTS 0 UZY[ /
U BW<XV 0 H
Wir nehmen nun an (diese Annahme ist i. a. erfüllt), daß die inneren Kräfte 0 U Zentralkräfte
sind:
0 U \ 0 U ] 0 5 U ^)
0
wobei U `_ 0 5 U _ . Dann gilt:
S 0 0 # S <X0 0 U S 0 S <X0 0 #b 0 5 U @c\ 0 U U BWV H
U BaV H
d2 S 0 S <X0 0 U Aef 0J#b\ 0 5 U R U #b U 5 0]hg
U
( / BaV H
Die letzte Gleichheit folgt, da der Term in eckigen Klammern gleich \ 0 5 U i#j 0 5 U ik(
ist.
m1 l n
S 0 S <X0 07#b\ 0 5 U @ 0 U o S 0 S < U # U 5 0]=\ U 0 o 0 S 0 < U # U 5 0r=\ 0 U s)
U BaV U H
U BaV H
Uqp B V U H
Beim Übergang zur zweiten Zeile haben wir ausgenutzt, daß wir in der Doppelsumme die Summationsindizes umbenennen können, und zwar speziell
. Deshalb ist
60
tPuwv6xt4v u
wobei wir
ausgenutzt haben.
Sind die inneren Kräfte Zentralkräfte, so tragen sie nicht zum Gesamtdrehmoment bei. Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist dann
zy %
x {}
x { u t u7~ u €MI‚PƒQ„ x†… | €MI‚PƒQ„h‡
x { u z yu u | u
‰y
wobei €ˆ\‚PƒQ„ das gesamte äußere Drehmoment (analog zu x  €MI‚PƒQ„ ) ist.
| für den Fall, daß das gesamte äußere Drehmoment verschwindet ( €MI‚PƒQ„ xŠ ) folgt also:
Speziell
|
z x konstant ‡
also die Drehimpulserhaltung.
7 Bewegung eines starren Körpers
Im folgenden wollen wir die Bewegung eines Systems aus Massenpunkten genauer betrachten.
Speziell interessieren wir uns für sog. starre Körper.
Definition 7.1 (starrer Körper).
Ein starrer Körper ist ein System aus Massenpunkten, bei denen die Positionen der Teilchen relativ zueinander fixiert sind, d.h. alle Abstände zwischen den Teilchen sind konstant. Der Körper
ist starr und kann sich nur als Ganzes bewegen.
Definition 7.2 (Freiheitsgrade).
Unter der Zahl der Freiheitsgrade versteht man die Zahl der Koordinaten, die notwendig sind,
um die Position eines System aus einem oder mehreren Massepunkten zu beschreiben.
t`
x ‹Œ Ž‡ ‡PX‘
Beispiel 7.1. (Freiheitsgrade)
vollständig
1 Massenpunkt: Die Lage des Massenpunktes ist durch den Ortsvektor
bestimmt. Ein einzelner Massenpunkt hat daher drei Freiheitsgrade.
Massenpunkte: Die
Ortsvektoren
bestimmen die Lage des Systems
vollständig, d.h. ein System aus Massenpunkten hat
Freiheitsgrade.
|
|
|
t u ‹“’x ” 4‡ •4•4•–‡ | ‘
|Massenpunkten besteht,— | hat weniger als —
|
Ein starrer Körper, der aus
Freiheitsgrade, da
die Bewegungen der Teilchen relativ zueinander nicht möglich sind. Tatsächlich hat er 6 Freiheitsgrade (vgl. Aufg. 46). Die erlaubten Bewegungen sind nämlich Translationen des gesamten
Systems (3 Freiheitsgrade, z.B. die Lage des Schwerpunktes) und Rotationen des gesamten Systems (3 Freiheitsgrade, z.B. Lage der Drehachse). M.a.W.: Durch die Angabe von 6 Größen
läßt sich die Lage eines jeden Massenpunktes, aus denen sich der starre Körper zusammensetzt,
bestimmen. Die restlichen
Freiheitsgrade, die ein beliebiges (nicht starres) System aus
Teilchen hätte, bezeichnet man auch als innere Freiheitsgrade. Sie entsprechen z.B. Schwingungen und spielen in der Molekül- und Festkörperphysik eine wichtige Rolle.
|
— |™˜›š
Die allgemeine Beschreibung der Bewegung von starren Körpern (z.B. die Kreiselbewegung) ist
schwierig und wird in der theoretischen Mechanik behandelt. Wir betrachten im folgenden nur
zwei wichtige Spezialfälle.
61
w
Abbildung 7.1: Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse.
F
r
j, tang
j
Abbildung 7.2: Tangentialkraft
7.1 Rotation um eine feste Achse
œž›œ Ÿ¡=¢
£
Wir betrachten den Fall, in dem eine feste Achse existiert, um die sich der Körper bewegt
(Abb. 7.1). Die Rotation ist also eindimensional und kann durch
charakterisiert werden.
Da der Körper starr ist, bewegen sich alle Punkte mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit.
Im Folgenden nehmen wir o. B. d. A. an, daß die feste Drehachse in -Richtung liegt. Für jeden
Punkt gilt dann
, da er sich nur in der
-Ebene bewegt, und
,
ist rein tangential. Somit
¤ ¥¦TŸ¤ ¥h§X¨ ¤ ¥w©ª¨P« ¢
¬,­b®
¤ ¥w¯ °q±w²]³¦¤ ¥ ¤ ¥
¤ ¥w¯ °q±w²]³ &œµ´ ¥w¯ ¶
¸ ¹ ®¥ ¸ der Abstand des Punktes » von der Achse ist. Man beachte, daß i.a.
wobei ´ ¥w¯ ¶  · ¬6¥º
´ ¥w¯ ¶ž}¼ ½ ´ ¥X½ ist. Auf Grund der Starrheit ist ´ ¥w¯ ¶  const und unabhängig von ¡ .
Damit lautet die Newton-Gleichung in tangentialer Richtung
Ä ´ Å ¾
¾ ¥w¯ °q±w²]³  ¿ ¥ÁÀ ¤ ¥w¯ °q±w²]³
 ¿ ¥Ãœ, ´ À ¥w¡ ¯ ¶
¿ ¥ ´ ¥h¸ ¯ ¶ œžÂ Ä ¥w¯ °q±w²]³
¾
wobei wir ausgenutzt haben, daß ¥w¯ °q±w²]³ senkrecht auf ´ ¥ steht (Abb. 7.2). Ä ¥h¯ °q±=²s³
und somit wegen
tiale Drehmoment.
62
ist das tangen-
Dies ergibt für den gesamten starren Körper
Æ$ÊqLjÌ=È\ÍsÉPÎÐÊQË Ï%ÑXÒ Æ hÒ Ó qÊ Ì=ÍsÎ Õ
Ï Ô–ÑÁÒkÖ Ò^×ÙÒwØ Ó ÚÛÝÞ Ü Ïß Þ Ü
Dabei ist das Trägheitsmoment ß wie folgt definiert:
Definition 7.3 (Trägheitsmoment).
Ò mit Abstand ×PÒwÓ Ú von der Drehachse hat das
Ein System aus Massenpunkten der Masse Ö
Trägheitsmoment
ßàÏÑXÒkÖ Òá×ÙÒhØ Ó Úâ
×å
Wie üblich kann man hier wieder zu einer kontinierlichen Massenverteilung der Dichte ã?ä
übergehen:
ßàÏæ × Ú–Ø ç ÖèÏ%æ × ÚØ ã?ä × å çêé â
Speziell für den Fall, daß die Drehachse gleich der ë -Achse ist, ergibt sich dann:
ß]ì-Ï%æ äí Øïîžðê؎å ã?ä\íòñ ð ñPë å çêé â
Trägheitsmomente lassen sich i.a. dann besonders leicht berechnen, wenn die Drehachse mit
einer Symmetrieachse des Körpers zusammenfällt. Folgender Satz macht eine Aussage über den
Zusammenhang zwischen dem Trägheitsmoment bzgl. einer Achse durch den Schwerpunkt und
einer beliebigen dazu parallelen Achse:
ß4ó
ô
Satz 7.1 (Steinerscher Satz).
Das Trägheitsmoment
bzgl. einer Achse hängt folgendermaßen mit dem Trägheitsmoment
bzgl. einer zu ihr parallelen Achse durch den Schwerpunkt zusammen:
ßró*õ
ßróöÏ&ßró÷õ îjø ç Ø
ø
ç
wobei die Masse des Körpers ist und der Abstand der Achse ô
von der Schwerpunktsachse.
Beweis: siehe Übungen (Aufgabe 48)
Ò
Ö
ù Ï ÑXÒÕûú Ö ÒsüÁÒ Ø Ï ÑXÒýûú Ö ÒPüÁÒhØ Ó Ê Ï ÁÑ Ò Ö û Ò ×ÙÒwØ Ó Ú Þ Ø Ï ûú ß Þ Ø
ürÒwÓ
×rÒwÓ Ú
wobei Ê die Tangentialgeschwindigkeit von Teilchen þ ist, das den (festen) Abstand
Wir wollen noch die Rotationsenergie bzgl. einer festen Drehachse bestimmen. In diesem Fall
gilt für die kinetische Energie eines Systems aus Massenpunkten :
von
der Drehachse hat. In diesem Fall steckt also die gesamte kinetische Energie in der Rotation,
63
weshalb man auch von rotationskinetischer Energie spricht.
In den Übungen (Aufgabe 45) betrachten wir einen rollenden Zylinder. Hier setzt sich die Bewegung aus einer Rotation bzgl. einer Achse und einer Translationsbewegung der Achse selbst
zusammen. In diesem Fall ist die gesamte kinetische Energie gegeben durch
ÿ›ÿ ÿ ! #"
Dabei ist die Schwerpunktsgeschwindigkeit und das Trägheitsmoment bzgl. der Schwerpunktsachse.
7.2 Statisches Gleichgewicht
'& )(* ,+ .-
Im statischen Gleichgewicht sind die 6 makroskopischen Bewegungen ausgeschlossen:
1) Schwerpunkt in Ruhe:
. Dies bedeutet:
2) keine Drehung (z.B. im Schwerpunkt):
. Hieraus folgt die Bedingung:
$
$%
'/ )(* ,+ 0-
Im statischen Gleichgewicht verschwinden also die Summen der äußeren Kräfte und Drehmomente.
1
Beispiel 7.2. Wir betrachten einen Balken der Länge , der über ein Scharnier drehbar an einer
Wand befestigt ist. An dem Balken hängt ein Gewicht. Zusätzlich wird er durch ein Seil fixiert
(siehe Abb. 7.3).
Insgesamt wirken also folgende Kräfte auf den Balken:
– Die Gewichtskräfte und von Balken bzw. Gewicht
– Die Seilspannung
– Die Stützkräfte ,
im Scharnier (parallel bzw. senkrecht zur Wand)
ÿ2
465 487
3
'& )(* ,+ .- . Die Kräftebilanz in vertikaler und horizontaler
Im statischen Gleichgewicht gilt dann:
1) Die externen Kräfte verschwinden:
Richtung lautet dann:
vertikal:
horizontal:
-9 2 ÿ=<?>A@CB
3
;
:
4
:
5
- 487D: Fÿ EHG!<IB
,+ )
'
(
*
2) Die externen Drehmomente bzgl. des Punktes J verschwinden: /
. Dabei ist es
ÿ
zweckmässig, den Punkt J zu betrachten, da dann und 3 kein Drehmoment ausüben:
- 4 5 1 EHGK<ML :N4871 <?>O@PL :;2FQ ERGK<ML
ÿ
Aus diesen drei Gleichungen können nun die Zwangskräfte 4 5TS 487 und bestimmt werden.
64
Wand
T
Seil
b
P
Balken
S
a
S
Schanier
B
G
Abbildung 7.3: Balken, der über ein Scharnier und ein Seil mit einer Wand verbunden ist.
65
8 Zweikörperproblem und Gravitation
Im folgenden wollen wir das Zweikörperproblem im Gravitationsfeld näher untersuchen. Wir
stellen uns dabei vor, daß einer der Körper die Sonne ist, und der andere ein Planet.
In Kap. 5.2 haben wir das Zweikörperproblem schon in relativ allgemeiner Form untersucht.
Wirken keine äußeren Kräfte, so gelten folgende Bewegungsgleichungen für die beiden Massen:
UVXY W V[Z.\ V]#^
U_]Y W ]CZ.\ ]V
mit der Wechselwirkungskraft \ V]`Zbac\ ]V[Zedf\ V .
Wir separieren wieder in Schwerpunkts- ( g Z hFi UVjY Vlk U_]mY ]on ) und Relativbewegung (Y dpZ
Y Vqa Y ] ):
Y V Z g k U_r ] Y ^
Y ] Z g k Ur V Y
r Z UsV k U_] . Dann gilt (vgl. Kap. 5.2):
mit der Gesamtmasse
r g W Zt Z8u
g v Zxw Z const. ^
wobei wir im folgenden annehmen, daß w Zt ist, und
UyY W Z\ i Y n
mit der reduzierten Masse U Z z[h {|z6} . Der zweite Körper bewegt sich also relativ zum ersten
wie ein Teilchen der Masse U im Kraftfeld \ . Damit haben wir das Zweikörperproblem auf ein
Einkörperproblem reduziert!
Wir betrachten nun speziell Zentralkräfte, insbesondere die Gravitationskraft
\ ~j€j‚Zba„ƒ U YV?U_] ] Y … ^
V
d.h. † \ ~€ †X‡  } .
Für eine Zentralkraft gilt aber (vgl. Kap. 6.3) ˆ Z‰t und somit für den Drehimpuls Š Z const.
Wir nehmen nun o.B.d.A. an, daß der Drehimpuls in ‹ a Richtung zeigt: Š Z i t^TtI^ Š n . Da
Š Z U_Y ŒŽ , d.h. Š  Y ^  folgt, daß ayY ‘ und  immer in der  a.‘’a Ebene liegen. Die gesamte Bewegung findet also nur in der 
-Ebene statt!
Wir können also feststellen: Wechselwirken die beiden Massen über Zentralkräfte, so haben wir
es mit einer ebenen Bewegung (senkrecht zum Drehimpuls) zu tun. Das Zweikörperproblem reduziert sich also auf eine zweidimensionales Problem!
Im folgenden wollen wir diese Bewegung auch quantitativ beschreiben. Zunächst erinnern wir
uns darin, daß wir die Bewegung immer in einen tangentialen Anteil und einen radialen Anteil
aufspalten können. Für die tangentiale Geschwindigkeit gilt dann
”“ Z–• Y
mit
66
K“
•;Z — v Z™˜ —
˜šœ›
r(t)
t2
f
t1
Abbildung 8.1: Die vom Ortsvektor in der Zeit von
Aufgrund der Drehimpulserhaltung ist auch
¤
¢¡
Tž bis  Ÿ
überstrichene Fläche.
konstant und es folgt
¦
const. £ ¥ £ x
¥ § ¨ «© ª § £ § ¨ ©=¬ § £ ¨”¬®­ £°¯ ¨ Ÿ £ ² ± ¨ Ÿ#³
wobei wir § ¨ ©´¬ § £ ¨”¬[µ?¶A·‚¸ £ ¨”¬”­ benutzt haben, mit dem Winkel ¸ zwischen ¨
erhalten wir das wichtige Resultat
²± £ ¥ ¤ Ÿ
¨
bzw.
Ÿ¨ T¹ ² £ ¥ ¤ ¹ »º
¹
¹¼
¬
und . Somit
¹
Hiermit können wir nun die Fläche berechnen, die der Ortsvektor 24 in der Zeit
überstreicht
(siehe Abb. 8.1). Für infinitesimale Zeiten kann die überstrichene Fläche durch ein Dreieck
mit den Seitenlängen und
approximiert werden:
¨
¬X­ ¹ 
¹¼ £ ½¦ ¨”¬®­ ¹ l £ ½¦ ¨ Ÿ ¹ ² £ ½ ¤ ¥ ¹  ³
wobei wir bereits das oben abgeleitete Ergebnis verwendet haben. Somit folgt für die pro Zeiteinheit überstrichene Fläche
const.
¹¼ ¤
¹ £ ½¥ £
¼
und nach Integration für die in der Zeit von Tž bis  Ÿ überstrichene Fläche
¼ £ ¾ ­,¿ ¹¼ £ ½ ¤ ¥ ¾ ­,¿ ¹ l£ ½ ¤ ¥Â  ŸlÃĝjžTÅ
­ÁÀ
­ÁÀ
24
Den man in diesem Zusammenhang auch manchmal als Fahrstrahl bezeichnet.
67
Diese Ergebnis fassen wir folgendermaßen im sog. Flächensatz, dem 2. Keplersches Gesetz, zusammen:
2. Keplersches Gesetz:
Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Bem.: Diese Aussage, die man auch als Flächensatz bezeichnet, gilt allgemein für Zentralkräfte,
nicht nur für die Gravitationskraft!
ÆyÈ Ç ÉËÊ
Im folgenden wollen wir die Newton-Gleichung
integrieren. Es handelt sich hier um
25
drei DGL 2. Ordnung. Wir benötigen also sechs Integrationskonstanten. Drei liefert die Drehimpulserhaltung, nämlich
. Der Energiesatz liefert eine weitere Konstante. Da die
Gravitationskraft eine Zentralkraft ist, können wir leicht ein Potential
bestimmen:
Ì ÉÎÍÏIÐmÏIÐ Ì[Ñ
mit
Der Energiesatz lautet also:
Ê Í È Ñ ÉÔÓ«Õ Ò ÈÈ Ö
Õ
Ò Í È Ñ É×ÓÙØ ÆÈ Ú?Æ_Û ÉÝÜÞÓÙßÈáà
â É Æ ãåä Û6æ ÍçÈ É
Ò Ñ const.
Ò Í È Ñ
â é ÍÈ
ä
c
Û
é
Ï
Da âë
è Û ê Ï ist, muß Ò Ñ sein. Folgende Bewegungstypen sind möglich (siehe Abb. 8.2a):
1) â
Bewegung
é Ï :: gebundene
2)
ungebundene Bewegung
Wir hatten oben schon gesehen, daß es sich um eine ebene Bewegung handelt. Wir können daher
in der Bewegungsebene die Koordinaten mittels ebener Polarkoordinaten beschreiben und die
zugehörigen Geschwindigkeiten bestimmen:
ì_É0È6íHî!ïð
÷øÉȜï?õOö‚ð
óòì ÉôÈ6ò íRîKïðÙÓ ð ò Ȝï?õAö‚ðÐ
øò÷ ÉùÈ6ò ï?õOö‚ðÙÓ ðò œÈ íHîKïð
ñ
ñ
ä ɉÍIúòì ÐúMò÷ ÐTÏ Ñ folgt dann:
ä Û Éûòì Ûüæ ò÷ Û ÉôÈ ò ۜæ È Û ð ò Û ÉôÈ ò Û6æ È Ûþý Ì ÈXÛÿ Û É È ò Û6æ Ì ÛTÛ È”Û
Æ
Æ
ò
wobei wir wieder den Flächensatz benutzt haben, um ð durch den Drehimpuls Ì
Damit läßt sich die Energie folgendermaßen schreiben:
â É Æ ã È ò ۜæ ÍÈ
Ò Ñ
Mit
25
eff
nämlich jeweils eine für die -, - und -Komponente
68
auszudrücken.
E
Veff
ungebundene Bewegung
r
1/ r
r0
r
gebundene Bewegung
E min
a)
r1
b)
Abbildung 8.2: a) Das Gravitationspotential
mit dem effektiven Potential (siehe Abb. 8.2b)
, b) das effektive Potential .
eff
bezeichnet man auch als Zentrifugalpotential.
Das effektive Potential wechselt bei ! das Vorzeichen. Im Gegensatz zu " besitzt
das effektive Potential ein Minimum und zwar bei $#% & . Die zugehörige Energie ist
' ! . Wir erwarten, daß in diesem Falle nur eine Kreisbahn möglich ist, da es nur einen
eff
eff
min
Abstand gibt, bei dem dieser Energiewert angenommen wird (siehe Abb. 8.2). Das effektive
Potential erlaubt also eine genauere qualitative Diskussion der möglichen Bahntypen als das
Potential
.
Der Energiesatz reduziert das Problem auf zwei voneinander unabhängige Integrationen. Es ist
einfacher, statt
zunächst
zu bestimmen. Es gilt:
()*+,
(-.0/1
2 3 3 3 3 + /
3/
2 7 3 + 5 4687 /9 Die Energie schreibt sich dann
' $ 7 8:;
#
Es ist zweckmässig, eine neue Variable <=4> einzuführen. Deren Ableitung lautet dann < 7 0? und wir erhalten für die Energie
' $ <@7 ,AB<CCD
FE
;
eff
eff
Wir führen zwei Abkürzungen ein, deren physikalische Bedeutung wir später kennenlernen werden:
G
'
J >4 D
4> I H
69
Man sieht, daß immer
Mit
folgt
OQP
R
SUT)VXW>Y[Z]\_ ^
KLNM
ist.
V TdVXWeY!ZfV Yag \ _ ^ih V9TdVXW>Y&ZjV kY g \ K VlTdVXW>Y&Z O V g *K R Ymg K Y
Ya` O,b8c R
Y
eff
K Y ZfSUTdVXW Y Z O V g K*R Y OnLNM6R
OFP6P
R
f
Z
p
S
o
Y
M liefert im Prinzip eine Beziehung zwischen q und _ .
Bemerkung: Die Bedingung K
Y ZfSUT M . In diesem Fall ist
Im folgenden betrachten wir zunächst den Spezialfall K
_ Y S T g _ Y K Y T g ^ih Y T
T
q \^
\^
\_ Y q r
V W T M und somit VjT K T const. Damit ist also s T u t T vt T const. und wir
Mit OFP6P
R folgt
T vt T y!wxz zu tun. Genauer gesagt ist diese
haben es mit einer Kreisbewegung mit Radius s
Kreisbewegung sogar gleichförmig, denn
|{ T _ T _ K Y T ^i_h } Y T~
€jT const.
^ sY ^
Y ZjS5T  M machen wir den Ansatz
Im allgemeinen Fall K
V g K ~>Tƒ‚…„‡†ˆ O | g |Š‰ R
V W T g ‚ˆŒ‹Ž O | g |@‰ R , mit zu bestimmenden Konstanten ‚ und |1‰ .
d.h.
V g K*R Y ZfV WeY T O ‚„†ˆ O | g |Š‰ RŒR Y Z O g ‚ˆŒ‹ O | g |@‰ RŒR Y Tƒ‚ Y T K Y ZjSpo M , folgt
Da O
‚‘T“’ K Y ZjS
r
Man beachte, daß wir damit die allgemeine Lösung gefunden haben, da OFP6P
R als DGL 1. Ordnung
|”‰•T M wählen können. Somit erhalten wir
eine Integrationskonstante erfordert, und wir o.B.d.A.
V O | R T K Zf‚„†ˆŠ|
V9T b8cs )
bzw. (da
s.O | R T b Zf—@– „‡†ˆŠ|
T˜vt und —™T›šv . Diese Gleichung beschreibt einen sog. Kegelschnitt in Polarkoordinaten
mit –
T M ).
(mit Brennpunkt s
und somit
min
Abb. 8.3 zeigt die Erzeugung der Kegelschnitte durch Schneiden eines (hohlen) Kreiskegels mit
einer Ebene. Die Form der so erzeugten Schnittlinie hängt dabei vom Verhältnis des Öffnungswinkel des Kegels und des Schnittwinkels ab. Ist
, so erhält man eine Ellipse. Hierbei
€
‚
‚ L €
70
œ
œ
Kreis
(

œ

Ellipse
Ÿ
ž=œ )
(
œ
Parabel
¡
-œ )
Ÿ¢=œ
Hyperbel
(
)
Abbildung 8.3: Die Kegelschnitte. Der Kreiskegel mit Öffnungswinkel
gezeigt.
œ
ist in der Seitenansicht
Hyperbel
Parabel
Ellipse
r
f
Abbildung 8.4: Die Kegelschnitte.
¡ Nœ
£ ¤¥
ist der Kreis als Spezialfall
enthalten. Ist
Grenzfall
entspricht der Parabel.
¦¢§œ
, so erhält man eine Hyperbel. Der
In Abb. 8.4 ist der typische Verlauf der Kegelschnitte in einem Koordinatensystem dargestellt,
dessen Ursprung in einem der sog. Brennpunkte liegt. Der minimale Abstand, den die Bahnkurven vom Brennpunkt haben, ist gegeben durch
ª
ªk«f
© ¬ ­ « ( ®
¬ ª oder ¬I¯“ª
hängt nun davon ab, ob ž
¨
¨
min
Der maximale Abstand max
im folgenden einzeln diskutieren.
1. Fall:
¬ ž ª
71
ist. Wir wollen diese Fälle
°²±´³
°¶µ · ³¹¸&ºf» »Ÿ±›¼
»½µ ¸¿¾&Á
 Dies entspricht dem Fall
und somit, da
,
. Da
lautet die
entsprechende physikalische Bedingung
, d.h. wir haben es mit dem Fall positiver Energie
zu tun. Wir hatten uns ja schon anhand des effektiven Potentials überlegt, daß wir in diesem Fall
eine ungebundene Bewegung erwarten. Tatsächlich hat der Nenner der Bahnkurve eine Nullstelle
mit
und somit ist
, d.h. die Bewegung ist tatsächlich
ungebunden. Dies entspricht dem Fall der Hyperbel und beschreibt Kometen, die einmal ins
Sonnensystem eintreten und dann nie wiederkehren.
Å1ÆjÇÉÈ
ö±Ä¼
Ê˺ÍÌX·ÏÐ 1Å Æ µ ¼
ÌmµÊ
Ñ*Ò Å1Æ,Ó µ Ô
2. Fall:
In diesem Fall ist
und somit
der Bahnkurve eine Nullstelle, nämlich
Parabel.
Ì Ç Ê
°Õµ¦³
»Öµ§
deshalb auch Ã×µ§¼ . Wieder hat der Nenner
Å”Æ ¼ µ und
È . Die
zu Ãصռ gehörige Bahnkurve ist also die
° Ç ³
» Å1Ç Ó ¼ und deshalb auch Ã Ç ¼ . Der Nenner der Bahnkurve hat
Ñ*Ò immer endlich:
mit
Ñ µ ³™º=Ê °Ú Ñ µ ³ÛŸÊ °ËÜ
Ù Ñ Ù Ñ
3. Fall:
In diesem Fall ist
, also
keine Nullstelle und somit ist
Ñ
Ì Ç Ê
min
max
min
max
Den minimalen bzw. maximalen Abstand bezeichnet man auch als Perihel bzw. Aphel. Der Fall
entspricht der Ellipse, d.h. gebundene Bewegungen im Gravitationsfeld finden immer
auf Ellipsenbahnen statt. Speziell für
erhält man Kreisbahnen. Der Fall der gebundenen
Bewegung entspricht natürlich gerade der Bewegung von Planeten. Dies ist gerade die Aussage
des 1. Keplerschen Gesetzes:
Ì5µ£¼
1. Keplersches Gesetz:
Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen mit der Sonne im Brennpunkt.
Genauer müßte man hier sagen, daß der Schwerpunkt des Systems Planet-Sonne mit dem Brennpunkt zusammenfällt. Da aber i.a.
folgt für die reduzierte Masse
, d.h. der Schwerpunkt liegt in sehr guter Näherung im Mittelpunkt
der Sonne.
!¾ é0¾”ê
!¾ é0¾”ê
¾!éQë.¾&ìîí !¾ é µ Ý9ä
ÝßÞà¿áá‡âNã Ý9äXåçænáâè
Ý µ
ï µ Û9ðñ
Typisch für die Bewegung im Gravitationsfeld (d.h. im Potential
) ist, daß alle gebundenen Bahnen auch geschlossen (d.h. periodisch) sind. Dies gilt ansonsten nur noch für das
harmonische Potential
.
ïÒÑ Ó µƒò*Ñ ¸
ѵóÑ*Ò ÅCÓ . Wie sieht nun aber ѵóÑ*Òô Ó
Å õ µ ö*ö Å µ ÷ µ ÷ Å1Ó
ô Ý9Ñ ¸ Ý9Ñ ¸ Ò Ú
Wir kennen also jetzt die Bahnkurve
wir aus, daß gilt
aus? Dazu nutzen
wobei wir im letzten Schritt im wesentlichen den Flächensatz (in quantitativer Form) ausgenutzt
haben. Die obige Gleichung kann man mittels Trennung der Variablen integrieren. Man erhält
72
r’
r
rmax
2f
rmin
2e
2d
Abbildung 8.5: Die Ellipse und ihre wichtigen Kenngrößen.
zunächst
øaù-øûú¿ü1ý
þ ÿ
ú0ü1ý ülù
úø ø
ûý
ÿ
und hieraus durch Invertieren üùƒüúø,ý . Eingesetzt in die Bahnkurve ú0ü1ý
erhält man so ù ú ø,ý .
Im folgenden wollen wir uns etwas genauer mit den Planetenbahnen beschäftigen. Abb. 8.5 zeigt
eine Ellipse und die wichtigsten Größen zu ihrer Charakterisierung. Den maximalen bzw. minimalen Abstand von einem der Brennpunkte bezeichnet man mit max bzw. min . Wir hatten sie
schon früher durch die Parameter und ausgedrückt:
min
ù
max
ù
Weitere charakteristische Größen sind die große bzw. kleine Halbachse bzw. . Der Abstand
der Brennpunkte ist , wobei man als Exzentrizität bezeichnet26 . Im folgenden sind einige
wichtige Beziehungen zwischen diesen Größen zusammengestellt:
ù
ù
ù
ú
min
ú
max
max
min
ù
ýù
ýkù
ù
Man beachte auch, daß man die kleine Halbachse auch durch min max .
ù
26
ùú
8ýûú
8ýaù
min
Bei einem Kreis fallen die Brennpunkte zusammen und deshalb ist ! .
73
und max
ausdrücken kann:
Man kann die Ellipse auch als die Menge aller Punkte charakterisieren, für die die Summe der
Abstände " und "# zu den Brennpunkten konstant ist: "%$&"'#(*)'+ (siehe Abb. 8.5). Dies bezeichnet man als “Gärtnerkonstruktion” 27 .
/54768
Im folgenden nutzen wir den Zusammenhang ,-( / . und 01( 2 / ( 3 /
zwischen den mathematischen Größen , und 0 und den physikalischen Größen 9 und : (bzw. ; und < ), um die
obigen Größen für die Ellipsenbahnen zu schreiben als
+
9
9>=%?@A=B
@
9 = ?@ =B
E
F
(
9 = ?@ =
(
C
D
(
(
G
+
9%H
Im folgenden wollen wir einen Zusammenhang zwischen der Zeit I , die der Planet für einen
Umlauf benötigt (der sog. Umlaufzeit), und den Bahnparametern herstellen. Nach dem FlächenD
satz überstreicht der Bahnvektor in einem Umlauf gerade die gesamte Fläche J%KMLNLPO QSRUTV(XW + der
Ellipse. Andererseits hatten wir oben abgeleitet
E
JAKMLYLYO QSRZT%(
=^]
)\[ _
" =a`cbed + b (
<
) f
'
I
H
Hieraus ergibt sich
D
< = I =
+
< =
(XW = + = = (hW = + = (XW = +>i
g
f =
9
f!j B
und somit
g
g
W =
W =
k
k
qAr7p stqu
` flRm$nfoQ d
flR>H
4
Wichtig hierbei ist, daß die Konstante w v ]qr eine universelle Größe ist. Sie ist für alle Planeten
gleich, da sie nur die Masse fxR der Sonne und Naturkonstanten enthält. Dies ist gerade die
I =
(
+ i
Aussage des 3. Keplerschen Gesetzes:
3. Keplersches Gesetz:
Das Verhältnis des Quadrats der Umlaufzeit I und des Kubus der großen Halbachse + ist für alle
Planetenbahnen gleich:
I =
(
+ i
konst.
Abschließend fassen wir noch einmal die drei Keplerschen Gesetze in Kurzform zusammen:
27
Man kann die Ellipse hiermit praktisch konstruieren, indem man zwei Pflöcke in den Boden schlägt (= Brennpunkte) und zwischen diesen ein Seil der Länge y{z spannt. Die Menge aller dann erreichbaren Punkte (ohne das
Seil zu zerreissen) bilden die Ellipse.
74
1. Planetenbahnen = Ellipsen (mit Sonne im Brennpunkt)
2. Flächensatz: Radiusvektor überstreicht in gleicher Zeit gleiche Fläche
3. |€~  } ist für alle Planeten gleich.
Dabei sollte man immer im Hinterkopf behalten, daß der Flächensatz für beliebige Zentralkräfte
gilt.
9 Schwingungen
9.1 Komplexe Zahlen
Beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von reellen Zahlen
bleiben wir im Bereich der reellen Zahlen. Beim Wurzelziehen stoßen wir auf einen neuen Zahlentyp.
Problem:
ƒ‚…„‡†‰ˆ hat keine reelle Lösung 
Man definiert daher (Euler 1777): Š%‹Œ„Ž †ˆ .
Š wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Eine allgemeine imaginäre Zahl ist dann von der Form t‘aŠ mit reellem  , also z.B. ’'Š , “mŠ , etc.
Wir übertragen nun die üblichen Rechenregeln der reellen Zahlen auf die imaginären Zahlen
(unter Beachtung von Š ‚ „Ž†ˆ ):
•”–Š˜— Š „‡™šS”A— Š
‚
‚œ›
™U•”–Š U™  Š „S”– Š ‚ „†žS”5
› ‚ ›
‚
‚
ŠcŸt„ Š ‚ ŠA„‡†¡Š
etc.
Definition 9.1 (komplexe Zahlen).
Allgemeine komplexe Zahlen sind von der Form
¢ „o—nŠš£
mit reellen Zahlen  und £ .  bezeichnet man auch als den Realteil von ¢ und £ als den Imaginäerteil. Man schreibt dann auch:
¢ „
Re ™ ¢
›
—Š Im ™ ¢
75
›{¤
Wie für die rein imaginären Zahlen übertragen wir auch für die komplexen Zahlen die bekannten
Rechenregeln. Man erhält so den Körper ¥ der komplexen Zahlen.
Addition: ¦¨§ª©
Re °š¦a§œµ¸©
¦¬«A­n¦¨®¯©‡°U±˜«A­²c³´«5µ¶­°š±ƒ®­n²š³®{µV©‡°š±˜«·­n±ƒ®œµm­n²–°š³´«·­³®{µ
Re °c¦¬«¹µm­ Re °š¦a®¹µ
Im °c¦¨§{µ%©
und
Im °c¦¬«¹µm­ Im °c¦¨®{µ
®
°š±˜«·­n²š³»«5µœ°š±ƒ®­n²š³®œµV©¼°U±˜«–±ƒ®{µ¶­n²5°U±˜«–³®{µm­²5°U³»«½±ƒ®œµm­² š° ³´«½³®¹µ
Multiplikation: ¦«5¦¨®º©
©
Speziell für reelles À gilt:
°š±˜«–±ƒ®¿¾³»«€³®{µm­²5°š±˜«–³'®A­n±ƒ®¹³»«–µ
ÀM¦Á©*À·°U±o­²c³µV©¼°^Àƒ±˜µm­n²–°^Àƒ³µ
Definition 9.2 (Komplexe Konjugation).
¦´ÂÄÃÅ©±Æ¾²c³ heißt komplex-konjugiert zu ¦o©*±o­n²š³ , d.h. die Operation  bedeutet Vorzeichenwechsel beim Imaginärteil.
Für das Produkt einer komplexen Zahl ¦ mit ihrem komplex-konjugierten
¦Ç¬¦  ©‡°U±È­²c³µS°š±É¾Ê²š³µ%© ±
®
­n³
®
ist also immer reell und größer gleich Null.
Nützlich ist das Komplex-Konjugierte auch bei der Division durch komplexe Zahlen:
Ë
¦
©
¦ Â
©
¦Ç¬¦ Â
±Ì¾Ê²š³
©
± ® ­n³ ®
±
³
¾² ®
®
®
± ­³
± ­ ³ ®Í
Hiermit ist die Division in ¥ auf eine Multiplikation zurückgeführt.
Es bietet sich an, Real- und Imaginärteil als Komponenten eines zweidimensionalen Vektors
zu interpretieren. Man kommt so zu der zweidimensionalen Darstellung in der sog. komplexen
Ebene (siehe Abb. 9.1):
¦o©X±È­n²š³ÏÎ
°š±mÐ5³µ
wobei nun °š±mÐ5³µ ein zweidimensionaler Vektor ist. Nun kann man wieder zu ebenen Polarkoordinaten ±1©ÑAÒ•Ó´Ô˜Õ und ³È©ÑÔ½ÖØ×¡Õ übergehen und erhält
¦Á©±o­n²š³Ï© ÑÙ°šÒSӴԘÕÈ­n²»Ô½ÖØסÕeµ Í
Definition 9.3 (Betrag).
Unter dem Betrag ÚÛ¦ÜÚ einer komplexen Zahl ¦ versteht man die Länge des zugehörigen Vektors
in der komplexen Ebene: ÑÝ©ÞÚÛ¦˜Ú . Da ÑÝ©Þß ± ® ­³ ® kann man dies auch schreiben als
ÚÛ¦˜Ú´©áà ¦´¦  Í
Den Winkel Õ in der Polarkoordinatendarstellung bezeichnet man auch als Argument von ¦ :
Õ1© arg °š¦»µ
76
è
âÁä åÈæçcè
é
ê
å
â´ã
Abbildung 9.1: Die komplexe Ebene.
Wir werden später sehen, daß ë â'ìVí¬â¨î ë ä
ë â¬ì ë í ë â¨î ë und arg ï âìVí¬â¨î{ð%ä
arg ï â¬ì¹ðmæ arg ï â¨îœð gilt.
Mit komplexen Zahlen kann man komplexe Funktionen bilden: ñï â»ðtòôó , z.B. ñï â´ð¿äõâ
î
æöâ .
Beispiel 9.1. Wir betrachten im folgenden ein für die Praxis sehr wichtiges Beispiel für eine
ê
komplexwertige Funktion. Sei reell. Dann gilt
÷•øŒùÝäú•ûü ê ænç»ü–ýÿþ ê
ï ð
ê
ê
d.h. die komplexe Zahl ÷ ø ù mit ò liegt auf dem Einheitskreis (da ë ÷ ø ù ë ä ) mit Winkel .
ê
Beweis28 von (*): Durch zweimalige Differenzieren überzeugt man sich, daß die Funktion ñï ðVä
÷ ø ù die DGL ñ ä ä ñ erfüllt. In Kap. 3.1 hatten wir gesehen, daß die allgemeine Lösung
ù dieser DGL lautet:
ê ð äú•û´ü ê æeü½ýØþ ê
ñï V
ê ð ä÷ ø ù
Die Parameter und werden durch die Randbedingungen festgelegt. Für ñï V
haben wir
ê ä»ð¸ä
ñAï
ñ ï
ê ä»ð¸ä
÷•øtä÷tä
ê
ç^÷•øtä ç
ê
Damit die allgemeine Lösung ú•û´ü æÜü–ýÿþ
diese Randbedingungen erfüllt, muß
sein. Da die Lösung der DGL eindeutig ist, folgt die Identität ï ð .
Wir können daher für reelle Argumente
bestimmen:
ê
ä‰ä
den Real- und Imaginärteil der Exponentialfunktion
Re ï •÷ ø ù'ð
Im ï ÷ ø ù ð
äú•û´ü ê
äü–ýÿþ ê
28
Die folgende Beweisstrategie über DGL wird häufig eingesetzt. Man kann "! natürlich auch anders beweisen,
z.B. über die Taylorreihen von #$&% , ')(+* und *-,/. .
77
Mit dem Resultat aus dem vorangegangenen Beispiel können wir nun eine beliebige komplexe
Zahl darstellen als
0
1
2436587:9;=<>?9A@CBD;FEG1H2JI8KL
1
MN0OM I8KLQP
Mit dieser Darstellung macht man sich sofort die bereits oben erwähnten Rechenregeln für den
Betrag und das Argument klar:
0SRGTS0UV1WM 0SRJMNI8KL&XTYMN0U:M I8KL+Z[1\MN0SR]0U:M I8K_^/L&X6`YL+ZaP
Speziell für das Komplex-Konjugierte folgt:
0bc1H2d3-5+7:9;feg>?9A@CBD;FEh12d3-5+7:9&3)ei;OEj<k>?9A@CBl3)ei;OEAEh1H2JIJmQKL
Allgemein gilt folgende Aussage:
Ist n 36oE für alle opq reellwertig, so gilt: n
3r0 b EG1s3
n
3r0:EAE b
.
Man kann nun auch die Winkelfunktionen durch die komplexe Exponentialfunktion darstellen.
Da I KL 1H5+7:9;=<k>?9
@_BD; und I mQKL 1t587:9&3)ei;OEj<k>?9
@_Bj3)ei;OEu1t587:9;fev>?9
@_BD; , folgt
5+7:9;w1yx 3-I KL <kI mQKL E
z
und
9A@_B{;|1
x 3rI KL
z >
eI mQKL E}P
Bem.: Ist 0~1o<k>r€ , so gilt:
I8K/‚1I8K_^„ƒ}`4K„…]a†1I8K„ƒmQ…D1HIJmQ…3-5+7:9‡o<>?9A@CBDoE"P
Als Anwendung betrachten wir nun eine DGL 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese
hatten wir bereits in Kap. 3.1 untersucht. Im folgenden wird sich zeigen, daß die Behandlung mit
Hilfe der komplexen Zahlen einfacher, eleganter und in gewissem Sinne auch allgemeiner ist.
ˆQ€Q‰ ‰J<kŠ"€Q‰J<Œ‹"€
1
ˆQ€Q‰ ‰J<kŠ"€Q‰J<Œ‹"€
1

n
36oE
homogene DGL
inhomogene DGL
mit ˆŽAŠŽ]‹ip‘ .
’1

Wir nehmen nun o.B.d.A. an, daß ˆg1 x ist. Wir können eine beliebige Gleichung mit ˆ“
–
immer auf diesenR Fall zurückführen, indem wir die Gleichung durch ˆ dividieren und Š•”
— ,
‹‚”
˜
3-oEh”
3-oE
ersetzen. Wir untersuchen daher zunächst die homogene Gleichung
— , n
— n
€ ‰ ‰ <Š"€ ‰ <k‹}€™1H4P
78
Zur Lösung machen wir den Ansatz
šO›-œhžŸ¡ ¢"£:¤
š4¥ ›6œuž¦§Ÿ¡ ¢"£
den wir in die DGL einsetzen. Somit erhält man mit
Ÿi ¢«£Q›r¦ ª­¬k® ¦
š¨¥ ¥©›-œhžH¦§ª«Ÿ¡ ¢"£
und
¬k¯ hžH°d±
Ÿ³H
²ž °
Da
¢«£
(wir sind schließlich an einer nichttrivialen Lösung interessiert!) und
¦ ª ¬k® ¦
und somit
Wir nehmen nun an, daß
¯
µ
¼
»
Deshalb sind
µ
für
¯ ±
µ
»
reell sind. Dann ist
® ª
º
¦´
® ª
º
·¹¸
® ¤ ¯
¯¡Á
, folgt
¬Œ¯ ž°
®
¦§´ž¶µ
²ž °
µ
¯¡À
°4¤
µ
¯¡Á
°4±
¤
reell
¤
imaginär
falls
falls
½©¿ ¾
½¿¾
°
½¿¾
komplex:
®
¦§´Âžµ
·
º
® ª
¯ µ
¤
»
¸ÄÃ
¦OÅƞs›Ç¦Fȝ)É
µ ¯¡Ê °
¦FÅ
¦lÈ
d.h. insbesondere
ist
.
Für ½©¿ ¾ µ ¯ žy° haben
wir
zwei
verschiedene
reelle
Lösungen
und
.švž“œ§ ¦§ÅžË¦FÈ
Für ½ ¿ ¾
ist
. Dann existiert aber eine weitere Lösung
werden wir in den Übungen (Aufgabe 59) genauer untersuchen.
¢«£
. Diesen Fall
²ž
Zusammenfassend lautet also die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung im Fall
šF›6œGžŸiÅj ¢}Ì:£ ¬
ŸÍÈ ¢Î£
¯
½¿¾
ŸÍ´
mit zwei Integrationskonstanten
, die durch die Anfangsbedingung festgelegt werden.
š
Wenn aus physikalischen Gründen reell sein muß, können wir den Realteil (oder auch den
® ¤ ¯ Lösung nehmen, der auf Grund der Linearität der Gleichung im Falle
Imaginärteil) der obigen
auch eine Lösung darstellt:
reeller Koeffizienten
ŸiÅl ¢ Ì £ ¬
šF›6œGž
Re
ŸÐÈ ¢ Î £SÑ ±
Ï
š
Wir betrachten nun die inhomogene DGL. Sei daher eine beliebige Lösung der inhomogenen
DGL, die wir uns auf irgendeine Art und Weise verschafft haben, z.B. durch Raten oder Variation
der Konstanten. Dann ist
šF›6œGž
š›-œ ¬
ŸiÅj ¢ Ì £ ¬
Re
Ï
79
ŸÍÈ ¢ Î £ Ñ
x-Achse
Motor
Abbildung 9.2: Angetriebener Oszillator.
die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL.
Oft findet man leicht eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL (z.B. ÒÓ konst.). Diese
erfüllt i.a. aber nicht die gewünschten Anfangsbedingungen. Deshalb benötigt man die allgemeine Lösung.
9.2 Schwingungsvorgänge
Wir wollen nun die Erkenntnisse über DGL aus dem vorigen Abschnitt zur Beschreibung von
Schwingungsvorgänge verwenden. Wir betrachten dazu das System in Abb. 9.2. Eine Feder werde durch einen Motor in ÔjÕ Richtung ausgelenkt, wobei die Ruhelage der Feder ÔÖÓ× entsprechen soll. Neben der Motorkraft Ø Motor und der Rückstellkraft Ø Feder soll noch eine Reibungskraft
Ø Reibung wirken. Die Newton-Gleichung lautet dann
ÙkÚ
Ô
Ó
Ø Feder
Ó
Ø Reibung
Ó
Ø Motor
Ó
Ø Reibung Û
Ùfßuá à
ÕiݨÔ|ÓއÕ
Ô Ü
Ùä
Ø Feder Û
Ղâ~ԕ
ã Ó=އÕ
Ø Motor Ü
Ôã Ü
ÙÂå­æ6ç
è"é
Dies führt auf folgende inhomogene lineare DGL 2. Ordnung:
Ô
Ú
ä
Ûëê Ô ã Û
ßuá à
Ô|Ó
å­æ6ç
è"é
Ein analoges Problem werden wir im nächsten Semester kennenlernen, nämlich den elektrischen
Schwingkreis mit den Identifikationen Ô æ6ç
èhì Ladung í æ6ç
è , Feder ì Kondensator, Reibung ì
Widerstand, Trägheit ì Spule.
80
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL lautet
î†ï©ð
ñ[ò
Re
mit
óÇôiõFö÷+ø:ùYúkôÍûö÷ü:ù©ý
ò
þÿ
(schwache Dämpfung)
mit dem reellen .
Dann ist
Wir haben also zwei komplexe Lösungen
!#" %$'&(
Wir betrachten nun wieder drei Fälle:
1. Fall:
ò
þ§ÿ
4ò
î
ÿ
ï6ð
ñGò
ô¡ÿlö
û
ÿ
ö
ù
) ) $+* folgt
/) ) $102& ( *.3 4) )65.798 : <; die all=) )65>798 ? ; !#@ " ) ) ,#" %$'& ( %$+*.-
und die allgemeine Lösung ist dann î†ï6ð
ñtò î õ ï©ð
ñ ú
û
ÿ
õ
ô¡ÿ ö
ö
und daraus erhalten wir wegen Re ï
ù
gemeine reelle Lösung
î†ï6ð
ñhò
+ï
ô
ð
î
û
ô
ñ
ú
ï6ð
ñ
ö
. Mit
õ
ñiò
ù
ò
ô
ô
ô
8ï
ö
î
„ð
ú
ñ
ÿ
ò
û
ö
Man beachte, daß die beiden Teillösungen î õ und î û zur gleichen reellen Lösung führen. Die
allgemeine reelle Lösung ist in Abb. 9.3a dargestellt und hat natürlich zwei Integrationskonstanten, nämlich die Amplitude ò ô und den Phasenwinkel . Bei der Lösung handelt es sich um
eine gedämpfte Schwingung. Man bezeichnet daher den Fall
auch als Schwingfall.
A =) )
B (starke Dämpfung)
C D reell und offensichtlich E Hier ist
GF F
GF F
H#@ "
mit
; 2. Fall:
þ§ÿ
ò
î†ï6ð
ñ
ò
ò
ôiõlö
ö
û
û
÷ ø ù úkôÍûö
û
þOõ
÷ ü ù
þFû
û
ó ô¡õlö ÷«ù úôÐûö
÷«ù ý
þ
ò
. Die allgemeine Lösung29
ist nicht (quasi-)periodisch und entspricht deshalb keiner Schwingung (siehe Abb. 9.3b). Man
spricht daher auch vom Kriechfall.
ò
3. Fall:
(aperiodischer Grenzfall)
In diesem Fall lautet die allgeimeine Lösung:
î†ï©ð
ñuòï
I H#@ "J
ôŒú
ð
ñ
ö
û
die wir in den Übungen (siehe Aufg. 59) genauer untersuchen werden.
29
Hier haben wir ausgenutzt, daß wegen
KMLON9P
gilt:
Q NPRQ/SUTVNP
81
.
x
exp(-t/2 t)
x
t
t
a)
b)
Abbildung 9.3: Lösung für den a) Schwingfall und b) Kriechfall.
W
Wir betrachten nun die erzwungene Schwingung, d.h. die Schwingung unter dem Einfluß einer
äußeren Kraft Motor
. In diesem erhält man die inhomogene DGL
XZY\[^]?_a`
ec b dghOf cei dkjml c Xn[^]o_a`p
Es ist zweckmäßig, den Differentialoperator qsrutwvyx X twz d,{ twz dH| t einzuführen. Dieser Operator
ist linear, d.h. qsrut d~} v X qsrutwv d qsr } v . Dies folgt sofort aus den bekannten Rechenregeln für das
30
Differenzieren.
tz d€{ twz d| t X‚
qsrutwv X‚
Wie sieht die allgemeine Lösung von
(d.h.
) aus?
Die allgemeine Lösung muß zwei Integrationskonstanten enthalten, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.
Sei hom die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, also
, und eine spezihom
elle Lösung der inhomogenen DGL:
. Dann ist
die
allgemeine
Lösung der
hom
inhomogenen DGL, denn
t
qsrƒt v
t
qsr t†v X‡
t X t d t X…„
qsrƒt†v X qrƒt d tˆv X qsrut v d qsr twv XZ„ d ‰X‚GŠ
d.h. t erfüllt die inhomogene DGL und t enthält zwei Integrationskonstanten (da t
hom
hom
hom
zwei In-
tegrationskonstanten enthält).
Wir betrachten im folgenden speziell die Schwingungsgleichung mit periodischer Kraft
[‹]o_a`Xn[ mŒ.Ž9 ] j _a`/p
Wir arbeiten wieder mit komplexen Zahlen und setzen
} X cd€‘ t mit c X Re } X
30
Auslenkung
Ein Operator ist eine Abbildung, die eine Funktion auf eine andere Funktion abbildet. Typische Beispiele sind
Differentialoperatoren, bei denen eine Funktion auf eine Kombination ihrer Ableitungen abgebildet wird.
82
“ ’ ”g–O• “˜— ”k™›š “œnž › Ÿ>¡'¢£6¤
und
Der Realteil dieser Gleichung ist gerade unsere Schwingungsgleichung mit periodischer Kraft!
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung kennen wir schon:
“
œ §¥ ¦ ©Ÿ ¨/ªˆ£ ”€¥¬« Ÿ©¨©­®£
œ Ÿ «H°#¯ ±³² ¥§¦ Ÿ ¡#´ ¢ µ° «‡·:± ¶ ° £ ”€¥¸« Ÿ « ¡:´ ¢ µ° «¹:· ± ¶ ° £oº
wobei wir im folgenden annehmen, daß wir uns im Schwingfall ™ ›s» š¼ ½ befinden.
“ fällt für große Zeiten exponentiell ab ( ¾ “ ¾9¿ À für Á¿  ), denn wir haben es ja mit einer
gedämpften Schwingung zu tun. Wir brauchen daher für große Zeiten nur die spezielle Lösung
“ zu betrachten:
“œZ“ ” “ £ÄÃÆ¿ Å “ ¤
Im folgenden zeigen wir, daß
“ÇœZÈ Ÿ ¡'¢£
mit einem geeignet zu bestimmenden È eine spezielle’ Lösung ist.
Dies sieht man leicht ein, da wegen “e
— œ‚É?™È Ÿ ¡'¢£ und “eœCÊƙ š È Ÿ ¡'¢£ folgt:
È Ÿ>¡'¢£ÌË Êƙš‹” É?– ™ ”k™›Îš Í œÏž ›Ÿ>¡'¢£
ËÑÐ Í ¤
hom
hom
hom
hom
Diese Gleichung ist offensichtlich erfüllt, falls
mit der Response–Funktion
ȉœ ™ ›š ʙž › š ” ¡2¢ œeÒˆÓ Ë ™ Í ž ›
½
Ó Ë ™ Í œ ™ ›š ʙž › š ” ¡'¢ ¤
½
ž ›Ÿ ¡2¢®£
“ Ë Á Í œnÓ Ë ™ Í ž › Ÿ ¡'¢£ ¤
«
«
Mit Ónœ ¾ Ó ¾ Ÿ +¡ Ô ist “ Ë Á Í œ ¾ Ó ¾ ž › Ÿ Ö¡ Õ×¢£ Ô>Ø und somit
Ù Ë Á Í œ Re “œ ¾ Ó ¾ ž ›ÛÚ>Ü9Ý>Ë ™ Á Ê~Þ Í ¤
Dies beschreibt die periodische Antwort des Systems auf die äußere Kraft ž ›ÛÚ>Ü9Ý>Ë ™ Á Í . Die Amplitude (maximale Auslenkung) ist dabei ¾ Ó ¾ ž › und die Auslenkung ist um die Phase Þ gegenüber
ߘà á9ãVâ ä àæå áÄç ä
Sie beschreibt die Antwort (Reaktion) des schwingfähigen Systems auf die äußere periodische
Kraft
:
31
31
Konventionell benutzt man hier
arg
arg
83
.
÷‰ê‡øúûýù ü ø û
ó îðï%ì ñ+ò ó ê ô öî õÑì ïò?õ
Æþ ê ÿ
èƒé!è®ê û
øù
Für die Phase ergibt sich mit é
êì èƒé!è ì ñ ê
ê
der äußeren Kraft verschoben. Explizit haben wir für die Amplitude wegen
mit
und
:
ü ø ù 6ù ÿ õõ
øûù ü øù ÿ :
ê ø ûù ø ü ø ù
è é!èsê ëíë îðï%ì ñ+ò ëë ê
"!
$#&%
è é!è
Im folgenden wollen wir das Verhalten von
und als Funktion der Antriebsfrequenz
kutieren. Die Ergebnisse sind in Abb. 9.4 grafisch zusammengefaßt.
ø
ø
Als Erstes betrachten wir den Fall kleiner , genauer ('
è é!è økê
ê ø ûù
*) und
ø ê
+
)
ø
dis-
. Hier findet man
ê
,) ,).-
d.h.
ø ê
ê
*) ,)
Die Auslenkung in diesem Grenzfall geschieht also ohne Phasenverschiebung mit der Kraft, d.h.
die Auslenkung ist in Phase“ mit der Kraft. Sie ist explizit durch
”
ê ø ûûù
10
/
32
ø
54
gegeben. Dies kann man sich z.B. klar machen, indem man in Gleichung den Limes 6' )
ausführt. Auf der linken Seite überlebt nur der Term, der von der elastischen Kraft kommt, die
also im Fall 7' ) das Verhalten bestimmt.
ø
ø
ø
Als nächstes untersuchen wir den Fall großer , d.h. ('
èƒé!è ø
('
ø
8
ê
,)9-
+
und
ø
('
8
8
. Hier ist
)9-
;:
d.h.
ø
7'
øúù ü
8
ê
=<
>4
In diesem
Fall spielen die elastische Kraft und die Reibung keine Rolle. Dies sieht man wieder
4 ?'
0 der
auf der10 linken Seite
Term dominiert, der ja von A @ stammt. Die
an , wo 5für
8
B!
Gleichung führt also auf / @ und somit
ê û
2
/
10
ø
ê ø ûù
2
"!
ø ü
0
< Die Phasenverschiebung nimmt also hier ihren maximal möglichen Wert < an.
84
j
|R|
p
1
w02
p/2
w
w0
w02-
w
w0
1
2 t2
Abbildung 9.4: Verlauf von Amplitude und Phasenverschiebung als Funktion der Antriebsfrequenz.
Schließlich bestimmen wir noch das Maximum von C DEC . Dazu müssen wir das Minimum des
Nenners finden. Mit der Abkürzung FHGJI$K haben wir LNM1FPOQG M1FSRTIUV K O$W YX Z und L\[]M^FPOQG
_
M1F`RaI V K OW
Y b Z,G,
c d
. Hieraus folgt, daß die Amplitude für
I res Gfe
I VK R
_&h g
K
maximal wird. Man spricht auch von Resonanz. Im Fall schwacher Dämpfung ist I Vj
K i
Yb Z und
K
V
somit Ilknmno$pHI und qrGts . Die Amplitude im Resonanzfall bei schwacher Dämpfung ist dann
Y
K
CuDEC res G vxw .
Explizit lautet die Lösung für die Auslenkung in diesem Fall
h
FyM{z|O;G
Y v
L V~}"€ M{I‚zyRHƒ _ O
I V
Y v VP}B€
MˆI‚z|O
v‰w L
„ G vxw L V~€|…‡† MˆI‚z;R s OG
und somit für die Geschwindigkeit FS
bei Resonanz Kraft und Geschwindigkeit in Phase sind !K
h
Bei schwacher Dämpfung M{I V i
I VK ‹
R I K
I
h
g
p
G
O
entwickeln wir DŠM{I$O in der Umgebung von I V :
MˆI V RaI$OŒM{I V W(I$O;p
I V
haŽ
_
I V MˆI V RaI$O
Mit diesen Näherungen ergibt sich für die Responsefunktion:
DŠM{I$O;G
. Wir sehen also, daß
g
v
I V K R‹I K W Y
p
85
g
_ g ’
I V ‘ I V RaI“W
K
Y
bzw. ihren Betrag und ihr Argument
”u•E” –˜—
™
šœ›
ª+«¬­
®
™
–
–£
›‹¡a›
¢
Ÿž ™
¤
¥>¦§©¨
¯&° ›  ¡a› ¢²±
Der Betrag (bzw. sein Quadrat) hat die für Resonanzen
typische Form einer Lorentzkurve (siehe
™
—
N
–
£
~
µ
–
Abb. 9.5)
³
^´
¤
¢
´
±
¦
heißt Halbwertsbreite, da es die Breite der Resonanzkurve beim halben Maximalwert angibt
(siehe Abb. 9.5).
2
|R|
2
max
|R|
1
2
max
/2|R|
1/t
w
w0
Abbildung 9.5: Lorentzkurve
Bemerkung. Das hier diskutierte Resonanzverhalten eines schwingungsfähigen Systems tritt in
vielen Bereichen der Physik auf, z.B. in der Atomphysik, Molekülphysik, Kernphysik, Festkörperphysik usw.
Energie und Leistung:
Im folgenden wollen wir uns die Energiebilanz der getriebenen Schwingung genauer ansehen.
Auf Grund der Reibung geht mechanische Energie verloren. Wenn ein Schwinger von außen
angeregt wird, so nimmt er Energie auf (Energieabsorption), die von der äußeren Energiequelle
geliefert wird.
¶
–
—*¹‹ºB»¼
—Ÿ¾²¹
£ ¶
Die Newton-Gleichung lautet:
¶H· £
¸
°
¸
›

´
›‚½
86
½
¢
±
Nach Multiplikation mit ¿PÀ{Á|Â ergibt sich hieraus
Ã
Ã
ÁÅÄ|Æ Ç
¿ÉÈlÊ
ÌBÈ Í È+ÎÊ
Æ ÇjË
¿ÐÈ$Ñ*ÒÓÀ1Á|¿PÀ{Á|Â;Ñ,ÔEÀ{Á|Â
ÆÏ
wobei wir die momentane Leistung Ô`À1Á|Â eingeführt haben.
Bei periodischen Systemen ist es zweckmässig, die über eine Periode Õ gemittelte Leistung zu
betrachten, wobei Ñ Èn× Ö und deshalb Ø"فÚxÀ Á©Ê
ÕÛÂÑ,ØBÙÚ Á .
Ë
Ë
Ë
Ë
Definition 9.4 (Mittelwert über eine Periode).
Der Mittelwert über eine Periode Õ einer periodischen Funktion ÜlÀ1Á|Â ist definiert durch
×
ÜÞÝßÑ
à
Õ á Ì
=
ÜNÀ{Á|Â
Ã
Áâ
Um mit dieser Definition die mittlere Leistung zu bestimmen, ist zunächst folgende Beobachtung
nützlich:
×
á Ì
Ã
Ã
Á ã ÄÆ Ç
¿ÐÈNÊ
ç
ä"å Æ Ç Ë
ÌÈ Í È Î
æ
Ã
Á;Ñ=è mech À{ÕÛÂlé(è mech À^ê²Â‚Ñ,ê9ë
mech
wobei wir benutzt haben, daß nach der Zeit Õ die (periodischen) Variablen ¿ und Í , und somit
auch è mech À1Á| wieder den gleichen Wert wie zur Zeit Á‚Ñ,ê annehmen. Somit erhalten wir für die
mittlere Leistung

ÒÓÀ1Á|Â5¿\À{Á|Â;Ñ
ÆÏ
¿ È À1Á|Ââ
Hierbei beachte man, daß i.a. ¿ È À1Á|ÂîíÑ ¿\À{Á|Â È ist!
Die absorbierte Energie wird durch die Dämpfung verbraucht (Wärmeverlust).
Da ¿ŠÑðÍ ï ÑñéÅòuóEòuÜ Ì ÚôöõÀ Áyé÷ folgt explizit:
Ë
Ë
Ô
×
Ñ
à
Õ á Ì
=
Ñ
Ç&Æ Ï
Ü ÌÈ
ÆÏ
Ë
òuóEò ÈÜ\Ì È
Ë
È~Úôöõ9ȉÀ
Ë
Álé÷NÂ
Ã
Á
È òuóEò È â
Bei der Rechnung haben wir die Identität
Ú|ô‡õ È À
Ë
ÁNé(÷‚Ñ
Ø"ÙÚ È À
Ë
Áyé÷Â;Ñà Ú|ô‡õ È À Álé7÷ÂÊØBÙÚ È À Álé÷NÂ5ùÑúà
Ç ø
Ë
Ë
Ç
benutzt, von der man sich selbst durch Nachrechnen überzeuge.
87
folgt:
Im !
Da Im ûŠü{ý$þ;ÿ
ÿ
û
ý
ÿ
ûŠü{ý$þ
d.h. Im ûŠü{ý$þ bestimmt die Leistung!
Man kann zeigen, daß die Energieaufnahme bei Resonanz maximal wird, d. h.
ÿ
ý(ÿ
für
max
"#
ý res ÿTý
9.3 Fourierreihen und Fourierintegrale
Im folgenden wollen wir uns ausführlicher mit periodischen Vorgängen und ihrer mathematischen Beschreibung befassen. Die Hauptmotivation dabei ist die Tatsache, daß periodische
Vorgänge wie Schwingungen und Wellen in vielen Bereichen der Physik eine wichtige Rolle
spielen.
$ &%
' ()' (+* ), wenn für alle % gilt:
$ &%-,.' /$ 0% !#
Definition 9.5 (Periodische Funktionen).
Die lü |þ ist heißt periodisch mit der Periode
lü
$ 0%
Der kleinste Wert von
von Nü |þ .
Ûþ;ÿ
Nü |þ
')(+* , der dies erfüllt, heißt kleinste Periode oder einfach nur die Periode
Beispiel 9.2 (Periodische Funktionen).
13254 6% , 7981 6% haben die Periode ' ; : (bzw. Frequenz ;< : ).
b) 13254 &= 6% , 7>81 ?= 6% haben für =@(BA die Periode 9;:C D' C , sind aber auch periodisch mit
' ; : .
c) Die konstante Funktion $ &% FE hat jede positive Zahl als Periode.
Im folgenden werden wir zur Vereinfachung GIH 6% als Variable wählen, d.h. wir betrachten nur
KJ der Funktionen 13254LG , 7981MG . Am Ende des Abschnittes werden wir
die normierte Periode '
dann der Vollständigkeit halber die allgemeinen Formeln für beliebige Perioden ' angeben.
a)
$ý
ü Pý |þ
ÿ
9ý
ÿ
ý(ÿ
xü ~ý |þ
ÿ
Nü |þ‚ÿ
ßÿTý
=ÿ
N"
Definition 9.6 (Fourierreihen).
Eine Reihe der Form
P, O N C 7>81T=WGX,ZY C 13254[=WG]\
CRQTSVU
KJ
bezeichnet man als Fourierreihe. Man beachte, daß diese Reihe
88
-periodisch ist.
Im folgenden wollen wir die Frage untersuchen, wann sich eine periodische Funktion als Fourierreihe darstellen läßt.
^_?`ba
cdLegfheWi
a) ^_?`ba ist jKe -periodisch, d.h. ^k_?`XlmjneVago/^k_&`ba
b) ^_?`ba und ^bpq_?`ba stückweise stetig in cdLegfhe-i
Durch die Bedingung a) ist ^k_?`ba für alle reellen Zahlen ` eindeutig definiert. Bedingung b) bedeutet, daß ^_?`ba und ^ p _&`ba im Intervall cdLegfhe-i bis auf endlich viele Punkte stetig sind.
Sind die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, dann gilt: ^k_?`ba ist darstellbar als Fourierreihe, d.h.
^k_&`barotsvj u l xyw zT{ c s yg|>}~M `€l‚ yg~hƒ…„[ `]i
Satz 9.1 (Fourierreihendarstellung periodischer Funktionen).
Die Funktion
sei im Intervall
definiert. Weiterhin sollen die sog. Dirichlet-Bedingungen
erfüllt sein:
‡‰ˆ
Š‡‰ˆ ˆ k^ _?`ba |9}~M `€‹Œ`
Š ˆ k^ _?`ba ~3ƒ5„[ `€‹v`
mit den Koeffizienten (Fourier-Koeffizienten)
s y o e†
 y o e†
_  Žo f † f>ha!f
_  o † f‘jvf ha!
Das heißt: Die Fourierreihe konvergiert gegen den Wert
^ stetig bei ` ist
sŒj u l xyRw zT{ c s yg|9}~M `’lZ yg~hƒ…„[ `]i “ ” ^•>–˜_?—!`b™ a!u›f š ™Mœ •>–˜— Š u›š f wenn
wenn ^ unstetig bei ` ist.
Dabei bezeichnen ^_?`blža und ^k_&`Ÿd a den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert (siehe Abb. 9.6).
¡]¢…£¥¤§¦>¨
¡]¢£[©’¦9¨
`
Abbildung 9.6: Unstetige Funktion
Bemerkungen:
89
1. Die Dirichlet-Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. Für die physikalische
Praxis reicht dies i.a. aus.
ª¬«b­R®¯«M­W°²±K³W´ gewählt werden, z. B. auch ª¶µ®±K³-´ .
3. Das Intervall ª¸·¹³g®3³-´ ist aber zweckmäßig, da symmetrisch um µ . Denn man sieht sofort:
ºž»½¼ µ® wenn ¾k¿?«bÀ ¼ · ¾k¿Á·Â«bÀ (ungerade Funktion)
à »X¼ µ® wenn ¾k¿?«bÀ ¼ ¾¿3·¹«bÀ (gerade Funktion).
2. Als Periodenintervall kann jedes Intervall
Ä>ÅÆMÇÈ«
ÆhɅÊ[ÇW«
ËÌ
Das Interessante an obigem Satz ist ist, daß sich jede periodische Funktion (mit Dirichlet-Bedingungen)
durch eine Reihe mit
und
darstellen läßt (Beweis:
Mathematik).
ÍnÄ9ÅÆMÇW«Ÿ®¯Æ3É5Ê[Çȫο&Ç ¼ µ®Ï®Ð>ÐЯÀÑ
Definition 9.7 (vollständiges Funktionensystem).
Ein solches Funktionensystem, d. h. die Menge
(zur Darstellung periodischer Funktionen).
Ä>ÅÆMÇW«
heißt vollständig
Æ3É5Ê[ÇW«
Man kann auch die Taylorentwicklung analytischer Funktionen in diesem Sinne verstehen. Statt
nach den (vollständigen) periodischen Funktionen
und
zu entwickeln, entwickelt
man hier nach den Funktion .
«»
ÒRӏÔ
Vielfach ist eine komplexe Darstellung der Fourierreihe zweckmäßig und einfacher. Mit den
bekannten Beziehungen
>» Õ ¼ >Ä ÅÆMÒ ÇÈÔ «€ÖmמÒÙØÆ3É5Ô Ê[ÇW«Ÿ®
Ò Ô ÒÙØ Ô
»
>
Õ
9
»
Õ
Ä9ÅÆMÇW« ¼ ±Ï ¿ ° À!® ÆhɅÊLÇW« ¼ ±ÙÏ × ¿ »>Õ · »9Õ À!®
ÒÔ
»9Õ ¿?Ç ¼ · ڎ®ÐÐ>Ð>®‘Ú+ÀÑ vollständig ist. Es gilt:
sieht man sofort ein, daß auch Í
ÒÔ
Ü
¾k¿&«bÀ ¼ »RÝ Û Ø » »9Õ
ÛßÞ ÒÙØ Ô
mit
»½¼ Ï Ø ¾k¿&«bÀ »9Õã «ŸÐ
±K³áàZâ
Þ
â
90
Die reelle und die komplexe Darstellung lassen sich leicht ineinander umrechnen:
woraus folgt
äå?æbçéè ë ê ì ñ>ò ì>ó
ìRíÈî êðï
ë ê ìñ>ò ì>ó îŒìñ î ò ì>ó>ø
è
ìRíTöR÷ ï õZï
‘
ï
k
ô
õ
ë ê ì å?ù9úûMüWæ ûhþ…ÿ[üWæbç îŒì å?ù>úûMüWæ ûhþ5ÿLüÈæbç ø
è
ìRíTö ÷ ï
‘
ï
k
ô
õ
ë ê å ì îŒì çõZù9úý ûMüWæ åõ‰ì ï îŒì çû3þ5ÿ[üWæbý ç ø
è
ï‘ôkõ ìRíTö ÷ ï õ‰ï
õZý ï ï
ì è ì îŒì ì è
ï õZï
>ì ó ï!ô ô
Die Funktionen ñ ò haben eine sehr wichtige Eigenschaft:
üè
æ ñ>ò ìÙî ¸ó è ñ å&òü ìÙî ߸ó ç è
î î ü è æ $ ñ>ò ìÙ%'î & (ó è ý
î íTö
è
å ì îŒì ç
ýï ï
ñ ò ìKî å? ü!"ñ ßî òç ìÙî è#
ý
Dieses Ergebnis läßt sich mit Hilfe des Kronecker-Symbols kompakt zusammenfassen:
Man sagt: Die Funktion
äkå&æbç
å&æbç
ñ ò ì9ó
ìÙî¸ó æ è*) ì+ î ñ>ò
stehen orthogonal aufeinander.
÷ - ø
.
/
Definition 9.8 (orthogonale Funktionen).
und
sind orthogonal in
, wenn
,
äkå&æbç ,10 å&æbç æ è*#
>
ì
ó
Vó für ü è in ø orthogonal sind, denn
ñ
ñ
ò
ò
Die
obige
Rechnung
zeigt,
daß
und
2 î ñ ò ì>ó å ñ ò Vó ç 0 æ è 2 î ñ ò ì9ó ñ î ò Vó æ è 2 î ñ 3ò ìKî ¸ó æ è4# . ÷
Wir wollen nun die Fourierdarstellung beweisen. Genauer werden wir zeigen, daß unter der Anäkå&æbç als eine Fourierreihe schreiben läßt, die Entwicklungskoeffinahme, daß sich die Funktion
91
zienten gerade die in dem obigen Satz behauptete Form haben:
5
6 798; :
L NM
5
;FHGAI J 6 798:
F O IQS ;FTGUI
O
;M
OQP ; MR
:<>=?A@B=CED
J 65 7 N :K<= O 8 : FV O ;D GWXI D
OQP ; M R Y ; Z'[
\
^
P
]
K
:
D
>
<
=
M
:`_Ba-b c
N
J
J
e
O
d
g
O
f
G R Gih
OQP ; M R
Dabei haben wir im ersten Schritt ausgenutzt, daß sich
als Fourierreihe schreiben läßt.
Beim Übergang zur zweiten Zeilen wurden die Reihenfolge von Integration und Reihenbildung
vertauscht32 .
?@B=C
kml1n 67po , die wir uns 6q7
J
Beispiel 9.3. Wir betrachten die Funktion
in
33
ganz fortgesetzt denken (siehe Abb. 9.7) . Der Graph von
r
sJ t lvu O J
R
-periodisch auf
ähnelt dann einem Sägezahn.
5 ] ;F O I J ?@j=C ;F O I = ]
5 ?@j=C ] ;F O I J 5 J z
q6 7 8 w :
y 67{z s}|| w: ~ 67{z s Y 8 w : Z'[ \ y z s s
=xD ||
x
=
D
>
<
=
D P w <>=
] 7
]
5
]
J 7 : J
s J lvu w J 6q7 8 :
|| w
w
R
=
||
€
=
<
=
Also haben wir folgende Darstellung von als Fourierreihe:
M 6
z
N
N
?
O
7
7
J
F I J y
s n
…
s
‡
„
†
ˆ
|| ]
~ OP ‚ w s
OQPxƒ
D
@ =C
= || :
s
s
y
wobei wir bei der letzten Umformung die Terme zu und
Man
67 (d. h. ist einhaben.
J lŠ‰Œ‹> zusammengefaßt
beachte, daß die Reihe an den Unstetigkeitspunkten
Vielfaches
VI‘ w W3 ] Ž VI’; w W J w  ] ] J 7 interpoliert!
67
von ) tatsächlich den Wert Ž
: =
=
Bemerkung:
F O I , so liefert dies
Verwendet man statt der vollen Fourierreihe nur endlich viele Funktionen
-periodisch
D
eine Approximation der periodischen Funktion. Diese wird umso schlechter, je schneller sich die
Funktion bei ändert. Insbesondere an Unstetigkeiten tritt das sogenannte Gibbs-Phänomen auf.
32
33
in
=
“
”m•{–^—˜–e™
Aus den Dirichlet-Bedingungen kann man folgern, daß dies erlaubt ist.
Natürlich ist auch periodisch mit Periodizitätsintervall
. Die folgenden Rechnungen sind aber einfacher
.
” šQ—œ›–e™
92
¢£j¤¥

žŸ
¤
¡Ÿ
Abbildung 9.7: Sägezahn
Satz 9.2 (Parseval-Identität).
¦
Beweis:
°
žŸ9§© ¨ «¢ ªQ£B¤¥­¬¤…® ±’² ¯ ± © ±
© ¯³ ³
¨
¦
¦
°
žŸ9§© ¨ ¢ªQ£B¤¥­¬>¤ ® žŸ9§© ¨ ¢£j¦ ¤¥µ´ ±’² ¯ ±e¶'· ±'¸Q¹ ¬ ¤
© ¯9³
¨
® ° ¯ ¨ ± žŸ §¨ ¢£j¤¥ ¶ · ±`¸ ¬¤ ® ° ¯ ± © ±
±Q² © º © »'¼
½ ±Q² © ¯!³
¯ ³ ³
¨ ¾À¿QÁ
Bemerkung: Man kann die Parseval-Identität auch für die reelle Darstellung der Fourierreihe
angeben:
°¯
±Q² ©
¦
ª Ã ° ¯ £ ªAÃÇ ª ¥
°
A
ª
Ã
®
¯
®
Æ
Å
ž
± ©±
± ©± ž
ű ±
Q± ²xÄ
Q± ²xÄ
Â
¯!³ ³
³Â
³ ³
¢£j¤¥È®¤ ª É ËʞŸ Ì
žŸ
Beispiel 9.4. Wir betrachten nun die Funktion
in
, die wir wieder -periodisch
auf ganz fortsetzen. Dies ist also gerade das Quadrat der in Beispiel 9.3 betrachten Funktion.
Í
ή Ï Ñ Ð ± ®
Î ® ԝ Ð ³ ®
³‘Â
¦
ª €¤ ª © '± ¸ ¬>¤Ò® ž à žqŸ{Ó Ê
žŸ9§ ¨ ¶ ·
Ϊ Î
¡Ÿ ª
ÕÆÖ Â
93
Somit ergibt sich die Fourierreihe
Ø á
Þ
ß à
Ù٠؜Ú
Û Ü¡Ý ’â çå ã«æ’qéèä êìëîíÈï ñ Ý{ð
Ø á à
Þ ß à
Û Ü¡Ý â’ãx÷ùø ñ Ü Øûú'üeý
Ø , also
Speziell gilt: Bei ×
ist ×
ü
Û
Ýï Ø á Û ï Ý
Ø Þ ß à ñØ
Ýï Û Ü¡Ý â’ãx÷ Ü
׀ØÙÙ
ß ñ Ø òôó'õ â`ö
ï
ñ«×þ ñ ý‡ÿ ñ«×
ÜgÝ
-periodisch
á
’â à ãx÷ ñ Ø Û Ý
Ø
Man sieht, daß man mit Hilfe der Fourierdarstellung elegant komplizierte Reihen bestimmen
kann.
Dieses Ergebnis folgt auch mit Hilfe der Parseval-Identität und der Resultate aus Beispiel 9.3.
gilt:
Mit -periodisch
×
× Ù œØ Ú
Û Ù
Ú Ø × ×
äÚ
Û
ïÝ
Ú Ø × × á
à
äÚ
Û â’ã«ä
ïÝ
Andererseits gilt nach Parseval
Ú €× Ø
ä Ú Ù٠؜Ú
×
-periodisch
ÛÆÜ¡Ý
Ø
Þ
‘Ø ß á à â äâ Ø ß
â’xã ÷
Û
Û Ý
ï
Ý
à
wobei â
von
â õ ï die in Beispiel 9.3 bestimmten Fourierkoeffizienten
÷
Û
Ú
Durch Umformung erhalten wir wieder âQãx÷ â
.
à
Û
â äâ
á
þ
Zum Abschluß wollen wir noch die Fourierdarstellung einer beliebigen
on ("! ) angeben.
-periodisch
þ
Satz 9.3 (Fourierreihendarstellung
periodischer Funktionen).
Die Funktion #
sei
periodisch und erfülle die Dirichlet-Bedingungen im Intervall
Dann hat folgende Fourierdarstellung:
×
×
á
ß âQà xã ÷ ø â `ú üeý
Ý
ï
ï á à â ó'õ æ
Û â’ã«ä
à
Û
(
(
,+.- 0/
1
94
ñ«×
ß â ý‡ÿ
ïÝ
)
*
ñ×
sind.
periodischen Funkti-
þ
×
Qâ à ãx÷ ñ Ø
× ï × Ù ØœÚ
Û Ù
$
þ Ø Ø
&%
%
'
.
mit den Fourier-Koeffizienten
K
243
X 3
]^3
5
6MLON
7
6
7
9
8:;=<
>
6
798:;=<
>
5
U
798
>
6[LON
7
:;=<@?ACBD`_
7
A
Q
B
A
B
THWVWVW
6
D
T
T
D
5jilkmTVWHWVWHT^k
N
5
5\UJT
N
B
:;=<@?ACBDFI.YZ
>badc,e`h f0g
:;=<
Q
Wie man sieht, geht dies für den Spezialfall
B
P
5SFTVUJTVWHWVW
N
B
K
:;=<@?ACBDFEHGJI
5
PRQ
A
W
D
in die bekannten Formeln über.
6[L
9.4 Fourier-Transformation
Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, daß sich periodische Funktionen als Fourierreihen darstellen lassen. Was passiert aber für Funktionen, die gar nicht periodisch sind ? Dieser Fall ent7on
k
spricht gerade dem Grenzübergang
.
3
7
5
Wir betrachten zunächst die Funktion
ist.
3 Nqsr
r , die periodisch mit Periode
7vn
7xn
<=u
k
3w5
k
Wenn
liegen die Punkte q
immer dichter.
Der Limes
entspricht dann
:
<=u I
EHGp
EtGJIA
D
dem Übergang von einer Fourier-Summe
zu
einem
Fourier-Integral.
Dies
wollen
wir im folgen:
den genauer betrachten.
Satz 9.4 (Fourier-Transformation).
Die Funktion
erfülle folgende Voraussetzungen:
1)
2)
genügt
?ACBD den Dirichlet-Bedingungen im Intervall z
?#> Ay
}
~ BD
€<
~€
Q
k
i{kmT^k"|
,
.
Unter diesen?Voraussetzungen
gilt:
ACBD
Bƒ‚
U
5
„
aˆ‡[‰
~
8
q
>
6[L
~†…
?AyBD
A
mit der sog. Fourier-Transformierten
q
5
…
U
„
>
6[L
A
D`_
>baˆ‡[‰
~
8
D
~
Q q
?AyBD_
Q
B
Man beachte, daß die oben genannten Voraussetzungen hinreichend, aber nicht notwendig sind.
In der Praxis sind sie aber meist erfüllt.
Bemerkung.
…
ist Fourier-Transformierte von
und
?
95
?
ist Fouriertransformierte von
…
!
Bemerkung. Wir haben hier eine symmetrische Aufteilung der Koeffizienten (d. h.
Integral gewählt. Häufig werden andere Konventionen verwendet, d. h.
ŽC‘“’
”•
–
Ž#y‘Ÿ’
oder
und
•†—J˜ƒ™V™V™
”
•
›
œ 
[
–

š
‘’
˜
und
›
œ[

š
”ž•
•†—
•
–
˜
• —4˜ƒ™V™H™
™V™V™

•†—
™V™V™
Die entsprechenden Fourier-Transformierten unterscheiden sich um einen Faktor ( ‹
Dies muß man z. B. beim Nachschlagen in Tabellen immer beachten.
Im folgenden zeigen wir, wie sich die Fourier-Transformation aus dem Grenzfall
Fourier-Reihe
¨ •
Ž#y‘Ÿ’
©J­H®°¯M±t²
©ª
’
©
–
”\µ ¶
›
¤
«
ŽC‘s’mŽC¸·
–
Žy‘
—J˜
¨ •
Žy‘Ÿ’
¤
œ[
©Vª
©
–
•
und
’¸¿
§ Œ=
¾
³
der
´
•
”
–
’
§
˜
’
­H®ˆ¯ ± ² º
œM
£
§
).
so, daß ©
konstant gehalten
konstant und ˜ beim Grenzübergang
geht
˜
¥
º
•
‘

š
œ[
£

š
¨ •
›
˜
¥
¤¦¥
œM

®ˆ¯ ± ²
«
›
bzw. £
—
¤
ergibt, wobei
.
¤¹¥
Wir machen nun den Grenzübergang
’
’
©V»
©
wird. Dann ist auch º ©
Š½¼
º
¥
. Für die Fourierreihe
folgt:˜
˜
˜
˜
–
­
µ¶
‘
¤
˜
•¬«
Š Œ=
œMO³
’
©
mit
) vor dem

–
‘¡’¢”
‹ Š Œ=
©Vª
–
‘
©
­H®°¯ ± ² º
˜
•
˜
­H®ˆ¯[²
˜
—J˜
wobei wir definiert haben

š
©
‘À¿ˆ’
¤
£
˜
’
©
œ[
”\µ ¶
›
£
œ[
–
Žy‘
–
­
¼
•
¥
š
—
µ¶
«
Á, ©Ã

®ˆ¯ ± ²

‘
˜
™
Damit haben wir gezeigt, daß sich die Fourier-Transformierte als Grenzfall der Fourierreihe einer
Funktion mit unendlicher Periode ergibt.
ŽC‘
Bemerkung. In der
Physik
interessieren
uns häufig nur reelle Funktionen
‘ÄŒ

‘
š
Dann gilt: š
¼
Beweis:
˜
˜
š
‘ Ä

’
›
Æ
œ[
£
˜
’
›
£
”•
–
•
”
œ[
–
ŽC‘
­ ®ˆ¯[²MÇ
›
’
×’
­ ®ˆ¯[²
—
š
”•
œ[
£
•
Žy‘
•
Ä

‘
¼
˜
96
–
Ž
•
È
Ä y‘
É Ê
H
ÌHÍ
Ë
È
²ÏÎÐ
­
–
ˆ® ¯[²MÑ
ÉHÊ
Ë
ÒÔÓ°ÕÏÖ
.
Ä
—

Definition 9.9 (Delta-Funktion).
Wir definieren die sog. Delta-Funktion durch folgende Eigenschaften:
ØÙCÚwÛÜÚÝÏÞsßà
und
für alle
ÙCÚÞ`ØéÙyÚêÛ{ÚÝÏÞëbÚìß
äå
æ
ÙCÚÞ
åèç
wobei die zweite Eigenschaft für alle Funktionen
ÚÜo
áß
ÚâÝã
ÙyÚÝ^Þ
ç
gelten soll, die stetig bei
ÚíÝ
sind.
Ø
keine Funktion, sondern
eine sogenannte
Die ist eine heuristische Definition. Eigentlich istç
ÙCÚíÝïÞ
ÚâÝ
Distribution ( î Mathematik):ØéÙyDer
Funktion
wird
ihr
Funktionswert
an
der
Stelle
Ú¬ÛðÚÝÏÞ
Ú@Ý
zugeordnet. Als Funktion ist
hochgradig singulär, da sie nur an einem Punkt
von
ØÙCÚèÛmÚíÝ^Þ
ç
ç
Null
verschieden ist, aber trotzdem ein endliches Integral besitzt.
kann deshalb in
ÚÝ
keinen endlichen Wert annehmen, sondern wird dort unendlich. In Abb. 9.8 ist angedeutet,
ØéÙyÚRÛoÚâÝÏÞ
wie man sich
vorzustellen hat. Man kann die Delta-Funktion als das
kontinierliche
ØñÏò óßmØ^ñ
óÔò Ý
æ
Analogon des Kronecker-Deltas ansehen, insbesondere wenn man beachtet das
.
ÚÝ
Abbildung 9.8: Graph“ von
”
ØÙCÚôÛ{ÚÝ^Þ
Die Delta-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Physik, denn sie hat viele Anwendungen.
Ein Beispiel hierfür liefern
die Punktmassen, von denen Ú@wir
sehr oft gesprochen haben.
ÙyÚÞ
Ý
Für die Massendichte õ
einer Punktmasse ö am Ort gilt:
õ
aber
ÙCÚÞ÷ß
ß
à
ö
ä
für
æ
õ
å
ÚÜo
áß
ÚÝã
ÙCÚÞëbÚOø
å
Somit sieht man, daß die Massendichte einer Punktmasse durch
õ
ß
ö
ØéÙyÚôÛ{ÚÝ^Þ
gegeben ist. Mit Hilfe der Deltafunktion kann man also im Prinzip diskrete und kontinuierliche
Systeme in einheitlicher Weise beschreiben.
97
Das Fourier-Integral führt auf eine Darstellung“ der ù -Funktion:
”
!#" %$
ú#ûyüýŸþ
ÿ
þ
ÿ
û
úû
ý
ýþmÿ
ÿ
ÿ
úû
ý
þ¢úûyüý
Hieraus liest man das wichtige Ergebnis
&'& ÿ
þ
)( ûCü
ù
ý
ab. Die doppelte Fourier-Transformation führt also auf eine ù -Funktions-Integration.
Beispiel 9.5.
Im folgenden wollen wir einige Beispiele betrachten, bei denen die Deltafunktion auftritt.
* +( , -, .
/( 0, úûCü
ý @û
ý
1. Ein Integral der Form
bezeichnet man als Faltungsintegral bzw. als
ú
Faltung der Funktionen und . Es gilt folgender Zusammenhang des Faltungsintegrals
ú
mit den Fouriertransformierten und von bzw. :
ÿ
úûCü
ý íû
,
ý
. 1
þmÿ
û
ý
û
ý
Dies kann man auch so formulieren: Die Fourier-Transformierte des Faltungsintegrals ist
das Produkt der Transformierten der gefalteten Funktionen:
ÿ
2( 0, Cÿ
ú#ûyü
ý íû
ý
. %$
þ
û
ý
û
ý
Der Beweis der ersten Aussage folgt durch Einsetzen der jeweiligen Fouriertransformierten
in das Faltungsintegral und anschließender Vertauschung der Integrationsreihenfolge:
ÿ
2( -, úûyü
ý @û
ý
þ
ÿ
þ
ÿ
þ
ÿ
þ
ÿ
354 4
35 4 & 6 . 7
. 4 ' 8%& 7 9 : >@?A ;< =
9
&
7
4 . 4 4 ( . &B $
ÿ
ÿ
û
û
ÿ
98
û
ý
û
ý
ÿ
û
ý
û
ý
ý
ý ÿ
û
ý
û
ý
ù
û
ý
Die zweite Aussage erhält man, indem mna die erste Fouriertransformiert:
J
Z\[ I]^_
J
[ ]^j_ Zk[ I]^_
C
C
D EGFI H F IH
DEGFI H FI H
H HLKNMPO/QSRUT-VWMPRXT-Y'R
Y` a D C E FH H Hcb/Md`5efThg/Md`5FeiT H Y[ `5]onpe^ j I1^9qi_ YO
I
r I v@wx st u
a
HlY1` e b2Mm` e Thg/Md` e T HlYO np^ j I1^9q
F IH
a HcY` e b/Md` e Thg/Md` e ThyzMd` e Q+`{T
a b/Md`{T|g2Mm`{T%}
2. Als zweites Beispiel wollen wir die Fouriertransformierte der Blockfunktion (siehe Abb. 9.9)
 C € € ‚
ƒ € € „‚
O
KNMPO~T!a
O
berechnen:
[ ]^_
[ ]^_
C
C
† DE FI H
† DE FI ‡
b/Md`{T…a † C DE Fˆ‡ HLKNMPO~T YO)a
‡ YO
‰‹ŠŒ ‘
D
a E |o Mm‘‘ ‡ `3O~T-Y'O E D |o ‚
‘‰
d
M
3
`
~
O
T
Md` T }
a
Ž
’
a
Ž
` wir ausgenutzt,` daß das Integral über den ImaBeim Übergang zur zweiten Zeile haben
ginärteil o
verschwindet, da der Sinus ungerade ist. Abb. 9.10 zeigt die Form der
Mm`3O~T
KNMPO~T
Q
‚
‚
Abbildung 9.9: Blockfunktion
99
O
Peak
—™˜ošN›
œž š
”•
“@• ” š
–@• ”
Wiggle
Abbildung 9.10: Fouriertransformierte der Blockfunktion
Ÿ¡ ‹¢
Fouriertransformierten. Das Maximum bei
bezeichnet man manchmal auch mit dem
englischen Ausdruck Peak und die kleineren Maxima im oszillierenden Teil als Wiggle.
Ÿ¡ ‹¢
£ ¶¸·z ¹•
Speziell für
haben wir:
£
£
¥
¤ ¥ ¦G§© ¨
¦ §© ¨
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und somit
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¯±o²º ® º komplizierter Reihen hilfreich sein kann,
Ähnlich wie die Fourierreihe bei der Berechnung
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hilft die Fouriertransformation manchmal bei der Berechnung von Integralen.
¼ Ÿ angeben. Die Funktionenfolge
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konvergiert nämlichÂLfür
¢ gegen die Deltafunktion ¼ Ÿ . Dies kann man zeigen, indem man
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¢ die beiden definierenden Eigenschaften
verifiziert, daß für
« ­ der Deltafunktion erfüllt sind.
Zum Abschluß wollen wir noch eine weitere Darstellung von
mit
¼%½ ½
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100