5. ¨Ubungsblatt zur Funktionalanalysis

3.11.2009
Institut für Analysis
Universität Hannover
Prof. Dr. B. Krötz, H. Gimperlein
5. Übungsblatt zur Funktionalanalysis
Aufgabe 25
Schurtest für Integraloperatoren
Es
den durch f 7→
R seien (X, µ), (Y, ν) Maßräume und k : X × Y → C meßbar. Wir betrachten
k(·, y) f (y) dν(y) definierten Integraloperator K als Abbildung zwischen Lp –Räumen.
Y
a) Ist supx,y |k(x, y)| < ∞, so ist K stetig von L1 (Y, ν) nach L∞ (X, µ).
b) Ist
|k(x, y)| dµ(x)dν(y) < ∞, so ist K stetig von L∞ (Y, ν) nach L1 (X, µ).
R
X×Y
c) Ist supx
R
d) Ist supy
R
Y
X
e) Sind supx
L2 (X, µ).
|k(x, y)| dν(y) < ∞, so ist K stetig von L∞ (Y, ν) nach L∞ (X, µ).
|k(x, y)| dµ(x) < ∞, so ist K stetig von L1 (Y, ν) nach L1 (X, µ).
R
Y
|k(x, y)| dν(y) < ∞ und supy
R
X
|k(x, y)| dµ(x) < ∞, so ist K stetig von L2 (Y, ν) nach
Aufgabe 26
Integralgleichungen
Es seien [a, b] ⊂ R, g : [a, b] → R und k : [a, b]2 → R stetig. Zeigen Sie, dass die Fredholmsche Integralgleichung
Z b
f (x) = g(x) +
k(x, y) f (y) dy
a
Rb
im Fall maxx∈[a,b] a |k(x, y)| dy < 1 genau eine auf [a, b] stetige Lösung besitzt. Berechnen Sie diese
Lösung im Fall [a, b] = [0, 1], k(x, y) = 2xy, g(x) = sin(πx).
Hinweis: In einem Banachraum
P∞können Sie Gleichungen der Gestalt (Id − K)f = g, kKk < 1, mit der
Neumannreihe (Id − K)−1 = n=0 Kn lösen.
Aufgabe 27
Bairescher Kategoriensatz
Zeigen Sie, dass es keine Funktion f : R → R gibt, die genau in den rationalen Zahlen stetig ist.
Hinweis: Ist f eine solche Funktion, so gilt R =
S
n∈N {x
∈ R : ∀δ > 0 ∃y ∈ Bδ (x) : |f (x)−f (y)| ≥
1
n
}∪Q.
Aufgabe 28
Bidualraum
Es sei X ein normierter Raum, X 0 sein Dualraum und X 00 = (X 0 )0 . Zu gegebenem x ∈ X betrachten Sie
die Abbildung ix : X 0 → K, ix (x0 ) = x0 (x). Man beweise, dass i : X → X 00 , x 7→ ix , eine lineare Isometrie
definiert. Folgern Sie, dass jeder normierte Raum isometrisch isomorph zu einem dichten Unterraum eines
Banachraums ist.
Aufgabe 29
Divergenz der Fourierreihen stetiger Funktionen
Es sei C2π der Banachraum der 2π–periodischen stetigen Funktionen auf R mit der Maximumsnorm
kf k∞ = maxx∈[−π,π] |f (x)|. Die Fourierreihe s∞ (f, x) von f ∈ C2π ist die Entwicklung von f bezüglich
der Orthonormalbasis
1
1
1
√ , √ sin(kx), √ cos(kx) : k ∈ N>0
π
π
2π
von L2 (−π, π). Im Folgenden zeigen Sie, dass die Folge der (2n + 1)–ten Partialsummen,
sn (f, x) =
n X
1
1
1
+
f, √ cos(k·)
+ f, √ sin(k·)
,
f, √
π
π
2π L2 k=1
L2
L2
für f ∈ C2π i.A. nicht punktweise konvergiert. Dazu zeige man:
a) sn (f, x) =
1
π
Rπ
−π
f (x + y)
sin((n+ 12 )y)
2 sin( y2 )
dy.
b) sn (·, 0) ist ein stetiges lineares Funktional auf C2π und supn>0 ksn (·, 0)kL(C2π ,C) = ∞.
c) Es gibt ein f ∈ C2π , für das die Folge {sn (f, 0)}n∈N unbeschränkt ist.
Aufgabe 30
Orthogonalbasen von L2
a) Es sei I ⊂ R ein Intervall und eine fast überall von 0 verschiedene, integrierbare Funktion, die auf I
|f (x)| < Ce−δ|x| für ein δ > 0 erfüllt. Beweisen Sie, dass span{xn f : n ∈ N} dicht in L2 (I) ist.
n
Hinweis: Zu zeigen ist, dass g ∈ L2 (I) und
f, gi = 0 für alle n ∈ N g = 0 impliziert. Betrachten Sie
R hx
−ixy
hierzu die analytische Funktion F (x) := I e
f (y)g(y) dy.
2
b) Folgern Sie, dass die Hermiteschen Funktionen {Hn (x)e−x
eine Orthogonalbasis des L2 (R) bilden.
/2
2
2
: n ∈ N}, mit Hn (x) = (−1)n ex ∂xn e−x ,