0.1 Mathematisches 0.2 Elektrostatik

0.1. MATHEMATISCHES
0.1
1
Mathematisches
Es gilt
δ(f (x)) =
X
i
1
δ(x − xn )
|f 0 (xn )|
f (xn ) = 0 ∧ f 0 (xn ) 6= 0
Für Kugelkoordinaten gilt


sin θ cos φ


~r = R  sin θ sin φ 
cos θ
und
R sin θ~eφ =
R~eθ =
und
0.2
df~ =
~ f~ = 4π
Ed
Z
∂~r
∂φ
∂~r
∂θ
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
dudv
Elektrostatik
Z
~ = 4πρ
ρdV ⇐⇒ div E
und damit
∇2 φ = −4πρ
mit
E = −∇φ
Mit der allgemeinen Lösung
Z
φ(~x) =
ρ(x0 )
dV
|~x − ~x0 |
Weiterhin gilt für die Energie im elektrischen Feld
Z
W =
E2
dV
8π
2
Weiterhin gilt für die Oberflächenladung σ an einer Grenzfläche mit Normalenvektor ~n
~
~
~n · Eaus − Eein = 4πσ
~ aus das von der Grenzfläche weggehende Elektrische Feld ist.
wobei E
Für die Lösung (Nicht auf dem Zettel) der Laplacegleichung können wir jedoch auch ansetzen in kartesischen Koordinaten
∇2 φ =
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+ 2
∂x2 ∂y 2
∂z
und wählen
φ = X(x) · Y (y) · Z(z)
und damit
∂ 2X 1
∂ 2Y 1
∂ 2Z 1
+
+
=0
∂x2 X
∂y 2 Y
∂z 2 Z
Da die einzelnen Summanden zusammen null ergeben müssen, müssen sie konstanten sein.
Wähle
∂ 2X 1
= −α2
∂x2 X
∂ 2Y 1
= −β 2
∂y 2 Y
∂ 2Z 1
= α2 + β 2
∂z 2 Z
=⇒ X(x) = sin(αx) + cos(αx)
=⇒ Y (y) = sin(βy) + cos(βy)
=⇒ Z(z) = sinh(
p
p
α2 + β 2 z) + cosh( α2 + β 2 z)
(Ab hier wieder) Weiterhin gilt
Z
1
sin(ωx) dx =
2ω
2
1
ωx − cos(ωx) sin(ωx)
2
Für die zugeordneteten Legendrepolynome gilt im Bereich x ∈ [−1, 1]
Pl (x) =
und
1 dl 2
(x − 1)l
2l l! dxl
Z1
Pl Pq dx =
−1
2
δlq
2l + 1
0.2. ELEKTROSTATIK
so vor allem
3
Z1
Z1
Pl · 1 dx =
Pl dx =
−1
Z1
−1
Pl P0 dx = 2δl0
−1
Daraus folgt
f (x) =
X
n
2n + 1
An Pn (x) =⇒ An =
2
Z1
Pn (x)f (x) dx
−1
Für die allgemeinen Legendre Polynome gilt
m
Plm (x) = (−1)m (1 − x2 ) 2
und
Pl−m (x) = (−1)m
dm
Pl (x)
dxm
(l − m)! m
P (x)
(l + m)! l
auch die sind orthogonal mit
Z1
2
Plm (x)Plm
(x) dx =
2
2 (l + m)!
δll δmm1
2l + 1 (l − m)! 1
−1
Damit können wir die Kugelfächenfunktionen definieren als
s
Yl,m (θ, φ) =
2l + 1 (l − m)! m
P (cos θ) exp(imφ)
4π (l + m)! l
und
∗
Yl,−m = (−1)m Yl,m
Orthogonal mit
Z2π Zπ
Yl,m Yl0 ,m0 dθdφ = δll0 δmm0
0
0
Haben wir eine lokalisierte Ladungsverteilung ρ = 0 ⇐⇒ |x| > R und betrachten wir das
Potential für |x| > R in Kugelkoordinaten, so gilt
φ(~x) =
∞ X
l
X
l=0
Ylm (θ, ϕ)
4π
qlm
2l + 1
rl+1
m=−l
4
wobei qlm die Multipole bezeichnet mit
Z
qlm =
0.3
∗
(θ0 , ϕ0 )ρ(r0 , θ0 , ϕ0 ) d3 x0
r0l Ylm
Magnetostatik
mit Ampere gilt
~
~ = 1 I dl × ~x
dB
c |~x|3
~ 2 gilt
Für die Kraft bei einer anwesenden magnetischen Induktion B
I
~2
dF~ = d~l × B
c
Allgemein gilt für die Kraft
1
F~ =
c
Z
~
~j(x) × B(x)
d3 x
~ =1
N
c
Z
~
~
~x × j × B d3 x
und das Gesamtdrehmoment
Amperesches Durchflutungsgesetz
I
~ d~l = 4π IS = 4π
B
c
c
Z
~
~jdA
S
∂S
Für das magnetische Moment gilt
1
m
~ =
2c
0.4
Z
~x0 × ~j(~x0 ) d3 x0
Elektrodynamik
~ = 4πρ
∇·D
~
~ + 1 ∂B = 0
∇×E
c ∂t
~ =0
∇·B
~
~ = 4π ~j + 1 ∂ D
∇×H
c
c ∂t
0.5. SRT
5
~ = εE
~ = (1 + 4πχe )E
~ =E
~ + 4π P~
D
~ = µH
~ = (1 + 4πχb )H
~ =B
~ + 4π M
~
B
Lorentzkraft
~v
~
~
~
FL = q E + × B
c
~
~ = −∇φ − 1 ∂ A
E
c ∂t
~ =∇×A
~
B
Für die elektromagnetische Energiedichte u folgt
u=
und der Poynting Vektor mit
1 ~ ~
~ ·H
~
E·D+B
8π
~ ×H
~
~= c E
S
4π
Für das Fernfeld gilt
~ ω = exp(ikr)
A
cr
0.5
Z
d3 x0~jω exp(−ik~n · ~x0 )
SRT
Wir benutzen nun Vierervektoren mit Xµ = (ct, x, y, z) transfomiert mit

Xµ = Λνµ Xν

γ
−γβ 0 0


−γβ
γ
0 0


Λ=
0
1 0
 0

0
0
0 1
Falls sich das System in x-Richtung bewegt.
Weiterhin gilt auch
Mµν = Λρµ M̃ρσ Λσν
Allgemein gilt
~ µ = (A0 , A)
~ = (A0 , A
~⊥ + A
~ k)
A
6
und dann
~
~
= γ A0 − β · A
~0 = γ A
~ k − β~ · A0
A
k
A00
~0 = A
~⊥
A
⊥
Es ergibt sich das invariante Skalarprodukt
~·B
~
Aµ B µ = A0 B0 − A
Es ergibt sich auch weiterhin das invariante Linienelemente
ds2 = c2 dt2 − |d~x|2
(Herleitung steht nicht auf dem Blatt) Betrachten wir nun ein Ruhesystem K 0 mit der
Eigenzeit τ , dort gilt
dt = dτ
d~x = 0
ds2 = c2 dτ 2
Im bewegten System gilt
dt = dt
2
d~x
2
(d~x) =
dt2 = (−u~ex )2 dt2 = u2 dt2 = β 2 c2 dt2
dt
ds2 = c2 dt2 (1 − β 2 ) = c2 dt2 γ −2
Es folgt
dt = γdτ
und für die Längenkontraktion folgt
l(v) =
l(0)
γ
0.5. SRT
7
Falls die Bewegung in x-Richtung läuft, so folgt für die Geschwindigkeit ~u
dx0
dx0 dt
=
dt0
dtp
dt0
1 − β2
ux − v
=p
u
1 − β 2 1 − β cx
ux − v
=
1 − ux2v
! p c
!
2
u0y
u
1−β
y
=
ux
0
1−β c
uz
uz
u0x =
Mit dem Vierervektor
Uµ = γ(c, ~u)
können wir den Viererimpuls-Energie-Vektor definieren
Pµ = (γm0 c, γm0~u) =
E
, γm0~u
c
Wobei nun für den dreierimpuls gilt
p~ = γm0~u
Es gibt eine Invarianz von
Pµ P µ =
E2
− |~p|2 = m20 c2
2
c
und damit gilt für die Energie
E 2 = m20 c4 + |~p|2 c2
Für die Kraft gilt
dP µ
= Fµ
dτ
wobei wir die Viererkraft definieren im Ruhesystem mit
F µ [Ruhe] = (0, F~R )
Damit gilt in einem beliebigen System
F µ = Λµν F ν [Ruhe]
8
und damit
~v · F~R
γ~v · F~R , F~R + (γ − 1)~v 2
v
Fµ =
!
Mit dem Vierervektor
J µ = cρ, ~j
wird die Kontiutitäsgleichung zu
∂ρ
+ ∇ · ~j = 0 =⇒ ∂µ J µ = 0
∂t
Wir erhalten ebenfalls aus dem früheren
~=
A
4π ~
j
c
φ = 4πρ
mit
~
A = φ, A
µ
Aµ =
4π µ
J
c
∂µ A µ = 0
und
= ∂µ ∂ µ
Wir können uns den antisymmetrischen Feldstärketensor definieren mit
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
und

F µν

0 −Ex −Ey −Ez


Ex

0
−B
B
z
y

=
E

B
0
−B
y
z
x


Ez −By Bx
0
Weiterhin ergibt sich
Fµν F
µν
µν
= F Fµν
~ 2 − |E|
~ 2
= 2 |B|
0.6. LAPLACE UND NABLA
9
Für den dualen Feldstärketensor gilt


0 −Bx −By −Bz


Bx

0
E
−E
z
y

F̃ = 
B −E

0
E
z
x 
 y
Bz Ey −Ex
0
1
F̃ µν = µνρσ Fρσ
2
Damit werden die inhomogenen Gleichungen der Maxwellgleichungen zu
∂µ F µν =
4π ν
J
c
und die homgenen zu
∂µ F̃ µν = 0
Für die Kraft folgt also
dP µ
= qF µν Uν
dτ
Es ergeben sich folgende Transformationen für die Felder
2
~0 = γ E
~ + β~ × B
~ − γ β~ β~ · E
~
E
γ+1
2
~0 = γ B
~ − β~ × E
~ − γ β~ β~ · B
~
B
γ+1
Felder-Transformationen sind nicht auf dem Blatt, falls das drankommt, mach ichs über
Transformation vom Feldstärketensor. Vllt kommts drauf wenn ich noch Platz finde, nicht
sicher.
0.6
Laplace und Nabla
Kugelkoordinaten
∇f =
1 ∂f
1 ∂f
∂f
~er +
~eθ +
~eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
2
~ = 1 ∂(r · Ar ) + 1 ∂(Aθ sin θ) + 1 ∂Aϕ
∇·A
r2
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
10
~= 1
∇×A
r sin θ
∂(Aϕ sin θ) ∂Aθ
−
∂θ
∂ϕ
1 ∂
∇f= 2
r ∂r
2
r
2 ∂f
∂r
1
~er +
r
1 ∂Ar ∂(rAϕ )
1 ∂(Aθ r) ∂Ar
−
~eθ +
−
~eϕ
sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
1
∂
+ 2
r sin θ ∂θ
∂f
sin θ
∂θ
+
1
∂ 2f
r2 sin2 θ ∂ϕ2
Zylinderkoordinaten
∇f =
~=
∇·A
~=
∇×A
1 ∂Az ∂Aϕ
−
ρ ∂ϕ
∂z
∂f
1 ∂f
∂f
~eρ +
~eϕ +
~ez
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aϕ ∂Az
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
~eρ +
1 ∂
∇f=
ρ ∂ρ
2
∂Aρ ∂Az
−
∂z
∂ρ
1
~eϕ +
ρ
∂ 2f
∂f
1 ∂ 2f
ρ
+ 2 2+ 2
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
∂(ρAϕ ) ∂Aρ
−
∂ρ
∂ϕ
~ez