11.2 - 11.6

Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig
11.2 Zufällige Ereignisse
Problem des Zufalls wird durch mathematische Modelle widergespiegelt.
Zufälliger Versuch: Versuch mit festgelegten beliebig wiederholbaren Bedingungen und
ungewissem Ergebnis (Ausgang)
Def. 11.7
Ergebnis (Ausgang) eines zufälligen Versuchs wird als zufälliges Ereignis bezeichnet, das
auftreten kann oder nicht.
Bezeichnungen: Zufällige Ereignisse : A,B,C, …
Sicheres Ereignis
: Ω (Menge aller möglichen Ereignisse)
Unmögliches Ereignis: ∅ .
Relation zwischen zufälligen Ereignissen
A, B, C seien Ereignisse
A⊆ B
: Mit A tritt auch B ein oder A zieht B nach sich.
A= B
: A zieht B nach sich und B zieht A nach sich.
C = A∪ B
: C tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B
eintritt; C kann auch als Summe von A und B betrachtet werden.
n

C = ∪ Ai 
C bzw. D treten genau dann ein, wenn mindestens eines der endlich vielen

i =1
:

∞
Ai ( i = 1, 2,… , n ) bzw. der abzählbar ∞ vielen Bi ( i = 1, 2,…) eintritt.
D = ∪ Bi 

i =1
C = A∩ B
: C tritt genau dann ein, wenn A als auch B eintreten;
eintritt; C kann auch als Produkt von A und B betrachtet werden.

C = ∩ Ai 

i =1

∞
D = ∩ Bi 

i =1
:
A∩ B = ∅
C = A\ B
A=Ω\ A
: A und B sind gleichzeitig unmöglich, A und B sind unvereinbar.
: C tritt genau dann ein, wenn A eintritt aber nicht gleichzeitig B eintritt.
: zu A komplementäres Ereignis.
n
C bzw. D treten genau dann ein, wenn alle der endlich vielen
Ai ( i = 1, 2,… , n ) bzw. der abzählbar ∞ vielen Bi ( i = 1, 2,…) eintreten.
Es gilt: Ai ( i = 1,… , n ) bilden ein vollständiges System von Ereignissen.
n
∪A =Ω, A ∩A
i
i
j
= ∅ ( i, j = 1,… , n ) , wenn im Ergebnis eines Versuchs genau eines von
i =1
ihnen eintreten muss.
Bemerkung
Es gelten die Rechenregeln zur Verknüpfung mit Mengen, die Morgan'schen Formeln,
Assoziativ-, Distributiv- und Kommutativgesetze.
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Ereignisfeld
Def. 11.8
Enthält ein System von Ereignissen eines zufälligen Versuchs alle in Verbindung mit diesem
Versuch interessierende Ereignisse und führt die Anwendung der o.g. Relationen immer
wieder auf ein Ereignis dieses Systems, dann wird dieses System Ereignisfeld genannt und
mit E bezeichnet.
Eigenschaften von E
1. Ω ∈ E , ∅ ∈ E
2. A ∈ E , B ∈ E → A ∪ B ∈ E , A ∩ B ∈ E
3. A ∈ E → A ∈ E
4. Ai ∈ E ( i = 1, 2,…) →
∞
∞
i =1
i =1
∪ Ai ∈E , ∩ Ai ∈ E
Bezeichnungen
Atomares Ereignis: A ∈ E , wenn kein B ∈ E mit B ≠ ∅ und B ≠ A existiert, so dass B A
nach sich zieht.
Zusammengesetztes Ereignis: A ∈ E , setzt sich als Summe von Ereignissen des betrachteten
Ereignisfeldes zusammen. ( Operation " ∪ ")
11.3 Häufigkeit
Def. 11.9
Tritt bei n unabhängigen Wiederholungen eines zufälligen Versuchs ein Ereignis A eines
Ereignisfeldes E hn ( A ) - mal ein, dann heißt hn ( A ) absolute Häufigkeit von A und
hn ( A )
n
relative Häufigkeit von A in n Versuchen.
H n ( A) =
Beispiel: Absolute und relative Häufigkeit des Auftretens einer „ 6 “ bei n Würfen mit
einem Würfel.
1 2 3
4
5
6
12
24
48
0
0
1
1
1
2
3
4
9
hn
H n 0 0 0,3 0,25 0,2 0,3 0,25 0,167 0,1875
Für n → große Zahl schwankt H n ( A ) um einen Grenzwert, den man auch empirische
Wahrscheinlichkeit nennt.
1
Im obigen Beispiel beträgt der Grenzwert .
6
Eigenschaften der relativen Häufigkeit H n
1. 0 ≤ H n ( A ) ≤ 1; H n ( A ) = 0, wenn A = ∅ , H n ( A ) = 1, wenn A = Ω
2. H n ( Ω ) = 1
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3. A, B ∈ E , A ∩ B = ∅
k
k
k k
H n ( A) = 1 ; H n ( B ) = 2 → H n ( A ∪ B ) = 1 + 2 → H n ( A ∪ B ) = H n ( A) + H n ( B )
n
n
n n
Folgerungen
1. H n ( A ) = 1 − H n ( A )
2. H n ( A ∪ B ) mit A, B ∈ E : H n ( A ∪ B ) = H n ( A ) + H n ( B ) − H n ( A ∩ B )
Bemerkung:
Zufällige Versuche, die sich gegenseitig nicht beeinflussen, werden unabhängig genannt.
11.4
Wahrscheinlichkeit
Def. 11.10 Laplace Ereignisfeld
Falls für ein Ereignisfeld E zusätzlich gilt
1. E ist endlich (endliche Anzahl atomarer Ereignisse Ai ( i = 1, 2,… , n )
2. das Auftreten von Ai ( i = 1, 2,… , n ) ist gleichmöglich,
dann wird es als Laplace'sches Ereignisfeld bezeichnet.
Def. 11.11 Wahrscheinlichkeit
A ∈ E , E sei Laplace-Ereignisfeld, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P( A)
Anzahl der atomaren Ereignisse Ai ∈ E, für die Ai ∈ A
P ( A) : =
Anzahl der atomaren Ereignisse Ai ∈ E
oder
Anzahl der für A günstigen Ereignisse
P ( A) : =
Anzahl der möglichen Ereignisse
Beispiele:
1. P ( A ) = ?
A= {∑ Augenzahl von 3 Würfeln =3}
P ( A) =
2. P( A) = 0,641
3. P( A) << 1
4. 1 − P( A) << 1
1
CW 6
( 3)
=
1
1
=
 6 + 3 − 1 56


 3 
Im Einzelversuch ist keine Aussage möglich.
A ist praktisch unmöglich (tritt selten ein).
A ist praktisch sicher (tritt fast immer ein).
Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zu jedem A ∈ E wird ein Wert P( A) zugeordnet mit P ( A ) ∈
. P( A) wird als
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnet, charakterisiert durch folgende Axiome:
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1. ∀A ∈ E gilt 0 ≤ P ( A ) ≤ 1
2. P ( Ω ) = 1
3. A ∈ E und B ∈ E seien unvereinbar, d.h. A ∩ B = 0 → P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
4. Sind Ai , ( i = 1, 2,…) paarweise unvereinbare Ereignisse, so gilt
∞  ∞
P  ∪ Ai  = ∑ P ( Ai
 i =1  i =1
)
Folgerungen: A, B, Ai ∈ E
1. P(∅) = 0
()
2. P A = 1 − P( A)
3. P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
4. Ai ∈ E ( i = 1, 2,… , n ) bilden ein vollständiges System von Ereignissen →
n
∑ P( A ) =1
i =1
i
5.
A ⊆ B → P ( A) ≤ P ( B )
6.
P( B ) = P A ∩ B + P ( A ∩ B )
(
)
11.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse
Def. 11.12 Bedingte Wahrscheinlichkeit
A, B ∈ E , P ( A ) ≠ 0 . Dann heißt
P ( A ∩ B)
P ( A)
bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A .
P ( B / A) =
Es gilt:
1. P ( A ∩ B ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ) ; (Produktansatz gemäß Def. 11.12)
2. A ⊆ B → P ( B / A ) =
P ( A ∩ B)
=1
P ( A)
Speziell: P ( A / A ) = 1; P ( ∅ / A ) = 0
3. P ( B / A ) ⋅ P ( A ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B )
Beispiel: Urnenmodell
In einer Urne befinden sich 20 rote und 25 weiße Kugeln. Zwei Kugeln werden (willkürlich)
gezogen - ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot
sind.?
A = {erste Kugel ist rot}
B = {zweite Kugel ist rot}
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P ( A ∩ B ) = P ( B / A) ⋅ P ( A) , P ( A) =
P ( A ∩ B) =
20 4
19
19
=
, P ( B / A) =
=
45 9
25 + 19 44
19 4 19
⋅ =
44 9 99
Totale (vollständige) Wahrscheinlichkeit
Aus [11.4] und mit Def. 11.12 : P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P A ∩ B →
(
(
)
)
P ( B ) = P ( A ) ⋅ P( B / A) + P ( A ) ⋅ P B / A - Formel für totale Wahrscheinlichkeit )*
Allgemein gilt: Es sei Ai ( i = 1,… , n ) ∈ E ein vollständiges System und P ( Ai ) > 0 →
n
P ( B ) = ∑ P( B / Ai ) ⋅ P ( Ai )
i =1
n
)*: Falls A = A1 → A = { A2 ,… An } und P ( A ) ⋅ P ( B / A ) = ∑ P ( Ai ) ⋅ P ( B / Ai )
i =2
Beispiel
3 Maschinen fertigen ein bestimmtes Erzeugnis mit einer entsprechenden Ausschussquote.
Masch.-Nr.
1
2
3
Anteil %
20
30
50
Ausschuss %
5
4
2
Fragestellungen
1. Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Produkt aus dem Lager ist
2. Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ausschussstück z.B. von erster Maschine produziert wurde
Ai = {Produkt der i'ten Maschine}
B = {Ausschußprodukt aus Gesamtproduktion}
zu 1.
i
P ( Ai )
P ( B / Ai )
P ( Ai ) ⋅ P ( B / Ai )
1
2
3
0,2
0,3
0,5
0,05
0,04
0,02
0,010
0,012
0,010
3
0, 032 = ∑ P ( Ai ) ⋅ P ( B / Ai ) = P ( B )
i =1
P ( B / A1 )
0, 05
zu 2. P ( A1 / B ) = P ( A1 )
= 0, 2 ⋅
= 0,31
P ( B)
0, 032
n
Ersetze im Ergebnis 2: A1 durch A i und setze P ( B ) = ∑ P ( B / Ak ) ⋅ P ( Ak ) , dann erhält man
k =1
die Bayes'sche Formel (Bayes 1702-1763)
P ( B / Ai ) ⋅ P ( Ai )
P ( Ai/ B) = n
( i = 1, 2,… , n ) .
∑ P ( B / Ak ) ⋅ P ( Ak )
k =1
Ai ( i = 1,… , n ) ∈ E , B ∈ E bilden ein vollständiges System.
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Def. 11.13 : Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse A, B ∈ E heißen unabhängig, genau dann wenn
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) .
Zusammenhang zu bedingter Wahrscheinlichkeit:
Sei P( A) > 0: A , B unabhängig ↔ P ( B / A) = P ( B ) .
Beispiel: Zweimaliges Werfen eines idealen Würfels
A = {erster Wurf: 6}
B = {zweiter Wurf: 6}
C = {Summe beider Würfe mindestens 10}
1
P( A) = P( B) =
6
1
P ( A) ⋅ P ( B ) =
(Wahrscheinlichkeit für Auftreten eines beliebigen Paares)
36
6 1
C = {( 4, 6 ) , ( 5,5 ) , ( 6, 4 ) , ( 5, 6 ) , ( 6,5 ) , ( 6, 6 ) } → P ( C ) =
=
36 6
Wahrscheinlichkeit, dass erster Wurf eine 6 und zweiter Wurf eine 6 ist:
1 1 1
A ∩ B = {( 6, 6 )} ; P ( A ∩ B ) = ⋅ =
; A , B sind unabhängig.
6 6 36
Def. 11.14
Die Ereignisse A1 , A2 ,… , An werden unabhängig genannt g.d.w.
P ( A1 ∩ A2 ∩…∩ An ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅… ⋅ P ( An )
oder
 n
 n
P  ∩ Ai  = ∏ P ( Ai )
 i =1  i =1
Satz 11.7
A, B unabhängig ↔ A, B unabhängig ↔ A, B unabhängig.
Beweis
P ( A ∩ B ) = P ( B \ A ∩ B ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) = P ( B ) (1 − P ( A ) ) = P ( B ) P ( A )
P ( A )⋅ P ( B )
Anwendungen: Folge von unabhängigen Versuchen, Ai sei Ereignis im i-ten Einzelversuch
(Münzwurf, Blutgruppe einer Person, Qualität von Geräten)
11.6 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei vielen Versuchen sind die möglichen Ergebnisse durch reelle Zahlen gekennzeichnet.
Def. 11.15 Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem ω ∈Ω eine reelle Zahl X (ω ) zuordnet :
X :Ω→ .
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Beispiele:
a. Geschlecht eines Neugeborenen
ω 1 - „männlich“
X (ω 1 ) = 1 ;
X (ω 2 ) = 0
ω 2 - „weiblich“
A = {Junge geboren} = {ω 1} = { X = 1}
A = B = {Mädchen geboren} = {ω 2 } = { X = 0}
b. Schadstoffgehalt der Luft in %o
endlich viele Werte
(Anzahl der Teilchen pro cm3 )
abzählbar ∞ viele Werte (CO2 - Konzentration)
stetige Zufallsgröße
(Ausbreitung einer Wolke mit saurem Regen)
c. Krankenversicherung
ω 1 - „ostversichert“
X (ω1 ) = 9 ;
ω 2 - „westversichert“
X ( ω2 ) = 1
Im allgemeinen interessieren weniger die Argumente und Definitionsmenge dieser
Funktionen, als vielmehr die Wahrscheinlichkeit, mit denen die Zufallsgröße bestimmte
Werte oder Werte in einem Intervall annimmt.
(Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen von Zufallsgrößen
Verteilung aller Wahrscheinlichkeiten auf einer Zahlengeraden
Def. 11.16
Sei X eine Zufallsgröße. Die auf definierte Funktion
FX ( t ) := P ( X < t ) , t ∈
heißt Verteilungsfunktion von X.
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P ( X < t ) :
t0 beliebig fest; A ∈ E ; X nimmt genau dann einen Wert aus ( −∞,t0 ) an, wenn A eintritt.
Nach Axiom 1 [11.4] besitzt A die Wahrscheinlichkeit P ( A ) , woraus folgt
P ( X < t0 ) := P ( A ) .
Beispiel: 3-maliges Werfen einer Münze :
W - Wappen, Z - Zahl; X (ω ) - Anzahl der aufeinanderfolgenden W (Variation mit
Wiederholung)
ω
WWW
3
X(ω)
WWZ WZW WZZ ZWZ ZWW ZZW ZZZ
2
1
1
1
2
1
0
Wahrscheinlichkeiten, dass X die Werte 0 , 1 , 2 , 3 annimmt:
k
P(X=k)
0
1
8
1
4
8
2
2
8
3
1
8
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Verteilungsfunktion
FX (t)
1
7/8
5/8
1/8
1
2
t
3
Berechnung aller interessierender Wahrscheinlichkeiten
P( a ≤ x < b) = FX (b) − FX ( a )
Beispiel: s.o.
7 1 3
P(1≤ x <3)= FX (3) − FX (1) = − =
8 8 4
1
1
P( 0 ≤ x < 1) = FX (1) − FX ( 0) = − 0 =
8
8
Eigenschaften der Verteilungsfunktion FX
1. ∀ t ∈
ist 0 ≤ FX ( t ) ≤ 1
2. FX ist monoton wachsend, d.h. t2 > t1 → FX (t2 ) > FX (t1 )
3. FX ist linksseitig stetig, d.h.
lim FX ( t ) = FX ( t0 )
t → t0 − 0
lim FX ( t ) = 0 und lim FX ( t ) = 1
t →−∞
t →∞
5. P ( X = c ) = lim FX ( t ) − FX ( c ) = FX ( c + 0 ) − FX ( c )
t →c + 0
Somit F ( a + 0 ) … rechtseitiger Grenzwert
4.
P ( a < X < b) = F (b) − F ( a + 0)
P ( a < X ≤ b) = F (b + 0) − F ( a + 0)
P ( a ≤ X ≤ b) = F (b + 0) − F ( a )
Def. 11.17 Diskrete Zufallsgrößen
Eine Zufallsgröße X heißt diskret g.d.w. sie endlich oder abzählbar viele Werte
W = { x0 , x1 … ,} annehmen kann.
Def. 11.18 Einzelwahrscheinlichkeit
Ist X eine diskrete Zufallsgröße mit W = { x0 , x1 … ,} , so bezeichnet man
pk = P ( X = xk ) , xk ∈ W als Einzelwahrscheinlichkeit von X.
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Folgerung
1. P ( Ω ) = P ( X ∈ W ) =
∑
xk ∈W
pk = 1 (sicheres Ereignis)
2. FX ( t ) = P ( X < t ) = ∑ pk , t ∈
xk < t
Def. 11.19 Stetige Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbare Funktion f X ( x ) ≥ 0 ; − ∞ < x < ∞
derart gibt, dass sich die Verteilungsfunktion FX ( t ) = P ( X < t ) ∀t ∈
FX ( t ) =
t
∫
in der Form
f X ( x ) dx darstellen lässt.
−∞
Eine Funktion f X ( x ) mit der Eigenschaft
∞
∫
f X ( x ) dx = 1 nennt man Dichtefunktion von X.
−∞
Spezialfälle
∞
P ( X ≥ t ) = ∫ f X ( x ) dx = 1 − FX ( t )
t
!
1 = P ( Ω ) = P ( −∞ < X < ∞ ) =
∞
∫
f X ( x ) dx
−∞
Bemerkung
FX ( t ) = P ( X < t ) = P ( X ≤ t ) ; P ( X = t ) = 0 ∀t
1 − FX ( t ) = P ( X ≥ t ) = P ( X > t )
Es gilt:
fX ( x) =
d
FX ( t )
dt
P ( t1 ≤ X ≤ t2 ) = P ( X ≤ t2 ) − P ( X ≤ t1 ) =
t2
∫
−∞
11.7
f X ( x ) dx −
t1
∫
f X ( x ) dx = FX ( t2 ) − FX ( t1 )
−∞
Kennwerte von Verteilungen
11.7.1 Erwartungswert
Es werden n Messungen, wobei s verschiedene Messwerte xi ( i = 1, 2,… , s ) mit der absoluten
Häufigkeit hi auftreten, durchgeführt. Als arithmetisches Mittel erhält man
h
1
x = ( x1h1 + … + xs hs ) = x1 H1 + … + xs H s ; H i = i = pi
n
n
13