Prof. Dr. G. Matthies Institut für Numerische Mathematik Dr. M

Prof. Dr. G. Matthies
Dr. M. Herrich
Institut für Numerische Mathematik
WS 2017/2018
Übungen zur Vorlesung Mathematik I für VIW
2. Übung, 16.10.–20.10.2017
Aufgabe 1
Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A(1, 1), B(4, 0) und C(3, 2).
# » # »
# »
(a) Bestimmen Sie die Vektoren AB, BC und CA.
(b) Ermitteln Sie die Seitenlängen und die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
(c) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes D derart, dass das Viereck ABDC ein Parallelogramm ist.
Aufgabe 2
Gegeben seien die Vektoren

−2
v#»1 =  a  ,
1


−3
v#»2 =  4  ,
2


2b
v#»3 =  1 
b2

mit Parametern a, b ∈ R.
(a) Bestimmen Sie a so, dass v#»1 und v#»2 orthogonal zueinander sind.
(b) Ermitteln Sie alle Werte für a, für die |v#»1 | = 4 ist.
#» = −e#» + e#» − e#» einen Winkel
(c) Bestimmen Sie alle Werte für a, für die v#»1 mit dem Vektor w
1
2
3
von 120◦ einschließt.
(d) Bestimmen Sie alle Werte für b, für welche die Vektoren v#»2 und v#»3 orthogonal zueinander sind.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie alle Vektoren #»
v des R3 , welche die folgenden drei Eigenschaften besitzen:
∢(e#»1 , #»
v ) = 45◦ , ∢(e#»2 , #»
v ) = 120◦ . Inwiefern ändert sich die Menge aller dieser Vektoren
zusätzlich gefordert wird, dass #»
v mit e#»3 einen Winkel einschließt, der größer als 90◦ ist?
| #»
v | = 2,
#»
v , wenn
Aufgabe 4
Berechnen Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
(a) A(3, 1, 0), B(−1, 1, 2), C(1, 5, −2)
(b) A(5, 5, 2), B(0, 1, −2), C(1, 1, 1)
Aufgabe 5
Ein Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von vF = 100 ms soll in Richtung Nordosten mit einem
Winkel von 60◦ gegenüber der Nordrichtung fliegen. Da ein Wind aus dem Südosten weht, muss der
Pilot entsprechend gegensteuern, sodass dann die resultierende Richtung den gewünschten Winkel
von 60◦ mit der Nordrichtung einschließt.
Die folgende Skizze zeigt das Geschwindigkeitsdreieck für die vorliegende Situation.
1
Nord
α
»
v# R
v# W»
v# F»
60◦
β
Ost
Dabei bezeichnen:
• v# W» den Wind-Geschwindigkeitsvektor, der durch v# W» =
−15
10
gegeben sei (Werte in
m
s ),
• v# F» den Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs gegenüber der Luft, der in die Richtung zeigt,
in die der Pilot steuern muss, und dessen Betrag gleich vF ist (sogenannte Airspeed),
» den resultierenden Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs, der mit der Nordrichtung einen
• v# R
Winkel von 60◦ einschließen soll.
(a) Berechnen Sie die Windgeschwindigkeit vW = |v# W»|.
» einschließen.
(b) Bestimmen Sie den Winkel α, den die Vektoren v# W» und v# R
(c) Ermitteln Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus den Teilaufgaben (a) und (b) den Betrag
»| der resultierenden Geschwindigkeit des Flugzeugs (sogenannte Groundspeed).
vR = |v# R
» einschließen, sowie den Winkel der
(d) Berechnen Sie den Winkel β, den die Vektoren v# F» und v# R
Richtung, in die der Pilot gegenüber der Nordrichtung steuern muss.
Hinweise:
• In den Teilaufgaben (c) und (d) helfen unter anderem der Kosinus- und der Sinussatz weiter.
• Zur Lösung dieser Aufgabe darf ein Taschenrechner (oder ähnliches) verwendet werden.
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