Einführung in die Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik
Arbeitsblatt 1 / 6
Einführung in die Wirtschaftsmathematik
Das Modellieren realer Situationen durch mathematische Modelle hat viele Anwendungsbereiche. Neben dem bereits
kennen gelernten Ansätzen zur Interpretation statistischer Datenmengen mittels Regression, stellen die hier gezeigten
Überlegungen zur Wirtschaftsmathematik einen weiteren Anwendungsbereich der Analysis dar.
Wirtschaftsmathematik beschäftigt sich - unter anderem - mit der Analyse von Kosten, Erlös und Gewinn, Angebot und
Nachfrage, wobei versucht wird, die Situation mittels Funktionen darzustellen und die Auswirkungen von Veränderungen zu interpretieren.
Jedes Unternehmen strebt danach, seinen Gewinn zu maximieren. Wirtschaftswissenschaftler haben einfache mathematische Modelle entwickelt, mit deren Hilfe sich anfallende Kosten und zu erzielende Gewinne annähernd quantitativ
beschreiben lassen. Dabei muss man allerdings von idealisierten Annahmen ausgehen, die selten maßgeschneidert
zutreffen.
Wenn ein Betrieb seine Produktion plant, so sollte er in erster Linie bestimmen, wie hoch die Kosten sind und wie viel
Geld er durch den Verkauf des Produktes einnimmt (Erlös). Sind diese Größen bekannt, so kann der Betrieb den zu
erwartenden Gewinn ermitteln. Mathematisch lässt sich dies wie folgt erfassen :
Die produzierte und die zu verkaufende Menge wird im folgenden mit x bezeichnet.
Die Kostenfunktion K(x) :
Bei der Produktion von Waren, wie auch beim Handel mit Waren, entstehen Gesamtkosten K, die sich – im Prinzip –
aus Fixkosten Kf und variablen Kosten Kv, zusammensetzen. Die Trennung der beiden Begriffe ist nicht immer scharf.
So werden z.B. Hallenmieten meist als Fixkosten angesehen. Da aber die Größe der benötigten Räume von der produzierten Stückzahl x abhängt, sind sie in gewisser Weise auch gleichzeitig variable Kosten.
Fixkosten : KF sind solche Kosten die von der Produktionsmenge unabhängig sind, wie z.B. Miete, Maschinenkosten,
Grundgebühren für Strom und Telefon, Personalkosten, Investitionskosten anderer Art, usw.
Variable Kosten Kv sind solche, die von der Produktionsmenge abhängen, wie z.B. Materialkosten und Transportkosten. Diese Kosten sind häufig direkt proportional zur produzierten Menge x ( Kv(x) = k x ), können aber auch in anderen funktionalen Zusammenhängen von x stehen, z.B. durch eine Polynomfunktion.
Da die variablen Kosten von x abhängen, hängen auch die Gesamtkosten von x ab. Für die Kostenfunktion ergibt sich
damit : K(x) = Kf + Kv(x)
Gesamtkosten = variable Kosten + Fixkosten
In der Realität ergibt sich für eine Kostenfunktion häufig ein
s-förmiger Verlauf, der durch eine Polynomfunktion mindestens 3. Grades beschrieben werden kann. Mit steigender
Produktionsmenge steigen die Kosten zunächst degressiv
bis zur Kostenkehre, ab dort dann progressiv.
Degressive Kosten wachsen weniger stark als linear. Beispiel : Rabatte beim Einkauf großer Mengen von Vorprodukten. Häufig sind die Kosten bei kleineren Mengen degressiv
wachsend, weil etwa vorhandene Mitarbeiter oder Maschinen besser eingesetzt werden können, und erst bei höherer
Produktion durch beispielsweise teure Überstunden oder behördliche Auflagen sich die Situation zu progressiven Kostenentwicklungen ändert.
Progressive Kosten wachsen stärker als linear. Eine Begründung wurde mit der hohen Zahl an Überstunden bereits
gegeben.
Stückkosten sind die entstehenden Kosten für die Herstellung einer Produktionseinheit, ohne Berücksichtigung der
Fixkosten.
Kostenkehre ist diejenige Produktionsanzahl x, bei der die degressive Kostenfunktion in eine progressive Kostenfunktion übergeht.
Durchschnittskosten sind die Gesamtkosten pro Produktionseinheit, also inklusive der Fixkosten : k ( x ) =
K ( x)
x
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Für eine lineare oder degressive Kostenfunktion gilt : je höher die Produktionsmenge x, desto niedriger sind die Durchschnittskosten. Bei einer progressiven Kostenfunktion gibt es eine bestimmte Produktionsanzahl x, bei der die geringsten Durchschnittskosten anfallen. Diese Menge heißt Betriebsoptimum.
Aufgaben :
1. Begründe : Sind die variablen Kosten direkt proportional zur Produktionsmenge, so ist die Kostenfunktion eine lineare Funktion.
2. Überlege wirtschaftliche Gründe für den s-förmigen Verlauf einer Kostenfunktion.
3. Welche besondere Bedeutung in Bezug auf die grafische Darstellung der Kostenfunktion hat die Stelle, die als
Kostenkehre bezeichnet wird. Beschreibe die Besonderheiten des Verlaufs des Graphen an dieser Stelle.
4. Ein Unternehmen stellt hochwertige HiFi-Anlagen her. Diese Anlagen sind im Handel für 1500 € bis 2000 € zu
kaufen. Pro Monat kann das Unternehmen höchstens 100 Anlagen produzieren. Dabei fallen Fixkosten in Höhe
von 2700 € an. Die variablen Stückkosten lassen sich abhängig von der produzierten Stückzahl durch die Funkti3
2
onsgleichung K V ( x )= − 0,15 x + 33,8 x + 93 x beschreiben.
a) Bestimme die Kostenfunktion K(x) und zeichne den dazugehörigen Graphen.
b) Wie muss der Definitionsbereich der Kostenfunktion gewählt werden, um die angegebenen Bedingungen realistisch wiederzugeben ?
c) Bestimme die Stelle der Kostenkehre. Welchen mathematischen Ansatz verwendest Du dafür ?
Die Erlösfunktion E(x)
Jeder Betrieb strebt danach, die von ihm produzierte Ware zu verkaufen. Der dabei erwirtschaftete Betrag ist der Erlös
des Betriebs. Er richtet sich nach dem Stückpreis eines einzelnen Produktes. Im Idealfall erhält man, unabhängig von
der verkauften Stückzahl, für ein Produktionsteil stets den gleichen Preis.
Die Erlösfunktion E(x) ergibt sich aus dem Verkaufspreis mal verkaufter Menge x. Man kann dabei zwei Typen von
Erlösfunktionen unterscheiden :
Lineare Erlösfunktion E(x)
Wenn ein Produkt auf dem freien Markt von vielen Herstellern angeboten wird, wird sich nach Auspendeln von Angebot und Nachfrage ein fester Preis p für dieses Produkt einstellen. Einzelne Anbieter können diesen Preis nur noch
unwesentlich beeinflussen. Man spricht in diesem Fall von "vollständiger Konkurrenz". In diesem Fall sind die Einnahmen für die verkauften Produkte proportional zur verkauften Anzahl.
Die Erlösfunktion ist dann eine lineare Funktion E ( x ) = p ⋅ x
Nicht lineare Erlösfunktion E(x)
Besitzt eine Firma die Alleinproduktion für eine Ware, so spricht man von einem Monopolbetrieb. Der Preis der Ware
wird vom Hersteller allein bestimmt. Er muß jedoch bei Preiserhöhungen damit rechnen, dass seine Verkaufszahlen
sinken, da der Käufer die Preiserhöhung möglicherweise nicht einsieht und die Ware nicht mehr kauft. Umgekehrt
kann ein niedrigerer Preis die Verkaufszahlen erhöhen. Je höher der Preis, desto geringer die Verkaufszahlen und
umgekehrt. Es gibt daher bereits vor Bestimmung der Erlösfunktion einen Zusammenhang zwischen Stückzahl und
Preis, die sog. Preisfunktion p(x) oder auch Nachfragefunktion n(x).
Für die Erlösfunktion folgt demnach E ( x ) = p ( x ) ⋅ x
Dieser Funktionstyp ist mindestens 2. Grades, auch wenn p(x) linear ist (warum?).
Die Preisfunktion p(x) (Nachfragefunktion n(x)) wird
durch zwei markante Punkte bestimmt. Die Nachfrage
nach einer ( nicht unbedingt notwendigen) Ware hängt in
verschiedener Weise vom Preis ab, wobei meist eine
Preiserhöhung zu einen Rückgang der Nachfrage führt.
Je nachdem, wie stark die Abhängigkeit vom Preis ist,
spricht man von einer elastischen oder einer unelastischen Nachfrage.
Für den Preis einer Ware gibt es eine Obergrenze, ab
der kein Käufer mehr bereit ist die Ware zu kaufen. Die-
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sen Preis nennt man Prohibitpreis1 p(0) oder auch Maximalpreis. Ein weiterer Punkt ist die sog. Sättigungsmenge.
Ab einer bestimmten Stückzahl ist der Markt mit dieser Ware völlig übersättigt. Der Käufer würde die Ware nicht mehr
kaufen, auch wenn sie (theoretisch) nichts kosten würde. Zwischen diesen beiden Daten kann sich die Preisfunktion
p(x) bewegen. Der Einfachheit halber verbindet man diese beiden Punkte zu einer Geraden. Diese beiden Grenzen
stecken damit auch den Gültigkeitsbereich des aufgestellten mathematischen Modells ab.
Preis ⇒ Nachfragemenge
Nachfragefunktion n(x)
Man geht davon aus, dass man zu einem bestimmten Preis x eine bestimmte Nachfrage n(x)
erwarten kann. Es ergibt sich die Funktionsgleichung y = n(x), z.B. n ( x ) = 400 − 2 x .
Dabei wird der Preis auf der x-Achse aufgetragen
und der Absatz auf der y-Achse. Beträgt der Preis
z.B. x = 80 €, so ist ein Absatz von n(80) = 240 zu
erwarten.
Wird die Ware verschenkt, d.h. x = 0, so wird ein
Absatz von 400 erzielt.
Des weiteren gibt es einen Preis, bei dem die
Ware nicht mehr absetzbar ist. Dazu ist die Gleichung n(x) = 0 zu lösen. In diesem Fall würde dies
bedeuten, dass bei einem Preis von 200€ oder
mehr nichts mehr verkauft würde
Nachfragemenge ⇒ Preis
Preisfunktion p(x)
In der Praxis wird aber nicht die Funktion Preis in
Abhängigkeit von der Warenmenge angegeben,
sondern die Umkehrfunktion Warenmenge in Abhängigkeit vom Preis. Der Grund dafür liegt in erster Linie in der Vergleichbarkeit mit den anderen
Funktionen, bei denen die produzierte Menge x
stets (laut Definition) auf der x-Achse notiert wurde.
Beim angegebenen Beispiel wird dann für den Absatz von x = 240 Stück ein Preis von p(240)=80 €,
bei einem Absatz von x=400 Stück ein Preis
p(400) = 0 € und bei einem Absatz von x = 0 ein
Preis von 0 € erzielt.
Die Bezeichnungen Nachfragefunktion n(x) und Preisfunktion p(x) sind leider nicht einheitlich. Oft wird der Name
Nachfragefunktion als Synonym für die Preisfunktion verwendet. Dies ist aber inkonsequent, da bei Funktionen immer
der Funktionswert, also die abhängige Variable den Namen gibt.
Für die Erlösfunktion E(x) ergibt sich in beiden Fällen ein quadratischer Term :
E(x) = linearer Term mal x = quadratischer Term.
Den maximalen Erlös findet man an der Stelle, an der die Erlösfunktion ihren größten Funktionswert aufweist. Dies
führt mathematisch zu einer "Extremwertaufgabe". Im vorliegenden Fall befindet sich das Maximum im Scheitelpunkt
der Parabel. Die Frage nach Extremwerten von Funktionen und die Möglichkeit diese, auch bei komplizierteren Funktionstypen, zu ermitteln, ist Aufgabe der Analysis. Wir werden später Methoden entwickeln, um solche und andere
gleich gelagerte Fragestellungen zu beantworten.
Aufgabe :
Eine Firma lässt durch ein Marktforschungsinstitut untersuchen, welcher Zusammenhang zwischen dem Verkaufspreis
p ihrer Ware und dem zu erwartenden Absatz x besteht. Das Institut bestätigt die Erwartung, dass bei höherem Preis
die Nachfrage zurückgeht. Es stellt dazu - in einem gewissen Preisbereich – einen etwa linear fallenden Trend fest,
der sich modellhaft durch die Preisfunktion p ( x ) = − 5 x + 13500 darstellen lässt.
a) Wo liegen die Grenzen dieses Modells ?
b) Gib die zugehörige Erlösfunktion E(x) an und zeichne p(x) und E(x) in ein Koordinatensystem.
c) Interpretiere den Verlauf von E(x)
Die Gewinnfunktion G(x)
Für jedes Unternehmen stellt sich die Frage : Wieviel soll ich zu welchem Preis verkaufen, damit die Unternehmensgewinne maximal werden ?
Werden x Stück einer produzierten Ware zu einem festen Preis p verkauft, so beschreibt der Term :
E(x) = p x
die Erlösfunktion E(x)
Aus dem erzielten Erlös muss eine Firma ihre Unkosten decken. Bleibt nach Abzug der Unkosten Geld übrig, so ist
dies der Gewinn der Firma. Die Gewinnfunktion ist somit gegeben durch :
1
Prohibit (lat. verhindern) der Preis ist so hoch, dass er jeden Absatz verhindert
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Gewinn = Erlös – Kosten :
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G(x) = E(x) – K(x)
G(x) ist die Differenzfunktion der Funktionen E(x) und K(x)
Ist für x E(x) < K(x), so ist G(x) negativ und die Firma
Aufgabe: Veranschauliche grafisch den beschriebemacht Verluste.
nen Sachverhalt
Ist für x E(x) = K(x), so ist G(x) = 0 und die Firma erwirtschaftet weder Gewinne noch Verluste.
Diese x-Werte sind die Nullstellen von G(x) und werden mit
Gewinnschwellen oder mit "Break-even-point" (BEP) bezeichnet. Der Break-even-point ist diejenige Produktionsmenge, bei der erstmals ein Gewinn (besser gesagt, kein
Verlust) auftritt. Bei linearen oder degressiven Kostenfunktionen ist ab dieser Produktionsmenge immer ein Gewinn
vorhanden.
Ist für x E(x) > K(x), so ist G(x) positiv und die Firma erwirtschaftet Gewinne.
Die Frage nach maximalen Gewinnen führt auch hier mathematisch wieder zu einer Extremwertbestimmung bei der
Gewinnfunktion G(x).
Durch xmax aus der Gewinnfunktion G(x) wird im Graphen der Preisfunktion p(x) ein Punkt festgelegt, der sog. Cournot´sche Punkt2. Gibt es mehrere Maxima, so spricht man von einer Cournot´schen Menge. Der Cournot´sche
Punkt gibt in der Preisfunktion bereits an, bei welcher Stückzahl der maximale Gewinn zu erwarten sein wird.
Zu beachten ist, dass der maximale Gewinn im allgemeinen nicht bei jener Stückzahl auftritt, bei der der maximale
Umsatz (Erlös) gemacht wird und auch nicht bei jener Stückzahl, bei der die Stückkosten minimal sind.
2
A. Cournot (1801 – 1877), französischer Wirtschaftsmathematiker
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Das Betriebsoptimum
Die Gesamtkosten eines Unternehmens müssen über den Verkauf von x Stücken der produzierten Ware wieder hereingebracht werden. Um einen "vernünftigen" Preis festlegen zu können, interessiert man sich für den Teil der Gesamtkosten, der auf eines der x produzierten Stücke entfällt..
Unter dem Betriebsoptimum xopt versteht man die Produktionsmenge, bei der optimal, d.h. mit den geringsten Durchschnittskosten k(xopt) produziert werden kann. k(xopt) gibt den kleinstmöglichen Preis an, der für die Ware verlangt
werden muss, um kostendeckend zu arbeiten.
Die Durchschnittskosten ergeben sich aus k ( x ) =
K ( x)
x
Beispiel :
Die Kostenfunktion einer Firma sei durch K(x) = 0,1 x2 + 0,1 x + 2 gegeben. Welchen Preis muss die Firma pro Produktionsmenge x mindestens nehmen, um kostendeckend produzieren zu können ?
Aufstellen der Durchschnittskostenfunktion:
0,1x 2 + 0,1x + 2
x
2
= 0,1x + 0,1 +
x
Aufgabe: Veranschauliche grafisch den beschriebenen Sachverhalt
k ( x) =
Gesucht ist das Minimum dieser Funktion.
Mit Hilfe des TI-92 ergibt sich hierfür:
xopt = 4,47
k(4,47) = 1,00
Man muss mindestens eine Geldeinheit pro Produktionsmenge verlangen, um kostendeckend produzieren zu können. Dieser minimale Preis ist (nur!!) bei einer Produktion
von 4.47 Produktionseinheiten kostendeckend. Die Produktionskosten (Gesamtkosten) betragen dabei K(4,47) = 4,45
Geldeinheiten.
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Aufgabe
Der Manager Herbert Hermitkohle
Herbert Hermitkohle möchte einen neuen Betrieb gründen, nachdem er mit einem bereits bestehenden Betrieb gute
Gewinne erwirtschaftet. Da beide Betriebe ähnliche Produkte herstellen, möchte er der Einfachheit halber (und sicherlich auch aus Geiz) einen Wirtschaftsmathematiker einsparen und legt die Werte des alten Betriebes zugrunde. Sein
Büro stellt ihm dafür einen tabellarischen Ausdruck aus den laufenden Produktionskosten und den von der Marktforschungsabteilung ermittelten Preis-Absatz-Trend zur Verfügung :
Stückzahl x [*100]
0
Gesamtkosten [€*1000] 100
2
159,2
4
189,6
6
210,4
16
824,4
Der Preis-Absatz-Trend ist annähernd durch die lineare Funktion p( x ) = − 9,207 x + 137,07 beschreibbar.
Herbert Hermitkohle erfährt zusätzlich zu den bereits gemachten Angaben, dass täglich maximal 1800 Stücke produziert werden können
Er legt für seine folgenden Berechnungen einen s-förmigen Verlauf der Kostenfunktion zugrunde.
a) Stelle die Werte der vorgegebenen Tabelle zunächst graphisch dar.
b) Zeige, dass die Kostenfunktion K ( x ) = 0,4 x 3 − 6 x 2 + 40 x + 100 die Datenmenge ausreichend genau annähert.
c) Welches Polynom 3.Grades verbindet die gegebenen Punkte optimal ?
d) Zeichne K(x) und p(x) in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
e) Welche Erlösfunktion E(x) ergibt sich aus den Angaben ?
f) Welche Gewinnfunktion G(x) ergibt sich ?
g) Zeichne beide Kurven E(x) und G(x) in das bereits vorhandene Koordinatensystem.
h) Berechne die Break-even-points und den maximalen Gewinn.
i) Wie lauten die Koordinaten des Cournot´schen Punktes ?
j) Berechne Prohibitivpreis (Maximalpreis) und Sättigungsmenge.
k) Bestimme die Durchschnittskostenfunktion k(x)
l) Für welche Stückzahl x ergeben sich die geringsten Gesamtkosten pro Produktionseinheit?
m) Herbert Hermitkohle möchte seinen maximalen Gewinn in Zukunft der momentanen Marksituation anpassen und
simuliert dafür mehrere Situationen, indem er mögliche Verschlechterungen der Marktsituation durch parallele
Preisfunktionen darstellt. Er erzeugt dafür eine Schar verschiedener Preisfunktionen und berechnet jeweils die
neuen Cournot´schen Punkte. Die Verbindung dieser Punkte nennt er "Angebotskurve".
Zeichne in ein neues Koordinatensystem mehrere parallele Preisfunktionen und trage die entsprechenden Cournot´schen Punkte ein. Durch welche möglichst einfache Funktionsgleichung lässt sich die Verbindung der Punkte
darstellen ?
n) Welche Aussage kann Herbert dieser Angebotskurve entnehmen ?