Aufgabe mit Lösung - Gottfried K. Weitbrecht

PRÜFUNG DER FACHHOCHSCHULREIFE
Hauptprüfung
an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a.
2007
Fach : M a t h e m a t i k
Aufgabe 7
Punkte
Aufgabensatz besteht aus zwei Blättern!
7.1
7.2
Um die Erlös- und Kostenfunktion zu ermitteln, macht ein Unternehmen
folgende Angaben:
Je Mengeneinheit (ME) wird ein Preis von 44 Geldeinheiten (GE) erzielt.
Die Fixkosten betragen 280 GE. Werden 2 ME produziert, so entstehen
Gesamtkosten in Höhe von 358 GE. Bei 12 ME betragen die variablen
Stückkosten 14 GE je ME. Einen Gewinn von 10 GE erzielt das Unternehmen
bei einer Ausbringungsmenge von 10 ME.
Bestimmen Sie die Gleichungen der Gesamtkosten- und der Erlösfunktion
unter der Voraussetzung, dass die Gesamtkostenfunktion eine ganzrationale
Funktion 3. Grades und die Erlösfunktion eine lineare Funktion ist.
7
Gegeben sind die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E mit
1
K ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 50 x + 280 und
4
E ( x ) = 44 x .
7.2.1 Prüfen Sie, ob das Unternehmen bei einer Produktion von 6 ME einen Gewinn
erzielt.
Bei welchen Produktionsmengen produziert das Unternehmen kostendeckend?
Welche Menge muss das Unternehmen produzieren, um maximalen Gewinn
zu erzielen? Geben Sie diesen an.
7
7.2.2 Zeichnen Sie das Schaubild von K und E in ein geeignetes Koordinatensystem.
4
7.2.3 Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch das Betriebsoptimum.
Wie hoch muss der Preis für eine Mengeneinheit mindestens sein, damit das
Unternehmen verlustfrei produzieren kann?
6
PRÜFUNG DER FACHHOCHSCHULREIFE
Hauptprüfung
an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a.
2007
Fach : M a t h e m a t i k
Aufgabe 7
Punkte
Name:
Klasse:
Trennen Sie dieses Blatt aus dem Aufgabensatz und geben Sie es mit den
anderen Lösungsblättern ab!
7.3
Ein anderes Unternehmen berechnet seine Gesamtkosten mit Hilfe der
Funktion K*.
Ihr Graph ist im Folgenden gegeben.
K*
Zeichnen Sie in das Schaubild den Graphen einer linearen Erlösfunktion so
ein, dass zwischen Nutzenschwelle und Nutzengrenze ungefähr 3 ME liegen.
Lesen Sie Nutzenschwelle und Nutzengrenze aus dem Schaubild ab.
Welcher Preis wird dann je Mengeneinheit verlangt?
6
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PRÜFUNG DER FACHHOCHSCHULREIFE
Hauptprüfung
an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a.
2007
Fach : M a t h e m a t i k
Aufgabe 7 (Seite 1/2)
LÖSUNGSVORSCHLAG
7.1
Ansatz:
K ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d und
E ( x ) = 44 x , da p = 44
Punkte
2
kv ( x ) = ax + bx + c
2
es gilt:
(1)
(2)
(3)
(4)
K (0) = 280
K (2) = 358
kv (12) = 14
G(10) = E (10) − K (10) = 10
Lösung des LGS ergibt:
7.2.1 E ( x ) − K ( x ) = G( x ) = −
Betriebsergebnis:
K(x) =
⇔
d = 280
⇔
8a + 4b + 2c + d = 358
⇔ 144a + 12b + c
= 14
⇔ 1000a + 100b + 10c + d = 430
1 3
x − 6 x 2 + 50 x + 280
4
5
1 3
x + 6 x 2 − 6 x − 280
4
G(6) = −154
(Verlust)
Bedingung für Kostendeckung: G( x ) = 0
liefert:
xNS ≈ 9,75 und xNG = 20
(Kostendeckende Produktionsmengen).
Maximaler Gewinn: xG max ≈ 15,48
(gewinnmaximale Produktionsmenge)
G( xG max ) ≈ 137,53 (maximaler Gewinn)
7
7.2.2
xopt ≈ 14,5
4
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Hauptprüfung
an Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulreife u.a.
2007
Fach : M a t h e m a t i k
Aufgabe 7 (Seite 2/2)
LÖSUNGSVORSCHLAG
Punkte
7.2.3 Betriebsoptimum graphisch durch Ursprungstangente an K
liefert xopt ≈ 14,5 .
2
rechnerisch durch Minimum der Stückkostenfunktion k
1
280
k ( x ) = x 2 − 6 x + 50 +
4
x
GTR: xopt ≈ 14,62
(Betriebsoptimum)
Mindestpreis für verlustfreie Produktion:
k ( xopt ) ≈ 34,87
7.3
(langfristige Preisuntergrenze)
aus Zeichnung:
Nutzenschwelle:
Nutzengrenze:
K*
xNS ≈ 2,5
xNG ≈ 5,5
E*
Preis entspricht der Steigung
der Erlösgeraden:
p = mE =
4
∆y 100
=
= 12,5
∆x
8
xNS ≈ 2,5
xNG ≈ 5,5
6
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