1 7. Der Messprozess in der QM. Die Heisenberg´sche

8Wo_3/4-6-15.doc
9. Woche 7./8.6.11
7.
Der Messprozess in der QM. Die Heisenberg´sche Unschärferelation
Am Messprozess sind beteiligt:
Das Messobjekt (→ MO)
Die Messapparatur (→ MA)
Der Beobachter (B)
Die Messung ist, grob gesagt, eine wechselseitige Beeinflussung (→ Wechselwirkung)
zwischen MO, MA und B.
Klassische Physik: Diese Wechselwirkung kann vernachlässigbar klein gemacht werden.
Quantenmechanik: Die Wechselwirkung zwischen MO und MA ist nicht vernachlässigbar.
Das Einschalten der MA führt in der Regel zur unkontrollierten Störung des MO. Die
Messung ändert den Zustand des MO (Zustandsreduktion, vgl. 3. Postulat), d.h. bei
unmittelbar anschließender zweiter Messung befindet sich das MO in der Regel in einem
anderen Zustand als vor der Messung.
•
Kombinierte Messung zweier Observablen A und B
Sei  ψ n = a n ψ n
und B̂ φn = b n φn . Wir unterscheiden folgende zwei Fälle:
1. Fall:
Die den Observablen A und B zugeordneten Operatoren  und B̂ sind vertauschbar:
[ Â, B̂] = 0 . Dann besitzen sie einen gemeinsamen VONS, { ψ n } .
Eine A-Messung im Zustand ψ ergibt den Messwert an mit Prob ( a = an ) = ψ n ψ
2
und
reduziert den Zustand vor der Messung, ψ , auf den zu a n korrespondierenden Eigenzustand
ψ n des Operators  .
Eine sofort anschließende B-Messung ergibt mit Sicherheit den Wert bn, denn
Prob ( b = bn | a = an ) = ψ n ψ n
2
=1 .
1
2. Fall:
[ Â, B̂] ≠ 0 , d.h. Â und B̂ besitzen unterschiedliche VONS, { ψ n } bzw. { φn } .
Nach der A-Messung befindet sich das MO/qmS nicht in einem Eigenzustand von B̂ .
2
Deshalb ist Prob ( b = bn | a = an ) = φn ψ n
≠ 1.
Fazit: Werden in der QM zwei verschiedene Observable zeitnah in unterschiedlicher
Reihenfolge gemessen, kann das Ergebnis unterschiedlich sein. Manche Observable sind in
der QM nicht gleichzeitig scharf messbar.
Das Ergebnis des Gedankenexperiments, nachdem A und B nicht gleichzeitig scharf messbar
sein sollten, wenn die zugeordneten Operatoren  und B̂ nicht kommutieren, quantifizieren
wir nun durch die Angabe einer objektiven unteren Schranke für die Streuung der Messwerte
von A und B:
ΔA ⋅ ΔB ≥
1
2
[ Â, B̂]
→
verallgemeinerte Heisenberg´sche Unschärferelation.
Hierbei verstehen wir unter der Streuung die mittleren quadratischen Schwankungen der
Messwerte um den quantenmechanischen Erwartungswert im Zustand ψ , also z.B. für die
Observable A den Ausdruck
ΔA :=
( ΔÂ) 2 =
( Â − Â ) 2 =
(
ψ Â − ψ Â ψ
)
2
ψ =
(
ψ Â 2 ψ − ψ Â ψ
)
2
.
Der Beweis fußt darauf, dass  und B̂ hermitesche Operatoren sind. Mit  und B̂ sind
auch ΔÂ = Â − Â und ΔB̂ = B̂ − B̂ hermitesch. Wir führen nun den nicht hermiteschen (!)
Operator Q̂ := ΔÂ − iλ ΔB̂ , λ reell ein, und betrachten den Erwartungswert Q̂ + Q̂
f (λ ) = ψ Q̂ + Q̂ ψ = Q̂ ψ Q̂ ψ =: f (λ ) ≥ 0 .
Für die positiv definite Funktion f (λ ) des reellen Parameters λ erhalten wir
2
f (λ ) =
(ΔÂ + iλ ΔB̂)(ΔÂ − iλ ΔB̂)
=
(ΔÂ )
( )
2
2
+ iλ ΔB̂ ΔÂ − ΔÂ ΔB̂ + λ2 ΔB̂ =
144
42444
3
1
424
3
1
424
3
β
α
γ
= α − iβ λ + γ λ .
2
Die Größen α und γ sind positiv, denn für jeden hermiteschen Operator F̂ gilt
F̂2 = ψ F̂ F̂ ψ = F̂+ ψ F̂ ψ = F̂ ψ F̂ ψ ≥ 0 .
Die Größe β ist rein imaginär, denn β2 ist negativ, weil
β 2 = [ ΔÂ, ΔB̂]
2
= [ Â, B̂]
2
•
*
= − [ Â, B̂] [ B̂, Â] = − [ Â, B̂] [ Â, B̂] = − [ Â, B̂]
•
2
≤ 0.
*
Dabei haben wir bei = verwendet, dass für hermitesche Operatoren [ Â, B̂] = [ B̂, Â ]
gilt, denn
[ B̂, Â] = B̂Â − ÂB̂ = ψ B̂Â ψ − ψ ÂB̂ ψ = Â B̂ ψ ψ − B̂ Â ψ ψ =
*
*
*
= ψ Â B̂ ψ − ψ B̂ Â ψ = ψ Â B̂ − B̂ Â ψ = [ Â, B̂] .
Zusammenfassend besitzt die positiv definite quadratische Funktion f (λ) = α − iβ λ + γ λ2 ein
lokales Minimum bei λ =
iβ ⎛
⎜ f ′(λ ) = 2 γλ − iβ = 0, f ′′
2γ ⎝
iβ
2γ
⎞
= 2 γ > 0 ⎟ , wobei der entsprechende
⎠
2
⎛ iβ ⎞
⎛ iβ ⎞
iβ
β2
Funktionswert wegen f ⎜⎜ ⎟⎟ = α − iβ + γ ⎜⎜ ⎟⎟ = α +
≥ 0 positiv ist. Daraus folgt nach
2γ
4γ
⎝ 2γ ⎠
⎝ 2γ ⎠
Multiplikation mit γ > 0 schließlich α γ ≥ −
wie behauptet
ΔA ⋅ ΔB ≥
1
[ Â, B̂]
2
1
β2
[ Â, B̂]
, also ( ΔÂ ) 2 ⋅ ( ΔB̂) 2 ≥
4
4
2
, d.h.
für  =  + , B̂ = B̂+ .
Merke: Sind  und B̂ hermitesch, dann ist [ Â, B̂] + = [ B̂,  ] = − [ Â, B̂] . Nicht [ Â, B̂] sondern
i [ Â, B̂] ist hermitesch; der qm Erwartungswert [ Â, B̂] ist also i.a. nicht reell.
3
■
Als Beispiel für Anwendungen bzw. Konsequenzen der Unschärferelation betrachten
wir die Energie des Grundzustandes beim 1D harmonischen Oszillator [Schwabl, 48]
klassisch: E =
p 2 mω2 2
+
x , "Grundzustand" E = 0 ist möglich.
2m
2
1⎞
hω
⎛
≠ 0.
quantenmechanisch: E n = hω ⎜ n + ⎟ , n = 0, 1, 2, ... , also E n =
2
2⎠
⎝
Frage: Wieso?
Antwort: E = 0 impliziert x = 0 und p = 0, die beide aber wegen der UR nicht gleichzeitig
scharf gemessen werden können.
Im Detail: Die zu E0 korrespondierende Wellenfunktion des Grundzustands
1/ 4
mω
x2
−
⎛ mω ⎞
2h
e
ψ0 (x) = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
ist gerade, d.h., wir haben wir p̂ = x̂ = 0 . Aus der UR Δx ⋅ Δp ≥
diesem Fall p̂ 2 x̂ 2 ≥
h
ergibt sich deshalb in
2
h2
, also die untere Schranke
4
p̂ 2
mω2 2
mω2 1 h 2
E=
+
x ≥
+
(∗)
2m
2
2m
2 p̂ 2 4
p̂ 2
für die Energie. Ableitung nach
1 mω2h 2 1
−
2m
8
p̂ 2
2
= 0 also
p̂ 2
p̂ 2
min
liefert als Bedingung für das Energieminimum
=
mωh
.
2
Eingesetzt in (∗) folgt für die minimale Energie
E min =
mωh 1 mω2h 2 2
ωh
+
=
.
2 2m
8 mωh
2
Fazit: Die Grundzustandsenergie beim 1D HO ist der kleinste Wert der Energie, der mit der
UR vereinbar ist.
4
•
Energie-Zeit-Unschärfe
Die Zeit ist in der Quantenmechanikein Parameter, der nicht als EW eines Operators t̂
aufgefasst werden kann. Es gibt verschieden Möglichkeiten der Herleitung der Energie-ZeitUnschärfe ΔE Δt ≥
h
.
2
A: Formale Vorgehensweise: Angenommen, Â und Ĥ sind nicht explizit zeitabhängig. Dann
ist
ih
d
∂
 = [ Â, Ĥ ] + ih
 = [ Â, Ĥ ]
dt
∂t
Aus der verallgemeinerten UR folgt
ΔA ⋅ ΔH ≥
1
h d
[ Â, Ĥ ] =
Â
2
2 dt
bzw.
ΔH ⋅
ΔA
h
≥ .
d
2
Â
dt
Wir führen das Zeitintervall Δt A ein, indem sich der quantenmechanische Erwartungswert
 gerade um die mittlere quadratische Schwankung ΔA verschiebt, d.h.
Δt A :=
ΔA
.
d
Â
dt
Ein solches charakteristisches Zeitintervall, das für eine nennenswerte Veränderung der
statistischen Verteilung der Messwerte von A mindestens erforderlich ist, kann für alle
Observable definiert werden. Da Ĥ die Energie E repräsentiert, "folgt" ΔE ⋅ Δt ≥ h / 2 .
Befindet sich ein qmS im Eigenzustand Z des zeitunabhängigen Ĥ , also in einem stationären
Zustand, dann ist
ΔE ⋅ Δt ≥
d
 = 0 und Δt divergiert. Das steht nicht im Widerspruch zu
dt
h
, da in diesem Zustand E scharf, also ΔE = 0 ist.
2
5
Wir werden auf die Relation ΔE ⋅ Δt ≥ h / 2 im Zusammenhang mit der Lebensdauer
angeregter Zustände und den Energiebreiten im Spektrum emittierter Photonen
zurückkommen, vgl. Kap. zeitabhängige Störungstheorie.
B: Beschreibe qmT durch einen Wellenzug (Wellenpaket) der Länge Δx . Für die Strecke Δx
benötigt das Teilchen die Zeit Δt ~
p2
Δx
("Zeitintervall des Vorbeiflugs"). Wegen E ~
p /m
2m
ist die Energieunschärfe etwa ΔE ~
p Δp
. Das ergibt dann
m
ΔE ⋅ Δt ~
p Δp Δx
h
⋅
= Δx ⋅ Δp ≥ .
m
p /m
2
Bei der Verschiebung eines Wellenpaketes wird aus Δx → Δt , aus Δp → ΔE und aus
Δx ⋅ Δp → Δt ⋅ ΔE
C: Eine weitere formale Argumentation ist folgende: Betrachte FT g(ω) einer zeitabhhängigen Funktion f(t)
gemäß f ( t ) =
1
2π
∞
∫
dω g( ω) e −iωt , g( ω) =
−∞
1
2π
∞
∫ dt f ( t) e
iωt
. Man findet Δt ⋅ Δω ≅ 1 , und mit E = hω dann
−∞
Δt ⋅ ΔE ≅ h . Beispiel: Ist f(t) Gauss-verteilt, dann auch g( ω) (beweisen!) und für die Breiten beider Verteilungen
gilt Δt ⋅ Δω = const .
6
8.
Quantentheorie des Drehimpulses
Motivation: Bahndrehimpuls → Zentralfeld → H-Atom → Atomspektren, Orbitale
KM:
L = r×p.
Bei Bewegung im Zentralfeld spielt die Drehimpulserhaltung eine zentrale Rolle.
QM: Korrespondenzprinzip führt auf L → L̂ = r̂ × p̂ mit den kartesischen Komponenten
⎛ L̂ x ⎞
⎜ ⎟
L̂ = ⎜ L̂ y ⎟ , z.B. L̂ z = x̂ p̂ y − ŷ p̂ x oder kompakt L̂i = εijk x̂ j p̂k
⎜ L̂ ⎟
⎝ z⎠
(Summenkonvention)
2
und dem Betrag des Bahndrehimpulses L̂ = L̂2x + L̂2y + L̂2z
(8.1a)
(8.1b)
Wir erwarten, dass die Drehimpulserhaltung auch in der Quantenmechanik eine wichtige
Rolle bei der Bewegung in allen zentralsymmetrischen Feldern U(r) spielt, etwa im Sinne von
Ψ ( r ) = ψ( r ) ⋅ Y (ϑ, ϕ) .
Aus den kanonische Vertauschungsrelationen [ x̂ i , x̂ j ] = 0 , [ p̂ i , p̂ j ] = 0 , [ x̂ i , p̂ j ] = ih δij
folgt (vgl. Übungsblatt, nutze ε ijk ε imn = δ jm δ kn − δ jn δ km )
[ L̂ i , L̂ j ] = ih ε ijk L̂ k und
2
[ L̂ , L̂ i ] = 0
.
(8.2)
Schlussfolgerung: Die Komponenten des Bahndrehimpulses L sind nicht gleichzeitig scharf
2
messbar; aber jede Komponente L i und L können gleichzeitig scharf gemessen werden.
2
Welche Messwerte sind für L und (z.B.) L z zu erwarten? Um diese Frage beantworten zu
können, müssen wir die beiden Eigenwerte der zugeordneten Operatoren bestimmen. Die
Eigenwertgleichungen schreiben wir in der Form
2
L̂ lm = h 2 l(l + 1) lm
und
L̂ z lm = hm lm
(8.3)
7
Die unbekannten Größen l und m sind reelle Zahlen, denn L̂ z = x̂ p̂ y − ŷ p̂ x und L̂ x , L̂ y sind
hermitesch, da x̂ , ŷ , ẑ , p̂ x , p̂ y p̂ z es sind und den kanonischen Vertauschungsrelationen (VR)
2
genügen. Damit ist auch L̂ = L̂2x + L̂2y + L̂2z hermitesch. Der Ansatz (8.2) ist keine
2
Beschränkung der Allgemeinheit. Wir könnten auch mit L̂ lm = λ λm und
L̂ z λm = m λm starten. Dann werden die Rechnungen unübersichtlicher. Die Faktoren h 2
2
bzw. h trennen wir aus Dimensionsgründen ab, dann sind l und m dimensionslos. L̂ und L̂z
haben gemeinsame Eigenfunktionen lm , weil sie vertauschbar sind.
8.1
Der verallgemeinerte Drehimpuls und die Drehimpulsalgebra
Wir verallgemeinern (8.1) und (8.2), indem wir definieren:
2
Def.: Jeder Vektoroperator Ĵ mit Ĵ = Ĵ 2x + Ĵ 2y + Ĵ 2z , dessen Komponenten der VR
[Ĵ i , Ĵ j ] = ih ε ijk Ĵ k
→
Drehimpulsalgebra
(8.4)
genügen, heißt Drehimpulsoperator.
•
Algebraische (darstellungsunabhängige) Lösung des Eigenwertproblems für
Drehimpulsoperatoren
Wir suchen reelle Zahlen j und m sowie EZ jm derart, dass
2
Ĵ jm = h 2 j( j + 1) jm
und
Ĵ z jm = h m jm
erfüllt sind und die Komponenten Ĵ i der Drehimpulsalgebra genügen.
8
Es gilt:
2
(i) Da Ĵ 2x + Ĵ 2y = Ĵ − Ĵ 2z ein positiver Operator ist, folgt nach Projektion auf seine EZ jm
h 2 j( j + 1) − h 2 m 2 ≥ 0 und es ergeben sich für j und m die Schranken
− j( j + 1) ≤ m ≤
j( j + 1) .
(8.5)
(ii) Wir definieren die Operatoren
Ĵ + := Ĵ x + i Ĵ y , Ĵ − := Ĵ x − i Ĵ y
Def.:
→ Leiteroperatoren
(8.6)
Sie erfüllen die Vertauschungsrelationen (prüfen!)
[ Ĵ , Ĵ ] = 2h Ĵ , [ Ĵ , Ĵ ] = ± h Ĵ
+
(iii)
−
z
(
Ĵ z Ĵ ± jm
z
±
) = Ĵ
±
2
, ⎡ Ĵ , Ĵ ± ⎤ = 0 .
⎢⎣
⎥⎦
(8.7)
( 8.7 )
z Ĵ ± jm = ( ± h Ĵ ± + Ĵ ± Ĵ z ) jm = ( m ± 1) h Ĵ ± jm
1
424
3
(8.8)
m h jm
2
Also: Ist jm EF der kommutierenden Operatoren Ĵ und Ĵ z zu den EW h 2 j( j + 1) bzw.
h m , dann sind auch Ĵ ± jm EF dieser Operatoren, allerdings zu den EW h 2 j( j + 1) und
h (m ± 1).
Deshalb werden die Leiteroperatoren auch Auf- bzw. Absteigeoperatoren genannt: Mehrfache
Anwendung von Ĵ ± auf jm lässt j konstant, ändert aber m in ganzzahligen Schritten.
(iv) Wegen m 2 ≤ j( j + 1) , (ii) , muss die Leiter in beiden Richtungen abbrechen. Also existiert
für jedes j ein mmax(j) und ein mmin(j) mit
Ĵ + jm max = 0
bzw.
Ĵ − jm min = 0 .
9
Ĵ − angewendet auf die linke Relation ergibt m max = j , denn
0 = Ĵ − Ĵ + jm max = ( Ĵ x − i Ĵ y ) ( Ĵ x + i Ĵ y ) jm max
⎤
⎡
2
2
⎢
= J x + J y + i ( Ĵ x Ĵ y − Ĵ y Ĵ x ) ⎥ jm max =
⎢
142
4 43
4 ⎥
⎥⎦
⎢⎣
i h Ĵ z
2
= ( Ĵ − Ĵ 2z − h Ĵ z ) jm max = h 2 [ j( j + 1) − m 2max − m max ] jm max .
Analog führt Ĵ + Ĵ − jm min = 0 auf m min = − j .
Da m sich in ganzzahlige Schritten ändert, muss m max − m min = 2 j eine ganze Zahl sein.
Folglich ist
1 3
j ganz- oder halbzahlig j = 0, ,1, , ....
2 2
(8.9)
und
m nimmt die Werte
m = − j, − j + 1, ... , 0 , ... , j − 1, j
(8.10)
an.
Fazit: Drehimpulsoperatoren besitzen diskrete EW. Die Beträge der Drehimpulse sind
1 3
h j( j + 1) mit j = 0, ,1, , .... , ihre Komponenten ganzzahlige Vielfache von h mit
2 2
2
m = 0, ± 1 / 2, ± 1, ... , ± ( j − 1), ± j . Damit ist jeder Zustand mit gegebenem J genau (2 j +1) –
fach entartet → Richtungsentartung.
In der "alten", Bohr-Sommerfeld´schen Quantenmechanik musste die aus klassischer Sicht
verblüffende Richtungsquantelung zusätzlich postuliert werden.
behelfsmäßige Veranschaulichung: (halbklassisches Vektormodell mit "raumfestem" Vektor als
Hilfskonstruktion)
Anschaulich "präzediert J um die z-Achse" auf einem Kegelmantel, da mit gegebenem Ĵ z
die Komponenten Ĵ x und Ĵ y nicht gleichzeitig scharf messbar sind. Der auf der Spitze
stehende Kegel (Symmetrieachse ist die z-Achse) ist h m hoch, seine Mantellinie ist
h j( j + 1) lang und der Kegelradius ergibt sich also zu h j( j + 1) − m 2 .
10