1 6.4 1D harmonic oscillator revisited • Was wir schon wissen (Kap

8. Woche 31.5./1.6.11
6.4
1D harmonic oscillator revisited
•
Was wir schon wissen (Kap. 4, Mechanik Kap. 1.4.9 )
Motivation:
→ Atom- und Molekülspektren
QM
→ Gitterschwingungen → Normlkoordinaten → ungekoppelte HO → Phononen;
Wärmekapazität von Festkörpern bei niedrigen Temperaturen c(T → 0) ~ T 3 (Debey)
→ "Quantisierung" des elektromagnetischen Feldes → Hohlraumstrahlung (Planck, 1900)
klassische Beschreibung:
Teilchen oszilliert, x ( t ) = A cos(ω t + ϕ) , ω2 =
Energie E =
k
,
m
m 2
m
x& + U( x ) = ... = ω2 A 2 zwischen 0 ≤ E < ∞ , kontinuierlich
2
2
quantenmechanische Beschreibung: (Kap. 4)
Ohne Rechnung:
i
~ ( x, t ) = ψ ( x ) e − h Et .
→ da Potenzial U(x) zeitunabhängig, folgt ψ
→ da U(x) = U(-x) sind alle WF ψ ( x ) gerade oder ungerade.
→ da wir das eindimensionale Problem behandeln und U( x → ±∞) = ∞ , erwarten wir für die
untersuchte gebundene Bewegung ein diskretes, nichtentartetes Energiespektrum.
Mit Rechnung:
In Kap. 4 haben wir mit der Sommerfeld´sche Polynommethode die stationäre SchrödingerGleichung in (wie wir jetzt wissen) Ortsdarstellung gelöst, um ψ ( x ) und En zu bestimmen:
mω
y=
x, α=
d 2 ψ ( y)
h 2 d 2ψ ( x ) mω2 2
h
hω
−
+
x
ψ
(
x
)
=
E
ψ
(
x
)
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
+ (α − y 2 ) ψ ( y) = 0 .
2
2
2m dx
2
dy
2E
1
−
y2
2
→
Asymptotik: ψ ( y) ~ e
↔ Normierbarkeit
→
Asymptote abspalten, Potenzreihenansatz für den "Rest", Rekursionsformel
↑
6447
448
ψ ( y) = f ( y) e
↑
6447
448
y2
−
2
∞
f ( y) = ∑ a k y k
,
,
k =0
→
↑
6444
47
4444
8
2k + 1 − α
a k +2 =
ak .
(k + 1) (k + 2)
Normierbarkeit sichern
⎧ a1 = 0 , wenn n ungerade
⎪
α = 2n + 1, n = 0,1, 2, ... sowie ⎨
⎪ a = 0 , wenn n gerade
⎩ 0
→
1⎞
⎛
ergibt E = E n = ⎜ n + ⎟ hω , n = 0,1, 2.... äquidistantes nichtentartetes
2⎠
⎝
Energiespektrum mit den dazugehörigen Eigenzuständen/EF
1
⎛ mω ⎞ 4
ψ n (x) = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
⎛
H n ⎜⎜
2 n n! ⎝
1
wobei H n (z) := (−1) n e z
Diese lösen die ODE
→
2
mω ⎞
mω 2
⎟ exp⎛⎜ −
x
⎟
h ⎠
⎝ 2h
⎞
⎟,
⎠
d n − z2
e die hermiteschen Polynome sind.
dz n
d2
d
− 2 y + 2 n ) H n ( y ) = 0.
2
dy
dy
für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte fanden wir
lim ψ n ( x )
n →∞
2
1
⎧
, x <A
⎪
2
2
A
x
π
−
⎪
.
= w kl ( x ) = ⎨
⎪
0 , sonst
⎪
⎩
2
•
Dirac: Darstellungsunabhängige, algebraische Lösung des EWP für den
Hamilton-Operator des HO
ausschließlich unter Verwendung der darstellungsinvarianten (warum?) Vertauschungsrelation zwischen Orts- und Impulsoperator [x̂ , p̂ x ] = ih → Operator-Methode oder
Besetzungszahldarstellung ↔ II. Quantisierung (s.u.)
H(p x , x ) =
p 2x mω2 2
p̂ 2 mω2 2
Korrespondenzprinzip
+
x ⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯→ Ĥ = x +
x̂ mit [x̂ , p̂ x ] = ih .
2m
2
2m
2
(H1)
Dirac führt den Operator â und seinen adjungierten â + ein
mω
i
x̂ +
p̂ x
2h
2 m hω
â :=
â + :=
mω
i
x̂ −
p̂ x
2h
2 m hω
x̂ =
↔
(
h
â + + â
2mω
)
m hω +
p̂ x = i
â − â
2
(
.
)
(H2)
Offensichtlich sind weder â noch â + selbstadjungiert. Sie genügen der Vertauschungsrelation
[ â, â ] = 1, bzw. â â
+
+
= 1 + â + â
(H3)
denn
⎡ mω
i
mω
i
x̂ +
p̂ x ,
x̂ −
p̂ x
⎢
2h
2 m hω
2 m hω
⎢⎣ 2h
Wegen
â + â =
⎤
i
i
i
x̂ , p̂ x ] + [ p̂ x , x̂ ] =
(−ih + ih ) = 1 .
⎥ = − [1
2
3
1
2
3
2h
2h
2h
⎥⎦
ih
− ih
1 ⎛ mω2 2 p̂ 2x
1
i
mω 2
⎜
x̂ +
x̂ +
p̂ 2x + ( x̂ p̂ x − p̂ x x̂ ) =
2m
2m hω
2h 14243 hω ⎜⎝ 2
2h
1/ 2
1⎞
⎛
Ĥ = hω ⎜ â + â + ⎟ .
2⎠
⎝
⎞ 1
⎟⎟ −
⎠ 2
folgt
(H4)
3
Damit ist das Eigenwertproblem (EWP) für den Hamilton-Operator Ĥ auf das des Operators
N̂ = â + â
(H5)
zurückgeführt. Wir bezeichnen die EF des Operators N̂ mit n , die entsprechenden EW mit
n und lösen die Gleichung
N̂ n = n n .
•
(H6)
Eigenwerte von Ĥ
( )
(i) Der Operator N̂ ist hermitesch, denn N̂ + = â + â
+
= â + â + + = â + â = N̂ . Also sind die EW n
reell.
(ii) Die EW von N̂ sind nicht negativ, denn n = n N̂ n = n â + â n = â n â n ≥ 0 . Damit
ist das Spektrum von N̂ nach unten beschränkt.
(iii) Aus N̂ n = n n
folgt N̂ ( â n ) = (n − 1) ( â n ) .
Das bedeutet: Wenn n EF von N̂ zum EW n ist, dann ist â n ebenfalls EF von N̂ ,
allerdings zum EW (n-1). Beweis:
N̂ â n = (â + â ) â n = (â â + − 1) â n = â (â + â − 1) n = â N̂ n − â n = â n n − â n = (n − 1) ( â n
( H 3)
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die EW von N̂ (wie die von Ĥ ) nicht entartet
sind1), folgt â n = const n − 1 wegen N̂ n − 1 = (n − 1) n − 1 (H6). Im Gegensatz zu n ist
â n noch nicht normiert. Wir finden â n â n = n â + â n = n N̂ n = n n n = n , damit ist
â n = n n − 1 .
(H7)
4
)
(
)
(
(iv) Analog wird die Gültigkeit der Relation N̂ â + n = (n + 1) â + n
)
bewiesen:
(
( H 3)
)
N̂ â + n = â + (â â + ) n = â + (â + â + 1) n = â + N̂ n + â + n = â + n n + â + n = (n + 1) â + n .
Also ist â + n = const n + 1 ; Normierung ergibt
â + n
2
= â + n â + n = n â â + n = n 1 + â + â n = (1 + n ) n n = 1 + n ,d.h.
â + n = n + 1 n + 1 .
(H8)
Zwischenbilanz: Ist n EF von N̂ zum EW n ist, dann ist â n EF von N̂ zum EW n - 1
und â + n
EF von N̂ zum EW n + 1: Damit gilt z.B.
(â + ) 2 n = (n + 1)(n + 2 n + 2
oder
(â )3 n = n (n − 1)(n − 2) n − 3
usw.
(v) Bei wiederholter Anwendung von â auf n könnten im Widerspruch zu (ii) negative
EW auftreten. Folglich muss ein Grundzustand → Vakuumzustand n 0 mit â n 0 = 0
existieren. Wegen N̂ n 0 = â + â n 0 = â + 0 = 0 ist der EW von N̂ zum Grundzustand n 0
gleich Null. Entsprechen der in (H6) vereinbarten Notation schreiben wir deshalb den
Grundzustand als 0 anstelle von n 0 ; allerdings ist 0 nicht der Nullvektor, denn
0 0 = 1.
(vi) Das Spektrum von N̂ ist nach oben unbeschränkt.
Zum Beweis nehmen wir das Gegenteil an. Sei n max der größte EW von N̂ , d.h.
â + n max = 0 . Dann wäre
0 = â + n max
2
= â + n max â + n max = n max â â + n max = n max ( N̂ + 1) n max = n max + 1 ,
also n max im Widerspruch zu (ii) negativ.
5
Fazit aus (i) – (vi): EW des Operators N̂ sind n = 0, 1, 2, … . Wegen (H4) ,
1⎞
⎛
Ĥ = hω ⎜ â + â + ⎟ , ergibt sich daraus sofort das schon bekannte Energiespektrum des 1D HO
2⎠
⎝
1⎞
⎛
E n = hω ⎜ n + ⎟ , n = 0,1, 2 ...
2⎠
⎝
(H9)
mit seine diskreten, äquidistanten, nicht entarteten Energieniveaus.
Wir wollen (H7-9) folgendermaßen interpretieren: Der n-te angeregte Zustand n des HO
ist mit n Schwingungsquanten der Energie hω besetzt.
N̂ gemäß N̂ n = n n
→
Besetzungszahloperator (Operator zur Observable:
Anzahl der Schwingungsquanten in n )
â gemäß â n = n n − 1
→
Vernichtungsoperator: Anwendung von â auf n
vernichtet ein Schwingungsquant
â + gemäß â + n = n + 1 n + 1 → Erzeugungsoperator: Anwendung … erzeugt … .
Bemerkungen:
1. zweite Quantisierung
Offensichtlich lassen sich die Operatoren von Observablen, die nach dem Korrespondenzprinzip Q(p, r ) → Q̂ = Q(p̂, r̂ ) aus den entsprechenden Phasenraumvariablen gebildet werden
können, als Produkte der Operatoren â und â + darstellen. Zu berücksichtigen ist allerdings,
dass es nicht für alle Operatoren klassische Analoga gibt, z.B. nicht für den Spin- oder für den
Paritätsoperator.
Die Darstellung aller Operatoren von Observablen durch Kombinationen aus Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren wird als zweite Quantisierung bezeichnet und ausführlich im
Kurs ThPh V, QM II behandelt. Sie ist von grundlegender Bedeutung für die
quantenmechanische Behandlung von Vielteilchensystemen.
6
2. Glauber-Zustände
Obwohl â und â + als nichthermitesche Operatoren zu keiner Observablen korrespondieren,
sind ihre EF α gemäß
â α = α α , α ∈ C komplex
physikalisch relevant. Diese quasiklassischen/kohärenten/Glauber-Zustände haben
interessante Eigenschaften, von denen einige ohne Beweis aufgeführt seien
-
Δx
-
x
α
α
Δp x
!
α
und p x
=
α
h
→ "minimale Wellenpakete"
2
genügen den klassischen Bewegungsgleichungen (oszillieren mit
Frequenz ω , wohingegen x
n
= px
n
=0.
7
•
Eigenfunktionen von Ĥ
Ĥ und N̂ haben gemeinsame EF. Diese lassen sich durch aufeinanderfolgende Anwendung
von â + aus dem Grundzustand 0 gewinnen:
â + 0 = 1 1 , â + 1 → 1 =
1 +
1 +
1
â 0 , â + 1 = 2 2 , â + 1 → 2 =
â 1 =
(â + ) 2 0
1
2
1⋅ 2
also
n =
1
(â + ) n 0 , n = 0,1, 2,...
n!
(H10)
• EF von Ĥ in Ortsdarstellung
Grundzustand: Wir projezieren â 0 = 0 auf x
mω
i
x̂ +
p̂ x 0 =
2h
2 m hω
0 = x â 0 = x
=
h dψ 0 ( x )
mω
x ψ0 (x) +
2h
2mω dx
und erhalten
mω
i
x x̂ 0 +
2h 123
2 m hω
x x 0 = x ψ0 ( x )
x p̂ x 0
1
424
3
− ih
=
d
dψ ( x )
x 0 = −ih 0
dx
dx
(H11).
Diese ODE für die Grundzustandwellenfunktion lässt sich durch Trennung der Variablen
lösen (
mω 2mω
dψ 0
x dx =
). Nach Normierung folgt das bereits in Kap. 4 gefundene
2h h
ψ0
Ergebnis
1
mω
⎛ mω ⎞ 4 − 2 h x 2
ψ 0 (x) = ⎜
.
⎟ e
⎝ πh ⎠
(H12)
8
Angeregte Zustände: Sukzessive können die Wellenfunktionen der angeregten Zustände
gewonnen werden, z.B.
⎛
ψ1 ( x ) = x 1 = x â 0 = ⎜⎜
⎝
mω
h d ⎞
⎟ x0 =
x−
2h
2mω dx ⎟⎠
h
dψ 0
mω
dψ
=−
ψ 0 ist −
x 0 =
h
dx
2mω dx
denn mit (H11)
d
mω
x mit
=
h
dx
Bemerkung: Die Substitution q :=
2mω
x ψ0 (x)
h
(H13)
mω
x ψ0 .
2h
mω d
d
vereinfacht die
in p̂ x = −ih
dx
h dq
Ausdrücke erheblich, denn nun ist
â =
1 ⎛
d ⎞
1 ⎛
d ⎞
⎜⎜ q + ⎟⎟ , â + =
⎜⎜ q − ⎟⎟
dq ⎠
dq ⎠
2⎝
2⎝
also
1
ψ n (q) := q n =
q (â + ) n 0 =
n!
n
⎛
d ⎞
⎜⎜ q − ⎟⎟ ψ 0 (q ) .
n
dq ⎠
2 n! ⎝
1
(H14)
Zeigen Sie, dass daraus folgt
1
⎛ mω ⎞ 4
ψ n (q ) = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
1
2n n!
wobei H n (q ) = (−1) n e q
H n (q ) e
2
−
q2
2
, n = 0,1, 2, ...
d n − q2
e die Hermiteschen Polynome sind. Die H n (q ) sind Lösungen
dq n
⎛ d2
⎞
d
der linearen1) homogenen ODE 2. Ordnung ⎜⎜ 2 − 2q + 2n ⎟⎟ H n (q ) = 0 ist (zeigen!, vgl.
dq
⎝ dq
⎠
Nolting, 4.170, S. 288 oder Fließbach, S. 232).
Damit ist der Anschluss an die Behandlung des 1D HO nach der Sommerfeld´schen
Polynommethode im Kap. 4 vollzogen.
9
7.
Der Messprozess in der QM
Beteiligte:
Messobjekt (→ MO)
Messapparatur (→ MA)
Beobachter (B)
Messung:
Wechselwirkung (→ WW) zwischen MO, MA und B
klassische Physik:
Diese WW/wechselseitige Beeinflussung ist vernachlässigbar.
Quantenmechanik:
WW zwischen MO und MA ist nicht vernachlässigbar. Das Einschalten
der (makroskopischen) MA führt in der Regel zur unkontrollierten
Störung des (mikroskopischen) MO. Die Messung ändert den Zustand des MO
(Zustandsreduktion, vgl. 3. Postulat), d.h. bei unmittelbar anschließender zweiter Messung
befindet sich das MO in der Regel in einem anderen Zustand als vor der Messung.
•
Kombinierte Messung zweier Observablen A und B
Sei  ψ n = a n ψ n
und B̂ φn = b n φn . Wir unterscheiden folgende beide Fälle:
1. Fall:
Die beiden zugeordneten Operatoren  und B̂ sind vertauschbar (→ kompatible
Observable):
[ Â, B̂] = 0 . Dann besitzen sie einen gemeinsamen VONS, { ψ } .
n
Eine A-Messung im Zustand ψ ergibt den Messwert an mit Prob( a = an ) = ψ n ψ
2
und
reduziert ψ auf ψ n .
Eine sofort anschließende B-Messung ergibt mit Sicherheit den Wert bn, denn
Prob( b = bn | a = an ) = ψ n ψ n
2
=1 .
10
2. Fall:
[ Â, B̂] ≠ 0 , d.h.
 und B̂ besitzen unterschiedliche VONS,
{ ψ } bzw. { φ } .
n
n
Nach der A-Messung befindet sich das MO/qmS nicht in einem Eigenzustand von B̂ .
Deshalb ist Prob( b = bn | a = an ) = φn ψ n
2
≠ 1.
Fazit: Werden in der QM zwei verschiedene Observable zeitnah in unterschiedlicher
Reihenfolge gemessen, kann das Ergebnis unterschiedlich sein. Manche Observable sind in
der QM nicht gleichzeitig scharf messbar.
Die Behauptung/Feststellung, A und B seien/sind nicht gleichzeitig scharf messbar, wenn die
zugeordneten Operatoren  und B̂ nicht kommutieren, wird durch die Angabe der folgenden
objektiven unteren Schranke für die Streuung / die mittleren quadratischen Schwankungen der
Messwerte um den qmEWW quantifiziert:
ΔA ⋅ ΔB ≥
1
2
[ Â, B̂]
→
verallgemeinerte Heisenberg´sche Unschärferelation,
wobei die Streuung über die qm EWW im Zustand ψ wie folgt definiert ist:
ΔA =
( Â − Â )
2
=
(
ψ Â − ψ Â ψ
)
2
ψ =
(
ψ Â 2 ψ − ψ Â ψ
)
2
.
Der Beweis dieses Satzes fußt wesentlich darauf, dass  und B̂ hermitesche Operatoren
sind. Mit  und B̂ sind auch Δ =  −  und ΔB̂ = B̂ − B̂ hermitesch. Wir führen den
(nichthermiteschen!) Operator Q̂ := ΔÂ − iλ ΔB̂ , λ reell, und betrachten die nichtnegative
Funktion
f (λ) = Q̂ + Q̂ = ψ Q̂ + Q̂ ψ = Q̂ ψ Q̂ ψ ≥ 0 für alle λ .
11
Es ist
(
)(
) ( )
( )
2
2
f (λ) = ΔÂ + iλ ΔB̂ ΔÂ − iλ ΔB̂ = ΔÂ + iλ ΔB̂ ΔÂ − ΔÂ ΔB̂ + λ2 ΔB̂ = α − iβ λ + γ λ2 .
144
42444
3
1
424
3
1
424
3
β
α
γ
α und γ sind positiv, denn für jeden hermiteschen Operator F̂ gilt
F̂2 = ψ F̂ F̂ ψ = F̂+ ψ F̂ ψ = F̂ ψ F̂ ψ ≥ 0 .
Wir berechnen β2
β2 =
[ΔÂ, ΔB̂]
2
=
[Â, B̂]
2
[ ] [B̂, Â]
= − Â, B̂
[ ] [Â, B̂]
= − Â, B̂
*
=−
[Â, B̂]
2
denn für hermitesche  und B̂ gilt
[Â, B̂]
*
=
[B̂, Â]
= B̂Â − ÂB̂ = ψ B̂Â ψ − ψ ÂB̂ ψ = Â B̂ ψ ψ − B̂ Â ψ ψ =
*
= ψ Â B̂ ψ − ψ B̂ Â ψ
*
= ψ Â B̂ − B̂ Â ψ =
[Â, B̂]
*
.
Damit ist β rein imaginär.
[ ] = [ B̂, Â] = − [ Â, B̂]. Statt [ Â, B̂] ist
Beachte: Wenn  und B̂ hermitesch sind, dann ist Â, B̂
[ ]
i Â, B̂ hermitesch; der qmEWW
Bei λ =
[ Â, B̂]
+
ist also i.a. nicht reell.
iβ
besitzt die positiv definite quadratische Funktion f (λ ) = α − iβ λ + γ λ2 ein lokales
2γ
⎛
⎞
Minimum ⎜⎜ f ′(λ ) = 2γλ − iβ = 0, f ′′ i β = 2γ > 0 ⎟⎟ , der entsprechende Funktionswert
2γ
⎝
⎠
2
⎛ iβ ⎞
⎛ iβ ⎞
iβ
β2
f ⎜⎜ ⎟⎟ = α − iβ + γ ⎜⎜ ⎟⎟ = α +
>0
2γ
4γ
⎝ 2γ ⎠
⎝ 2γ ⎠
12
ist positiv. Daraus folgt nach Multiplikation mit γ > 0 schließlich α γ > −
( Δ Â ) 2 ⋅ ( Δ B̂ ) 2 ≥ −
( [ Â , B̂ ] ) bzw.
1
−
4
ΔA ⋅ ΔB ≥
1
2
β2
, also
4
[ Â, B̂]
für
 =  + , B̂ = B̂+ .
•
Energie-Zeit-Unschärfe
Die Zeit ist in der QM ein Parameter, der nicht als EW eines Operators t̂ aufgefasst werden
kann.
h
Es gibt verschieden Möglichkeiten der Herleitung der Energie-Zeit-Unschärfe ΔE Δt ≥
2
A: Formale Vorgehensweise: Angenommen, Â und Ĥ sind nicht explizit zeitabhängig. Dann
ist (vgl. Ehrenfest´sche Sätze → Übung oder Poissson-Klammern und Integrale der
Bewegung in der KM)
ih
d
 =
dt
[ Â, Ĥ]
+ ih
∂Â
=
∂t
[ Â, Ĥ]
Aus der verallgemeinerten UR folgt
ΔA ⋅ ΔH ≥
1
2
[ Â, Ĥ]
=
h d
Â
2 dt
bzw.
ΔH ⋅
ΔA
h
≥ .
d
2
Â
dt
Wir führen das Zeitintervall Δt A ein, indem sich der qmEWW Â gerade um die mittlere
quadratische Schwankung ΔA verschiebt
Δt A :=
ΔA
.
d
Â
dt
13
Ein solches charakteristisches Zeitintervall, das für eine nennenswerte Veränderung der
statistischen Verteilung der Messwerte von A mindestens erforderlich ist, kann für alle
Observable definiert werden. Da Ĥ die Energie E repräsentiert, "folgt" ΔE ⋅ Δt ≥
h
.
2
Befindet sich ein qmS im EZ des zeitunabhängigen Ĥ (→ stationärer Zustand), dann ist
d
h
 = 0 und Δt divergiert. Das ist nicht im Widerspruch zu ΔE ⋅ Δt ≥ , da in diesem
dt
2
Zustand E scharf, also ΔE = 0 ist.
B: Beschreibe qmT durch einen Wellenzug/Wellenpaket der Länge Δx . Für die Strecke Δx
benötigt das Teilchen die Zeit Δt ~
Δx
("Zeitintervall des Vorbeiflugs"). Die
p /m
Energieunschärfe ΔE ist wegen E ~
ΔE ⋅ Δt ~
p Δp
p2
etwa ΔE ~
. Das ergibt dann
2m
m
p Δp Δx
h
⋅
= Δx ⋅ Δp ≥ .
m
p /m
2
Bei der Verschiebung eines Wellenpaketes wird aus Δx → Δt , aus Δp → ΔE und aus
Δx ⋅ Δp → Δt ⋅ ΔE
14