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Dr. H. Grunert
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vorlesungscharts
Vorlesung 2
„Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten bei
gemeinsam eintretenden
Ereignissen“
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Unabhängigkeit von Ereignissen
Multiplikationssätze
Totale Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
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2004
Dr. H. Grunert
Chart 1:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des zufälligen
Ereignisses A unter der Bedingung, dass (vorher) das zufällige Ereignis B eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit P (A | B), mit
P ( A | B) =
P ( A Ç B)
P ( B)
Gleichermaßen gilt :
P ( B | A) =
P ( A Ç B)
P ( A)
(Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind “Eigenschaften” von
Ereignissen.)
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Chart 2:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Beispiel zu bedingten Wahrscheinlichkeiten
Studenten bestehen die Klausur im Fach Statistik mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 und im Fach Finanzmathematik mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,8. Die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen beider Klausuren beträgt
0,6.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine der
beiden Klausuren zu bestehen ?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Statistikklausur bestanden wird, wenn die Klausur Finanzmathematik bestanden wird ?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Klausur Finanzmathematik bestanden wird, wenn die Statistikklausur bestanden wird ?
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Chart 3:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse sind voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn die
Eintrittswahrscheinlichkeit des einen Ereignisses nicht von der Eintrittswahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses abhängt.
è
Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft von Wahrscheinlichkeiten
Zwei Ereignisse A und B sind (stochastisch) voneinander
unabhängig, wenn gilt:
P ( A) = P ( A | B )
P ( A) = P ( A | B )
P ( A | B) = P ( A | B )
bzw.
P ( B ) = P ( B | A)
P ( B) = P ( B | A)
P ( B | A) = P ( B | A )
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Chart 4:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
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(allgemeiner) Multiplikationssatz für Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten der zufälligen
Ereignisse A und B ergibt sich aus
P ( A Ç B ) = P ( A) × P ( B | A) = P ( B ) × P ( A | B )
.
Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei unabhängige Ereignisse
A und B gemeinsam eintreten, beträgt
P ( A Ç B ) = P ( A) × P ( B )
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.
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Chart 5:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Bilden die Ereignisse A 1, A 2, ....... , A n eine vollständige
Zerlegung des Ereignisraumes und ist B ein beliebiges Ereignis,
dann gilt
n
P ( B ) = å P ( Ai ) × P ( B | Ai ) .
i =1
Satz von Bayes
Bilden die Ereignisse A 1, A 2, ....... , A n eine vollständige
Zerlegung des Ereignisraumes und ist B ein beliebiges Ereignis,
Ak | B
dann gilt für ein Ereignis
P ( Ak | B ) =
P ( Ak ) × P ( B | Ak )
n
å P( A )× P(B | A )
i =1
i
mit k = 1, 2,3, ... , n
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i
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Chart 6:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Beispiel zur totalen Wahrscheinlichkeit
Nahverkehr in einer Großstadt
Verkehrsmittel
Wahrscheinlichkeit für die
Betriebssicherheit1
Bi|Ai
Beförderungsanteil ²
Ai
S - Bahn
0,9
0,5
U - Bahn
0,95
0,1
Straßenbahn
0,7
0,15
Bus
0,8
0,25
1,0
1
Wahrscheinlichkeit dafür, dass wartende Kunden mit dem
jeweiligen Verkehrsmittel befördert werden
(statistisch ermittelte Wahrscheinlichkeit)
2
bezogen auf die Anzahl der Nutzungen ( Doppelzählungen
je Fahrgast möglich)
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