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Dr. H. Grunert
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Vorlesungscharts
Vorlesung 1
„Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung“
•
•
Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse
Definitionen der Wahrscheinlichkeit
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Werfen eines Würfels
Entwicklung eines
Sparguthabens
K t = K 0 * (1+i) t
{1;2;3;4;5;6 }
bestimmtes Ergebnis
haben, muss es aber
nicht; es kann auch ein
anderes Ergebnis sein
der Vorgang kann ein
zufällig
der Vorgang hat ein
eindeutiges Ergebnis
deterministisch
Vorgänge
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Chart 1:
Dr. H. Grunert
Chart 2:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Definitionen zum Zufallsvorgang
Zufallsvorgang
Vorgänge (Experimente/ Versuche), die
unter gegebenen Bedingungen beliebig oft
wiederholt werden können und deren
Ergebnis vom Zufall abhängt
Beispiel:
Werfen eines Würfels
Ermittlung des Tagesumsatzes
eines Fachgeschäftes
- tatsächlich wiederholbare Vorgänge
- gedanklich wiederholbare Vorgänge
Elementarereignis
Elementarereignisse sind die einzelnen,
elementaren Ergebnisse w eines Zufallsvorganges
Beispiel: 1; 2; 3; 4; 5; 6
Ereignisraum W
Menge aller möglichen elementaren Ergebnisse w eines Zufallsvorganges
W = {w1 ; w2 ; w3 ; .... ; wn }
Beispiel :
Ereignis
eine Teilmenge des Ereignisraumes W,
die sich aus einem oder mehreren Elementarereignissen zusammensetzt
Beispiel:
Unmögliches
Ereignis
W = {1; 2;3; 4;5; 6}
A = {1;3;5} B {2;4;6}
C = {1;5]
ein Ereignis ist unmöglich, wenn es kein
Elementarereignis des Ereignisraumes umfasst
Beispiel : U = { } U = Æ U = {7}
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Dr. H. Grunert
Sicheres Ereignis S
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
ein Ereignis ist sicher, wenn es alle
Elementarereignisse des Ereignisraumes
umfasst
Beispiel: S = {1;2;3;4;5;6}
Komplementärereignis
das Komplementärereignis  ist genau
das Ereignis, dass eintritt, wenn A nicht
eintritt
Beispiel : A = {1}
Teilereignis
Teilmenge eines Ereignisses; A Ì B
tritt das Ereignis A ein, tritt gleichzeitig auch das
Ereignis B ein
Beispiel:
Verträgliche
Ereignisse
 = {2;3;4;5;6}
A = {2}
B = {2;4;6}
haben zwei Ereignisse mindestens ein
gemeinsames Elementarereignis, so
sind sie verträgliche Ereignisse
Beispiel : A = {1;3;5;6} B {2;4;5}
Unverträgliche
Ereignisse
haben zwei Ereignisse kein gemeinsames
Elementarereignis, so sind sie unverträgliche Ereignisse (disjunkte Ereignisse)
Beispiel: A = {1;3;5}
Vollständige
Zerlegung des
Ereignisraumes
B = {2;4;6}
ergeben alle unverträglichen Ereignisse
das Sichere Ereignis, so bilden sie eine
vollständige Zerlegung des Ereignisraumes
Beispiel:
S = {A , B} = { {1;3;5} , {2;4;6} }
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2004
Dr. H. Grunert
Chart 3:
(1)
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Anwendung von Mengenoperationen auf Ereignisse
Vereinigung von Ereignissen
Die Vereinigung der Ereignisse A und B umfasst genau
die Elementarereignisse, die in den Ereignissen A und B
enthalten sind.
(2)
Schreibweise:
Beispiel :
A È B (gesprochen: A vereinigt mit B)
A = {1;2;3} B = {2;4}
A È B = {1;2;3;4}
Interpretation:
es tritt entweder A oder B ein
Durchschnitt von Ereignissen
Der Durchschnitt der Ereignisse A und B umfasst genau
die Elementarereignisse, die in einem jeden der Ereignisse A und B enthalten sind.
(3)
Schreibweise:
Beispiel:
A Ç B (gesprochen: A geschnitten mit B)
A = {1;2;3} B = {2;4}
A Ç B = {2}
Interpretation:
es treten A und B gleichzeitig ein
(logische) Differenz von Ereignissen
Die logische Differenz der Ereignisse A, B umfasst genau
die Elementarereignisse von A, die nicht gleichzeitig auch
zum Elementareignis B gehören.
Schreibweise:
Beispiel:
A \ B (gesprochen: A ohne B)
A = {1;2;3} B = {2;4}
A \ B = {1;3}
Interpretation:
es tritt A ohne B ein
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2004
Dr. H. Grunert
Chart 4:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Rechenregeln für Ereignisse
Vereinigung von
Ereignissen
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
De-Morgan-Regel
Durchschnitt von
Ereignissen
EÈE=E
EÈÆ=E
EÈW=W
EÈF=FÈE
(E È F) È G
= E È (F È G)
=EÈFÈG
E È (F Ç G) =
(E È F) Ç (E È G)
EÇE=E
EÇÆ=Æ
EÇW=E
EÇF=FÇE
(E Ç F) Ç G
= E Ç (F Ç G)
=EÇFÇG
E Ç (F È G) =
(E Ç F) È (E Ç G)
EÈF = EÇF
EÇF = EÈF
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2004
Dr. H. Grunert
Chart 5:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definitionen der Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit ....
erfasst den Grad der Sicherheit
des Eintretens oder Nichteintretens eines Ereignisses
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Sind die Ereignisse eines Zufallsexperimentes gleichwahrscheinlich
und ist ihre Anzahl endlich, so gilt für die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten eines Ereignisses A :
P ( A) =
m
n
mit
P(A)...
m ...
n ...
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
Anzahl der für das Eintreten von A günstigen
Fälle
Anzahl der gleich möglichen Fälle (Ergebnisse
des Zufallsexperimentes, Anzahl der Elementarereignisse in W)
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Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
( nach der Klassischen Definition )
(1)
Wahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ; ihr Betrag kann nur
zwischen 0 und 1 liegen
0 £ P(A) £ 1
(2)
jedes Elementarereignis ist gleichwahrscheinlich
P ( Ai ) =
1
n
für i = 1; 2;..........; n
S P(A i) = 1
(3)
P(S) = 1
P(U) = 0
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Dr. H. Grunert
Chart 6:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
2004
Die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
Es sei hn(A) die absolute Häufigkeit für das Eintreten des Ereignisses A
bei n Versuchen unter gleichen Bedingungen.
Dann kann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des zufälligen
Ereignisses A durch
hn ( A )
n ®¥
n
P ( A ) = lim f n ( A ) = lim
n ®¥
erklärt werden.
P(A) ...
n ......
fn (A) ...
hn(A) ...
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
Anzahl der Wiederholungen des Versuches
relative Häufigkeit für das Eintreten von A bei
n Wiederholungen
absolute Anzahl des Eintretens von A bei
n Wiederholungen
Je größer n, umso besser stimmt die relative Häufigkeit
des Ereignisses A [ fn (A) ] mit der Wahrscheinlichkeit
des Eintretens des Ereignisses A [ P(A) ] überein.
lim P (| f n ( A ) - P ( A ) |> e ) = 0
n ®¥
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für beliebige
e>0
Dr. H. Grunert
Chart 7:
Axiom I
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Jedem zufälligen Ereignis A ist eine bestimmte
nichtnegative Zahl P(A) - seine Wahrscheinlichkeit - zugeordnet, welche die Ungleichung
0 £ P(A) £ 1
erfüllt ( Nichtnegativität).
Axiom II
Für die Wahrscheinlichkeit des Sicheren Ereignisses gilt
P(S) = 1
( oder 100%) .
( Normierung)
Axiom III
Für zwei unverträgliche Ereignisse A1 und A2
mit A1 Ç A2 = Æ gilt
P (A1 È A2 ) = P(A1 ) + P (A2 ) .
(Additionsaxiom, Additivität )
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2004
Dr. H. Grunert
Chart 8:
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
(Zusammenfassung)
(1)
0 £ P(A) £ 1
(2)
P (S) = 1
(3)
P(A) £ P(B)
(4)
P( A) = 1 - P ( A)
für beliebige Ereignisse
P(U) = 0
für A Í B
P (U) = 1 - P (S) = 0
(5)
P (A1 È A2 È ...... È An) = P(A1) + P(A2) +....... + P(An)
falls A1, A2,......, An unabhängige Ereignisse
(Additionssatz für die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse)
(6)
P( A È B ) = P(A) + P(B) - P ( A Ç B )
für beliebige Ereignisse
(allgemeiner Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten)
(7)
P ( B \ A) = P( B Ç A) = P ( B) - P ( A Ç B )
für beliebige Ereignisse
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2004