Stochastik - Zufallsereignisse und Wahrscheinlichkeiten

Stochastik - Zufallsereignisse und Wahrscheinlichkeiten
Zufallsexperiment:
Ein Versuch, dessen Ergebnis nicht sicher vorhersagbar ist.
Zufallsereignis:
Ergebnis, welches bei einem Zufallsexperiment eintritt.
Sicheres Ereignis S :
S tritt immer ein.
Unmögliches Ereignis U :
U tritt niemals ein.
Ereignisgleichheit A = B :
A tritt genau dann ein, wenn B eintritt.
Teilereignis A ⊆ B :
Wenn A eintritt, so tritt auch B ein.
echtes Teilereignis A ⊂ B :
A ⊆ B , aber A ≠ B .
B tritt ein genau dann, wenn A nicht eintritt.
Komplementäres Ereignis B = A :
Vereinigung A ∪ B zweier Ereignisse:
Tritt ein, falls A oder B oder beides eintritt.
Durchschnitt A ∩ B zweier Ereignisse:
Tritt ein, falls sowohl A als auch B eintreten.
Differenz A \ B zweier Ereignisse:
Tritt ein, falls A , aber nicht B eintritt.
Ereignisalgebra:
Ereignisfeld, welches S und U , mit A auch A
sowie mit A und B auch A ∪ B und A ∩ B enthält.
Elementarereignis Ek :
Ek besitzt keine echten Teilereignisse außer U .
unvereinbare Ereignisse A und B :
Ereignisse A und B können nie gleichzeitig eintreten.
unabhängige Ereignisse A und B :
Eintreten von A beeinflusst nicht ein Eintreten von B
und umgekehrt.
Wahrscheinlichkeit P(A) eines Zufallsereignisses A :
axiomatische Definition:
0 ≤ P(A) ≤ 1
(die Wahrscheinlichkeit ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1)
(KOLMOGOROV)
P(S) = 1
(das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) für unvereinbare Ereignisse A und B
1
LAPLACEsches
n gleichwahrscheinliche Elementarereignisse Ek mit P(Ek ) =
Ereignisfeld:
n
g(A) Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse
klassische Definition:
(im LAPLACEschen Ereignisfeld) P(A) = n =
Gesamtzahl der Elementarereignisse
g(A) Größe des für A günstigen Bereiches
geometrische Definition:
P(A) =
=
(in kompakten Bereichen)
g(S)
Größe des Gesamtbereiches
statistische Definition:
H(A) Häufigkeit des beobachteten Eintretens von A
PN (A) =
=
(relative Häufigkeit)
N
Gesamtzahl der Versuche
bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter
P(A | B) :
der Voraussetzung, dass das Ereignis B eingetreten ist.
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
(Wahrscheinlichkeitssrechnung)
Wahrscheinlichkeit
des Komplementärereignisses
P(A) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P (A) + P(B) − P(A ∩ B)
Additionssatz (allgemein)
P(A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
P(A ∪ B) = P (A) + P (B)
einfacher Additionssatz
für unvereinbare Ereignisse
P(A ∪ B ∪ C) = P (A) + P(B) + P(C)
P(A ∩ B) = P (A) ⋅ P(B | A) = P (B) ⋅ P (A | B)
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) ⋅ P(B | A) ⋅ P(C | A ∩ B) = ...
P(A ∩ B) = a ⋅ b
P(A ∩ B ∩ C) = a ⋅ b ⋅ c
P(A ∪ B) = a + b − a ⋅ b
Multiplikationssatz (allgem.)
mit
einfacher Multiplikationssatz
P(A) = a,
für unabhängige Ereignisse
P(B) = b,
Additionssatz (allgemein)
für unabhängige Ereignisse
P(A ∪ B ∪ C) = a + b + c − a ⋅ b − a ⋅ c − b ⋅ c + a ⋅ b ⋅ c P(C) = c
speziell: unabhängige gleichwahrscheinliche Ereignisse, P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = p
P (A ∩ B) = p 2 , P(A ∩ B ∩ C) = p 3 , P(A ∩ B ∩ C ∩ D) = p 4
P(A ∪ B) = 2p − p 2 , P(A ∪ B ∪ C) = 3 p − 3p 2 + p 3 , P (A ∪ B ∪ C ∪ D) = 4p − 6 p 2 + 4 p 3 − p 4