Wahrscheinlichkeitsrechung

ZHW – MAS 1
Formelsammlung
Dozent: M. Jud-Gulfi
Alexander Baer
Wahrscheinlichkeitsrechung
Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitsrechung sind Vorgänge, deren Ausgang ungewiss sind. Ob
ein möglicher Ausgang eintritt, oder nicht, ist vom Zufall abhängig und daher nicht mit Sicherheit vorhersehbar.
Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es, das Ausmass der Sicherheit, mit der ein möglicher Ausgang
eintritt, zahlenmässig auszudrücken.
Grundbegriffe:
Zufallsvorgang: Sein Ausgang kann aufgrund von Unkenntnis oder Unwissenheit nicht vorhergesagt werden.
Bsp1: Ein Würfel wird 1x geworfen
Bsp2: Aus einer Lieferung werden 3 Einheiten entnommen und auf Funktion geprüft
Bsp3: Benzinverbrauch für umweltfreundliches Auto wird für eine Teststrecke von 100km gemessen
Elementarereignis: Elementarereignisse heissen die einzelnen, sich gegenseitig ausschliessenden möglichen
Ausgänge eines Zufallsvorgangs.
Bsp1: Wird ein Würfel 1x geworfen Æ wird eine der Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 erscheinen
Bsp2: Funktionsprüfung: Urteil „ja“ od. „nein“ Æ Mögl. Ereignisse (n,n,n) (j,n,n) (n,j,n) (n,n,j) (j,j,n) (j,n,j) (n,j,j) (j,j,j)
Bsp3: Benzinverbrauch zwischen 2,7 und 3,1 Liter
Ω=Ereignisraum: Die Menge aller möglichen Elementarereignisse
Bsp1: Ω={1,2,3,4,5,6}; Bsp2: Ω={(n,n,n),(j,n,n),(n,j,n),(n,n,j),(j,j,n),(j,n,j),(n,j,j),(j,j,j)} Å Diskreter Ereignisraum
Bsp3: Ω={Benzinverbrauch x|2,7 ≤ 3,1} Å überabzählbar (∞) viele Ereignisse möglich Å stetiger Ereignisraum
Ereignis: Menge, die sich aus einem Elementarereignis oder mehreren Elementarereignissen zusammensetzt.
Bsp1: Ereignis A: Werfen der Augenzahl 6 A={6}; Ereignis B: Werfen einer geraden Augenzahl B={2,4,6}
Bsp2: Ereignis C: Mindestens 2 funktionstüchtige Einheiten C={(j,j,n),(j,n,j),(n,j,j),(j,j,j)
Bsp3: Ereignis D: Benzinverbrauch siegt unter 3lt/km D={Benzinverbrauch x|x<3}
Sicheres Ereignis: Es umfasst alle Elementarereignisse eines Ereignisraumes E={1,2,3,4,5,6}
Unmögliches Ereignis: Es umfasst kein Elementarereignis des Ereignisraums F={ }=Ø
Direkte Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten Æ tatsächliche oder gedankliche Durchführung.
Klassische Wahrscheinlichkeit: Ermittlung auf rein gedankliche Weise. (Zufallsvorgang besitzt endlich viele
Elementarereignisse und dieses sind alle gleich möglich/wahrscheinlich)
Bsp: W beim einmaligen würfeln
1. Elementarereignisse bestimmen Æ günstige Ereignisse
Ereignis A „gerade Augenzahl“?
2. Alle Elementarereignisse bestimmen aus denen sich Ω zusammensetzt
A={2,4,6} und Ω={1,2,3,4,5,6}
Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse
3.
3 1
W ( A) =
Anzahl der gleich möglichen Ereignisse
W ( A) =
6
=
2
, bzw.50%
Æ W(A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis A
Problem: Ist nur bei endlich vielen Möglichkeiten anwendbar (nicht bei Bsp3 Ω={Benzinverbrauch x|2,7 ≤ 3,1})
Anwendung: In Glücksspielen
Geometrische Wahrscheinlichkeitsermittlung: Wie klassische Wahrscheinlichkeit, einfach für unendlich viele
Möglichkeiten (Zufallsvorgang besitzt ∞ viele Elementarereignisse) Bsp3 Ω={Benzinverbrauch x|2,7 ≤ 3,1}
1. Unterteilung des Bereiches 2,7…3,1 in z.B. 10 Intervalle
2. Wahrscheinlichkeit in diesen 10 Intervallen beträgt je 10% (Unterstellung, dass alle Intervalle gleich
möglich Æ ist aber in Praxis selten gegeben)
Statistische Wahrscheinlichkeit: Zufallsvorgang wird genügend oft tatsächlich durchgeführt. (Zufallsvorgang
muss unter identischen Bedingungen wiederholt werden können)
Zahl der Zufallsvorgänge mit Ereignis A
Mit zunehmender Wiederholung nähert sich die relative Häufigkeit der
W ( A) =
Zahl der Zufallsvorgänge insgesamt
gesuchten Wahrscheinlichkeit asymptotisch an. Der Zufallsvorgang ist
daher solange zu wiederholen, bis sich die rel. Häuf. stabilisiert hat.
Problem: In der Praxis können die Versuche meist nicht beliebig oft und identisch wiederholt werden
Anwendung: In vielen Fällen die einzige Wahrscheinlichkeit (Knabengeburt). Gewinnt auch zusehends an
Bedeutung durch Computersimulation, welche die oben genannten Probleme beheben können.
Subjektive Wahrscheinlichkeit: Sachkundige Personen beurteilen rein gedanklich die Mögl. des Eintretens
eines Ereignisses zahlenmässig. Ist oft einzige Möglichkeit für Situationsbeurteilung. (Keine Voraussetzungen)
Bsp: Beurteilung von Szenarien, Abschätzen der Chancen und Gefahren eines Projekts.
Indirekte Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten Æ Ableitung aus bekannten Ereignissen.
Ermittlung der Wahrscheinlichkeit mit Hilfe von Operationen aus Mengenlehre. Weder tatsächliche, noch
gedankliche Durchführung.
Bsp: „Einmaliges Würfeln eines Würfels“ Æ Ereignisse A={1} und B={3,5}
W(A)=1/6 und W(B)=2/6 Æ C={ungerade Augenzahl}={1,3,5} Æ W(C)=W(A)+W(B)=1/6+2/6=3/6=1/2
∪ =Vereinigung von Ereignissen: Zwei oder mehrere Ereignisse vereinigen
Æ neues Ereignis besteht aus Elementarereign. der vereinigten Ereignisse.
Bsp: A={1,2,3,} und B={2,4} gilt A ∪ B = {1,2,3,4}
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∩ =Durchschnitt von Ereignissen: Der Durchschnitt der Ereignisse A, B
und C umfasst genau die Elementarereignisse, die in jedem der Ereignisse A,
B und C enthalten sind. Bestehen keine gemeinsamen Ereignisse, dann ist
der Durchschnitt der beiden Mengen leer (=Mengen sind disjunkt)
Bsp1: A={1,2,3} und B={2,3,4,5} Æ A ∩ B = {2,3}
Bsp2: A={1,2,3} und B={4,5} Æ A ∩ B = { } = Ø Æ disjunkt
A =Komplementärereignis: Jedem Ereignis kann ein anderes
gegenübergestellt werden, das genau aus den Ereignissen besteht, welches
das ursprüngliche Ereignis nicht umfasst (Gegenereignis).
A tritt zu Komplementärereignis A ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt.
Bsp: A={1,2,3} Æ A ={4,5,6}
A\B=Logische Differenz:
Umfasst alle
Elementarereignisse von A,
die nicht auch
Elementarereignisse von B
sind (A\B)
Bsp: A={1,2,3,4} und
B={3,4,5} Æ A\B={1,2}
Ω=Vollständiges
Ereignissystem: Zerlegung
Ereignisraum in paarweise
disjunkte Ereignisse. Alle
Ereignisse füllen den
Ereignisraum vollständig aus
und jedes beliebige Paar
von Ereignissen ist disjunkt
A°B=Symmetrische
Differenz: Besteht aus
den Elementarereignissen der
Vereinigung ohne die
Elementarereignisse des
Durchschnitts
A°B=A\ B ∪ B \A
Bsp: A={1,2,3,4} und
B={3,4,5} Æ A°B={1,2,5}
⊆ Teilereignis: Sind alle
Ereignisse von B in A
enthalten, so wird das
Ereignis B als Teilereignis von A bezeichnet.
Wenn B eintritt, tritt auch
A ein
Bsp: A={1,2,3,4} und
B={2,3} Æ B ⊆ A
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten Æ Grundeigenschaften von Wahrscheinlichkeiten beruhen auf
Axiomen (Aussagen, die man braucht, um andere Aussagen zu machen, wobei erstere nicht bewiesen sind)
Axiom 1: Nichtnegativität Æ Jedem Ereignis kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden, die grösser
gleich Null ist: W ( A) ≥ 0
Axiom 2: Normierung Æ Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ist gleich 100%: W (Ω) = 1 = 100%
Axiom 3: Additivität Æ Sind A und B zwei disjunkte Ereignisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
A ∪ B gleich der Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten für A und B: W ( A ∪ B ) = W ( A) + W ( B )
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Æ sind abgeleitet aufbauend auf den Axiomen
Additionssatz: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eins von mehreren Ereignissen eintritt?
Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung.
Allgemeiner Additionssatz: W ( A ∪ B ) = W ( A) + W ( B ) − W ( A ∩ B )
Bsp: „zweimaliges Werfen eines Würfels“
A={Werfen eines Pasches}={(1,1),(2,2),(3,3),4,4),(5,5),(6,6)} Æ W(A)=6/36=1/6
B={Augensumme ≤ 4} ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} Æ W(B)= 6/36=1/6
W ( A ∪ B) =
1 1 2
5
+ −
=
6 6 36 18
Die Verallgemeinerung des Additionssatzes stösst schnell an Grenzen. Für 3 Ereignisse lautet er bereits:
W ( A ∪ B ∪ C ) = W ( A) + W ( B) + W (C ) − W ( A ∩ B) − W ( A ∩ C ) − W ( B ∩ C ) + W ( A ∩ B ∩ C )
Additionssatz für disjunkte Ereignisse: Durchschnitte sind stets leer:
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 n
 n
W  U Ai  = ∑W ( Ai )
 i =1  i =1
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