Formelsammlung Elektrotechnik - Flo

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Formelsammlung Elektrotechnik
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Formelsammlung
Elektrotechnik
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Inhaltsverzeichnis:
0.Konstanten und Einheiten ..................................................................................................... 5
0.1 Einheiten in Abhängigkeit des SI-Systems .................................................................................................. 5
0.2 Physikalische Konstanten............................................................................................................................. 6
1.Allgemeines............................................................................................................................. 7
1.1 Ladungen...................................................................................................................................................... 7
1.2 Definition des Stromes ................................................................................................................................. 7
1.3 Definition der Stromdichte ........................................................................................................................... 7
1.4 Elektrisches Potenzial / Spannung................................................................................................................ 7
1.5 Elektrischer Widerstand ............................................................................................................................... 7
1.6 Spezifischer Widerstand............................................................................................................................... 7
1.7 Temperaturabhängigkeit von Widerständen................................................................................................. 7
1.8 Leistung und Energie.................................................................................................................................... 8
2.Analyse von Gleichstromnetzwerken..................................................................................... 8
2.1 Knotenpunktsatz (1.Kirchhoffsche Regel) ................................................................................................... 8
2.2 Maschensatz (2.Kirchhoffsche Regel).......................................................................................................... 8
2.3 Serienschaltung von Widerständen .............................................................................................................. 8
2.4 Parallelschaltung von Widerständen ............................................................................................................ 8
2.5 Spannung und Stromteilerregel .................................................................................................................... 8
2.6 Wheatonsche-Brückenschaltung .................................................................................................................. 9
2.7 Doppelter Spannungsteiler ........................................................................................................................... 9
2.8 Zweipoltheorie ............................................................................................................................................. 9
2.9 Quellenumwandlungen................................................................................................................................. 9
2.10 Vereinfachungen im Netzwerk................................................................................................................... 9
2.11 Knotenpunktanalyse ................................................................................................................................. 10
2.12 Leistungsumsatz im Stromkreis und Wirkungsgrad................................................................................. 10
2.13 Stern-Dreieck Umwandlung..................................................................................................................... 10
3.Elektrisches Feld .................................................................................................................. 11
3.1 Elektrische Feldstärke ................................................................................................................................ 11
3.2 Stromdichte ................................................................................................................................................ 11
3.3 Trennfläche senkrecht / parallel zum Strömungsfeld ................................................................................. 11
3.4 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte.................................................................................... 11
3.5 Das Elektrostatische Feld ........................................................................................................................... 11
3.6 Feldstärke im Dielektrikum, Elektrische Influenz...................................................................................... 11
3.7 Kugelfeld.................................................................................................................................................... 12
3.8 Zylinderfeld................................................................................................................................................ 12
4.Kapazität ............................................................................................................................... 13
4.1 Kapazität allgemein.................................................................................................................................... 13
4.2 Plattenkondensatoren.................................................................................................................................. 13
4.3 Scheibenkondensatore und Zylinderkondensator ....................................................................................... 13
4.4 Serienschaltung von Kondensatoren .......................................................................................................... 13
4.5 Parallelschaltung von Kondensatoren ........................................................................................................ 13
4.6 Strom und Spannung im Kondensator........................................................................................................ 13
4.7 Energie im Kondensator ............................................................................................................................. 13
4.8 Kraftwirkung im elektrischen Feld............................................................................................................. 14
5.Das Magnetfeld..................................................................................................................... 15
5.1 Der Magnetische Fluss (Magnetischerstrom)............................................................................................. 15
5.2 Magnetische Induktion (Flussdichte) ......................................................................................................... 15
5.3 Feldstärke ................................................................................................................................................... 15
5.4 Magnetische Durchflutung (1.Maxwellsche Gleichung)............................................................................ 15
5.5 Permeabilität............................................................................................................................................... 15
5.6 Magnetische Spannung............................................................................................................................... 15
5.7 Magnetischer Widerstand........................................................................................................................... 15
5.8 Induktion der Ruhe (2.Maxwellsche Gleichung)........................................................................................ 16
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5.9 Bewegungsinduktion / Lorenzkraft ............................................................................................................ 16
5.10 Kraft auf einen Stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld .................................................................... 16
5.11 Biot-Savartsches Gesetz ........................................................................................................................... 16
5.12 Faustformel für Leitungsinduktivitäten .................................................................................................... 16
6.Induktivitäten........................................................................................................................ 17
6.1 Serien und Parallelschaltung von Induktivitäten ........................................................................................ 17
6.2 (Selbst-)Induktivität ................................................................................................................................... 17
6.3 (Gegen-)Induktivität................................................................................................................................... 17
6.4 Kopplungsfaktor......................................................................................................................................... 17
6.5 Energie in einer Spule ................................................................................................................................ 17
6.6 Verhältnisse im Transformator................................................................................................................... 17
7.Wechselstromlehre ............................................................................................................... 18
7.1 Frequenz..................................................................................................................................................... 18
7.2 Kreisfrequenz ............................................................................................................................................. 18
7.3 Allgemeine Sinusschwingungen ................................................................................................................ 18
7.4 Effektivwert von Strom und Spannung bei Sinusförmigenschwingungen ................................................. 18
7.5 Mittelwerte Leistung .................................................................................................................................. 18
7.6 Ohmscher Widerstand ................................................................................................................................ 18
7.7 Induktivität ................................................................................................................................................. 19
7.8 Kapazität .................................................................................................................................................... 19
7.9 Leistungsbetrachtung.................................................................................................................................. 19
8. Komplexe Betrachtung des Wechselstrom ......................................................................... 20
8.1 Komplexe Spannung .................................................................................................................................. 20
8.2 Komplexer Strom ....................................................................................................................................... 20
8.3 Komplexer Widerstand............................................................................................................................... 20
8.4 Komplexe Induktivität und Kapazität ........................................................................................................ 20
8.5 Komplexe Leistung .................................................................................................................................... 20
9. Analyse Linearer Netzwerke mit komplexen Zweipolen.................................................... 21
9.1 Reihenschaltung von R und L .................................................................................................................... 21
9.2 Reihenschaltung von R und C .................................................................................................................... 21
9.3 Reihenschaltung von R,L und C................................................................................................................. 21
9.4 Parallelschaltung von R,L und C................................................................................................................ 21
10. Ortskurve ........................................................................................................................... 22
10.1 Inversionsregelng ..................................................................................................................................... 22
10.2 Ortskurve von einem Komplexen Widerstand ......................................................................................... 22
10.3 Konstruktion einer Ortskurve ................................................................................................................... 22
10.4 Tabelle einiger Ortskurven ....................................................................................................................... 23
11. Bodediagramm / Frequenzgang ....................................................................................... 24
11.1 Allgemeine Vorgehensweise .................................................................................................................... 24
11.2 Tabelle einiger Zähler und Nenner Faktoren............................................................................................ 24
12. Schwingkreise.................................................................................................................... 25
12.1 Allgemeines.............................................................................................................................................. 25
12.2 Resonanzfrequenz und Resonanzkreisfrequenz ....................................................................................... 25
12.3 Reihenschwingkreis ................................................................................................................................. 25
12.4 Parallelschwingkreis................................................................................................................................. 25
12.5 Güte, Dämpfung, Verstimmung und Bandbreite...................................................................................... 25
13. Vierpole.............................................................................................................................. 26
13.1 Allgemeine Beschreibung eines Vierpols................................................................................................. 26
13.2 Beschreibung der Vierpolgleichungen ..................................................................................................... 26
13.3 Ersatzschaltbilder von Vierpolen ............................................................................................................. 26
13.4 Bestimmung der verschiedenen Vierpolkoeffizienten............................................................................ 27
13.5 Beziehungen zwischen Vierpolkoeffizienten und Determinanten............................................................ 27
13.6 Zusammenschalten von Vierpolen ........................................................................................................... 28
14. Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem)............................................... 29
14.1 Benennungen und Definitionen................................................................................................................ 29
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14.2 Spannungen im symmetrischen Dreiphasensystem.................................................................................. 29
14.3 Spannungen in Sternschaltung ................................................................................................................. 29
14.4 Spannungen in Dreieckschaltung ............................................................................................................. 29
14.5 Komplexe Leistung, Wirk-, Blind- und Scheinleistung ........................................................................... 30
10.6 Blindleistungskompensation bei symmetrischer Belastung in Sternschaltung......................................... 30
14.7 Blindleistungskompensation bei symmetrischer Belastung in Dreieckschaltung..................................... 30
14.8 Blindleistungskompensation auf vorgegebenen ....................................................................................... 31
14.9 Sternpunktverlagerung bei unsymmetrischer Belastung .......................................................................... 31
14.10 Drehstrommotor ..................................................................................................................................... 31
15. Schaltvorgänge .................................................................................................................. 32
15.1 Strom-Spannungsbeziehungen an Standartbauelementen ........................................................................ 32
15.2 Berechnungsverfahren.............................................................................................................................. 32
15.3 Allgemeine Vorgehensweise .................................................................................................................... 32
15.4 Stationärer Betriebszustand ...................................................................................................................... 32
15.5 Differentialgleichung aus Übertragungsfunktion ermitteln...................................................................... 32
15.6 Ersatzschaltbilder im Bildbereich: ........................................................................................................... 33
15.7 Transformationstabellen:.......................................................................................................................... 33
16. Beziehung zwischen Einschwingverhalten und Bode-Diagramm .................................. 35
16.1 Verschiedene Zustände............................................................................................................................. 35
16.2 Berechnung der Ausgangsspannung über das Bode-Diagramm............................................................... 35
16.3 Verstärkungsfaktor ................................................................................................................................... 35
16.4 Schwingungsverlauf ................................................................................................................................. 35
16.5 Phasendrehung ......................................................................................................................................... 35
17. Elektromagnetische Felder und Wellen ........................................................................... 36
17.1 Maxwelschen Gleichungen in Integral- und Differentialform ................................................................. 36
17.2 Einteilung elektromagnetischer Felder ..................................................................................................... 36
17.3 Charakterisierung des Elektromagnetischen Feldes im Frequnzbereich .................................................. 37
17.4 Wellenlänge und Zeitkonstante ................................................................................................................ 37
17.5 Elektrisch lange Leitung........................................................................................................................... 37
17.6 Leitungsbeläge ......................................................................................................................................... 37
17.7 Spannung am Leitungsanfang/Leitungsende............................................................................................ 38
X. Allgemeine Tabellen ........................................................................................................... 39
X.1Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen .............................................................................. 39
Quellenangaben:
ET 1-3 Script: Prof. Dr. Friedrich Gutfleisch, Prof. Dipl.-Ing. Klaus Knöffel
Physik für Ingenieure: Hering, Martin, Stohrer
Aus dem Internet:
http://www.learn-line.nrw.de/angebote/sinus/projektnw/materialpool/themenuebergreifend/WasIstWas/rechte_hand_regel.jpg
http://www.sherz.net/image/albums/fun/normal_scheinleistung.jpg
http://wikipedia.de/
Und viele mehr die mir jetzt leider nicht mehr einfallen
Danke an alle die an dieser Formelsammlung mitgearbeitet und geholfen haben!!! (-;
Verbesserungsvorschläge oder Anmerkungen bitte an: [email protected]
Version vom 06.Jan 2010
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0.Konstanten und Einheiten
0.1 Einheiten in Abhängigkeit des SI-Systems:
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0.2 Physikalische Konstanten:
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Notizen:
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1.Allgemeines
1.1 Ladungen:
→1e = 1, 602 ⋅10−19 C
[Q ] : Coulomb = 1C = 6, 25 ⋅1018 e 
= Qnacher
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1.2 Definition des Stromes:
dQ
Q
1C
Allgemein:
i=
wenn konstant:
I=
Einheit: [ I ] = 1A =
dt
t
sec
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1.3 Definition der Stromdichte:
Ladungserhaltungssatz im geschlossenen Stromkreis : Qvorher
l
l≫d
I
A
d
S=
Einheit: [ S ] = 1
A⊥
m²
A
⊥
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1.4 Elektrisches Potenzial / Spannung:
I
W
W W
J
A − B = ϕ A − ϕ B = U AB
Einheit: [U ] = 1 = 1V
q
q
q
C
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1.5 Elektrischer Widerstand:
U
V
Widerstand R =
Einheit: [ R ] = 1 = 1Ω
R
I
A
1 I
A
Leitwert
G= =
Einheit: [G ] = 1 = 1S
R U
V
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1.6 Spezifischer Widerstand:
ϕ=
Mit
Oder
ρ =Spezifischer Widerstand
κ =Leitfähigkeit
l
l
mm²
Einheit: [ ρ ] = Ω
= 10−6 Ωm
A⊥
m
A
m
S
G =κ ⋅ ⊥
Einheit: [κ ] = S
= 106
A⊥
l
mm²
m
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1.7 Temperaturabhängigkeit von Widerständen:
1
Mit
α 20 =Temperaturkoeffizient bei 20°C
Einheit: [α 20 ] =
K
und
△ϑ20 = ϑ − 20°C (Temperatur Differenz)
R= ρ⋅
Widerstand
Rϑ = R20 ⋅ (1 + α 20 ⋅△ϑ20 )
Leitwert
Gϑ = G20 ⋅ (1 + α 20 ⋅△ϑ20 )
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1.8 Leistung und Energie:
Vereinfacht:
allgemein:
Leistung:
P =U ⋅I
Energie:
W = P ⋅t
Einheit: [ P ] = 1VA = 1W
p = u ⋅i
Einheit: [W ] = Ws = J
Energie allgemein:
t
t
W = ∫ Pdt
oder
0
W = ∫ U ⋅ Idt oder
0
t
W = ∫ R ⋅ I ²dt oder
0
t
U²
dt
R
0
W =∫
Für Gleichstrom gilt:
t
W = ∫ U ⋅ Idt da U und I Konstant 0
t
W = U ⋅ I ∫ dt W = U ⋅ I ⋅t
0
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2.Analyse von Gleichstromnetzwerken
2.1 Knotenpunktsatz (1.Kirchhoffsche Regel):
S
Erhaltungssatz der Elektrizität
Geschlossene Hülle
n
∑ =0 = I
1
∫ Sd A = 0 Stromkreis
+ I 2 ... + I n
i =1
A
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2.2 Maschensatz (2.Kirchhoffsche Regel):
U1
U1 + U 2 + U 3 + U 4 = 0
U2
U4
=
U3
n
∑U
n
=0
i =1
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2.3 Serienschaltung von Widerständen:
n
ReS = ∑ RV
R1 + R2 ... + Rn = RGes
v =1
=
___________________________________________________________________________
2.4 Parallelschaltung von Widerständen:
n
1
1
1
1
1
1
R ⋅R
=∑
+ ... +
=
Re = 1 2
ReS v =1 Rv
R1 R2
Rv RGes
R1 + R2
=
bei zwei Widerständen
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2.5 Spannung und Stromteilerregel:
Spannungsteilerregel (Reihenschaltung)
U1 R1
=
U 2 R2
U1
R
= 1
U Ges RGes
Stromteilerregel (Parallelschaltung)
I1 G1
I
R
=
→ 1 = 2
I 2 G2
I 2 R1
I1
I Ges
=
RGes
R1
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2.6 Wheatonsche-Brückenschaltung:
Aus Masche: U m
R3
R1
= U2 −U4
 R4 
U4 = Uq ⋅ 

= R2
 R3 + R4 
U4
 R2
R4 
Um = Uq ⋅ 
−

 R1 + R2 R3 + R4 
___________________________________________________________________________
2.7 Doppelter Spannungsteiler:
U1
Um
R4
U2
Uq
R1
U3
mit
 R2 
U2 = Uq ⋅ 

 R1 + R2 
und
R3
R2 ⋅ R4
⋅U e
R1 ⋅ R2 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R4 + R2 ⋅ R3 + R2 ⋅ R4
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2.8 Zweipoltheorie:
I
U qe1 − U qe 2
I=
Rie1
Rie2
Rie1 + Rie 2
Ue
R2
R4
Ua
Ua =
U
=
Uqe1
=
Uqe2
U = U qe1 − ( Rie1 ⋅ I )
U=
(U
qe1
⋅ Rie 2 ) + (U qe 2 ⋅ Rie1 )
Rie1 + Rie 2
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2.9 Quellenumwandlungen:
-
Innenwiderstand berechnen: Zu den Anschlussklemmen „hineinschauen“,
Spannungsquellen kurzschließen, Stromquellen auftrennen
Kurzschlussstrom berechnen: Ausgang kurzschließen, Strom am Ausgang berechnen
Leerlaufspannung berechnen: Leerlaufspannung am offenen Ausgang (am Ausgang ist nichts
angeschlossen).
Spannungsquelle
Stromquelle
Iqe1
Rie
Rie
Uqe1
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2.10 Vereinfachungen im Netzwerk:
-
Widerstände parallel zu Spannungsquellen können weggelassen werden
Widerstände in Reihe zu Stromquellen können weggelassen werden
Spannungsquelle in Reihe zu einer Stromquelle kann weggelassen werden
Stromquelle parallel zu Spannungsquelle kann weggelassen werden
Widerstände können zusammengefasst werden
Stern Dreieck umwandeln oder umgekehrt
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2.11 Knotenpunktanalyse:
-
Alle Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln
Knotengleichungen aufstellen
Ströme in den Gleichungen durch die Spannungen und die Widerstände ersetzen
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2.12 Leistungsumsatz im Stromkreis und Wirkungsgrad:
Wirkungsgrad:
η=
PV
≤1
PG
mit
PV = RV ⋅ I ²
und
Maximaler Wirkungsgrad
η~
P G = Ri ⋅ I ² + RV ⋅ I ²
Maximale Verbraucherleistung
RV
Ri
RV
=1
Ri
da Ri fest, also muss Rv groß sein
Maximale Verbraucherleistung, wenn Verbraucher
und Quelleninnenwiderstand gleich sind
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2.13 Stern-Dreieck Umwandlung:
R1 =
Dreieck
Stern
R12 ⋅ R31
R12 + R23 + R31
R12 ⋅ R31
R2 =
R12 + R23 + R31
R3 =
R23 ⋅ R31
R12 + R23 + R31
G1 = G12 + G31 +
G12 ⋅ G31
G31
G ⋅G
G2 = G12 + G23 + 12 23
G31
G3 = G23 + G31 +
G23 ⋅ G31
G12
R12 = R1 + R2 +
R1 ⋅ R2
R3
G12 =
G1 ⋅ G2
G1 + G2 + G3
R23 = R2 + R3 +
R2 ⋅ R3
R1
G23 =
G2 ⋅ G3
G1 + G2 + G3
R31 = R3 + R1 +
R3 ⋅ R1
R2
G31 =
G3 ⋅ G1
G1 + G2 + G3
Stern
Dreieck
R23
2
R12
3
R31
1
1
R2
R3
2
3
R1
1
1
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Notizen:
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3.Elektrisches Feld
3.1 Elektrische Feldstärke:
F
1
Q
E=
E=
⋅ 2
q
4π ⋅ ε 0 ⋅ ε r r
Einheit: [ E ] = 1
im Abstand r von Q
Allgemein:
V
m
für Homogene Felder gilt:
dU
U U
E = und ∫ Ed s = 0
E= =
s d
ds
Wirbelfreies Feld
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3.2 Stromdichte:
dI
A
S=
oder
I = ∫ Sd A
Einheit: [ S ] =
A
dA⊥
m²
Allgemein: S = κ ⋅ E bzw. E = ρ ⋅ S
__________________________________________________________________________
3.3 Trennfläche senkrecht / parallel zum Strömungsfeld:
→ K1 =
κ1
1
K2
2
κ1 ⋅ E1 = κ 2 ⋅ E2
κ1
κ2
S1 = S2
Stromdichte
→ K2 =
κ2
2E1 = E2
Elektrisches Feld
1
K1
2
S1 κ1
=
S2 κ 2
κ1
κ1 S1
κ2
κ2
E1 = E2
Stromdichte
S2 =
S2
1
S1
2
Elektrisches Feld
__________________________________________________________________________
3.4 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte:
Ψ =Q
Einheit: [ Ψ ] = 1A sec
D=
Q
A
oder auch
D=
Ψ
A
Einheit: [ D ] =
As
m²
Verschiebungsfluss an Trennflächen
As
Vm
__________________________________________________________________________
3.5 Das Elektrostatische Feld:
dQ
I=
Q =konstant
dt
U
E=
Q~E
S
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3.6 Feldstärke im Dielektrikum, Elektrische Influenz:
D = ε0 ⋅εr ⋅ E
D =ε ⋅E
ELuft = ε r ⋅ EDielek .
Im Vakuum
εr = 1
mit
mit ε r : relative Dielektrizitätskonstante
In der Luft
ε 0 = 8,854 ⋅10−12
EDielek . =
ELuft
εr
εr ≈ 1
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3.7 Kugelfeld:
Bei einem rotationssymmetrischen Kugelfeld ist die elektrische Flussdichte auf einer
Kugelhüllfläche A = 4π ⋅ r konstant.
Des Weiteren sind die Flussdichte und der Normalenvektor der Fläche parallel.
2
2
D
∫∫ dA = D ⋅ ∫∫ dA=D ⋅ A = D ⋅ 4π ⋅ r = Q
A
A
Damit erhält man
D=
Q
Q
= D(r ) bzw. E =
= E (r ) und D = D(r ) ⋅ er ; E = E (r ) ⋅ er
2
2
4π ⋅ r
4πε ⋅ r
Für den Potentialverlauf ergibt sich
r
r
Q
1
Q 1 
Q 1 1 
⋅ ∫ 2 ⋅ dr = ϕ (r0 ) +
⋅   = ϕ (r0 ) +
⋅ − 
ϕ (r ) = ϕ (r0 ) − ∫ E (r ) ⋅ dr = ϕ (r0 ) −
4πε r´0 r
4πε  r  r´0
4πε  r r0 
r´ 0
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3.8 Zylinderfeld:
r
Da es sich hier um ein rotationssymmetrisches Zylinderfeld handelt, ist die elektrische Flussdichte auf einer
Zylindermantelfläche A = 2π ⋅ ℓ ⋅ r konstant.
Des Weiteren sind die Flussdichte und der Normalenvektor der Fläche parallel gerichtet.
∫∫ D dA = D ⋅ ∫∫ dA=D ⋅ A = D ⋅ 2π ⋅ ℓ ⋅ r = Q
A
A
Damit erhält man
D=
Q
Q
= D(r ) bzw. E =
= E (r ) und D = D(r ) ⋅ er ; E = E (r ) ⋅ er
2π ⋅ ℓ ⋅ r
2πεℓ ⋅ r
Für den Potentialverlauf ergibt sich
r
r
Q
1
Q
Q
r 
r
ϕ (r ) = ϕ (r0 ) − ∫ E (r ) ⋅ dr = ϕ (r0 ) −
⋅ ∫ ⋅ dr = ϕ (r0 ) −
⋅ [ℓn(r )]r´0 = ϕ (r0 ) +
⋅ ℓ n 0 
2πεℓ r´0 r
2πεℓ
2πεℓ
r
r´ 0
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Notizen:
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Formelsammlung Elektrotechnik
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4.Kapazität
4.1 Kapazität allgemein:
A
B
U
Q ∫ Dd A
C= = B
U
∫ Ed s
Einheit: [C ] = 1F = 1
As
V
A
__________________________________________________________________________
4.2 Plattenkondensatoren:
mit Fläche A und Abstand d
A
A
mit
ε = ε0 ⋅εr
d
___________________________________________________________________________
d
4.3 Scheibenkondensatore und Zylinderkondensator:
C =ε⋅
d
C = ( n − 1) ⋅ ε ⋅
A
d
l
ri
ra
C=
2π lε
r 
ln  a 
 ri 
n=Plattenzahl (hier 6)
___________________________________________________________________________
4.4 Serienschaltung von Kondensatoren:
U Ges = U1 + U 2 ...
Q1 = Q2 = ...
n
1
1
1
1
1
=∑
→
= + ...
CGes v =1 Cv
CGes C1 C2
___________________________________________________________________________
4.5 Parallelschaltung von Kondensatoren:
QGes = Q1 + Q2 ... U1 = U 2 = ...
n
CGes = ∑ Cv → CGes = C1 + C2 ...
v =1
___________________________________________________________________________
4.6 Strom und Spannung im Kondensator:
iC (t ) = C
UC =
duC (t )
dt
→ iC = C
duC
dt
1
⋅ iC dt
C ∫
___________________________________________________________________________
4.7 Energie im Kondensator:
1
W = C ⋅ U 2 Die hälfte der Energie wird vom Innenwiderstand der Quelle „verheizt“ (Wärmenergie)
2
dh. Energie beim Aufladen des Kondensators 2*W. Gibt der Kondensator Energie ab –W.
W=
1 Q²
2 C
Energiedichte:
1
W = ε ⋅ E²
2
___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
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4.8 Kraftwirkung im elektrischen Feld:
E
q1
q1
a
q ⋅ q ⋅ la
1
2
F12 =
ε ⋅ 4π a 2
Mit la = Richtungsvektor
Hinweis: Bei mehreren Ladungen gilt der Überlagerunssatz
___________________________________________________________________________
Notizen:
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5.Das Magnetfeld
5.1 Der Magnetische Fluss (Magnetischerstrom):
I ⋅N
Φ = B⋅ A
Φ=
Φ = ∫ BdA
Einheit: [ Φ ] = 1Vs = 1Wb
Rm
___________________________________________________________________________
5.2 Magnetische Induktion (Flussdichte):
d Φ
Φ
V sec
Allgemein:
B=
Homogen:
B=
Einheit: [ B ] = 1
= 1T
dA⊥
A⊥
m²
Bei geschlossenen Feldlinien:
B
1
r
___________________________________________________________________________
5.3 Feldstärke:
B
Θ
Φ
I
A
H=
H=
H=
H=
Einheit: [ H ] = 1
l
A⋅ µ
µ
2π r
m
∫ Bd A = 0 bzw. ∫ Bd s = 0
S
B∼
Mit l mittlere Feldlinienlänge
___________________________________________________________________________
5.4 Magnetische Durchflutung (1.Maxwellsche Gleichung):
Θ = ∫ Hd s
Θ = N ⋅I
n
ΘGes = ∑ Θv
v=1
Θ = Φ ⋅ Rm
Θ = H ⋅l
Einheit: [ Θ] = 1A
n
Θ = ∑ Iv
v =1
___________________________________________________________________________
5.5 Permeabilität:
B
−6 V sec
µ = µ0 ⋅ µr
µ=
mit µ0 = 1, 256 ⋅10
H
Am
___________________________________________________________________________
5.6 Magnetische Spannung:
VAB = ∫ Hd s
B
Homogen:
V = H ⋅s
V = N ⋅I
Einheit: [V ] = 1A
A
VGes = Φ ⋅ ( Rm1 + Rm 2 ...)
___________________________________________________________________________
5.7 Magnetischer Widerstand:
V
l
I ⋅N
A
Rm =
Rm =
Rm =
Einheit: [ Rm ] = 1
Φ
µ⋅A
Φ
V sec
Magnetischer Leitwert
Λ=
1
Rm
Λ=
Φ
I ⋅N
___________________________________________________________________________
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5.8 Induktion der Ruhe (2.Maxwellsche Gleichung):
Φ(t )
E
ui = ∫ Ed s (Wirbelfeld in Linksschraube)
ui
n
ui = −∑
Bei n Windungen:
ui = −
dΦ
dt
dΦ j
dt
___________________________________________________________________________
5.9 Bewegungsinduktion / Lorenzkraft:
Homogen:
j =1
FL = q v × B
ui = ∫ Ed s =
v
B
(
q
F
)
∫ (
E = v× B
v× B ds
)
(
)
U ind = B ⋅ l ⋅ vs
wobei l die effektive Leierlänge ist
(senkrecht zum Feld)
___________________________________________________________________________
5.10 Kraft auf einen Stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
Allgemein:
l
F = i ⋅ ∫ ds × B = i ⋅ l × B
(
)
0
Homogen und senkrecht zu einander :
F = i ⋅l ⋅ B
Rechte-Hand-Regel
___________________________________________________________________________
5.11 Biot-Savartsches Gesetz
I S 2 ds × r
0
⋅
H=
4π S∫1 r 2
___________________________________________________________________________
5.12 Faustformel für Leitungsinduktivitäten
Näherungswerte:
1
µH
m
bzw. 1
nH
mm
Hier bei handelt es sich im Näherungswerte, keinesfalls um genaue Werte.
Werte sind abhängig von der Leitung, äußeren Einflüssen usw.
___________________________________________________________________________
Notizen:
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6.Induktivitäten
6.1 Serien und Parallelschaltung von Induktivitäten:
Wie bei normalen Widerständen
___________________________________________________________________________
6.2 (Selbst-)Induktivität:
Def. Ψ = L ⋅ I Induktionsfluss
L=
Ψ
I
L=
N ⋅Φ
I
L=
N²
Rm
Einheit: [ L ] = 1
Vs
= 1H
A
Zylinderspule
Φ
A
= N²⋅µ ⋅
l
l
___________________________________________________________________________
6.3 (Gegen-)Induktivität:
k ⋅n ⋅n
Φ
M 12 = 1 1 2
M 12 = N1 ⋅ 11
M = K ⋅ L1 ⋅ L2
Rm
I
k ⋅n ⋅n
Φ
M 21 = 2 1 2
M 21 = N 2 ⋅ 21
I
Rm
___________________________________________________________________________
6.4 Kopplungsfaktor:
Φ
Φ
M
K1 = 12
K 2 = 11
K = K1 ⋅ K 2
K=
Φ11
Φ12
L1 ⋅ L2
___________________________________________________________________________
6.5 Energie in einer Spule:
1
Wmag = L ⋅ I ²
2
___________________________________________________________________________
6.6 Verhältnisse im Transformator:
I
N
U
N
Ströme: 1 = 2
Spannungen: 1 = 1
I 2 N1
U2 N2
___________________________________________________________________________
L=N⋅
Notizen:
Fel =
U
⋅ q0
l
___________________________________________________________________________
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7.Wechselstromlehre
Achtung: Sich zeitlich ändernde Größen klein schreiben !
7.1 Frequenz:
1
ω
1
f =
f =
Einheit: [ f ] = = Hz
T
2π
s
___________________________________________________________________________
7.2 Kreisfrequenz:
1
ω = 2π f
ω = 2π ⋅
T
___________________________________________________________________________
7.3 Allgemeine Sinusschwingungen:
y = r ⋅ sin(ωt + ϕ )
Kosinus-Schwingung startet bei 1
Scheitelfaktor für Sinusgrößen:
ξ= 2
___________________________________________________________________________
7.4 Effektivwert von Strom und Spannung bei Sinusförmigenschwingungen:
1 ˆ
iˆ
⋅ ∫ i ² ⋅ sin(ωt )² dt =
T 0
2
uˆ
U eff = ...s.o. =
2
___________________________________________________________________________
7.5 Mittelwerte Leistung:
T
1
Allgemein:
P = ∫ uˆ ⋅ sin(ωt + ϕu ) ⋅ iˆ ⋅ sin(ωt + ϕi )dt
T 0
___________________________________________________________________________
7.6 Ohmscher Widerstand:
T
I eff =
Strom:
u (t ) = uˆ ⋅ sin(ωt )
i (t ) = iˆ ⋅ sin(ωt )
Leistung:
PWiderst . = U eff ⋅ I eff =
Spannung:
u(t)
∼
i(t)
uˆ ⋅ iˆ U ²
=
= I²⋅R
2
R
(Keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung)
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7.7 Induktivität:
Spannung:
u (t ) = uˆ ⋅ cos(ωt )
uˆ
Strom:
i (t ) =
⋅ sin (ωt )
ωL
Mit induktivem Blindwiderstand:
i(t)
X L = ω ⋅ L = 2π f ⋅ L
Widerstandsdreieck:
Z= Scheinwiderstand
R= Wirkwiderstand
Leistung:
∼
u(t)
Z
ϕ
Strom eilt nach
XL
R
P Mittel = 0 da Leistungskurve flächengleich
U²
XL
___________________________________________________________________________
7.8 Kapazität:
i(t)
iˆ
Spannung:
u (t ) =
sin(ωt )
u(t)
Cω
Strom:
i (t ) = iˆ cos (ωt )
Aber trotzdem Leistung Induktive Blindleistung:
Q = I²⋅ XL =
∼
Strom eilt voraus
1
1
Mit kapazitivem Blindwiderstand: X C = −
=−
ω ⋅C
2π f ⋅ C
ϕ
Widerstandsdreieck:
Z= Scheinwiderstand
R= Wirkwiderstand
Leistung:
Z
(Achtung: negativ nach Definition)
R
XC
P Mittel = 0 da Leistungskurve flächengleich
U²
XC
___________________________________________________________________________
7.9 Leistungsbetrachtung:
Aber trotzdem Leistung Kapazitive Blindleistung:
Blindleistung:
Wirkleistung:
Scheinleistung:
Bei ohmschem Verbraucher :
P
Rein ohmscher Verbraucher hat
weder Blind- noch Scheinleistung
Q = I ² ⋅ XC =
Einheit: [Q ] = VAR
Q = U eff ⋅ I eff ⋅ sin ϕ
uˆ ⋅ iˆ
P=
⋅ cos ϕ = U eff ⋅ I eff ⋅ cos ϕ
2
Einheit: [ P ] = W
Einheit: [ S ] = VA
S = U eff ⋅ I eff
Bei kapazitivem Verbraucher
mit ohmschem Anteil:
ϕ
S
Bei induktivem Verbraucher:
mit ohmschem Anteil:
P
S
QC
mit S
= P² + Q²
ϕ
QI
P
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8. Komplexe Betrachtung des Wechselstrom
8.1 Komplexe Spannung:
U = U ⋅ e jϕu
U Re = U ⋅ cos ϕu
Achtung: Komplexe Größen mit Unterstrich schreiben
U Im = U ⋅ j sin ϕu
u = uˆ ⋅ e ( u )
___________________________________________________________________________
8.2 Komplexer Strom:
I = I ⋅ e jϕi
I Re = I ⋅ cos ϕi
I Im = I ⋅ j sin ϕi
j ( ω t + ϕi )
Augenblickswert: i = iˆ ⋅ e
Augenblickswert:
j ω t +ϕ
__________________________________________________________________________
8.3 Komplexer Widerstand:
U U
Z = = ⋅ e j (ϕu −ϕi )
Scheinwiderstand allg.:
I
I
Scheinwiderstand
Wirkwiderstand
Blindwiderstand
U
U
X = ⋅ sin(ϕu − ϕi )
⋅ cos(ϕu − ϕi )
I
I
__________________________________________________________________________
8.4 Komplexe Induktivität und Kapazität:
Z = R + jX
Induktivität:
R=
u = jω L ⋅ i
u
Strom:
i=
jω L
Blindwiderstand: X L = jω L
Spannung:
→ X L = ωL
Scheinwiderstand mit Ohmschem-Anteil:
Kapazität:
Z = R + jX L
1
⋅i
ωC
Strom:
i = u ⋅ jωC
1
1
Blinwiderstand: X C = −
→ XC = −
ωL
ωC
Spannung:
u=−j
Scheinwiderstand mit Ohmschem-Anteil:
Z = R + jX C
__________________________________________________________________________
8.5 Komplexe Leistung:
Scheinleistung:
S = U ⋅ I = U ⋅ e jϕu ⋅ I ⋅ e− jϕi = U ⋅ I ⋅ e
Blindleistung:
Q = U ⋅ I ⋅ j sin(ϕu − ϕi )
Wirkleistung:
P = U ⋅ I ⋅ j cos(ϕu − ϕi )
*
j (ϕu −ϕi )
= P + jQ
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9. Analyse Linearer Netzwerke mit komplexen Zweipolen
9.1 Reihenschaltung von R und L:
U = I ⋅ Z = UR +UL = R ⋅ I + j ⋅ X L ⋅ I
Betrag:
Z = R 2 + X L 2 = R 2 + (ω L) 2 =
U
I
XL
 L
= arctan  ω ⋅ 
R
 R
__________________________________________________________________________
9.2 Reihenschaltung von R und C:
Phase:
ϕ Z = arctan
U = I ⋅ Z = U R + UC = R ⋅ I + j ⋅ X C ⋅ I
2
U
 1 
Z = R2 + X C 2 = R2 + 
 =
I
 ωC 
X
1 

Phase: ϕ Z = arctan C = arctan  −

R
 ω RC 
__________________________________________________________________________
9.3 Reihenschaltung von R,L und C:
U = I ⋅ Z = U R + U L + UC
Betrag:
= R ⋅ I + j ⋅ X L ⋅ I + R ⋅ I + j ⋅ XC ⋅ I
2
1  U

Z = R2 + X 2 = R2 +  ω L −
=
ωC 
I

1 

ω
L−

X + XL
ωC 
Phase: ϕ Z = arctan C
= arctan 

R
R




__________________________________________________________________________
9.4 Parallelschaltung von R,L und C:

U
 
1  
I = = I R + I L + IC = U ⋅ G +  j ⋅  ω C −

ω L   
Z
 

Betrag:
2
1 

Betrag: Y = G + X = G +  ωC −
ω L 

1 

 ωC − ω L 
Phase: ϕY = arctan 
ϕY = −ϕ Z

G




2
2
2
___________________________________________________________________________
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10. Ortskurve
10.1 Inversionsregelng:
•
Die Inversion einer Ursprungsgeraden ergibt wieder eine Ursprungsgeraden mit geänderter Phase und
Skalierung.
•
Die Inversion einer Geraden die nicht durch den Ursprung geht ergibt einen halb Kreis
der durch den Ursprung geht
•
Die Inversion eines Kreises der durch den Nullpunkt ergibt eine Gerade die nicht durch
den Ursprung geht (sh. oben)
•
Die Inversion eines Kreises der nicht durch den Nullpunkt geht ergibt wieder einen
Kreis der nicht durch den Ursprung geht
__________________________________________________________________________
10.2 Ortskurve von einem Komplexen Widerstand:
Achtung: Wenn ω variabel kommt es auf den Aufbau der Schaltung an in Welche Richtung der Blindwiderstand
geht, bei einer Induktivität noch oben, Kapazität nach unten.
Grundlegende Vorgehensweise:
• Maßstab festlegen
• Ortskurve für eine Reihenschaltung der
Verbraucher Zeichnen
• Inversion dieser Ortskurve
• Leitwert für die Parralellschaltung
hinzufügen
• Inversion der Gesamten Ortskurve
__________________________________________________________________________
10.3 Konstruktion einer Ortskurve:
___________________________________________________________________________
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10.4 Tabelle einiger Ortskurven:
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11. Bodediagramm / Frequenzgang
11.1 Allgemeine Vorgehensweise:
•
•
•
Verhältnis von einer Komplexen Ausgangsgröße zu einer komplexen Eingangsgröße definieren
Erweitern um Doppelbrüche im Zähler und Nenner zu Eliminieren
Konstante Faktoren und den Zähler herausmultiplizieren
•
Auf die Form
•
1
bzw. K ⋅ jωT
1 + jωT
jω im Zähler positive Steigung, jω im Nenner negative Steigung
K⋅
__________________________________________________________________________
11.2 Tabelle einiger Zähler und Nenner Faktoren:
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12. Schwingkreise
12.1 Allgemeines:
Für R 0 geht der Strom I ∞ , es entsteht ein Kurzschluss trotz L und C
__________________________________________________________________________
12.2 Resonanzfrequenz und Resonanzkreisfrequenz:
ω
1
Resonanzkreisfrequenz: ω0 =
Resonanzfrequenz:
f0 = 0
2π
L ⋅C
__________________________________________________________________________
12.3 Reihenschwingkreis:
1
U = I ⋅ R + I ⋅ jω L + I ⋅
jωC
Kennwiderstand:
Z 0 = ω0 ⋅ L =
1
L
=
ω0 ⋅ C
C
__________________________________________________________________________
12.4 Parallelschwingkreis:
1
I = U ⋅ G + U ⋅ jωC + U ⋅
jω L
Kennleitwert:
Y0 = ω0 ⋅ C =
1
C
=
ω0 ⋅ L
L
__________________________________________________________________________
12.5 Güte, Dämpfung, Verstimmung und Bandbreite:
Güte (Gütefaktor):
Verstimmung:
v=
Q=
Z 0 Y0
=
R G
ω ω0
−
ω0 ω
1
Q
Dämpfung:
D=
Bandbreite:
bω = ω2 − ω1
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13. Vierpole
13.1 Allgemeine Beschreibung eines Vierpols:
I1
Ein Vierpol ist ein elektrisches Netzwerk mit 4 von außen zugänglichen Klemmen,
wobei diese zu zwei Klemmenpaaren (zwei Zweitore) zusammengefasst sind. Der
U1
Vierpol ist dann durch zwei Spannungen und zwei Ströme charakterisiert.
Achtung:
Die Vierpolbeschreibung ist nur gültig, wenn an jedem Tor des Vierpols der in einer
Klemme hineinfließende Strom an der anderen Klemme wieder herausfließt. Spannungen zwischen den
Klemmen verschiedener Tore der Vierpole können aus den Vierpolgleichungen nicht entnommen werden.
I2
U2
___________________________________________________________________________
13.2 Beschreibung der Vierpolgleichungen:
Kettenform:
U1   A11
 I  = A
 1   21
A12  U 2 
⋅
A22   I2 
A ist die Kettenmatrix
Widerstandsform:
U1   Z11
U  =  Z
 2   21
Z12   I1 
⋅
Z 22   I2 
Z ist die Widerstandsmatrix
Z11 =
Beispiel der Koeffizienten:
U1
I1
U1   H11
 I  = H
 2   21
Hybridform 1:
Z12 =
U1
I2
Z 21 =
H12   I1 
⋅
H 22  U 2 
U2
I1
Z 22 =
U2
I2
H ist die Reihenparalellmatrix
 I1   K11 K12  U1 
K ist die Paralellreihenmatrix
U  =  K
⋅ 
 2   21 K 22   I2 
___________________________________________________________________________
13.3 Ersatzschaltbilder von Vierpolen:
Hybridform 2:
T-Ersatzschalbild
Za
I1
Zc
Π-Ersatzschalbild
I2
Yb
I1
I2
I q = β ⋅U 1
U1
I
Zb
II
U q = γ ⋅ I1
U2
U1
Ya
Yc
U2
Y 12 = −Y b
Z 11 = Z a + Z b
Z 12 = − Z b
Y 11 = Y a + Y b
Z 21 = Z b + γ
Z 22 = −(Z b + Z c )
Y 21 = Y b + β Y 22 = −(Y b + Y c )
Z a = Z 11 + Z 12
Z b = − Z 12
Y a = Y 11 + Y 12
Z c = Z 12 − Z 22
γ = Z 12 + Z 21
Yc = Y 12 − Y 22 β = Y 12 + Y 21
Y b = −Y 12
___________________________________________________________________________
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13.4 Bestimmung der verschiedenen Vierpolkoeffizienten:
Koeffizient
Z11=U1/I1
Z12=U1/I2
Z21=U2/I1
Z22=U2/I2
Y11=I1/U1
Y12=I1/U2
Y21=I2/U1
Y22=I2/U2
A11=U1/U2
A12=U1/I2
A21=I1/U2
A22=I1/I2
H11=U1/I1
H12=U1/U2
H21=I2/I1
H22=I2/U2
K11=I1/U1
K12=I1/I2
K21=U2/U1
K22=U2/I2
Koeffizient
Z11=U1/I1
Z12=U1/I2
Z21=U2/I1
Z22=U2/I2
Y11=I1/U1
Y12=I1/U2
Y21=I2/U1
Y22=I2/U2
A11=U1/U2
A12=U1/I2
A21=I1/U2
A22=I1/I2
H11=U1/I1
H12=U1/U2
H21=I2/I1
H22=I2/U2
K11=I1/U1
K12=I1/I2
K21=U2/U1
K22=U2/I2
Eingang
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Kurzschluss
Einspeisung
Kurzschluss
Einspeisung
Einspeisung
Einspeisung
Einspeisung
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Kurzschluss
Einspeisung
Kurzschluss
Ausgang
Leerlauf
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Kurzschluss
Einspeisung
Kurzschluss
Einspeisung
Leerlauf
Kurzschluss
Leerlauf
Kurzschluss
Kurzschluss
Einspeisung
Kurzschluss
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Leerlauf
Einspeisung
Zu messende oder zu berechnende Größen
Spannung am Eingang, Strom am Eingang
Spannung am Eingang, Strom am Ausgang
Spannung am Ausgang, Strom am Eingang
Spannung am Ausgang, Strom am Ausgang
Spannung am Eingang, Strom am Eingang
Spannung am Ausgang, Strom am Eingang
Spannung am Eingang, Strom am Ausgang
Spannung am Ausgang, Strom am Ausgang
Spannung am Eingang, Spannung am Ausgang
Spannung am Eingang, Strom am Ausgang
Spannung am Ausgang, Strom am Eingang
Strom am Eingang, Strom am Ausgang
Spannung am Eingang, Strom am Eingang
Spannung am Eingang, Spannung am Ausgang
Strom am Eingang, Strom am Ausgang
Spannung am Ausgang, Strom am Ausgang
Spannung am Eingang, Strom am Eingang
Strom am Eingang, Strom am Ausgang
Spannung am Eingang, Spannung am Ausgang
Spannung am Ausgang, Strom am Ausgang
___________________________________________________________________________
13.5 Beziehungen zwischen Vierpolkoeffizienten und Determinanten:
Z11
Z12
Z21
Z22
det(Z)
Y11
Y12
Y21
Y22
det(Y)
A11
A12
A21
A22
det(A)
H11
H12
H21
H22
det(H)
K11
K12
K21
K22
det(K)
= Y22 / det(Y)
= -Y12 / det(Y)
= - Y21 / det(Y)
= Y11 / det(Y)
= 1 / det(Y)
= Z22 / det(Z)
= - Z12 / det(Z)
= - Z21 / det(Z)
= Z11 / det(Z)
= 1 / det(Z)
= -Y22 / Y21
= 1 / Y21
= -det(Y) / Y21
= Y11 / Y21
= -Y12 / Y21
= 1/ Y11
= - Y12 / Y11
= Y21 / Y11
= det(Y) / Y11
= Y22 / Y11
= det(Y) / Y22
= Y12 / Y22
= -Y21 / Y22
= 1 / Y22
= Y11 / Y22
= A11 / A21
= -det(A) / A21
= 1 / A21
= -A22 / A21
= -A12 / A21
= A22 / A12
= -det(A) / A12
= 1 / A12
= -A11 / A12
= -A21 / A12
= Z11 / Z21
= -det(Z) / Z21
= 1 / Z21
= -Z22 / Z21
= -Z12 / Z21
= A12 / A22
= det(A) / A22
= 1 / A22
= -A21 / A22
= -A11 / A22
= A21 / A11
= det(A) / A11
= 1 / A11
= -A12 / A11
= -A22 / A11
= det(H) / H22
= H12 / H22
= -H21 / H22
= 1 / H22
= H11 / H22
= 1 / H11
= -H12 / H11
= H21 / H11
= det(H) / H11
= H22 / H11
= -det(H) / H21
= H11 / H21
= -H22 / H21
= 1 / H21
= H12 / H21
= det(Z) / Z22
= Z12 / Z22
= - Z21 / Z22
= 1 / Z22
= Z11 / Z22
= H22 / det(H)
= -H12 / det(H)
= -H21 / det(H)
= H11 / det(H)
= 1 / det(H)
= 1 / K11
= -K12 / K11
= K21 / K11
= det(K) / K11
= K22 / K11
= det(K) / K22
= K12 / K22
= -K21 / K22
= 1 / K22
= K11 / K22
= 1 / K21
= -K22 / K21
= K11 / K21
= -det(K) / K21
= K12 / K21
= K22 / det(K)
= -K12 / det(K)
= -K21 / det(K)
= K11 / det(K)
= 1 / det(K)
= 1 / Z11
= -Z12 / Z11
= Z21 / Z11
= det(Z) / Z11
= Z22 / Z11
___________________________________________________________________________
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27 - 39
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Formelsammlung Elektrotechnik
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13.6 Zusammenschalten von Vierpolen :
Kettenschaltung:
I1
U1
Ia1
Ua1
Ia2
Aa
Ib1
Ua2
Ub1
Ab
Ib2
I2
Ub2
U2
A
U 1 
U 2 
U 2 
 I  = [ Aa ⋅ Ab ] ⋅  I  = [ A] ⋅  I 
 1
 2
 2
⇒ Aa ⋅ Ab = A
Reihenschaltung:
I1
I a1
U
U
a1
I a2
Z
a
U
U
I b1
U
b1
U 1 
 I1 
 I1 
=
Z
+
Z
⋅
=
Z
⋅
[
]
[
]
a
b
U 
I 
I 
 2
 2
 2
a2
Z
1
I2
2
I b2
Z
b
U
⇒ Za + Zb = Z
b2
Parallelschaltung:
I1
Ia1
U
U
a1
I a2
Z
a
U
a2
U
Z
1
Ib1
U
b1
I2
2
U 1 
U 1 
 I1 
 I  = [Y a + Y b ] ⋅ U  = [Y ] ⋅ U 
 2
 2
 2
Ib2
Z
b
U
⇒ Ya +Yb = Y
b2
Parallelreihenschaltung:
I1
I a1
U
U
a1
I a2
Za
U
U
I b1
U
b1
U 1 
 I1 
 I  = [ H a + H b ] ⋅ U 
 2
 2
a2
Z
1
I2
2
I b2
Zb
U
b2
 I1 
= [H ]⋅  
U 2 
⇒ Ha + Hb = H
Reihenparralellschaltung
I1
I a1
U
U
a1
I a2
Z
a
U
U
I b1
U
b1
I b2
Z
b
U
 I1 
U 1 
U  = [ K a + K b ] ⋅  I 
 2
 2
a2
Z
1
I2
b2
2
U 
= [K ]⋅  1 
I2 
⇒ Ka + Kb = K
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Formelsammlung Elektrotechnik
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14. Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem)
14.1 Benennungen und Definitionen:
Strang:
zwischen 2 Anschlusspunkten liegende Zweige eines Drehstromgenerators oder
–verbrauchers (z.B. Wicklungen)
Strangspannung, Spannung an einem Strang
Strangstrom, Strom durch einen Strang
Außenleiter
Neutralleiter
Außenleiterströme
Neutralleiterstrom
Sternspannungen, Spannungen zwischen Außenleiter und Neutralleiter
UStr:
IStr:
L1, L2, L3:
N:
I1, I2, I3:
I N:
U1 , U2 , U3 :
U1 = U 2 = U 3 = U ST
U12, U23, U31:
Außenleiterspannungen, Dreieckspannungen, Spannungen zwischen den Außenleitern
U12 = U 23 = U 31 = U ∆ = U
U:
Spannung zur Benennung des jeweiligen Dreiphasensystem (Spannung zwischen den
Außenleitern)
starr oder
eingeprägt:
Effektivwert, Frequenz und Phasenlage der betreffenden Größen weisen
belasungsunabhängige Werte auf. Im Vierleiternetz sind die Sternspannungen und im
Dreileiternetz die Außenleiterspannungen eingeprägt.
___________________________________________________________________________
14.2 Spannungen im symmetrischen Dreiphasensystem:
u 1 ,u 2 ,u 3
u1
u2
u3
U 1 = U1 ⋅ e jϕ n
π/2
0
π
3/2π
2π
5/2π
-120°
U3
ωt
U 2 = U 1 ⋅ e − jϕ 120°
U1
-120°
U 3 = U 1 ⋅ e − jϕ
U2
240°
___________________________________________________________________________
14.3 Spannungen in Sternschaltung:
i1
L1
U1
I1
u1
U1
I2
U2
S V2
W2
S
u2
W1
u3
i2
i3
iN
U 31
I3
L2
L2
U1
U 23
U2
V1
L1
L1
U 12 U 31
U3
U2
L3
I
N
L3
U3
L3
N
U 12
L2
U 23
N
___________________________________________________________________________
14.4 Spannungen in Dreieckschaltung:
i1
W2
U1
u3
L1
u1
I1
U2
V2
i2
L2
V1
u2
L1
U 31
U 12 U 31
I2
W1
L1
I3
i3
L3
L2
U 23
U 12
L3
L3
U 23
L2
___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
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14.5 Komplexe Leistung, Wirk-, Blind- und Scheinleistung:
Komplexe Leistung in einem Strang gilt
S Str = U Str ⋅ I Str = U Str ⋅ e jϕ ⋅ I Str = U Str ⋅ I Str ⋅ e jϕ = U Str ⋅ I Str ⋅ (cos(ϕ ) + j sin (ϕ )) = P + jQ
*
PStr = U Str ⋅ I Str ⋅ cos(ϕ )
Wirkleistung:
Blindleistung:
QStr = U Str ⋅ I Str ⋅ sin (ϕ )
Scheinleistung:
S Str = U Str ⋅ I Str
*
S = 3 ⋅ S Str = 3 ⋅U Str ⋅ I Str
= 3 ⋅ U Str ⋅ IStr ⋅ e jϕ
Gesamte komplexe Leistung symmetrischer Belastung:
Überblick Leistungsberechnung bei symmetrischer Stern- und Dreieckschaltung
Strangspannung Strangstrom
Scheinleistung
Wirkleistung
UStr
IStr
S
P
U
3
U ST =
IST=I
U∆ =U

I∆ =
I
3
Blindleistung
Q
S = 3 ⋅ U ST ⋅ I ST
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ ) Q = 3 ⋅U ⋅ I ⋅ sin (ϕ )
= 3 ⋅U ⋅ I
S = 3 ⋅U ∆ ⋅ I ∆
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ ) Q = 3 ⋅U ⋅ I ⋅ sin (ϕ )
= 3 ⋅U ⋅ I
___________________________________________________________________________
10.6 Blindleistungskompensation bei symmetrischer Belastung in Sternschaltung:
L1
L2
L3
N
I1
QStr + QCST = 0
Vollständige Kompensation:
I2
I3
Damit folgt:
IN
I1
Z
I2
CST
I3
Z
CST
Z
IN
CST
Ergibt für die Kapazität:
CST
S
U ST 2 
QStr = Im  *  = ω ⋅ CST ⋅U ST 2
 Z 
QStr
3 ⋅ QStr
Q
=
=
=
2
ω ⋅ U ST
 U  ω ⋅U 2
ω ⋅

 3
ist QStr < 0 so muss mit einer Induktivität Kompensiert werden
2
U 


2
U ST
U2
U2
3

Ergibt für die Induktivität: LST = −
=−
=−
=−
ω ⋅ QStr
ω ⋅ QStr
ω ⋅ 3 ⋅ QStr
ω ⋅Q
___________________________________________________________________________
14.7 Blindleistungskompensation bei symmetrischer Belastung in Dreieckschaltung:
L1
L2
L3
I1
Vollständige Kompensation:
I2
I3
I1
Z
I2
C∆
Z
Z
U 2 
QStr = Im  ∆*  = ω ⋅ C∆ ⋅U ∆ 2
Z 
QStr
Q
1 Q
Ergibt für die Kapazität: C∆ =
= Str 2 = ⋅
2
ω ⋅U ∆ ω ⋅U
3 ω ⋅U 2
Damit folgt:
I3
C∆
QStr + QCST = 0
C∆
U ∆2
U2
U2
Ergibt für die Induktivität: L∆ = −
=−
= −3
ω ⋅ QStr
ω ⋅ QStr
ω ⋅Q
___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
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14.8 Blindleistungskompensation auf vorgegebenen cos ϕ :
QK = Q2 − Q1 = P ⋅ tan (ϕ 2 ) − P ⋅ tan (ϕ1 ) = P ⋅ (tan (ϕ 2 ) − tan (ϕ1 )) = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos(ϕ1 ) ⋅ (tan (ϕ 2 ) − tan (ϕ1 ))
Für eine Kapazität ergibt sich so:
CST =
− QK
1 − QK
; C∆ = ⋅
für QK<0 bzw.
2
ω ⋅U
3 ω ⋅U 2
U2
U2
; L∆ = 3 ⋅
für QK>0.
ω ⋅ QK
ω ⋅ QK
___________________________________________________________________________
14.9 Sternpunktverlagerung bei unsymmetrischer Belastung:
Für eine Induktivität ergibt sich so: LST
U1
I1
Z1
I2
Z2
I3
Z3
S
U2
U3
U SN
=
U SN =
 U U U  Y ⋅U + Y ⋅U + Y ⋅U
1
⋅ 1 + 2 + 3  = 1 1 2 1 3 3
1
1
1  Z1 Z 2 Z 3 
Y1 + Y2 + Y3
+
+
Z1 Z 2 Z 3
___________________________________________________________________________
14.10 Drehstrommotor:
Strangimpendanz eines Motors:
Z Str =
U Str
I Str
Z Str = Z Str ⋅ cos(ϕ ) + j ⋅ Z Str ⋅ sin(ϕ )
Aufgenommene Leistung:
Pzu = 3 ⋅ U N ⋅ I N ⋅ cos(ϕ )
ergibt für Strang Spannung und Strom:
Pzu = 3 ⋅ U Str ⋅ I Str ⋅ cos(ϕ )
___________________________________________________________________________
Notizen:
___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
___________________________________________________________________________
15. Schaltvorgänge
15.1 Strom-Spannungsbeziehungen an Standartbauelementen:
1
Widerstand R:
u (t ) = R ⋅ i (t )
i (t ) = ⋅ u (t )
R
Strom und Spannung können sich sprunghaft ändern
u (t ) = L ⋅
Induktivität L:
di ( t )
dt
t
1
i ( t ) = ⋅ ∫ u (τ )dτ + i ( t0 )
L t0
Die Spannung kann sich sprunghaft ändern, aber nicht der Strom
i (t ) = C ⋅
Kapazität C:
du ( t )
dt
u (t ) =
t
1
⋅ i (τ )dτ + u ( t0 )
C t∫0
Der Strom kann sich sprunghaft ändern, aber nicht die Spannung
___________________________________________________________________________
15.2 Berechnungsverfahren:
Bestimmung der Differentialgleichung im Laplace-Bereich in der Form:
G (s) =
Allgemein gilt:
U Ausgang ( s )
U Eingang ( s )
Y (s)
a0 + a1 ⋅ s + a2 ⋅ s 2 + ... + am ⋅ s m
G (s) =
=
mit m ≤ n.
X ( s ) b0 + b1 ⋅ s + b2 ⋅ s 2 + ... + bn ⋅ s n
___________________________________________________________________________
15.3 Allgemeine Vorgehensweise:
•
•
•
Aufstellen der Übertragungsfunktion
Umformen auf Grundform zB.: aus Tabelle
Bestimmen von K, T ,d
1
1 + Ts
___________________________________________________________________________
15.4 Stationärer Betriebszustand:
G (s) = K ⋅
Stationärer Betriebszustand erreicht bei: t0 = 5 ⋅ T
___________________________________________________________________________
15.5 Differentialgleichung aus Übertragungsfunktion ermitteln:
durch Kreuzweiseausmultiplizieren und „Rückführen“ erhält man die DGL
Bsp.:
G (s) =
U2
=
Uq
1
L

2
1 ⋅ U 2 +  RC +  ⋅ s ⋅ U 2 + LCs ⋅ U 2 = U q ⋅1
L
R


1 +  RC +  ⋅ s + LCs 2
R

L

u2 (t ) +  RC +  ⋅ uɺ2 (t ) + LC ⋅ uɺɺ2 (t ) = U q ⋅1
R

___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
___________________________________________________________________________
15.6 Ersatzschaltbilder im Bildbereich:
Induktivität
Kapazität
IC(s)
IL(s)
L.I0
U0
s
UL0(s)
UL(s)
U L 0 ( s ) = Ls ⋅ I L ( s )
UC(s)
UC0 ( s ) =
1
⋅ IC ( s )
Cs
I0
s
C ⋅U 0
IL0(s)
IC0(s)
UC(s)
UL(s)
I L0 ( s ) =
UC0(s)
1
⋅U L ( s )
Ls
I C 0 ( s ) = Cs ⋅ U C ( s )
___________________________________________________________________________
Notizen:
___________________________________________________________________________
15.7 Transformationstabellen:
f (t )
F (s )
f (t )
F (s )
δ(t )
1
sin (ωt )
ω
s + ω2
s
2
s + ω2
1
(s + δ)2 + ω2
s+δ
σ(t )
r (t ) = t ⋅ σ(t )
e − α⋅ t
e
−
t
T
t
1 −T
⋅e
T
1
s
1
s2
1
s+α
1
τ⋅
1 + τs
1
1 + Ts
2
cos(ωt )
1 −δ⋅t
⋅ e ⋅ sin (ωt )
ω
e − δ⋅t ⋅ cos(ωt )
(s + δ)2 + ω2
1
⋅ t n −1 ⋅ e ∓ α⋅t
(n − 1)!
t
∓
1
1
⋅ n ⋅ t n −1 ⋅ e T
(n − 1)! T
1
(s ± α )n
1
(1 ± Ts )n
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Formelsammlung Elektrotechnik
___________________________________________________________________________
d<1
1
1 + 2dTs + T 2 s 2
1
1− d2 ⋅ T
⋅e
d
− ⋅t
T
d

1 − T ⋅t

⋅
e
⋅
cos

T2

d
T
1 + 2dTs + T 2 s 2
K1 ⋅ s + K 2
1 + 2dTs + T 2 s 2
s+
 1− d2 
⋅ sin 
⋅t
 T



2

1− d
⋅t

T

d
 1− d2 
K 1 − T ⋅t

⋅
e
⋅
cos
⋅t +
 T

T2


d=1
1
1 + 2dTs + T 2 s 2
d
s+
T
1 + 2dTs + T 2 s 2
K1 ⋅ s + K 2
1 + 2dTs + T 2 s 2
t
−
t
⋅e T
2
T
t
t  1 −T

1 −  ⋅ 2 ⋅ e
 T T
1
T2

 −
t

⋅  K 1 ⋅ 1 −  + K 2 ⋅ t  ⋅ e T
 T


t
d>1
1
1 + 2dTs + T 2 s 2
t
t
t
−
−
− 
 − Tt
1
1
1
T1
T2
T1 
2

⋅e +
⋅e =
⋅ e −e

T1 − T2
T2 − T1
T2 − T1 

d
T
1 + 2dTs + T 2 s 2
K1 ⋅ s + K 2
1 + 2dTs + T 2 s 2
−
−
1
1
⋅ e T1 +
⋅ e T2
T1 ⋅ (T2 − T1 )
T2 ⋅ (T1 − T2 )
t
s+
(
t
t
t

1
K1  − T2 
K1  − T1 

 ⋅ e −  K 2 −
⋅e
⋅  K2 −

T2 − T1  
T2 
T1 


)
(
mit T1 = T ⋅ d − d 2 − 1 und T2 = T ⋅ d + d 2 − 1
)
d=
1 1
⋅ ⋅ (2dTs )
2 Ts
___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
___________________________________________________________________________
16. Beziehung zwischen Einschwingverhalten und Bode-Diagramm
16.1 Verschiedene Zustände:
Ein/Ausschaltvorgang: nur die Hohen Frequenzen sind maßgebend
Stationärer Zustand:
ist erreicht wenn die kleinste Knickfrequenz erreicht wird (Knickpunkt an der ersten negativen Steigung im
Bode-Diagramm)
Zeit bis sich ein System im quasi Stationären Betriebszustand ist:
ℓog (ω ⋅ s ) = X → ω = 10 X s −1 → T = 10− X s → TE ≈ 5 ⋅ T = 5 ⋅10 − X s
X steht hier für die kleinste Knickfrequenz bzw. das größte Nennerpolynom der Übertragungsfunktion
___________________________________________________________________________
16.2 Berechnung der Ausgangsspannung über das Bode-Diagramm:
Berechnung im Stationären Zustand:
U 2 = uq ⋅10
XdB
20 dB
X steht für den Betrag von F (ω ) in dB zum Zeitpunkt
log(ω ⋅ s ) = 0
Achtung: Existiert eine Anfangssteigung geht die Spannung gegen unendlich, existiert ein Anfangsgefälle so
geht die Spannung gegen 0.
___________________________________________________________________________
16.3 Verstärkungsfaktor:
( Wert bei : ω =1s )
−1
ω = 1s
−1
20 dB
K = 10
⋅s
___________________________________________________________________________
16.4 Schwingungsverlauf:
Der Verstärkungsfaktor kann bei
abgelesen werden:
Ein schwingender Verlauf ist nur möglich wenn es Steigungen mit +- 40dB gibt, bzw. wenn die
Übertragungsfunktion Komplexe Nenner Nullstellen (Pole) hat.
___________________________________________________________________________
16.5 Phasendrehung:
•
•
•
•
Jede Abknickung um -20dB ergibt eine Drehung von -90°
Jede Abknickung um +20dB ergibt eine Drehung von +90°
Bei Steigungen um +-40dB Ergibt sich eine Drehung von +-180°
Alle „Abknickung “ des Bode-Diagramms addieren ergibt die Gesamt Phasendrehung
___________________________________________________________________________
Notizen:
___________________________________________________________________________
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Formelsammlung Elektrotechnik
___________________________________________________________________________
17. Elektromagnetische Felder und Wellen
17.1 Maxwelschen Gleichungen in Integral- und Differentialform:
Integralform
Differentialform
d
E
d
s
=
−
B
dA
∫
dt ∫∫
C
A
D
∫∫ dA = ∫∫∫ ρ dV = Q
d rot E = −
B
dt
div D = ρ
 d  ∫C H ds = ∫∫A S dA + ∫∫A  dt D  dA
 d  = I + ∫∫  D  dA

A  dt
∫∫ B dA = 0
d rot H = S + D
dt
A
V
div B = 0
A
D =ε ⋅E
B=µ⋅H
S =κ ⋅ E
___________________________________________________________________________
17.2 Einteilung elektromagnetischer Felder:
Elektromagnetische Felder
Ruhende Felder
Veränderliche Felder
∂ / ∂t ≠ 0
∂ / ∂t = 0
Langsam veränderliche Felder
Elektrostatisches
E − Feld
Magnetostatisches
H − Feld
Statisches
S − Feld
Stationäre Felder
(ortsfest)
Quasistatisches
E − Feld
Quasistatisches
H − Feld
Quasistatisches
S − Feld
Schnell veränderliche Felder
Quasistationäres
S − Feld
Elektromagnetische
Wellen
Quasistationäre Felder
(quasi ortsfest)
Nichtstationäre
Felder
(nicht ortsfest)
___________________________________________________________________________
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___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Formelsammlung Elektrotechnik
___________________________________________________________________________
17.3 Charakterisierung des Elektromagnetischen Feldes im Frequnzbereich:
Wenn gilt:
l<
λ
λ
und r <
10
10
dann ist das Elektromag. Feld quasistationär
l = Länge der Felderzeugenden Anordnung
Abstand zur Anordnung
r=
Grüne: Elektrischewelle
Blaue: Magnetischewelle
___________________________________________________________________________
17.4 Wellenlänge und Zeitkonstante τ :
3 ⋅ 10 8 m
v
c
s
Wellenlänge: λ =
mit v =
=
f
εr ⋅ µr
εr ⋅ µr
Wenn nicht anders vorgegeben, dann gilt
εr = µr = 1
l
l = Leitungslänge
v
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17.5 Elektrisch lange Leitung:
Zeitkonstante für Leitungen:
Eine Leitung wird als Elektrisch lang betrachtet
wenn die Anstiegszeit TA 10 mal kleiner ist als
τ=
TA < 10 ⋅τ
die Zeitkonstante der Leitung.
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17.6 Leitungsbeläge:
Transmissionsfaktor
t1 ( s ) =
U + q ( 0, s )
Uq (s)
Reflektionsfaktor am Leitungsanfang
=
Γ (s)
Z1 ( s ) + Γ ( s )
r1 ( s ) =
U +− ( 0, s )
U − ( 0, s )
=
Reflektionsfaktor am Leitungsende
Brechungsfaktor
r2 ( s ) =
b2 ( s ) = 1 + r2 ( s ) =
U − ( ℓ, s )
U + ( ℓ, s )
=
Z2 ( s ) − Γ ( s )
Z2 ( s ) + Γ ( s )
Fortpflanzungskonstante
Z1 ( s ) − Γ ( s )
Z1 ( s ) + Γ ( s )
2 ⋅ Z2 ( s )
Z2 ( s ) + Γ ( s )
mit Länge l multipliziert ergibt sich
γ ( s ) = τ ′ ⋅ ( s + δ ) − ϑ 2 
γ (s ) ⋅ ℓ = τ ′ ⋅ ℓ ⋅ s = τ ⋅ s
Z1 ( s ) = Admitanz am Leitungsanfang
Z 2 ( s ) = Admitanz am Leitungsende
Γ ( s ) = Wellenwiderstand der Leitung
γ ( s ) = Fortpflanzungskonstante
2


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© F.Krumbach
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Formelsammlung Elektrotechnik
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17.7 Spannung am Leitungsanfang/Leitungsende:
Eingangsspannung
U1 ( s ) =
(
t1 ( s ) ⋅ 1 + r2 ( s ) ⋅ e −2γ ( s )⋅ℓ
1 − r1 ( s ) ⋅ r2 ( s ) ⋅ e

−2 γ ( s )⋅ℓ
) ⋅U


q
(s)
Ausgangsspannung


e − γ ( s )⋅ ℓ
 ⋅U q ( s )
U 2 ( s ) = t1 ( s ) ⋅ b2 ( s ) ⋅ 
 1 − r1 ( s ) ⋅ r2 ( s ) ⋅ e −2γ ( s )⋅ℓ  


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Notizen:
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Formelsammlung Elektrotechnik
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X. Allgemeine Tabellen
X.1Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen:
f (t ) = a ⋅ sin (ωt + α ) + b ⋅ sin (ωt + ß ) = a 2 + b 2 + 2ab ⋅ cos(α − β ) ⋅ sin (ωt + γ ) mit
a ⋅ sinα + b ⋅ sin β
tanγ =
a ⋅ cosα + b ⋅ cosβ
f (t ) = a ⋅ sin (ωt ) + b ⋅ cos(ωt ) = a 2 + b 2 ⋅ sin (ωt + γ ) mit tanγ =
b
a
sin (α ± β ) = sinα ⋅ cosβ ± cosα ⋅ sin β
f (t ) = sin (ωt + α ) = cosα ⋅ sin (ωt ) + sinα ⋅ cos(ωt )
cos(α ± β ) = cosα ⋅ cosβ ∓ sinα ⋅ sin β
f (t ) = cos(ωt + α ) = cosα ⋅ cos(ωt ) − sinα ⋅ sin (ωt )
sinα ⋅ sin β =
1
⋅ [cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
cosα ⋅ cosβ =
1
⋅ [cos(α − β ) + cos(α + β )]
2
cosα ⋅ sin β =
1
⋅ [sin (α + β ) − sin (α − β )]
2
x π
 y
arctan  = − arctan 
x
 y 2
 x
arctan( x ) = arcsin
2
 1+ x




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