III.6 Aufgaben

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III.
Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen
wie man durch Einsetzen unmittelbar erkennt. Zeigen wir noch die Halbstetigkeit von f : Sei (xn ) eine Folge in Lp (R) mit xn → x in Lp (R) und
f (xn ) ≤ c. Nach Übergang zu einer Teilfolge dürfen wir annehmen, daß
(xn ) auch fast überall gegen x konvergiert1. Wegen der Stetigkeit von F
folgt F (t, xn (t)) → F (t, x(t)) fast überall und weiter nach dem Lemma
von Fatou2 f (x) ≤ lim inf f (xn ) ≤ c. Nach Lemma III.5.9 und Satz III.5.8
besitzt f eine Minimalstelle in Lp (R).
III.6
Aufgaben
Aufgabe III.6.1 Gib die Details des Beweises von Satz III.1.10.
Aufgabe III.6.2 Sei X ein normierter Raum und U ein abgeschlossener Unterraum. Sei x ∈ X \ U . Dann existiert ein Funktional x ∈ U ⊥ mit x ≤ 1 und
x (x) = d(x, U ).
(Hinweis: Benutze Satz III.1.10!)
Aufgabe III.6.3 Sei X ein normierter Raum und K ⊂ X konvex.
(a) Die Mengen K und int K sind ebenfalls konvex.
(b) Ist int K = ∅, so gilt K = int K.
Aufgabe III.6.4 Seien K und L konvexe absorbierende Teilmengen des normierten Raums X, und seien pK und pL die zugehörigen Minkowski-Funktionale.
(a) Zeige pK ≥ pL , falls K ⊂ L.
(b) pK ist genau dann stetig, wenn 0 ∈ int K gilt.
−1
(c) Wenn pK stetig ist, gelten K = p−1
K ([0, 1]) und int K = pK ([0, 1)).
(d) Gilt zusätzlich λK ⊂ K, falls |λ| ≤ 1 (d.h. ist K kreisförmig“), so ist
”
pK eine Halbnorm, und pK ist eine Norm dann und nur dann, wenn K
keinen nichttrivialen Unterraum von X enthält.
(e) Gilt für eine konvexe Menge K K absorbierend ⇒ 0 ∈ int K“?
”
Aufgabe III.6.5 (Banachlimiten)
Wir betrachten K = R . Eine lineare Abbildung : ∞ → R heißt Banachlimes,
falls
∞
ist, der x =
• (T x) = (x) für alle
x∞ ∈ , wo T der Shiftoperator
x(1), x(2), x(3), . . . ∈ auf x(2), x(3), x(4), . . . abbildet.
• Falls x(n) ≥ 0 für alle n ∈ N , so gilt (x) ≥ 0.
• (1) = 1, wo 1 = (1, 1, 1, . . .).
(a) Sei ein Banachlimes. Dann gelten:
• ∈ (
∞ ) und = 1,
• lim inf x(n) ≤ (x) ≤ lim sup x(n) für x = x(n) ∈ ∞ , speziell
(x) = limn→∞ x(n) für x ∈ c,
1 Siehe
2 Siehe
z.B. Theorem 3.12 in Rudin [1986].
z.B. Lemma 1.28 in Rudin [1986].
III.6
127
Aufgaben
• ist nicht multiplikativ, d.h., es gilt nicht (x · y) = (x) (y) für
alle x, y ∈ ∞ .
(b) Es existiert ein Banachlimes .
(Hinweis: Variante I: Betrachte p(x) = supn x(n), zeige dann 0 ≤ p|U , wo
U = {T x − x: x ∈ ∞ }, und
nsetze mit Hahn-Banach fort. Variante II:
x(j). Zeige die Sublinearität von p und
Betrachte p(x) = lim sup n1
j=1
beachte (Analysis I!) p|c = lim. Setze mit Hahn-Banach fort.)
zweier FunktioAufgabe III.6.6 Sei ∈ (
∞ ) . Zeige, daß eindeutig
als
Summe
∞
nale 1 und 2 geschrieben werden kann, wo 1 (sn ) = n=1 sn tn und 2 |c0 = 0
ist. Zeige ferner, daß = 1 + 2 gilt. Schließe, daß jedes Funktional auf c0
eindeutig zu einem normgleichen Funktional auf ∞ fortgesetzt werden kann.
(Hinweise: (1) Betrachte (en ). (2) Wähle x, y ∈ ∞ mit x∞ = y∞ = 1, so
daß 1 (x) ≈ 1 und 2 (y) ≈ 2 . Sei z die Folge mit z(n) = x(n) für n ≤ N
und z(n) = y(n) für n > N . Für passendes N versuche (z) ≈ 1 + 2 zu
zeigen.)
Aufgabe III.6.7 Sei X strikt konvex (Aufgabe I.4.13). Dann gilt Eindeutigkeit
im Fortsetzungssatz von Hahn-Banach.
Aufgabe III.6.8 (Rieszscher Darstellungssatz für (C[0, 1]) )
Sei ∈ (C[0, 1]) und L eine Hahn-Banach-Fortsetzung zu einem Funktional L ∈
(
∞ [0, 1]) . Setze yt = χ[0,t] ∈ ∞ [0, 1]. Zeige C[0, 1] ⊂ lin{yt : t ∈ [0, 1]}. Setze
g(t) = L(yt ) und zeige, daß g von beschränkter Variation ist. Beweise schließlich
die Darstellung des Funktionals als Stieltjes-Integral
1
∀x ∈ C[0, 1].
x(t) dg(t)
(x) =
0
(Zum Begriff des Stieltjes-Integrals siehe z.B. Rudin [1976], S. 122.) Dieser Beweis
stammt von Banach.
Aufgabe III.6.9 Seien V1 und V2 konvexe Teilmengen des normierten Raums
X, und es gelte int V1 = ∅, int V1 ∩ V2 = ∅. Dann existiert x ∈ X , x = 0, mit
Re x (v1 ) ≤ Re x (v2 )
∀v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 .
Aufgabe III.6.10 Seien K und L disjunkte abgeschlossene konvexe Teilmengen
eines normierten Raums X, zusätzlich sei eine von beiden kompakt. Zeige, daß
ein stetiges Funktional x ∈ X existiert, für das gilt
sup Re x (x) < inf Re x (x).
x∈K
x∈L
(Es gibt Beispiele, die zeigen, daß diese Aussage ohne die vorausgesetzte Kompaktheit falsch ist, selbst, wenn man nur ≤ fordert.)
Aufgabe III.6.11 Seien U und V disjunkte abgeschlossene beschränkte konvexe Teilmengen eines reflexiven Banachraums X. Dann können U und V strikt
getrennt werden.
(Tip: Zeige zuerst inf{u − v: u ∈ U, v ∈ V } > 0; dazu beachte Theorem III.3.7
und Satz III.3.8.)
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III.
Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen
Aufgabe III.6.12 Sei K eine konvexe Menge. Eine Funktion f : K → R heißt
konvex (bzw. affin bzw. konkav ), wenn f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
für alle x, y ∈ K, 0 ≤ λ ≤ 1 (bzw. = bzw. ≥). Sei nun f : R n → R eine konkave
stetige Funktion sowie g: R n → R eine konvexe stetige Funktion mit f ≤ g. Dann
existiert eine affine stetige Funktion h: R n → R mit f ≤ h ≤ g.
(Hinweis: Betrachte die Teilmengen {(x, r): x ∈ R n , r < f (x)} und {(x, r):
x ∈ R n , r > g(x)} von R n+1 .)
P
P
Aufgabe III.6.13 Sei [0, 1] (bzw. n [0, 1]) der Vektorraum aller Polynomfunktionen (höchstens n-ten Grades) auf [0,1]. Existiert ein Borelmaß µ auf [0,1]
mit
1
(a) p (0) = 0 p dµ für alle p ∈ [0, 1]?
(b) p (0) =
1
0
p dµ für alle p ∈
P
P [0, 1]?
n
Aufgabe III.6.14 Ist X ein Banachraum und A ⊂ X kompakt, so auch co A.
(Hinweis: Satz B.1.7.)
Aufgabe III.6.15 Keiner der Räume ∞ , C[0, 1], L1 [0, 1], L∞ [0, 1] ist reflexiv.
Aufgabe III.6.16 Seien X und Y Banachräume.
σ
σ
(a) xn → x, T ∈ L(X, Y ) ⇒ T xn → T x.
σ
(b) xn → x, T ∈ K(X, Y ) ⇒ T xn → T x.
(Hinweis: Benutze hier im Vorgriff die in Kapitel IV bewiesene Tatsache,
daß (xn ) beschränkt ist.)
(c) X sei reflexiv, und T ∈ L(X, Y ) erfülle
σ
xn → x
⇒
T xn → T x.
Dann ist T kompakt.
Aufgabe III.6.17 Zeige, daß eine beschränkte Folge (xn ) in einem normierten
Raum X genau dann gegen x ∈ X schwach konvergiert, wenn es eine Teilmenge
D ⊂ X mit lin D = X und limn→∞ x (xn ) = x (x) für alle x ∈ D gibt.
Aufgabe III.6.18 Sei X ein separabler normierter Raum und (xn ) eine beschränkte Folge in X . Dann existieren eine Teilfolge (xnk ) und ein Funktional
x ∈ X mit limk→∞ xnk (x) = x (x) für alle x ∈ X. Kann man auf die Separabilität verzichten?
(Tip: Imitiere den Beweis von Theorem III.3.7.)
Aufgabe III.6.19 Sei X ein reflexiver Banachraum, und sei K ⊂ X abgeschlossen, konvex und nicht leer. Dann gibt es zu jedem x ∈ X eine beste Approxima”
tion“ in K, d.h. ein y ∈ K mit
x − y = d(x, K) := inf x − z.
z∈K
Aufgabe III.6.20 Sei 1 < p < ∞ und en der n-te Einheitsvektor in p .
σ
(a) Es gilt en → 0.
III.6
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Aufgaben
(b) Aus Korollar III.3.9 folgt die Existenz einer Folge (yn ) von Konvexkombinationen der en mit yn → 0. Gib solche Konvexkombinationen explizit
an!
Aufgabe III.6.21
(a) Ist T : X → Y ein [isometrischer] Isomorphismus zwischen normierten
Räumen, so ist T : Y → X ebenfalls ein [isometrischer] Isomorphismus.
Sind X und Y Banachräume, so gilt auch die Umkehrung.
(b) Ist ein normierter Raum Y isomorph zu einem reflexiven Banachraum X,
so ist Y ebenfalls ein reflexiver Banachraum.
Aufgabe III.6.22 Seien X und Y Banachräume, und sei U ⊂ X ein abgeschlossener Unterraum. Sei S ∈ L(U, Y ).
(a) Im Fall Y = ∞ gestattet S eine normerhaltende Fortsetzung zu einem
Operator auf X, d.h., es existiert T ∈ L(X, Y ) mit T |U = S und S =
T .
(Hinweis: Wende den Satz von Hahn-Banach auf die Funktionale n : u →
(Su)(n) an!)
(b) Falls U = Y = c0 , X = c und S = Idc0 , so hat jede Fortsetzung T von S
auf X eine Norm ≥ 2. Um das zu beweisen, zeige zuerst für M = {x ∈ c0 :
|x(n) − 1| ≤ 1 ∀n ∈ N }, daß der Radius jeder abgeschlossenen Kugel in
c0 , die M enthält, mindestens 2 ist.
(c) Falls U = Y = {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y + z = 0}, X = ∞ (3) und S = IdU ,
dann hat jede Fortsetzung T von S auf X eine Norm ≥ 4/3.
(Hinweis: Die Matrix von T muß die Gestalt
a
a−1
a−1
b
b+1
b
−a − b −a − b −a − b + 1
haben. Nun benutze Aufgabe II.5.8.)
Aufgabe III.6.23 Sei X ein separabler Banachraum. Dann existiert ein isometrischer linearer Operator von X nach ∞ . Jeder separable Banachraum ist also
isometrisch isomorph zu einem abgeschlossenen Teilraum von ∞ .
(Tip: Sei {xn : n ∈ N } dicht in X. Definiere den gesuchten Operator durch
x → xn (x) für passend zu wählende Funktionale xn ∈ X . Übrigens ist jeder separable Banachraum sogar zu einem abgeschlossenen Teilraum von C[0, 1]
isometrisch isomorph. Dieser Satz von Banach und Mazur ist aber weit schwieriger
zu zeigen.)
Aufgabe III.6.24 Gib die Details des Beispiels III.4(c).
Aufgabe III.6.25 (Momentenoperator)
Zu f ∈ L1 [0, 1] betrachte die Folge der Momente (fn# )n≥0 , wo
fn# =
1
f (t)tn dt.
0
Zeige, daß die Abbildung T : f → (fn# ) ein stetiger linearer Operator von L1 [0, 1]
nach c0 ist. Gib die Darstellung des adjungierten Operators T : 1 → L∞ [0, 1].
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III.
Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen
Aufgabe III.6.26 Untersuche die Abbildung F : L2 [0, 1] → L2 [0, 1], (F (x))(t) =
sin x(t), auf Gâteaux- bzw. Fréchet-Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0.
Aufgabe III.6.27 Sei U = {x ∈ C[0, 1]: x(t) = 0 ∀t}. Untersuche die Abbildung
f : U → C[0, 1], f (x) = 1/x, auf Differenzierbarkeit.
Aufgabe III.6.28 An welchen Stellen ist die Supremumsnorm auf C[0, 1] bzw.
c0 Gâteaux- oder Fréchet-differenzierbar?
Aufgabe III.6.29 Seien f, g: U → Y Gâteaux-differenzierbar und φ: Y ×Y → Z
bilinear und beschränkt. Bestimme die Ableitung von x → φ(f (x), g(x)).
Aufgabe III.6.30 Finde Beispiele für
(a) eine Abbildung f : X → Y , die an einer Stelle Gâteaux-differenzierbar,
aber nicht stetig ist;
(b) eine Abbildung f : X → Y , die an einer Stelle x0 Gâteaux-differenzierbar
ist, und eine Abbildung g: Y → Z, die bei f (x0 ) Gâteaux-differenzierbar
ist, so daß g ◦ f : X → Z bei x0 nicht Gâteaux-differenzierbar ist;
(c) eine Funktion f : R 2 → R , für die an einer Stelle sämtliche Richtungsableitungen existieren, die dort aber nicht Gâteaux-differenzierbar ist.
Aufgabe III.6.31 Eine Norm heißt lokal gleichmäßig konvex, wenn es zu jedem
x mit x = 1 und jedem ε > 0 ein δ = δ(x, ε) > 0 gibt, so daß
x + y > 1−δ
y ≤ 1, 2
⇒
x − y < ε.
(a) Ist die Norm von X lokal gleichmäßig konvex, so ist die Norm von X an
jeder Stelle x0 = 0 Fréchet-differenzierbar.
(b) Ist die Norm von X strikt konvex (siehe Aufgabe I.4.13), so ist die Norm
von X an jeder Stelle x0 = 0 Gâteaux-differenzierbar.
(c) Ist die Norm von X an jeder Stelle x0 = 0 Gâteaux-differenzierbar,
so ist die Norm von X strikt konvex. [Bemerkung: Die entsprechende
Umkehrung von (a) gilt nicht.]
Aufgabe III.6.32 Zeige, daß die kanonische Norm von Lp (µ) an jeder Stelle
x0 = 0 Fréchet-differenzierbar ist,
(a) mit Hilfe von Beispiel III.5(e),
(b) im Fall p ≥ 2 mittels der Aufgaben III.6.31 und I.4.18.
Aufgabe III.6.33 Wenn die Norm eines normierten Raums X auf X \ {0} Fréchet-differenzierbar ist, ist die Ableitung dort stetig.
Aufgabe III.6.34 Sei f : X → R ein Funktional auf einem normierten Raum.
Der Epigraph von f ist die Teilmenge epi(f ) := {(x, t): f (x) ≤ t} von X ⊕ R .
(a) f ist genau dann konvex, wenn epi(f ) konvex ist.
(b) f ist genau dann halbstetig von unten, wenn epi(f ) abgeschlossen ist.
Aufgabe III.6.35 Sei f : X → R ein Gâteaux-differenzierbares konvexes Funktional und x0 ∈ X mit Df (x0 ) = 0. Dann besitzt f bei x0 ein globales Minimum.
Aufgabe III.6.36 Bestimme das Minimum des Funktionals f (x) =
et x(t) dt auf C[0, 1].
1
0
x(t)4 +