Blatt 1

Dr. Robert Patterson
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Große Abweichungen, Winter Semester 2014
Blatt 1
• Sei X eine Rd -wertige Zufallgröße, wobei ϕ(t) := log E ehX,ti < ∞ für alle t ∈ Rd und h·, ·i das
Euklidische Skalarprodukt auf Rd ist.
P
• Seien Xi eine u.i.v. Folge mit Xi ∼ X und Sn := ni=1 Xi .
P
1. Seien d = 1, E [X] = µ, > 0 und n P n1 Sn ≥ µ + < ∞. Zeige das starke Gesetz der großen
Zahlen nämlich P limn→∞ n1 Sn ≥ µ + = 0. (Hinweis: Borel-Cantelli)
d
dn
2. Zeige dt
ϕ(t) = E XehX,ti /ϕ(t). Für d = 1 erweitere das Resultat auf dt
n ϕ(t).
3. Zeige, dass ϕ strikt konvex ist solange var (X) > 0.
4. Zeige
lim
t→∞
d
dt ϕ(t)
ϕ(t)
= ess sup X,
lim
t→−∞
d
dt ϕ(t)
ϕ(t)
= ess inf X.
5. Sei f : Rd → R konvex und f ? (x) := supt∈Rd hx, ti − f (t). Zeige, dass f ? konvex ist. Berechne
f ? für die folgenden f :
(a) f (x) =
hx,xi
,
2σ 2
wobei σ > 0,
(b) d = 1, f (x) = a |x|p , wobei a > 0, p ∈ (1, ∞),
(c) d = 1, f (x) = a |x|.
6. Sei f : Rd → R konvex und f ? (x) := supt∈Rd hx, ti − f (t). Zeige f ?? ≡ f .
7. Finde ϕ für (d = 1)
(a) X ∼ N (0, σ 2 ),
(b) X ∼ P oi(λ), λ > 0,
(c) X ∼ U ([0, 1]),
(d) X ∼ Exp(λ), λ > 0,
(e) X ∼ Bin(n, p), 0 < p < 1, n ∈ N.