Diplomarbeit: über die Anzahlfunktion π(x)

Diplomarbeit:
über die Anzahlfunktion π(x)
vorgelegt von
Mohamed NAJI
Juli 1999
Fachbereich Mathematik
AG Zahlentheorie und Analysis
Betreuer: Prof. Dr. Wolfgang Schwarz
Erklärung
Hiermit erkläre ich, die vorliegende Diplomarbeit selbständig verfasst und
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet zu
haben.
Frankfurt am Main, im Juli 1999
Mohamed NAJI
I
Danksagung und Widmung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen Personen, die mich bei der Erstellung dieser Arbeit auf verschiedene Art und Weise unterstützt haben,
bedanken. Besonderer Dank gebührt vor allem Prof. Dr. Wolfgang Schwarz,
der das Thema vorgeschlagen hat und dabei mich fachlich betreut hat.
II
Zitat
If you ask mathematicians what they do, you always get the same answer;
they think. They are trying to solve difficult and novel problems. (They
never think about ordinary problems–they just write down the answers.)
M. Evgrafov
Literaturnaya Gazeta, no. 49 (1979) 12.
III
Inhaltsverzeichnis
Erklärung
I
Danksagung und Widmung
II
Zitat
III
Inhaltsverzeichnis
IV
Abbildungsverzeichnis
VI
Tabellenverzeichnis
X
Listings
XI
1 Historische Einführung
1
1.1
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Der Primzahlsatz im Laufe der Geschichte . . . . . . . . . . .
2
1.3
Größenordnung des Fehlergliedes π(x) − li(x) . . . . . . . . .
13
1.4
Vorzeichen (Signum) des Fehlergliedes π(x) − li(x) . . . . . .
16
1.5
Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6
Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2 Grundlagen
20
3 Einige Eigenschaften der ZetafunktionZetafunktion
28
IV
4 Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes 43
5 Eine Idee von Wolke zum Beweis des Primzahlsatzes
65
6 Ein Beweis des Primzahlsatzes nach Newman
71
7 Numerische Berechnung von π(x)
74
7.1
Legendre–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
7.2
Meissel–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
7.3
Lehmer–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
7.4
Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8 Numerische Überprüfung des Primzahlsatzes
103
Zusammenfassung
108
Schlusswort
111
A Symbolverzeichnis
113
B datenMatLab: R(x); li(x);
x
log(x)
und π(x)
117
C Listing der MatLab M-Files
135
D Diagramme: R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x)
E Diagramme: R(x) − π(x) und li(x) − π(x)
F Diagramme: R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
Literaturverzeichnis
190
209
x
log(x)
− π(x)
228
247
Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
V
Abbildungsverzeichnis
1.1
Chronologische Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1
Illustration einer komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . .
22
2.2
Illustration der Cauchyschen Integralformel: Punkt z innerhalb K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
26
Illustration der Cauchyschen Integralformel: Punkt z außerhalb K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1
Illustration des Integrationsweges . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.1
Illustration des Integrationsweges . . . . . . . . . . . . . . . .
67
D.1 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
101 ≤ x ≤ 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
D.2 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
102 ≤ x ≤ 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
D.3 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
103 ≤ x ≤ 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
D.4 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
104 ≤ x ≤ 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
D.5 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
105 ≤ x ≤ 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
D.6 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
106 ≤ x ≤ 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
VI
D.7 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
107 ≤ x ≤ 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
D.8 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
108 ≤ x ≤ 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
D.9 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
109 ≤ x ≤ 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
D.10 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1010 ≤ x ≤ 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
D.11 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1011 ≤ x ≤ 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
D.12 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1012 ≤ x ≤ 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
D.13 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1013 ≤ x ≤ 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
D.14 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1014 ≤ x ≤ 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
D.15 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1015 ≤ x ≤ 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
D.16 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1016 ≤ x ≤ 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
D.17 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1017 ≤ x ≤ 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
D.18 GesamtGraphen von R(x)−π(x); li(x)−π(x) und
x
log(x) −π(x)
für 101 ≤ x ≤ 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
E.1 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 101 ≤ x ≤ 102 210
E.2 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 102 ≤ x ≤ 103 211
E.3 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 103 ≤ x ≤ 104 212
E.4 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 104 ≤ x ≤ 105 213
E.5 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 105 ≤ x ≤ 106 214
VII
E.6 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 106 ≤ x ≤ 107 215
E.7 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 107 ≤ x ≤ 108 216
E.8 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 108 ≤ x ≤ 109 217
E.9 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 109 ≤ x ≤ 1010 218
E.10 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1010 ≤ x ≤ 1011 219
E.11 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1011 ≤ x ≤ 1012 220
E.12 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1012 ≤ x ≤ 1013 221
E.13 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1013 ≤ x ≤ 1014 222
E.14 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1014 ≤ x ≤ 1015 223
E.15 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1015 ≤ x ≤ 1016 224
E.16 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1016 ≤ x ≤ 1017 225
E.17 Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1017 ≤ x ≤ 1018 226
E.18 GesamtGraphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 101 ≤
x ≤ 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
F.1 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
101 ≤ x ≤ 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
F.2 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
102 ≤ x ≤ 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
F.3 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
103 ≤ x ≤ 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
F.4 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
104 ≤ x ≤ 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
F.5 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
105 ≤ x ≤ 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
F.6 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
106 ≤ x ≤ 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
F.7 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
107 ≤ x ≤ 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
VIII
F.8 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
108 ≤ x ≤ 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
F.9 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
109 ≤ x ≤ 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
F.10 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1010 ≤ x ≤ 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
F.11 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1011 ≤ x ≤ 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
F.12 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1012 ≤ x ≤ 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
F.13 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1013 ≤ x ≤ 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
F.14 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1014 ≤ x ≤ 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
F.15 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1015 ≤ x ≤ 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
F.16 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1016 ≤ x ≤ 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
F.17 Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für
1017 ≤ x ≤ 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
F.18 GesamtGraphen von R(x)−π(x); li(x)−π(x) und
x
log(x) −π(x)
für 101 ≤ x ≤ 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
IX
Tabellenverzeichnis
7.1
Einige Verfahren zur Berechnung von π(x) im Vergleich . . . 102
A.1 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B.1 datenMatLab01.mat (10 ≤ x ≤ 102 ) . . . . . . . . . . . . . . 118
B.2 datenMatLab02.mat (102 ≤ x ≤ 103 ) . . . . . . . . . . . . . . 119
B.3 datenMatLab03.mat (103 ≤ x ≤ 104 ) . . . . . . . . . . . . . . 120
B.4 datenMatLab04.mat (104 ≤ x ≤ 105 ) . . . . . . . . . . . . . . 121
B.5 datenMatLab05.mat (105 ≤ x ≤ 106 ) . . . . . . . . . . . . . . 122
B.6 datenMatLab06.mat (106 ≤ x ≤ 107 ) . . . . . . . . . . . . . . 123
B.7 datenMatLab07.mat (107 ≤ x ≤ 108 ) . . . . . . . . . . . . . . 124
B.8 datenMatLab08.mat (108 ≤ x ≤ 109 ) . . . . . . . . . . . . . . 125
B.9 datenMatLab09.mat (109 ≤ x ≤ 1010 ) . . . . . . . . . . . . . 126
B.10 datenMatLab10.mat (1010 ≤ x ≤ 1011 ) . . . . . . . . . . . . . 127
B.11 datenMatLab11.mat (1011 ≤ x ≤ 1012 ) . . . . . . . . . . . . . 128
B.12 datenMatLab12.mat (1012 ≤ x ≤ 1013 ) . . . . . . . . . . . . . 129
B.13 datenMatLab13.mat (1013 ≤ x ≤ 1014 ) . . . . . . . . . . . . . 130
B.14 datenMatLab14.mat (1014 ≤ x ≤ 1015 ) . . . . . . . . . . . . . 131
B.15 datenMatLab15.mat (1015 ≤ x ≤ 1016 ) . . . . . . . . . . . . . 132
B.16 datenMatLab16.mat (1016 ≤ x ≤ 1017 ) . . . . . . . . . . . . . 133
B.17 datenMatLab17.mat (1017 ≤ x ≤ 1018 ) . . . . . . . . . . . . . 134
X
Listings
C.1 TwoAxes01.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C.2 TwoAxes02.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C.3 TwoAxes03.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.4 TwoAxes04.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
C.5 TwoAxes05.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C.6 TwoAxes06.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
C.7 TwoAxes07.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C.8 TwoAxes08.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
C.9 TwoAxes09.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
C.10 TwoAxes10.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.11 TwoAxes11.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C.12 TwoAxes12.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.13 TwoAxes13.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
C.14 TwoAxes14.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.15 TwoAxes15.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
C.16 TwoAxes16.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C.17 TwoAxes17.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.18 TwoAxes00.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C.19 Twodiagramm01.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
C.20 Twodiagramm02.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
C.21 Twodiagramm03.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.22 Twodiagramm04.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
XI
C.23 Twodiagramm05.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
C.24 Twodiagramm06.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.25 Twodiagramm07.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C.26 Twodiagramm08.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C.27 Twodiagramm09.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
C.28 Twodiagramm10.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C.29 Twodiagramm11.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
C.30 Twodiagramm12.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C.31 Twodiagramm13.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.32 Twodiagramm14.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.33 Twodiagramm15.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.34 Twodiagramm16.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C.35 Twodiagramm17.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C.36 Twodiagramm00.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
C.37 Threediagramm01.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
C.38 Threediagramm02.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
C.39 Threediagramm03.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
C.40 Threediagramm04.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.41 Threediagramm05.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
C.42 Threediagramm06.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
C.43 Threediagramm07.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
C.44 Threediagramm08.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
C.45 Threediagramm09.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
C.46 Threediagramm10.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
C.47 Threediagramm11.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C.48 Threediagramm12.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.49 Threediagramm13.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
C.50 Threediagramm14.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
C.51 Threediagramm15.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
XII
C.52 Threediagramm16.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
C.53 Threediagramm17.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
C.54 Threediagramm00.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
XIII
Kapitel 1
Historische Einführung
1.1
Vorwort
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Anzahlfunktion π(x), die als
die Anzahl aller Primzahlen ≤ x definiert ist. Im ersten Teil dieser Arbeit
betrachten wir einige bekannte Beweise des Primzahlsatzes. In dieser (historischen) Einführung stellen wir einige Ideen zum Beweis des Primzahlsatzes
in chronologischer Reihenfolge zusammen. Dies vermittelt gleichzeitig einen
groben Überblick über die verschiedenen Methoden und Hilfsmittel, die
im Laufe der Zeit entwickelt wurden. Für die benötigten Begriffe und
Tatsachen aus der Zahlentheorie verweisen wir auf die Literatur wie etwa
[9]. Von entscheidender Bedeutung ist die Verwendung der Landau1 schen
Symbole o, O und ∼, welche wie folgt definiert werden können:
¯
¯
¯ f (x) ¯
¯
¯<∞
f (x) = O(g(x)) :⇔ lim ¯
x→∞ g(x) ¯
¯
¯
¯ f (x) ¯
¯
¯=0
f (x) = o(g(x)) :⇔ lim ¯
x→∞ g(x) ¯
¯
¯
¯ f (x) ¯
¯
¯=1
f (x) ∼ g(x) :⇔ lim ¯
x→∞ g(x) ¯
1
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Die Lebensdaten von Landau und viele andere in dieser Arbeit erwähnten Mathema-
tiker findet man am Ende der Arbeit.
1
Historische Einführung
2
Es ist durchaus üblich, auch andere Grenzübergänge mit Landauschen Symbolen zu beschreiben, dies wird jedoch in der vorliegenden Arbeit nicht der
Fall sein. Alle anderen betrachteten Symbole werden an entsprechender Stelle erklärt. Ferner verweisen wir auf das Symbolverzeichnis im Anhang A ab
Seite 113.
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl (hier meistens mit p bezeichnet),
wenn sie genau zwei verschiedene2 positive Teiler hat.
1.2
Der Primzahlsatz im Laufe der Geschichte
Schon Euklid [20, Seite 388–392] (vgl. auch [34, Seite 3]) hat bewiesen,
dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Unter der Annahme, dass die
Menge der Primzahlen P = {p1 , p2 , . . . , pk } mit p1 = 2 < p2 = 3 < · · · < pk
endlich sei, zeigte Euklid, dass für den kleinsten Primteiler p(n) der
natürlichen Zahl3
n := 1 +
k
Y
pj
(1.4)
j=1
| {z }
:=pk $
gilt p(n) ∈
/ {p1 , p2 , . . . , pk }, im Widerspruch zu p(n) ∈ P. Damit scheint
es so, als ob weitere Anzahlfragen zu den Primzahlen sich erübrigen.
Tatsächlich wurde fast 2000 Jahre nichts mehr über die Verteilung der
Primzahlen gefunden, ja noch nicht einmal vermutet. Das ändert sich erst,
als im Jahre 1737 Euler einen völlig neuen4 Beweis für die Unendlichkeit
der Menge der Primzahlen veröffentlichte. Eine Generation vor ihm wurde
2
3
Nach dieser Definition ist 1 keine Primzahl.
24029$+1 ist prim; dies wurde von Caldwell [10] entdeckt und galt (wahrscheinlich
heute noch) als die größte bekannte Primzahl von der Form p$+1. [57, Seite 16]
4
Heute kennt man zahlreiche Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen
[56, Chapter 1].
Historische Einführung
3
bewiesen, dass die harmonische Reihe, das ist die Summe aller reziproken
P 1
natürlichen Zahlen
n , über alle Grenzen wächst, das heißt divern∈N
giert. Der Eulersche Beweis verläuft folgendermaßen: Angenommen, es
gäbe nur die endlich vielen Primzahlen p1 , p2 , . . . , pk . Man bilde das Produkt
¶
k µ
³ 1 ´2 µ 1 ¶3
Y
1
1
=
1+
+
+
+ ...
pj
pj
pj
1 − p1j
j=1
j=1
k
Y
(1.5)
und multipliziere die Klammern aus. Aufgrund der Eindeutigkeit der
Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahlen ergibt sich dann für jedes
n ∈ N der Summand
1
n
genau einmal. Es ist also
k
Y
∞
X1
1
1 =
n
1 − pj
n=1
j=1
(1.6)
Dies ist aber nicht möglich, da die harmonische Reihe divergiert. Daraus
folgerte Euler: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Er hatte damit zwei
auf den ersten Blick völlig verschiedene Gebiete zusammengeführt, die
Analysis und die Zahlentheorie. Der Eulersche Beweis hat gegenüber
dem einfacheren Euklidschen den Vorteil, dass er quantitative Aussagen
erlaubt. Dies liest sich bei Euler [21] (vgl. [62]) so:
1 1 1 1
1
+ + + +
+ · · · = log log ∞
2 3 5 7 11
(1.7)
In heutiger Schreibweise
X1
p≤x
p
³
´
∼ log log(x)
(1.8)
Mit einem Mal schien es wieder sinnvoll, nach der genaueren Verteilung der
Primzahlen zu fragen, worüber Euler noch verzweifelte: Die Mathemati”
Historische Einführung
4
ker haben sich bis jetzt vergeblich bemüht, irgendeine Ordnung in der Folge
der Primzahlen zu entdecken, und man ist geneigt zu glauben, dies sei ein
Geheimnis, das der menschliche Geist niemals durchdringen wird. Um sich
davon zu überzeugen, braucht man nur einen Blick auf die Primzahltabellen
zu werfen, wobei sich einige die Mühe gemacht haben, diese bis über
10000 hinaus fortzusetzen, und man wird zunächst bemerken, dass dort weder eine Ordnung herrscht noch eine Regel zu beobachten ist. “[17, Seite 279]
Es gab aber Forscher, die sich von dem vermeintlichen Chaos nicht
schrecken ließen. Zu diesen tapferen Wahrheitssuchern gehörten Legendre
und Gauss. Legendre definierte als erster die Anzahlfunktion folgendermaßen:
π(x) := Anzahl aller Primzahlen ≤ x, (x ∈ R)
(1.9)
Erst das gewissenhafte Auszählen immer umfangreicherer Primzahltafeln5
führte unabhängig voneinander Legendre und Gauss zu Vermutungen,
die beide nach geeigneter Interpretation6 zur asymptotischen Gleichheit
(Primzahlsatz):
π(x) ∼
x
log(x)
(1.10)
äquivalent7 sind.
5
Lambert veröffentlichte im Jahre 1770 eine Primzahltafel für p<102 000; Vega (1797)
für p < 400031; Chernac (1811) für p < 1020000; und Burckhardt (1816/7) für p <
3036000 [56, Seite 175] und [57, Seite 233].
6
Dazu später mehr.
7
Dabei ist zu beachten, dass für L > 3 auf dem beliebig großen Intervall IL :=[L!+2,
L!+L] die Funktion π(x) konstant ist, aber
x
log(x)
monoton wachsend ist. Ein solches
Historische Einführung
5
Legendre verglich die aus den Tafeln von Vega, Chernac und
Burckhardt ermittelten Werte von π(x) für x ≤ 106 mit der Funktion
λ(x) :=
x
; wobei lim B(x) = 1, 083 66 . . .
x→∞
log(x) − B
(1.11)
und fand im betrachteten Bereich eine sehr gute Übereinstimmung8 . Im
Jahre 1808 äußerte er sich folgendermaßen: ”‘Quoique la suite des nombres
premiers soit extrêmement irrégulière, on peut cependant trouver avec une
précision très satisfaisante, combien il y a a de ces nombres depuis 1 jusqu’à
une limite donnée x. La formule qui résout la question est y =
x
log(x)−1,08366 ,
log(x) étant un logarithme hyperbolique.”’ [35, Band 2, Seite 65]
Legendre vermutete also, dass die Funktion B(x), welche man durch
die Gleichung
π(x) :=
x
log(x) − B
(1.12)
definieren kann, für x → ∞ gegen einen Grenzwert konvergiert, dessen erste Dezimalen mit 1,083 66 übereinstimmen. Das besagt insbesondere wegen
π(x)
x
log(x)
=
π(x) log(x)
1
=
B(x)
x
1 − log(x)
(1.13)
x
.
log(x)
(1.14)
dass
π(x) ∼
Intervall IL der Größe 778 ist erst für L=778, d. h. L! + 2 > 101900 zu bekommen. Doch
haben Young und Potler [50] gezeigt, dass bereits die Primzahl 42842283925351 von
778 zusammengesetzten Zahlen gefolgt wird.
8
Dabei ist zu beachten, dass Tschebyschew
(vgl. [34, Seite 17]) zeigte, dass die
Legendre’s Approximation falsch ist. Tschebyschew ’s Beweis war allerdings relativ
kompliziert. Einen anderen einfacheren Beweis lieferte Pintz [49].
Historische Einführung
6
Auf Gauss geht der folgender Gedanke zurück: Wenn der Primzahlsatz
(1.10) gilt, dann ist die ”‘Wachstumsrate”’ der Primzahlen ziemlich genau
1
log(x)
, denn
d
dx
µ
x
log(x)
¶
=
log(x) − 1
1
∼
2
log(x)
log (x)
(1.15)
folglich ist dann

 u=1−ε
u=x
Z
Z
du
du 
+
li(x) := lim 
ε→0
log(u)
log(u)
ε>0
(1.16)
u=1+ε
u=0
u=x
R
Dabei steht ”‘li”’ für den Integrallogarithmus. (Beachte, dass
u=0
du
log(u)
sinn-
los ist [34, Seite 27]). Diese Approximation ist für x < 107 fast so gut wie
die von Legendre, für größere x ist sie unvergleichlich besser.
Mit partieller Integration ergibt sich für x > 1
Zx
li(x) − li(2) =
1·
2
=
1
du
log(u)
2
x
−
+
log(x) log(2)
(1.17)
Zx
2
du
log 2 (u)
(1.18)
und daraus
li(x)
x
log(x)
µ
= 1 + li(2) −
2
log(2)
¶
log(x) log(x)
+
x
x
Zx
2
du
log 2 (u)
(1.19)
was zu9
li(x) ∼
9
x
log(x)
Dies werden wir ausführlich am Ende von Kapitel 4 beweisen.
(1.20)
Historische Einführung
7
führt.
Wenn (1.10) bewiesen ist, ist π(x) ∼ λ(x) bzw. π(x) ∼ li(x) gezeigt;
in dem hier präzisierten Sinne sind dann die Vermutungen von Legendre
bzw. Gauss bestätigt, dass λ(x) bzw. li(x) die Funktion π(x) gut annähern.
Wenn man eine Tafel der Primzahlen bis N hat, kann man π(x) für alle x ≤ N unmittelbar durch Auszählen ermitteln. Tatsächlich hat Gauss
genau auf diesem Wege aus den Tafeln von Lambert und Vega seine obige (richtige) Vermutung (1.16) verifiziert. In seiner Besprechung der neu
erschienenen Primzahltafeln von Chernac äußerte Gauss sich dann auch
begeistert: ”‘. . . Wie schätzbar ein solches der Arithmetik gemachtes Geschenk sei, beurtheilt ein Jeder leicht, der viel mit grössern Zahlenrechnungen zu thun hat. Der Verf. verdient doppelten Dank, sowohl für seine
höchst mühsame Arbeit selbst,. . . , als für den gewiss sehr erheblichen auf
den Druck gemachten Aufwand, wofür sich sonst schwerlich ein Verleger gefunden haben möchte. . . . Die erste Million ist nun für Jedermanns Gebrauch
da; und wer Gelegenheit und Eifer für diesen Gegenstand hat, möge daher
seine Mühe auf das Weitere richten.”’ [9, Seiten 287–288]
Die Gausssche Vermutung (1.16) hat den Vorzug, dass der Primzahlsatz
die folgende heuristisch–anschauliche Interpretation bekommt:
1
log(n)
gibt die
Wahrscheinlichkeit an, dass n eine Primzahl ist. Aber weder Gauss noch
Legendre konnte seine Vermutung beweisen.
Erst Tschebyschew [11] gelang um 1850 ein erstes Ergebnis in diese
Richtung. Er konnte mit elementaren Methoden (d. h. die bis dahin nur
wenig entwickelte Theorie der analytischen Funktionen nicht benützenden)
zeigen10 , dass für genügend große x ∈ R gilt:
10
Tschebyschew
hat erstmals das Bertrandsches Postulat bewiesen: Bertrand
stellte anhand einer Primzahltafel bis 6000000 fest, dass sich zwischen n und 2n stets eine
Primzahl befand. Seine Vermutung, dass dies allgemein gelte, nannte man Bertrandsches
Postulat.
Historische Einführung
8
A
x
x
≤ π(x) ≤ B
log(x)
log(x)
1
wobei A =
1
(1.21)
1
22 33 55
= 0, 921 29 . . .
1
30 30
6
und B = A = 1, 105 55 . . .
5
Außerdem bewies er: Wenn der Grenzwert lim
x→∞
π(x)
x
log(x)
(1.22)
(1.23)
existiert, so muss
dieser gleich 1 sein. Mit Tschebyschew s Originalmethoden, aber viel
größerem numerischen Aufwand konnte Sylvester [75] die Faktoren
0, 921 29. . . bzw. 1, 105 55. . . auf 0, 956 95. . . bzw. 1, 044 23. . . verschärfen.
Interessant ist was Sylvester einmal über den (vermuteten) Primzahlsatz
sagte: ”‘. . . But to pronounce with certainty upon the existence of such
possibility, we shall probably have to wait until some one is born11 into
the world as far surpassing Tschebyschew in insight and penetration
as Tschebyschew has proved himself superior in these qualities to the
ordinary run of mankind.”’ [75, Seite 247]Ein Beweis des Primzahlsatzes
kam auf diesem Wege nicht zustande. Riemann [59] zeigte, dass man die
Zetafunktion:
∞
X
n−s
(1.24)
wobei s = σ + it ∈ C mit Re(s) > 1
³
´
und n−s := exp s · log(n)
(1.25)
ζ(s) :=
n=1
(1.26)
auf die ganze komplexe Ebene analytisch fortsetzen kann zu einer Funktion,
11
Als Sylvester diese Zeilen schrieb, waren Hadamard und De La Vallée Poussin
schon geboren. Diesen gelang es, das Ziel zu erreichen, und zwar auf dem Wege, welchen
schon lange zuvor zu verwandten, aber anderen Zwecken Riemann betreten hatten.
Historische Einführung
9
die für s 6= 1 holomorph ist und in s=1 einen einfachen Pol mit Residuum
1 hat. Dabei gilt nach Riemann die Funktionalgleichung:
³π ´
ζ(1 − s) = (2π)−s cos s Γ(s)ζ(s)
2
wobei
(1.27)
Z∞
us−1 exp(u)du
Γ(s) =
(1.28)
0
die Gammafunktion bezeichnet. Der Gleichung (1.27) entnimmt man auf
Grund der bekannten Pole der Gamma–Funktion, dass ζ(s) im Gebiet
Re(s)<0 einfache Nullstellen für s=-2, -4,. . . hat. Riemann vermutete, dass
ζ(s) im ”‘kritischen Streifen”’ 0 ≤ Re(s) ≤ 1 unendlich viele Nullstellen
hat und dass diese Nullstellen alle auf der Geraden Re(s) =
1
2
liegen. Diese
berühmte Riemannsche Vermutung12 konnte bis heute nicht bewiesen
werden. Ferner schlug Riemann 1859 in seiner berühmt gewordenen Arbeit
[59] vor, das genaue Verhalten der Funktion π(x) für große x durch analytische Eigenschaften der komplexen Zeta–Funktion zu studieren13 . Riemann
12
Heute vermutet man zusätzlich, dass diese Nullstellen sämtlich einfach sind. Die-
se Vermutung wird durch immer weiter gehende Computer–gestützte Rechnungen nahegelegt. Van de Lune, Te Riele und Winter [85] haben gezeigt, dass die ersten
1500000001 nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion alle einfach sind. Nach deren Berechnungen mit einem Superrechener liegen alle Nullstellen σ + it der Zetafunktion mit
0 < t < 545 439 823, 215 auf der Geraden Re(s) =
1
2
und sind einfach. [56, Seite 182]
und [57, Seite 241]. Dabei ist zu beachten, dass die Mertenssche Vermutung, die stärker
als die Riemannsche Vermutung (d.h. sie impliziert die Riemannsche Vermutung, ohne
selbst aus dieser hergeleitet werden zu können), erst 1985 von Odlyzko und Te Riele
[58] widerlegt wurde. Erwähnenswert, dass schon Jurkat und Peyerimhoff [47] einer
Widerlegung der Mertensschen Vermutung sehr nahe kamen.
13
Es ist nicht sehr erstaunlich, dass man von den Eigenschaften der Zeta–Funktion auf
Eigenschaften der Primzahlen schließen kann. Denn es stecken grob gesprochen in ζ(s) alle
Primzahlen drinnen, und die Werte von ζ(s) in irgendeinem der unendlich vielen Punkte
der s–Ebene liefern eine Aussage über die (unendlich vielen) Primzahlen.
Historische Einführung
10
zu Ehren trägt die Zetafunktion seinen Namen. Doch die Geschichte der
Zetafunktion begann rund 125 Jahre vor Riemann: Sowohl Mengoli
(Novea quadraturea arithmeticae, Bologna, 1650) als auch Wallis (Arithmetica infinitorum, Oxford, 1655) hatten das Problem gestellt, den Wert
P −2
der Reihe
n (also ζ(2)) zu berechnen. Leibniz ebenso wie die älteren
n≥1
Bernoulli–Brüder konnten ab 1670 nur Näherungswerte angeben, die
später von Bernoulli14 und Goldbach (1728), Stirling (1730) und
Euler (1731) sukzessive verbessert wurden. 1734 gelang dann Euler der
Nachweis von
ζ(2) =
π2
,
6
(1.29)
22j−1
B2j π 2j
(2j)!
(1.30)
allgemeiner von
ζ(2j) = (−1)j−1
für alle j ∈ N mit den (rationalen) Bernoulli15 –Zahlen Bk (vgl. [9, Seite
52]).
Wichtiger als die Primzahlformel selbst, für deren Richtigkeit Riemann
nur heuristiche Gründe angegeben hatte, war seine Idee, durch Anwendung
der Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen auf
das Studium einer ganz bestimmten Funktion, hier der Zetafunktion, zahlentheoretische Sätze zu gewinnen. Riemanns Vorschlag erwies sich in der
Folgezeit als durchaus fruchtbar und führte zum Beweis des Primzahlsatzes:
1896 (also erst 100 Jahre nach den Rechnungen von Legendre und Gauss)
gelang Hadamard [23] (und unabhängig davon und nahezu zeitgleich De
La Vallée Poussin [14]) der Beweis des Primzahlsatzes. Es ging die Mär,
14
15
Hier ist Daniel Bernoulli gemeint
Hier ist Jakob Bernoulli gemeint.
Historische Einführung
11
dass die Bezwinger des Primzahlsatzes unsterblich würden, und in der Tat,
beide wurden fast 100 Jahre alt. Diese ersten Beweise des Primzahlsatzes
verwendeten entscheidend die Tatsache, dass die Zetafunktion in der Halbebene Re(s) ≥ 1 nicht verschwindet, und verliefen im Wesentlichen so: Man
P
stellt zunächst die Summe
Λ(n) der Koeffizienten der in σ := Re(s) > 1
n≤x
konvergenten Dirichlet–Reihe
P
0
(s)
Λ(n)n−s von − ζζ(s)
durch ein komplexes
Integral längs der vertikalen Geraden Re(s) = σ0 mit σ0 > 1 dar, in dessen
Integrand der Quotient
ζ 0 (s)
ζ(s)
eingeht. Da ζ in σ ≥ 1, ja sogar noch in
einem gewissen Bereich σ > 1 − η(|t|) nullstellenfrei16 ist, dann kann der
Integrationsweg so weit nach links verlagert werden, dass man den Pol
der Zetafunktion an s=1 zur asymptotischen Auswertung der KoeffizienP
tensumme
Λ(n) via Residuensatz ausnutzen kann. Diese Auswertung
n≤x
P
von
Λ(n) liefert den Primzahlsatz in der Form π(x) ∼ li(x). Klar ist,
n≤x
dass man für die Verlagerung des Integrationsweg nach links genügend
¯ 0
¯
¯
¯
gute obere Abschätzungen für den Integraden, insbesondere für ¯ ζζ (σ + it)¯
in 1 − η(|t|) < σ < σ0 bei |t| → ∞ benötigt. Sowohl die Sicherung der
Nullstellenfreiheit von ζ in 1 − η(|t|) < σ < 1 bei genügt großem |t| als
¯ 0¯
¯ ¯
auch die Gewinnung der erwähnten guten Schranken für ¯ ζζ ¯ in diesem
Bereich ist zwar mühevoll, dafür hat dieser älteste Weg zum Primzahlsatz
den Vorteil, sofort zu einer quantitativen Verfeinerung des Typs
16
Man kann bisher nicht die Existenz einer noch so kleinen reellen Konstanten η ∈]0, 21 ]
garantieren, so dass ζ in der Halbebene σ > 1 − η nullstellenfrei ist. Man kennt lediglich
bei |t| → ∞ gegen Null konvergente positive Funktionen η(|t|), so dass ζ(σ + it) 6= 0
ist für σ > 1 − η(|t|) und |t| genügend groß. De Le Vallée Poussin [15] hat dies 1899
für η(τ ) =
c
log(τ )
bewiesen; das beste Resultat in dieser Richtung wurde 1958 unabhängig
voneinander (im wesentlichen) von Korobov [32] und Vinogradov [82] (vgl. [84, Kapitel
V, Seite 188, ab Zeile 18], insbesondere den Hinweis auf Richerts briefliche Korrektur
³
´ −2 ³ ¡
¢´ −1
3
3
des Ergebnisses [84, Seite 226]) gefunden und lautet η(τ ) = c log(τ )
log log(τ )
,
dabei bedeutet c jeweils absolute positive Konstanten.
Historische Einführung
12
Ã
!
³
´
π(x) = li(x) + O x exp −c logα (x)
bei x → ∞
(1.31)
mit einer positiven Konstanten c zu führen. Auf mögliche Werte von α kommen wir später zurück.
Neue Wege zum Primzahlsatz haben um 1930 herum die Taubersche17
Sätze von Ikehara und Wiener eröffnet. Grundsätzlich gestalten TauberP
sche Sätze asymptotische Aussagen über
an , wenn man das asymptotin≤x
P
sche verhalten bei σ → 1 der in σ > 1 durch die Reihe
an n−s definierten
Funktion genügend gut kennt und wenn die Reihe–Koeffizienten an geeignete
Zusatzbedingungen erfüllen. Für die Beweise und Anwendungen der angesprochenen Tauberschen Sätze in der Primzahltheorie wurde die aufwendige
¯ 0¯
¯ ¯
Abschätzung von ¯ ζζ ¯ an ∞ ebenso überflüssig wie der Nachweis des Nichtverschwindens von ζ etwas links von σ = 1. Dafür hängen die Beweise dieser
Tauberschen Sätze von gewissen Resultaten über Fourier–Transformation
ab, die ihrerseits keineswegs auf der Hand liegen.
Vor wenigen Jahren hat Newman [44] einen dritten analytischen Weg
zum Primzahlsatz gefunden. Wir werden auf den Newmanschen Beweis in
Kapitel 4 ausführlich eingehen. Der Newmansche Ansatz kommt einerseits
mit Integration längs endlicher Wege (und der Tatsache ζ(s) 6= 0 in σ ≥ 1)
aus, umgeht also Abschätzungen bei ∞; andererseits ist er frei von Sätzen
der Fourier–Analysis.
Im Jahre 1948 fanden (etwa) gleichzeitig Selberg [71] und Erdös [19]
elementare18 Beweise des Primzahlsatzes. Dies wirkte wie eine Sensation:
Seit Tschebyschew hatte man sich ein Jahrhundert lang immer wieder
17
Taubersche Sätze sind Sätze, die aus dem asymptotischen Verhalten der erzeugenden
P
Funktion
an n−s für s → 1+ unter gewissen Zusatzbedingungen auf das asymptotische
P
Verhalten der summatorischen Funktion
an der Koeffizienten schließen lassen.
18
n≤x
Elementar ist nicht zu verwechseln mit einfach. Elementarer Beweis des Primzahlsatzes
ist ein Beweis, der ohne Kenntnis der komplexen Funktionentheorie auskommt.
Historische Einführung
13
vergeblich um einen derartigen Weg bemüht. ”‘Dies zeigt”’ um mit Siegel
zu sprechen ”‘dass man über die wirklichen Schwierigkeit eines Problem
nichts sagen kann, bevor man es gelöst hat”’ . Die Erdös–Selbergsche
Entdeckung verhalf in der Folgezeit den elementaren Methoden in der Zahlentheorie zu neuem Ansehen und gab ihnen den gebührenden Platz neben
den analytischen zurück. Auch die elementaren Beweise sind alles andere
als einfach und erbringen bis heute kein so gutes Restglied wie die Verwendung der Riemannschen Zetafunktion. Uns schienen die analytischen
Beweise durchsichtiger zu sein. Daher geben wir in dieser Arbeit nur analytische Beweise des Primzahlsatzes wieder.
1.3
Größenordnung des Fehlergliedes π(x) − li(x)
Hinsichtlich der Güte des Fehlerterms r(x) := π(x) − li(x) in Abhängigkeit
von nullstellenfreien Gebieten der Zetafunktion gilt genauer folgendes: Ist
ζ(σ + it) 6= 0 für alle σ > 1 − η, so ist
³
´
π(x) = li(x) + O x1−η log(x) .
(1.32)
De La Vallée Poussin erhielt
Ã
!
³ p
´
π(x) = li(x) + O x exp −c log(x) .
(1.33)
Erst 1922 konnte (1.33) verschärft werden. Littlewood [40] zeigte
Ã
!
³ p
´
π(x) = li(x) + O x exp −c log(x) log(log(x)) .
Tschudakov [12] hat bewiesen:
(1.34)
Historische Einführung
14
Ã
µ
¶!
¡
¢α
4
π(x) = li(x)+O x exp −c log(x)
für jedes α < und c > 0. (1.35)
7
Weitere Verbesserungen erzielten Titchmarsh [79] und Tatuzawa [76].
Die beste heute beweisbare Version des Primzahlsatzes stammt von Vinogradov [82] und unabhängig davon Korobov [32], wobei das Ergebnis19
durch Richert (geringfügig) korrigiert wurde: Mit einer geeigneten Konstante c > 0 ist für |t| ≥ 2
Ã µ
¶! −1
3
³
´ −2
3
ζ(s) 6= 0 für 1 − c log(t)
log log(t)
(1.36)
hieraus folgt
Ã
µ
¶!
¢ −1
¡
¢3 ¡
π(x) = li(x) + O x exp −c log(x) 5 log(log(x)) 5
.
(1.37)
Man vermutet, dass π(x) weit näher an li(x) verläuft, dass nämlich die
Aussage:
π(x) = li(x) + O
³√
´
x log(x)
(1.38)
richtig ist. Diese Version des Primzahlsatzes würde20 aus der Riemannschen
Vermutung folgen, man setze in (1.32) η =
1
2
(vgl. [62]; [25, Seite 57]; [51,
VII, §5]).
Die elementaren Beweis–Methoden erlauben, für eine geeignete Konstanten c > 0
19
20
Siehe die Bemerkung 3.3 auf Seite 37
Dies hat Von Koch zum ersten Mal bewiesen [83].
Historische Einführung
15
Ã
π(x) = li(x) ·
!
´
1 + O (log(x))c .
³
(1.39)
zu beweisen21 . dass (1.39) mit jedem beliebigen c > 0 gilt, zeigten unabhängig voneinander Bombieri [6, 7] und Wirsing [86, 87]. Im Jahre
1973 haben Lavrik und Sobirov [1], die die Methoden von Diamond und
Steinig [74] etwas verbesserten, mit elementaren Methoden das Restglied
Ã
!
³
´
1
O x exp −c(log(x)) 6 (log(log(x)))−3 .
(1.40)
angegeben. Das beste bisher erzielte Restglied mit elementaren Methoden
stammt von Diamond [16] und lautet
Ã
³
O x exp − c(log(x))
1
−ε
6
!
´
;
(1.41)
nachdem für lange Zeit als offen galt, ob mit der elementaren Methode eine
Abschätzung
Ã
Ã
³
´c
π(x) = li(x) + O x exp − log(x)
!!
, c > 0.
(1.42)
erzielt werden kann. [66, Seite 49]
21
Dabei ist c =
[8], c =
3
4
1
200
nach Corput [81], c =
1
10
nach Kuhn [33], c =
nach Wirsing [86, 87], c = 1 − ε nach Dusumbetov [18].
1
6
− ε nach Breusch
Historische Einführung
1.4
16
Vorzeichen (Signum) des Fehlergliedes π(x) −
li(x)
Das Fehlerglied r(x) := π(x) − li(x) ist im bisher (x ≤ 1018 ) stets negativ,
d.h. dort gilt π(x) < li(x). Nachdem zunächst vermutet22 worden war, dass
die Werte von li(x) stets über demjenigen von π(x) liegen, bewies Hardy
[24] bereits 1914, dass es ein n0 gibt mit li(n0 ) < π(n0 ). Littlewood [39]
hat außerdem bewiesen, dass r(x) unendlich oft das Vorzeichen wechselt.
Unter Annahme der Riemannschen Vermutung zeigte Skewes [72] im Jahre 1933, dass dies mindestens einmal unterhalb 1010
1034
geschieht. Mehr als
20 Jahre später (und ohne die Riemannschen Vermutung vorauszusetzen)
zeigte Skewes [73], dass der Vorzeichenwechsel von r(x) erst unterhalb
7,705
ee
x < S := ee
= exp(exp(exp(exp(7, 705))))
(1.43)
geschieht. Die Skewessche Zahl S ist wohl die größte Zahl, die je in der Mathematik eine Wohldefinierten Zwecke hatte. Sie hat zu viele Dezimalstellen,
dass die vorhandene Materie nicht ausreichen würde, sie ziffernmäßig aufzuschreiben (vgl. [63]). Lehman [36] erniedrigt diese Zahl auf 1, 65·101165 aber
auch diese Schranke liegt noch weit außerhalb der Reichweite jeden Rechners
(vgl. [69, Seiten 92–93]). Te Riele [77] zeigte, dass es zwischen 6, 62 · 10370
und 6, 69 · 10370 mindestens 10180 Zahlen x gibt, so dass π(x) > li(x) gilt.
Bays und Hudson [3, 4] haben in einem an die Fachzeitschrift Mathematics
of Computation gesendeten, aber noch nicht veröffentlichten Artikel gezeigt,
dass es einen früheren Vorzeichenwechsel von π(x) − li(x) in der Nähe von
1, 39822 · 10316 gibt. Siehe das Website23 :
http://www.ams.org/jourcgi/jour-pbprocess?fn=110&arg1=
22
23
Dies hat Riemann [59] ohne Beweis vermutet. (vgl. [48])
Stand: März 1999
Historische Einführung
17
S0025-5718-99-01105-9&u=/mcom/0000-000-00
bzw.
http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/
S0025-5718-99-01104-7/home.html
Pintz [48] zeigte, dass (mit effektiv angegebaren Konstanten c1 , c2 ) die
Anzahl der Vorzeichenwechsel der Funktion π(x) − li(x) im Intervall [1, Y]
p
größer als c1 log(Y ), wenn nur Y > c2 ist. Kaczorowski gab im Jahre
1985 eine untere Schranke für den Vorzeichenwechsel der Funktion π(x) −
li(x) im [1, Y] mit c · log(Y ) an, ohne die Konstante c explizit anzugeben
(vgl. [70, Seite 22]).
1.5
Sonstiges
• Wir weisen darauf hin, dass die Approximation π(x) ∼ R(x) := li(x)−
∞
P
√
1
18 besser
k
k li( x) für den bis heute betrachteten Bereich x ≤ 10
k=2
ist (vgl. Kapitel 8 dieser Arbeit), wobei der Buchstabe R zu Ehren
Riemanns gewählt worden ist.
• Aus [70, Seite 3] entnahmen wir folgende chronologische Tabelle (siehe
Abbildung 1.1 auf die Seite 18)
• Die ersten Beweise des Primzahlsatzes waren allerdings sehr lang und
kompliziert. Es dauerte weitere 84 Jahre, bis der Beweis so vereinfacht
werden konnte, dass er nur wenige Seiten in Anspruch nimmt. Ein
wichtiger Verdienst gebührt hierbei der Arbeit [44] von Newman aus
dem Jahre 1980.
1.6
Gliederung der Arbeit
Die vorliegende Arbeit ist wie folgt aufgebaut:
Historische Einführung
18
E. Bombieri
A. Selberg
Y. V. Linnik
P. Erdös
N. Levinson
P. Turán
C. L. Siegel
I. M. Vinogradov
V. Brun
J. E. Littlewood
G. H. Hardy
E. Landau
C. de la Vallée–Poussin
J. Hadamard
B. Riemann
P. L. Tchebycheff
L. Dirichlet
C. F. Gauss
1800
1850
1900
1950
Abbildung 1.1: Chronologische Tabelle
2000
Nach dieser historischen Einführung listen wir im Kapitel 2 einige Grundlagen auf, die wir in der Arbeit brauchen werden.
Im Kapitel 3 behandeln wir einige Eigenschaften der Zetafunktion, denn
die Zetafunktion hat mit den Primzahlen engstes zu tun.
Im Kapitel 4 dieser Arbeit skizzieren wir einen analytischen Beweis des
Primzahlsatzes.
Im Kapitel 5 stellen wir eine Idee zum Beweis des Primzahlsatzes nach
D. Wolke vor.
Kapitel 6 ist einem Beweis des Primzahlsatzes nach Newman gewidmet.
Im Kapitel 7 geben wir einen Überblick über einige Verfahren zur Berechnung von π(x) für gegebene x. Wir stellen dort u. a. das Verfahren von
Legendre, Meissel sowie Lehmer vor.
Im Kapitel 8 listen wir einige ausgedehnte Tabellen für π(x), li(x), R(x)
und
x
log(x)
zur numerischen Überprüfung des Primzahlsatzes auf. Außerdem
zeichnen wir Diagramme für π(x) − li(x), π(x) − R(x), sowie π(x) −
x
log(x)
und kommentieren diese.
Schließlich, fassen wir die wichtigsten Teile der Arbeit zusammen, und
listen Lebensdaten einiger in dieser Arbeit erwähnten Mathematiker auf.
Kapitel 2
Grundlagen
In diesem Kapitel listen wir einige Definitionen, Begriffe sowie Hilfssätze aus
der Zahlentheorie sowie aus der komplexen Funktionentheorie auf, die man
u. a. in [9, 78, 29, 55, 38] finden kann
Definition 2.1
• Ist (aν )ν≥k eine Folge komplexer Zahlen, so heißt die
n
P
Folge (zn )n≥k , zn :=
aν der Partialsummen eine (unendliche) Reiν=k
he mit den Gliedern aν . Man schreibt
P
einfach
aν
P
• Eine Reihe
P
aν ,
ν≥k
∞
P
k
aν ,
∞
P
aν oder ganz
ν=k
aν heißt konvergent, wenn die Partialsummenfolge zn
konvergiert, andernfalls heißt sie divergent.
• Eine Reihe
P
aν heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
P
|aν | kon-
vergiert.
Bemerkung 2.1
• Das Symbol
P
aν ist zweideutig: es bezeichnet sowohl die Partialsum-
menfolge als auch (gegebenenfalls) deren Limes.
• Konvergente Reihen können bei Umordnung unendlich vieler Glieder
20
Grundlagen
21
den Limes ändern, aber es gilt: Ist
P
aν absolut konvergent, so kon-
vergiert jede ”‘Umordnung”’ dieser Reihe zum selben Grenzwert.
Lemma 2.1 (Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen) Eine
P
Reihe
aν konvergiert
wenn zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N
¯ genau dann,
¯
n
¯ P
¯
existiert, so dass gilt: ¯¯
aν ¯¯ < ε, für alle m, n mit n > m > n0 .
ν=m+1
Beweis Der Beweis wird in [55] geliefert. ¥
Definition 2.2 Seien D ⊂ C ein Bereich, f : D −→ C eine Funktion und
c := a + ib ∈ D.
• lim f (s) = L:⇔ wenn es zu jedem reellen ε > 0 ein reelles δ = δ(ε) > 0
s→c
gibt, so dass |f (s) − L| < ε für alle s ∈ D mit |s − c| < δ.
• f ist stetig in c, wenn lim f (s) = f (c).
s→c
• f heißt komplex differenzierbar in c, wenn der Grenzwert lim
s→c
f (s)−f (c)
s−c
existiert.
• f heißt holomorph, analytisch bzw. regulär in D, wenn f in jedem Punkt
von D komplex differenzierbar ist.
• f ist holomorph in c, wenn es eine offene Umgebung U ⊂ D von c gibt,
so dass die auf U eingeschränkte Funktion f |U holomorph in U ist.
• Wenn eine Funktion f(s) in der Umgebung eines Punktes z analytisch
ist, nicht aber in z selbst, dann heißt z eine isolierte singuläre Stelle
der Funktion f(s).
• Hat eine sonst holomorphe Funktion f(s) für endliche Werte von s nur
Pole als singuläre Stellen, dann heißt sie mermorph.
Bemerkung 2.2
Grundlagen
Im
22
Im
6
6
s
f(s)
-
-
Re
Re
Urbild–Ebene
Bild–Ebene
Abbildung 2.1: Illustration einer komplexen Funktion
• Eine in c holomorphe Funktion ist komplex differenzierbar in c, indessen ist eine in c komplex differenzierbare Funktion nicht notwendig
holomorph in c.
• Jede im offenen Gebiet D holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex
differenzierbar in D.
Definition 2.3
• Eine Funktionenfolge fn :
D → C heißt in A
gleichmäßig konvergent in A ⊂ D gegen fn : A → C , wenn zu jedem
ε > 0 ein n0 = n0 (ε) ∈ N existiert, so dass gilt: |f n(s) − f (s)| < ε für
alle n ≥ n0 und alle s ∈ A.
• Eine Reihe
P
fn von Funktionen konvergiert gleichmäßig in A, wenn
die Folge der Partialsummen gleichmäßig in A konvergiert.
• Man nennt eine Folge bzw. eine Reihe kompakt konvergent in X, wenn
sie in jeder kompakten Teilmenge von X gleichmäßig konvergiert.
Kriterium 2.1 (Majorantenkriterium von Weierstraß) Es sei fn :
X → C eine Funktionenfolge; es sei A 6= ∅ eine Teilmenge von X, und
es gebe eine Folge reeller Zahlen Mn ≥ 0 so dass |f |A ≤ Mn , n ∈ N und
Grundlagen
P
23
Mn < ∞. Dann konvergiert die Reihe
P
fn gleichmäßig in A. Dabei sei
|f |A := sup|f (x)| die Supremumnorm.
x∈A
Beweis Der Beweis wird in [55, Seite 103] geliefert. ¥
Definition 2.4 Eine Reihe
P
fn von Funktionen fn : X → C heißt normal
konvergent in X, wenn jeder Punkt x ∈ X eine Umgebung U hat, so dass
P
gilt
|fn |U < ∞.
Lemma 2.2 Sei f(n) eine komplexe (für alle natürlichen n definierte) multiplikative Funktion, d.h. f (m · n) = f (n) · f (m) für alle n, m ∈ N mit ggt(m,
n)=1, so dass
∞
X
|fn | < ∞.
n=1
Dann ist
Y
(1 + f (p) + f (p2 ) + . . . ) =
∞
X
|fn |.
n=1
p∈P
Falls f streng multiplikativ, d.h. f (m · n) = f (n) · f (m) für alle n, m ∈ N ,
so dass
∞
X
|fn | < ∞.
n=1
Dann ist
Y
p∈P
∞
X
1
=
|fn |
1 − f (p)
n=1
.
Beweis [2, Seite 230] ¥
Lemma 2.3 (Abelsche Partielle Summation) Sei (an )n∈N eine Folge
komplexer Zahlen, (λn )n∈N eine streng monoton wachsende, unbeschränkte Folge reeller Zahlen und g eine im Intervall [λ1 , x] stetig differenzierbare
(komplexwertge) Funktion, so gilt für alle
Grundlagen
X
24
an g(λn ) =
µX
λn ≤x
¶
an
· g(x) −
Z xµ X
λ1
λn ≤x
¶
an
· g 0 (u)du.
λn ≤x
Beweis [67, Seite 193] ¥
Lemma 2.4 (Legendres Identität) Für jede Primzahl p und für jede
∞
P
natürliche Zahl n ist die Vielfachheit νp (n!) von p in n! gleich
[ pnj ].
j=1
Bemerkung Man beachte, dass
£n¤
pj
Null ist genau dann, wenn pj > n.
Beweis (Lemma 2.4) Offenbar ist für j ∈ N0
Ap (n, j) := #{k ∈ N : k ≤ n, νp (k) = j} =
£n¤
pj
−
£
n
pj+1
¤
.
und damit wegen der strengen Additivität1 von p
νp (n!)
n
P
=
νp (k)
=
k=1
∞
P
jAp (n, j)
h i P
h i
∞
=
j pnj −
(j − 1) pnj
j=1
j=2
∞h i
P
n
=
pj
j=1
∞
P
(2.1)
j=1
¥
x
Lemma 2.5 Für alle reellen x > 1 gilt π(x) < 6 log(x)
.
Beweis [2, Seite 82] ¥
Lemma 2.6 (Mertens) Bei x → ∞ gilt
P
p≤x
log(p)
p
= log(x) + O(1).
Beweis [2, Seite 89] ¥
Bemerkung Nach [78, Seite 14, Theorem 7] liegt das Fehlerglied O(1)
im offenen Intervall ]-1-log(4), log(4)[; beachte log(4)=1,386 294 ...
1
Eine zahlentheoretische Funktion f heißt streng additiv, falls f (n · m) = f (n) + f (m)
für alle n, m ∈ N gilt.
Grundlagen
25
Lemma 2.7 (Mertens) Es gibt eine reelle Konstante B, so dass für x →
¡
¢
P 1
1
∞ gilt
p = log log(x) + B + O( log(x) ).
p≤x
Beweis [2, Seite 90] ¥
Lemma 2.8 (Residuensatz) Ist die Funktion f(s) in einem einfach
zusammenhängenden Gebiet G, das von der geschlossenen Kurve K begrenzt
wird, mit Ausnahme der endlich vielen Punkten z0 , z1 , . . . , zn eindeutig
und analytisch, dann ist der Wert des im Gegenuhrzeigersinn über den
geschlossenen Weg K genommen Integrals gleich dem Produkt aus 2πi und
der Summe der Residuen in allen diesen singulären Punkten:
Z
f (s)ds = 2πi
K
n
X
¯
¯
Res f (s)¯
s=zk
k=0
(2.2)
Beweis [55] ¥
Lemma 2.9 (Cauchysche Integralformel)
• Ist f(z) auf einer ge-
schlossenen Kurve K und in dem von ihr umschlossenen einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch, dann gilt für jeden inneren (bzw.
äußeren) Punkt z dieses Gebietes ( siehe Abbildung 2.2 auf Seite 26)
die Darstellung :
f (z) =
1
2πi
Z
f (s)
ds,
s−z
(2.3)
K
wenn s die Kurve K in Gegenuhrzeigersinn durchläuft.
• Wenn eine Funktion f(z) im gesamten Teil der Ebene außerhalb des
geschlossenen Integrationsweges K analytisch ist, dann wird der Wert
der Funktion f(z) in einem Punkt z dieses Gebietes mit Hilfe der
Im
6
z
-
Re
Punkt z innerhalb K
Abbildung 2.2: Illustration der Cauchyschen Integralformel: Punkt z innerhalb K
Cauchyschen Formel (2.3) dargestellt, aber die Kurve des geschlossenen Integrationsweg K ist nunmehr im Uhrzeigersinn zu durchlaufen
( siehe Abbildung 2.3 auf Seite 27 )
Beweis [55] ¥
Bemerkung Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformeln lassen sich die
Funktionswerte einer analytischen Funktion im Inneren (bzw. Äußeren) eines
Gebietes durch die Funktionswerte auf dem Rande des Gebietes ausdrücken.
¤
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
Im
6
27
z
-
Re
Punkt z außerhalb K
Abbildung 2.3: Illustration der Cauchyschen Integralformel: Punkt z außerhalb K
Kapitel 3
Einige Eigenschaften der
Zetafunktion
Bevor wir mit einem analytischen Beweis des Primzahlsatzes anfangen,
behandeln wir einige Eigenschaften der Zetafunktion. Die Riemannsche
Zetafunktion ζ(s) ist durch die Reihe
ζ(s) :=
∞
X
n−s
(s > 1)
(3.1)
n=1
und deren analytische Fortsetzung definiert. Dabei ist für komplexe s das
n−s durch die Gleichung n−s = e−s log(n) gegeben, wobei log(n) den reellen
(natürlichen) Logarithmus der positiven ganzen Zahl n bedeutet.
Zunächst gilt
Satz 3.1 Die Reihe
∞
P
n−s ist für Re(s) ≥ 1 + ε gleichmäßig konvergent,
n=1
und die durch sie in der Halbebene Re(s)>1 definierte Zetafunktion ist dort
regulär.
Beweis Sei s = σ + it. Die gleichmäßige Konvergenz ergibt sich aus
28
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
29
¯ ¯
¯ s¯
¯n ¯
=
¯
¯
¯ s log(n) ¯
¯e
¯
=
¯
¯
¯ Re(s)+i·Im(s)) log(n) ¯
¯
¯e
=
¯
¯
¯ (Re(s) log(n) i·Im(s) log(n) ¯
·e
¯
¯e
=
¯
¯
¯ (Re(s) log(n) ¯
¯e
¯
=
nRe(s)
(3.2)
≤ n−(1+ε) für Re(s) ≥ 1 + ε
und die Regularität von ζ(s) in Re(s)>1 folgt aus dem bekannten Weierstrassschen Kriterium1 über die Regularität der Grenzfunktion einer
gleichmäßig konvergenten Folge analytischer Funktionen. Denn es gibt zu
jedem Punkt aus σ > 1 ein ε so, dass dieser innerer Punkt von σ ≥ 1 + ε
ist. ¥
Satz 3.2 (über gewisse Dirichlet–Reihen) Gilt bei beliebigem reellem
∞
P
ε > 0 für die Koeffizienten an der Dirichlet–Reihe
an n−s die Bedinn=1
gung an = O(nε ) bei n → ∞, so konvergiert diese Reihe mindestens in
σ > 1 absolut und kompakt gleichmäßig, definiert dort also eine holomorphe
Funktion.
Beweis Man fixiere ein reelles σ0 > 1 beliebig; sodann wähle man ε reell
mit 0 < ε < σ0 − 1 beliebig und hat nach Voraussetzung |an | ≤ c(ε)nε für
alle n ∈ N und daher
1
Näheres siehe [34, Seite 151].
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
30
¯P
¯
¯∞
¯
an n−s ¯
¯
n=1¯
¯
∞
¯P
¯
≤ c(ε)¯
n−(σ−ε) ¯
¯n=1
¯
∞
¯P
¯
−(σ
−ε)
0
≤ c(ε)¯
n
¯ für alle komplexen s mit Re(s) = σ ≥ σ0
(3.3)
n=1
Die Reihe
∞
P
n=1
n−(σ0 −ε) konvergiert wegen σ0 − ε > 1 und das Weier-
strasssche Majoranten–Kriterium liefert die Behauptung. ¥
Das Bindeglied zwischen den Primzahlen und der Zetafunktion ist
Satz 3.3 (Eulersche Produktdarstellung von ζ) Für Re(s)>1 :
ζ(s) =
Y³
1 ´−1
1− s
p
(3.4)
p∈P
Beweis Der Beweis ergibt sich aus dem Lemma 2.2 auf Seite 23 mit der
streng multiplikativen Funktion f (n) := n−s . ¥
Bemerkung 3.1
Eine mehr amüsante Beweisvariante von der Existenz unendlich vieler
Primzahlen lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Produktdarstellung von
ζ (Satz 3.3 auf Seite 30) herleiten : Für jedes ganze s ≥ 2 ist jeder Faktor rechts in (3.4) rational. Unter der Annahme, es gäbe nur endlich viele
Primzahlen, wäre dann das Produkt rechts in (3.4) rational, also auch ζ(s).
Nun ist aber die Irrationalität (sogar Transzendenz) von ζ(2j) für alle j ∈ N
wohlbekannt. ¤
Nun zeigen wir zwei Sätze über die Zetafunktion.
Satz 3.4 Für jedes natürliche N gilt in σ > 1
∞
X
n=N
n
−s
1
=
N 1−s + s
s−1
Z∞³
´
1− u−s−1 du
N
(3.5)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
31
Dabei stellt das Integral eine in σ > 0 holomorphe Funktion dar.
Beweis Für reelles x ≥ N ist nach Lemma 2.3 auf Seite 23 über partielle
Summation mit an = 1; g(x) = x−s und λn :=n.te natürliche Zahl gilt :
X
n−s
N ≤n≤x
=
³ X
1 · g(x) −
N ≤n≤x
³
=
Zx ³ X
´
N
´
1 · g 0 (u)du
(3.6)
N ≤n≤x
Zx ³
´
´
−s
[x] − N + 1 · x − s
[u] − N + 1 · u−s−1 du
(3.7)
N
In der Halbebene σ > 1 folgt daraus bei x → ∞
∞
P
n−s
n=N
R∞³
´
u − N + 1− u−s−1 du
N
´
R∞³
1
1−s + s
N
1−

u−s−1 du
s−1
= s
=
(3.8)
N
Nun zeigen wir, dass das in σ > 0 absolut konvergente Integral
Z∞³
J(s) =
´
1− u−s−1 du
(3.9)
N
dort eine holomorphe Funktion definiert.
Unter Verwendung der Tatsache
P
j≥0
1
j!
´j
¡
−h · log(u)
= e−h·log(u)
= u−h
(3.10)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
32
erhalten wir für reelle u ≥ 1 und komplexe h 6= 0:
¯ 1 ¡ −h
¯
¢
¯ u − 1 + log(u)¯
h
¯
¯µ
³
´j ¶
¯
¯
∞
P
1
¯
¯ 1−h log(u)+ j! −h·log(u)
−1
¯
¯
j=2
¯
¯
+
log(u)
= ¯
h
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯P
¯
¯ ∞ (−1)j j−1
¯
j
= ¯
h
log
(u)
¯
¯j=2 j!
¯
(3.11)
¯
¯
¯P
³
´j ¯
j
¯
¯
(−1)
h log(u) ¯
= |h| log2 (u) ¯
¯
¯j≥2 (j+2)!
≤ |h| log2 (u)
P
j≥2
1
j!
³
´j
|h| log(u)
= |h|u|h| log2 (u),
denn
P
j≥2
1
j!
³
´j
|h| log(u)
= e|h| log(u)
(3.12)
= u|h|
Damit gilt für reelle u ≥ 1 und komplexe h 6= 0 die Abschätzung
¯
¯ ³
´
¯
¯ 1 −h
¯ u − 1 + log(u)¯ ≤ |h|u|h| log2 (u)
¯
¯h
(3.13)
Führt man jetzt noch das ebenfalls in σ > 0 absolute konvergente Integral
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
33
Z∞³
´
K(s) = −
1− (log(u))u−s−1 du
(3.14)
N
ein, so folgt für komplexe h 6= 0 und s mit Re(s)>0, Re(s+h)>0
¯
¯
¯ J(s+h)−J(s)
¯
−
K(s)
¯
¯
h
¯
¯ ∞³
´
´³
¯R
¯
1
−h
−s−1
¯
du¯¯ wegen (3.9) und (3.14)
= ¯ 1− h (u − 1) + log(u) u
N
≤ |h|
R∞
u−σ−1+|h| log2 (u)du, wegen (3.13)
N
≤ |h|
R∞
σ
u−1− 2 log2 (u)du
N
(3.15)
Denn bei festen s mit σ = Re(s) > 0 darf in Sinne des geplanten Grenzübergangs h → 0 von vornherein |h| ≤
1
2
vorausgesetzt werden. Damit ist die
Holomorphie von J in σ > 0 gezeigt einschließlich der in der Halbebene
gültigen (erwarteten) Gleichung J 0 = K. ¥
Satz 3.5 Die in σ > 1 durch die Reihe
∞
P
n−s definierte Riemannsche
n=1
Zetafunktion lässt sich in die Halbebene σ > 0 holomorph fortsetzen. Diese
Fortsetzung ist dort holomorph bis auf einen einfachen Pol an der Stelle 1
mit Residuum 1; außerdem ist die Zetafunktion in σ ≥ 1 nullstellenfrei.
Beweis Nach Satz 3.4 gilt in >1
1
ζ(s) =
+s
s−1
Z∞³
´
1− u−s−1 du
1
(3.16)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
34
wobei das Integral rechts in σ >0 holomorph ist. Damit lässt sich die Zetafunktion in die Halbebene σ >0 holomorph fortsetzen.
Es bleibt zu zeigen, ζ(1 + it) 6= 0 für alle reellen t 6= 0.
Wäre 1+iT mit T 6= 0 eine Nullstelle von ζ , so würde die Taylor–
Entwicklung von ζ(s + iT ) um s=1 beginnen mit
ζ(s + iT ) = (s − 1)ζ 0 (1 + iT ) + . . .
(3.17)
während nach (3.16) die Laurent–Entwicklung von ζ(s) um s=1 mit
ζ(s + iT ) =
1
+ ...
s−1
(3.18)
anfängt. Die durch
Z(s) := ζ 3 (s)ζ 4 (s + iT )ζ(s + 2iT )
(3.19)
definierte Funktion Z ist in σ >1 holomorph, in σ >0 mermorph und hat
wegen (3.17) und (3.18) an der Stelle s=1 eine Nullstelle, weswegen
lim log(|Z(σ)|) = −∞
σ→1
(3.20)
gilt. Aus der Eulerschen Produktdarstellung (Satz 3.3 auf Seite 30) von ζ
folgt durch Logarithmieren
log(ζ(s))
P
=
− log(1 − p−s ), in σ > 1
p
wobei log den Hauptwert des komplexen
Logarithmus bedeutet
(3.21)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
35
Die Potenzreihenentwicklung von -log(1-z) ist bekanntlich
∞
X
1
j=1
j
zj .
(3.22)
Aus (3.21) folgt damit:
log(ζ(s))
P
− log(1 − p−s )
=
p
∞
PP
=
p j=1
:=
∞
P
n=1
(3.23)
1 −js
jz
an n−s
Wegen
∞
XX
1
p
j=1
1
j
,
 0
,
j
p−js :=
∞
X
an n−s
(3.24)
n=1
ist


an =
falls n = pj und p prim
(3.25)
sonst
Da die an offenbar nichtnegative rationale Zahlen sind, ist mit t:=Im(s)
log |ζ(s)|
= Re(log(ζ(s)))
∞
P
=
an n−σ cos(t log(n)),
n=1
wobei log oben und in der Summe unten wieder den
reellen Logarithmus bedeutet.
(3.26)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
36
Dabei ist zu beachten, dass
Re(an n−s )
= Re(an n−(σ+it) )
= Re(an e−(σ+it) log(n) )
(3.27)
= Re(an e−σ log(n) e−it log(n) )
= an n−σ cos(t log(n))
Für σ >1 ist wegen (3.19) und (3.26)
log |Z(σ)|
= 3 · log |ζ(σ)| + 4 · log |ζ(σ + iT )| + log |ζ(σ + 2iT )|
∞
P
=
an n−σ (3 + 4 cos(T · log(n)) + cos(2T log(n)))
(3.28)
n=1
Ferner gilt
3 + 4 cos(τ ) + cos(2τ )
= 2(1 + cos(τ ))2
(3.29)
≥ 0 für alle reellen τ
Aus (3.28) und (3.29) folgt
log |Z(σ)|
∞
P
=
an n−σ (3 + 4 cos(T · log(n)) + cos(2T log(n)))
(3.30)
n=1
≥ 0 denn an n−σ ≥ 0
was (3.20) widerspricht. ¥
Bemerkung 3.2
Nach Satz 3.1 auf Seite 28 ist die Zetafunktion in die Halbebene σ >1 wohldefiniert und holomorph. Nach Satz 3.5 auf Seite 33 lässt sich die Zetafunk-
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
37
tion in die Halbebene σ >0 holomorph fortsetzen. Doch die Zetafunktion
lässt sich in ganzen komplexen Ebene fortsetzen. (man vgl. [78, Seite 139,
Theorem 1]).¤
Wir bereiten nun einige Hilfsmittel vor, die wir vor allem im Kapitel 5
brauchen werden. Zunächst geben wir ein klassisches2 nullstellenfreies Gebiet für die Zetafunktion an.
Satz 3.6 Es gibt eine positive Konstante c, so dass ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C
mit σ := Re(s) ≥ 1 −
c
log(2+|t|) .
Bemerkung 3.3
• Rosser und Schoenfeld [65, 64] geben den Satz mit expliziten Konstanten: ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C mit Re(s) ≥ 1 −
1
t .
9,645908801 log| 17
|
• De La Vallée Poussin zeigte die Gleichung (1.33) auf Seite 13 mit
Hilfe von ζ(s) 6= 0 in Re(s) ≥ 1 −
c
log(2+|t|) .
• Die beste3 bis heute bekannte nullstellenfreie Zone für die Zetafunktion stammt von Korobov [31] sowie Vinogradov [82] und lautet
ζ(s) 6= 0 für alle s ∈ C mit Re(s) ≥ 1−
2
log 3
³
c
¡
¢´ 31 , man beach-
|t| log log |t|
te aber auch die von Richert (veröffentlicht in [84, Seite 226]) stammenden Korrekturen (besser gesagt ausführlicher Ausführung des Beweises) nicht des Resultats, sondern des Beweises. Aus diesem Grund
rechnet Walfisz den Satz sogar Richert zu: ...Wie dem auch sei,
so wird die Richertsche Abschätzung (1.37)4 auf Seite 14 so lange
für die beste gelten müssen, wie nicht eine noch schärfere mit Beweis
veröffentlicht ist. (vgl. [84, Seite 227, ab Zeile 12]). Richert hat außerdem die Konstante c explizit angegeben: c =
2
1
8757 .
Nach [78, Seite
Im Satz 3.5 auf Seite 33 haben wir nur ζ(s) 6= 0 für Re(s) ≥ 1 gezeigt.
Daraus erhält man die Gleichung (1.37) auf Seite 14.
4
in der Bezeichnungsweise dieser Arbeit
3
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
38
161] ist der Beweis von Korobov und Vinogradov in [28, chapter
6] zu finden.
Beweis (Satz 3.6 auf Seite 37) Der Beweis von Satz 3.6 ist in der
Literatur [78, Seite 157, theorem 15], [13, Seite 86], [26, Seite 58, theorem
19] sehr verbreitet. Daher werden wir den Beweis nur ganz grob skizzieren.
Man betrachtet die Gleichheit
∞
−
ζ 0 (s) X
=
Λ(n)n−s
ζ(s)
(3.31)
n=1
Unter Benützung von (3.29) schließt man (analog zu (3.30)) leicht auf
ζ 0 (σ)
− 4Re
−3
ζ(σ)
µ
ζ 0 (σ + it)
ζ(σ + it)
¶
µ
− Re
ζ 0 (σ + 2it)
ζ(σ + 2it)
¶
≥0
(3.32)
Nun versucht man die drei Terme der linken Seite von (3.32) nach oben
abzuschätzen, was den Beweis beendet. ¥
Schließlich geben wir eine paar Tatsachen über die Dirichlet–Reihen.
Sei f eine zahlentheoretische Funktion. Eine Dirichlet–Reihe D(f; s) ist
definiert als
D(f ; s) :=
∞
X
f (n)
n=1
(3.33)
ns
Die Summe und das Produkt zweier Dirichlet–Reihen sind [78, Seite 25]
definiert als
D(f ; s) + D(g; s) :=
∞
X
f (n) + g(n)
n=1
ns
(3.34)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
39
 P
D(f ; s) · D(g; s) :=
f (a)g(b)
∞
(a,b)
X
 ab=n


ns
n=1




(3.35)
Man beachte, dass
h(n) :=
X
f (a)g(b) = (f ∗ g)(n)
(3.36)
(a,b)
ab=n
die Faltung von f und g ist und daher eine zahlentheoretische Funktion
darstellt. h(n) ist multiplikativ, falls f und g multiplikativ sind. [9, 68, 54].
Nun können wir zeigen
Satz 3.7 Für die Dirichlet–Reihe
H(s) :=
∞
X
f (n)
n=1
ns
,
(3.37)
wobei f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion mit
f (p) =
f (pν ) =
1
mit k ≥ 1 fest
k
(3.38)
µ
¶ µ
¶
1 1 1
1
+ 1 ...
+ (ν − 1) mit ν ≥ 2 und k ≥ 1 fest (3.39)
ν! k k
k
∞
P
gilt H k (s) = ζ(s), wobei ζ(s) =
n=1
1
ns
die Zetafunktion ist.
Beweis Aus (3.35) erhalten wir
³
´
f (a1 )f (a2 ) . . . f (ak )

∞  (a1 ,a2 ,...,ak )
X
 a1 a2 ...ak =n

k

.
H (s) =


s
n

n=1 

P
(3.40)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
40
Um H k (s) = ζ(s) zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass
g(n) :=
X
³
´
f (a1 )f (a2 ) . . . f (ak ) = 1 für alle n ∈ N
(3.41)
(a1 ,a2 ,...,ak )
a1 a2 ...ak =n
ist. Da g als Faltung k multiplikativer zahlentheoretischer Funktionen
multiplikativ ist, brauchen wir nur noch g(pr ) = 1 für alle Primzahlen p
und r ∈ N zu zeigen, wobei
g(pr ) =
³
X
´
f (pν1 )f (pν2 ) . . . f (pνk ) ; ∀ p ∈ P, n ∈ N
(3.42)
(ν1 ,ν2 ,...,νk )
ν1 +ν2 +···+νk =n
Dazu seien p eine (feste) Primzahl und
A(x) = 1 + f (p)x + f (p2 )x2 + · · · + f (pr )xr + . . . , wobei x ∈] − 1, 1[ (3.43)
Die rechte Seite von (3.43) entspricht (wegen (3.38) und (3.39)) genau (vgl.
[80, Seite 947]) der Potenzreihenentwicklung von
1
√
k
1−x
für x ∈] − 1, 1[.
Damit ist
1
A(x) = √
, x ∈] − 1, 1[
k
1−x
(3.44)
Aus (3.43) und (3.42) folgt
Ak (x) = 1 + g(p)x + g(p2 )x2 + · · · + g(pr )xr + . . . , wobei x ∈] − 1, 1[ (3.45)
Aus (3.44) ist aber
Ak (x) =
1
1−x
(3.46)
Einige Eigenschaften der Zetafunktion
41
(3.45) und (3.46) ergeben
1
= 1 + g(p)x + g(p2 )x2 + · · · + g(pr )xr + . . . , wobei x ∈] − 1, 1[ (3.47)
1−x
Die Potenzreihenentwicklung von
1
1−x
ist aber 1 + x + x2 + · · · + xr + . . . für
x ∈] − 1, 1[. Damit folgt aus (3.47) durch Koeffizientenvergleich g(pr ) = 1.
¥
Für die zahlentheoretische Funktion f aus Satz 3.7 auf Seite 39 gilt
¯
¯ ³ ´ω(n)
P
¯
¯
, wobei ω(n) =
1 ist.
Satz 3.8 ¯f (n)¯ ≤ k1
p|n
¡ ¢0
Beweis f (1) = 1 = k1 , denn ω(1) = 0.
¡ ¢ω(p)
f (p) = k1 = k1
, denn ω(p) = 1.
Für ν ≥ 2 und k ≥ 1 ist
f (pν )
µ
=
¶ µ
¶
1
+ 1 . . . k + (ν − 1)
µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
1
+0
+1
+(ν−1)
k
k
k
...
1
2
ν
≤
1
k
1 1
ν! k
=
1
k
|1 · 1 ·{z· · · · 1}
(3.48)
(ν−1) mal
=
=
1
k
¡ 1 ¢ω(p)
k
Für zusammengesetztes n betrachtet man die Primfaktorzerlegung5 von
n = pν11 pν22 . . . pνr r ,wobei νj > 0 für alle j ∈ {1, 2, . . . , r} ist. Wegen der Mul¡ ¢r ¡ ¢ω(n)
tiplikativität von f gilt nun f (n) = f (pν11 )f (pν22 ) . . . f (pνr r ) ≤ k1 = k1
,
denn ω(n) = r. ¥
5
Ausnahmsweise bedeutet hier pj nicht die j–te Primzahl.
Satz 3.9 |ζ(s)| ≤ 1 +
1
|t|
+ 2|t|, für σ ≥ 12 .
Beweis Nach Satz 3.4 auf Seite 30 folgt mit N=1 in >1
1
+s
ζ(s) =
s−1
Z∞³
´
1− u−s−1 du
(3.49)
1
Die Gleichung (3.49) gilt zunächst in σ > 1 und durch analytische FortsetR∞
zung auch für σ > 0, da die rechte Seite dort wegen u−s−1 du < ∞ regulär
ist bis auf die Stelle s=1. Man hat für σ ≥
1
2
1
¯
¯ ¯ ¯
¯ 1 ¯ ¯1¯
¯
¯ ¯ ¯
¯s − 1¯ ≤ ¯ t ¯
(3.50)
und
¯ ∞³
¯
´
¯ R
¯
−s−1
¯s
1− u
du¯¯
¯
1
R∞
≤ |s| u−σ−1 du
µ 1
¶
≤
σ + |t| σ1
= 1+
(3.51)
|t|
σ
≤ 1 + 2|t|
Aus (3.50) und (3.51) folgt die Ungleichung |ζ(s)| ≤ 1 +
¥
1
|t|
+ 2|t|, für σ ≥
1
2
Kapitel 4
Ein ”‘klassischer”’
analytischer Beweis des
Primzahlsatzes
In diesem Kapitel geben wir eine Version nach Newman des klassischen
analytischen Beweises des Primzahlsatzes. Bei dieser Version benutzen wir
ganz entscheidend Methoden der komplexen Funktionentheorie. Man spricht
daher von einem analytischen Beweis.
Zunächst zeigen wir
Satz 4.1 Sei (fn )n=1,2,... eine beschränkte Folge komplexer Zahlen und die
∞
P
in σ > 1 durch die Dirichlet–Reihe
fn n−s definierte Funktion F sei in
n=1
in σ ≥ 1 holomorph. Dann konvergiert die Reihe
∞
P
n=1
F(s).
fn n−s in σ ≥ 1 gegen
Beweis ([44, Proof of the convergence theorem]1 ) Man fixiere s0 ∈ C mit
σ0 := Re(s0 ) ≥ 1. Dann ist F (s + s0 ) jedenfalls in σ0 := Re(s0 ) ≥ 1 nach
1
Der Satz geht auf Ingham [27] zurück, der allerdings Fourier–Theorie zum Beweis
benützte, was komplizierter als die hier angewendete Methode der komplexen Integration
ist.
43
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
44
Voraussetzung holomorph. Ist R>0 beliebig gewählt, so kann man ein δ >0
´
³
mit δ ≤ min 1, √R2 finden derart, dass das Kreissegment
DR,δ := {s ∈ C : |s| ≤ R, Re(s) ≥ −δ}
(4.1)
ganz dem Holomorphiegebiet von F (s + s0 ) angehört. Bezeichnet K den
einmal in positiven Sinne durchlaufenen Rand von DR,δ und Kr (bzw. Kl )
den in der rechten (bzw. linken) Halbebene σ >0 (bzw. σ ≤ 0) gelegenen
Teil von K (siehe Abbildung 4.1 auf Seite 44), so gilt nach der Cauchyschen
Integralformel (Lemma 2.9 auf Seite 25)
6
Kr
Kl
−δ
ϕ
DR,δ
R
-
0
Abbildung 4.1: Illustration des Integrationsweges
Z
2πiF (s0 ) =
1
s
F (s + s0 )N s ( + 2 )ds
s R
(4.2)
K
Dabei bedeutet N hier und in folgenden eine beliebige natürliche Zahl. Für
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
45
s ∈ Kr ist Re(s + s0 ) > 1, also hat man dort
F (s + s0 ) =
X
n≤N
|
fn n−s−s0 +
{z
}
X
fn n−s−s0
n>N
|
{z
(4.3)
}
RN (s+s0 )
QN (s+s0 )
Da QN (s + s0 ) in der ganzen s–Ebene holomorph (weil n ≤ N ) ist, gilt
2πiF (s0 )
R
=
|s|=R
=
R
Kr
+
R
Kr
QN (s + s0 )N s ( 1s +
s
)ds
R2
(4.4)
QN (s + s0 )N s ( 1s +
s
)ds
R2
QN (s + s0 )N −s ( 1s +
s
)ds
R2
Subtrahiert man (4.4) von (4.2), so entsteht unter Berücksichtigung von (4.3)
2πi(F (s0 ) − QN (s0 )
=
R
Kr
(RN (s + s0 )N s − QN (s0 − s)N −s )( 1s +
R
=
|s|=R
+
R
Kl
s
)ds
R2
(4.5)
QN (s +
s0 )N s ( 1s
F (s + s0 )N s ( 1s +
+
s
)ds
R2
s
)ds
R2
Kann man jetzt zeigen, dass hier die rechte Seite für genügend große N
beliebig klein wird, so bedeutet dies die Konvergenz der Partialsummen
P
P
QN (s0 ) =
fn n−s0 der Reihe
fn n−s0 gegen F (s0 ), womit dann der
n≤N
Satz bewiesen ist.
n
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
46
Um die Kleinheit der rechte Seite in (4.5) einzusehen, werden einige
Abschätzungen benötigt. Zunächst ist
1
s
+
s
R2
¯ ¯ ¯ ¯
≤ ¯ 1s ¯ + ¯ Rs2 ¯
=
2
R
=
2Re(s)
R2
cos(arg(s))
(4.6)
auf |s| = R.
Auf der in Kl enthaltenen Strecke s = −δ + it, t ∈ R , |t| ≤
¯1
¯ +
s
√
R2 − δ 2 ist
¯
s ¯
R2
¯ ¯ ¯ ¯
≤ ¯ 1s ¯ + ¯ Rs2 ¯
Damit ist
√
δ 2 +t2
R2
=
√ 1
δ 2 +t2
=
R2 √
+δ 2 +t2
2
R δ 2 +t2
≤
2 +R2 −δ 2
R2 +δ√
R2 δ 2 +t2
=
√ 2
δ 2 +t2
≤
2
δ
+
(4.7)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
¯
¯
¯1
¯
¯ + s ¯≤ 2
¯ s R2 ¯ δ
47
(4.8)
. Bezeichnet c>0 eine obere Schranke für alle |fn |, n=1, 2, . . . , so gilt für
s ∈ Kr erstens
1
c
≤
|RN (s + s0 )|
P
n−σ−1
n>N
(4.9)
<
R∞
t−σ−1 dt
N
=
1
σN σ ,
und zweitens
1
c
≤
|QN (s + s0 )|
P
n−σ−1
(4.10)
n≤N
≤ Nσ
¡1
N
+
1
σ
¢
Dabei ist beachtet, dass man für σ ≥ 1 die Abschätzung
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
P
48
nσ−1
n≤N
= N σ−1 +
NP
−1
nσ−1
n=1
(4.11)
< N σ−1 +
RN
tσ−1 dt
0
≤ Nσ
¡1
+
N
1
σ
¢
hat, während man in 0 < σ < 1 sogar mit
P
nσ−1
n≤N
RN
<
(4.12)
tσ−1 dt
0
≤
Nσ
σ
auskommt.
Wegen (4.6), (4.9), (4.10) ist für s ∈ Kr
¯
¡
¯(RN (s + s0 )N s − QN (s0 + s)N −s ) 1 +
s
¡1
¢
2
≤ c N +σ
¡
= c 4+
2σ
N
¢
1
R2
und so gilt für das erste Integral rechts in (4.5)
s
R2
¢¯
¯
(4.13)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
¯
¯R
¯
¯ (RN (s + s0 )N s − QN (s0 − s)N −s )( 1s +
¯Kr
≤ 2πc
¡2
R
+
1
N
49
¯
¯
¯
s
)ds
¯
2
R
¯
(4.14)
¢
Das zweite Integral rechts in (4.5) muss man sehr genau untersuchen.
Zunächst werde
M := max{|F (s + s0 )| : s ∈ DR,δ }
(4.15)
gesetzt; offenbar hängt M alleine von R und δ ab. Auf dem Teil von Kl
mit Re(s) = −δ berücksichtigt man |N s | = N −δ im Integranden; die Länge
√
dieses Teils des Integrationswegs ist 2 R2 − δ 2 < 2R, und so liefert dieser
wegen (4.8) höchstens den Beitrag
2
4M R
M N −δ 2R =
δ
δN δ
(4.16)
zum Absolutbetrag des zweiten Integrals in (4.5). Der Beitrag des in
−δ < Re(s) ≤ 0 verlaufenden Teils des Integrationswegs ist wegen (4.6),
wenn den in der Abbildung 4.1 auf Seite 44 definierten Winkel bedeutet,



3π
+ϕ
2
Z
3π
Z2
+
π
2


iτ
R cos(τ )+iR sin(τ ) 2 cos(τ )
iReiτ dτ
 F (Re + s0 )N
R
(4.17)
3π
−ϕ
2
Der Absolutbetrag hiervon ist höchstens


2M 
3π
+ϕ
2
Z
3π
Z2
+
π
2
3π
−ϕ
2


R cos(τ )
dτ
 (cos(τ ))N
(4.18)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
50
denn
M := max{|F (s + s0 )| : s ∈ DR,δ }
(4.19)
Durch die Substitution y = 2π − τ erhalten wir
3π
R2
(− cos(τ ))N R cos(τ ) dτ
3π
−ϕ
2
π
=
R2
(− cos(−y))N R cos(y) (−dy)
π
+ϕ
2
(4.20)
π
2
R
= −
(− cos(y))N R cos(y) dy
π
+ϕ
2
=
π
+ϕ
2
R
π
2
Damit folgt aus (4.18)
(− cos(y))N R cos(y) (−dy)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes

2M 
3π
+ϕ
2
R
3π
+
π
2
=
R2
51

 (cos(τ ))N R cos(τ ) dτ
3π
−ϕ
2
π
+ϕ
2
R
(− cos(τ ))N R cos(τ ) dτ
π
2
≤ 4M
sin(ϕ)
R
0
≤ 4M
sin(ϕ)
R
√ x
N −Rx dx,
1−x2
(4.21)
mit x = cos(τ )
N Rx dx
0
<
4M
R log(N )
falls nur N>1 ist. Hierbei hat man die vorletzte Ungleichung, da
sin(ϕ) =
δ
R
≤
√1
2
nach der Wahl von δ gilt und daher
√ x
1−x2
≤ 1 für alle
reellen x ∈ [0, sin(ϕ)] zutrifft. Aus (4.16) und (4.21) entnimmt man die
Abschätzung
¯
¯R
¯
¯ (F (s + s0 )N s ( 1s +
¯Kl
≤
4M R
δN δ
+
¯
¯
¯
s
)ds¯
R2
¯
(4.22)
4M
R log(N )
Dies mit (4.14) kombiniert ergibt wegen (4.5)
|F (s0 ) + QN (s0 )| ≤
2c
c
2M R
2M
+
+
+
δ
R
N
πδN
πR log(N )
Ist nun ε >0 beliebig vorgegeben, so fixiert man etwa R :=
(4.23)
1
ε
und
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
52
wählt anschließend δ (alleine abhängig von ε ), so dass es alle von ihm
zu Anfang des Beweises verlangten Eigenschaften hat. Wie nach (4.14) festgestellt, hängt dann M lediglich
(4.23)
µ von³ ε ab. ´Wegen
¶ hat man für al1
δ
2M
le ganzen N > N0 (ε) := max 1, 1ε , πδ(ε)
, exp( 2M
die Ungleichung
2
π )
|F (s0 ) − QN (s0 )| < 3cε + ε + ε = (3c + 2)ε, was den Konvergenzsatz beweist.
¥
Ã
Satz 4.2 Die Folge
!
P
log(p)
p
p≤n
− log(n)
konvergiert.
n=1,2,...
Beweis Setzen wir an :=
P
p≤n
log(p)
p ,
dann erhalten wir (wegen Lemma 2.6
auf Seite 24) an = log(n) + O(1), d.h. für jedes ε >0 gilt an = O(nε ).
Wegen Satz 3.2 auf Seite 29 definiert die in σ >1 absolut konvergente
Reihe dort eine holomorphe Funktion f(s). Für diese gilt in >1, wenn
man die Summationsreihenfolge mit Rücksicht auf die vorliegende absolute
Konvergenz vertauscht,
f (s)
∞
P
=
Ã
n=1
=
P
P
p≤n
Ã
log(p)
p
p
!
log(p) −s
p n
P
(4.24)
!
n−s
p≤n
Die letzte innere Summe wird mittels Satz 3.4 auf Seite 30 weiter bearbeitet :
∞
P
n−s
n=p
=
=
1 1−s
s−1 p
+s
p
1
s−1 ( ps −1
´
R∞³
1− u−s−1 du
p
+ g(s))
(4.25)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
53
wobei
1
s(s − 1)
g(s) = s
+
p (1 − ps )
p
Z∞³
´
1− u−s−1 du
(4.26)
p
Für jede Primzahl p ist die Funktion g(s) in der Halbebene σ >0 holomorph;
ferner gilt dort die Abschätzung
|g(s)| =
pσ (1
1
|s|(|s| + 1)
+
σ
−p )
σpσ+1
(4.27)
Nach (4.24), (4.25), (4.26) ist in σ >1
f (s)
Ã
=
1
s−1
p
Ã
=
wobei h(s) =
P
1
s−1
P log(p)
ps −1
P log(p)
p
ps −1
+
!
g(s) log(p)
(4.28)
p
!
+ h(s)
g(s) log(p) eine in σ >
p
P
1
2
holomorphe Funktion ist (wegen
4.27).
Aus Satz 3.4 auf Seite 30 haben wir
logarithmische Differentiation erhalten wir
Q³
1−
p∈P
ζ 0 (s)
ζ(s)
=−
1
ps
´−1
= ζ(s). Durch
P log(p)
p
ps −1
; dies in (4.28)
eingetragen führt zu der in σ >1 gültigen Formel
1
f (s) =
s−1
µ 0
¶
ζ (s)
−
+ h(s)
ζ(s)
(4.29)
deren rechte Seite nach Satz 3.5 auf Seite 33 und wegen der Holomorphie
von h in σ ≥ 1 holomorph ist bis auf einen doppelten Pol an der Stelle
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
54
1. Der Hauptteil der Laurent–Entwicklung von f um 1 ist wegen (4.29)
und Satz 3.5 auf Seite 33 gleich (s − 1)−2 + C(s − 1)−1 mit einer gewissen
reellen Konstanten C. Mit diesem C definiert man die nun jedenfalls in
σ >1 holomorphe Funktion
F (s)
:= f (s) + ζ 0 (s) − Cζ(s)
=
∞
P
n=1
=
∞
P
n=1
(4.30)
(an − log(n) − C)
fn n−s
Dabei ist
f (s)
=
=
an − log(n) − C
P
p≤n
log(p)
p
(4.31)
− log(n) − C
beschränkt (Lemma 2.6 auf Seite 24).
In Lemma 4.1 auf Seite 54 werden wir zeigen, dass (fn ) eine Nullfolge
ist.
Damit ist lim
P
n→∞ p≤n
log(p)
p
− log(n) = C. ¥
Lemma 4.1 Die Folge (fn ) aus Satz 4.2 auf Seite 52 ist eine Nullfolge.
Beweis Aus Satz 4.1 auf Seite 43 folgt, dass
∞
P
n=1
fn n−1 konvergiert.
Wegen dem Cauchyschem Konvergenzkriterium für Reihen (Lemma 2.1 auf
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
55
Seite 21) gibt es zu beliebigem ε ∈]0, 12 [ eine N0 = N0 (ε) > 0, so dass für alle ganzen N mit (1−ε)N > N0 die beiden Ungleichungen < 2 und < 2 gelten.
¯
¯
¯
¯
X
¯
¯
−1 ¯
2
¯
f
n
n
¯
¯<ε
¯N ≤n≤(1+ε)N
¯
(4.32)
¯
¯
¯
¯
X
¯
¯
−1
¯
fn n ¯¯ < ε2
¯
¯(1−ε)N ≤n≤N
¯
(4.33)
und
Daraus folgt
X
fn n−1 < ε2
(4.34)
fn n−1 > −ε2
(4.35)
N ≤n≤(1+ε)N
und
X
(1−ε)N ≤n≤N
Für ganzen n mit N ≤ n ≤ (1 + ε)N gilt wegen (4.31)
fn =
X log(p)
− log(N ) − C
p
(4.36)
p≤N
und
fN =
X log(p)
p≤n
Daraus folgt
p
− log(n) − C
(4.37)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
56
fn − fN
P
=
N <p≤n
P
=
N <p≤n
log(p)
p
− log(n) + log(N )
log(p)
p
+ log( N
n)
(4.38)
≥
log( N
n)
≥
1
log( 1+ε
)
≥
− log(1 + ε)
>
ε
Damit ist fn > fN − ε.
Dies in der Ungleichung (4.34) einsetzen, ergibt
X
(fN − ε)
n−1 < ε2
(4.39)
N ≤n≤(1+ε)N
Das heißt
fN − ε <
ε2
P
N ≤n≤(1+ε)N
Aber
n−1
(4.40)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
P
57
n−1
N ≤n≤(1+ε)N
1
N +1
=
1
N
≥
1
(1+ε)N
+
+
+ ··· +
1
(1+ε)N
1
(1+ε)N
+ ··· +
1
(1+ε)N
(4.41)
=
1+[(1+ε)N ]+N
(1+ε)N
>
(1+ε)N −N
(1+ε)N
=
ε
1+ε
denn (1 + ε)N < [(1 + ε)N ] + 1
Damit ist
X
n−1 >
ε
1+ε
(4.42)
<
1+ε
ε
(4.43)
N ≤n≤(1+ε)N
und daraus
P
1
n−1
N ≤n≤(1+ε)N
(4.43) in (4.40) einsetzen ergibt
fN − ² <
1+ε 2
ε
ε
(4.44)
und daraus fN − ε < (1 + ε)ε < 1, 5ε, weil ε < 12 . Also
fN < ε + 1, 5ε = 2, 5ε, , wenn nur N > N0 gilt.
(4.45)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
58
Andererseits gilt für die ganzen n mit (1 − ε)N ≤ n < N wegen (4.31)
P log(p)
fn =
− log(n) − C
p
p≤n
und fN =
P
p≤N
log(p)
p
− log(N ) − C
Daraus folgt
fn − fN
P
=
n<p≤N
=
−
log(p)
p
P
n<p≤N
− log(n) + log(N )
log(p)
p
+ log( N
n)
(4.46)
≤
log( N
n)
≤
1
log( 1−ε
)
=
− log(1 − ε)
<
2ε weil ε <
1
2
Damit ist fn < fN + 2ε .
Dies
2ε)
in
P
(1−ε)N <n≤N
der
1
n
Ungleichung
(4.35)
eingesetzt,
ergibt
(fN +
> −ε2 . Das heißt
fN + 2ε > −
ε2
P
(1−ε)N <n≤N
Analog zu (4.43) gilt
1
n
(4.47)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
P
(1−ε)N <n≤N
>
N −[(1−ε)N ]
N
≤
N −(1−ε)N
N
59
1
n
(4.48)
= ε
Damit ist
−ε2
P
(1−ε)N <n≤N
1
n
>
P1
und daraus
(1−ε)N <n≤N
−ε2
ε
1
n
= −ε
<
1
ε
Dies in (4.47) eintragen ergibt fN + 2ε > −ε, also
fN > −3 − ε f alls nur N > N0 gilt.
(4.49)
Wegen (4.45) und (4.49) hat man |fN | < 3ε für N > N0 und so ist (fN ) als
Nullfolge erkannt.
¥
Schließlich beweisen wir
Ã
Satz 4.3 Die Konvergenz der Folge
P
p≤n
!
log(p)
p
den Primzahlsatz.
− log(n)
impliziert
n=1,2,...
P log(p)
Beweis Setzt man A(x) :=
für reelles positives x und
p
p≤x
Ã
!
P log(p)
konvergiert
− log(n)
gegen c, so folgt wegen
p
³
log
[x]
x
´
p≤n
¡
= log 1 −
<x>
x
¢
=O
¡1¢
x
n=1,2,...
für x → ∞
µ ¶
1
A(x) − log(x) − c = A([x]) − log([x]) − c + O
= o(1).
x
(4.50)
Daher strebt die Funktion A(x)-log(x) der reellen Variablen x bei x → ∞
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
60
gegen c. Mit einer geeigneten Funktion ε :]0, ∞[→ R, die lim ε(x) = 0
x→∞
erfüllt, erhalten wir
A(x) = log(x) + c + ε(x), für x > 0.
(4.51)
Nach Lemma 2.3 auf Seite 23 über partielle Summation ist dann
π(x)
=
P
p≤x
log(p) p
p log(p)
x
= A(x) log(x)
Rx
2
(4.52)
du
A(u) 1−log(u)
log2 (u)
Mit Hilfe von (4.51) erhalten wir
x
A(x) log(x)
x
= (log(x) + c + ε(x)) log(x)
= x+
und
cx
log(x)
+
x·ε(x)
log(x)
(4.53)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
Rx
2
=
Rx
2
=
A(u) 1−log(u)
du
log2 (u)
(log(u) + c + ε(u)) 1−log(u)
du
log2 (u)
Rx 1−log(u)
log(u)
2
=
Rx
2
=
61
Rx
2
du + c
Rx 1−log(u)
2
2
Rx
log (u)
−
1
log(u) du
− (x − 2) + c
du + c
2
2
Rx 1−log(u)
1
log(u) du
2
log2 (u)
³
Rx
du +
ε(u) 1−log(u)
du
log2 (u)
du +
2
log(2)
Rx
2
−
(4.54)
ε(u) 1−log(u)
du
log2 (u)
x
log(x)
´
+
Rx
2
ε(u) 1−log(u)
du
log2 (u)
Damit ist
Rx
2
=
Rx
2
A(u) 1−log(u)
du
log2 (u)
1
log(u) du
³
− (x − 2) + c
2
log(2)
−
x
log(x)
(4.55)
´
+
Rx
2
du
ε(u) 1−log(u)
log2 (u)
Wegen (4.53) und (4.55) folgt aus (4.52)
π(x)
=
Rx
2
du
log(u)
+2+
2c
log(2)
+
xε(x)
log(x)
+
Rx
2
(4.56)
ε(u) 1−log(u)
du
log2 (u)
Wird nun ε >0 beliebig vorgegeben, so ist |ε(u)| ≤ ε für alle u oberhalb
eines x0 (ε), das o. B. d. A. schon größer als e sein2 möge; Das letzte Integral
in (4.56) ist absolut beschränkt durch
2
e=2,718 281 828 . . . sei die Eulersche Zahl.
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
¯ x
¯
¯Z
¯
¶
µ
¯
¯
x
2
¯ ε(u) 1 − log(u) du¯ + ε
−
¯
¯
log(x) log(2)
log2 (u)
¯
¯
62
(4.57)
2
Aus (4.56) folgt damit
µ
π(x) = li(x) + o
x
log(x)
¶
(4.58)
Außerdem folgt mittels partiellen Integration für x>1
Zx
li(x) − li(2) =
1·
2
1
du
log(u)
(4.59)
(4.60)
=
x
2
−
+
log(x) log(2)
Zx
2
du
log2 (u)
(4.61)
und daraus
li(x)
x
log(x)
µ
= 1 + li(2) −
Nun ist für x ≥ 4
2
log(2)
¶
log(x) log(x)
+
x
x
Zx
2
du
log 2 (u)
(4.62)
Ein ”‘klassischer”’ analytischer Beweis des Primzahlsatzes
0<
Rx
du
log2 (u)
2
√
Rx
=
2
√
Rx
<
2
du
log2 (u)
+
du
log2 (2)
+
√
x−2
log2 (2)
=
+
1
4
√
x
log2 (2)
<
63
Rx
√
du
log2 (u)
x
Rx
du√
log2 ( x)
√
x
(4.63)
√
x− x
log2 (x)
4x
log2 (x)
+
folglich
0<
x
log(x)
Rx
2
du
log2 (u)
(4.64)
<
Damit ist der Grenzwert von
log(x)
√
x log2 (2)
x
log(x)
sich aus (4.62)
lim
x→∞
Rx
2
+
x
log(x)
du
log2 (u)
li(x)
gleich 0 bei x → ∞, so dass
=1
(4.65)
x
log(x)
(4.66)
x
log(x)
ergibt, was zu
li(x) ∼
führt.
Kombiniert man (4.62) und (4.66), so erhält man
π(x) ∼
¥
x
log(x)
(4.67)
Kapitel 5
Eine Idee von Wolke zum
Beweis des Primzahlsatzes
Bei einigen Variante des analytischen Beweis des Primzahlsatzes versucht
¯ 0 ¯
¯ (s) ¯
man u. a., ¯ ζζ(s)
¯ für Re(s) := σ > 1 abzuschätzen, um das Integral über
0
0
(s)
(s)
− ζζ(s)
zu berechnen. Anstelle von ζζ(s)
kann man aber auch die Funktion
√
k
ζ mit ”‘großen”’ k betrachten. Diese Idee geht auf Wolke [88] zurück.
Wir stellen diese Idee kurz vor.
Unser Ziel ist zu zeigen, dass
µ
³
´¶
p
π(x) = li(x) + O x exp −c1 log(x)
(5.1)
gilt, unter der Voraussetzung eines Nullstellenfreien Gebietes:
ζ(σ + it) 6= 0
für
³
σ ≥ max 1 − c2 , 1 −
c3
log(2+|t|)
(siehe Satz 3.6 auf Seite 37).
Dazu setzen wir für hinreichend großes x
65
´
(5.2)
Eine Idee von Wolke zum Beweis des Primzahlsatzes
66
³ p
´
k = exp c4 log(x) ,
(5.3)
wobei c4 > 0 später geeignet festgelegt wird.
Aus Satz 3.7 auf Seite 39 können1 wir für σ > 1
p
k
ζ(s) :
P f (n)
n
ns
definie-
ren, wobei f multiplikativ mit
f (p)
f (pν )
=
1
k
=
1 1
ν! k
¶ µ
¶
1
+ 1 . . . k + (ν − 1)
µ
1
k
¯
¯ ³ ´ω(n)
P
¯
¯
Das heißt, es ist ¯f (n)¯ ≤ k1
, wobei ω(n) =
1 (siehe Satz 3.8 auf
p|n
Seite 41).
Damit erhält man:
π(x) = k
X
f (n) + O
n≤x
³x´
k
.
(5.4)
Aus der Perronschen Umkehrformel (siehe Lemma 5.1 auf Seite 69 am
Ende dieses Kapitels) und mit hinreichend großem T ∈ [2, x] sowie ε =
1
log(x)
erhalten wir
X
n≤x
1
f (n) =
2πi
1+ε+iT
Z
³x
´
p
xs
k
ζ(s) ds + O
log(x) .
s
T
(5.5)
1+ε−iT
Wir setzen
δ=
c3
2 log(2 + T )
(5.6)
und erhalten mit (5.2)
p
1 k
ζ(s) ist die eindeutige analytische Fortsetzung beginnend mit der reellwertigen
p
Funktion k ζ(σ) für σ > 1
Eine Idee von Wolke zum Beweis des Primzahlsatzes
6
67
H2
iT
V1
Wr
1+ε
1
1-δ
r
V2
-iT
H1
Abbildung 5.1: Illustration des Integrationsweges
-
Eine Idee von Wolke zum Beweis des Primzahlsatzes

X
f (n) =
n≤x
1 
2πi
Z
Wr
Z
+

Z

+
H1 +H2
p
k
ζ(s)
68
³x
´
xs
ds + O
log(x) . (5.7)
s
T
V1 +V2
Dabei ist: (siehe Abbildung 5.1 auf Seite 67)
• H1 die Horizontale von 1 + ε − iT nach 1 − δ − iT ,
• H2 die Horizontale von 1 − δ + iT nach 1 + ε + iT
• V1 die Vertikale von 1 − δ − iT nach 1 − δ − i · 0
• V2 die Vertikale von 1 − δ − i · 0 nach 1 − δ + iT
• Wr der folgende Weg: Man laufe horizontal von σ = 1 − δ nach 1-r (r
hinreichend klein), umrunde s=1 auf einem Kreis vom Radius r und
laufe auf den oberen Ufer des Schnittes von 1-r nach 1 − δ.
Wegen der Abschätzung
|ζ(s)| ≤ 1 +
1
|t|
+ 2|t| für σ ≥
1
2
(siehe Satz 3.9 auf Seite 42)
ist der Beitrag dieser Wege zu (5.7) < x1−δ log(x) + Tx .
Auf Wr gilt
X
p
√
k
ζ(s) k s − 1 =
ν≥1
µ 1 ¶³
´ν
k
(s − 1) log(s)
ν
(5.8)
wobei g auf Wr holomorph und durch ein c5 beschränkt ist. Wir berechnen
den Beitrag des konstanten Terms in (5.8). Da das Integral über den Kreis
für r → 0 verschwindet, ergibt sich
J0
=
=
1
2πi
2i
2πi
R
Wr
s
√x
ds
s k s−1
sin πk
Rδ
0
(5.9)
−1
x1−t t k
1−t
dt
Eine Idee von Wolke zum Beweis des Primzahlsatzes
Durch Aufspalten des Integrals bei
1
x
69
1
sieht man, dass der Faktor t k
vernachlässigt werden kann, und man erhält
J0
µ
´¶ Rδ 1−t
³
log(x)
x
1
= k 1+O T
1−t dt
0
µ
´¶ Rx
³
1
= k1 1 + O log(x)
T
log(t) dt
x1−δ
³
´
li(x)
x
x1−δ
=
+
O
+
k
k
k2
(5.10)
Analog überzeugt man sich, dass der Beitrag der übrigen Terme in (5.8) im
³
´
1−δ
obigen Fehlerglied O kx2 + x k
aufgeht.
Zusammenfassend erhalten wir
π(x) = li(x) + O
³x
k
+ x1−δ k log(x) +
´
x
k log(x)
T
(5.11)
Setzen wir schließlich T + 2 = k c6 mit hinreichend großem c6 > 0, so
lässt
Wahl von c4 und c6 der Fehler in (5.11) durch
µ sich³ bei richtiger
´¶
p
mit c1 = c1 (c3 ) > 0 abschätzen. Damit haben
O x exp −c1 log(x)
wir (5.1) aus (5.2) hergeleitet, was zu zeigen war. ¥
Lemma 5.1 [ Perronschen Umkehrformel] Sei f (s) =
P
n
an n−s . Die
Reihe sei für σ > 1 absolut konvergent und |an | < cΦ(n) mit c>0 und für
große x monoton wachsendem positivem Φ(x).
X
|an |n−σ = (σ − 1)α , α > 0 für σ → 1 + 0
(5.12)
n
Sei weiter w=u+iv beliebig, b>0, u+b>1, T>0. Für nicht ganzes x>1 gilt
P
n
an
n−w
=
³
+O
1
2πi
b+iT
R
f (w +
b−iT
Φ(2x)x1−u log(2x)
T
s
s) xs ds
´
³
+O
³
+O
Φ(2x)x1−u
T |x−N |
wobei N die an x nächstgelegene natürliche Zahl ist.
Beweis [51, Seite 376, Satz 3.1 Anhang] ¥
xb
T (u+b−1)α
´
´
(5.13)
Kapitel 6
Ein Beweis des
Primzahlsatzes nach
Newman
In [44] gab Newman zwei kürzere Beweise für den Primzahlsatz. Der eine
Beweis [44, Second Proof of the Prime Number Theorem] entspricht (im
wesentlich) unserem Beweis aus Kapitel 4, wobei unser Beweis ausführlicher war. Der andere Beweis ist ziemlich kurz. Dafür ist der gewonnene Satz
”‘nur”’ von der Form π(x) ∼
x
log(x)
, also ohne Restglied. Bei diesem Beweis
geht Newman von der elementaren Äquivalenz1 zwischen dem Primzahl∞
P
µ(n)
satz und der Konvergenz von
n aus. Wir brauchen also nur noch die
Konvergenz von
∞
P
n=1
n=1
µ(n)
n
zu zeigen.
Lemma 6.1 In der Halbebene σ ≥ 1 gilt
n=1
Möbius–Funktion ist.
1
∞
P
Im Jahre 1899 entdeckte Landau, dass
P
µ(n)
n
µ(n)
ns
=
1
ζ(s)
, wobei µ die
mittels elementarer Methoden aus
dem Primzahlsatz ableitbar ist. 1911 zeigte Landau ergänzend, dass auch umgekehrt der
P µ(n)
Primzahlsatz aus
mit elementaren Methoden folgt. (vgl. [9, Seite 315]).
n
71
Ein Beweis des Primzahlsatzes nach Newman
72
Beweis Die Möbius–Funktion µ : N → {−1, 0, 1} ist


1,





 (−1)k ,
µ(n) :=






 0,
falls n=1,
falls n Produkt von
(6.1)
k verschiedenen Primzahlen ist,
falls p2 |n mit p prim
Daraus folgt
¯
∞ ¯
P
¯ µ(n) ¯
¯ ns ¯
n=1 ¯ ¯
∞
P
¯1¯
≤
¯ ns ¯
(6.2)
n=1
< ∞ für Re(s) > 1.
Aus Lemma 2.2 auf Seite 23 (angewandt auf die multiplikative zahlentheoretische Funktion f (n) =
µ(n)
ns )
folgt
∞
P
=
Da
µ(n)
ns
n=1
∞
Q P µ(pr )
prs
p r=0
∞
X
µ(pr )
(6.3)
für Re(s) > 1.
= 1 − p−s ,
(6.4)
µ(pr ) = 0 für r > 1,
(6.5)
r=0
prs
weil
gilt
∞
QP
p r=0
=
Q
µ(pr )
prs
(1 − p−s ) für Re(s) > 1.
p
Aus (6.3) und (6.6) erhalten wir
(6.6)
∞
X
µ(n)
n=1
ns
=
Y
(1 − p−s ) für Re(s) > 1.
(6.7)
p
Das heißt
∞
X
µ(n)
n=1
Die Funktion
ns
=
1
für Re(s) > 1.
ζ(s)
(6.8)
1
ζ(s)
ist nach Satz 3.5 auf Seite 33 in Re(s) = σ ≥ 1
∞
P
µ(n)
holomoph; nach Satz 4.1 auf Seite 43 konvergiert also
ns in σ ≥ 1
gegen
1
ζ(s)
n=1
.¥
Korollar
∞
P
n=1
µ(n)
n
= 0.
Kapitel 7
Numerische Berechnung von
π(x)
Die praktische Bestimmung von π(x) für größere x ist nur mühsam zu
bekommen. Die Mináčsche Formel
π(x) =
n ·
X
(j − 1)! + 1
j=2
j
·
(j − 1)!
−
j
¸¸
, n∈N
(7.1)
ist zwar (fast) offensichtlich1 , aber (leider) praktisch wertlos, denn sie ist
nur für nicht allzu große Zahlen nützlich, für sehr große Zahlen ist sie
weniger (bzw. überhaupt nicht) geeignet. In diesem Kapitel stellen wir
einige praktikable Rechenverfahren vor, um π(x) für große x zu berechnen.
Die meisten dieser Verfahren basieren auf dem Sieb2 des Eratosthenes.
Es beruht auf der Tatsache, dass eine natürliche zahl n>1, die keinen
√
√
Primteiler p ≤ n besitzt, prim ist; ist nämlich n = d1 d2 , so ist d1 ≤ n
√
oder d2 ≤ n. Das Sieb des Eratosthenes arbeitet folgendermaßen: Man
1
Die Minácsche Formel kann mit Hilfe von Wilson–Satz leicht bewiesen werden (einen
ausführlichen Beweis findet man in [57, Seite 181]).
2
Das bekannte Sieb des Eratosthenes wurde durch die Introductio Arithmetica des
Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) überliefert.
74
Numerische Berechnung von π(x)
75
schreibt alle Zahlen zwischen 2 und x auf, streiche die Vielfache der ersten
Primzahl 2, außer 2, dann die Vielfachen der nächsten (nicht gestrichenen)
√
Primzahl (diese ist 3) außer dieser, usw. bis zur größten Primzahl ≤ x.
Die übrigbleibenden Zahlen sind genau die Primzahlen, die kleiner als x
sind. Man erhält somit bei einem Speicherbedarf von x Zellen und einem
Rechenaufwand von
X x
= x log(log(x)) + O(x)
√ p
(7.2)
p≤ n
Rechenschritten alle Primzahlen bis x. Man vgl. auch die von P. Pritchard
[52, 53] stammenden Verbesserungen dieser Methode.
7.1
Legendre–Methode
Nach dem Sieb des Eratosthenes sind die [x] Zahlen aus [1, x] genau die
folgenden Zahlen:
• Die Zahl 1, das ist eine Zahl.
• Die Primzahlen p≤
√
√
x, das sind π( x) Primzahlen.
√
• Die Vielfachen dieser ersten π( x) Primzahlen, außer dieser. Das
sind nach dem Legendreschen Inklusions–Exklusions–Prinzip genau
Numerische Berechnung von π(x)
76
µ
P h
√
pα ≤ x
−
+
x
pα
i
(7.3)
h
P
x
√ pα pβ
pα <pβ ≤ x
(7.5)
h
P
(7.4)
i
x
√ pα pβ pλ
pα <pβ <pλ ≤ x
i
(7.7)
(7.8)
¶
√
− π( x)
±...
(7.9)
zusammengesetzte Zahlen mit mindestens einem Primteiler p≤
• Die Primzahlen>
(7.6)
√
x
√
√
x, das sind genau π(x) − π( x) Zahlen.
Daraus erhalten wir
µ
P hxi
√
[x] = 1 + π( x) +
√ pα
pα ≤ x
h
i
P
x
−
√ pα pβ
pα <pβ ≤ x
+
P
h
√
pα <pβ <pλ ≤ x
¶
±...
x
pα pβ pλ
i
(7.10)
√
√
− π( x) + π(x) − π( x)
Aus (7.10) folgt unmittelbar die Legendre–Formel
µ
P hxi
√
π(x) = π( x) − 1 + [x] −
√ pα
pα ≤ x
h
i
P
x
+
√ pα pβ
pα <pβ ≤ x
−
P
√
pα <pβ <pλ ≤ x
¶
∓...
h
x
pα pβ pλ
i
(7.11)
Numerische Berechnung von π(x)
77
Wir benutzen nun Formal (7.11), um π(100) zu bestimmen:
π(100)
=
−
+
+
−
π(10) − 1 + 100
µh i h i h i h i¶
100
+ 100
+ 100
+ 100
2
3
5
7
µh i h i h i
100
100
100
2·3 + 2·5 + 2·7
h i h i h i¶
100
100
100
3·5 + 3·7 + 5·7
µh
i h
i h
i
100
100
100
+
+
2·3·5
2·3·7
2·5·7
h
i¶
+
h
+
=
100
3·5·7
100
2·3·5·7
i
4 − 1 + 100 − (50 + 33 + 20 + 14)
+(16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2) − (3 + 2 + 1 + 0) + 0
=
4 − 1 + 100 − 117 + 45 − 6 + 0
=
25.
Legendre [35] gab 78 526 als Wert von π(106 ) an. Allerdings ist der richtige Wert 78 498. Zu Legendres Verteidigung erwähnen wir aber, dass zu
seiner Zeit die umfangreichste Primzahltafel 78 492 Primzahlen gehabt hat
[60, Seite 11]. Um mit der Formel (7.11) etwa π(x) für x > 108 zu berech4)
nen, müßte man mehr als 2π(10
= 21229 > 10369 Summanden in der Summe
Numerische Berechnung von π(x)
78
√
φ(x, π( x))
µ
P hxi
:=
[x] −
√ pα
pα ≤ x
P h x i
+
√ pα pβ
pα <pβ ≤ x
−
P
h
√
pα <pβ <pλ ≤ x
¶
x
pα pβ pλ
(7.12)
i
∓...
auf der rechten Seite von (7.11) berücksichtigen - der Rechenaufwand hierfür
wäre auch auf schnellsten Maschinen nicht zu bewältigen. Die Schwachstelle
der Formel (7.11) ist offensichtlich die enorm große Anzahl der Summanden
√
der Summe φ(x, π( x)) auf die rechte Seite. Lässt sich diese Summe anders
schreiben und effizient berechnen? Als nächstens stellen wir Verfahren vor,
die versuchen, diese Schwachstelle zu verbessern.
7.2
Meissel–Methode
Der Astronom Meissel [42, 43] konnte auf der Grundlage des Siebes des
Eratosthenes ein praktikables Rechenverfahren ausarbeiten, um π(x) für
große x zu berechnen. Meissel gab 1871 den Wert π(108 ) und 1885 [43]
den Wert für π(109 ). Allerdings war der Wert von π(109 ) fehlerhaft, genauer gesagt um 56 niedriger als der richtige Wert 50 847 534. Diese Fehler
blieb langer3 Zeit (über 70 Jahren) in der Literatur unbemerkt, erst 1958
konnte Lehmer [37] den Fehler entdecken und korrigieren. Wir behandeln
nun die Meissel–Methode. Meissel hat die Legendre–Formel (7.11) so
modifiziert, dass er effizient π(x) für größere x berechnen konnte. Meissel
betrachtete die ersten a Primzahlen (die Zahl a wird später geeignet festge3
In [60, Seite 11] ist dieser Fehler folgendermaßen beschrieben : ”. . . this is probably
the most often quoted faulty value in the literature on primes.”
Numerische Berechnung von π(x)
79
legt) und nutzte die Tatsache aus, dass die [x] natürlichen Zahlen in [1, x]
genau die folgenden sind:
• Die Zahl 1, das ist eine Zahl.
• Die ersten a Primzahlen, p1 = 2, p2 = 3,. . . ,pa .
• Die
µ
P h
pα ≤pa
−
x
pα
P
pα <pβ ≤pa
+
i
h
x
pα pβ
P
pα <pβ <pλ ≤pa
¶
±··· − a
h
i
x
pα pβ pλ
i
(7.13)
zusammengesetzten Zahlen mit mindestens einem Primteiler ≤ pa .
• Die P1 (x, a) = (π(x) − a) Primzahlen p mit pa < p ≤ x.
• Die P2 (x, a) Zahlen n = pα pβ ≤ x mit a + 1 ≤ α ≤ β.
• Die P3 (x, a) Zahlen n = pα pβ pλ ≤ x mit a + 1 ≤ α ≤ β ≤ λ.
• ...
• ...
• Pk (x, a) Zahlen ≤ x, deren Primfaktorzerlegung genau aus k Primzahlen (nicht notwendigerweise verschieden) p ≥ pa+1 besteht.
• ...
• ...
Numerische Berechnung von π(x)
80
Daraus folgt
µ
P h
1+a+
1≤α≤a
h
P
−
1≤α<β≤a
x
pα pβ
P
+
h
1≤α<β<λ≤a
¶
i
x
pα
i
x
pα pβ pλ
(7.14)
i
± · · · − a + π(x) − a + P2 (x, a) + P3 (x, a) + · · · = [x]
Das heißt
µ
P h
π(x) = [x] −
1≤α≤a
P
−
h
1≤α<β≤a
x
pα pβ
P
+
1≤α<β<λ≤a
¶
±...
x
pα
h
i
i
x
pα pβ pλ
i
(7.15)
³
´
+ a − 1 − P2 (x, a) + P3 (x, a) + . . .
Um P1 (x, a), P2 (x, a), P3 (x, a), . . . besser verstehen zu können, geben wir
ein numerisches Beispiel an. Mit a=2 sind die 900 Zahlen in [1, 900] genau
die Zahlen:
• Die Zahl 1, das ist eine Zahl.
• Die ersten a=2 Primzahlen, p1 =2, p2 =3. Das sind 2 Zahlen.
µ
¶
900
900
• Die
− 900
2 + 3
2·3 = (450 + 300) − 150 = 600 zusammengesetzten
Zahlen mit mindestens einem Primteiler pα , wobei α ≤ a.
• Die P1 (900, 2) = (π(900) − 2) Primzahlen p mit 3 900; von dieser Gestalt
³ ´
−2 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl
gibt es genau π 900
5
5 mit einer Primzahl p ≥ 5 multipliziert, bis 900 überschritten ist.
(Die 2 ersten Primzahlen 2, 3 werden nicht mit 5 multipliziert.)
? 7·7=49; . . . ; 7·127=889; 7 · 131 = 917 > 900; von dieser Gestalt
³ ´
gibt es genau π 900
−3 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl
7
7 mit einer Primzahl p ≥ 7 multipliziert, bis 900 überschritten ist.
(Die 3 ersten Primzahlen 2, 3, 5 werden nicht mit 7 multipliziert.)
? 11·11=121; . . . ; 11·79=869; 11 · 83 = 913 > 900; von dieser Ge³ ´
− 4 Zahlen, denn jedes Mal wird die
stalt gibt es genau π 900
11
Primzahl 11 mit einer Primzahl p ≥ 11 multipliziert, bis 900 überschritten ist. (Die 4 ersten Primzahlen 2, 3, 5, 7 werden nicht mit
11 multipliziert.)
? 13·13=169; . . . ; 13·67=871; 13 · 71 = 923 > 900; von dieser Ge³ ´
stalt gibt es genau π 900
− 5 Zahlen, denn jedes Mal wird die
13
Primzahl 13 mit einer Primzahl p ≥ 13 multipliziert, bis 900
überschritten ist. (Die 5 ersten Primzahlen werden nicht mit 13
multipliziert.)
? 17·17=289; . . . ; 17·47=799; 17 · 53 = 901 > 900; von dieser Ge³ ´
stalt gibt es genau π 900
− 6 Zahlen, denn jedes Mal wird die
17
Primzahl 17 mit einer Primzahl p ≥ 17 multipliziert, bis 900
überschritten ist. (Die 6 ersten Primzahlen werden nicht mit 17
multipliziert.)
? 19·19=361; . . . ; 19·47=893; 19 · 53 = 1007 > 900; von dieser Ge³ ´
stalt gibt es genau π 900
− 7 Zahlen, denn jedes Mal wird die
19
Primzahl 19 mit einer Primzahl p ≥ 19 multipliziert, bis 900
überschritten ist. (Die 7 ersten Primzahlen werden nicht mit 19
multipliziert.)
Numerische Berechnung von π(x)
82
? 23·23=529; . . . ; 23·37=851; 23 · 41 = 943 > 900; von dieser Ge³ ´
− 8 Zahlen, denn jedes Mal wird die
stalt gibt es genau π 900
23
Primzahl 23 mit einer Primzahl p ≥ 23 multipliziert, bis 900
überschritten ist. (Die 8 ersten Primzahlen werden nicht mit 23
multipliziert.)
? 29·29=841; 29·31=899; 29 · 37 = 1073 > 900; von dieser Gestalt
³ ´
gibt es genau π 900
29 −9 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl
29 mit einer Primzahl p ≥ 29 multipliziert, bis 900 überschritten
ist. (Die 9 ersten Primzahlen werden nicht mit 29 multipliziert.)
³ ´
−
? 31 · 31 = 961 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau π 900
31
10 = 0 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 31 mit einer
Primzahl p ≥ 31 multipliziert, bis 900 überschritten ist. (Die 10
ersten Primzahlen werden nicht mit 31 multipliziert.)
Das heißt P2 (900, 2) =
10
P
j=3
µ ³ ´
¶
900
π pj − (j − 1) .
• P3 (900, 2) Zahlen n = pα pβ pλ ≤ 900 mit 3 ≤ α ≤ β ≤ λ. Das sind
genau die Zahlen folgender Gestalten:
? 5·5·5=125; . . . ; 5·5·31=775; 5 · 5 · 37 = 925 > 900; 5·7·7=245;
...;
5·7·23=805;
. . . 5·11·13=715;
5 · 7 · 29 = 1015 > 900;
5·11·11=605;
5 · 11 · 17 = 935 > 900;
5.13.13=845;
³
´
5.13.17 = 1105 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau P2 900
,
2
5
Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 5 mit zwei Primzahlen
pα , pβ ≥ 5 multipliziert, bis 900 überschritten ist.
? 7·7·7=343; . . . ; 7·7·17=833; 7 · 7 · 19 = 931 > 900; 7·11·11=847;
7 · 11 · 13 = 1001 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau
³
´
P2 900
,
3
Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 7 mit zwei
7
Primzahlen pα , pβ ≥ 7 multipliziert, bis 900 überschritten ist.
? 11 · 11 · 11 = 1331 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau
Numerische Berechnung von π(x)
³
P2
83
´
900
11 , 4
= 0 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 11 mit
zwei Primzahlen pα , pβ ≥ 11 multipliziert, bis 900 überschritten
ist.
Das heißt P3 (900, 2) =
5
P
j=3
³
P2
900
pj , j
´
−1 .
• P4 (900, 2) Zahlen n = pα pβ pλ pγ ≤ 900 mit 3 ≤ α ≤ β ≤ λ ≤ γ. Das
sind genau die Zahlen folgender Gestalten:
? 5·5·5·5=625;
5·5·5·7=875;
5 · 5 · 5 · 11 = 1375 > 900;
5 · 5 · 7 · 7 = 1225 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau
³
´
P3 900
,
2
Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 5 mit drei
5
Primzahlen pα , pβ , pλ ≥ 5 multipliziert, bis 900 überschritten ist.
? 7 · 7 · 7 · 7 = 2401 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau
³
´
P3 900
,
3
= 0 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 7 mit
7
drei Primzahlen pα , pβ , pλ ≥ 7 multipliziert, bis 900 überschritten
ist.
Das heißt P4 (900, 2) =
4
P
j=3
³
P3
900
pj , j
´
−1 .
• P5 (900, 2) Zahlen n = pα pβ pλ pγ pδ ≤ 900 mit 3 ≤ α ≤ β ≤ λ ≤ γ ≤ δ.
Das sind genau die Zahlen folgender Gestalten:
? 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 2525 > 900; von dieser Gestalt gibt es genau
³
´
P4 900
,
2
= 0 Zahlen, denn jedes Mal wird die Primzahl 5
5
mit vier Primzahlen pα , pβ , pλ , pδ ≥ 5 multipliziert, bis 900 überschritten ist.
Das heißt P5 (900, 2) = 0 Damit ist P5 (900, 2) = P6 (900, 2) = · · · = 0 .
Es stellen sich zwei Fragen:
Numerische Berechnung von π(x)
84
1. Wieviel Terme der Form P2 (x, a), P2 (x, a),. . . werden in (7.15) vorkommen?
2. Wie lässt sich Pk (x, a) im allgemeinen berechnen?
Zur zweiten Frage werden wir sehen, dass wir nur die Fälle k=2, 3
brauchen werden. Die Berechnung von P2 (x, a) und P3 (x, a) werden wir
an den entsprechenden Stellen erklären. Die Anzahl der Terme der Form
P2 (x, a), P2 (x, a),. . . , die in (7.15) vorkommen, hängt offensichtlich von a
1
ab. Falls wir a so wählen, dass pa ≤ x 2 < pa+1 , dann wird P2 (x, a) = 0
1
1
sein, denn pα pβ ≥ pa+1 pa+1 > x 2 x 2 = x für alle α, β ≥ a + 1. In diesem
Falle erhalten wir
µ
P hxi
π(x) = a − 1 + [x] −
pα
1≤α≤a
h
i
P
x
+
pα pβ
1≤α<β≤a
h
i
P
x
−
pα pβ pλ
1≤α<β<λ≤a
¶
√
1
± . . . , mit x ≤ pa+1 ≤ x; d.h. a = π(x 2 )
(7.16)
also die Legendre–Formel (7.11) wieder. Im allgemeinen wählen wir a, so
1
dass pa ≤ x r < pa+1 , dann wird Pt (x, a) = 0 für alle t ≥ r gelten. Es bietet
1
sich also an, a := π(x r ) zu setzen. Meissel hat r=3 gewählt. Damit ist
1
a := π(x 3 ) und aus (7.15) erhalten wir
µ
P hxi
π(x) =
[x] −
pα
1≤α≤a
P h x i
+
pα pβ
1≤α<β≤a
h
i
P
x
−
pα pβ pλ
1≤α<β<λ≤a
¶
1
± . . . + a − 1 − P2 (x, a), wobei a = π(x 3 )
Wir berechnen nun P2 (x, a):
(7.17)
Numerische Berechnung von π(x)
85
½
¾
P2 (x, a) := # pα pβ |α, β ≥ a + 1 und pα pβ ≤ x
1
1
1
Aus pα pβ ≤ x folgt pα ≤ x 2 oder pβ ≤ x 2 , das heißt α ≤ π(x 2 ) oder
1
β ≤ π(x 2 ). Damit ist
½
¾
pα pβ |α, β ≥ a + 1 und pα pβ ≤ x
=
½
¾
pa+1 pβ |β ≥ a + 1 und pa+1 pβ ≤ x
¯
∪
½
¾
pa+2 pβ |β ≥ a + 2 und pa+2 pβ ≤ x
(7.18)
¯
∪
...
¯
∪
¯
∪
¾
½
1
pb pβ |β ≥ b; pb pβ ≤ x und b = π(x 2 )
Das heißt
½
¾
pα pβ |α, β ≥ a + 1 und pα pβ ≤ x
=
½
¾½
pa+1
pβ |β ≥ a + 1 und pβ ≤
¯
∪
½
¾½
pa+2
pβ |β ≥ a + 2 und pβ ≤
¾
x
pa+1
¾
x
pa+2
¯
∪
...
¯
∪
¯
∪
½ ¾½
pb
pβ |β ≥ b; pβ ≤
x
pb
¾
1
und b = π(x 2 )
(7.19)
Numerische Berechnung von π(x)
86
Daraus erhalten wir :
½
¾
# pα pβ |α, β ≥ a + 1 und pα pβ ≤ x
=
½
# pβ |β ≥ a + 1 und pβ ≤
+
½
# pβ |β ≥ a + 2 und pβ ≤
¾
x
pa+1
¾
(7.20)
x
pa+2
+
...
+
+
½
# pβ |β ≥ b; pβ ≤
x
pb
¾
und b = π(x )
1
2
Damit ist
=
+
P2 (x, a)
³
´
x
π pa+1
−a
³
´
x
π pa+2
− (a + 1)
+
...
(7.21)
+
+
=
³ ´
π
1
x
pb
− (b − 1) wobei b = π(x 2 )
µ
µ ¶
¶
b
P
1
x
π pj − (j − 1) wobei b = π(x 2 )
j=a+1
=
− (b−a)(b+a−1)
+
2
b
P
j=a+1
³ ´
π
x
pj
1
wobei b = π(x 2 )
Daraus folgt
µ ¶
b
X
1
(b − a)(b + a − 1)
x
P2 (x, a) = −
+
π
wobei b = π(x 2 )
2
pj
j=a+1
(7.22)
Numerische Berechnung von π(x)
87
µ µ ¶
¶
b
X
1
x
P2 (x, a) =
π
− (j − 1) wobei b = π(x 2 )
pj
(7.23)
j=a+1
Sei außerdem
φ(x, a)
µ
P hxi
:=
[x] −
pα
1≤α≤a
h
i
P
x
+
pα pβ
1≤α<β≤a
h
i
P
x
−
pα pβ pλ
1≤α<β<λ≤a
¶
∓...
(7.24)
φ(x, a) ist also die Anzahl aller Zahlen ≤ x, die weder durch p1 , noch durch
p2 , . . . , noch durch pa teilbar sind.
Wegen (7.22) und (7.24) lässt sich aus (7.17) die Meissel–Formel
herleiten
π(x)
= φ(x, a) + a − 1 +
= φ(x, a) +
(b−a)(b+a−1)
2
(b+a−2)(b−a+1)
2
b
P
+
b
P
+
j=a+1
j=a+1
³ ´
π
³ ´
π
x
pj
x
pj
1
wobei a = π(x 3 )
1
wobei a = π(x 3 )
(7.25)
Aus der Formal (7.25) lässt sich die erhoffte Verbesserung gegenüber (7.11)
³ ´
b
P
leicht erkennen: Die Summe
π pxj enthält ”‘nur noch”’ b − a =
j=a+1
1
2
1
3
π(x ) − π(x ) Terme. Außerdem hat φ(x, a) aus (7.25) viel weniger Ter1
me als φ(x, π(x 2 )) aus (7.11) und lässt sich effizient berechnen: Als nächstes
stellen wir eine Methode vor, wie man φ(x, a) ”‘effizient”’ berechnen kann.
Numerische Berechnung von π(x)
88
½
¾
Die Zahlen ≤ x, die durch keine Primzahl aus p1 , p2 , . . . , pa teilbar
die Zahlen ≤ x, die durch keine Primzahl aus
½ sind, sind genau
¾
p1 , p2 , . . . , pa−1 teilbar sind, mit Ausnahme alle denjenigen Zahlen ≤ x,
die nicht durch pa teilbar sind. Aus (7.24) kann man also die Rekursionsgleichung:
µ
φ(x, a) = φ(x, a − 1) − φ
x
,a − 1
pa
¶
(7.26)
erhalten. Durch wiederholte Anwendung von (7.26) erreichen wir irgendwann φ(x, 1), das ist genau die Anzahl alle ungeraden Zahlen ≤ x, denn
p1 = 2. Es geht aber noch effizienter. Dazu betrachten wir die ersten k
Primzahlen p1 , p2 , . . . , pk und pk $ := p1 p2 . . . pk . Aus (7.24) folgt
Numerische Berechnung von π(x)
89
φ(pk $, k)
µ
P h pk $ i
:=
[pk $] −
pα
1≤α≤k
h
i
P
pk $
+
pα pβ
1≤α<β≤k
h
i
P
pk $
−
pα pβ pλ
1≤α<β<λ≤k
¶
∓...
µ
P h1i
= pk $ 1 −
pα
pα ≤k
h
i
P
1
+
pα pβ
pα <pβ ≤k
i
h
P
1
−
pα pβ pλ
pα <pβ <pλ ≤k
¶
∓...
¶µ
¶ µ
µ
1
1
1 − p2 . . . 1 −
= pk $ 1 − p1
=
k
Q
(7.27)
¶
1
pa
(pj − 1)
j=1
=
ϕ(pk $)
wobei ϕ die Eulersche Phifunktion ist.
Also ist
φ(pk $, k) = ϕ(pk $) =
k
Y
(pj − 1)
j=1
Für s ≥ 0 und 0 ≤ t < pk $ gilt
(7.28)
Numerische Berechnung von π(x)
90
φ(s · pk $ + t, k)
µ
P h s·pk $+t i
:=
[s · pk $ + t] −
pα
1≤α≤k
h
i
P
pk $
+
pα pβ
1≤α≤β≤k
h
i
P
pk $
−
pα pβ pλ
1≤α≤pβ ≤pλ ≤k
¶
∓...
µ
P h pk $ i
= s · [pk $] −
pα
1≤α≤k
h
i
P
s·pk $+t
+
pα pβ
1≤α≤β≤k
h
i
P
s·pk $+t
−
pα pβ pλ
1≤α≤pβ ≤pλ ≤k
¶
∓...
µ
P h t i
+
[t] −
pα
1≤α≤k
P h t i
+
pα pβ
1≤α≤β≤k
i
h
P
t
−
pα pβ pλ
1≤α≤pβ ≤pλ ≤k
¶
∓...
=
(7.29)
s · ϕ(pk $) + φ(t, k)
Das heißt
φ(s · pk $ + t, k) = s · ϕ(pk $) + φ(t, k) mit s ≥ 0 und 0 ≤ t < pk $
(7.30)
Analog und aus Symmetrie Gründen gilt
φ(t, k) = ϕ(pk $) − φ(pk $ − t − 1, k) mit
pk $
< t ≤ pk $
2
(7.31)
Numerische Berechnung von π(x)
91
Wegen (7.16) gilt außerdem
1
φ(x, a) = π(x) − a + 1 mit x 2 < pa+1 < x
(7.32)
Mit Hilfe der (7.26) sowie (7.28), (7.30), (7.31) und (7.32) lässt sich nun
φ(x, a) berechnen. Dies werden wir im folgenden Beispiel erläutern.
Mit Hilfe der Meissel–Formel (7.25) berechnen wir nun π(10000).
π(10000)
= φ(10000, 8) +
³
´
25
P
+
π 10000
pj
31·18
2
(7.33)
j=9
1
1
wobei a = π(10000 3 ) = 8 und b = π(10000 2 ) = 25
Zunächst berechnen wir φ(10000, 8)
¢
,
7
= φ(10000, 7) − φ(526, 7)
19
¡ 10000 ¢
φ(10000, 7) = φ(10000, 6) − φ 17 , 6 = φ(10000, 6) − φ(588, 6)
¡
¢
φ(10000, 6) = φ(10000, 5) − φ 10000
= φ(10000, 5) − φ(769, 5)
13 , 5
φ(10000, 8) = φ(10000, 7) − φ
¡ 10000
wegen (7.26)
wegen (7.26)
wegen (7.26)
Numerische Berechnung von π(x)
φ(10000, 5)
= φ(10000, 4) − φ
¡ 10000
11
¢
,4
wegen (7.26)
= φ(10000, 4) − φ(909, 4)
= φ(47 · 210 + 130, 4) − φ(4 · 210 + 69, 4)
beachte p1 · p2 · p3 · p4 = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
= 47 · ϕ(210) + φ(130, 4) − (4 · ϕ(210) + φ(69, 4))
wegen (7.30)
= 47 · 48 + φ(130, 4) − (4 · 48 + φ(69, 4))
denn ϕ(210) = 1 · 2 · 4 · 6 = 48
= 47 · 48 + φ(130, 4) − (4 · 48 + π(69) − 4 + 1)
wegen (7.32)
= 47 · 48 + φ(130, 4) − (4 · 48 + 19 − 4 + 1)
denn π(69) = 19
= 47 · 48 + φ(130, 4) − 208
= 47 · 48 + φ(130, 3) − φ(18, 3) − 208
wegen (7.26)
= 47 · 48 + φ(4 · 30 + 10, 3) − φ(18, 3) − 208
beachte p1 · p2 · p3 = 2 · 3 · 5 = 30
= 47 · 48 + 4 · ϕ(30) + (10, 3) − φ(18, 3) − 208
wegen (7.28)
= 47 · 48 + 4 · 8 + φ(10, 3) − φ(18, 3) − 208
denn ϕ(30) = 1 · 2 · 4 = 8
= 47 · 48 + 4 · 8 + π(10) − 3 + 1 − (π(18) − 3 + 1) − 208
wegen (7.32)
= 47 · 48 + 4 · 8 + 4 − 3 + 1 − (7 − 3 + 1) − 208
denn π(10) = 4 und π(18) = 7
= 2077.
92
Numerische Berechnung von π(x)
93
Analog erhalten wir
φ(526, 7)
= φ(526, 6) − φ
¡ 526
17
¢
,6
= φ(526, 6) − φ(30, 6)
¡
¢
= φ(526, 5) − φ 526
13 , 5 − 5
¡
¢
= φ(526, 4) − φ 526
11 , 4 − φ(40, 5) − 5
= φ(2 · 210 + 106, 4) − φ(47, 4) − 8 − 5
= 2 · 48 + φ(106, 4) − 12 − 13
= 95.
φ(588, 6)
¢
,
5
13
¡ 588 ¢
= φ(588, 4) − φ 13 , 5 − φ(45, 5)
= φ(588, 5) − φ
¡ 588
= φ(2 · 210 + 168, 4) − φ(53, 4) − 10
= 2 · 48 + (168, 4) − 13 − 10
= 111.
φ(769, 5)
= φ(769, 4) − φ
¡ 769
11
¢
,4
= φ(3 · 210 + 139, 4) − φ(69, 4)
= 3 · 48 + φ(139, 4) − 16
= 160.
Daraus folgt
φ(10000, 8) = 2077 − 95 − 111 − 160 = 1711.
(7.34)
Numerische Berechnung von π(x)
94
Ferner gilt
25
P
³
π
j=9
= π
10000
pj
¡ 10000 ¢
23
´
+π
¡ 10000 ¢
29
+ ··· + π
¡ 10000 ¢
97
(7.35)
= π(434) + π(344) + π(322) + · · · + π(103)
= 84 + 68 + 66 + · · · + 27
= 761.
(7.35) und (7.34) in (7.33) eingesetzt, ergibt π(10000) = 1711+9·31−761 =
1229.
7.3
Lehmer–Methode
1
Wählen wir in (7.14) a=π(x 4 ) und berücksichtigen (7.24), dann erhalten wir
1
π(x) = φ(x, a) + a − 1 − (P2 (x, a) + P3 (x, a)) , wobei a = π(x 4 ).
(7.36)
Analog zur Gleichung (7.22) erhält man
P2 (x, a)
= − (b−a)(b+a−1)
2
³ ´
b
P
+
π pxj
(7.37)
j=a+1
1
1
, wobei b = π(x 2 ) und a = π(x 4 ).
Wir berechnen nun P3 (x, a):
½
¾
P3 (x, a) := # pα pβ pλ |α, β, λ ≥ a + 1 und pα pβ pλ ≤ x
1
1
1
Aus pα pβ pλ ≤ x folgt pα ≤ x 3 oder pβ ≤ x 3 oder pλ ≤ x 3 , das heißt
1
1
1
α ≤ π(x 3 ) oder β ≤ π(x 3 ) oder λ ≤ π(x 3 ). Damit ist
Numerische Berechnung von π(x)
95
½
¾
pα pβ pλ |α, β, λ ≥ a + 1 und pα pβ pλ ≤ x
=
½
¾
pa+1 pβ |β ≥ a + 1 und pa+1 pβ ≤ x
¯
∪
½
¾
pa+2 pβ pλ |β, λ ≥ a + 2 und pa+2 pβ pλ ≤ x
(7.38)
¯
∪
...
¯
∪
¯
∪
½
¾
1
pc pβ pλ |β ≥ c; pc pβ pλ ≤ x und c = π(x 3 )
Das heißt
½
¾
pα pβ pλ |α, β, λ ≥ a + 1 und pα pβ pλ ≤ x
=
½
¾½
pa+1
pβ |βpλ ≥ a + 1 und pβ pλ ≤
¾
¯
∪
½
¾½
pa+2
pβ pλ |β, λ ≥ a + 2 und pβ pλ ≤
x
pa+1
¾
(7.39)
x
pa+2
¯
∪
...
¯
∪
¯
∪
½ ¾½
pc
pβ pλ |β ≥ b; pβ , pλ ≤
Daraus erhalten wir :
¾
x
pc
1
3
und c = π(x )
Numerische Berechnung von π(x)
96
½
¾
# pα pβ pλ |α, β, λ ≥ a + 1 und pα pβ pλ ≤ x
=
½
# pβ pλ |β, λ ≥ a + 1 und pβ pλ ≤
+
½
# pβ pλ |β, λ ≥ a + 2 und pβ pλ ≤
¾
x
pa+1
¾
(7.40)
x
pa+2
+
...
+
+
½
# pβ pλ |βλ ≥ c; pβ pλ ≤
x
pc
¾
und c = π(x )
1
3
Damit ist
=
+
P3 (x, a)
³
´
x
P2 pa+1
,a
³
´
x
P2 pa+2
,a + 1
+
...
+
+
=
=
³
´
1
P2 pxc , c − 1 wobei c = π(x 3 )
µ µ ¶
¶
b
P
1
π pxj − (j − 1) wobei b = π(x 2 )
(7.41)
j=a+1
bj
c
P
P
³ ³
´
´
π pjxpk − (k − 1)
j=a+1 k=j
q
wobei bj = π( pxj ) wegen (7.23).
Also ist
¶
¶
bj µ µ
c
X
X
1
x
− (k − 1) , wobei c := π(x 3 ).
P3 (x, a) =
π
pj pk
j=a+1 k=j
(7.42)
Numerische Berechnung von π(x)
97
Damit lautet die Lehmer–Formel
π(x)
= φ(x, a) + (b+a−2)(b−a+1)
2
³ ´
b
P
x
−
π pj
−
j=a+1
bj
c
P
P
j=a+1 k=j
(7.43)
´
³ ³
´
π pjxpk − (k − 1)
q
1
1
1
mit a = π(x 4 ), c = π(x 3 ), b = π(x 2 ), bj = π( pxj )
Man sieht leicht die Verbesserungen bezüglich der Anzahl der Terme der
vorkommenden Teilsummen in der Formel (7.43). Mit Hilfe der Lehmer–
Formel (7.43) berechnen wir nun π(100000):
a
= π(10000)
= π(17)
= 7;
b
1
= π(100000 2 )
= π(316)
= 65;
c
1
= π(100000 3 )
= π(46)
= 14
q
Aus bj = π( 100000
29 ) für 8 ≤ j ≤ 14 folgt
Numerische Berechnung von π(x)
98
b8
q
= π( 100000
19 )
= π(72)
= 20;
b9
q
= π( 100000
23 )
= π(65)
= 18;
b10
q
= π( 100000
29 )
= π(58)
= 16;
=
b11
q
π( 100000
31 )
=
π(56)
=
16;
b12 = b13 = b14 = 15.
Für x = 105 lautet die Lehmer–Formel
π(100000)
= φ(100000, 7) +
³
´
65
P
−
π 100000
pj
−
j=8
bj
14 P
P
j=8 k=j
70·59
2
³ ³
´
´
π 100000
−
(k
−
1)
pj pk
(7.44)
Numerische Berechnung von π(x)
99
Zunächst berechnen wir φ(105 , 7):
φ(105 , 7)
5
= φ(105 , 6) − φ( 10
17 , 6)
= φ(105 , 6) − φ(5882, 6).
φ(105 , 6)
5
= φ(105 , 5) − φ( 10
13 , 5)
= φ(105 , 5) − φ(7692, 5).
φ(105 , 5)
5
= φ(105 , 4) − φ( 10
11 , 4)
= φ(476 · 210 + 40, 4) − φ(9090, 4)
= 476 · 48 + φ(40, 4) − φ(43 · 210 + 60, 4)
= 20779.
φ(5882, 6)
= φ(5882, 5) − φ( 5882
13 , 5)
= φ(5882, 4) − φ( 5882
11 , 4) − φ(452, 5)
= 28 · 48 + φ(2, 4) − φ(534, 4) − φ(452, 4) + φ( 452
11 , 4)
= 1128.
φ(7692, 5)
= φ(7692, 4) − φ( 7692
11 , 4)
= 1598.
Aus diesen Berechnungen erhalten wir φ(105 , 7) = 18053. Für die einfache
´
³
65
P
in (7.44) gilt
Summe
π 100000
pj
j=8
Numerische Berechnung von π(x)
65
P
³
π
j=8
100000
pj
100
´
= π(5263) + π(4347) + π(3448) + · · · + π(321) + π(319)
= 698 + 593 + 481 + · · · + 66 + 66
= 9940.
Wir spalten die Doppelsumme
´
´
bj ³ ³
14 P
P
π 100000
−
(k
−
1)
in 7 einfache
pj pk
j=8 k=j
Summen auf:
´
´
bj ³ ³
14 P
P
π 100000
−
(k
−
1)
pj pk
j=8 k=j
20 ³ ³
P
´
− (k − 1)
k=8
´
´
18 ³ ³
P
+
π 100000
−
(k
−
1)
23pk
=
π
100000
19pk
´
k=9
.
+ ..
´
´
15 ³ ³
P
π 100000
−
(k
−
1)
41pk
k=13
³
³
´
´
15
P
+
π 100000
−
(k
−
1)
43pk
+
=
k=14
¡
¢
π 100000
19·19
+π
¡ 100000 ¢
19·23
+ ··· + π
¡ 100000 ¢
43·47
− (169 + 125 + · · · + 27)
= π(277) + π(228) + · · · + π(49) − 569
= 586.
Damit lautet das endgültige Resultat π(105 ) = 18053+35·59−9940−586 =
9592.
Mittels einem IBM 701–Rechner und mit Hilfe von (7.43) berechnete
Lehmer andere Werte für π(x), wobei x = y · 106 und y=20, 25, 33, 37,
40, 90, 100, 999, 1 000 und 10 000. Durch solche Berechnungen entdeckte
Lehmer, dass der von Meissel berechnete Wert für π(109 ) um 56 zu niedrig
war. Lehmers Berechnung von π(1010 ) mußte um 1 nach unten korrigiert
werden. Für j=11, 12, 13 wurde π(10j ) von Bohman [5] (Mittels Lehmers
Methode) im Jahre 1972 angegeben [9, Seite 289].
7.4
Anmerkungen
Sowohl die Meissel– als auch die Lehmer–Methode für die Berechnung von
π(x) basiert auf der Legendre–Formel, allerdings versucht jede Methode,
die Summanden ”‘intelligent”’ zu gruppieren und zu arrangieren, dass man
mit wenig Summationstermen auskommt. Diese Verfahren konnten im Laufe
der Zeit immer wieder verbessert worden. Mapes [41] hat im Jahre 1963 eine effizientere aber ein ”‘bißchen”’ kompliziertere Methode zur Berechnung
von π(x) entwickelt. Weitere Verbesserung erzielten Lagarias, Miller und
Odlyzko [46]; sie haben eine neue Variante der Meissel–Lehmer Methode
³ 2 ´
x3
zur Berechnung von π(x) veröffentlicht, bei der eine Laufzeit von O log(x)
³ 1
´
¡
¢
und ein Speicherplatzbedarf von O x 3 log2 (x) log log(x) benötigt wird.
Lagarias, Miller und Odlyzko berechneten π(x) bis 4 · 1016 und entdeckten, dass der berechnete Wert für 4 · 1013 bei Bohman [5] um 941 zu
niedrig war.
In [45] beschrieben Lagarias und Odlyzko eine völlig neue analytische Methode zur Berechnung von π(x), basierend auf numerischer In³
´
tegration. Die Laufzeit betrug dabei O x0,5+ε und der Speicherplatz³
´
bedarf O x0,25+ε für jede ε > 0. Im Jahre 1996 haben Deléglise
und Rivat [61] einen Algorithmus zur Berechnung von π(x) vorge³ 2 ´
stellt, der eine Laufzeit von O logx23(x) und einen Speicherplatzbedarf von
³ 1
¡
¢´
O x 3 log3 (x) log log(x) braucht. Deléglise und Rivat haben die Werte
bis (1018) berechnet. Für den einen Wert π(1018 ) hat der von ihnen benutzten HP–PPA–Rechner fast 10 Tage (!!) gebraucht.
Ferner weisen wir darauf hin, dass man in der Literatur [60] lauffähige
(wir hoffen !!) Computerprogramme zur Berechnung von π(x) finden kann,
die auf einigen der o. g. Verfahren basiert sind.
Schließlich geben wir folgende Übersichtstabelle (siehe Tabelle 7.1 auf
Seite 102) einiger Verfahren zur Berechnung von π(x) im Vergleich.
Numerische Überprüfung des Primzahlsatzes
102
Methode
Jahr
Laufzeit
Speicherplatzbedarf
Legendre
1830
O(x)
√
O( x)
Meissel
1870
O
Lehmer
1958
O
Mapes
1963
Lagarias–Miller–Odlyzko
1958
O
Lagarias–Odlyzko
1987
³
´
O x0,5+ε
Deléglise–Rivat
1996
O
³
³
x
log3 (x)
x
log4 (x)
´
´
O
³
´
O x0,7
³
³
2
x3
log(x)
2
´
x3
log2 (x)
³
√ ´
x
log(x)
³
√ ´
x
log(x)
O
´
³
´
O x0,7
³ 1
¡
¢´
O x 3 log2 (x) log log(x)
³
´
O x0,25+ε
³ 1
¡
¢´
O x 3 log3 (x) log log(x)
Tabelle 7.1: Einige Verfahren zur Berechnung von π(x) im Vergleich
Kapitel 8
Numerische Überprüfung des
Primzahlsatzes
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der numerischen Überprüfung
des Primzahlsatzes, indem wir die Funktionen R(x)-π(x); li(x)-π(x)) sowie
x
log(x)
− π(x) für x ≤ 1018 untersuchen. Wir haben schon im Kapitel 7 ei-
nige Verfahren zur numerischen Berechnung von (x) vorgestellt. In diesem
Kapitel erklären wir zunächst, wie man li(x) und R(x) in der Praxis am
einfachsten berechnen kann.
li(x) lässt sich in der Praxis am einfachsten aus der für x>1 gültigen
Reihendarstellung
li(x) = γ + log(log(x)) +
∞
X
(log(x))n
n · n!
n=1
(8.1)
berechnen, wobei
γ
:=
=
µ³
lim
n→∞
1+
1
2
+
1
3
+ ··· +
0, 577 215 664 901 532 . . .
103
1
n
´
¶
− log(n)
(8.2)
Numerische Überprüfung des Primzahlsatzes
104
die Euler–Mascheronische Konstante1 bezeichnet.
Die Gleichung (8.1) lässt sich aus der Definition von li(x) herleiten,
denn
R
dt
log(t)
=
R
R
=
exp(z)dz
z
∞ n−1
P
z
dz
n!
n=0
∞
P
Substitution z=log(t)
zn
n·n!
n=1
∞
P
=
log(z) +
=
log(log(t)) +
n=1
,
(8.3)
+C
(log(t))n
n·n!
+C
wobei C eine Konstante ist.
Für li(x) sind die Grenzen des Integrals 0 und x, damit lässt sich zeigen
li(x) = γ + log(log(x)) +
∞
X
(log(x))n
n=1
Definitionsgemäß ist
R(x) =
∞
X
µ(n)
n=1
n
n · n!
√
li( n x),
.
(8.4)
(8.5)
wobei µ die im Kapitel 6 definierte Möbius–Funktion ist. Daraus folgt
R(x) = 1 +
∞
X
n=1
(log(x))k
k! · kζ(k + 1)
(8.6)
denn durch die Substitution t=log(x) folgt
µ
∞
³ t ´¶
X
µ(n)
R(x) =
li exp
n
n
(8.7)
n=1
1
Bis heute weiß man nicht, ob die Euler–Mascheronische Konstante rational oder
irrational ist. [63, Seite 298] sowie [9, Seite 214]
Numerische Überprüfung des Primzahlsatzes
105
Benutzen wir nun (8.1), so gilt
µ
³ ´¶
exp nt
n=1
µ
³ ´k ¶
³ ´ P
∞
∞
P
µ(n)
1
t
t
=
γ + log n +
n
k·k! n
n=1
k=1
µ
¶ ∞
∞
∞ P
∞
P µ(n)
P
P
µ(n) log(n)
=
γ + log(t)
+
n −
n
∞
P
µ(n)
n li
n=1
n=1
n=1 k=1
(8.8)
µ(n)tk
nk+1 ·k·k!
Aus
∞
P
n=1
µ(n)
n
P
µ(n)
s
s→1 n=1 n
= lim
=
(8.9)
lim 1
s→1 ζ(s)
= 0
und
∞
P
µ(n) log(n)
n
∞
P
µ(n) log(n)
lim
ns
s→1 n=1
µ ¶
∞
P
d
lim
µ(n) ds −1
ns
s→1 n=1
µ
³∞
´¶
d P µ(n)
lim − ds
ns
s→1
n=1
µ
¶
lim −dζ(s)
ds
s→1
n=1
=
=
=
=
ζ 0 (s)
2
ζ
s→1 (s)
= lim
= −1
folgt
(8.10)
Numerische Überprüfung des Primzahlsatzes
106
µ
¶ ∞
∞
∞ P
∞
P µ(n)
P
P
µ(n) log(n)
µ(n)tk
γ + log(t)
−
+
n
n
nk+1 ·k·k!
n=1 k=1
n=1
µ
¶ n=1
∞
∞
P
P
k
µ(n)
t
= 1+
k·k!
nk+1
= 1+
= 1+
n=1
∞
P
k=1
∞
P
k=1
k=1
tk
k·k!·ζ(k+1)
(8.11)
(log(x))k
k·k!·ζ(k+1)
¥
In dieser Arbeit berechnen wir praktisch keine Werte π(x), li(x) bzw.
R(x). Wir ergänzen lediglich einige Tabellen aus der Literatur wie etwa [61],
[60, Seiten 380–383] und [57, Seite 238]2 . Daraus zeichnen wir Graphen für
R(x)-π(x); li(x)-π(x) sowie
x
log(x)
− π(x) als Funktion in x, die wir schließlich
kommentieren werden.
Aus den Tabellen (siehe Anhang B ab Seite 117) und den Diagrammen
(siehe Anhang D ab Seite 190; Anhang E ab Seite 209; Anhang F ab Seite 228 ) fällt auf, dass für x ≤ 1000 alle drei Graphen R(x)-π(x); li(x)-π(x)
und
x
log(x)
− π(x) ziemlich parallel und nahe zur x–Achse verlaufen. Je mehr
(x-1000) sich vergrößert, um so weiter entfernt sich der Graph
x
log(x)
− π(x)
von den beiden Graphen R(x)-π(x) und li(x)-π(x) sowie von der x–Achse
(nach unten). Daher haben wir jedes Mal außerdem die Graphen R(x)-π(x);
li(x)-π(x) gemeinsam auf ein separates Diagramm gezeichnet, um diese beide Graphen besser vergleichen zu können. Dabei haben wir festgestellt, dass
zwar diese beide Graphen immerhin parallel verlaufen, aber der Graph R(x)π(x) um die x–Achse schwingt und näher zur x–Achse als der Graph li(x)π(x) ist. Diese Beobachtungen bestätigen nicht nur die grobe Tatsache, dass
für den betrachteten Bereich x ≤ 1018 R(x); li(x) sowie
2
x
log(x)
die Anzahl-
Wir konnten Übereinstimmung in den drei Quellen bis auf x = 3 · 1017 feststellen. Für
x = 3 · 1017 haben wir festgestellt, dass die Werte für π(x), li(x)-π(x) und R(x)-π(x) aus
[60] sowie [57] zwar übereinstimmen, unterscheiden sie sich aber von den Werten aus [61].
(man vgl. Tabelle B.17 auf Seite 134 dieser Arbeit)
Numerische Überprüfung des Primzahlsatzes
107
funktion π(x) annähern, sondern auch, dass R(x) die bessere Approximation
für π(x) von allen drei ist.
Zusammenfassung
Bereits Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Euler
zeigte die qualitative Aussage
π(x)
x
→ 0 bei x → ∞. Legendre definierte
als erster die Anzahlfunktion π(x) als die Anzahl aller Primzahlen ≤ x,
(x ∈ R) und vermutete irrtümlicherweise, dass π(x) =
x
log(x)−B ;
wobei
lim B(x) = 1, 083 66 . . . ist. Gauss vermutete, dass die Funktionen π(x)
x→∞
und
 u=1−ε

u=x
Z
Z
du
du 
li(x) := lim 
+
ε→0
log(u)
log(u)
ε>0
u=0
u=1+ε
asymptotisch äquivalent sind. Tschebyschew konnte die Legendresche
Vermutung widerlegen; außerdem bewies er: Wenn der Grenzwert lim
x→∞
π(x)
x
log(x)
existiert, so muss dieser gleich 1 sein. Dank wegweisender Vorarbeiten von
Riemann, gelang es im Jahr 1896 unabhängig voneinander und nahezu
zeitgleich Hadamard und De La Vallée Poussin, den Primzahlsatz
analytisch zu beweisen. Beide verwendeten entscheidend die Tatsache, dass
die Zetafunktion ζ in der Halbebene Re(s) ≥ 1 nicht verschwindet. Die
Beweise waren zuerst so lang und kompliziert, dass sie heutzutage nur
noch einen historischen Wert besitzen. Es dauerte weitere 84 Jahre bis der
Beweis so vereinfacht werden konnte, dass er nur wenige Seiten in Anspruch
nimmt. Ein wichtiger Verdienst kommt hierbei der Arbeit von Newman aus
dem Jahre 1980 zu. Lange Zeit wurde es für kaum möglich gehalten, einen
108
Zusammenfassung
109
Beweis des Primzahlsatzes zu finden, der ohne eine gewisse Kenntnis der
komplexen Nullstellen der Zetafunktion auskommt. Und doch glückte 1948
ein solcher Beweis durch Selberg und Erdös mit elementaren Mitteln.
Erwähnenswert dabei, dass der Beweis noch lange nicht einfach ist. Uns
schienen die analytischen Beweise durchsichtiger zu sein. Daher haben wir
in dieser Arbeit auf einen elementaren Beweis verzichtet.
Der analytischen Weg zum Primzahlsatz von Newman kommt einerseits
mit Integration längs endlicher Wege (und der Tatsache ζ(s) 6= 0 in σ ≥ 1)
aus, umgeht also Abschätzungen bei ∞; andererseits ist er frei von Sätzen
der Fourier–Analysis.
Beim Beweis des Primzahlsatzes von Wolke benutzt man anstelle
von
ζ 0 (s)
ζ(s)
1
die Funktion ζ k mit großen k. Wegen des Pols bei s=1 bringt
dies bei der Integration leichte Komplikationen, hat aber den Vorteil, dass
außer der Nullstellen–Freiheit keine nichttriviale Abschätzung für ζ oder ζ 0
erforderlich ist.
Dank der elementaren Äquivalenz zwischen dem Primzahlsatz und
∞
P
µ(n)
der Konvergenz von
brauchte Newman nur die Konvergenz von
n
∞
P
n=1
n=1
µ(n)
n
zu zeigen. Dies erreichte er mit Hilfe seines Konvergenzsatzes.
Die Legendresche Formel, die auf dem Sieb des Eratosthenes
√
basiert, erlaubt die exakte Berechnung von π(x), wenn alle x nicht
übersteigenden Primzahlen bekannt sind. Diese prinzipielle Möglichkeit zur
Ermittlung von π(x) ist in der Praxis natürlich stark limitiert durch die
mit x rasch anwachsende Anzahl der rechts in der Legendresche Formel
zu berücksichtigenden Summanden. Mit verfeinerten Siebtechniken haben
verschiedene Autoren zur Legendresche Formel analoge Formeln π(x)
Zusammenfassung
110
ersonnen, bei denen der genannte Nachteil von Legendresche Formel
sukzessive reduziert wurde. Zu erwähnen sind hier vor allem Meissel,
Lehmer, sowie Lagarias, Miller und Odlyzko.
Aus den Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
x
log(x)
− π(x) für den
betrachteten Bereich x ≤ 1018 konnten wir feststellen, dass R(x); li(x) sowie
x
log(x)
die Anzahlfunktion π(x) annähern, wobei R(x) die beste Approxima-
tion für π(x) von allen drei ist.
Schlusswort
Erst 1896 gelang dem Franzosen Jacques–Solomon Hadamard und dem
Belgier Charles De La Vallée–Poussin der Beweis des Primzahlsatzes
– einer Formel, nach der sich näherungsweise die Anzahl der Primzahlen
unterhalb eines bestimmten Wertes angeben lässt. So bedeutende Mathematiker wie Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss und Bernhard
Riemann hatten sich zuvor mehr als ein Jahrhundert lang vergeblich über
dieses Problem den Kopf zerbrochen.
Der Beweis des Primzahlsatzes setzte eine Flut von Erkenntnissen frei,
warf aber zugleich auch eine Fülle neuer mathematischer Probleme auf, die
zum Teil bis heute nicht gelöst werden konnten. Offen zum Beispiel ist nach
wie vor die Frage, ob es endlich viele Paare von Primzahlen gibt, die sich,
wie (3, 5), (17, 19) oder (21, 23) aber auch 570918348 · 105120 ± 1† sowie
242206083 · 238880 ± 1‡ und 697053813 · 216352 ± 1†† nur um den Wert zwei
unterscheiden.
Während sich für den Primzahlsatz selbst und seine Implikationen
überwiegend die Spezialisten, Zahlentheoretiker etwa, begeistern, haben
†
‡
Diese Primzahlzwilinge sind von Dubner im Jahre 1995 entdeckt. [57, Seite 264], [22]
Diese Primzahlzwilinge sind von Indlekofer und Járai in November 1995 entdeckt
siehe [22]
††
Diese Primzahlzwilinge sind von Indlekofer und Járai im Jahre 1996 entdeckt [30]
und gelten (wahrscheinlich heute noch) als die größte bekannten Primzahlzwillingen.
111
Schlusswort
112
die Primzahlen insgesamt in jüngster Zeit auch praktische Bedeutung
erlangt, zum Beispiel in der Kodierung und im Datenschutz. Ideen und
Methoden, die im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz entwickelt wurden,
haben außerdem weite Gebiete der Mathematik entscheidend beeinflusst
– zu denken wäre hier beispielsweise an die Funktionentheorie, die auf
zahlreichen Wissenschaftsfeldern eine große Rolle spielt.
Diese Arbeit sollte andeuten, dass Untersuchungen über die Verteilung
der Primzahlen auch heute, noch grob eineinhalb Jahrhunderte nach Dirichlets uns Riemanns Ansätzen, faszinierend sein können, weil einerseits
die Primzahlen im kleinen außerordentlich zufällig verteilt zu sein scheinen,
andererseits ihre Verteilung im großen von erstaunlicher Regelmäßigkeit ist.
Dem Gebiet mangelt es nicht an tiefen Problemen, die zum Teil schon vor
langer Zeit aufgeworfen worden sind, aber trotz der vielen in der Zwischenzeit entwickelten scharfsinnigen Methoden noch immer ungelöst sind. Dies
lässt hoffen, dass das Gebiet noch lange aktuell bleiben wird.
Anhang A
Symbolverzeichnis
In diesem Abschnitt stellen wir Symbolen und Notationen zusammen. Die
meistens entsprechen denen aus der Literatur wie [9], aber hier für die
Bedürfnisse dieser Arbeit angepaßt sind.
P
Menge der Primzahlen
N
Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null)
N0
Menge der natürlichen Zahlen (mit Null)
R
Menge der reellen Zahlen
C
Menge der Komplexen Zahlen
¥
Ende eines Beweises
¤
Ende einer Definition, einer Bemerkung, eines Beispieles
∈
Ist Element
∈
/
Ist nicht Element
⊂
Ist enthalten in
∩
Durchschnitt von Mengen
∪
Vereinigung von Mengen
¯
∪
∅
Disjunkte Vereinigung von Mengen; d.h.
¯ B := A ∪ B, falls A ∩ B = Ø
A∪
Leere Menge
113
Symbolverzeichnis
114
#M
Anzahl der Elemente der (endlichen) Menge M
]a, b[
Offene Intervalle
[a,b[, ]a,b]
Halboffene Intervalle
[a,b]
Abgeschlossene Intervalle
XY
{x · y|x ∈ X und y ∈ Y }
O, o, ∼
Landauschen Notationen
lim
Limes
lim
Limes superior
lim
Limes inferior
n!
n Fakultät
ggt(m, n)
Größter gemeinsamer Teiler
(a1 , a2 , . . . , ak )
k–tupel
p|n
p teilt n
p$
Das Produkt aller Primzahlen ≤ p
p(n)
Der kleinste Primteiler von n.
ϕ(x)
Eulersche Phifunktion
φ(x, a)
Legendre–Summe; das ist die Anzahl aller
Zahlen ≤ x, die weder durch p1 , noch
durch p2 , . . . , noch durch pa teilbar sind.
Pk (x, a)
Anzahl der Zahlen ≤ x, deren Primfaktorzerlegung
genau aus k Primzahlen (nicht notwendigerweise
verschieden) p ≥ pa+1 besteht.
pj
Die j.te Primzahl: p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = 7; p5 = 11;. . .
νp (n)
µ ¶
x
k
Die Vielfachheit von p in (der Primfaktorzerlegung von) n
Binomialkoeffizient x über k (x ∈ R; k ∈ N )
k
Q
x−j+1 ¡x¢
:=
; 0 =1
j
j=1
f ∗g
Faltung zweier zahlentheoretischer Funktionen f und g
Symbolverzeichnis
115
a :⇔ b
a ist definiert als durch b
a:=b
a ist definiert als durch b
a⇒b
aus a folgt b
a⇔b
P
a und b sind gleichwertig
Summenzeichen
Q
Produktzeichen
[x]
entier(x) d.h. [x] ≤ x < [x] + 1 und [x] ∈ N
<x>
x-[x]
Komplexe Zahl mit Realteil Re(s)=σ
s := σ + it
und Imaginärteil Im(s)= t
Re(s)
Realteil einer komplexen Zahl s.
Im(s)
Imaginärteil einer komplexen Zahl s.
s := |s|eiθ
Komplexe Zahl mit Betrag |s| und Argument θ
arg(s)
Argument einer komplexen Zahl s
|s|
Absolutbetrag einer reellen oder komplexen Zahl s
Res f(s)
Residuen
||X
Supremum Norm auf X, d. h. |f |X := sup |f (x)|
f r (x)
(f (x))r ,
x∈X
¯
¯
f (s)¯
Der Wert von f(s) an der Stelle s=z
s=z
d
f 0 (x), dx
f (x)
R
Ableitung der Funktion f(x) bezüglich x
f (s)ds
K
x=b
R
x=a
³
R
Kurvenintegral von f längs der Kurve K
f (x)dx
R
+ +··· +
r∈R
Riemannsche Integral
R´
f (x)dx
R
R
R
f(x)dx + f(x)dx +. . . + f(x)dx
ζ(x)
Riemannsche Zetafunktion
Γ(x)
Die Gammafunktion
Λ(x)
Mangoldt–Funktion
Symbolverzeichnis
Ψ(x)
116
Tschebyschew –Funktion:=
P
Λ(n)
n≤x
θ(x)
Tschebyschew –Funktion:=
P
log(p)
p≤x
µ(x)
Möbius–Funktion
ω(n)
Die Anzahl der Primteiler von n
π(x)
Anzahl der Primzahlen x
li(x)
Integrallogarithmus
R(x)
√
k
s
Die Funktion R(x)
s
1
k
k–te Wurzel von s
k–te Wurzel von s
sin
Sinus
cos
Kosinus
exp(x)
Exponentialfunkion
ex
Exponentialfunkion
log
Natürlicher Logarithmus
2, 3
2 komma 3
2·3
2 mal 3
γ = 0, 577 215 66 . . .
die Euler–Masheronische Konstante
e=2,718 281 828. . .
die Eulersche Zahl
B0 , B1 , B2 , . . .
Bernoulli–Zahlen
Tabelle A.1: Notationen
Anhang B
datenMatLab: R(x); li(x);
x und π(x)
log(x)
117
π(x)
4
8
10
12
15
17
19
22
24
25
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
26
24
22
19
17
15
13
10
8
5
R(x)(gerundet)
x
log(x)
22
20
18
16
15
13
11
9
7
4
(gerundet)
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
R(x)- π(x)
Tabelle B.1: datenMatLab01.mat (10 ≤ x ≤ 102 )
30
28
26
23
21
18
16
13
10
6
li(x)(gerundet)
5
4
4
4
4
3
4
3
2
2
li(x)- π(x)
x
log(x)
-3
-4
-4
-3
-2
-2
-1
-1
-1
0
− π(x)
118
π(x)
25
46
62
78
95
109
125
139
154
168
x
100
200
300
400
500
600
700
800
900
103
178
163
148
133
118
102
85
68
50
30
li(x)(gerundet)
x
log(x)
145
132
120
107
94
80
67
53
38
22
(gerundet)
0
0
1
0
1
-1
0
0
-1
1
R(x)- π(x)
Tabelle B.2: datenMatLab02.mat (102 ≤ x ≤ 103 )
168
154
140
125
110
94
78
62
45
26
R(x)(gerundet)
10
9
9
8
9
7
7
6
4
5
li(x)- π(x)
x
log(x)
-23
-22
-19
-18
-15
-15
-11
-9
-8
-3
− π(x)
119
π(x)
168
303
430
550
669
783
900
1007
1117
1229
x
1·103
2·103
3·103
4·103
5·103
6·103
7·103
8·103
9·103
1·104
1246
1137
1026
914
800
684
565
443
315
178
li(x)(gerundet)
x
log(x)
1086
988
890
791
690
587
482
375
263
145
(gerundet)
-2
1
2
-3
1
0
1
0
0
0
R(x)- π(x)
Tabelle B.3: datenMatLab03.mat (103 ≤ x ≤ 104 )
1 227
1118
1009
897
784
669
551
430
303
168
R(x)(gerundet)
17
20
19
14
17
15
15
13
12
10
li(x)- π(x)
x
log(x)
-143
-129
-117
-109
-93
-82
-68
-55
-40
-23
− π(x)
120
π(x)
1229
2262
3245
4203
5133
6057
6935
7837
8713
9592
x
1·104
2·104
3·104
4·104
5·104
6·104
7·104
8·104
9·104
1·105
9630
8757
7876
6985
6083
5167
4233
3277
2289
1246
li(x)(gerundet)
x
log(x)
8686
7890
7086
6275
5454
4621
3775
2910
2019
1086
(gerundet)
-5
3
0
13
-9
0
-1
4
2
-2
R(x)- π(x)
Tabelle B.4: datenMatLab04.mat (104 ≤ x ≤ 105 )
9587
8716
7837
6948
6048
5133
4202
3249
2264
1227
R(x)(gerundet)
38
44
39
50
26
34
30
32
27
17
li(x)- π(x)
x
log(x)
-906
-823
-751
-660
-603
-512
-428
-335
-243
-143
− π(x)
121
π(x)
9592
17984
25997
33860
41538
49098
56543
63951
71274
78498
x
1·105
2·105
3·105
4·105
5·105
6·105
7·105
8·105
9·105
1·106
78628
71362
64037
56645
49173
41606
33923
26087
18036
9630
li(x)(gerundet)
x
log(x)
72382
65645
58857
52010
45097
38103
31010
23788
16385
8686
(gerundet)
29
-8
-8
14
-7
-8
-8
26
-2
-5
R(x)- π(x)
Tabelle B.5: datenMatLab05.mat (105 ≤ x ≤ 106 )
78527
71266
63943
56557
49091
41530
33852
26023
17982
9587
R(x)(gerundet)
130
88
86
102
75
68
63
90
52
38
li(x)- π(x)
x
log(x)
-6116
-5629
-5094
-4533
-4001
-3435
-2850
-2209
-1599
-906
− π(x)
122
π(x)
78498
148933
216816
283146
348513
412849
476648
539777
602489
664579
x
1·106
2·106
3·106
4·106
5·106
6·106
7·106
8·106
9·106
1·107
664918
602676
540000
476827
413077
348638
283352
216971
149055
78628
li(x)(gerundet)
x
log(x)
620421
562053
503304
444122
384436
324150
263127
201152
137849
72382
(gerundet)
88
-53
-6
-38
24
-64
33
0
-9
29
R(x)- π(x)
Tabelle B.6: datenMatLab06.mat (106 ≤ x ≤ 107 )
664667
602436
539771
476610
412873
348449
283179
216816
148924
78527
R(x)(gerundet)
339
187
223
179
228
125
206
155
122
130
li(x)- π(x)
x
log(x)
-44158
-40436
-36473
-32526
-28413
-24363
-20019
-15664
-11084
-6116
− π(x)
123
π(x)
664579
1270607
1857859
2433654
3001134
3562115
4118064
4669382
5216954
5761455
x
1·107
2·107
3·107
4·107
5·107
6·107
7·107
8·107
9·107
1·108
5762209
5217910
4670091
4118585
3562683
3001557
2434016
1858213
1270896
664918
li(x)(gerundet)
x
log(x)
5428681
4913919
4396199
3875109
3350111
2820471
2285141
1742493
1189680
620421
(gerundet)
97
228
111
-44
39
-67
-84
-41
-36
88
R(x)- π(x)
Tabelle B.7: datenMatLab07.mat (107 ≤ x ≤ 108 )
5761552
5217182
4669493
4118020
3562154
3001067
2433570
1857818
1270571
664667
R(x)(gerundet)
754
956
709
521
568
423
362
354
289
339
li(x)- π(x)
-80927
-44158
− π(x)
-332774
-303035
-273183
-242955
-212004
-180663
-148513
-115366
x
log(x)
124
π(x)
5761455
11078937
16252325
21336326
26355867
31324703
36252931
41146179
46009215
50847534
x
1·108
2·108
3·108
4·108
5·108
6·108
7·108
8·108
9·108
1·109
50849235
46011649
41147862
36254242
31326045
26356832
21337378
16253409
11079975
5762209
li(x)(gerundet)
x
log(x)
48254942
43651379
39024157
34370013
29684689
24962408
20194906
15369409
10463629
5428681
(gerundet)
-79
734
69
-212
-81
-350
-141
30
153
97
R(x)- π(x)
Tabelle B.8: datenMatLab08.mat (108 ≤ x ≤ 109 )
50847455
46009949
41146248
36252719
31324622
26355517
21336185
16252355
11079090
5761552
R(x)(gerundet)
1701
2434
1683
1311
1342
965
1052
1084
1038
754
li(x)- π(x)
− π(x)
-2592592
-2357836
-2122022
-1882918
-1640014
-1393459
-1141420
-882916
-615308
-332774
x
log(x)
125
π(x)
50847534
98222287
144449537
189961812
234954223
279545368
323804352
367783654
411523195
455052511
x
1·109
2·109
3·109
4·109
5·109
6·109
7·109
8·109
9·109
1·1010
455055615
411528254
367788896
323808420
279548867
234958781
189964591
144452729
98225302
50849235
li(x)(gerundet)
x
log(x)
434294482
392661755
350835533
308789345
266488708
223886908
180917212
137476710
93386320
48254942
(gerundet)
-1828
354
778
-138
-428
937
-500
305
602
-79
R(x)- π(x)
Tabelle B.9: datenMatLab09.mat (109 ≤ x ≤ 1010 )
455050683
411523549
367784432
323804214
279544940
234955160
189961312
144449842
98222889
50847455
R(x)(gerundet)
3104
5059
5242
4068
3499
4558
2779
3192
3015
1701
li(x)- π(x)
− π(x)
-20758029
-18861440
-16948121
-15015007
-13056660
-11067315
-9044600
-6972827
-4835967
-2592592
x
log(x)
126
π(x)
455052511
882206716
1300005926
1711955433
2119654578
2524038155
2925699539
3325059246
3722428991
4118054813
x
1·1010
2·1010
3·1010
4·1010
5·1010
6·1010
7·1010
8·1010
9·1010
1·1011
4118066401
3722444262
3325071592
2925709819
2524048318
2119666539
1711964132
1300016132
882214879
455055615
li(x)(gerundet)
x
log(x)
3948131654
3568161225
3186579088
2803166336
2417638082
2029608840
1638528672
1243550985
843205936
434294482
(gerundet)
-2318
2013
-222
-1551
-872
1799
-490
2134
1437
-1828
R(x)- π(x)
Tabelle B.10: datenMatLab10.mat (1010 ≤ x ≤ 1011 )
4118052495
3722431004
3325059024
2925697988
2524037283
2119656377
1711954943
1300008060
882208153
455050683
R(x)(gerundet)
11588
15271
12346
10280
10163
11961
8699
10206
8163
3104
li(x)- π(x)
− π(x)
-169923159
-154267766
-138480158
-122533203
-106400073
-90045738
-73426761
-56454941
-39000780
-20758029
x
log(x)
127
π(x)
4118054813
8007105059
11818439135
15581005657
19308136142
23007501786
26684074310
30341383527
33981987586
37607912018
x
1·1011
2·1011
3·1011
4·1011
5·1011
6·1011
7·1011
8·1011
9·1011
1·1012
37607950281
33982033534
30341418033
26684113738
23007531978
19308171728
15581041471
11818462902
8007118404
4118066401
li(x)(gerundet)
7685927426
3948131654
(gerundet)
36191206825
32696762961
29188688475
25665143193
22123734328
18561227259
14973012800
11352005584
x
log(x)
-1476
8083
-1370
5680
-1258
6652
9683
815
-5707
-2318
R(x)- π(x)
Tabelle B.11: datenMatLab11.mat (1011 ≤ x ≤ 1012 )
37607910542
33981995669
30341382157
26684079990
23007500528
19308142794
15581015340
11818439950
8007099352
4118052495
R(x)(gerundet)
38263
45948
34506
39428
30192
35586
35814
23767
13345
11588
li(x)- π(x)
− π(x)
-1416705193
-1285224625
-1152695052
-1018931117
-883767458
-746908883
-607992857
-466433551
-321177633
-169923159
x
log(x)
128
π(x)
37607912018
73301896139
108340298703
142966208126
177291661649
211381427039
245277688804
279010070811
312600354108
346065536839
x
1·1012
2·1012
3·1012
4·1012
5·1012
6·1012
7·1012
8·1012
9·1012
1·1013
346065645810
312600481939
279010150289
245277799594
211381526328
177291733775
142966269974
108340379630
73301944334
37607950281
li(x)(gerundet)
(gerundet)
334072678387
301727432869
269265413070
236670935781
203923622468
170995947606
137848727018
104421798836
70611075992
36191206825
x
log(x)
-5773
18542
-24020
13484
8669
-11182
-13314
15096
-6432
-1476
R(x)- π(x)
Tabelle B.12: datenMatLab12.mat (1012 ≤ x ≤ 1013 )
346065531066
312600372650
279010046791
245277702288
211381435708
177291650467
142966194812
108340313799
73301889707
37607910542
R(x)(gerundet)
108971
127831
79478
110790
99289
72126
61848
80927
48195
38263
li(x)- π(x)
− π(x)
-11992858452
-10872921239
-9744657741
-8606753023
-7457804571
-6295714043
-5117481108
-3918499867
-2690820147
-1416705193
x
log(x)
129
π(x)
346065536839
675895909271
1000121668853
1320811971702
1638923764567
1955010428258
2269432871304
2582444113487
2894232250783
3204941750802
x
1·1013
2·1013
3·1013
4·1013
5·1013
6·1013
7·1013
8·1013
9·1013
1·1014
3204942065692
2894232599049
2582444441131
2269433068856
1955010752166
1638924017600
1320812193348
1000121826206
675896079627
346065645810
li(x)(gerundet)
(gerundet)
3102103442166
2801048021407
2498981059949
2195767313844
1891231155811
1585135531233
1277143262653
966737199351
653023836567
334072678387
x
log(x)
-19200
30170
26520
-85431
60505
11037
3483
-33533
12194
-5773
R(x)- π(x)
Tabelle B.13: datenMatLab13.mat (1013 ≤ x ≤ 1014 )
3204941731602
2894232280953
2582444140007
2269432785873
1955010488763
1638923775604
1320811975185
1000121635320
675895921465
346065531066
R(x)(gerundet)
314890
348266
327644
197552
323908
253033
221646
157353
170356
108971
li(x)- π(x)
− π(x)
-102838308636
-93184229376
-83463053538
-73665557460
-63779272447
-53788233334
-43668709049
-33384469502
-22872072704
-11992858452
x
log(x)
130
π(x)
3204941750802
6270424651315
9287441600280
12273824155491
15237833654620
18184255291570
21116208911023
24035890368161
26944926466221
29844570422669
x
1·1014
2·1014
3·1014
4·1014
5·1014
6·1014
7·1014
8·1014
9·1014
1·1015
29844571475288
26944927645955
24035891452638
21116209785415
18184255822257
15237834467221
12273824722983
9287442035206
6270425183240
3204942065692
li(x)(gerundet)
(gerundet)
28952965460217
26137401039619
23312989844781
20478553695829
17632563419270
14772956260716
11896800373678
8999603048051
6073611229889
3102103442166
x
log(x)
73218
247489
202253
45623
-240406
104541
-70423
-122759
70408
-19200
R(x)- π(x)
Tabelle B.14: datenMatLab14.mat (1014 ≤ x ≤ 1015 )
29844570495887
26944926713710
24035890570414
21116208956646
18184255051164
15237833759161
12273824085068
9287441477521
6270424721723
3204941731602
R(x)(gerundet)
1052619
1179734
1084477
874392
530687
812601
567492
434926
531925
314890
li(x)- π(x)
− π(x)
-891604962452
-807525426602
-722900523380
-637655215194
-551691872300
-464877393904
-377023781813
-287838552229
-196813421426
-102838308636
x
log(x)
131
π(x)
29844570422669
58478215681891
86688602810119
114630988904000
142377417196364
169969662554551
197434994078331
224792606318600
252056733453928
279238341033925
x
1·1015
2·1015
3·1015
4·1015
5·1015
6·1015
7·1015
8·1015
9·1015
1·1016
279238344248557
252056735409959
224792609046271
197434995375659
169969664440592
142377419473972
114630990268039
86688604682699
58478216999682
29844571475288
li(x)(gerundet)
(gerundet)
271434051189532
244991282714721
218470489575793
191861316707891
165150330356743
138319418975672
111342856557312
84181252073117
56766698977301
28952965460217
x
log(x)
Tabelle B.15: datenMatLab15.mat (1015 ≤ x ≤ 1016 )
279238341360977
252056732662071
224792606446529
197434993934197
169969662169857
142377417389761
114630988391311
86688603043166
58478215644260
29844570495887
R(x)(gerundet)
327052
-791857
127929
-144134
-384694
193397
-512689
233047
-37631
73218
R(x)- π(x)
3214632
1956031
2727671
1297328
1886041
2277608
1364039
1872580
1317791
1052619
li(x)- π(x)
− π(x)
-7804289844393
-7065450739207
-6322116742807
-5573677370440
-4819332197808
-4057998220692
-3288132346688
-2507350737002
-1711516704590
-891604962452
x
log(x)
132
π(x)
279238341033925
547863431950008
812760276789503
1075292778753150
1336094767763971
1595534099589274
1853851099626620
2111215026220444
2367751438410550
2623557157654233
x
1·1016
2·1016
3·1016
4·1016
5·1016
6·1016
7·1016
8·1016
9·1016
1·1017
2623557165610820
2367751447445540
2111215032429260
1853851107852310
1595534105162110
1336094774741860
1075292784292010
812760281441104
547863435726496
279238344248557
li(x)(gerundet)
(gerundet)
2554673422960300
2305411365298750
2055456048509330
1804715749413470
1553071522918790
1300363081646600
1046362878173200
790722739469166
532842994606810
271434051189532
x
log(x)
Tabelle B.16: datenMatLab16.mat (1016 ≤ x ≤ 1017 )
2623557157055970
2367751439306230
2111215024730540
1853851100624230
1595534098441550
1336094768575620
1075292778742170
812760276595604
547863431724133
279238341360977
R(x)(gerundet)
-598255
895676
-1489898
997606
-1147719
811655
-10980
-193899
-225875
327052
R(x)- π(x)
7956589
9034988
6208817
8225687
5572837
6977890
5538861
4651601
3776488
3214632
li(x)- π(x)
− π(x)
-68883734693925
-62340073111798
-55758977711106
-49135350213155
-42462576670481
-35731686117366
-28929900579949
-22037537320337
-15020437343198
-7804289844393
x
log(x)
133
π(x)
2623557157654233
5153329362645908
7650011911275069
7650011911220803
10125681208311322
12585956566571620
15034102021263820
17472251499627256
19901908567967065
22324189231374849
24739954287740860
x
1017
2·1017
3·1017
3·1017
4·1017
5·1017
6·1017
7·1017
8·1017
9·1017
1018
24739954309690400
22324189257662600
19901908584730000
17472251518022700
15034102041849200
12585956585641900
10125681228120000
7650011925813060
7650011925813060
5153329373502970
2623557165610820
li(x)(gerundet)
(gerundet)
24127471216847300
21770065404175700
19406459207602800
17035834527252200
14657130849661800
12268919654557700
9869173997071170
7454794337814150
7454794337814150
5020446551587920
2554673422960300
x
log(x)
Tabelle B.17: datenMatLab17.mat (1017 ≤ x ≤ 1018 )
24739954284239400
22324189233452200
19901908561834800
17472251496532000
15034102021872900
12585956567319100
10125681211635300
7650011911427920
7650011911427920
5153329361629770
2623557157055970
R(x)(gerundet)
-3501366
2077405
-6132224
-3095204
609065
747495
3323994
152863
-1016134
-598255
R(x)- π(x)
21949555
26287786
16763001
18395468
20585416
19070319
19808695
14538005
10857072
7956589
li(x)- π(x)
− π(x)
-612483070893476
-554123827199052
-495449360364192
-436416972374954
-376971171602028
-317036912013868
-256507211240128
-195217573460905
-132882811057982
-68883734693925
x
log(x)
134
Anhang C
Listing der MatLab M-Files
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes01 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab01 . mat ;
6
x=1.0000 e+1 : 1 . 0 0 0 0 e +1: 1 . 0 0 0 0 e +2;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab01 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
16
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
17
18
19
20
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab01 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab01 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{1} \ l e q x \
l e q 10ˆ{2} ’ ) ;
135
136
25
g r i d on ;
Listing C.1: TwoAxes01.m
137
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes02 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab02 . mat ;
6
x=1.0000 e+2 : 1 . 0 0 0 0 e +2: 1 . 0 0 0 0 e +3;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab02 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab02 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab02 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{2} \ l e q x \
l e q 10ˆ{3} ’ ) ;
Listing C.2: TwoAxes02.m
138
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes03 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab03 . mat ;
6
x=1.0000 e+3 : 1 . 0 0 0 0 e +3: 1 . 0 0 0 0 e +4;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab03 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab03 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab03 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{3} \ l e q x \
l e q 10ˆ{4} ’ ) ;
Listing C.3: TwoAxes03.m
139
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes04 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab04 . mat ;
6
x=1.0000 e+4 : 1 . 0 0 0 0 e +4: 1 . 0 0 0 0 e +5;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab04 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab04 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab04 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{4} \ l e q x \
l e q 10ˆ{5} ’ ) ;
Listing C.4: TwoAxes04.m
140
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes05 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab05 . mat ;
6
x=1.0000 e+5 : 1 . 0 0 0 0 e +5: 1 . 0 0 0 0 e +6;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab05 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab05 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab05 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{5} \ l e q x \
l e q 10ˆ{6} ’ ) ;
Listing C.5: TwoAxes05.m
141
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes06 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab06 . mat ;
6
x=1.0000 e+6 : 1 . 0 0 0 0 e +6: 1 . 0 0 0 0 e +7;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab06 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab06 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab06 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{6} \ l e q x \
l e q 10ˆ{7} ’ ) ;
Listing C.6: TwoAxes06.m
142
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes07 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab07 . mat ;
6
x=1.0000 e+7 : 1 . 0 0 0 0 e +7: 1 . 0 0 0 0 e +8;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab07 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab07 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab07 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{7} \ l e q x \
l e q 10ˆ{8} ’ ) ;
Listing C.7: TwoAxes07.m
143
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes08 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab08 . mat ;
6
x=1.0000 e+8 : 1 . 0 0 0 0 e +8: 1 . 0 0 0 0 e +9;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab08 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab08 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab08 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{8} \ l e q x \
l e q 10ˆ{9} ’ ) ;
Listing C.8: TwoAxes08.m
144
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes09 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab09 . mat ;
6
x=1.0000 e+9 : 1 . 0 0 0 0 e +9: 1 . 0 0 0 0 e +10;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab09 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab09 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab09 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{9} \ l e q x \
l e q 10ˆ{10} ’ ) ;
Listing C.9: TwoAxes09.m
145
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes10 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab10 . mat ;
6
x=1.0000 e+10 : 1 . 0 0 0 0 e +10: 1 . 0 0 0 0 e +11;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab10 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
9
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab10 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab10 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{10} \ l e q x \
l e q 10ˆ{11} ’ ) ;
Listing C.10: TwoAxes10.m
146
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes11 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab11 . mat ;
6
x=1.0000 e+11 : 1 . 0 0 0 0 e +11: 1 . 0 0 0 0 e +12;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab11 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab11 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab11 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{11} \ l e q x \
l e q 10ˆ{12} ’ ) ;
Listing C.11: TwoAxes11.m
147
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes12 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab12 . mat ;
6
x=1.0000 e+12 : 1 . 0 0 0 0 e +12: 1 . 0 0 0 0 e +13;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab12 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab12 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab12 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{12} \ l e q x \
l e q 10ˆ{13} ’ ) ;
Listing C.12: TwoAxes12.m
148
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes13 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab13 . mat ;
6
x=1.0000 e+13 : 1 . 0 0 0 0 e +13: 1 . 0 0 0 0 e +14;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab13 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab13 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab13 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{13} \ l e q x \
l e q 10ˆ{13} ’ ) ;
Listing C.13: TwoAxes13.m
149
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes14 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab14 . mat ;
6
x=1.0000 e+14 : 1 . 0 0 0 0 e +14: 1 . 0 0 0 0 e +15;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab14 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab14 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab14 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{14} \ l e q x \
l e q 10ˆ{15} ’ ) ;
Listing C.14: TwoAxes14.m
150
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes15 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab15 . mat ;
6
x=1.0000 e+15 : 1 . 0 0 0 0 e +15: 1 . 0 0 0 0 e +16;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab15 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab15 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab15 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{15} \ l e q x \
l e q 10ˆ{16} ’ ) ;
Listing C.15: TwoAxes15.m
151
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes16 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab16 . mat ;
6
x=1.0000 e+16 : 1 . 0 0 0 0 e +16: 1 . 0 0 0 0 e +17;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab16 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab16 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab16 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{16} \ l e q x \
l e q 10ˆ{17} ’ ) ;
Listing C.16: TwoAxes16.m
152
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes17 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab17 . mat ;
6
x=1.0000 e+17 : 1 . 0 0 0 0 e +17: 1 . 0 0 0 0 e +18;
7
hl1 = l i n e ( x , datenMatLab17 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
8
9
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
11
ax1 = gca ;
12
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
13
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
14
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
15
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
17
hl2 = l i n e ( x , datenMatLab17 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
18
19
hl3 = l i n e ( x , datenMatLab17 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’ , . . .
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
20
21
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
22
xlabel ( ’x ’ ) ;
23
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
24
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
25
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{17} \ l e q x \
l e q 10ˆ{18} ’ ) ;
Listing C.17: TwoAxes17.m
153
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%TwoAxes00 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab00 . mat ;
6
hl1 = l i n e (datenMatLab00 ( : , 1 ) , datenMatLab00 ( : , 8 ) , ’ C o l o r ’ , . . .
7
’ k ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’ : ’ ) ;
8
l e g e n d ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
9
y l a b e l ( ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
10
ax1 = gca ;
11
s e t ( ax1 , ’ YColor ’ , ’ k ’ ) ;
12
ax2 = a x e s ( ’ P o s i t i o n ’ , g e t ( ax1 , ’ P o s i t i o n ’ ) , . . .
13
’ YA xi sL ocation ’ , ’ r i g h t ’ , . . .
14
’ C o l o r ’ , ’ none ’ , . . .
15
’ YColor ’ , ’ b ’ ) ;
16
hl2 = l i n e (datenMatLab00 ( : , 1 ) , datenMatLab00 ( : , 7 ) , ’ C o l o r ’ , ’ r ’
,...
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’− ’ ) ;
17
18
hl3 = l i n e (datenMatLab00 ( : , 1 ) , datenMatLab00 ( : , 6 ) , ’ C o l o r ’ , ’ b ’
,...
’ Parent ’ , ax2 , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 , ’ L i n e S t y l e ’ , ’−− ’ ) ;
19
20
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
21
xlabel ( ’x ’ ) ;
22
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
23
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{1} \ l e q x \
l e q 10ˆ{18} ’ ) ;
24
g r i d on ;
Listing C.18: TwoAxes00.m
154
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm01 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab01 . mat ;
6
x=1.0000 e+1 : 1 . 0 0 0 0 e +1: 1 . 0 0 0 0 e +2;
7
p l o t ( x , datenMatLab01 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab01 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{1} \ l e q x \ l e q 10ˆ{2} ’ ) ;
Listing C.19: Twodiagramm01.m
155
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm02 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab02 . mat ;
6
x=1.0000 e+2 : 1 . 0 0 0 0 e +2: 1 . 0 0 0 0 e +3;
7
p l o t ( x , datenMatLab02 ( : , 6 ) , ’ r− ’
8
9
,...
x , datenMatLab02 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{2} \ l e q x \ l e q 10ˆ{3} ’ ) ;
Listing C.20: Twodiagramm02.m
156
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm03 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab03 . mat ;
6
x=1.0000 e+3 : 1 . 0 0 0 0 e +3: 1 . 0 0 0 0 e +4;
7
p l o t ( x , datenMatLab03 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab03 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{3} \ l e q x \ l e q 10ˆ{4} ’ ) ;
Listing C.21: Twodiagramm03.m
157
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm04 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab04 . mat ;
6
x=1.0000 e+4 : 1 . 0 0 0 0 e +4: 1 . 0 0 0 0 e +5;
7
p l o t ( x , datenMatLab04 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab04 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{4} \ l e q x \ l e q 10ˆ{5} ’ ) ;
Listing C.22: Twodiagramm04.m
158
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm05 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab05 . mat ;
6
x=1.0000 e+5 : 1 . 0 0 0 0 e +5: 1 . 0 0 0 0 e +6;
7
p l o t ( x , datenMatLab05 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab05 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{5} \ l e q x \ l e q 10ˆ{6} ’ ) ;
Listing C.23: Twodiagramm05.m
159
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm06 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab06 . mat ;
6
x=1.0000 e+6 : 1 . 0 0 0 0 e +6: 1 . 0 0 0 0 e +7;
7
p l o t ( x , datenMatLab06 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab06 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{6} \ l e q x \ l e q 10ˆ{7} ’ ) ;
Listing C.24: Twodiagramm06.m
160
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm07 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab07 . mat ;
6
x=1.0000 e+7 : 1 . 0 0 0 0 e +7: 1 . 0 0 0 0 e +8;
7
p l o t ( x , datenMatLab07 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab07 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{7} \ l e q x \ l e q 10ˆ{8} ’ ) ;
Listing C.25: Twodiagramm07.m
161
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm08 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab08 . mat ;
6
x=1.0000 e+8 : 1 . 0 0 0 0 e +8: 1 . 0 0 0 0 e +9;
7
p l o t ( x , datenMatLab08 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab08 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{8} \ l e q x \ l e q 10ˆ{9} ’ ) ;
Listing C.26: Twodiagramm08.m
162
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm09 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab09 . mat ;
6
x=1.0000 e+9 : 1 . 0 0 0 0 e +9: 1 . 0 0 0 0 e +10;
7
p l o t ( x , datenMatLab09 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab09 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{9} \ l e q x \ l e q 10ˆ{10} ’ ) ;
Listing C.27: Twodiagramm09.m
163
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm10 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab10 . mat ;
6
x=1.0000 e+10 : 1 . 0 0 0 0 e +10: 1 . 0 0 0 0 e +11;
7
p l o t ( x , datenMatLab10 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab10 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{10} \ l e q x \ l e q 10ˆ{11} ’ ) ;
Listing C.28: Twodiagramm10.m
164
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm11 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab11 . mat ;
6
x=1.0000 e+11 : 1 . 0 0 0 0 e +11: 1 . 0 0 0 0 e +12;
7
p l o t ( x , datenMatLab11 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab11 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{11} \ l e q x \ l e q 10ˆ{12} ’ ) ;
Listing C.29: Twodiagramm11.m
165
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm12 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab12 . mat ;
6
x=1.0000 e+12 : 1 . 0 0 0 0 e +12: 1 . 0 0 0 0 e +13;
7
p l o t ( x , datenMatLab12 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab12 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{12} \ l e q x \ l e q 10ˆ{13} ’ ) ;
Listing C.30: Twodiagramm12.m
166
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm13 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab13 . mat ;
6
x=1.0000 e+13 : 1 . 0 0 0 0 e +13: 1 . 0 0 0 0 e +14;
7
p l o t ( x , datenMatLab13 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab13 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{13} \ l e q x \ l e q 10ˆ{14} ’ ) ;
Listing C.31: Twodiagramm13.m
167
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm14 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab14 . mat ;
6
x=1.0000 e + 1 4 : 1 . 0 0 0 0 e +14: 1 . 0 0 0 0 e +15;
7
p l o t ( x , datenMatLab14 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab14 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{14} \ l e q x \ l e q 10ˆ{15} ’ ) ;
Listing C.32: Twodiagramm14.m
168
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm15 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab15 . mat ;
6
x=1.0000 e + 1 5 : 1 . 0 0 0 0 e +15: 1 . 0 0 0 0 e +16;
7
p l o t ( x , datenMatLab15 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab15 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{15} \ l e q x \ l e q 10ˆ{16} ’ ) ;
Listing C.33: Twodiagramm15.m
169
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm16 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab16 . mat ;
6
x=1.0000 e + 1 6 : 1 . 0 0 0 0 e +16: 1 . 0 0 0 0 e +17;
7
p l o t ( x , datenMatLab16 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab16 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{16} \ l e q x \ l e q 10ˆ{17} ’ ) ;
Listing C.34: Twodiagramm16.m
170
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm17 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab17 . mat ;
6
x=1.0000 e + 1 7 : 1 . 0 0 0 0 e +17: 1 . 0 0 0 0 e +18;
7
p l o t ( x , datenMatLab17 ( : , 6 ) , ’ r− ’ , . . .
8
9
x , datenMatLab17 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{17} \ l e q x \ l e q 10ˆ{18} ’ ) ;
Listing C.35: Twodiagramm17.m
171
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Twodiagramm00 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab00 . mat ;
6
p l o t (datenMatLab00 ( : , 1 ) , datenMatLab00 ( : , 6 ) , . . .
7
8
9
’ r− ’ , datenMatLab00 ( : , 1 ) , . . .
datenMatLab00 ( : , 7 ) , ’ b−− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
10
xlabel ( ’x ’ ) ;
11
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
12
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) mit 10ˆ{1} \ l e q x \ l e q 10ˆ{18} ’ ) ;
Listing C.36: Twodiagramm00.m
172
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm01 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab01 . mat ;
6
x=1.0000 e+1 : 1 . 0 0 0 0 e +1: 1 . 0 0 0 0 e +2;
7
p l o t ( x , datenMatLab01 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab01 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab01 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{1} \ l e q x \
l e q 10ˆ{2} ’ ) ;
Listing C.37: Threediagramm01.m
173
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm02 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab02 . mat ;
6
x=1.0000 e+2 : 1 . 0 0 0 0 e +2: 1 . 0 0 0 0 e +3;
7
p l o t ( x , datenMatLab02 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab02 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab02 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{2} \ l e q x \
l e q 10ˆ{3} ’ ) ;
Listing C.38: Threediagramm02.m
174
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm03 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab03 . mat ;
6
x=1.0000 e+3 : 1 . 0 0 0 0 e +3: 1 . 0 0 0 0 e +4;
7
p l o t ( x , datenMatLab03 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab03 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab03 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{3} \ l e q x \
l e q 10ˆ{4} ’ ) ;
Listing C.39: Threediagramm03.m
175
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm04 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab04 . mat ;
6
x=1.0000 e+4 : 1 . 0 0 0 0 e +4: 1 . 0 0 0 0 e +5;
7
p l o t ( x , datenMatLab04 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab04 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab04 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{4} \ l e q x \
l e q 10ˆ{5} ’ ) ;
Listing C.40: Threediagramm04.m
176
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm05 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab05 . mat ;
6
x=1.0000 e+5 : 1 . 0 0 0 0 e +5: 1 . 0 0 0 0 e +6;
7
p l o t ( x , datenMatLab05 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab05 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab05 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{5} \ l e q x \
l e q 10ˆ{6} ’ ) ;
Listing C.41: Threediagramm05.m
177
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm06 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab06 . mat ;
6
x=1.0000 e+6 : 1 . 0 0 0 0 e +6: 1 . 0 0 0 0 e +7;
7
p l o t ( x , datenMatLab06 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab06 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab06 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{6} \ l e q x \
l e q 10ˆ{7} ’ ) ;
Listing C.42: Threediagramm06.m
178
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm07 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab07 . mat ;
6
x=1.0000 e+7 : 1 . 0 0 0 0 e +7: 1 . 0 0 0 0 e +8;
7
p l o t ( x , datenMatLab07 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab07 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab07 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{7}\ l e q x \
l e q 10ˆ{8} ’ ) ;
Listing C.43: Threediagramm07.m
179
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm08 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab08 . mat ;
6
x=1.0000 e+8 : 1 . 0 0 0 0 e +8: 1 . 0 0 0 0 e +9;
7
p l o t ( x , datenMatLab08 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab08 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab08 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{8}\ l e q x \
l e q 10ˆ{9} ’ ) ;
Listing C.44: Threediagramm08.m
180
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm09 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab09 . mat ;
6
x=1.0000 e+9 : 1 . 0 0 0 0 e +9: 1 . 0 0 0 0 e +10;
7
p l o t ( x , datenMatLab09 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab09 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab09 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{9}\ l e q x \
l e q 10ˆ{10} ’ ) ;
Listing C.45: Threediagramm09.m
181
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm10 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab10 . mat ;
6
x=1.0000 e+10 : 1 . 0 0 0 0 e +10: 1 . 0 0 0 0 e +11;
7
p l o t ( x , datenMatLab10 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab10 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab10 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{10}\ l e q x \
l e q 10ˆ{11} ’ ) ;
Listing C.46: Threediagramm10.m
182
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm11 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab11 . mat ;
6
x=1.0000 e+11 : 1 . 0 0 0 0 e +11: 1 . 0 0 0 0 e +12;
7
p l o t ( x , datenMatLab11 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab11 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab11 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{11}\ l e q x \
l e q 10ˆ{12} ’ ) ;
Listing C.47: Threediagramm11.m
183
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm12 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab12 . mat ;
6
x=1.0000 e+12 : 1 . 0 0 0 0 e +12: 1 . 0 0 0 0 e +13;
7
p l o t ( x , datenMatLab12 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab12 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab12 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{12}\ l e q x \
l e q 10ˆ{13} ’ ) ;
Listing C.48: Threediagramm12.m
184
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm13 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab13 . mat ;
6
x=1.0000 e+13 : 1 . 0 0 0 0 e +13: 1 . 0 0 0 0 e +14;
7
p l o t ( x , datenMatLab13 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab13 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab13 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{13}\ l e q x \
l e q 10ˆ{14} ’ ) ;
Listing C.49: Threediagramm13.m
185
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm14 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab14 . mat ;
6
x=1.0000 e+14 : 1 . 0 0 0 0 e +14: 1 . 0 0 0 0 e +15;
7
p l o t ( x , datenMatLab14 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab14 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab14 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{14}\ l e q x \
l e q 10ˆ{15} ’ ) ;
Listing C.50: Threediagramm14.m
186
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm15 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab15 . mat ;
6
x=1.0000 e+15 : 1 . 0 0 0 0 e +15: 1 . 0 0 0 0 e +16;
7
p l o t ( x , datenMatLab15 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab15 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab15 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{15}\ l e q x \
l e q 10ˆ{16} ’ ) ;
Listing C.51: Threediagramm15.m
187
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm16 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab16 . mat ;
6
x=1.0000 e+16 : 1 . 0 0 0 0 e +16: 1 . 0 0 0 0 e +17;
7
p l o t ( x , datenMatLab16 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab16 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab16 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{16}\ l e q x \
l e q 10ˆ{17} ’ ) ;
Listing C.52: Threediagramm16.m
188
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm17 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab17 . mat ;
6
x=1.0000 e+17 : 1 . 0 0 0 0 e +17: 1 . 0 0 0 0 e +18;
7
p l o t ( x , datenMatLab17 ( : , 6 ) , ’ b−o ’ , . . .
8
x , datenMatLab17 ( : , 7 ) , ’ r−− ’ , . . .
9
x , datenMatLab17 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{17}\ l e q x \
l e q 10ˆ{18} ’ ) ;
Listing C.53: Threediagramm17.m
189
1
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
2
%Mohamed NAJI
3
%Threediagramm00 .m
4
%∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
5
l o a d datenMatLab00 . mat ;
6
p l o t (datenMatLab00 ( : , 1 ) , datenMatLab00 ( : , 6 ) , . . .
7
8
9
’ b−o ’ , datenMatLab00 ( : , 1 ) , datenMatLab00 ( : , 7 ) , . . .
’ r−− ’ , datenMatLab00 ( : , 1 ) , . . .
datenMatLab00 ( : , 8 ) , ’ k− ’ , ’ LineWidth ’ , 2 . 5 ) ,
10
l e g e n d ( ’R( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l i ( x )−\ p i ( x ) ’ , ’ l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ , 0 ) ;
11
xlabel ( ’x ’ ) ;
12
y l a b e l ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
13
t i t l e ( ’R( x )−\ p i ( x ) ;
14
g r i d on ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) ’ ) ;
l i ( x )−\ p i ( x ) ; l o g ( x ) /x−\ p i ( x ) mit 10ˆ{1}\ l e q x \
l e q 10ˆ{18} ’ ) ;
Listing C.54: Threediagramm00.m
Anhang D
Diagramme: R(x) − π(x);
x − π(x)
li(x) − π(x) und log(x)
190
−4
10
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
20
30
1
40
50
x
60
70
x
log(x)
80
90
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
0
100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 101 ≤ x ≤ 102
2
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
Abbildung D.1: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
191
−25
100
−20
−15
−10
−5
200
300
400
500
x
600
x
log(x)
700
Abbildung D.2: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
800
900
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
−2
1000
0
2
4
6
8
10
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 102 ≤ x ≤ 103
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 102 ≤ x ≤ 103
192
−160
1000
−140
−120
−100
−80
−60
−40
2000
3000
3
4000
5000
x
6000
x
log(x)
7000
8000
9000
0
5
10
15
20
−5
10000
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 103 ≤ x ≤ 104
4
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
Abbildung D.3: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−20
193
−1000
−900
−800
−700
−600
−500
−400
−300
−200
−100
1
2
3
4
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
5
x
6
7
Abbildung D.4: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
x
log(x)
8
9
0
10
20
30
40
50
4
−10
10
x 10
log(x)/x−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 104 ≤ x ≤ 105
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 104 ≤ x ≤ 105
194
−7000
−6000
−5000
−4000
−3000
−2000
−1000
0
1
2
3
4
5
x
6
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
7
Abbildung D.5: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
x
log(x)
8
9
0
20
40
60
80
100
120
140
5
−20
10
x 10
log(x)/x−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 105 ≤ x ≤ 106
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 105 ≤ x ≤ 106
195
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
1
2
3
6
7
4
5
x
6
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
7
x
log(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
Abbildung D.6: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−0.5
4
x 10
9
6
x 10
−100
10
−50
0
50
100
150
200
250
300
350
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 106 ≤ x ≤ 107
8
log(x)/x−π(x)
196
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
3
7
8
4
5
x
6
7
x
log(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
Abbildung D.7: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
5
x 10
9
7
x 10
−200
10
0
200
400
600
800
1000
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 107 ≤ x ≤ 108
8
log(x)/x−π(x)
197
2
3
4
5
x
6
7
x
log(x)
8
9
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 108 ≤ x ≤ 109
8
−500
10
−3
x 10
0
500
−2
−2.5
1000
−1.5
1500
2500
−1
log(x)/x−π(x)
2000
1
9
−0.5
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
8
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
Abbildung D.8: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
6
x 10
198
−2.2
−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
3
4
5
x
6
7
x
log(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 109 ≤ x ≤ 1010
Abbildung D.9: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−0.2
7
x 10
9
9
x 10
−2000
10
−1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 109 ≤ x ≤ 1010
8
log(x)/x−π(x)
199
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
1
2
3
4
5
x
6
7
x
log(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1010 ≤ x ≤ 1011
Abbildung D.10: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−0.2
8
x 10
9
10
x 10
−4000
10
−2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 1010 ≤ x ≤ 1011
8
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
200
log(x)/x−π(x)
1
2
3
4
5
x
6
7
Abbildung D.11: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
−15
−10
−5
x
log(x)
8
9
0
1
2
3
4
−1
10
11
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
4
x 10
5
− π(x) für 1011 ≤ x ≤ 1012
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1011 ≤ x ≤ 1012
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
0
8
x 10
201
−12
−10
−8
−6
−4
1
2
3
4
5
x
6
7
Abbildung D.12: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
x
log(x)
8
9
−2
0
2
4
6
8
10
12
−4
10
12
x 10
log(x)/x−π(x)
4
x 10
14
− π(x) für 1012 ≤ x ≤ 1013
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1012 ≤ x ≤ 1013
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
0
9
x 10
202
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
3
4
5
x
6
7
x
log(x)
8
9
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−1
10
13
x 10
log(x)/x−π(x)
5
x 10
3.5
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 1013 ≤ x ≤ 1014
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1013 ≤ x ≤ 1013
Abbildung D.13: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−1
10
x 10
203
2
3
5
x
6
7
x
log(x)
8
−4
10
−9
− π(x) für 1014 ≤ x ≤ 1015
14
−2
−8
x 10
0
−7
9
2
−6
4
4
6
−4
−5
8
−3
log(x)/x−π(x)
5
x 10
12
10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
15
≤ x ≤ 10
−2
1
14
Abbildung D.14: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−1
11
x 10
204
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
15
4
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
5
x
6
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10
7
x
log(x)
16
≤ x ≤ 10
Abbildung D.15: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
12
x 10
9
15
x 10
−1
10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 1015 ≤ x ≤ 1016
8
log(x)/x−π(x)
6
x 10
3.5
205
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
2
3
4
5
x
6
7
x
log(x)
8
9
0
2
4
6
8
−2
10
16
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
6
x 10
10
− π(x) für 1016 ≤ x ≤ 1017
17
≤ x ≤ 10
Abbildung D.16: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
−1
16
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
0
13
x 10
206
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
17
4
5
x
6
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10
7
x
log(x)
18
≤ x ≤ 10
Abbildung D.17: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
14
x 10
9
17
x 10
−1
10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 1017 ≤ x ≤ 1018
8
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
7
x 10
3
207
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
1
3
4
5
x
6
7
8
x
log(x)
18
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
Abbildung D.18: GesamtGraphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
log(x)/x−π(x)
0
14
x 10
17
x 10
−1
10
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
− π(x) für 101 ≤ x ≤ 1018
9
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
7
x 10
3
208
Anhang E
Diagramme: R(x) − π(x) und
li(x) − π(x)
209
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
0
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
30
40
50
x
60
70
80
90
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.1: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 101 ≤ x ≤ 102
20
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 101 ≤ x ≤ 102
100
210
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−2
100
0
2
4
6
8
10
300
400
500
x
600
700
800
900
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.2: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 102 ≤ x ≤ 103
200
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 102 ≤ x ≤ 103
1000
211
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−5
1000
0
5
10
15
20
3000
4
4000
5000
x
6000
7000
8000
9000
10000
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.3: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 103 ≤ x ≤ 104
2000
3
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
212
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−10
0
10
20
30
40
50
1
3
4
5
x
6
7
8
9
Abbildung E.4: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 104 ≤ x ≤ 105
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 104 ≤ x ≤ 105
4
x 10
10
213
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
1
3
4
5
x
6
7
8
9
Abbildung E.5: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 105 ≤ x ≤ 106
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 105 ≤ x ≤ 106
5
x 10
10
214
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−100
−50
0
50
100
150
200
250
300
350
2
3
4
5
x
6
7
8
9
Abbildung E.6: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 106 ≤ x ≤ 107
1
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 106 ≤ x ≤ 107
6
x 10
10
215
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−200
0
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
x
6
7
8
9
Abbildung E.7: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 107 ≤ x ≤ 108
1
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 107 ≤ x ≤ 108
7
x 10
10
216
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−500
0
500
1000
1500
2000
2500
2
3
4
5
x
6
7
8
9
Abbildung E.8: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 108 ≤ x ≤ 109
1
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 108 ≤ x ≤ 109
8
x 10
10
217
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
3
10
4
5
x
6
7
8
9
Abbildung E.9: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 109 ≤ x ≤ 1010
−2000
−1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
9
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 10 ≤ x ≤ 10
9
10
x 10
218
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
1
2
3
4
5
x
6
7
11
≤ x ≤ 10
8
9
10
10
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.10: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1010 ≤ x ≤ 1011
−4000
−2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
10
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 10
219
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−1
0
1
2
3
4
5
4
1
2
3
4
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1011 ≤ x ≤ 1012
8
9
10
11
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.11: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1011 ≤ x ≤ 1012
x 10
220
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
4
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
3
4
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1012 ≤ x ≤ 1013
8
9
Abbildung E.12: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1012 ≤ x ≤ 1013
x 10
x 10
10
12
221
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
3
4
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1013 ≤ x ≤ 1014
8
9
Abbildung E.13: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1013 ≤ x ≤ 1014
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
5
x 10
x 10
10
13
222
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
5
1
2
3
4
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1014 ≤ x ≤ 1015
8
9
Abbildung E.14: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1014 ≤ x ≤ 1015
x 10
x 10
10
14
223
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
1
2
3
4
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1015 ≤ x ≤ 1016
8
9
Abbildung E.15: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1015 ≤ x ≤ 1016
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
6
x 10
x 10
10
15
224
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
−2
0
2
4
6
8
10
6
1
2
3
4
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1016 ≤ x ≤ 1017
8
9
10
16
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.16: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1016 ≤ x ≤ 1017
x 10
225
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
1
2
3
4
5
x
6
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 1017 ≤ x ≤ 1018
8
9
10
17
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.17: Graphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 1017 ≤ x ≤ 1018
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
7
x 10
226
R(x)−π(x); li(x)−π(x)
0
1
2
3
4
5
x
6
R(x)−π(x); li(x)−π(x) mit 101 ≤ x ≤ 1018
7
8
9
10
17
x 10
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
Abbildung E.18: GesamtGraphen von R(x) − π(x) und li(x) − π(x) für 101 ≤ x ≤ 1018
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
7
x 10
227
Anhang F
Diagramme: R(x) − π(x);
x − π(x)
li(x) − π(x) und log(x)
228
−4
10
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
20
30
40
50
x
60
Abbildung F.1: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
5
x
log(x)
70
80
90
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
100
− π(x) für 101 ≤ x ≤ 102
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 101 ≤ x ≤ 102
229
−25
100
−20
−15
−10
−5
0
5
200
300
400
500
x
600
Abbildung F.2: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
10
x
log(x)
700
800
900
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
1000
− π(x) für 102 ≤ x ≤ 103
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 102 ≤ x ≤ 103
230
−160
1000
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
2000
3000
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
4000
5000
x
6000
Abbildung F.3: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
20
x
log(x)
7000
8000
9000
10000
− π(x) für 103 ≤ x ≤ 104
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 103 ≤ x ≤ 104
231
−1000
−800
−600
−400
−200
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
Abbildung F.4: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
200
x
log(x)
7
8
9
4
x 10
10
− π(x) für 104 ≤ x ≤ 105
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 104 ≤ x ≤ 105
232
−7000
−6000
−5000
−4000
−3000
−2000
−1000
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
Abbildung F.5: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
1000
x
log(x)
7
8
9
5
x 10
10
− π(x) für 105 ≤ x ≤ 106
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 105 ≤ x ≤ 106
233
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
6
10
x 10
− π(x) für 106 ≤ x ≤ 107
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 106 ≤ x ≤ 107
Abbildung F.6: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
0.5
4
x 10
234
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
7
10
x 10
− π(x) für 107 ≤ x ≤ 108
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 107≤ x ≤ 108
Abbildung F.7: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
0.5
5
x 10
235
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
8
10
x 10
− π(x) für 108 ≤ x ≤ 109
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 108≤ x ≤ 109
Abbildung F.8: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
0.5
6
x 10
236
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
9
10
x 10
− π(x) für 109 ≤ x ≤ 1010
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 109≤ x ≤ 1010
Abbildung F.9: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
0.5
7
x 10
237
−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
10
− π(x) für 1010 ≤ x ≤ 1011
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1010≤ x ≤ 1011
Abbildung F.10: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
2
7
x 10
238
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
11
− π(x) für 1011 ≤ x ≤ 1012
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1011≤ x ≤ 1012
Abbildung F.11: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
2
8
x 10
239
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
12
− π(x) für 1012 ≤ x ≤ 1013
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1012≤ x ≤ 1013
Abbildung F.12: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
2
9
x 10
240
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
13
− π(x) für 1013 ≤ x ≤ 1014
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1013≤ x ≤ 1014
Abbildung F.13: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
2
10
x 10
241
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
14
− π(x) für 1014 ≤ x ≤ 1015
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1014≤ x ≤ 1015
Abbildung F.14: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
1
11
x 10
242
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
15
− π(x) für 1015 ≤ x ≤ 1016
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1015≤ x ≤ 1016
Abbildung F.15: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
1
12
x 10
243
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
16
− π(x) für 1016 ≤ x ≤ 1017
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1016≤ x ≤ 1017
Abbildung F.16: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
1
13
x 10
244
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
8
9
x 10
10
17
− π(x) für 1017 ≤ x ≤ 1018
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 1017≤ x ≤ 1018
Abbildung F.17: Graphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
1
14
x 10
245
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
0
1
2
R(x)−π(x)
li(x)−π(x)
log(x)/x−π(x)
3
4
5
x
6
x
log(x)
7
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x) mit 101≤ x ≤ 1018
Abbildung F.18: GesamtGraphen von R(x) − π(x); li(x) − π(x) und
R(x)−π(x); li(x)−π(x); log(x)/x−π(x)
1
14
x 10
9
x 10
10
17
− π(x) für 101 ≤ x ≤ 1018
8
246
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NAMENSVERZEICHNIS
256
Namensverzeichnis
A
Abel, Niels Henrik (1802–1829),
Diamond, H. G. (??), 15
Dirichlet, Gustav Peter Lejeune
23
(1805–1859), 11, 18, 29,
B
Bays, Carter (??), 16
Bernoulli
—,
Daniel (1700–1782), 10
—,
Daniel (1700–1782); Jakob
38, 39, 43, 112
Dubner, Harvey (??), 111
Dusumbetov, A. (??), 15
E
Eratosthenes von Kyrene (275–
194 v. Chr.), 74, 75, 78
(1654–1705), 10
—,
Jakob (1654–1705), 10, 116
Erdös, Paul (1913–1996), 12, 13,
18, 109
Bertrand, Joseph Louis Francois
(1822–1900), 7
Euklid, von Alexandria (etwa 365–
300 v. Chr.), 2, 3, 108
Bohman, Jan (??), 100, 101
Bombieri, Enrico (1940–), 15, 18
Euler, Leonhard (1707–1783), 2,
Breusch, Robert (??), 15
3, 10, 30, 34, 61, 89, 104,
Brun, Viggo (1885–1978), 18
108, 111, 114, 116
Burckhardt, J. C. (??), 4, 5
C
F
Fourier, Jean Baptiste Joseph de
(1768–1830), 12, 43, 109
Caldwell, C. (??), 2
Cauchy, Augustin Louis (1789–
1857), 21, 25, 26, 44, 54
Chernac, L. (??), 4, 5, 7
Corput van der, Johannes Gualtherus (1890–1975), 15
D
Deléglise, Marc (??), 101, 102
G
Gauss,
Carl
Friedrich
(1777–
1855), 4, 6, 7, 10, 18, 108,
111
Goldbach, Christian (1690–1764),
10
H
NAMENSVERZEICHNIS
Hadamard,
Jacques
257
Solomon
Legendre, Adrien Marie (1752–
(1865–1963), 8, 10, 18,
1833), 4–7, 10, 19, 24, 75–
108, 111
78, 84, 101, 102, 108–110,
Hardy, Godfrey Harold (1877–
114
1947), 16, 18
Lehman, R. Sherman (1930–), 16
Hudson, Richard H. (??), 16
Lehmer, Derrick Henry (1905–
1991), 19, 78, 97, 98, 100–
I
102, 110
Ikehara, Shikao (1904–1984), 12
Indlekofer, K. H.(1943–), 111
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646–
1716), 10
Ingham, Albert Edward (1900–),
Levinson, Norman (1912–1975),
43
18
J
Linnik,
Járai, A. (??), 111
Littlewood, John Edensor (1885–
Kaczorowski, J. (??), 17
Nikolai
Kuhn, P. (??), 15
Möbius, August Ferdinand (1790–
Mangoldt, Hans von (1854–1925),
Lagarias, J. C. (??), 101, 102, 110
Lambert, Johann Heinrich (1728–
115
Mapes, David (??), 101, 102
Mascheroni, Lorenco (1750–1800),
1777), 4, 7
Landau, Edmund (1877–1938), 1,
104
Meissel, E. D. F. (??), 19, 78, 84,
2, 18, 71, 114
Laurent, Pierre Alphonse (1813–
87, 91, 94, 100–102, 110
Mengoli, Pietro (1625–1686), 10
1854), 34, 54
(1927–), 15
M
1868), 71, 72, 104, 116
L
Aleksandr
1977), 13, 16, 18
Mikhailovich
(1917–), 11, 14, 37, 38
Lavrik,
Vladimirovich
(1915–1972), 18
K
Korobov,
Yuriĭ
Fedorovich
Mertens,
Franz
Carl
Joseph
(1840–1927), 9, 24, 25
NAMENSVERZEICHNIS
Miller, V. S. (??), 101, 102, 110
Mináč, J. (??), 74
N
Newman, Donald Joseph (1930–),
12, 17, 19, 43, 108, 109
O
Odlyzko, A. M. (??), 9, 101, 102,
258
Siegel, Carl Ludwig (1896–1981),
13, 18
Skewes, S. (??), 16
Sobirov, A. S. (??), 15
Steinig, J. (??), 15
Stirling, James (1692–1770), 10
Sylvester, James Joseph (1814–
1897), 8
110
T
P
Tatuzawa, Tikao (??), 14
Perron, Oskar (1880–1975), 66, 69
Taylor, Brook (1685–1731), 34
Pintz, János (??), 5, 17
Te Riele, H. J. J. (??), 9, 16
Potler, A. (??), 5
Tschebyschew (Čebyšev), Pafnuti
Pritchard, Paul (??), 75
R
Richert, Hans–Egon (1924–), 11,
Lwowitsch
(1821–1894),
5, 7, 8, 12, 108, 116
Tschudakov, N. G. (??), 13
14, 37
V
Riemann, Georg Friedrich Bern-
Vallée Poussin, Charles De La
hard (1826–1866), 8–10,
(1866–1962), 8, 10, 11, 13,
13, 14, 16–18, 28, 33, 108,
37, 108, 111
111, 112, 115
Rivat, Joel (??), 101, 102
Rosser, John Barkley (1907–), 37
S
Schoenfeld, Lowell (1920–), 37
Selberg, Atle (1917–), 12, 13, 18,
109
Van de Lune, J. (??), 9
Vega, Georg Freiherr von (1754?–
1802), 4, 5, 7
Vinogradov (auch Winogradow),
Iwan
Matwejewitsch
(1891–1983), 11, 14, 18,
37, 38
Von Koch, Helge (1870–1924), 14
NAMENSVERZEICHNIS
W
Walfisz, Arnold (1892–1962), 37
Wallis, John (1616–1703), 10
Weierstraß, Karl Theodor Wilhelm (1815–1897), 22
Wiener, Norbert (1894–1964), 12
Wilson, Sir John (1741–1793), 74
Winter, D. T. (??), 9
Wirsing, E.(1931–), 15
Wolke, Dieter (1942–), 19, 65, 109
Y
Young, J. (??), 5
259
STICHWORTVERZEICHNIS
260
Stichwortverzeichnis
B
Beweis
S
Sieb des Eratosthenes, 74
analytisch, 13, 43, 65
elementar, 14
E
elementaren Methoden, 13
F
Faltung, 39
Fortsetzung
analytisch, 28
G
Gamma–Funktion, 9
H
holomorph, 21
K
konvergent, 20
absolut, 20
gleichmäßig, 22
M
mermorph, 21
P
Primzahlsatz, 11
R
Residuensatz, 25
Z
Zetafunktion, 8, 9, 28

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Analysis II für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Diplomarbeit: über die Anzahlfunktion π(x)

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